EXANI II 1 Pensamiento Matematico

EXANI-II ADMISION 1. Pensamiento matemático 1.1 Razonamiento aritmético 1.1.1 Jerarquía de operaciones básicas 1.1.1.1 Operaciones combinadas de suma, resta, multiplicación y división con números enteros Operaciones combinadas sin paréntesis  Combinación de sumas y diferencias 9−7+5+2−6+8−3=8  Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.  Combinación de sumas, restas y productos 3·2−5+4·3−8+5·3= = 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20  Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.  Posteriormente efectuamos las sumas y restas.  Combinación de sumas, restas, productos y divisiones 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 = = 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9  Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.  Efectuamos las sumas y restas.  Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias 23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 20 : 4 = = 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 = = 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25  Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.  Seguimos con los productos y cocientes.  Efectuamos las sumas y restas.  Operaciones combinadas con paréntesis (15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 22) = = (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 4)= = 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 6 = 22  Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en ellos, respetando el orden de prioridad.  Quitamos paréntesis realizando las operaciones.  Operaciones combinadas con corchetes [15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 2 ) = = [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 4 ) = = [15 − 3] · [5 + 2 ] − 3 + 4 = = (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 4 = = 12 · 7 − 3 + 4 = = 84 - 3 + 4 = 85  Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.  Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.  En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente.  Operamos en los paréntesis.  Después multiplicamos.

 Finalmente restamos y sumamos.



Operaciones combinadas con llaves

     

7 - {5 + 10 [20 : 5 − 2 + 4 (5 + 2 · 3)] − 8 · 32} + 50 (6 · 2) = = 7 - [5 + 10 (4 − 2 + 44) − 8 · 32] + 50 (12) = = 7 - (5 + 10 · 46 − 72) + 600 = = 7 - (5 + 460 − 72) + 600 = = 214 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis. Realizamos las sumas y restas de los paréntesis. En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente y donde había llaves escribimos corchetes. Operamos en los paréntesis. Volvemos a poner paréntesis y operamos. Finalmente restamos y sumamos.

1.1.1.2 Problemas con suma, resta, multiplicación y división con números decimales y fracciones  Suma y resta de números decimales  Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.  Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas... 342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 = 372.528 - 69.68452 =

 Multiplicación de números decimales  Se multiplican como si fueran números enteros.  El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores. 46.562 · 38.6

 División de números decimales Para dividir un número decimal por un número entero:  Haz una división larga (ignora el punto decimal)  Después pon el punto decimal en el mismo sitio que el dividendo (el número que dividimos) Ejemplo: Divide 9,1 por 7 Ignora el punto decimal y haz la división larga: 13 7)91 21 0 Pon el punto decimal a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 1,3 7 )9,1 La respuesta es 1,3 Dividir por un número decimal  El truco es convertir el número por el que divides (el divisor) en un número entero, moviendo el punto decimal de los dos números a la derecha:

 Ahora estás dividiendo por un número entero, y puedes seguir como antes.  Este método es seguro si te acuerdas de mover el punto decimal de los dos números la misma cantidad de espacios.  Ejemplo 2: Divide 5,39 por 1,1 No estás dividiendo por un número entero, así que tienes que mover el punto decimal para que sídividas por un entero: mover 1 5,39

53,9

1,1

11

mover 1 Ahora estás dividiendo por un entero así que puedes continuar: Ignora el punto decimal y haz la división larga: 49 11 )539 99 0 Pon el punto decimal en la respuesta a la misma altura que el punto decimal del dividendo: 4,9 11 )53,9 La respuesta es 4,9



Operaciones con fracciones

Suma de Fracciones homogéneas a+b = a+b c

c

c

Suma de Fracciones heterogéneas a + b = ad + bc c

d

cd

Resta de Fracciones homogéneas a-b = a-b c c c Resta de Fracciones heterogéneas a - b = ad - bc c d cd Multiplicación de Fracciones a · b = ab c d cd División de Fracciones

a ÷ b = a · d = ad c d c b cb

1.1.2 Relaciones de proporcionalidad 1.1.2.1 Problemas con razones Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar son a y b, la razón entre ellas se escribe como:

Ejemplo 1: La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ellas es 84. Hallar las edades. Solución: Si las edades son a y b Cuando nos hablan de relación o razón entre dos cantidades sabemos que nos están hablando de una comparación entre dos cantidades. Por lo tanto expresamos los datos como una razón:

Ahora volvemos a los datos del problema: Nos indican que la suma de los 2 números nos tiene que dar 84. Esto se expresa así:

Ahora lo que debemos hacer es trabajar con una constante, que en este caso será " X". Por lo tanto:

Reemplazando los datos en la ecuación tenemos:

Ahora que tenemos el valor de x podemos reemplazar para obtener los valores de a y b :

Respuesta: Por lo tanto podemos decir que las edades son 30 y 54.

