Exámenes PASADOS Matemática y Lenguaje

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

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CUARTA EDICIÓN CESAR CAMPOS CHAMBI

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COMPENDIO DE CURSO DE ÁLGEBRA ¡COMPENDIO DE EXÁMENES DE ADMISIÓN UMSA! MAS DE 650 PROBLEMAS RESUELTOS DE GESTIONES 2009-2021

Propiedad protegida por SENAPI (Servicio Nacional de Producción Intelectual) Con resolución administrativa Nro. 1-1105/2017

Primera Edición 2017-1000 copias Segunda Edición 2018-1000 copias Tercera Edición 2019-1000 copias Cuarta Edición 2021-1000 copias

Por tanto, queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, su tratamiento informático la transmisión de ninguna otra forma o por cualquier otro medio ya sea electrónico, mecánico por fotocopias, por registro u otros métodos sin permiso previo y por escrito del autor.

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INTRODUCCIÓN

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En las últimas gestiones el ingreso a la U.M.S.A. (Universidad Mayor de San Andrés) se ha convertido para los postulantes una gran y difícil travesía, debido a que cada año los exámenes de ingreso son de mayor dificultad exigiendo una mayor preparación y dedicación a los postulantes. Dependiendo de la carrera por la que opten existen materias fundamentales que los estudiantes tienen la obligación de dominar, en el caso de la FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y FINANCIERAS en cualquiera de sus carreras ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS, CONTADURÍA PÚBLICA Y ECONOMÍA es requisito indispensable el Álgebra para poder afrontar los Exámenes de Suficiencia Académica y los Exámenes de Proceso de Admisión Facultativa de una forma exitosa.

Es en este sentido que se ha visto muy necesario brindar a los aspirantes que desean ingresar a nuestra amada facultad una herramienta de apoyo para afrontar dichas pruebas; a razón de ello, es que se presenta un COMPENDIO DE EXÁMENES RESUELTOS extraídos de las diferentes PRUEBAS DE SUFICIENCIA ACADÉMICA y el PROCESO DE ADMISIÓN FACULTATIVA a partir de la gestión 2009 hasta la presente gestión 2021, con el propósito de brindarles un material que contiene formularios de cada de tema, más de 200 problemas propuestos con respuesta única y aproximadamente mas 65 0 ejercicios de exámenes pasados desarrollados de una forma práctica y dinámica.Esperamos que este material sea un apoyo al postúlate preuniversitario.

Cesar Campos Chambi (La Paz-Bolivia 5 de febrero del 2021)

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DEDICATORIA

A todos mis estudiantes, ex estudiantes y amigos.

AGRADECIMIENTOS

Alla por el año 2014 el presente libro fue transcrito por primera vez a formato digital por mi amiga Lorena Rosmery Vargas el cual solo contaba con 45 páginas y año tras años se fue mejorando gracias al apoyo de todo el grupo de amigos de la Consultora Académica SUMO.

CONTENIDO

FORMULARIOS………………………………………………………………………………………………9 CAPÍTULO II.

TEORÍA DE CONJUNTOS……………………………………………………….21

CAPÍTULO III.

TEORÍA DE EXPONENTES …………………………………………………..…35

CAPÍTULO IV.

ECUACIONES EXPONENCIALES..........…………………………………………45

CAPÍTULO V.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS...…………………………………………………48

CAPÍTULO VI.

PRODUCTOS NOTABLES..……………………………………………………….52

CAPÍTULO VII.

DIVISIÓNALGEBRAICA………………………………………………………….58

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LÓGICA………………………………………………………………………………..19

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CAPÍTULO I.

CAPÍTULO VIII. COCIENTES NOTABLES………………………………………………………….65 CAPÍTULO IX.

FACTORIZACIÓN…………………………………………………………………..71

CAPÍTULO X.

RACIONALIZACIÓN……………………………………………………………….81

CAPÍTULO XI.

FRACCIONES ALGEBRAICAS...………………………………………………….95

CAPÍTULO XII.

ANÁLISIS COMBINATORIO……………………………………………….…..120

CAPÍTULO XIII. BINOMIO DE NEWTON…………………………………………………………122 CAPÍTULO XIV. TEORÍA DE ECUACIÓNES………………………………………………………126 CAPÍTULO XV.

SISTEMAS DE ECUACIONES…………………………………………………..143

CAPÍTULO XVI. PLANTEO DE ECUACIÓNES…………………………………………………..157 CAPÍTULO XVII. INECUACIONES…………………………………………………………………….168 CAPÍTULO XVIII. PROGRESIONES……………………………………………………………………171 CAPÍTULO XIX. LOGARITMOS……………………………………………………………………….188 CAPÍTULO XX.

TRIGONOMETRÍA…………………………………………………………………206

CAPÍTULO XXI. PROBLEMAS PROPUESTOS....…………………………………………………..215

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FORMULARIOS

capí-

OPERACIONES CON CONJUNTOS

A

B

A

B

A

B

U

La unión o reunión de dos conjuntos A y B está formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.

C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

A = {a, e, i, o, u} ; B = {1, 4,9,16}

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A, pero, no pertenecen a B

b) Por compresión o en forma constructiva. Es cuando se enuncian sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común

A = { x / x ∈ es una vocal} B = { x / x ∈  ∧1 ≤ x ≤ 4}

Se denomina diferencia simétrica de A y B al conjunto formado por la unión de A-B con B-A

2

CONJUNTOS ESPECIALES a) Conjunto vacío Es el conjunto que carece de elementos denotado por B = { x / x ∈  ∧ 3 < x < 4} { }o∅

A = { x / x ∈  ∧ 8 < x < 10} = {9}

c) Conjunto Universal Es un conjunto referencial que se toma para el estudio de otros conjuntos incluidos en el. No existe un conjunto universal absoluto y se denota generalmente por U.

A = {Los gatos} ; A = {Los tigres}

SOLO UN ELEMENTO A

B

Los posibles conjuntos universales que contienen a los conjuntos anteriores son

U1 = {Los Animales} U 2 = {Los felinos} U 3 = {Los mamiferos}

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS a) Inclusión Se dice que un conjunto A esta incluido en el conjunto B, si todos los elementos de A son también elementos de B A = {1,10, 20, 23,51} B = {23, 51} Entonces decimo que B ⊂ A b) Igualdad

C

ALMENOS DOS ELEMENTOS A

B

Dos conjuntos son iguales si el primero está incluido en el segundo y viceversa.

{

A = 22 ; 36; 23

}

B = {4;6;8}

Entonces decimo que A = B c) Conjuntos disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no poseen elemento en común

A

C

ALMENOS UN ELEMENTO A

B

A = { x / xes un numero par} A = { x / xes un numero impar}

U

U

U

B

A

Si A es un conjunto del universo el complemento de A es un conjunto formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A y se denota por AC

b) Conjunto Unitario o singleton Es aquel conjunto que solo tiene un solo elemento

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a) Por extensión o en forma tabular Es cuando se listan o enumeran uno a uno sus elementos

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La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de los elementos que son comunes en A y B, es decir, aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B

Se entiende como conjunto a toda reunión, colección o agrupación de objetos reales o ideales llamados elementos del conjunto, estos elementos estarán determinados por una propiedad común. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

U

U

U

AC

SOLO DOS ELEMENTOS A

B

U

C

LOS TRES ELEMENTOS A

B

U

C

SI A OCURRE TAMBIEN OCURRE B B A

CLASES DE CONJUNTOS a) Conjunto finito

Cuando posee una cantidad limitada de elementos b) Conjunto infinito Cuando posee una cantidad ilimitada de elementos.

U

C

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U

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TEORÍA DE CONJUNTOS

C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

Raíz de una división: a na n = b nb Raíz de una raíz: m n

POTENCIACIÓN  b = base  n Notacion : b = P  n = exponente  P = potencia  x n =  x ⋅ x ⋅ x  ⋅ x  x

m

p

a n b c = m a ⋅ m⋅n b ⋅

a m n a m n a m  ∞ radicales = n −1 a m

n

a ÷ n a ÷ n a ÷  = n +1 a

No olvide que : ( − x ) = 1 0

Multiplicación de bases iguales:

a = n +1 a a n 

n

a m ⋅ a n = a m+n Exponente negativo:

a

−n

n

b =  a

n

División de bases iguales:

n

( )

Potencia de un producto: n

n

an a   = n b b

a

m

np

q

m

nx

=a

m

y

=a

x

=a→x= a a

 (−) z

 = signo radical  n índice radical =  a =b→  a = radicando b = raíz 

Exponente fraccionario: n

Corolario:

 (+)

RADICACIÓN

n

Ley de semejanza o analogía:

NO OLVIDE QUE n

an a =  = n b b

=a

x a = xb → a = b

xx

Corolario:

b   a

ECUACIONES EXPONENCIALES

a a = bb → a = b

= a n ⋅ bn

Potencia de un cociente:

−n

"m" veces

m

am = n a = a

m n

Raíz de un producto: n a ⋅b = n a ⋅ n b

n m −1 n −1

Ley de bases iguales: p

 a m n  = a m⋅n⋅ p  

= a m⋅n

(a ⋅ b)

m

ax = bx → a = b

Potencia de potencia: m

n

x x n x n x  n x = n x 

Ley de exponentes iguales:

am = a m−n an

(a )

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x 0 = 1; ∀x ∈ ; x ≠ 0

a   b

c

n

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"n" veces

1 = n a

m⋅ n ⋅ p

Expresiones ilimitadas:

Exponente cero:

−n

a = m⋅n a

par

=+

impar

= −  (+)

 par + = + 



impar

 (−)

par

+ =+

par

impar

=+

=+

− = i ( imaginario )

 impar − = −

ERRORES COMUNES n

23 x ≠ 6 x

a±b ≠ n a ± n b

(a ± b)

n

≠ a n ± bn

3 ⋅ 6 x ≠ 18 x

3m + 4m ≠ 7 m

(5 ) 2

3

3

≠ 52

x 7 + x8 ≠ x15

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TEORÍA DE exponentes

capí-

PRODUCTOS NOTABLES  ( a 2 + a + 1)( a 2 − a + 1) = a 4 + a 2 + 1

 ( a 2 + ab + b 2 )( a 2 − ab + b 2 ) = a 4 + a 2b 2 + b 4

 ( a 2 m + a mb n + b 2 n )( a 2 m − a mb n + b 2 n ) = a 4 m + a 2 mb 2 n + b 4 n

C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

Trinomio cuadrado perfecto

Identidades adicionales

 ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2 2

( a + b )( a + c )( b + c ) + abc = ( a + b + c )( ab + ac + bc )

Diferencia de cuadrados

3

3

3

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( a + b ) − ( a − b ) = 2b ( 3a 2 + b 2 )

No olvide que 2n

3

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 ( a + b ) + ( a − b ) = 2a ( a 2 + 3b 2 )

 a 2 − b 2 = ( a + b )( a − b )  ( a − b ) = (b − a )

Multiplicación de binomios con un término en común

2n

Trinomio al cuadrado

( x + a )( x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + ab

Forma desarrollada

( x + a )( x + b )( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x 2 + ( ab + ac + bc ) x + abc

 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc 2

Forma abreviada

( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + ac + bc ) 2

Identidad de legendre ( a + b ) + ( a − b ) = 2 ( a + b 2

2

2

2

)

Igualdades condicionales

Si: a + b + c = 0 entonces se cumple que  a 3 + b3 + c3 = 3abc

 a 2 + b 2 + c 2 = −2 ( ab + ac + bc )

 ( ab + ac + bc ) = ( ab ) + ( ac ) + ( bc ) 2

2

2

( a + b ) − ( a − b ) = 4ab

( a 2 + b2 + c2 ) = 2 ( a 4 + b4 + c4 )

( a − b ) − ( a + b ) = −4ab

 a 4 + b 4 + c 4 = 2 ( a 2b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 )

2

2

2

2

 ( a + b ) − ( a − b ) = 8ab ( a 2 + b 2 ) 4

4

Desarrollo de un binomio al cubo Forma desarrollada

2

 a 2 + b 2 + c 2   a 3 + b3 + c 3  a 5 + b5 + c 5  = 2 3 5   



3

 ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 3

 a 2 + b 2 + c 2   a 5 + b5 + c 5  a 7 + b 7 + c 7  = 2 5 7   



Forma abreviada

 ( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab ( a + b ) 3

 ( a − b ) = a 3 − b3 − 3ab ( a − b ) 3

Suma y diferencia de cubos

 a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

 a + b = ( a + b ) ( a − ab + b 3

2

2

)

Desarrollo de un trinomio al cubo

2

 a 5 + b5 + c5 = −5abc ( ab + ac + bc )

 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3

3

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Identidad trinómica de Argand

Propiedades válidas para números reales, si

{a, b, c} ∈ 

 Si : a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc Cumpleque : a = b = c

 Si : a 2 + b 2 + c 2 = 0 Cumpleque : a = b = c = 0

( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( a + c )( b + c ) 3

 ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b + c )( ab + ac + bc ) − 3abc 3

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x : primer término del divisor y : segundo término del divisor

xn ± y n ;n∈ ∧ n ≥ 2 x± y Mediante la combinación de los signos se presentarán cuatro casos CASO i xn − y n ; Es cociente notable, ∀ n ∈ x− y CASO ii

CASO iii

CASO vi

xn − y n ; Es cociente notable, si "n" es par x+ y xn + y n ; Es cociente notable, si "n" es impar x+ y xn + y n ; No genera cociente notable x− y

desarrollo de un cociente notable

xn − y n = x n −1 + x n − 2 y + x n −3 y 2 +  + y n −1 x− y Si el divisor es NEGATIVO todos los términos del desarrollo tienen signo positivo.

xn + y n = x n −1 − x n − 2 y + x n −3 y 2 −  + y n −1 x+ y Si el divisor es POSITIVO todos los términos del desarrollo tendrán signo alternado (+,-,+,-,+...), los termino de lugar IMPAR son positivos, los términos de lugar PAR son negativos.

TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE xn ± y n ;n∈ ∧ n ≥ 2 x± y Un termino cualquiera de lugar ¨k¨ de la parte entera del cociente, se calcula mediante la fórmula general.

Tk = ( signo ) x n−k y k −1

k : lugar que ocupa el término

Para hallar un término contando del extremo final puedes cambiar exponentes

Tk = ( signo ) x k −1 y n −k

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Es una división exacta donde se obtiene el cociente sin efectuar la división. Las divisiones que dan origen a estos cocientes notables son de la forma

n : número de términos del C.N.

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RELACIÓN DE LOS EXPONENTES DE LOS COCIENTES NOTABLES

xm ± y n m n ;cumple que; = = r p q x ±y p q Homogenizando bases y llevando a la forma general de un cociente notable cumple que m

n

x ±y x p ± yq

m p

n q q

(x ) ±( y ) =

m n = =r p q

p

x p ± yq

donde : r ∈  ∧ r ≥ 2

Siendo ¨r¨ el número de términos

TERMINO CENTRAL DE LA PARTE ENTERA DE UN COCIENTE NOTABLE Cumple que:

Se tiene la división indicada :

xn ± y n ;n ≥ 2 x± y

Si ¨n¨ es un número impar: el cociente notable admite un solo termino central, cuya posición se calcula así n +1 2 Si ¨n¨ es un número par: El cociente notable admite dos términos centrales, cuyas posiciones se calculan así. Lugar Tc =

Lugar Tc1 =

n 2

Lugar Tc2 =

n+2 2

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COCIENTES NOTABLES

capí-

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fracciones algebraicas DESCOMPOSICIÓN DE FRACCIONES EN FRACCIONES PARCIALES Condiciones necesarias para transformar fracciones en fracciones simples

A± B

Primera forma:

A± B =

C = A2 − B

Donde

A+C A−C ± 2 2

La fracción debe ser propia, es decir

N( x) D( x )

“C” es una expresión racional

Segunda forma (Trinomio cuadrado perfecto):

En el caso de presentarse una fracción impropia debe efectuarse la división por el método conveniente, de modo que se obtenga un polinomio más una fracción propia, es decir:

A + B ± 2 AB = A ± B

D( x ) d( x )

CONVERSIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES DE LA FORMA: Para poder llevar esto radicales dobles a radicales simples llevamos a la forma de un trinomio al cuadrado

A + B + C + 2 AB + 2 AC + 2 BC = A + B + C 3

El cual sera:

= q( x ) +

R( x ) d( x )

La fracción debe ser irreductible, en caso contrario debe simplificarse al máximo

A+ B + C + D

CONVERSIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES DE LA FORMA:

Dondeel grado de D( x ) > N ( x )

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CONVERSIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES DE LA FORMA

Consideremos una fracción donde el numerador y denominador son polinomios en función de una variable.

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3

A± B

A± B = x± y

C = 3 A2 − B (debe ser una raíz exacta) 4 x3 − 3 xC = A

Debe existir:

Para realizar la operación de transformar una fracción en fracciones simples se debe factorizar el denominador

PRIMER CASO:

N( x )

y D( x ) D( x ) se descompone en factores lineales de la forma

Cuando se presenta la fracción

( ax ± b )

diferentes, es decir:

D( x ) = ( x ± b1 )( x ± b2 )( x ± b3 ) ( x ± bn )

También: (para hallar el valor de “x” aplicamos el método de Ruffini o deducimos el valor que compruebe la igualdad) A su vez: y = x2 − C Primer caso:

Donde A1 , A2 , An son constantes por determinar

Denominador De la forma

SEGUNDO CASO:

n

A

Factor Racionalizante n

m

Segundo caso: Denominador De la forma

A

3

n−m

Cuando se presenta la fracción

A

Factor Racionalizante

Denominador Racionalizado

es un factor de la forma

N( x ) D( x )

( ax ± b )

n

y D( x )

D( x ) = ( ax ± b )

En este caso la descomposición será

a− b

a+ b

a −b

N( x)

a+ b

a− b

a −b

Donde A1 , A2 , An son constantes por determinar

Tercer caso Denominador De la forma

3

Denominador Racionalizado

En este caso la descomposición será: N( x) A A A A = 1 + 2 + 3 +  + n x ± bn D( x ) x ± b1 x ± b 2 x ± b3

Factor Racionalizante

D( x )

Denominador racionalizado

2

2

a+b

2

2

a −b

3

a+3b

3

a − 3 ab + 3 b

3

a−3b

3

a + 3 ab + 3 b

2

2

3

a+3b

a+b

2

2

3

a− b

a −b

a − 3 ab + 3 b a + 3 ab + 3 b

3

=

A1

+

A2

+

A3

( ax ± b ) ( ax ± b )2 ( ax ± b )3

TERCER CASO

Cuando se presenta la fracción

+ +

N( x ) D( x )

An

( ax ± b )

y D( x )

se descompone en factores cuadráticos irreductibles

(

n

)(

)

D( x ) = a1 x 2 + b1 x + c1 a2 x 2 + b2 x + c2  En este caso la descomposición será

N( x) D( x )

=

A1 x + B1 A2 x + B2 + +  2 a1x + b1x + c1 a 2 x 2 ± b 2 x + c 2

Donde A1 , A2 , An son constantes por determinar

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n

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES BINÓMICOS n Si el binomio es de la forma ( x + y ) ; n ∈  desarrollo en forma general será C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

FACTORIAL DE UN NÚMERO Es la multiplicación de todos los números enteros positivos desde la unidad hasta el número considerado. Se escribe " n !" o " n " n ∈  y se lee como factorial de “n”. denotado así:

( x + y)

n

= C 0n x n + C1n x n−1 y + C 2n x n−2 y 2 +… + C nn y n

En el desarrollo encontramos que: El número de término del desarrollo de un binomio es la potencia del binomio más uno

Los signos de los términos en los desarrollos

1! = 1 = 1 3! = 3 ⋅ 2 ⋅1 = 6

n

= +; −; +; −; +

T( k +1) = Ckn ⋅ x n − k ⋅ y k

6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 720

T( k +1) → término de lugar

1! = 1 Por convención se tiene: 0! = 1 COMBINATORIA DE UN NÚMERO n! Ckn = ;k ≤ n k !⋅ ( n − k )! Por definición se tiene:

Ckn = Cnn− k

k en k

x, y → Primer y segundo término del binomio

n→ C0n = 1 n C = ⋅ Ckn−−11 k n k

n − k +1 n ⋅ Ck −1 k

Ckn =

n ⋅ Ckn −1 n−k

TRÍANGULO DE PASCAL Es una regla práctica que nos permite obtener los coeficientes del desarrollo de un binomio de exponente entero y positivo que sería el siguiente.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

→ (a + b) 1 → (a + b)

0

→ (a + b)

2

→ (a + b)

3

→ (a + b) → (a + b)

respectivamente.

Exponente del binomio

T( k +1) = Ckn ⋅ x n − k ⋅ y k → Contando desde el inicio

Cnn = 1 =n

( k + 1)

Ckn → Combinación de n elementos tomados de

Propiedades de los números combinatorios

Ckn =

( x − y)

Para hallar un término cualquiera en un binomio:

5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120

C =C

= +; +; +; +; +

CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL

4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24

n n −1

n

Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales (por propiedad de combinaciones complementarios)

2! = 2 ⋅1 = 2

n 1

( x + y)

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Aquí tenemos el cálculo de los seis primeros factoriales

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n ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3…. ( n − 2 ) ⋅ ( n − 1) ⋅ n , o también n ! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 )….3 ⋅ 2 ⋅1 ; n ∈ 

Su desarrollo se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus dos bases, donde el exponente de la primera base “x” va en forma descendente ( n, n − 1, n − 2, 0 ) y el exponente de la segunda base va en forma ascendente (1, 2, 3,n )

4

5

T( k +1) = Ckn ⋅ y n − k ⋅ x k → Contando desde el final Suma de coeficientes para binomios de la forma

( x + y)

n

; n ∈  es 2n

En el desarrollo de

(x

m

+ yn

)

p

o

( ax

m

+ by n

)

se tiene que la suma de grados absolutos

∑G.A. = ( m + n ) ⋅

p ( p + 1)

CÁLCULO DEL TÉRMINO CENTRAL

2

Recibe este nombre aquel término que equidista de los extremos. Si “n” es par el binomio tendrá un solo término n n central. Tcentral = Tn = C nn ⋅ a 2 ⋅ b 2 2

+1

2

Si “n” es impar el binomio tendrá dos términos centrales, los lugares que ocupan son: n −1 n +1 Lugar (TC 2 ) = +1 Lugar (TC1 ) = +1 2 2

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p

COMPENDIO DE EXÁMENES DE ADMISIIÓN-CESAR CAMPOS CHAMBI

BINOMIO DE NEWTON

capí-

ESTUDIO DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

También llamada ecuaciones de primer grado, son ecuaciones polinomiales que se presentan de la forma general:

P( x ) = ax + b = 0 ; a, b ≠ 0

Donde “x” es la variable y a, b son constantes (parámetros) diferentes de cero b ax + b = 0; ax = −b; x = − Resolución: a

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL Si, a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 la solución de la ecuación será:  a −   b

Si ∆ > 0 , las raíces de la ecuación son diferentes y reales. La ecuación presenta dos soluciones. { x1 ≠ x2}

Si ∆ = 0 las raíces de la ecuación son iguales y reales. La ecuación posee una solución única. { x1 = x2} Si ∆ < 0 las raíces son complejas no reales y conjugadas

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA (TEOREMA DE VIETE). Si, x1 : x2 son raíces de la ecuación cuadrática: Entonces se cumple. Suma de raíces

Entonces decimos que la ecuación compatible determinada Si, a ≠ 0 ∧ b = 0 la solución de la ecuación será única o que es lo mismo: la ecuación es compatible determinada. Si, a = 0 ∧ b = 0 la ecuación tendrá infinitas soluciones, pues se demuestra para cualquier valor de la variable. Si, a = 0 ∧ b ≠ 0 la ecuación no tiene soluciones, ecuación incompatible o absurda, dado que no se verifica para ningún valor de la variable

ECUACIONES CUADRÁTICAS

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ECUACIONES LINEALES

Según al valor de la discriminante ∆ = b 2 − 4ac se estudiarán la naturaleza de las raíces de la ecuación de la siguiente manera:

CONSULTORA - ACADEMICA

C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

x1 + x2 = −

Producto de raíces

x1 ⋅ x2 =

Diferencia de raíces

x1 − x2 =

b a

c a

∆ a

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA A PARTIR DE SUS RAÍCES Si: x = x1 y x = x2

S = x1 + x2 Suma de raíces Llamadas también ecuaciones de segundo grado, P = x1 ⋅ x2 Producto de raíces son aquellas que pueden reducirse a la forma general. Así generalizamos en 2

ax + bx + c = 0 ; a ≠ 0

2

ax Término cuadrático

bx Término lineal

c Término independiente Donde a, b, y c son coeficientes respectivos

RESOLUCIÓN POR LA FÓRMULA GENERAL

2

Dado una ecuación de la forma: ax + bx + c = 0 Cumple que:

−b ± b 2 − 4ac x(1,2 ) = 2a

−b + ∆ −b − ∆ Donde : x1 = y x2 = 2a 2a Dado que:

