Examenesproba(1)

EJERCICIOS 1 c c 1. Demuestre que P( A  B )  1  P( A)  P( B)  P( A  B) DEMOSTRACION:

P(𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 ) = P(1 − A)P(1 − B) = P(1) − P(A) − P(B) + P(AB) = 1 − P(A) − P(B) + P(A ∩ B) 2. Sean A y B eventos ajenos tales que P(A) =0.3 y P(B) =0.2 Encuentre:

a. P(A  B) b. P(Ac ) c. P(Ac  B) d. P(A  Bc ) SOLUCIÓN: a) 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃 (𝐵) = 0.3 + 0.2 = 0.5 b) 𝑃 (𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0.3 = 0.7 ̅ ̅ c) 𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃 (𝐵) = (1 − 𝑃(𝐴)) ∗ 𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.2 ̅ ̅ ( ) ( ) ( ) d) 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 = 𝑃 (𝐴)(1 − 𝑃(𝐵)) = 𝑃 (𝐴) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵) = 𝑃 (𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3 3. Una enciclopedia de 5 volúmenes es colocada en el librero de modo aleatorio. Demuestre que la probabilidad de que los volúmenes queden colocados apropiadamente de derecha a izquierda o de izquierda a derecha es de 1/60. El total de casos posibles es 5! = 120. Los casos favorables son dos: 12345 y 54321. Por lo tanto la probabilidad buscada es 2/120 = 1/60. 4. Cuál es el polígono convexo cuyo número de lados es igual al número de diagonales Solución: n= número de lados o vértices Igualando el número de lados y de las diagonales se obtiene: 𝑛(𝑛 − 3) 𝑛= 2 𝑛2 − 3𝑛 𝑛= 2 2𝑛 = 𝑛2 − 3𝑛

0 = 𝑛2 − 3𝑛 − 2𝑛 0 = 𝑛2 − 5𝑛 𝑛(𝑛 − 5) = 0 𝑛 = 0; 𝑛 = 5 Como 𝑛 ≥ 1 , el resultado n = 0 no es válido. La solución es n = 5 el cual nos indica que es un pentágono. 5. Cuáles son los equipos posibles de 5 estudiantes que se pueden formar en un curso que tiene 30 estudiantes solución: 𝒏! 𝟑𝟎! 𝟑𝟎! 𝟑𝟎 ∗ 𝟐𝟗 ∗ 𝟐𝟖 ∗ 𝟐𝟕 ∗ 𝟐𝟔 𝟏𝟕𝟏𝟎𝟎𝟕𝟐𝟎 𝒏 ( )= = = = = 𝒌 (𝒏 − 𝒌)! 𝒌! (𝟑𝟎 − 𝟓)! 𝟓! 𝟐𝟓! 𝟓! 𝟓∗𝟒∗𝟑∗𝟐∗𝟏 𝟏𝟐𝟎 = 𝟏𝟒𝟐𝟓𝟎𝟔 6. Demuestre que P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) – 1 El resultado se obtiene de 1 = P(A ∪ B) = P(A) + P (B) - P(A n B) 7. La probabilidad de un cierto evento es tal que duplica la probabilidad de su complemento. ¿Cuánto vale la probabilidad de este evento? SOLUCION: P(E)= probabilidad de un evento 𝑃(𝐸 ) = 2𝑃 (𝐸 )𝐶 𝑃(𝐸 ) = 2(1 − 𝑃 (𝐸 )) 𝑃(𝐸 ) = 2 − 2𝑃 (𝐸 ) 2𝑃 (𝐸 ) + 𝑃(𝐸 ) = 2 3𝑃 (𝐸 ) = 2 2 𝑃(𝐸 ) = 3 8. ¿De cuántas maneras diferentes pueden clasificarse los tres primeros lugares de un torneo en el que participan 12 equipos? SOLUCION: 𝑛! 12! 12! = = = 12 ∗ 11 ∗ 10 = 1320 (𝑛 − 𝑘)! (12 − 3)! 9! 9. ¿De cuantas formas distintas pueden seis personas formarse en una fila lineal? SOLUCION: 𝑛=6 𝑛! = 6! = 720 10. En un grupo hay 12 mujeres y 18 hombres, ¿de cuantas formas posibles se pueden formar equipos en los hayan 2 mujeres y tres hombres? SOLUCION: 𝑛! 12! 12! 12 ∗ 11 = = = = 66 (𝑛 − 𝑘)! (12 − 2)! 2! 10! 2! 2 𝑛! 18! 18! 18 ∗ 17 ∗ 16 4896 = = = = = 816 (𝑛 − 𝑘)! 𝑘! (18 − 3)! 3! 15! 3! 6 6 66 ∗ 816 = 53856

