ExamPlastCorrigés-08-10

ECOLE NATIONALE D’I NGENIEURS DE MONASTIR DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

2ème année Génie Mécanique Mécanique

Quelques Examens avec leurs Corrigés

« Plasticité » 2007/2008  –  2009/2010

A. Dogui Janvier 2011

Examens Examens e t Devoirs Devoirs Surveillé Surveillé s Textes e t Corrigés Corrigés

-

2007/2008 DS 2007/2008 Principal 2007/2008 Rattrapage

-

2008/2009 DS 2008/2009 Principal 2008/2009 Rattrapage

-

2009/2010 DS 2009/2010 Principal 2009/2010 Rattrapage

ENIM

MECA2

2007/2008

« Plasticité » Devoir surveillé

Durée 1h ; Documents non autorisés

On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σvm ( ) – σs (α ) ≤ O

& p =

3 2

 D

& α  σ 

vm

3  D:  D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σo, K et n sont des constantes positives données) : est la variable interne scalaire d’écrouissage, σvm ( ) =

α 

σs (α ) = σo + K α n On réalise un essai de cisaillement simple monotone :

⎡0 τ  0⎤ ⎢ ⎥ : τ  0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment qui plastifie le matériau. Ensuite on diminue τ jusqu’à l’annuler.

τ 

jusqu’à une valeur τ 1

Déterminer les composantes du tenseur de déformation en fonction de τ . Préciser, en particulier, les composantes du tenseur de déformation pour τ = τ 1 et à la fin de la décharge.

 Bon travail 

ENIM

MECA2

2007/2008

« Plasticité » Devoir surveillé Corrigé

Durée 1h ; Documents non autorisés

On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss : f( , α ) = σvm ( ) – σs (α ) ≤ O 3

 D

2

σ vm

& = α  &  p

3  D:  D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σo, K et n sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σvm ( ) =

σs (α ) = σo + K α n On réalise un essai de cisaillement simple monotone :

⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ : τ  1 0 0 => ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ σvm =

⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ : ½ γ  1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦

τ 

•

τ ≤ : phase élastique

γ  = τ/μ 

•

σo/

γ  = γ  + γ 

≤

e

τ ≤ τ 1 : phase élastoplastique

e

 p

γ  = τ/μ 

α = γ  /

•

τ = τ 1 :

γ  = τ 1/μ 

•

Décharge :

e

τ - σo)1/n / K 1/n => γ  =  p

=(  p

γ  =  p

(  p

γ  = γ 1  =

En fin de décharge (τ = 0) :

 p

(

τ - σo)1/n / K 1/n

τ 1 - σo)1/n / K 1/n (

τ 1 - σo)1/n / K 1/n  p

γ =γ 1  =

(

e

γ  = τ/μ 

τ 1 - σo)1/n / K 1/n

ENIM

Département de Génie Mécanique

2007/2008

Plasticité Examen principal mai 2008

Durée : 1h

Aucun document autorisé

On considère une poutre droite de longueur  L et de section droite carrée de côté 2a. La longueur  L est beaucoup plus grande que a. L’axe  x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en  x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe y. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim.

 y

F   x

Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite élastique en  z traction σ  o.

2a  L

Les forces de volume sont négligées.

1. Ce problème vérifie t-il les conditions d’applicabilité des théorèmes de l’analyse limite ?  justifier votre réponse. On choisi un champ de contrainte sous la forme suivante : ⎡σ   τ   0⎤ : ⎢⎢τ   0 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦

σ  

2

2

= c ( L-x) y ; τ   = k (a -y )

c et k sont des constantes

2. Déterminer les constantes c et k  pour que ce champ de contrainte soit statiquement admissible. 3. A partir du champ statiquement admissible obtenu, déterminer une borne inférieure de F lim.

