examenes de admision uni.pdf

PRE/ENTACIÓN Esta obra está orientada a todos los estudiantes Pre-universitarios de ciencias e ingeniería, inclusive para todos aquellos de centros de estudios secundarios que aspiren a mantenerse en un buen nivel académico. La presente publicación contiene los Exámenes de Admisión toma­ dos en la UNIVERSIDAD NACIO NAL DE INGENIERÍA; pero conside­ rando sólo los últimos, en los cuales se ha modificado la estructura de los mismos. Estos cambios obedecen a que últimamente este centro de estu­ dios, ha puesto interés en que sus ingresantes tengan una preparación más integral, razón por la cual ha introducido: el razonamiento verbal, el razona­ miento lógico matemático, y además le ha dado mayor importancia a la cultura en general. Esta obra considera los exámenes de admisión a partir del año 2001, fecha en la cual las tres pruebas que se toman, en tres difrentes días, se presentan como se indica acontinuación: 1.- Aptitud Académica y cultura general. 2.- Matemática: Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. 3.- Física y Química. En la elaboración de esta obra se ha tenido en cuenta el niv/el académi­ co en que se encuentran la mayoría de los estudiantes, especialmente los que egresan de los centros educativos secundarios; razón por la cual los "problemas" o preguntas se desarrollan en forma simple, cuidando de emplear conocimientos básicos o de fácil acceso para un alumno pre­ universitario en general. Con este aporte, esperamos complementar la bue­ na formación académica que necesita el estudiante para adquirir esa destre­ za y eficiencia necesaria que le permitirá ingresar a la universidad

I

I

También debemos recordar al estudiante que una buena formación aca­ démica radica en tener una "teoría sólida" antes de empeazar a resolver un "problema", pués ésto les ahorrará tiempo y energías, elementos valiosos que un estudiante competitivo debe saber explotarlos. Por último, tenemos que hacer resaltar el aporte del equipo intelectual y técnico de e;ta empresa Editora, que permitió que se hiciera realidad la presente publicación, con 1? cual estamos seguros estar aportando con la comunidad estudiosa.

I

I

INDICE GENERAL

1. Aptitud Académ ica y cultura general............................................................. 1 - 332 2. Matemática: Aritmética, Álgebra, G eom etría y Trigonom etría................. 2.

1 - 301

Física y Q uím ica ............................................................................................... 1 - 3 1 2

2 MATEMÁTICA EXÁMENES DE ADMISIÓN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

LIMA - PERÚ

I

I

CONTENIDO 2 Examen de Admisión 2001 - 1...................................................................................... 1 Solucionarlo......................................................................... :....... 6 Examen de Admisión 2001 - I I ................................................................................... 16 Solucionarlo 20 Examen de Admisión 2002 - 1.................................................................................... 32 Solucionado.................................................................................................................. 36 Examen de Admisión 2002 - I I ..................................................................................... 47 Solucionarlo................................................................................................................ 52 Examen de Admisión 2003 - 1........................................................................ 65 Solucionarlo................................................................................................................ 70 Examen de Admisión 2003 - I I ..................................................................................... 85 Solucionarlo ................................................................................................................. 90 Examen de Admisión 2004 - 1................................................................................. 105 Solucionarlo............................................................................................................... 110 Examen de Admisión 2004 - I I ............. .................................................................. 127 Solucionarlo................................................... 132 Examen de Admisión 2005 - 1................................................................................. Solucionarlo.......................................................................................

149 154

171 Examen de Admisión 2005 - I I .............................. Solucionarlo.............................................................................................................. 176 Examen de Admisión 2006 - 1................................................................................. 192 Solucionarlo............................................................................................................. 197 Examen de Admisión 2006 - I I ................................................................................... 213 Solucionarlo.............................................................................................................. 218 Examen de Admisión 2007 - 1................................................................................. 236 Solucionarlo.............................................................................................................. 241 Examen de Admisión 2007 - I I ................................................................................ 258 Solucionarlo 262 Examen de Admisión 2008 - 1................................................................................. 280 Solucionarlo .............................................................................................................. 285 MATEMAT'CA

MWBBta e a f d*' T )** i 4r

/OlllUv /c.m iieZN

3 [ R+ r

í r 2 + '-2 }

E) T

D) T ñ ( « + ’ Y

3 Rr R+ i

3 2 . En la gráfica, si A C —5, la suina de las coordena­ das de C es 3 0 . En la figura mostrada: - t f - = - i , CG /IO F ■G FM 6 es el punto medio de M Q y el área de la región triangular n P Q M es 100 m Hallar el área de la región sombreada (en m2 )■