1.1.2.2

Problemas con proporciones

Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Por ejemplo: 2 = 6 5 15 Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: 2 = 6 = 5 15 2 · 15 = 6 · 5 30 = 30 Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo: 2 =8 x 16 Ahora, se multiplica cruzado. 2 · 16 = 8 · x 32 = 8x Se resuelve la ecuación. 32 = 8x 8 8 4=x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir: 2=8 4 16 Aplicación: Para hacer sorullitos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido (que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer 13 tazas de harina, ¿cuánto líquido debe agregarle?

Hagamos una proporción: harina = harina líquido líquido 3 tazas harina = 1 taza líquido

13 tazas x tazas líquido

x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina. 3 = 13 1 x Ahora, se multiplica cruzado. 3 · x = 13 · 1 3x = 13 Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x. 3x = 13 3 3 x = 4.3 La x es igual a 4.3. Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4.3 tazas de líquido para poder hacer los sorullitos.

1.2 Razonamiento algebraico 1.2.1 Expresiones algebraicas 1.2.1.1 Operaciones con monomios

 Suma de monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. axn + bxn= (a + b)xn Ejemplo 2x2y3z + 3x2y3z = (2 + 3)x2y3z = 5x2y3z Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio. Ejemplo: 2x2y3 + 3x2y3z

 Producto de un número por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente del monomio por el número. Ejemplo: 5 · (2x2y3z) = 10x2y3z  Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes. axn · bxm = (a · b)xn + m Ejemplo:

(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

 División de monomios Sólo se pueden dividir monomios cuando: 1Tienen la misma parte literal 2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes. axn : bxm = (a : b)xn − m Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. Ejemplo:

 Potencia de un monomio Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que indique la potencia. (axn)m = am · xn · m Ejemplos: (2x3)3 = 23 · (x3)3= 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3= −27x6

1.2.1.2 

Operaciones con polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3  Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x 3− 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2+ 4x)  Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3  Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3  También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = = 7x4 + 6x3 + 4x2 + 15x + 5



La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x − 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

 Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales. Ejemplo 3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6  Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2  Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas. Mira la demostración con el siguiente ejemplo: P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x OPCIÓN 1  Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x =  Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x  Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5 OPCIÓN 2

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico: P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1 P(x) : Q(x)

 A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.  A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.  Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 : x2 = x3  Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 : x2 = 2 x2

 Procedemos igual que antes. 5x3 : x2 = 5 x

 Volvemos a hacer las mismas operaciones. 8x2 : x2 = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente.

1.2.2 Productos notables 1.2.2.1 Binomio al cuadrado: (a+b)2

 Binomio de suma al cuadrado Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo. (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9  Binomio de resta al cuadrado Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo. (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

El desarrollo de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

1.2.2.2

Binomios conjugados: (a+b) (a-b)

Al producto de la suma por la diferencia de dos cantidades se le llama producto de binomios conjugados, y tiene la siguiente forma general: , cuyo resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término. Ejemplos ¿Cuál es el resultado de los siguientes binomios conjugados? 1. Aplicando la regla de elevar al cuadrado el primer término menos el cuadrado del segundo término, se tiene:

2. Observamos que este producto de binomios se puede escribir de la siguiente manera:

Por lo tanto se trata de binomios conjugados, y para obtener el resultado se eleva al cuadrado el primer término y se le resta el cuadrado del segundo término.

1.2.2.3

Binomios con termino común: (a+b) (a+c)

Producto de dos binomios de la forma , donde y representa el término común. En este tipo de productos se observan las siguientes reglas: El primer término del producto es el cuadrado del término común.

son números y

El coeficiente del segundo término del producto es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común. El tercer término del producto es el producto de los segundos términos de los binomios: Ejemplos ¿Cuál es el resultado de multiplicar los siguientes binomios? 1. Identificamos el término común, que en este caso es

, el cual se elevará al cuadrado;

éste será el primer término: . Calculamos el segundo término del producto, que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común: . Estimamos el tercer término, que es el producto de los segundos términos de los binomios: . Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado:

2. Identificamos el término común, que en este caso es

, el cual se elevará al cuadrado;

éste será el primer término: . Calculamos el segundo término del producto, que es la suma algebraica de los segundos términos de los binomios, y la parte literal es el término común: . Estimamos el tercer término, que es el producto de los segundos términos de los binomios: Finalmente integramos los tres términos para obtener el resultado:

1.2.2.4

Binomios al cubo: (a+b)3

 Binomio de suma al cubo Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3 (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32+ 33 = = x3 + 9x2 + 27x + 27  Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo. (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 = = 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27 Ejemplos 1(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = = x3 + 6x2 + 12x + 8 2(3x − 2)3 = (3x)3 − 3 · (3x)2 · 2 + 3 · 3x · 22 − 23 = = 27x 3 − 54x2 + 36x – 8 3(2x + 5)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 ·5 + 3 · 2x · 52 + 53 = = 8x3 + 60 x2 + 150 x + 125

1.2.3 Ecuaciones 1.2.3.1 Ecuaciones de primer grado: solución grafica, matemática o aplicación Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Recuerda: Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está restando pasa sumado. Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multiplicando. Resuelve la ecuación

1.2.3.2 Ecuaciones de segundo grado: solución grafica, matemática o aplicación Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos 1.