ENIM

Département de Génie Mécanique

 y

2007/2008

Plasticité Examen principal mai 2008 CORRIGE F   x

 z

2a  L

1. Déplacement imposé nul sur la surface x = 0 Chargement nul sur les surfaces y=± a et z =± a Chargement à un seul paramètre (F ) sur la surface x=L ⇒ C’est bien un chargement proportionnel (à un seul paramètre), donc les théorèmes de l’analyse limite s’appliquent. On choisi un champ de contrainte sous la forme suivante : ⎡σ  τ  0⎤ : ⎢⎢τ  0 0⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦

σ =

2

2

c ( L-x) y ; τ = k (a -y )

2. d i v = 0 ⇒ σ  ,x + τ  ,y = 0 ⇒ CL sur y=± a et z =± a vérifiée.

c et k sont des constantes

r

CL x=L :

r

r

σ ( x ) = σ  x

r

r

+ τ  y

= k

c = -2k  a

(a -y )  y ⇒ F = 2ak ∫  (a 2 − y 2 ) dy = 2

2

r

8

−a

4

ka

3 4 ⇒ k = 3F/8a c = -3F/4a On vérifie bien que les efforts sur la surface x=L se réduit à la force F imposée. 4

3.

σ vm =

2

σ 

+ 3τ 2

3F  =

4a 4

2

2

[ y ( L-x) +

3 4

2

2 2 1/2

; Max(σ vm) = σ o ⇒ F inf 

2

2

(a -y ) ]

Il faut déterminer la valeur maximale de [ y ( L-x) + Soit : Max(σ vm) =

3 LF  2a

3

⇒

F lim ≥ F inf  =

2a 3 3 L

σ o

3 4

(a -y ) ] pour y=± a et 0 ≤ x ≤ L. 2

2 2

ENIM

Département de Génie Mécanique

2007/2008

Plasticité Examen de rattrapage  juin 2008

Durée : 1h

Aucun document autorisé

On reprend le problème de l’examen principal : On considère une poutre droite de longueur  L et de section droite carrée de côté 2a. La longueur  L est beaucoup plus grande que a. L’axe  x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0 et soumise, en  x=L, à un torseur qui se réduit, au centre d’inertie de la section droite, à une force F selon l’axe y. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de la charge limite F lim.

 y

F   x

Le matériau constituant la poutre est supposé rigide plastique parfait de limite élastique en  z traction σ  o. Les forces de volume sont négligées.

2a  L

1. On choisi un champ de vitesse sous la forme suivante : u x = u z = 0 u y = b x b est une constantes Montrer que ce champs est cinématiquement et plastiquement admissible. A partir de ce champ, déterminer une borne supérieure de F lim. 2. On choisi un autre champ de vitesse sous la forme suivante : 3 u x = u z = 0 u y = b x + c x b et c sont des constantes Montrer que ce champs est aussi cinématiquement et plastiquement admissible. A partir de ce champ, déterminer une deuxième borne supérieure de F lim.

explastr-08.doc

ENIM

Département de Génie Mécanique

2007/2008

Plasticité Examen de rattrapage  juin 2008 CORRIGE  y

F   x

 z

2a  L r

1. CL cinématiques pour x=0 vérifiées ; div u =0 ⇒ CCPA Pext  = FbL La seule composante non nulle de ε& est Pext  = Pint  ⇒

F=F sup =

4a 2 3

& ε 

12

= b/2

& = ⇒ ε 

b

⇒

3

Pint  =

4a 2 Lb 3

σ  

o

F lim ≤ F sup

σ  

o

r

2. CL cinématiques pour x=0 vérifiées ; div u =0 ⇒ CCPA 2 Pext  = FL(bL + c) La seule composante non nulle de ε& est ⇒

Pint  =

4a

2

o L

σ  

3

Pext  = Pint  ⇒

& ε 

12

2

= (3bx + c) /2 ⇒

& ε 

=

1 3

2

(3bx + c)

2

(bL + c)

F lim ≤ F sup σ   o 3 Remarque : en compliquant le CCA on n’obtient pas nécessairement une meilleure borne.

explastr-08c.doc – A. Dogui

F=F sup =

4a 2

ENIM

MECA2

2008/2009

« Plasticité » Devoir surveillé

Durée 1h ;

Documents non autorisés

On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss :  f(  , α ) = σ  (

) – σs (α ) ≤ 0

 D

3

 D

2

σ 

& = α  &  p

3  D:  D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σ o , K sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σ  (

 D

) =

σ s (α ) = σ o + K α 

On réalise un essai de traction torsion proportionnel ( x est une constante positive) :

⎡1  x 0⎤ ⎢ ⎥ : σ   x 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment σ. Déterminer la valeur de σ  (notée σ e) de début de plastification. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 2. On continue à augmenter σ  jusqu’à une valeur σ 1. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 3. On diminue maintenant σ  jusqu’à l’annuler. Déterminer, pour cette valeur nulle de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 4. Tracer l’allure des courbes σ (ε 11 ) et σ ( γ = 2ε 12 ).