EJERCICIOS 2 11. Sean A y B dos eventos independientes. Demuestre que: a. A c y B son independie ntes b. A y Bc son independie ntes c. A c y Bc son independie ntes

a) Como B = (AcnB)∪(AnB), se tiene que P(AcnB) = P(B)-P(AnB) =P(B) -P(A)P(B) = P(B)(1P(A)) = P(B)P(Ac) b) Análogo al primer inciso. c) P(Acn Bc) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A n B) =1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 P(A))(1 - P(B)) = P(A).c)P(Bc) 12. Sean A y B eventos independientes tales que P(A) = 0.1 y P(B) = 0.5. Encuentre: a. P( A  B)

e. P( A  B)

c

b. P(A  B)

f . P ( Ac  B )

c. P(A  B c )

g. P( A  B c )

d . P ( Ac  B c )

h. P(Ac  B c )

𝑨) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 0.1 ∗ 0.5 = 0.05 𝑩) 𝑷(𝑨𝑪 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨𝑪 )𝑷(𝑩) = (𝟏 − 𝑷(𝑨))𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 0.5 − 0.05 = 0.45 𝑪) 𝑪)𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩𝑪 ) = 𝑷(𝑨)(𝟏 − 𝑷(𝑩)) = 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 0.1 − 0.05 = 0.05 𝑪 𝑪) 𝑫)𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨𝑪 )𝑷(𝑩𝑪 ) = (𝟏 − 𝑷(𝑨))(𝟏 − 𝑷(𝑩)) = 𝟏 − 𝟐𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 1 − 2(0.1) + 0.05 = 0.85 𝑬)𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 0.1 + 0.5 − 0.05 = 0.55 𝑪 𝑭)𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨𝑪 ) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑪 ∩ 𝑩) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 1 − 0.1 + 0.05 = 0.95 𝑪) 𝑮)𝑷(𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩𝑪 ) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩𝑪 ) = 𝑷(𝑨) + 𝟏 − 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 1 − 0.5 + 0.05 = 0.55 𝑯)𝑷(𝑨𝑪 ∪ 𝑩𝑪 ) = 𝑷(𝑨𝑪 ) + 𝑷(𝑩𝑪 ) − 𝑷(𝑨𝑪 ∩ 𝑩𝑪 ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨) + 𝟏 − 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨𝑪 )𝑷(𝑩𝑪 ) = 𝟐 − 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑩) − 𝟏 + 𝟐𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 𝟏 + 𝑷(𝑨) − 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨)𝑷(𝑩) = 1 + 0.1 − 0.5 − 0.05 = 0.35

13.

Sean A y B eventos independie ntes Demuestre que : P( A  B)  1  P( Ac ) P( B c )

14. Sea P una medida de probabilidad y B un evento con probabilidad positiva. Demuestre que la probabilidad condicional P(·|B) satisface los tres axiomas de la probabilidad.

15.

Suponga que P( A)  P( B / A)  P(C / A  B)  p Demostrar : P( A  B  C )  p 3

16. Se asignan 40 problemas para un examen de probabilidad. El examen consistirá de 4 problemas escogidos al azar, y cada problema tendrá un peso de 25 puntos. Si un alumno resuelve únicamente 20 de los problemas, ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno obtenga a) cero puntos? b) 25 puntos? c) 50 puntos? d) 75 puntos?

17. La urna de Polya. Suponga que en una urna se tienen b bolas blancas y r bolas rojas. Un experimento aleatorio consiste en seleccionar una bola al azar y regresarla a la urna junto con c bolas del mismo color. Sea R n el evento " se selecciona bola roja en la n - esima extraccion" compruebe que para n  1 r P ( Rn )  r b

18. Una persona toma al azar, con idéntica probabilidad, uno de los números 1, 2 o 3, y luego tira un dado equilibrado tantas veces como indica el número escogido. Después suma el resultado de las tiradas del dado. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga un total de 5? Sean N1, N2y N3los eventos correspondientes a escoger los números 1, 2 y 3 respectivamente. Sea A el evento “obtener 5 al lanzar el dado”. Entonces P(A) = P (A|N1)P(N1) + P(A|N2)P(N2) + P(A|N3)P(N3) = 11/108. 19. En una urna se encuentran b bolas de color blanco y n bolas de color negro. A un mismo tiempo se extraen k bolas al azar y resulta que todas son del mismo color. ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas sean de color negro?