∆ = b 2 − 4ac

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teoria de ecuaciones

x2 − S ⋅ x + P = 0

PROPIEDADES AUXILIARES Raíces recíprocas x1 =

1 c o → x1 ⋅ x2 = 1 → = 1 → c = a x2 a

Raíces simétricas x1 + x2 = 0 → −

b =0→b=0 a

Una raíz es la mitad del recíproco de la segunda. x1 =

1 1 ⋅ → 2 x1 ⋅ x2 = 1 → 2c = a 2 x2

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Propiedades operativas

log a m + log a n = log a m ⋅ n

C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

log a m − log a n = log a

x logb N = x ↔ b = N , N > 0; b > 0, b ≠ 1  Forma Forma Logarítmica

Exponencial

La forma logarítmica se lee: “x” es el logaritmo de “N” en base “a” Donde:

log → Operador de la logaritmación N → Número propuesto

b → Base del logaritmo

x→

Logaritmo (Exponente de base “b”)

Así definimos que:

logb N = x ↔ b x = N x

b = N ↔ logb N = x

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Por definición tenemos que:

logb a = R ↔ b R = a Derivado de la definición:

a

log a b

=b

Propiedades generales:

CONSULTORA - ACADEMICA

Un número real positivo ( N > 0 ) en una base ( b > 0 ; b ≠ 1) al exponente “x” a que debe elevarse Casos especiales: x b = N la base “b” de manera que cumpla

log a m − log a n + log a p − log a q = log a

log a m = log

(a)

n

( m )n = log n a n m = loga m

logb b n = n Cambio de base log x n log a n = log x a log a n =

m⋅ p n⋅q

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log a m n = n ⋅ log a m

m n

1 log n a

Regla de la cadena

log a b ⋅ logb m ⋅ log m n ⋅ log n q = log a q Cologaritmo:

1 co log a b = log a   = − log a b b

Antilogaritmo

antilog ab = a b

Propiedades adicionales log 1 n = − log a n a

log a p m n =

n ⋅ log a m p

log a a = 1

a log m b = blog m a

log a 1 = 0

log nb a = ( logb a )

n

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COMPENDIO DE EXÁMENES DE ADMISIIÓN-CESAR CAMPOS CHAMBI

LOGARITMOS

capí-

an = a1 + ( n − 1) r

Término enésimo:

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PROGRESIÓN ARITMÉTICA Término central: siendo “n” impar o la P.A. admitirá un único término central de la forma

Suma de términos

 a + a1  sn =  n n  2 

 2a + ( n − 1) r  sn =  1 n 2  

÷a1; ( a1 + r ) ; ( a1 + 2r ) ; ( a1 + 3r ) ;……;  a1 + ( n − 1) r  Razón de la P.A. Inicio de la P.A. a1 Número de términos de la P.A. n Suma de los “n” términos de una P.A. S n Término de lugar “n” o último término de P.A.

r

 2a − ( n − 1) r  sn =  n n 2  

an

CLASES DE PROGRESIONES ARITMÉTICAS Progresión Aritmética creciente, cuando la razón es positiva(r>0) es creciente Progresión Aritmética decreciente, cuando la razón es negativa(r 0)

t1 1− q

tc = t1 ⋅ tn

Cuando la razón es positiva y se encuentra entre

( 0 < q < 1)

Progresión geométrica oscilante

Producto de “n” términos de una P.G. Pn =

( t1 ⋅ tn )n

INTERPOLACIÓN DE MEDIO GEOMÉTRICOS

( q < 0)

" n " tér min os  a:  :b 

Progresión Geométrica trivial o alternados

” m ” medios geométri cos

( q = 1)

Razón de interpolación

FORMAS REPRESENTAR UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Cuando se desconoce el número de términos:

(

q −1

tn ⋅ q − t1 q −1

En una progresión geométrica limitada de un número de términos impar, el término central será

Progresión Geométrica decreciente

Cuando la razón es

sn =

S∞ =

Progresión Geométrica creciente

Es cuando la razón es

)

Suma de una P.G. decrecientes y de infinitos términos

CLASES DE PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Cuando la razón es positiva

(

t1 ⋅ q n − 1

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(

t1 : ( t1 ⋅ q ) : t1 ⋅ q 2 : t1 ⋅ q3 :  : t n ⋅ q n −1

CONSULTORA - ACADEMICA

Sucesión de números donde el primer término es Razón de una Progresión Geométrica diferente de cero y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad Si se tiene la P.G. t1 : t2 : t3 : t4 :  : tn constante llamada razón el cual es diferente de cero. t t t t También llamadas progresiones por cocientes. La razón será: q = 2 = 3 = 4 =  = n t1 : t 2 : t 3 : t 4 :  : t n t1 t2 t3 tn −1

)(

)

t1 : ( t1 ⋅ q ) : t1 ⋅ q 2 : t1 ⋅ q3 : …….  t  t  …… :  12  :  1  : t1 : ( t1 ⋅ q ) : t1 ⋅ q 2 : …… q  q    

)

Tambien

q = Medios geométri cos +1

Final dela P.G. Iniciodela P.G.

En una P.G. el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos

 t   t  t  … :  15  :  13  :  1  : ( t1 ⋅ q ) : t1 ⋅ q3 : t1 ⋅ q5 : … q  q  q      

)(

b a

tn = tn −1 ⋅ tn +1

Cuando el número de términos es par:

(

q = m +1

En toda progresión geométrica limitada se cumple que, un término cualquiera diferente del primero y último será igual a la raíz cuadrada del producto de sus términos adyacentes, es decir:

Cuando el número de términos es impar:

(

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PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

)

t1, t2 , t3 ,……., tn − 2 , tn −1, tn Cumple que:

t1 ⋅ tn = t2 ⋅ tn −1 = t3 ⋅ tn − 2 = …

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capí-

IDENTIDADES DE ÁNGULOS COMPUESTOS

B

β c

A

a

a b a senα = ; cosα = ; tan α = c c b

cscα =

α

C

b

c c b ; secα = ; cot α = a b a

Razones trigonométricas reciprocas 1 senα 1 cos α ⋅ sec α = 1→ secα = cos α senα ⋅ csc α = 1 → csc α =

1 tan α

tan α ⋅ cot α = 1→ cot α =

Identidades trigonométricas por división tan x =

senx cos x

; cot x =

cos x senx

Identidades trigonométricas pitagóricas sec 2 x − tan 2 x = 1 sen 2 x + cos 2 x = 1

Identidades trigonométricas auxiliares tan x + cot x = sec x ⋅ csc x 2

2

sen 4 x + cos 4 x = 1 − 2sen 2 x ⋅ cos 2 x 6

2

2

sen x + cos x = 1 − 3sen x ⋅ cos x

(1 ± senx ± cos x )2 = 2 (1 ± senx )(1 ± cos x ) Para el seno: Si: senα = N , Un valor de α es: α = arcsenN En general: a = kπ + ( −1) arcsenN , k ∈ k

Para el coseno: Si: cos α = N , Un valor de α es: α = arc cos N

Tangente de una suma o diferencia tan ( x ± y ) =

IDENTIDADES DEL ANGULO DOBLE sen ( 2 x ) = 2senx ⋅ cos x tan ( 2 x ) =

2 tan x

1 − tan 2 x

cos ( 2 x ) = cos2 x − sen 2 x

IDENTIDADES DE ÁNGULO MITAD Y TRIPLE 1 − cos x x sen   = ± 2 2  

1 + cos x x cos   = ± 2 2

sen ( 3x ) = 3senx − 4sen 3 x

1 − cos x x tan   = ± 1 + cos x 2

tan ( 3x ) =

3tan x − tan 3 x 1 − 3tan 2 x

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Para el caso de suma o diferencia de dos senos y cosenos a producto  A+ B   A− B  senA + senB = 2 sen   cos    2   2   A− B   A+ B  senA − senB = 2 sen   cos    2   2 

 A+ B   A− B  cos A + cos B = 2cos   cos    2   2  A + B A − B     cos B − cos A = 2sen   sen    2   2 

Para el caso de producto de dos términos senos y cosenos a suma o diferencia. 2cos xseny = sen ( x + y ) − sen ( x − y )

Para la tangente:

α

tan x ± tan y 1  tan x ⋅ tan y

2senx cos y = sen ( x + y ) + sen ( x − y )

En general: a = 2kπ ± arc cos N , k ∈

Si: tan α = N , Un valor de

cos ( x ± y ) = cos x ⋅ cos y  senx ⋅ seny

cos ( 3x ) = 4cos3 x − 3cos x

2

sec x + csc x = sec x ⋅ csc x 6

Coseno de una suma o diferencia

ÁNGULO TRIPLE

csc2 x − cot 2 x = 1

2

sen ( x ± y ) = senx ⋅ cos y ± cos x ⋅ seny

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS

Seno de una suma o diferencia

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C O N S U LT O R A D E E X c E L E N C I A A C A D É M I C A

es:

α = arc tan N

En general: a = kπ + arc tan N , k ∈ 

2cos x cos y = cos ( x + y ) + cos ( x − y ) 2senxseny = cos ( x − y ) − cos ( x + y )

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TRIGONOMETRÍA

VALORES EXACTOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

15

π /12

0

Sin A 0

1 ( 6 − 2) 4

30

π /6

1/2

45

π /4

1 2 2

60

π /3

75

5π /12

90

π /2

105

1 3 2

Cos A 1

1 ( 6 + 2) 4

1 3 2

1 2 2

Tan A 0

Cot A ∞

Sec A 1

Csc A ∞

2− 3

2+ 3

6− 2

6+ 2

1 3 3

1

1/2

1 ( 6 + 2) 4

1 ( 6 − 2) 4

7π /12

1 ( 6 + 2) 4

-1(

120

2π / 3

1 3 2

135

3π / 4

150

3

2 3 3

3

1

1 3 3

2

2 2

2 2 3 3

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A(rad)

CONSULTORA - ACADEMICA

A(°) 0

2+ 3

2− 3

6+ 2

6− 2

±∞

0

±∞

1

-( 2 + 3 )

-( 2 − 3 )

-( 6 + 2 )

6− 2

-1/2

- 3

-1 3

-2

1 2 2

-1 2

2 3 3

-1

-1

- 2

2

5π / 6

1/2

-

1 3 2

-1 3

- 3

-2 3

2

165

11π /12

1 ( 6 − 2) 4

- 1 ( 6 + 2)

-( 2 − 3 )

-( 2 + 3 )

-( 6 − 2 )

6+ 2

180

π

0

-1

0

∞

-1

±∞

- 1 ( 6 + 2) 4

2− 3

2+ 3

-( 6 − 2 )

-( 6 + 2 )

-1 3

1 3 3

3

-2 3

-2

1

- 2

- 2

1 3 3

-2

-2 3

2+ 3

2− 3

-( 6 + 2 )

-( 6 − 2 )

0

±∞

0

∞

-1

1 ( 6 − 2) 4

-( 2 + 3 )

-( 2 − 3 )

6+ 2

-( 6 − 2 )

1/2

- 3

-1 3

2

-2 3

1 2 2

-1

-1

2

- 2

1 3 2

-1 3

- 3

2 3 3

-2

1 ( 6 + 2) 4

-( 2 − 3 )

-( 2 + 3 )

6− 2

-( 6 + 2 )

1

0

∞

1

∞

1

-1(

195

13π /12

210

7π / 6

-1/2

225

5π / 4

-1 2

240

4π / 3

-

255

17π /12

- 1 ( 6 + 2)

270

3π / 2

-1

285

19π /12

300

5π / 3

315

7π / 4

330

11π / 6

345

23π /12

60

2π

4

6 − 2)

0

4

2

4

2 -1 2 2

2

1 3 2

4

-1( 4

6 + 2)

-1 3 2 1 - 2 2

-1/2 -1( 4

6 − 2)

0

6 − 2)

3

1

-1/2 -1( 4

6 − 2)

3

3

3

3

3

3

3

3

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COMPENDIO DE EXÁMENES DE ADMISIIÓN-CESAR CAMPOS CHAMBI

funciones trigonometricas

capítulo-i lógica prosicional LÓGICA

lógica prosicional

PROBLEMA N° 1

             III.  P( 3)  P( 2)    R( 2)  ~ Q( 3)    ~ Q( 3)  ~ P( −3)         F  F  F  V   V   V  

PREFA 2015 2 Si: = P( x) : x3 27 ; Q = 9; R( x ) : x  10 ( x) : x

Hallar el valor de verdad de: I.  P(1) → Q(12)    R( −3)  ~ R(3) 



V   F   V 



II.  P( 0)  ~ Q( −1)    R( −5) → R( −6)  R( 0)     



 

 

III.  P(3)  P( 2)  R( 2)  ~ Q(3)   ~ Q(3)  ~ P( −3) 

SOLUCIÓN 1

   I.  P(1) → Q(12)    R( −3)     F   F  V

 R(3)   F 

     F → F   V  F   V   V 

V   V   V

       II.  P( 0)  ~ Q( −1)    R( −5) →  R( −6)  R( 0)      V  V  V  F   V

      F  V   V → V  V   V    V     V   V → V    V  

V   V   V

Página 19

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

       V  F   V  F    F  V    V   F   V 

CONSULTORA - ACADEMICA

I

CAPÍTULO I.

compendio de exámenes de admisión



  V   F   V    F  

 F   V   F

Rpta: VVF I. N° 2 II.PROBLEMA g r 1. PREFA 2015 f Si r  s  F hallar el valor de verdad de las g siguientes preposiciones: f ( ~ r ~ s ) → ( s  r ) g I. f II. ~ r ~ s gIII. (~ r  s)  (r → s) f g SOLUCIÓN 2 f Por gla condición sabemos que: r f s  F gF V F V f Sologasí la preposición es F f      ~ rg  ~ s  →  s  r   Ff V   F V   V     g F  V F 

Cesar Campos Chambi

capítulo-i lógica prosicional     F V  F V  V  F  → V  F       V   V 

La confianza en uno mismo es el primer secreto del éxito. Si una persona perdiera la confianza en sí misma, tendría al universo en contra. En la confianza en uno mismo están comprendidas todas las virtudes.