A) 4

A ) 15

D)

230

115 B) 7

E)

150 C) 7

300

B) 10

C) 8

3 3 . El área total de una pirámide regular pentagonal 2 -» y su area lateral 25 u . El coseno del ángu­

lo diedro que forma una cara lateral con la base de la piràmidi, es:

B )-

concéntricas miden R y r ( R > i ) . La diferencia de y el ángulo

AO B ' mide 120". Calcular la suma de las longitudes de los arcos A A ' y BB

E) 9

es de 45 u

3 1 . En la figura los radios de las dos circunferencias

longitudes de los arcos BB’ y A A ’ es

D) 6

D ,|

e

>4

C)

1 J2

UN 2001-1 MATEMATICA 3 4 . Se tiene un paralelepípedo rectangular, donde las dimensiones de las bases son 5 cm y 8 cm y su altura 12 cm. Un agujero que va desde la base superior hasta la base inferior tiene la forma de un prisma triangular rec­ to. cuyas bases son triángulos equiláteros con aristas de longitud 3 cm. Calcular el área de la superficie total del sólido determinado. A )5 0 0 - | ^ 3

B )5 0 0 - | ^ 3

D )5 0 0 - | ^ 3

E )5 0 0 -| ^ 3

A ) 161,56

B) 163.56

D ) 167.56

E) 169.56

C ) 165.56

3 8 . En la figura adjunta, la longitud del segmento A fí es:

C )5 0 0 -| ,/ 3

3 5 . Al girar un rectángulo de lados a y b alrededor del lado b se obtiene un cilindro de 288 jt u} de volumen y al girar el rectángulo alrededor del lado a, se obtiene un cilindro de 384 Jt u'1 de volumen. Determine el área del rectángulo. A ; 38 u~

B ) 48 i f

U ; 68 u2

E) 7 8 ,/

D ) 5,/3

E) 6

C ) 5 8 1/2 3 9 . El mayor valor que toma la función f(x )= c o x 2 x + hsen2x+2

3 6 . Se tiene una pirámide regular E - ABCD, con base cuadrangular. Sea M N Q P la sección determinada por un plano secante a la superficie lateral. Si E M = 3, EQ = 5 = 5 y E P - 6 ; entonces EN es igual a: A ) 2,72

B) 2,55

D ) 3,55

E) 4,11

C ) 3,11

2+ y r o

b>6

DM + y iO

E) 5

A)

es: cn + yro

4 0 . En la identidad trigonométrica M't'ri x + 3 cttsx= k cv).v(x —a )

3 7 . Un molinete de riego tiene un alcance de 12 m y

determinar tai i a .

->

un ángulo de giro de 135°. Calcular el área (en m~ ) del sector circular m o)jdo por el molinete

A)

B)J

Usar Jt-3.14 . D)

3

E)

^13

C)

]

UNI 2001-1 MATEMATICA

m

/Gomez\

SOLUGIONARIO MATEMATICA

Se pide:

^

cifras = 2 ( « + r )

1 . Datos:

= 2 ( 11) 20 < p + q < 30

= 22

•> ?

C lave: 1)

P~ v1~ _ 2

( 2) 3.

p , q y r : números primos

Dalos:

—(3)

Interés: 5% semestral

De (1) y (3):

capital: C = S/ 1000 ^Capitalización Semestral)

p, q y i pueden tomar los valores de

Primer dcpó..ito

1:3; 5; 7: II; 13; 17; 23; 29 si:

p = 17

a

6 meses C

, (I7 )2 + 7 1 r 2 = -— í—------ = 169

En (2;:

6 meses

6 meses

1,05C

(1,05)2C

(1,05)3C

r = 13

(1,05)4C

Segundo depósito

6 meses =»

6 meses

q= 7

( es número pumo)

|—

Cumpliendo los valores de p, q y r con las tres condi­ ciones. p + q + r = 17 + 7 + 13

I año

Clave: A 2 . Por condición: aacc es cuadrado perfecto

u + t c l S =>

a + c = 11

Por definición:

W1 =1500#

Lq = ■

W-r

K n , = l< M r = (0 9 k 1500 g) = 1350

mss

UNI 2001-1 MATEMATICA

i G%meZ\

Cuando agregamos x g de oro la nueva ley es L /= 0.925 7 . Operando:

L _ w™ + x ^

Reemplazando:

WT T + x

2 x 2 + 2 x —3-Jx 2 + x + 3 = 3

1350 + x 1 5 0 0 +jc

2 (x 2 + x + 3 ) - i j x 2 + x + 7 , - 9 = 0

L' “

0.925 =

=>

jc = 500

Si:

Se añadirá al lingote 500 g de oro

Jx2 + x + 3 = a

=>

a >0

-.(1) ... ( 2 )

Luego en ( 1): Clave: B 2a 2 - 3 a - 9 = 0

5. Del enunciado construimos la siguiente tabla de da­ tos: x¡ fi Xifi Intervalos 6,5

6

[08; 1 1 >

9,5

14

133

[1 I;1 4 >

12,5

16

200

[05; 08>

(2n + 3)(n-.3)=0 -3

39 De (2):

a> 0

a= 3

Luego en ( I ):

[14; 17>

15,5

10

155

[17; 20]

’85

4

74

Jx1+x + 3 = 3

k=50

601

jc2 + jc - 6 = 0

Total

(.t + 3) ( jc- 2) - 0 Por definición: Promedio

(= 2

.c=-3

Y.XJ¡ =x=

C.S'.= /\={-3,-2} finalmente la suma de los elementos de A es:

601 : 12,02 ' 50 '

De datos:

-3 + 2 = - I Clave: C

6.

A = { x e lR / J x -l

C lave: 1$

e ^ }

8 ./U )=|jc —2 |+ |jc-4| Por teoría de raíces:

J x —\>0 Para x < 2 :

jc-I>0

f ( x ) = - ( x - 2 )- ( r —4 )= 6 —2 r

.v>l

Para 2 4 f i t ) = (jt - 2) + (x - 4) = 2v - 6

/^=49

6 -

x = (4 9 )“ + 1=2402

/w = C lave: D

2

2

x < 2

jc

. 2 < x 4

3



UNI 2001-1 MATEMATICA

Gráfica: 4 ^ = l()0 ()-4 i = 0

cIx

=> En (1):

2 4

x — 250

2 (250) + v = 1000 =>

v = 500

Clave: C Luego: 9 . Datos:

1x + w r+ 3 0 = 0

C lave: K

- ( 1) 1 1 . Dalos- A2+ 4 y 2 =25

_ ÍL = 3

x2

= 125000 m~

. - . (I )

... ( 2 )

5

... ( 2)

J t+ 2 y = 7

De la ecuación ( I ) por propiedad de raíces: De (2 ):

m

Reemplazando el valor de v en ( I ): 30

X \•

De (2) y (4 ).

-r,=3 js

=5

v2

(4)

2

_

*M ¥) -

a, = - 3

a

r " —7 .r + l2 = 0

V-. = - 5

a

=>

3 + 5 = --^

-3 -5 = -.

a

Z

a

,V|=3

;

Para

h i= 1 6

IO .

=3 : (3 )+ 2 ;,= 7

(4)+2.V2=7 X

y, =2

=*

* 4

Por condición: x < 2 \ Para :

x¡ =3

;

y ( =2

3 < 2 (2)

• Períinfcfio: 2.v + v = 1000 -( 2 )

• Área: S = xy

=»

Para xn=A

Rio

Terreno

in 4

reemplazando los valores de x en (2):

J

Clave: A

X

25

( jc—3)( r—4 )= 0

Reemplazando en (3):

m = -1 6

y =

(3)

li +x2

Para

—4

(cumple)

3 V2 : ■~

;

De (1) y (2):

(i)

5=jr(lOOO—2.r)

4=

H :][: :]-[i :

Luego en la expresión (* ): / J = S ,-S 2 = l - l = 0

t>

1

1

------1

0'

00

1 8

x D

11

C

= ( r 2 + j r - l ) ( r - 10 0 0 1 ) —2

Clave: D => 13. Ordenando sus términos

„

1 2

1 2

Clave: I!