 Bon travail 

ENIM - MECA2 , 2008/2009, « Plasticité », Devoir surveillé, CORRIGE

) – σs (α ) ≤ 0

 D

 f(  , α ) = σ  (

3

 D

2

σ 

& = α  &  p

σ s (α ) = σ o + K α 

On réalise un essai de traction plane : 0⎤ ⎡σ  0 ⎢ ⎥ : 0 σ  / 2 0 ⇒ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦ 0 0 ⎤ ⎡ 2 −ν  σ  ⎢ ⎥ ; e : 0 1 − 2ν  0 ⎥ 2 E  ⎢ ⎢⎣ 0 0 − 3ν ⎥⎦

• • •

Si σ  ≤ σ o ⇒ σ  ≤ Si

2

σ o ≤ σ  ≤ σ 1 :

3 Pour σ  = σ 1 :

2 3

σ o :

 p

0 ⎤ ⎡σ  / 2 0 ⎢ ⎥ ⇒ σ  = 3 σ  : 0 0 0 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ 0 0 − σ  / 2⎥⎦

 D

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ : ε  0 0 0 ; ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦  p

Décharge :

dsplas-09.DOC

2010 / 03 / 15

+

 p

 p

& = ; ε 

3 2

& α 

 p

ε  = 0

3

 p

ε  =

2

⎡ 2 −ν  3 3 + σ o )σ 1 − ⎢(  E  K  K  2 4 2 ⎢ : ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ •

e

=

 p

ε  =

α ; α =

1 K 

0

0 3

2 K 

(

3 2

3 2

σ - σ o)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 3ν  3 3 σ o ⎥ )σ 1 + −( + 2 E  4 K  2 K  ⎦ 0

1 − 2ν  2 E 

(

σ 1

σ - σ o)

2

ENIM

MECA2

2008/2009

« Plasticité » Examen principal Juin 2009

Durée 1h ;

Documents non autorisés

On considère un matériau élastoplastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss :  f(  , α ) = σ  (

) – σs (α ) ≤ 0

 D

3

 D

2

σ 

& = α  &  p

3  D:  D est la contrainte 2 équivalente de Von Mises et σs (α ) est la fonction d’écrouissage supposée identifiée sous la forme (σ o , K sont des constantes positives données) : α est la variable interne scalaire d’écrouissage, σ  (

 D

) =

σ s (α ) = σ o + K α  On réalise un essai de traction torsion proportionnel  (x est une constante positive) :

⎡1  x 0⎤ ⎢ ⎥ : σ   x 0 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. On démarre à partir d’un état initial (α =0, =0, =0) et on augment σ. Déterminer la valeur de σ  (notée σ e) de début de plastification. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 2. On continue à augmenter σ  jusqu’à une valeur σ 1. Déterminer, pour cette valeur de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 3. On diminue maintenant σ  jusqu’à l’annuler. Déterminer, pour cette valeur nulle de contrainte, les composantes du tenseur de déformation. 4. Tracer l’allure des courbes σ 11 (ε 11 ) et σ 12  ( γ = 2ε 12 ) pour les phases de charge et de décharge en indiquant les pentes des différents tronçons.

 Bon travail 

ENIM - MECA2 , 2008/2009, « Plasticité », Examen principal, CORRIGE  f(  , α ) = σ  (

) – σs (α ) ≤ 0

 D

3

 D

2

σ 

& = α  &  p

σ s (α ) = σ o + K α  On réalise un essai de traction torsion : 1. 0 ⎤ ⎡1  x 0⎤ ⎡2 / 3  x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ σ  = 1 + 3 x 2 σ  ⇒  D : σ   x 0 0 ⇒ : σ   x 0 − 1 / 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 − 1 / 3⎥⎦ (1 + ν ) x 0 ⎤ ⎡ 1 σ  ⎢ ⎥ ; e : (1 +ν ) x ν  0 − ⎥  E  ⎢ ⎢⎣ 0 0 −ν ⎥⎦

σ e =

σ o 1 + 3 x 2

2.  p

:

α  1 + 3 x 2

3 x / 2 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢3 x / 2 − 1 / 2 ⎥ ; α  = [ 1 + 3 x 2 σ - σ  ]/K 0 o ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 − 1 / 2⎥⎦

Pour σ=σ 1  :