(V ) → (V )  V IV. ~ r  ~ s V F

F V  F V F

       V. ~ r  s  r → s   F F  V   V V   F VF     

         F  F   V → F  V V   F V    F    V   F     V  F F      V V  V 

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Todo empieza por ahí, por creer en uno mismo, porque esa fe desencadena una serie de consecuencias que propician la culminación de aquello que deseamos. El propio Emerson apuntaba: «Lo que está delante de nosotros y lo que está detrás es poco importante comparado con lo que reside en nuestro interior». Hay que acceder a esa fuerza interior que todos tenemos, de otro modo, es complicado alcanzar cimas altas. Tenemos en nuestro interior recursos insospechados, sólo hay que aprender a liberarlos.

CONSULTORA - ACADEMICA

F V

compendio de exámenes de admisión

.................................................................................................. Rpta: VFV

PROBLEMA N° 3

2. PREFA-2013 Simplificar. ~ p ~ r  r  ( p ~ q )

Estoy convencido de que en este día somos dueños de nuestro destino, que la tarea que se nos ha impuesto no es superior a muestras fuerzas; que sus acometidas no están por encima de lo que soy capaz de soporta. Mientras tengamos fe en nuestra causa y una indeclinable voluntad de vencer, la victoria estará a nuestro alcance.

SOLUCIÓN 3

~ ( r  p )  ( r  p )  ( r  ~ q ) ~ ( r  p )  ( r  p )  ( r  ~ q )

F  F   ( r ~ q ) = Rpta: F

Página 20

Cesar Campos Chambi

capítulo-ii teoría de conjuntos

compendio de exámenes de admisión

Concluimos que: Ac  B =  Ahora =   C C → ( Ac=  B)  C C

(A

c

 B)  C =

x 

/ −4  x  6 

Derby=48

PROBLEMA N° 17

42% ⋅

21

9

29

13

50

21

42

Varones Damas

29

Rpta: Damas de otras facultades 13 PROBLEMA N° 18

DISPE 2016 La compañía Camel S.R.L. entrevistó a 96 fumadores de cigarrillos con los siguientes resultados: la mitad fuman Derby, el 25% fuma L.M., un sexto de los entrevistados fuman Derby y L.M. (indistintamente) ¿Qué porcentaje de los entrevistados fuman otras marcas? SOLUCIÓN 18

Llevemos los datos al diagrama de Venn

U=96

8

16

40

CONSULTORA - ACADEMICA

} }

} }

Otras facultades

63

Nuestra facultad

72

( 50)

SOLUCIÓN 17

Página 27

L.M.=24

32

DISPE 2015 El centro de estudiante de nuestra facultad organiza un congreso estudiantil de 72 estudiantes, cincuenta son de nuestra facultadad, de los cuales 42% son varones. Sabiendo que en total asisten 42 mujeres. ¿Cuántas mujeres son invitadas de otras facultades?

El 25% fuma L.M.

¿Qué porcentaje de los entrevistados fuman otras

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Rpta:

1/6 de los entrevistados fuman derby y L.M.

La mitad fuma Derby

marcas? Por regla de tres simple

96 → 100% 125 40 100 % = →x → x= 3 40 → x% 96

PROBLEMA N° 19

Rpta: x = 41,67%

PREFA 2016 En una muestra de 200 votantes se reveló la siguiente información concerniente a tres candidatos A, B y C de cierto partido que postulaban a 3 diferentes cargos. 28 votaron a favor de A y B; 98 votaron a favor de A o B, pero no de C, 42 votaron a favor de B, pero no de A o C; 122 votaron a favor de B o C pero no de A; 14 votaron a favor de A y C; pero no de B, 64 votaron a favor de C, pero no de A o B; no hubo ningun voto en blanco. ¿cuantos estuvieron a favor de los tres candidatos? SOLUCIÓN 19

A

B 28-x

28+x

x 14

U=200

42 16

64

C

Cesar Campos Chambi

capítulo-ii teoría de conjuntos Suma de los elementos debe darnos el universo 192 + x= 200 → x= 8

Rpta: 8 a favor de los tres candidatos

compendio de exámenes de admisión CA=40

AD=39

9

21-a a

10

b

21

I.E.=23 U=30

M=18

Se necesita: a + b + 10 + 9 → a + b + 19 Por dato del univeros sabemos que: 48 + 21 − a + 9 + 20 − b + 21= 100 → a + b= 19

Reemplazando: a + b + 19 → 19 + 19 → 38 Rpta: Por lo menos dos asignaturas 38 estudiantes

PROBLEMA N° 22

x

23-x 5 `

Sabemos que: 18 + 23 − x + 5 = 30 → x = 16

Solo una metaria : 41 − 2 x =41 − 2 (16 ) =9

Rpta: 9 aprobaron solo una materia

PROBLEMA N° 21

DISPE 2016 De 100 estudiantes que tomaron tres materias, de ellos 40 aprobaron Calculo, 39 administracion y 48 contabilidad. Las tres asignaturas aprobaro 10, 21 reprobaron las tres materias, 9 aprobaron calculo y administracion pero no contabilidad ¿Cuántos aprobaron por lo menos dos asignaturas? SOLUCIÓN 21

Llevamos los datos al diagram de Venn

PÁGINAS DE MUESTRA 50 %- PARA ESTUDIANTES DE SUMO SOLO x% PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

SOLUCIÓN 20

CO=48

CONSULTORA - ACADEMICA

PREFA 2016 De 30 alumnos de una clase, 18 aprobaron matemáticas y 23 introducción a la economía y 5 ninguna de las dos materias ¿Cuántos alumnos aprobaron solo una de las materias?

18-x

20-b

38-a-b

PROBLEMA N° 20

U=100

PREFA 2017 Un estudio realizado en un acilo de ancianos se determinó que el 60% de ellos no toman leche, pero el 50% toma yogurt, aquellos que no consumen ninguno sumado con los que toman yogurt y leche llegan al 30%, por último 120 ancianos toman leche, pero no yogurt ¿Cuántos ancianos fueron encuestados? SOLUCIÓN 22

Realizamos el diagrama de Veen L=40%

Y=50% U=100%

x%

30%-x%

Por otro lado, sabemos que el 60% no toman leche. 50% − x% + 30% − x% = 60% → x% = 10%

Así los que toman leche, pero no yogurt, son el 30%, ahora aplicamos regla de tres simple. 120 → 30% 120 30% → = U → 100% U 100%

Rpta: U = 400 Página 28

Cesar Campos Chambi

capítulo-iii teoría de exponentes 1−1 3n+=

n

= 3n 3

Rpta: M = x14 Rpta: S = 3

PROBLEMA N° 20

PREFA-2012 Simplificar:

PREFA-2009 Simplificar: A =

4

n+

1 4

 2

n−2

= P

1  2n 2

n

2

A= 2 n

A= 2

a

a

729





a

7 7 −7 49

Reduciendo el exponente.

 4 n +1  2   4 

2

1 − 2

2 2 n

 27 

7 7 +1 7 7

n−2 2

; A=

n 2

n

2

4 n +1 2

2

1 − 2

2 2

n

=

7

7 +1



n 2

E=a

7

7 +1

 a1−

P = a+2

2 2 = 2= 4

Rpta: A = 4 PROBLEMA N° 21

PREFA-2012 Reducir:  −1   3 x  4−1 x  5−1 x  M =3 3 3  3  x  x  x x   30 factores 

 4 x3  x3      −2 −2 −2

SOLUCIÓN 21

 34 83   3 12 60   x  x  x x x    M =   30 1 − 3   x x 8   1 5

−1

( ) 1

−

1

−

9 1 −

13 = M x13  = x 8 8 x=  x x14

Página 40

x

−1

(

7

7

7

7 −7 7

a

2

2

=a

7

7

= a 7 +1+1−

27  a 27 2

 1 + 22 P = a + 2  27 a a  

  

PROBLEMA N° 23

7

7

7 +1



7

= a2

7

a

7

(

7 1− 7 7

a2

)

a2

2  1 2 = a + 2  27 a  27 a  

 a +22  = a + 2  27 a     

)

M = n −1

( 2 ) + (3 ) + (5 )

SOLUCIÓN 23

M=

M=

−1

n −1

−1

Rpta: P = 27

n −1

−1

10n −1 + 6n −1 + 15n −1 n −1 1 1 1 + n −1 + n −1 n −1 2 3 5

n −1

(10 (15

n −1

+ 6n −1 + 15n −1

n −1

+ 10n −1 + 6n −1

a2

= 27

10n −1 + 6n −1 + 15n −1

n −1

  

a2

DISPE-2009-2016 Simplificar

1

1 65  x75  5 x 8 x 8 5  = M =  10   x 9 −1 −  x   89  8 x x   

a

Reemplazando en el problema:

4n 2

5−1

7

E=a

4 n +1 n − 2 1 n + + − 2 2 2 2

4 n +1+ n − 2+1− n 2

7

n−2 2

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

n

a+2

a

SOLUCIÓN 22

SOLUCIÓN 20

A=

PROBLEMA N° 22

CONSULTORA - ACADEMICA

n

= S

compendio de exámenes de admisión

) )

30n −1

M = n −1 30n −1

Cesar Campos Chambi

capítulo-iii teoría de exponentes C =n

2

PROBLEMA N° 24

a 2 a a a +b

Simplificar: = E

4a

aa 

a a a a +b

a b a

4a

SOLUCIÓN 24

E

(

a 2 a a 2 +b

)

a

a4 a

E =a

(

E =a



(

a2 a aa  aa +b

b a 4 a

a2 a aa +b

a

a4 a

) a (

2a

a3 a a a + b

ba

a

(

aa aa +b

a

)

= E a= a a aa +b

a

ba4 a

aa

PROBLEMA N° 25

3n + 2

1− n

2 3 +1 − 1− n n −1 3n + 2 8 −2 3 +1 n +1

SOLUCIÓN 25

(

31−n + 1 = 1− n 1 + 31− n 31− n

E=

4

)

(

)

32n + 16n = 8n + 4n

n

25n + 24 n 23n + 22n

1− n

E 3 31−n → =

Simplificar: A = m− 2 n SOLUCIÓN 26

32 n  52 n  3m  3 m

5 3

m−2 n

3

32 m+1  5m  4 3mn − 2

mn + 2 4

mn + 2

−

mn − 2

4 3 4 A = m−2 n m+1−2 n m−2 n 5 3

4

1  5m −2 n

Rpta: E =1

152 n  3m  4 3mn + 2

mn − 2 4

34 A = m−2 n m+1−2 n m−2 n 5 3 A = m−2 n

16 n 90n 16 90 B=  2n =  → B= 8 5 6 5 62

1− n

31−n + 1 1 +1 1− n 3

8+8 −4 2−4 −2 = → E= = 1 1− 3 −2 −2

3

A = 23 → A = 8

Página 41

31−n + 1 = 3−(1−n ) + 1

2 m +1

25n + 23 23  32n + 8  23 A =  5 n −3  3 = +1  2 25n + 23 2

C

= E

1− n

A = m−2 n

Trabajando por partes

n

1 → D= 1

PREFA 2016

32n + 8 16 n 90n n 32n + 16n +  2n − 25 n − 3 + 1 5 6 8n + 4 n n +1

n+1

PROBLEMA N° 26

DISPE-2008 Simplificar

22 n =4 → C =4

n

D=

Reemplazando

a

Rpta: E = a

E=

n

23n + 2 23n + 2 n +1 = 23n +3 − 23n + 2 23n + 2 ( 2 − 1)

E =

a 2 a + b a a aa +b

)= + 1)

D = n +1

)

( a +b )  a ( a +b ) = a a

)

2n

CONSULTORA - ACADEMICA

DISPE-2010

( (2

24 n 2n + 1

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Rpta: M = 30

compendio de exámenes de admisión

A = m−2 n

A=

31 3m−2 n+1  5m−2 n

1 35

Rpta: A =

Cesar Campos Chambi

1 15

capítulo-vii división algebraica

compendio de exámenes de admisión

a 8= ; b 5= ; c −6 Rpta:= PROBLEMA N° 15

Aplicando el método de Horner

)

(

)

kx 4 − k 3 + k x3 + k 2 x 2 + 7k 3 − 2k 2 + 6 x − 15k x−3

1 4

2

−a

−2

−8

−4

−1

−6

12

4 −6

CONSULTORA - ACADEMICA

SOLUCIÓN 15

Aplicando el método del resto: x − 3 = 0 → x = 3

(

)

(

)

R= k ( 3) − k 3 + k ( 3) + k 2 ( 3) + 7k 3 − 2k 2 + 6 3 − 15k

Por ser exacta.