1

2

¡v

27

l ) —------1------- 1------2

3

4

V

1 6 . Los 12 puntos í.l. H .C

2 2

H

2

3 + 9 + 7 ÌH

*V| : Sene geométrica de razón 1/2

/->( 100 U1)= —2

S2- Serie gométrica de razón 1/1

por el número de diagonales totales n = 1 2 lados:

N R = N D +n

2 Donde:

.Vj = -

) forman un dodecágono,

por lo tanto el número de rectas N K son determinadas

1 2 (1 2 -3 )

= r^

+ 12

Nn

mas los

3

< >

UNI 2001-1 MATEMATICA

El numero ile teclas que pasan por el pumo IA). es el número de diagonales trazadas desde un vértice { N j ) mas dos lado'.. N r = Nj + 2 =(/i - 3) + 2 = (l2 - 3 ) + 2 = 11

Clave: B luego:

N = 15( 10)(10)5(/,_|}

17. Progresión geométrica: ai M2,....cin De la base: Razón: —

n

.donde: n e l N

(/ > - l)> IO

=>

/>>ll

b es mayor que 11

n>

Clave: IC

S „= a t+a2+...+an e íV 1 9. Datos:

Por teoría: v ,_

I-

t . V . í E fV

(' !i «i[""

.

(I)

( 2)

Z = 3

f

-

—- + — + — = 1.4375 2 4 16

... (3)

De (2) en ( 1

']

Í 4 + t? - 14375 2v+ v = 5

1 i

Í Si 5

eW

De (3):

minimo: a , = n

'

5

I

3

2 I

Clave: E

Obteniéndose 3 ternas: (0: 5; 3) ; ( 1. 3: 1) ; (2: 1. 3) 18. Date. /V = l l l Í ((i) = l:M / ir

C lin e: C

^

Llevando /V = 1111, , ■>hase 10:

(^*)

2 0 . Datos:

f I)

A.B = 53361

( 2)

A = ¡J> /V = l x í ;4 + l x ¿;1 + l x í j - + l x f c + l x l

Luego N debemos llevarlo a la ba»e (b - I ) por divisio­

(3)

B = jry¿ = 3

= í>4 + í >3 + b 2 + b + I De (I ):

A./? = 9 x l I 2 x7~

nes sucesivas: De (2) y (3): >4 +/r+/>’

/>+l ) - ( / > - ! )

K = 3= 9 x l l x 7

693

A = 11 x 7 = 77 Clave: D

I

UNI 2001-1 MATEMATICA 21.

Recordjiulo 23.

• cos2 x —s e n 'x = c iu f2 x )

]

O

! \77 r I 11 11 1 H = 1 CIU — + I .sen— I

• cos* x —sen 2y = u>s(x + \)c iu (x - y) • c i > s 2 x = 2 if ì . s

x — I

= i

2

=

2

cos x —seti x

= i

w (f)

C lave: I) 2 4 . Por teoría:

co s(2 x )co s X tt

cos( 2 x ) = cosx = 2^

2( f ] -

I

...(2 )

En el gráfico:

Poi comparación de ( I ) y (2 ): 4 = 2 y =>

B = -1

A.B = (2 )(—1) = -2 Clave: A

2 2 . Graficando de acuerdo al enunt .adi

G: Baricentro

._ L £ Í_ _ L ¿ i “ 2 2 4>

Medianas: BH

4 (^ 1

JÑ

C lave: A CM 2 5 . Graficando de acucido al enunciado:

Propiedad: El baricentro C se ubica — i¡H del punto B En el triángulo rectángulo BHC Por pitágoras: Del gráfico: AABP

BC = J (3 íi )2 + « 2

=>

= a J Í0 Dato: =>

tYJvP = a j TO

De (a ):

JTO

v A D b C son isósceles,luego: ni + /? = « + x

.(«)

ni + n - n = 3 (a + x ) —a = i => jt = 3

C lave: D

C lave: A

UNI 2001-1 MATEMATICA Del grafico: Ò AD F ~ AAHC ìc i + F C 15

3a

9

F C = 2a A AE D F ~ EGC

8+ x _ 4«

Del gràfico:

=> •

in

=>

+

..(I)

+ x —in

... ( 2 )

b

b

=

ii

+a+x

b

-

a

=

n

=

j

4« - a

ih = n+ x +

8+

De (a ):

• m = n —a + x + b

\

~~ F C 2ci x= 8

=>

C lave: ( '

Reemplazando ( 2 ) c n ( l ) :

29.

in = n + x + (ri + x - in) =>

x = in —n Clave: E

27

2

2

Por razones métricas en el

IÍAF.