⎡ 1 σ 1 ⎢ : (1 +ν ) x  E  ⎢ ⎢⎣ 0

(1 + ν ) x

0 ⎤

⎥ + [σ  ⎥ K  1 −ν ⎥⎦

−ν 

1

0

0

3. Décharge (σ diminue) Pour σ=0 : ⎡ 1 σ o 1 ⎢ : [σ 1 ] 3 x / 2 ⎢ K  1 + 3 x 2 ⎢ 0

3 x / 2

− 1 / 2 0

⎣

3 x / 2 0 ⎤ ⎡ 1 ⎢ ⎥ 0 ] 3 x / 2 − 1 / 2 ⎢ ⎥ 1 + 3 x 2 ⎢ 0 ⎥⎦ 0 1  /  2 − ⎣ σ o

0 ⎤

⎥ ⎥ − 1 / 2⎥⎦ 0

4. Courbes σ 11 = σ ; σ 12 = xσ 

 E' =

 EK   E + K 

σ 11

 E 

2(1 + ν )

; G’ =

GK 

3G + K 

=

 EK 

3 E + 2(1 +ν ) K 

σ 12  xσ 1

σ 1  E’

σ e  E 

G’

 xσ e  E 

G

ε 11

explasp-09.DOC

;G=

G

γ 

2

ENI Monastir

Département de Génie Mécanique

2008/2009

Plasticité Examen de rattrapage  juillet 2009

Durée : 1h

Documents non autorisés

On considère un matériau rigide plastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss. La fonction d’écrouissage est supposée linéaire (σ o et K étant des constantes positives) : σ s (α ) = σ o + K α  On réalise, sur ce matériau, une sollicitation définie comme suit :

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ = ½ γ( t) ⎢0 − 1 0⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ 1. Montrer que la réponse en contrainte est sous la forme suivante ( contrainte) :

 D

étant le déviateur de

⎡1 0 0 ⎤  D ⎢ ⎥ = τ( t) ⎢0 − 1 0⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ La sollicitation démarre d’un état initial (t=0) à déformation et contrainte nulles et α=0. On augmente ensuite γ jusqu’à une valeur γ 1. 2. Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises et en déduire la valeur de τ= τ ο  correspondent juste au début de la déformation. 3. Déterminer la valeur de τ= τ 1  correspondant à γ= γ 1 . 4. On diminue maintenant γ  jusqu’à la valeur -γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 2  correspondant à γ= −γ 1.  5. On augmente maintenant de nouveau γ jusqu’à la valeur γ 1. Déterminer la valeur de τ= τ 3  correspondant à γ= γ 1.  6. Tracer la courbe de réponse τ(γ)  correspondant à ces différentes phases de la sollicitation en indiquant précisément les coordonnées des points de transition.

explastr-09.doc

ENI Monastir

Département de Génie Mécanique

2008/2009

Plasticité, Examen de rattrapage, juillet 2009 CORRIGE On considère un matériau rigide plastique isotrope obéissant à la loi de Prandtl-Reuss. La fonction d’écrouissage est supposée linéaire (σ o et   K étant des constantes positives) :

σ  s ( α )  = σ o + K α  On réalise, sur ce matériau, une sollicitation définie comme suit :

= ½ γ( t)

1.

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ − ⎥ 1 0⎥ ⎢0 ⎢⎣0 0 0⎥⎦

Montrer que la réponse en contrainte est sous la forme suivante (

 D

&=

ε

& 3α 

 D

σ

2σ 

⇒

 D

= τ( t)

 D

étant le déviateur de contrainte) :

⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 − 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦

est sous la forme ci-dessus.

La sollicitation démarre d’un état initial (t=0) à déformation et contrainte nulles et α=0. On augmente ensuite γ jusqu’à une valeur γ 1. 2.

Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises et en déduire la valeur de τ= τ ο  correspondent juste au début de la déformation.

σ  = 3 τ  ; τ ≥  0 donc σ  = 3 τ  ⇒ 3.

Déterminer la valeur de τ= τ 1  correspondant à γ= γ 1. 

& γ & = α 

3τ  σ 

=

& 3 α 

σ  = σ ο  + K α  4.

3 τ ο  = σ ο /   

τ  τ 

; τ ≥  0 donc

α = γ /  3

⇒

τ = τ ο  +

 K  3

γ

γ & =

& 3 α 

τ  τ 

3

γ 1 

τ = - τ 1 

; τ