R =81k − 27k 3 − 27k + 9k 2 + 21k 3 − 6k 2 + 18 − 15k

2a − 7 = 0 → a =

4

3

2

R= −6k 3 + 3k 2 + 39k + 18

Por ser exacta se lo iguala a cero y resolviendo por Ruffini. 6k 3 − 3k 2 − 39k − 18 = 0

PROBLEMA N° 17

Factorizando por Ruffini.

6 −3 x= −2 − 12 6 − 15

− 39 30 −9

0 ; k + 2 =0 ( k + 2)(3k − 9)( 2k + 1) = 3k − 9 = 0 → k = 3 ; 2k + 1 =0

SOLUCIÓN 17

→ k =−2 1 → k =− 2

1 2

−2 ; k == 3k − Rpta: k = PROBLEMA N° 16

9. PREFA-2012 Hallar los valores de a y b considerando que la división deja resto cero:

b − ax 2 + 4 x 4 + 3x + 2 x3 2x + x2 + 1

6

8−a 8−a

− 16 + 2a − 8 + a 0

0

7 7 9 ; a + b − 8 = 0 → +b = 8 → b = 2 2 2 7 9 Rpta:= a = ;b 2

2

Por tener el divisor lineal aplicamos el Teorema del x 2

Resto: 2 −= 0 ;= x 4

Remplazando el dividendo

4 44 380 R = − + k ; R =4 − 256 + k = − +k 3 2 3 2 3 Por ser exacta el resto se iguala a cero. −

280 380 +k = 0 →k = 3 3

Rpta: k =

SOLUCIÓN 16

Ordenando divisor y dividendo Página 62

b

PREFA-2014 Hallar el valor de “k” para que la división sea x x4 − +k exacta. 3 2 x 2− 2

− 18 18 0

0 ( k + 2) ( 6k 2 − 15k − 9 ) =

3

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

8. CONTA-2011 Hallar los valores de " k " , para que la división sea exacta.

(

4 x 4 + 2 x3 − ax 2 + 3x + b x2 + 2x + 1

Cesar Campos Chambi

380 3

capítulo-vii división algebraica

compendio de exámenes de admisión 2

R = ( −2 + 12 )( −2 + 10 ) − 78 + 3

PROBLEMA N° 18

PREFA 2015 Calcular el valor de “m” si la división no deja resto.

(

x( y + z) + y (x + z) + z (x + y) + m x + y + z 2

2

x+ y+z

Aplicando el Teorema del Resto:

Aplicamos el método clásico

Como no debe dejar resto:

)

− x2 − y 2 − z 2 + m x2 + y 2 + z 2 = 0

(

) (x

2

)

+ y2 + z2 → m = 1

Rpta: m = 1 PROBLEMA N° 19

PREFA 2015 Determinar el resto en la división:

2

( x + 3)( x + 5 )( x + 4 )( x + 2 ) − 78 + 3 x2 + 7 x + 2 SOLUCIÓN 19 2

( x + 3)( x + 4 )( x + 5 )( x + 2 ) − 78 + 3 x2 + 7 x + 2 2

 m   m  2  x + 7 x + 12  x 2 + 7 x + 10  − 78 + 3         2 x + 7x + 2 m 2

( m + 12 )( m + 10 ) − 78 + 3 m+2

Por teorema del resto: m + 2 =0 ; m =−2 Página 63

correspondiente SOLUCIÓN 20

)

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

)

CONSULTORA - ACADEMICA

(

R = x ( − x ) + y ( − y ) + z ( − z ) + m x2 + y 2 + z 2

m x2 + y 2 + z 2 =

PROBLEMA N° 20

1

y + z =−x ; x + z =− y ; x + y =−z

(

)

Rpta: R = 7

1 2 x 3 Y su residuo división: 2 x −x+2

x+ y+z = 0

(

2

DISPE 2016 Calcular el tercer término del cociente de la

SOLUCIÓN 18

R= − x2 − y 2 − z 2 + m x2 + y 2 + z 2

2

= R (10)(8) − 78= +3 7

1 12 x 3 1 1 1 −1 2 −3 − x2 + x 2 − x 2 3 3 3 1 − 12 2 − 32 x − x 3 3 1 − 12 1 − 32 2 − 52 − x + x − x 3 3 3 3 1 − 2 −5 − x 2− x 2 3 3 3 − 1 2 1 − 52 2 − 72 x − x + x 3 3 3 5 7 − − 2 −x 2 + x 2 3

x2 − x + 2

1 − 32 1 − 52 1 − 72 x + x − x 3 3 3

7

1 − Tér min otercero del Cociente : − x 2 3 Rpta: 5 7 − − 2 Re sto : − x 2 + x 2 3

PROBLEMA N° 21

PSA-II-2018 En la división exacta hallar el valor de m+n+ p :

12 x5 − mx 2 + 14 x3 − 9 x 4 + nx − p 3x3 − 6 + 2 x SOLUCIÓN 21

Cesar Campos Chambi

capítulo-ix factorización

compendio de exámenes de admisión

( a + b − 1) + ( a + b + 1) ( a + b − 1) − ( a + b + 1)

PROBLEMA N° 32

PREFA-2017 Hallar la suma del factor primo, con coeficientes primos para u = 2 . 2u 4 + 7u 3 − 2u 2 − 13u + 6

 a + b − 1 + a + b + 1a + b − 1 − a − b − 1 ( 2a + 2b )( −2 ) → −4 ( a + b ) Rpta: −4 ( a + b )

SOLUCIÓN 32

Factorizando por el método de Paolo Ruffini se obtendrá.

( 4u + 4 ) ahora

sumando

estos

factores:

remplazamos el valor de ¨u¨

( 4  2 + 4 ) → 12 Rpta: 12

E=

( a + b + c )( ab + ac + bc ) − abc

SOLUCIÓN 35

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Los factores que presentan números primos son

CONSULTORA - ACADEMICA

PAF-2020 Factorizar la expresión:

( u − 1)( u + 2 )( u + 3)( 2u − 1) (u + 2)(u + 3)( 2u − 1)

PROBLEMA N° 35

Agrupamos y desponemos de forma conveniente: E = ( a + b ) + c  ab + c ( a + b ) − abc E= ab ( a + b ) + c ( a + b ) + abc + c 2 ( a + b ) − abc 2

E = ( a + b ) ab + c ( a + b ) + c 2 

PROBLEMA N° 33

PREFA-2017 Luego de factorizar el polinomio 2 24a − 6ab − 16a + 4b hallar el valor numérico de los factores primos que presentan coeficientes números primos. = a 2= ; b 5 SOLUCIÓN 33

2 (12a 2 − 3ab − 8a + 2b )

E = ( a + b ) ab + ac + bc + c 2 

E = ( a + b ) b ( a + c ) + c ( a + c )

E= ( a + b )( a + c )( b + c )

PROBLEMA N° 36

2 3a ( 4a − b ) − 2 ( 4a − b ) 2 ( 4a − b )( 3a − 2 )

Rpta: E = ( a + b )( a + c )( b + c )

PAF-2020 Factorizar la expresión al máximo: x 2 y + yz 2 + x 2 z + y 2 z + xy 2 + xz 2 + 2 xyz

El factor con coeficientes primos es: Rpta: 3a − 2 → 3  2 − 2 → 4

SOLUCIÓN 36

Agrupando los factores:

( x z + 2xyz + y z ) + ( x y + xy ) + ( yz 2

PROBLEMA N° 34

2

2

2

2

+ xz 2 )

PAF-2020 Factorizar la expresión al máximo:

z ( x 2 + 2 xy + y 2 ) + xy ( x + y ) + z 2 ( y + x )

( a + b − 1) − ( a + b + 1)

z ( x + y ) + xy ( x + y ) + z 2 ( y + x )

2

SOLUCIÓN 34

Página 78

2

2

( x + y ) ( xz + yz + xy + z 2 ) Cesar Campos Chambi

capítulo-ix factorización

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

CONSULTORA - ACADEMICA

compendio de exámenes de admisión

3x 2 − 7 xy + 2 y 2 + 19 x − 13 y + 20 3x x

Página 79

−y − 2y

Cesar Campos Chambi

4 5

capítulo-x racionalización

( )  5+ 5 (5 − 5 ) (5 + 5 )

(

2 30 + 10 5 20

(

20

)=

51

=

2

)

20

)=

6 +2 5 5+1

2 25 + 10 5 + 5

=

2

20 3 + 5

(

2

SOLUCIÓN 25

(

2 10 3 + 5

2 3  3 4 + 3 4 + 1  2  3 22 −  2  3 4 − 1  3 4 + 3 4 + 1  3 2  3 22

)

20

3

)

(

2 3+ 5  2

(

3

3

5 +1 2 10 + 2  → 2 2 2

(

3

)−2

16 + 3 4 + 1 3

3

3

4 − 13

)−2

16 + 3 4 + 1 3

3

PROBLEMA N° 26 PROBLEMA N° 24

a +b − a −b a +b + a −b

Racionalizar:

= B

SOLUCIÓN 24

( (

) a −b)

3

4

2

Rpta: 2 3 2 + 1

 3 10 2 − 3 200 + 3 20 2  30  + 3 200  2 2 3 3 3 3 3  10 + 20  10 − 200 + 20 

a +b − a −b a+b −

(

2

30 3 10 − 3 200 + 3 20

( a + b − a − b )2 2

3

( a + b )( a − b ) + a − b

30

a+b−a+b

(

2 2 2a − 2 a 2 − b 2 2 a − a − b = 2b 2b

Rpta:

Página 89

23

30 + 3 200 3 3 10 + 20

SOLUCIÓN 26

a +b − a −b · a +b + a −b

a+b−2

4

PREFA-2013 Simplificar y racionalizar:

PREFA-2012

a +b − a −b

3

   

8 2 + 3 4 +1− 3 4 → 2 3 2 +1

10 + 2 2

Rpta:

2

3 2 − 3 4 −1 3 2

Racionalizar y simplificar:

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

52 − 5

)

PREFA-2013

CONSULTORA - ACADEMICA

(

PROBLEMA N° 25

2 5+ 5

10 + 2 5 = 5− 5

2 5+ 5

compendio de exámenes de admisión

(

3

3

10 + 20 3

3

2

a − a −b b

2

3

100 − 3 200 + 3 400 30

)

2

)+

)+

3

200

3

200

100 − 3 200 + 3 400 + 3 200 Rpta:

Cesar Campos Chambi

3

100 + 3 400

capítulo-x racionalización

compendio de exámenes de admisión

PROBLEMA N° 27

(

2

5+ 3 2

5 − 3

(

2

5+ 3

( 2)

) → 2(

)

)→

5+ 3

( 5 − 3)

(

5+ 3

5− 3

)(

)

5+ 3

)

5+ 3 5+ 3

)

 3   2 + E= 3−2   3− 1  2  2

)

1   2   3 1 + 4 2 

 3 1      E= 3−2  2 + 2  3 +1   3 −1  2 2 

)

1   3 E= 3−2  +   3 − 1 3 + 1 

)

   3 + 3 + 3 −1  3−2    3 − 1 3 + 1 

Página 90

x2 3 x + 3 x2 + 1

m7 + m 2 + 1 → m7 + m 2 + 1 + m 4 − m 4

(m

7

) (

)

− m 4 + m 4 + m2 + 1

(

) (

)

m4 m3 − 1 + m4 + m2 + 1

SOLUCIÓN 28

(

)

3 +1

( x − 1) ( x + 1) ( 3 x 2 − 3 x ) + 1

factorizando:

  1.5 0.5 E= 3−2  +  0.75 + 0.5   1.5 − 0.5

E =

)(

3 Cambio de variable: x = m en el denominador y

PREFA 2015 Simplificar al máximo:

(

(

Rpta: E = 1 − 3

SOLUCIÓN 29

PROBLEMA N° 28

(

)

3 + 1  = 3−2 2 

PREFA 2015 Simplificar al máximo:

Q=

(

(

E =3 + 3 − 2 3 − 2 =1 − 3

PROBLEMA N° 29

Rpta:

(

)

)

CONSULTORA - ACADEMICA

(

(

(

2

)

(

2  E = 3−2  

SOLUCIÓN 27

 5+ 3 2   → 5 − 3  5 + 3 

)

    

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

2 5− 3

Racionalizar

2

(

= E

PREFA-2014

  2 3+2 3−2  2  3 −1 

)

(

)(

)

(

) (

)(

(

)

)

m4 ( m − 1) m2 + m + 1 + m2 + m + 1 m2 − m + 1

(m

2

(m

2

)

+ m + 1 m4 ( m − 1) + m2 − m + 1 

)

+ m + 1 m5 − m4 + m2 − m + 1

Reposicionando el cambio de variable y remplazando en el problema.