A C = h = J m (2 n i) = -Jln Del gráfico:

a= Luego:

... ( I )

11v+ 5v + 2x = 180"

10° En el

3» -12“= 3(10°)-12“ =

t^ A G F :

18“

—? m —

Clave: D 2 8 . Graficando de acuerdo al enunciado B

= h i2 +2/h

En el

Dalos: A D = l)

=-

( 2)

AGB: 4/T = 'Á G 2 +1ÍG

De ( 1):

x~ = (í/2Íii|

+ (2i,

=> x = ^61/1 D F//BC DC = 8

De (2):

- ■

f e

=7^ C h u t: h

UN! 2001-1 MATEMATICA 30.

. C C II Q F

D alos:

Finalmente calculamos: JLj + L,2

2n

I 3i li —r ‘ R+r C lave: E

32

Del gráfico:

( 7 « )(2 b )

S Pq M

= [00 m2

, 100 2 ab = — tn

.(* )

( 3 « ) (ò ) FGC

Del gráfico:

= | (^ ) 2Ì

3 fl0 0

De (* ):

il“

jc=

4

AC = 5 = J l 2 + ( y - 2 )2

" J

150 2 — «

2 5 = 32 + ( y —2 )2 C lave: C

=>

y =6

Luego, la suma de las coordenadas del punto C: x + y = 4 + 6=10 C lave: B

ÁA'= BB' = Dato:

io —L\

Del gráfico:

^

Lo ——H-^ -=

^7T

De ( I ) y (2) obtenemos: 2n 3

Lo -

r R -r R+r

_ 2 n ( Ir li \ 3 l H + rI

S LATERAL ~ 25 H "

- .(2)

UNI 2001-1 MATEMÁTICA

& D e (l)y (2 ):

S base

~ ^t o t a l

s la te r a l

Dato: Vh=2Xünu Del gráfico: Vh = m r .b=2KXn u 1

= 20 u -

Del grafico:

(I)

$ b a sf ,

=* h = -

... (3)

, . s r = 5 f f - }= 2 5

(4) ... (

De (3) y (4 ) :

'

h ( 8//) < r a a = i = - -----

«

2)

Del gráfico:

4

(10//) Í

nh a = Va Clave: B

nb2a = 3847t h 1

De (*):

/ ; " « = 3 8 4 ii

Multiplicando ( I ) y a i

j

(3)

(3 ):

= ( 2 S 8 ) ( 3 S 4 ) u (’

=>

«/ > = 4 8 / i-

Finalmente se tiene: S = al> =

De¡ graneo, el área total del sol.do es:

48 ti2

Clave: 1$ ST = 2(8 a « x 1 2 t/3 cm 2

= 500cm

2

Clave: B 35. C

Superponiendo los triángulos E N P y M FQ :

I

UNI NI 2001-1 MATEMÁTICA

3



¡

tan A + tan II I —tan Altm [i

Por teoría: tan(A + B ) =

Del gráfico:

H1 1 1 0 . + tan(tì + n )

ia n (n + tì + n ) =

I —tan a tan(0 + a )

X

X

X 6 I 2 x— .r x X = 6yl 2

=> h s e n a (3 -x )= 3 k m w n tì Ch 5/? (5m )(6A) i , = — jn a = — xena + -— —— - xenQ 2 2 2 2 =>

h x e n a = 3 0 k n i xenB

39.

/(.r) = c o s 2 x + 3sen 2x + 2

. . .(* )

Por propiedad se sabe que:

... ( 2 ) —J A 2 + B~ < A s e n n + B c o x a < J A ~ + B~

Dividiendo ( I ) entre (2): .t 3- ' = i Í ¡

C lave: lì

-d )

En (* ): x = 2.1212

0 1 . Un contratista dice que puede terminar, un tramo de una autopista en “a" días si le proporcionan un cieno tipo de máquinas; pero con “ c” máquinas adicionales de dicho tipo, puede hacer el trabajo en “ b” días (a b - 1). Si el rendimiento de las máquinas es el mismo, entonces el número de días que empicará una máquina para hacer el trabajo es: A ) a^bc

B)

D ) abe

E) (a + b)c

Entonces el conjunto R —A

está dado por:

A) 0

B) [ -2 , 2 ]

D )(- 2 ;I)

E) [ -2 , 1]

C )(-2 ;2 >

O abe

ab^c

6 . Sea

/ (.r)= r " + -^ -+ l una función definida pura X~

2 . Si al número 1573 dado en base n , lo pasamos a la base (n + I), entonces la suma de sus cifras en la base n + 1 ts A ) 2n + 1