20. Se escoge al azar un dígito binario para ser enviado a través de un canal de transmisión. Se escoge el “0” con probabilidad 0.4, y se escoge el “1” con probabilidad 0.6. El canal de comunicación es ruidoso de modo que un “0” se distorsiona en un “1” con probabilidad 0.2, y un “1” se distorsiona en un ”0” con probabilidad 0.1. Encuentre la probabilidad de que a) se reciba un “0”. b) se reciba un “1”. c) se haya enviado un “0” dado que se recibió un “0”. d) se haya enviado un “1” dado que se recibió un “1”.

21. Tres caballos A, B y C participan en una carrera. El suceso “A vence a B” se designa por AB, el suceso “A vence a B, el cual vence a C” como ABC, y así sucesivamente. Se sabe que P(AB) = 2/3, P(AC) = 2/3 y P(BC) = 1/2. Además P(ABC) = P(ACB), P(BAC) = P(BCA) y P(CAB) = P(CBA). Calcular P(A venza), P(B venza), P(C venza). ¿Son AB, AC y CB independientes? El espacio muestral tiene seis elementos: E= {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} con P(ABC)=P(ACB)= a ; P(BAC)=P(BCA)=b ; P(CAB)=P(CBA)= c con 2a+2b+2c=1 P(AB)= P(ABC)+ P(ACB)+P(CAB) = 2a+c = 2/3 P(AC)= P(ABC)+P(ACB)+ P(BAC) = 2a+b = 1/2 P(BC)= P(ABC)+P(BAC)+P(BCA)= a+2b= 2/3 ==> 3ª-2ª: b-a=1/6 --> 2a+b= 2a+(a+1/6)= 3a+ 1/6 = 1/2 --> 3a= 1/3 --> a= 1/9 ; b= 5/18 1ª) c= 2/3 - 2a= 2/3 - 5/9 = 1/9 Por tanto P(A venza)= 2a= 2/9 P(B venza)= 2b= 5/9 P(C venza)= 2c= 2/9

Además

y

son independientes si y sólo si:

22. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es de 0.001. En cambio, todo cliente sin fondos pone una fecha errónea en sus cheques. El 90% de los clientes del banco tienen fondos. Se recibe hoy en caja un cheque con fecha equivocada. ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?

P (fecha equivocada | sin fondos) = 1 = P (fecha equivocada y sin fondos) / P (sin fondos) = P (fecha equivocada y sin fondos) / 0,1

O sea que: P (fecha equivocada y sin fondos) = 0,1 Después: P (fecha equivocada) = P (fecha equivocada y con fondos) + P (fecha equivocada y sin fondos) = P (fecha equivocada | con fondos) * P (con fondos) + P (fecha equivocada y sin fondos) = 0,001*0.9 + 0,1 = 0,109 Finalmente: P (sin fondos | fecha equivocada) = P (sin fondos y fecha equivocada) / P (fecha equivocada) = 0,1 / 0,109 = 0,92 aproximadamente.

EJERCICIOS 3 23. Se escogen completamente al azar y de manera independiente dos números a y b dentro del conjunto {1, 2, . . . , 9, 10}. ¿Cuál es la probabilidad de que el cociente a/b sea menor a uno? 1 1 = n 10 n 1 2 3 9 45 ∑ xi = + + + ⋯+ = 10 10 10 10 10

𝑓(x) =

1=0

n

1 1 45 45 E(X) = ∑ xi= ( )= n 10 10 100 i=0

24. Sea X una variable aleatoria con distribución bin(n, p) tal que E(X) = 4 y Var(X) = 2. ¿Cuáles son los valores de n y p? f(x) = n 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝 )𝑛−𝑥 x Var(x)=np(1-p) Var(x)=2 E(x)=4 np= 4 Sustituyendo var(x)=4(1-p) 2/4=1-p P=-(2/4)+1 P=1/2

n=8yp=½

np=4 n(1/2)=4 n=4/1/2 n=8

25. Se lanza una moneda equilibrada 6 veces. Calcule la probabilidad de que cada cara caiga exactamente 3 veces P(x)= probabilidad de que ocurra el evento P= probabilidad de éxito del evento (1 intento)=1/2 Q= probabilidad de fracaso del evento (1 intento) q=1-p ½ N=número de intentos 𝑛! 𝑝 𝑥 𝑞𝑛−𝑥 (𝑛 − 𝑥)! 𝑥! 6! (0.5)3 (0.5)3 𝑓 (𝑥) = (6 − 3)! 3! 6! (0.125)(0.125) 3! 3! 𝑓(𝑥) =