Q=

Q=

(

(

( x − 1)  3 x5 − 3 x4 + 3 x2 − 3 x + 1 3

)(

x2 + 3 x + 1

( x − 1)

3

3

)

x5 − 3 x 4 + 3 x 2 − 3 x + 1

 3 x −1    3  x2 + 3 x + 1  x −1 

)

Cesar Campos Chambi

capítulo-x racionalización

compendio de exámenes de admisión

( x − 1) ( 3 x − 1) ( x − 1) ( 3 x − 1) Q= = 3 3 3 ( x − 1) x − 1 ) ( Rpta: = Q

3

E=

( 6 + 3 3 )( 6 − 3 3 ) → E=

E=

36 − 27 → E =

(

62 − 3 3

)

2

9→E= 3

Rpta: E = 3

x −1

PROBLEMA N° 30

DISPE 2014 Racionalizar y simplificar al maximo

PROBLEMA N° 32

CONSULTORA - ACADEMICA

PREFA 2016

23 2+ 3− 6 SOLUCIÓN 30

(

  2+ 3 − 6  

23

(

23

(

)

2+ 3+ 6

)

2

2+ 3 − 6

23

( (

2

SOLUCIÓN 32

2

2+ 3+ 6

)

2+ 2 6 +3−6

3

( E=

( E=

−1

(

)

DISPE 2015 Hallar el valor exacto de la expresión 216 − 3 3

SOLUCIÓN 31

E=

(

3 3+6

Página 91

)(

6−3 3

)

2

)

3

(a (a

(a ( a − ab ) 2

3

2

)

a 2 − ab

2

2 2

)

2 3

) − ab ) − ab

− ab

)

− ab

)

3

)

(a ( a − ab )

a 3 + b3

(

3 2

3

2

a 3 + b3

)

3

(a

2

− ab )

a (a − b)

Simplificar y racionalizar: E = 8 − 3 − 5

PROBLEMA N° 31

3

)

a 3 + b3

PREFA 2017

Rpta: 5 3 + 7 2 + 6 + 12

)(

− ab

PROBLEMA N° 33

4 3 + 6 2 + 12 + 2 + 3 + 6

(

2



3

( Rpta: E =

23

E= 3 3 + 3 216

(a

3

2 6 +1

23 2 12 + 2 18 + 12 + 2 + 3 + 6

a 3 + b3

E=

)( ) ( 2 6 + 1) 6 )( 2 6 + 1)

2+ 3+

(2 6 )

) )

2 + 3 + 6  2 + 3 + 6 

) → 23 (

2+ 3+ 6 2 6 −1

23

( (

a +b

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Simplificar la fracción E =

3 2

3− 8+ 5

SOLUCIÓN 33

E=

( 8 − 3 − 5) →E= −1 − ( 8 − 3 − 5) Rpta: E = −1

Cesar Campos Chambi

capítulo-xi fracciones algebraicas PROBLEMA N° 33

compendio de exámenes de admisión

 1 4 2 2 4 2 2  a 2 − b 2  a + 2a b + b − a b M= 4 4 b3 − a 3  a 3 + b3

(

PREFA-2009 Simplifica:

(

      1 1  2 x  2 x M = − 1 −  + 1   2 2 2  x 2 + 1 − x   2 x + 1   x + 1 + x   2 x + 1 

 1   2 x − 2m   1   2 x + 2m  M =  −    m − x   2m   m + x   2m   1   2 ( x − m)   1   2 ( x + m)  M = −     m − x   2 m   m + x   2m 

(

(

PROBLEMA N° 35

x+m = M − m (m − x) m (m + x) 1 1 2 − = − m m m

Volviendo al C.V. − M=

2 x2 + 1



x2 + 1

2 x2 +1 →M = − x2 +1 x2 + 1

Rpta: M = −

2 x2 +1 x2 +1

PROBLEMA N° 34

PREFA-2009 Simplificar:

(



2  1 2 2 2 2  a 2 − b2  a + b − a  b M= 4 4 1   1 3 3  −3 − −3   a + b a  b

)

(

SOLUCIÓN 34

Página 106

)

)

  

−3

−3

)

( (

) )

3

4

Rpta: M =

1 a − b6 6

PREFA-2009 Simplificar la fracción:  1 x2   1 1 x   + 3   − + 2  x y  x y y   v=  x + 2y x   x + 2y x   x + y + y   y − x + y      SOLUCIÓN 35

 y 3 + x 3   y 2 − xy + x 2      xy 3   xy 2   v= 2 2 2     xy + 2 y + x + xy   x + 3xy + 2 y 2 − xy      y ( x + y) y ( x + y)        

( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 )

−1 −3

  

)

 1   a 6 − b6  a 6 − b6 = M= 4 a 6 − b6 a 6 − b6

x−m x+m M = − m (m − x) m (m + x) − (m − x)

)( (

−3

−3

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

 1   2x   1   2x  − 1 −  + 1 M=     m − x   2m   m + x   2m 

 

)

)(

 1  2 2 4 2 2 4  a − b a + a b + b M= 4 a 6 − b6

CONSULTORA - ACADEMICA

x2 + 1 = m

Realizamos un cambio de variable.

−1

)

 1 1    a 2 − b 2   a 4 + a 2b 2 + b 4     M= 4 a 3 − b3 a 3 + b3

(

SOLUCIÓN 33

− M =

) (

)

v=

xy 3



(

xy 2 x 2 − xy + y 2

)

 x 2 + 2 xy + 2 y 2    y ( x + y)      2 2   y ( x + y)    x + 2 xy + 2 y 

Rpta: v =

Cesar Campos Chambi

x+ y y

capítulo-xi fracciones algebraicas

compendio de exámenes de admisión

PROBLEMA N° 36

PROBLEMA N° 38

PREFA-2014 Simplificar al máximo

PREFA-2014

 2   3 5   2 1    21  1 15    8 14     1 − − −  −  −  −  +   −  + −  + 1 +  3 − 3   3 9 3 6 3 9 3 9                

(x Simplificar: (y

2

− y −2

2

− x −2

) (x − y ) ) (y+ x ) n

−2 n

−1

−n

−1

2n

SOLUCIÓN 36 SOLUCIÓN 38

 2  4 2   7 4 3 1  1 − − −  −  −  − + +    3  3 3   3 3 3 3

(x − y ) (x + y ) (x − y ) (x − y ) (y−x ) (y+ x ) (y+ x ) (y+ x )

PREFA-2014 Simplificar al máximo:

 ( y 1 −  y + ( y + 1)   ( y −1

2

−1

2

) + y + 1) − y +1

−n

−1

−1 −1

SOLUCIÓN 37

−1

n

−1

−n

−1

 1   1  2 y − 1   y − y + 1   1   1  2 y + 1   y + y + 1 

1 y −1 = 1 1− y +1

−1

−1

n

( (

−1

−n n

)( )(

 x + y −1 y − x −1 → −1 y + x −1  x − y

n

)  ) 

n

n

1−

y +1 y −1

1

1−

1 1−

1

1−

a2 −1+

1 a

a2 1

2 1− a

−

1 1−

Rpta: 1

a2          1 1 1 −  − 1 −  1− 1   1− 1  1  2 1−   1−  a  a 

SOLUCIÓN 39

y y +1 y −1 → y y −1 y +1

Página 107

−n

−n

n

Simplificar:

Rpta:

−n

−1

PREFA-2014

 y 2 − y + 1   1 1+   2   y −1   y − y +1   y 2 + y + 1   1 1−   2   y +1   y + y +1

1+

−1

(x + y ) (x − y ) (y−x ) (y+x )

PROBLEMA N° 39

 1+  y +   1−  y + 

n

   xy + 1   xy − 1   1  1   x +  y −      y  x  y   x      → = 1n = 1    xy − 1   xy + 1   1  1   x −  y +      y  x    y  x  

PROBLEMA N° 37

1 + y + ( y − 1)

14 3

−1

−1

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Rpta:

n

CONSULTORA - ACADEMICA

 2 2 7  14 − − − −  =  3 3 3 3

−1

1 1−

1

1−

2 a

= 1

1 1− a

1

1−

1 a−2 a

a2 −

1 1−

Cesar Campos Chambi

1 a −1 a

       

capítulo-xiv teoría de ecuaciónes

( 4  5) + 5 − ( 5  5) − 9 =

compendio de exámenes de admisión

5−4

Rpta: x =

25 − 16 = 1 → 5 − 4 = 11 = 1 Rpta: x = 5 PROBLEMA N° 14

PREFA-2009 x−3 x−3 − 4 = 1 Resolver: 2 1 11 x− 3x − 1 3− x +1

PROBLEMA N° 16

1. CONTA-2009 Sabiendo que la discriminante de la siguiente ecuación: kx 2 − 2kx + k= 2 x 2 − x + 1 , es 25 hallar sus raíces.

2

)

− 2 x2 − ( 2kx − x ) + ( k − 1) = 0

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

( kx

CONSULTORA - ACADEMICA

SOLUCIÓN 16

0 ( k − 2) x2 − ( 2k − 1) x + ( k − 1) =

SOLUCIÓN 14

x −3 2x − 6 − x + 3 1 1 4 4 = → = 1 1 11 11 x− x− 3x + 3 − 3x + 1 4 x +1 x +1

La discriminante es: = b 2 − 4ac

x −3 x −3 1 1 4 4 = → = x + 1 11 4 x − x − 1 11 x− 4 4

4 x 2 − 4k + 1 − 4 x 2 + 4k + 8k − 8 =25

− 4 ( k − 2)( k − 1) = 25

2 x 2 − 7 x + 3 = 0 → ( 2 x − 1)( x − 3) = 0

PROBLEMA N° 15

PROBLEMA N° 17

PREFA-2013 Hallar el valor de “x” en: x ( x − b) 2x ( x − b) = ab ( x + a ) 3a 2b SOLUCIÓN 15

Rpta:= x

1 = ;x 3 2

2. ADMI-2010 Determinar el valor de ¨m¨ de modo que en la ecuación una raíz sea el triple de la otra.

(

)

x 2 − ( 3m − 2 ) x + m2 − 1 = 0

SOLUCIÓN 17

=

2abx ( x + a ) x

3a 2b= 2ab ( x + a ) → 3a 2b= 2abx + 2a 2b a 2b a =x → =x a b =2abx → 2ab 2 Página 130

2

( 4 − 2) x2 − ( 2  4 − 1) x + ( 4 − 1) =0

Rpta: x = 4

2

− ( 2k −1)

Hallando la raíces.