B) 3

D) n + 3

E )n r 1

B) 143

( ') 680

D) 2400

E) 77.0

4 . Si la suma de A nuevos soles se divide en dos partes, de tal modo que al ser impuesto una de las partes al a% (1 < a < 10 ) y la otra al (a i- 2 )% anual, ambas al mismo tiempo, producen igual interés. Entonces una de dichas partes es: A (a + \) A ) 2 ( a + 2)

A (a + 2 ) D) 2 ( « - 0

Aa D) 2 ( a + 2 )

Aa E> 2 Í „ - I)

2 ( « + l )

A )(- 2 ;- l]

B )[l;2 .2 5 )

D)

E) [3; 5.25)

[2 ; 5,25)

C ) [2 ;5]

7 . Dos recipientes contienen vino. El primero tiene vino hasta la mitad y el segundo un tercio de su volumen. Se completan estos recipientes con agua, vertiéndose las mezclas a un tercer recipiente. Sabiendo aue la capaci­ dad del segundo recipiente es el triple que el primero, entonces el % de vino que contiene el tercer recipiente es: A ) 37,0

B) 37,5

C ) 38,0

D) 38,5

E) 3 " )—> R funciones definidas por: 1 / ( j f ) = x 2 -|jf|

y

g {x )= -J x

A)

0

o‘

1

0

o"

49

1

0

49

1

49

1

0

989

49

1

1080

1

0

0

1*

49 .

1

0

1225

49

1

B)

Entonces la gráfica de la función composicion g ° j es aproximadamente: a)

B)

y

*y

C)

D)

I

0

0

49

1

0

1274

49

1

E)

0

o'

49

1

0

1127

49

1

1 6 . En un anillo definido por 2 circunferencias concéntricas C y C ’ de radíos R y r, (R > r ) se colocan 6 circunferencias do radios

de manera que cada s

una de ellas es tangente a las 2 contiguas así como tamE)

bién a C y C A) 3

1

2

x

D Entonces el valor de — esB) 5

C)2

D) 4

E) 5/2

UN '2001-11 MATEMATICA 17. Se tiene dos aleaciones de plata y cobre de distin­ ta ley; mezclando pesos iguales de ambas aleaciones se obtiene una aleación de ley 0,865; y mezclando canti­ dades de ambas aleaciones que tengan el mismo peso de cobre se obtiene otra de ley 0,880. ^Cuál es la ley primitiva de cada una de las aleaciones? A ) 0,98

: 0,89

B)0,91

0,82

C)0,92

: 0,91

D) 0,98

0,82

E)

: C,91

18.

0,93

Los valores enteros x e y son los lados de un

rectángulo.

Si

se cum ple

que

a 2x + v <

,

2 4 . El ángulo 0 , en grados, que satisface la ecua­ ción: 3 V 2 cc

^ j+ J l+ r a v G =

pertenece al in­

tervalo: A ) e e (lK 0 °;2 4 0 o)

B )e e (l2 0 ° ; 135')

C)

B 6 ( -300°; 300°)

D ) B 6 (9 0 °: 120")

E)

6 e ( 2 4 0 ' ; 270°)

2 5 . En la siguiente figura, halle el valor del segmento EF, si D H = O H . D

-J-x+ v < 1Ih— í-r para a > 0, hallar el rectángulo de

«2

]

H

/

"+'

mayor área. A ) 2 u 2 B) 3 u2

C ) 4 u2

D) 5 u2

r ^

E) 6 u2

1 9 . Sea//un número cuadrado perfecto impar

o

B) 25

C ) 49

D) 81

B) 3

O 7

D) 5

E) 9

2 1 . EL valor máximo que toma la función f(x)=3sen~.\ \-4ct>s2x . r e R A) 3

B) 4

2 2 . Si 0l/1 E)l/5

3 1 . Una pirámide tiene una base que es un cuadrado de lado I y su vértice se encuentra sobre una perpendi­ cular al plano que contiene al cuadrado y pasa por un vértice del cuadrado. Si la altura de la pirámide es igual a 1, el valor de su área lateral es igual a: A) J l

B)

D )2 ^ 2 - l

E) I+ V 2

2

J2

C)

v3

v2

3 5 . En la figura, el cubo tiene lado I y el punto P se escoge de manera que el triángulo B P H tenga área mí­ nima. El valor de esta área mínima es:

B )^r C )> / 2 -l

D

D)7T

1+ ^ 2

E )ft 3 6 . Hallar el valor de verdad de los siguientes enun­ ciados:

3 2 . Sea un triángulo equilátero de lado a , donde uno de sus lados esta sobre el ej ' X y un vértice se encuentra en el origen. Entonces el volumen generado por dicho triángulo al girar alrededor del eje Y es.