6∗5∗4 120 (0.015625) = (0.015625) = 20(0.015625) = 0.3125 3! 6 26. Se lanza una moneda equilibrada 2n veces. Calcule la probabilidad de que ambas caras caigan el mismo número de veces. P(x)=probabilidad de que ocurra el evento P=1/2 Q=1/2 X=2n/2=n N=2n 2𝑛! (. 5)𝑛 (. 5)𝑛 (2𝑛 − 𝑛)! 2 𝑓(𝑥) = (. 5)2𝑛 𝑛!

𝑓(𝑥) =

27. Suponiendo que es igualmente probable que nazca un hombre (H) o una mujer (M), y considerando la observación de 6 nacimientos. ¿Cuál de los siguientes eventos es más probable que ocurra? a) MHHMHM b) MMMMHM c) HMHMHM Los tres eventos tienen la misma probabilidad de ocurrir, cada uno de ellos tiene probabilidad 1/26

28. Sea X una variable aleatoria con distribución geo (p). Verifique que la función f(x) es efectivamente una función de probabilidad.

29. Sea X una variable aleatoria con distribución geo (p). Demuestre que para cualesquiera a, b = 0, 1, 2, . . . se cumple la siguiente propiedad llamada de pérdida de memoria: P(X ≥ a + b |X ≥ a) = P(X ≥ b).

30. Considere una urna con 3 bolas negras y 5 bolas blancas. Se escoge una bola al azar, se registra su color, y después se regresa a la urna. ¿Cuántas extracciones en promedio se necesitan realizar hasta obtener una bola negra por primera vez? 8/3=2.66 extracciones

31. Sea X una variable aleatoria con distribución Poisson (λ). Verifique que f(x) es efectivamente una función de probabilidad y demuestre que E(X) = λ, y Var(X) = λ. ∞ −λ La función 𝑓(𝑥) es no negativa y es tal que. ∑∞ 𝑥=0 𝑓(𝑥) = ∑𝑥=0 𝑒

𝑒

−λ 𝑒 = 1 Para la esperanza tenemos que 𝐸(𝑥) = ∑∞ λ=0 𝑥𝑒

−λ λ

λ

x−1 −λ λ ∑∞ 𝑥=1 𝑒 (𝑥−1)!

λx 𝑥!

λx 𝑥!

λx

= 𝑒 −λ ∑∞ 𝑥=0 𝑥! =

−λ = ∑∞ 𝑥=1 𝑒

λx (𝑥−1)!

=

= λ Usando una igualdad 𝑥 2 = 𝑥 (𝑥 − 1) + 𝑥 puede encontrarse que el

segundo momento es 𝐸 (𝑋 2 ) = λ2 + λ por lo tanton 𝑣𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸 (𝑋 2 ) − 𝐸 2 (𝑋) = λ2 + λ − λ2 = λ

32.

Sea X una variable aleatoria con distribución Poisson( ). Demuestre que para x  0, 1, 2, . . .se cumple la siguiente fórmula. Esta expresión permite calcular las probabilid ades Poisson de una forma iterativa. P( X  x  1) 

 x 1

P( X  x)

33. El número de computadoras que fallan por mes en un laboratorio de computo tiene una distribución Poisson con un promedio mensual de λ = 2 máquinas descompuestas. El laboratorio tiene capacidad para reparar hasta dos máquinas por mes. Cuando se descomponen más de dos máquinas, las restantes se envían fuera del laboratorio para su reparación. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un mes cualquiera sea necesario enviar máquinas fuera del laboratorio para su reparación? b) Responda al inciso anterior cuando se reduce la capacidad de reparación del laboratorio a una computadora por mes. c) ¿Cuál es el número de computadoras con falla más probable en un mes? a) 0.323 b) 0.593 c) Una o dos computadoras descompuestas tienen probabilidad máxima 0.2706