Examen2T

FACULTAD DE INGENIERÍA

F I

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

UMSA

ÁREA: MATEMÁTICA

TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 90 MINUTOS

FECHA: 05.05.2009 NO SE PERMITE CALCULADORAS

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En las preguntas 1 a la 3 encierra en un recuadro la opción correcta, en las preguntas 4 y 5 desarrolle completamente. 1.- (8 puntos) La expresión log 4 3 34 tiene por resultado: a)

4

b) 16

3

c)

1 8

d) Ninguno

2.- (8 puntos) La expresión de la media geométrica de tres números a,b,c será: a)

a

b)

bc

c

c)

ab

d)

abc

3.- (8 puntos) Si el tercer término de una progresión armónica es 6

b

ac

6 7 y el sexto es 13 entonces el

octavo término es: a) 3/10

b)

6/17

c) 6/15

d) 6/16

e) N. A.

4.- (8 puntos) Demostrar la identidad pitagórica: sen 2  cos 2   1 5.- (8 puntos) Indicar los valores principales de los ángulos que satisfacen la ecuación:

2 sen ( x )  3  0 3 a)  ,2

b)  ,3

c)

b x

6.- (20 puntos) Resolver la ecuación

logc b

3  , 4

 a

d) 

e) Ninguno

2logc x 1

7.- (20 puntos) En una progresión geométrica se puede considerar que los términos primero, tercero y quinto equivalen a los términos primero, cuarto y decimosexto de una progresión aritmética. Determinar el cuarto término de esta progresión aritmética sabiendo que su primer término es 5 8.- (20 puntos) Resolver y analizar el siguiente sistema:

2 3

(1)

 sen x  sen y  3  2

(2)

 



 xy

FACULTAD DE INGENIERÍA

F I

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009

UMSA

SOLUCIÓN DEL EXAMEN SEGUNDO PARCIAL ÁREA: MATEMÁTICA

FECHA: 05.05.2009

1.- La expresión log 4 3 34 tiene por resultado: E  4 log 4 3 3  4 * 4 log 3 3  16

Respuesta. Inciso b) 16 2.- Como los números están en Progresión Geométrica entonces, se verifica que: b c  a b b 2  ac  r

Respuesta. Inciso d)

b

b

ac

ac

3.- Los inversos formaran una progresión aritmética, por lo que se tiene:



a n  a1

7 a  a  2 d   3 1 6  (n  1)d , el sistema a formarse será:   a  a  5d  13  6 1 6 1 3

Restando ambas ecuaciones tenemos: 3d  1  d  , el primer término es: a1 

1 1 7 17 7 2 1  1   entonces: a8   7     2 2 3 6 6 3 2  3

Respuesta. Inciso

b) 6/17

4.-

R=1

c a



b

5.- De la ecuación, se tiene: Respuesta: Inciso a)  , 2

x 3  2  arcsen  o 3 2 3 3 x   o 2

a2  b2  c2 a2 b2 c2   c2 c2 c2 a b ( )2  ( )2  1 c c a b sen  ; cos   c c 2 2 sen   cos   1

6.- Resolver la ecuación log x b

b x



Como: x logc b  x log x c  x log x b



logc b

1 log x c

 a

2log c x 1

 b log c x

Por propiedades 1

b 2 b

Transponiendo términos  b    a

logc x

1 2

  a     b

logc x

a

logc x 

log

  b      a

c

1 2

1

 b2  b

x

b   a  



1 2

logc x

a

logc x

1

a2



 log c x  

1 1  x 2 c

7.u1 , u 2 , u 3, ...........PG a1 , a 2 , a 3, ...........PA u1  a1  5 u3  a4

 5r 2  5  3d

u 5  a16 u1 r

2

 a1  3d

u1 r

4

 a1  15d

(1)

5r  5  15d 4

(2)

Multiplicando la ecuación (1) por -5, se tiene la ecuación de segundo grado: 5r 4  25r 2  20  0 r 4  5r 2  4  0

r





 4 r 2 1  0 r  2  r  1

Para:

2

r  2  d  5  La P. A. sera : 5,10,15,20 r  1  d  0  La P. A. sera 5,5,5,5,

8.- Aplicando las identidades de transformación a producto en (2):  x  y  x  y 3  cos    2   2  2

2 sen 



(3)

Reemplazando (1) en (3): 3    x y  cos   2  3  2 



2 



2 sen 



3 x  y 3  cos    2  2  2 

Simplificando: 3  x y cos   2  2 

De esta ecuación se deduce que:  3 xy   2nπ  Arccos  2  2 



xy π  2nπ  2 6

Entonces:



 x  y  4nπ   

 x  y  2π  3 Sumando (1) y (4):

π 3

(4) (1)



x  y  4nπ 

π 3

π 2π 2x  4nπ   3 3



x  2nπ 

π π  6 3

π π 2π  ) y  6 3 3



π π y  2nπ   6 3

Reemplazando en (1): (2nπ 

Luego el conjunto solución es:  π π π π  C.S.   (x, y)/x  2nπ   , y  2nπ   , n  Ζ 6 3 6 3  

Dado que este conjunto solución parece muy complicado entender, podemos expresarlo de la siguiente manera:



ππ x  2nπ   63

ππ y  2nπ   63

ππ π x 1  2nπ    x1  2nπ   63 2   x  2nπ  π  π  x  2nπ  π  2 6 3 2 6 ππ π  y 1  2nπ    y1  2nπ   63 6   y  2nπ  π  π  y  2nπ  π  2 6 3 2 2

Luego el conjunto solución será:   π π π π   C.S.   (x, y)/x  2nπ  , y   nπ  , n  Ζ   (x, y)/x  2nπ  , y  2nπ  , n  Ζ 2 6 6 2    