A )^ "3

B) f ^ 3

O ^ J Ía 3

I) La suma de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadrilátero convexo es menor que la suma de las longitudes de sus diagonales. II) Todo cuadrilátero convexo, puede ser inscrito en una circunferencia (de tal forma que todos sus veitices pertenecen a la circunferencia). III) Dadas dos rectas paralelas L\ y L2 distintas, dos puntos A, B en L t , dos puntos C, D en L2 y un

3 3 . Se tiene dos poleas de igual diámetro, conectadas por una faia de longitud igual a “m" veces ( me ÜW) la longitud de la circunferencia de una de las poleas. Ha­ llar el diámetro de las poleas, si se sabe que la longitud de la faja que no hace contacto con las poleas es 2 /.

Ai 1+2 n(m-l)

B) \±k

C ).

21

punto E en el segmento /IC'(A Si M = M , y |CÍ| = M

.

E

(7 - E ).

entonces el

ángulo BED es recto o es llano. A) VVV

B) V V F

C ) VFF

D) V F V

E) FFF

3

UNI 2001-11 MATEM h TICA

< >

37. Dos circunferencias tangentes en el punto A de radios 1 y 2 respectivamente, son también tangentes a una recta en los puntos B y C. Hallar el radio de la cir­ cunferencia inscrita en el triángulo ABC.

B)

A) 3

D)

2/3

2 / 3 + V 6 -3 V 2

C)

E)

AD se construyen triángulos equiláteros:

A EAD

y

Tres puntos A. B y C forman 1111 triángulo A ABC

tal que las alturas P D (del A CPB), P E (del

A AP B )

y P F (del

A A P C ) miden I, 2 y 3 respectivamente.

Calcular el área del triángulo equilátero.

3 S . Sea AB C D un cuadrado de lado L sobre los lados AB y

39.

equilátero. Considerando P un punto interior al

A FAB respectivamente Calcular el ¿rea

A ) 12/3

B) 3 6 Í3

D) 36

E) l5>/3

C ) 27

4 0 . Sea AB C D un cuadrado y 4 E F un triángulo equilátero inscrito en ABCD. 1Iallar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que el área del triángulo A E F es

del triangulo A EFA. A >2 ¡} a

>TÓ

I2

L1

b> 1 T C ) T

B) 2 + -/Í

C )3

D) 3+i/J

E )4

c-

D ) -4

SOLUCION ARIO 2 . Se tiene: 1573

MATEMATICA 1 . Asumiendo que inicialmente se le proporciona "y " máquinas, tenemos:

Además:

a

y

b

y f

X

1

= 1

1573,, =//'’ +S111 +111 +3 Por divisiones sucesivas pa .amos a base (// + 1)

M A Q U IN A S

DÍAS

Por descomposición polinómica pasamos a base die 7

17 +5/i +7/I+3

(n )

4/i'+7/i

n~+ n

4/j~ +4/i

—

Como a mayor número de máquinas se demora menos días, la relación es inversa, entonces: »

V = ht y

De (IV

3/1+3 Por lo tanto:

= ay

-(I) ...(2 )

//+ ! /i+l

3/1+3

n +1

3/1-r 3

O

1573,, = 1200^;J t)

3

La suma de las cifras es: 1+2+0 HJ

Cla\c: 15 3 . Tenemos ladrillos de las siguientes dimen-i mes.

= abe

[8

Por lo tanto, una máquin empleará abe dia-.

m

15 c m

Cla\e: D

1

T

3/1+3

av = h( v + 1 ) v ( a —h ) = be

De ( a ) :

/z+l n~ +4/I+3

20 c m

/JSÙ,



UNI 2001-11 MATEMATICA

f GÌmìeZN Formemos el cubo más pequeño de manera que las aris­ tas de igual longitud sean paralelas:

j aA .* Las partes son: —-----2 (a + l)

A (a + 2) y — i------L 2 (o + l) C lave: C

5.