8x = 32 → x = 4

( x − b)

b 2 − 4ac = 25 rempalzando valores :

8k = 32 → k = 4 → k = 4

x −3 1 = → 11x − 33 = 3 x − 1 3 x − 1 11

3a 2b ( x − b )

a 2

Según condición: x1 = 3x2 = Aplicamos: x1 + x2 −

b c = y x1  x2 a a

Con la condición y las propiedades se deben armar ecuaciones:

Cesar Campos Chambi

capítulo-xiv teoría de ecuaciónes  x1 = 3x2 ( a )   x1 + x2 = 3m − 2  2  x1  x2 = m − 1 ( c )  

(b )

compendio de exámenes de admisión

Según condición: x1 = − x2 b x1 = − x2 → x1 + x2 = 0 → − = 0 → b = 0 a

Remplazamos el valor obtenido de ¨b¨:

3m − 2  (b)  x2 = 4  2 2 3 ( x =  2 ) m −1 (c ) Ahora remplazamos la ecuación ( b ) en ( c ) : 2

 9m2 − 12m + 4   3m − 2  2 2 3 =  m −1  = m −1 →3 16  4   

Rpta: m = 4 PROBLEMA N° 19

3. ADMI-2010 Resolver la ecuación: 7 x n − 3x n −1 3x n +1 − 5 x n x + 2 + = 5 7x x1− n SOLUCIÓN 19

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

3x + x = 3m − 2 3m − 2  4 x= 2 →  2 2  2 m2 − 1  3x2  x= ) m2 − 1 2 3 ( x2 =  

8 − 2m =0 →2m =8 →m =4

CONSULTORA - ACADEMICA

La ecuación ( a ) en ( b ) y ( c ) :

49 x n +1 − 21x n + 15 x n +1 − 25 x n x + 2 = 1− n 35 x x

27m − 36m + 12= 16m − 16;

64 x n +1 − 46 x n x + 2 = 1− n 35 x x

11m2 − 36m + 28 =0 → (11m − 14 )( m − 2 ) =0

64 x 2 − 46 x = 35 x 2 + 70 x ; 29 x 2 − 116 x = 0

14 11m − 14 =0 → m1 = ; m − 2 = 0 → m2 = 2 11

x ( 29 x − 116 ) = 0

2

2

14 Rpta:= m2 2= ; m1 11 PROBLEMA N° 18

Para qué valor de ¨m¨ las raíces de la ecuación serán iguales en magnitud, pero de signo x 2 + 3x m − 1 = contrario: 5 x + 12 m + 1 SOLUCIÓN 18

Ordenando la ecuación-. 2

2

mx + x + 3mx + 3x = 5mx − 5 x + 12m − 12

( mx

2

)

+ x 2 + (8x − 2mx ) + (12 − 12m ) = 0

0 ( m + 1) x2 + (8 − 2m ) x + (12 − 12m ) = a= ( m + 1) ; b = (8 − 2m ) ; c = (12 − 12m ) Página 131

PROBLEMA N° 20

x 0;= x 4 Rpta: =

4. DISPE-2010 En la siguiente ecuación de segundo grado: kx 2 + 5 x 2 + 3kx − 2k = 7 Hallar el valor de “k ” de modo que la primera raíz sea igual a la mitad del reciproco de la segunda raíz. SOLUCIÓN 20

Ordenando la ecuación:

kx 2 + 5 x 2 + 3kx − 2k − 7 = 0

0 ( k + 5) x2 + 3kx − ( 2k + 7 ) = Según condición debe cumplirse que:

1 1 1 1 x1 =  → x1 = → x1  x2 = 2 x2 2 x2 2

Cesar Campos Chambi

capítulo-xv sistemas de ecuaciones

compendio de exámenes de admisión

(a ) + (b)

6m − 14n = 10 −6m + 15n = −9= → n 1por tanto= →m 4

3u + 2v − 3w = 2 2u − 2v + 5w = 6 → 5u + 2w = 8 (d )

Volviendo al C.V.

5u + 2w = 8

n =1 → b − 8 =1 → b − 8 =1 → b = 9

( a )  3 + ( c )  ( −2) (e )

−5w = −2

(d )  5 + (e )  2

Rpta: a 2 − b 2 = 112 − 92 = 40 PROBLEMA N° 15

PREFA-2013 En el sistema hallar: y − x

25u + 10w = 40 36 −4 → u = 6u − 10w = 31 31u = 36 34  36  "u" en ( e ) ;3    − 5w =−2 → w = 31  31 

"u y w"en ( a ) 28  36   34  3    + 2v − 3    = 2 → v = 31  31   31 

PROBLEMA N° 14

PREFA-2012 Hallar el valor de a 2 − b 2 sabiendo que a y b son números reales que satisfacen la 3 a + 5 − 7 b − 8 = 5 ecuación:  3 2 a + 5 − 5 b − 8 = SOLUCIÓN 14

Cambios de variable: a += 5 m; b −= 8 n

5 (a ) 3m − 7n =  3 (b)  2m − 5n = Ahora: ( a )  2 + ( b )( −3)

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

3u

m = 4 → a + 5 = 4 → a + 5 = 16 → a = 11

CONSULTORA - ACADEMICA

9u + 6v − 9w = 6 −6u − 6v + 4w = −8 → 3u − 5w = −2

=1

n

 3 x + x + y =  5  y + x + y = SOLUCIÓN 15

(a) (b )

Nos centramos en lo pedido para ello: ( b ) − ( a )

 5  y+ x+ y = 2 → y−x=   − x − x + y =−3

2 Rpta: y − x =

PROBLEMA N° 16

PREFA-2009

2 x+ y = y3x− y ( a )  x Resolver el sistema:  2  x  y = 1 ( b )

SOLUCIÓN 16

En : (= b) : y

1 (c ) → x2 1 x2

1 ( c ) en ( a ) → x =  2  x  2 x+

x

2 x3 +1 x2

=x

2 − 6 x3 x2

→

3x −

1 x2

→x =

2 x3 + 1 2 − 6 x3 = 2 x2 x

2 x3 + 1 = 2 − 6 x3 → 8 x3 = 1 → x3 =

Página 148

2 x3 +1 x2

1 8

Cesar Campos Chambi

(x ) −2

3 x3 −1 x2

capítulo-xv sistemas de ecuaciones

compendio de exámenes de admisión

3

1 1 ( x )=   → x= 2 2 “x” en ( c ) ; y=

1   2

2

2x− y  3

→ y= 4

20  3

PROBLEMA N° 17

PREFA-2010 x  3 + 2 Resolver:  x 9 − 4 

x− y 2

x− y



( 3)

x− y

y

17 ( a ) =

y

= 17 ( b )

=3 → 3

x− y 2

=3 →

( ) ( )

(c )

17 ( c ) en ( b ) ; (17 − n )2 − n2 =

( 3)

PROBLEMA N° 19

“n” en ( c ) m = 17 − 8 → m = 9

 x + y + xy = 11 ( A )  3 ( B) 3x + 3 y − 2 xy =

Volviendo al C.V.

2 x + 2 y + 2 xy = 22 3x + 3 y − 2 xy = 3 → x + y =5 → x =5− y

y =3 → y =9

5x + 5 y

PROBLEMA N° 18

PREFA-2010 Resolver el sistema de ecuaciones:

( C ) en ( A)

= y 2; = x 3 = y 3;= x 2

( y − 2 )( y − 3) =0 →

SOLUCIÓN 18

Página 149

x− y

25 =

5 − y + y + ( 5 − y ) y = 11 → y 2 − 5 y + 6 = 0

 x − y x + y = 2 3 (a)  y−x 3 (b) ( x + y )  2 =

(

x− y

( 3)

2

Realizamos: ( A)  ( 2 ) + ( B )

m =9 → 3 x =32 → x =2 → x =4

En ( a ) elevarla: ( x − y ) →

→ 2 + 2 y = 22 

DISPE 2007 Resolver el sistema de ecuaciónes: 11  x + y + xy =  3 3x + 3 y − 2 xy = SOLUCIÓN 19

( 3)

=3

x− y =1→ x =2 + y 2

2+ y − y

289 − 34n + n 2 − n 2 = 17 → 272 = 34n → n = 8

x+ y = 2x− y 

x− y 2

Por tanto: x = 2 + 5 → x = 7

 3 x +2 y = 17 ( a )  17 ( a )   m+n = → 2 2  x 2 2 17 ( b ) m − n = 3 − 2 y = 17 ( b )   

=23 →

3 =

2 + 2 y = 12 → 2 y = 10 → y = 5

= 3 m= y2 n Realizando dos C.V.:

y

y−x

 2 y − x = 3 → 2x− y + y − x  3

2+ y+ y = 22 + y − y 

y

x

n =8 → 2

 2

El valor de: x= 2 + y en ( c ) :

SOLUCIÓN 17

= 17 − n De ( a ) : m

x− y 2

2

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

1

( c ) en ( b ) →

CONSULTORA - ACADEMICA

3

x+ y

)

x− y

( )

= 2 3

x− y

(c ) Cesar Campos Chambi

(C )

capítulo-xvi planteo de ecuaciones

2do.Distrubuidor: Gasto = total

n n + 600

( precio )  ( cantidad )

No olvide que: 180Bs. = 18000Ctv.

 18000  − 1 ( n + 600 ) = 18000   n  Resolviendo:

0→ ( n + 3600)( n − 3000) =

n = −3600 n = 3000

Rpta: Adquirió 3000 bananas PROBLEMA N° 5

4. PREFA-2010 Juan y Pedro van juntos a clases llevando muchos libros. Juan le dijo a Pedro “si me prestas un libro, voy a tener el triple de libros que tú” y Pedro respondió “mejor tú me das uno y así tenemos igual cantidad de libros “¿Cuántos libros llevaba cada uno? SOLUCIÓN 5

Cantidad de libros de Juan: n Cantidad de libros de pedro: m

Juan

Pedro

1er.caso:

n +1

m −1

2do. caso:

n −1

m +1

Leyendo la primera frase entre comillas llegamos a: n += 1 3 ( m − 1)

( A) 

Leyendo la segunda a frase entre comillas llegamos a: n − 1= m + 1

( B)

Resolviendo las ecuaciones: ( A ) y ( B ) ;

Rpta: Juanlleva 5 libros y Pedrolleva 3libros. PROBLEMA N° 6

5. DISPE-2012 En una encuesta se preguntó a una señora que edad tenia y ella respondió al locutor: tengo el doble de la edad que tú tienes, pero en 24 años tendré 68 años menos que el triple de tu edad en ese año ¿Qué edad tiene la señora? SOLUCIÓN 6

Presente

Futuro

Señora:

2m

2m + 24

Locutor:

m

m + 24

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

180 n 180 − 1ctv. n

1er.Distribuidor:

Cantidad

CONSULTORA - ACADEMICA

Precio Unitario

compendio de exámenes de admisión

... en 24 años : 2m + 24= 3 ( m + 24 ) − 68 

2m +24 = 3m + 72 –68 → m = 20 

PROBLEMA N° 7

Rpta:

La edad de la señora 40 años La edad del locutor: 20 años

6. PREFA-2010 En una alcancía hay 65 monedas que suman 8.75 Bs. El número de piezas de 20 centavos es el doble del número de piezas de 5 centavos y las restantes son de 10 centavos. ¿Cuántas monedas de cada clase hay? SOLUCIÓN 7

Piezas de 20ctv. 2m

Piezas de 5ctv.

Piezas de 10ctv.

m

65 − 3m

20ctv. ( 2m ) + 5ctv. ( m ) + 10ctv. ( 65 − 3m ) = 8.75 Bs.

No olvide que: 8.75 Bs. = 875ctv. 20 ( 2m ) + 5 ( m ) + 10 ( 65 − 3m ) = 875

8m + m +130 − 6m = 175 → m = 15

= m 3= ;n 5

Página 158

Cesar Campos Chambi

capítulo-xvi planteo de ecuaciones

7. PREFA-2014 Gaby aventurera recorre 155 km en un viaje. Se sabe que el viaje en avión es el triple que a caballo y el viaje en caballo es el duplo menos 13 km que a pie. ¿Cuántos km viajo a caballo? SOLUCIÓN 8

Viaje en avión

Viaje en caballo

3 ( 2m − 13)

2m − 13

Viaje en avion m

Gaby aventurera recorre 155 km en un viaje 6m − 39 + 2m − 13 + m = 155 → m = 23

Rpta: 33 kmencaballo

PROBLEMA N° 9

DISPE 2009 Se han sacado 9 litros de un barrill lleno de vino, después se ha llenado con agua y de la mezcla se han sacado 9 litros. El barril es llenado nuevamente con agua. Si la cantidad de vino que queda en el barril es a la cantidad de agua que se le añadido como 16 es a 9 ¿Qué capacidad tiene el barril? SOLUCIÓN 9

Barrill lleno de vino:

Agua 0

x

Se saca 9 litros de vino:

x −9

0

Se llena con agua:

x −9

9

De la mezcla se se saca 9 litros: Y es llenado con agua:

 x −9 x −9− 9  x 

( x − 9)

9 9 −  9  x

2

x

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

PROBLEMA N° 8

Vino

CONSULTORA - ACADEMICA

30 monedas de 20 ctvs. Rpta: 15 monedas de 5 ctvs. 20 monedas de10 ctvs.

compendio de exámenes de admisión

9 x − 81 +9 x

Si la cantidad de vino que queda en el barril es a la cantidad de agua que se le añadido como 16 es a 9.