2.

3. Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

1.2.4 Sistemas de ecuaciones 1.2.4.1 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: solución grafica y matemática 1.2.4.2 Ecuaciones con dos o tres incógnitas: aplicación

 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas  Método de sustitución 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo

1 Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2 Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior: 3 Resolvemos la ecuación obtenida: 4 Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada. 5 Solución

 Método de igualación 1 Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones. 2 Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemosdespejada la x:

5 Solución:

 Método de reducción 1 Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2 La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3 Se resuelve la ecuación resultante. 4 El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Solución:

 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas  Método de Gauss Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente. 1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas. 2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: 3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. 4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminarel término en y. 5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado. 6º Encontrar las soluciones. Ejemplo

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación: E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x. E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminarel término en y. E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones. z=1 − y + 4 ·1 = −2 y=6 x + 6 −1 = 1 x = −4

 Sistemas de ecuaciones no lineales La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. 3º Se resuelve la ecuación resultante. 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. Ejemplo

La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y=7−x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x2 + (7 − x)2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante. x2 + 49 − 14x + x2 = 25 2x2 − 14x + 24 = 0 x2 − 7x + 12 = 0

4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. x=3 y=7−3 y=4 x=4 y=7−4 y=3

1.2.5 Representaciones graficas 1.2.5.1 Funciones Dada una función f(x) definida f:Xx⟶⟼Yf(x)=y definimos la gráfica de esta función como el conjunto de puntos: {(x,y)∈X×Y | y=f(x)} o también los pares de puntos (x,f(x)). Estos puntos se pueden representar con coordenadas cartesianas en el plano XYformándose así el dibujo de la gráfica de la función f(x). Ejemplo Tomemos la función f(x)=x3. Su gráfica vendrá dada por el conjunto de puntos {(x,f(x))}={(x,x3)} variando el valor de x. Si lo representamos obtenemos el dibujo:

Pero, ¿Cómo se representa una gráfica? Para poder explicarlo debemos introducir antes el concepto de dominio e imagen de una función. En una función f(x) distinguimos dos conjuntos: uno es el conjunto de donde tomamos valores para evaluar la función (los posibles valores de x) y el otro es el conjunto formado por los diferentes valores que alcanza la función f(x). Entonces, definimos: Dominio de una función como el conjunto de valores donde evaluaremos la función. Se denota como: Dom(f).

Imagen de una función como el conjunto de valores obtenidos por la función. Se denota como: Im(f). Fijémonos que cuando notamos una función como: f:Xx⟶⟼Yf(x)=y el conjunto X es el dominio, puesto que tomaremos los valores de x de dentro de éste y la imagen estaría dentro del conjunto Y. Veámoslo mejor con algunos ejemplos: Ejemplo La función f(x)=x tiene como dominio toda la recta real, puesto que podemos evaluarla en cualquier punto, y tiene como imagen la misma recta, ya que la función es la identidad. Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞,∞) Im(f)=R=(−∞,∞) Ejemplo La función té f(x)=x2 tiene como dominio también toda la recta real (podemos evaluarla en cualquier punto) y no obstante, al ser la función "elevar al cuadrado", sólo obtenemos valores positivos. Por consiguiente su imagen será la semirecta real positiva incluyendo el cero. Por lo tanto escribiremos: Dom(f)=R=(−∞,∞) Im(f)=[0,∞) Podemos observar que el dominio puede ser un conjunto a elección nuestra (ya que podemos escogerlo más pequeño o más grande) mientras que la imagen vendrá dada por el dominio escogido. A veces, pero, nos encontramos que nuestra función por ciertos motivos no puede ser evaluada en ciertos puntos ya que no está definida, así que tendremos que excluir ciertos puntos o intervalos del dominio. Ejemplo Si tomamos la función f(x)=x+1x+1 podemos ver que cuando x=0 tenemos la expresión 10 y esta división no puede realizarse. Por consiguiente, el dominio de esta función será todos los reales exceptuando el cero: Dom(f)=R∖{0}=(−∞,0)∪(0,∞) Y la imagen será Im(f)=R∖{1}=(−∞,1)∪(1,∞) Cálculo de dominios: Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real (R) e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones: Función Conjunto de no definición f(x)=log(g(x))

{x | g(x)⩽0}= los valores de x tal que g(x) se hace negativa o cero

f(x)=g(x)−−−−√

{x | g(x)