Dado: ,1 = j.re ü / J x 2- l -J|.v-l| > o|

Valores que pueJe tomar la variable x. De:

/ r 2 -l-^ | .v -l| > 0

Tenemos: • x^ —1> 0

Del gráfico observamos que “ /” debe ser el mínimo co­ mún múltiplo de 20 ; 15 y 8 .

/=

m.c.m. (20 cm\

15e ra ,

•¿

8 cm)

= 120 cm

=>

—l ] ^ [ l

°°)

...(ex)

2- i> ^ h jt2—1 >U-i|

De donde el número de ladrillos “n " se obtiene así: 1-JC2 < V - 1 < .Y2 - 1

Volumen del cubo

1 olumen de un ladrillo

l - A 2 < . Y - I A JC-1 < V2 - l

\3

(120era)

( jc + 2 ) ( t - 1 ) > 0

a

x( *

-1 )> 0

(20 cm){ 15 cm)(8 cm) > x e ^— «o.—2] u £l =720 Cla\t E 4 . Se tiene un capital de: A nuevos soles. Se divide en dos partes: • A-x impuesto al a% anual. , • .y impuesto al ( a + 2 ) % anual. Pór condición del problema estas partes producen igual Ínteres, es decir: a % (A -.x )= (a + 2 )% x

=> ,

Intersectando (a) y (P) tenemos:

(a jn ([i) =✓ !=(—o «;—2] vj [l ‘ o») finalmente: R - ^ = ( - 2 ;l)

C lave: l>

6.

Hallemos el Doni( / ) de I? relación:

° 21«+0

y¡ y2 -1

■ x~ — 1 > 0 => \ e ^ —™ - l] u J l. o”) Luego:

A -x

-A -i—

• jt 2 —I j e (- 1 ; 2]

De donde el D oni[ /') esta dado por la intersección de " 2(u + l)

los conjuntos encontrados. a s

( - 2 ; - | ] u [| , 2 )

>

UNI 2001-11 MATEMÁTICA

?

/\ /III.': y ^jSmez\

Factorizando:

1

Además: f ( x ) = x + —z - + ] x

es una función par

1

b

0

1- 6

1

-1 b- 1

1-6 1-6

6 -1 0

{ n - W i - 4 , por lo tanto el Ran f ( x ) lo podemos jt= - l encontrar analizando solamente el intervalo [ l ; 2 ^ . Como la función es, creciente y positiva. /’ (.v )= (*+ l) [ x 2+ (/)-l).í+l-/)j ' * ' N-------- v---------' Rafz Porcondiciónestedebe Negativa generar dos raíces positiva: ¡guales(¿-4)

=» n * ) mw= m = i / ( ' ) _ =/(2)=5-25 A v )e [3 ;5 .2 5 )

=> A = ( 6 - 1 ) —4(1 —b ) = o Clave. E /) = ]

7.

Del enunciado:

b = - 3 _____> Genera a, = Segundo -, Recipiente

Primer Recipiente ■ V y

Finalmente:

= 2

a - b = 1—(- 3 ) = 4 Clave: B

V

Agua

2V

Vino

4

Agua \

j Genera: V|= í 2 = 0

j

9.

6V

2V

Del enunciado: Números impares Números pare;.

y+8 : ,y

Número total de datos: 2x + 8 SV

Frecuencia absoluta del número mayor: 4

Agua Tercer Recipiente

3V

Frecuencia relativa del número mayor:

Vino

2

Por definición de frecuencia relativa:

8K 4 r é2 2 1i H => .v=9 ;~2I 2 jc + 8

Por tanto el % de vino que contiene el tcrccr recipien­ te es:

% vmn =

31 31 +51

' l(

'.,=3 7 ,5 %

Luego el número total dr datos: Clave: B

8.

Sea la función

Condicicón:

P (x ) = a¿

(-21 descartado)

=> jc = 9

m

2jc+ 8 = 2 (9 )+ 8 = 2 6

C fin

-h + a

Í ‘(\) P{\ \ = a + b -b+a < 4

10.

De la serie dada tenemos:

,.111

=> a < 2

I

1

3 + 8 + 15 + 24 +

Por condición: a e z ' ; => « = I

I

1

1

+ k2

J__

“ I x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + ‘ + ( / t - l)(< . + l ) H

Obter

.lose:

/'( \J

/?+l



UNI 2001-11 MATEMATICA f G