Vino 16 = → 9 Vino = 16  Agua Agua 9

 ( x − 9 )2   9 x − 81  x = 45 + 9 → 9   =16   x=5  x   x  Rpta: La capacidad del barril es de 45 litros PROBLEMA N° 10

DISPE 2014 Una liebre perseguida por un galgo se encuentra a 80 saltos de liebre delante del galgo. La liebre da 4 saltos mientras que en el mismo tiempo el galgo da 3. Si 5 saltos del galgo equivalen a 7 saltos de la liebre ¿Cuántos saltos dará la liebre antes de ser alcanzada por el galgo? SOLUCIÓN 10

→80saltos de Liebre ( sl )

Galgo →

→" m "saltos de Liebre ( sl )

" n " saltos de galgo ( sg )

n ( sg ) Distancia: 80 ( sl ) + m ( sl ) =

Página 159

Liebre Galgo

Liebre

→

( A)

Cesar Campos Chambi

capítulo-xviii progresiones

SOLUCIÓN 12

En la 1º progresión, cumple que:

( 2 x + 1) − ( x − 2)= ( 2 x − 3) − ( 2 x + 1) 

2x +1 − x + 2 =2x − 3 − 2x −1 → x =−7

En la 2º progresión cumple que:

PREFA-2009 El sexto término de una P.G.es 3072 y el tercer término es 48, escribir la progresión geométrica:

SOLUCIÓN 14

t6 = 3072 t1  q 5 = 3072 ( a ) → 2 t3 = 48  t1  q = 48 ( b )

t1  q5 3072 3 = → q3 = 64 → q= 4; t= 1 2 t1  q 48

1 4

En la 3º progresión cumple que:

4 y − (−x) = z − 4 y →4 y + x = z − 4 y → 8 y + x = z

PROBLEMA N° 15

Rpta: P.A.:3;12;48;192...

PREFA-2009 En la progresión aritmética 12; 15; 18; 21... La suma de los “n” primeros términos es 1665, calcular “n” :

reemplazando los valores tenemos:

1 z =8    + ( −7 ) → z =−5 4 Rpta: z = −5

SOLUCIÓN 15

No olvides que : Sn =

PROBLEMA N° 13

PREFA-2012 Si el cuarto término de un P.A. es 18 y el sexto término es 10 hallar la suma de los 6 primeros términos.

2a1 + ( n − 1) r 2

n

Además, la razón es: r = 3

 2 12 + ( n − 1) 3  1665 =  = n ( 21 + 3n )   n → 3330 2  

3330= 3n ( 7 + n ) → n2 + 7n − 1110= 0

SOLUCIÓN 13

= a4 18 = y a6 10 También se puede expresar como :

18  a1 + 3r =  10 a1 + 5r =

PROBLEMA N° 14

(a ) (b)

y −1 y + 2 2 = → ( y − 1) = y ( y + 2 ) y y −1 y 2 − 2 y + 1= y 2 − 2 y → y =

Rpta: S6 = 120

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

9. PREFA-2012 Hallar el valor de z en las progresiones: P.A.: x − 2 ; 2 x + 1 ; 2 x − 3 P.G.: y ; y − 1; y + 2  P.A. : − x; 4 y; z 

a +a   30 + 10  Sn  1 n   n= = → S6  → S6 120   6=  2   2 

CONSULTORA - ACADEMICA

PROBLEMA N° 12

compendio de exámenes de admisión

(a ) → Resolviendo → r =−4; a1 =30 (b)

( n + 37 )( n − 30) =0 → n =−37; n =30 Rpta: n = 30

Hallando la suma del los 6 términos:

Página 174

Cesar Campos Chambi

capítulo-xviii progresiones PROBLEMA N° 16

compendio de exámenes de admisión PROBLEMA N° 18

PREFA-2009 La suma de los 10 términos de un P.G. es -682 y la razón es -2. Hallar el sexto término.

PREFA-2009 La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de las 3 primeras. Hallar la razón.

SOLUCIÓN 16

= Sn

(

)→ = −682





t1 q − 1

t1 ( −2 ) − 1

q −1

−2 − 1

−682 =

n

t1 (1024 − 1) −3

→= t1

10

2046 →= t1 2 1023

Por condición: S6 = 9  S3

(

q −1

PREFA-2009 En una P.A. el tercer término es igual a cuatro veces el primero y el séptimo término es 20. Si a suma de los “n” primeros términos es 260, hallar “n”. SOLUCIÓN 17

a3 = 4a1   a7 = 20

2r ( a ) a1 += → ( b )  a= 1 + 6r

4a1 −3a1 += 2r 0 → 20 20 1 + 6r  a=

= r 3;= a1 2 Resolviendo el sistema: También nos dice que Sn = 260

 2  2 + ( n − 1) 3   4 + 3n − 3  n → 260  260 =   =  n 2 2    

3n2 + n − 520 = 0 → ( 3n + 40 )( n − 13) = 0 40 n= − ;n = 13 3

3

)→

−1

q −1

(q

6

)

− 1 =9  (q3 − 1)

(q 3 + 1) =9 → q3 =8 → q = 2

5

PROBLEMA N° 17

1

(q3 + 1)(q3 − 1) =9  (q3 − 1)

Por tanto:= t6 t1  q6−1 →= t6 2  ( −2 ) → t6 =−64 Rpta: t6 = −64

) =9  t ( q

t1 q 6 − 1

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

Sabemos que:

SOLUCIÓN 18

CONSULTORA - ACADEMICA

−682; q = −2 Por datos del enunciado: S10 =

PROBLEMA N° 19

PREFA-2009 Hallar “x” para que forme una P.A. x2 − 3 : x2 + 1 : 2x2 − 4 SOLUCIÓN 19

Si es P.A. cumple que:

(x

2

) (

) ( 2x

+ 1 − x2 − 3 =

2

) (

x2 + 1 − x2 + 3 = 2 x2 − 4 − x2 −1 9= x2 → x = 3

PROBLEMA N° 20

Rpta: P.A. : 6;10;14;...

PREFA-2009 Si el octavo término de un P.G. es 243 y el quinto es 9. Escriba la progresión:

t8 = 243 a1  q 7 = 243 ( a ) →  a1  q 4 = 9 ( b )  t5 = 9

(a )  (b)

Página 175

)

− 4 − x2 + 1

SOLUCIÓN 20

Rpta: n = 13

Rpta: q = 2

Cesar Campos Chambi

capítulo-xix logaritmos

compendio de exámenes de admisión

PROBLEMA N° 46

PROBLEMA N° 48

DISPE 2017

DISPE 2017

2 log x + log a y = Resolver:  a 4  log b x − logb y =

 3x  2 y = 576 Resolver el sistema:  4 log 2 ( y − x ) =

SOLUCIÓN 46

SOLUCIÓN 48

log a ( xy ) = 2 2  log a x + log a y = → x  4 log b   = 4  log b x − log b y =  y 

Trabajamos en el segundo sistema

 xy = a 2  a2 x =   → y → Igualando x 4 b = y  x = yb4  

y−x = 4→ y = x+4

2

Ahora hallamos el valor de “x”.

4

3x  2 x + 4 = 576 → 3x  2 x 16 = 576 → 6 x = 36 6x = 62 → x = 2; y = 6

Tambien el sistema se puede resolver por axioma

a = a 2 → x = ab 2 2 b

comparacion en el primer sistema expresando el

Rpta: x = ab

2

PROBLEMA N° 47

DISPE 2017 Simplificar la maximo la expresión  39   5   5  E = log 4   + log 4   − log 4    12   78   96  SOLUCIÓN 47

 39 5     = E log 4  12 78  → = E log 4 4 → = E 4 5    96  Rpta: E = 1

Página 200

2

El valor despejado de “ y ” en la primera ecuación

a a a  a = yb 4 → 4 = y 2 →  2  = y 2 → y = 2 y b b b 

xy = a 2 → x 

( y − x) = 4 → y − x =

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

2

2

CONSULTORA - ACADEMICA

2

log

576

de

forma

adecuada.

3x  2 y = 576 → 3x  2 y = 32  26 → x = 2; y = 6

PROBLEMA N° 49

x 2;= y 6 Rpta:=

DISPE 2018 Resolver el sistema de ecuaciones

3  (I ) log a2 x + log a y = 2  3 log x + log 2 y = ( II ) b b  2 SOLUCIÓN 49

Cesar Campos Chambi

capítulo-xix logaritmos

compendio de exámenes de admisión

3  log log + = x y (I ) a 2  a 2  3 log x + log y= ( II ) b  b2 2

  = E log 2 3 + log3 2 −  log 2 3 + log 2 3log3 2 + 1 + log3 2      1

= E log 2 3 + log3 2 − log 2 3 − 2 − log3 2 Rpta: E = −2

3  (I ) log a x + log a y = 2  3 log x + log y = ( II ) b b  2

PROBLEMA N° 51

) )

(I ) ( II )

Multiplicando : ( I )  ( II ) 3

3

3

3

3

ab ( III ) y

  2 x 2 + 144     2x + 4   ( )  log   log  2   10  =    4 16      

Ahora ( III ) en ( II ) 3 2

ab  y =b → y y

y

−

1 2

1 −1 2

 12 b b = →y=   a  a  1 2

=

    

b

3 −1 2

x Cambio de variable en: 2 = m

a

 m 2 + 144  m+4 5 =     8  2   

−2

20m + 80 = m 2 + 144 → m 2 − 20m + 64 = 0

( m − 16)( m − 4) =0 → = y Rpta:

a2 b2 = ;x b a

PROBLEMA N° 50

DISPE 2017 Hallar el valor de la expresión:

E = log 2 3 + log3 2 − log 2 6  log3 6

SOLUCIÓN 50

= E log 2 3 + log3 2 − log 2 (3  2)  log3 (3  2) E = log 2 3 + log3 2 − ( log 2 3 + log 2 2 )( log3 3 + log 3 2 ) E= log 2 3 + log3 2 − ( log 2 3 + 1)(1 + log3 2 ) Página 201

 2x   4x  log10 10 + log  + 1 = log 2 + log  + 9   4   16   2x + 4   4 x + 144  log10 + log  log 2 log = +     4   16 

3

x 2  y 2 = a 2  b 2 → ( xy ) 2 = ( ab ) 2 xy = ab → x =

SOLUCIÓN 51

PÁGINAS DE MUESTRA SOLO PARA ESTUDIANTES DE SUMO PEDIDO DEL LIBRO COMPLETO AL CEL: 73264267

( (

1 + log ( 2x−2 + 1) = log 2 + log ( 4 x−2 + 9 )

CONSULTORA - ACADEMICA

3 3  ( I )  x  y = 2 log a x  y = a 2 →  3 3 log x  y = x  y = II ( ) b2   b 2

DISPE 2017 Resolver la ecuación

16 0 = m −= m 16 → m= m 4 −4 0 =

Volviendo al cambio de variable x=4 2 x = 24 → x 2 x=2 2 =2

Rpta:

PROBLEMA N° 52

DISPE 2017 Las raíces de la ecuación son

5log x − 3log x −1 = 3log x +1 − 5log x −1

SOLUCIÓN 52

Cesar Campos Chambi

x=4 x=2

capítulo-xix logaritmos

2 ( m − n) n 3 + = → 4m − 4n + mn + n = 3m + 3 m +1 2 2

5log x + 5log x −1 = 3log x +1 + 3log x −1 5log x−1 (= 5 + 1) 3log x−1 ( 32 + 1) log x −1

5

5   3

log x −1

= 6 3

log x−1

compendio de exámenes de admisión

0 m − 3n − 3 + mn = 0 → m ( n + 1) − 3 ( n + 1) =

5log x −1 10 10 → log x= 3 −1 6

−1 ; m = 3 ( n + 1)( m − 3) =0 → n =

5 =  3

log 2 y =−1 ; log 2 3  3 →

y=

PROBLEMA N° 53

PAF-2018 Resolver el sistema de ecuaciones. 3  log 6 x + log 4 y = (A)   2   1 = y 3−27 (B)   27 xy

Trabajemos en la segunda ecuación. −

3= 3 = x

27 y

PSA-II-2018; PSA-I-2019 Resolver el sistema de ecuaciones

log 3 log ( x + y ) + ( y − x ) log 2 =  x+ y 4 = 8 ( B )

SOLUCIÓN 54

SOLUCIÓN 53

−3 xy

PROBLEMA N° 54

27 9 − → xy = → −3xy = y y

2 9 3 → x=  y2  y

Reemplazando el valor de “x” en la primera ecuación 2

3 3 log 6   + log 4 y = y 2   2

3 log 2   3  y  + log 2 y = log 2 6 log 2 4 2 n  m  n 2  log 2 3 − log 2 y    log y 3  + 2 = log 2 2 + log 2 3 2 2

( A)

Trabajemos en la ecuación (A)

y y 22 x + 2= 23 → 22 x + 2= 23 → x =

3− 2y 2

Remplacemos en la primera ecuación

3− 2y   3− 2y   log  log 3 + y+ y −  log 2 = 2   2    3   4y −3  log   +  log 3  log 2 = 2  2  log 3 − log 2 + log 2  4 y−3     2 

log 2

 4 y−3     2 

= log 3

 4 y−3     2 

= log 2 → 2

=2

4y −3 = 1→ 4y −3 = 2 → 4y = 5 2

y = Rpta:

m

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1 = ; x 36 2

Rpta:= y

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Rpta: x = 100

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log x − 1 = 1 → log x = 2 → x = 100

1 → x = 36 2

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5 1 = ;x 4 4

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