Examen Uni PDF

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presenta este trabajo de problemas de geometría que han sido propuestos en los diferentes exámenes de la Universidad Nacional de Ingeniería, desde el año de  hasta el presente Año.

Este documento es y será un complemento de la preparación, el postulante desde sus estudios de la primera clase del curso puede ya practicar problemas tipo de admisión, porque porque el presente trabajo se ha ordenado los problemas según la secuencia lógica del curso.

De igual manera el alumno encontrara un orden cronológico en las preguntas que nos hacen ver la creciente dificultad de los problemas propuestos en los diferentes años.

La Presente publicación cumple también el papel de que el alumno vea que capítulos vienen mas preguntas y que las preguntas en los exámenes no son difíciles ni imposibles de hacerlos

Deseo hacer presente que este trabajo lo inicio mi profesor de Geometría Walter Ortiz López

 A UTOR UT OR : Y ON N Y F R A N S D OR OT E O R OD R IG UE Z

Toda noble empresa parece imposible al principio

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Toda noble empresa parece imposible al principio

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Toda noble empresa parece imposible al principio

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Sobre una línea recta se ha determinado tres puntos diferentes P, R y S, de tal modo que el punto R pertenece al segmento PS. Cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) El punto P pertenece a RS B) El punto S pertenece a PR C) Todos los puntos de pertenecen a PS D) Todos los puntos de pertenecen a RS E) Ninguna de las anteriores

RS PR

Sobre una recta están ubicados 4 puntos en el orden que se indica A; B, C y D si AD=24cm, AC mide 15cm y BD mide 17cm. ¿Cuánto mide BC? A) 6cm B) 5cm C) 7cm D) 8cm E) 9cm El punto P divide a una recta dada en dos rayos sobre una de ellas están los puntos A y B y sobre la otra los puntos C y D. ¿Cuál de las siguientes siguientes proposiciones es cierta?

A) El segmento AB contiene a P B) El segmento AC no contiene a P C) El segmento BD no contiene a P D) El segmento BC no contiene a P E) El segmento CD no contiene a P

El segmento AB, mide 23cm, el segmento AM mide 15cm. ¿Cuánto mide AN siendo N el conjugado armónico de M con relación a AB ? A

B

M

A) Ninguno indicados B) 33cm C) 33,95cm D) 45,26cm E) 49,28cm

de

N

los

valores

En un estante se tienen una colección de 3 volúmenes (I-II-III) tal como se indica en al figura, una polilla ha hecho una perforación en línea recta y normal a las cubiertas de los libros, en forma tal que partió de la primera pagina del volumen I y termino en la ultima pagina del volumen III. Sabiendo que en cada volumen las paginas constituyen un espesor de tres pulgadas y que cada cubierta (Tapa y contratapa) tiene un espesor de 1/8 de pulgada. Determinar la longitud total del hueco hecho por la polilla. ?

A) 9 B) 6 C) 9 D) 3

5 8 1 2 1 2 1 2

pulgadas pulgadas Tomo Tomo Tomo

pulgadas pulgadas

E) 9 pulgadas

Toda noble empresa parece imposible al principio

I

II

III

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Si el número máximo de puntos de intersección de “n” rectas es 120. ¿Cuál es el número de rectas?

A) n=16 B) n=15 C) n=18 D) n=15 o 16 E) n=-15 Sobre una recta se dan los puntos consecutivos M, A, B siendo O el punto medio de AB Calcular MO 2, sabiendo que MA=2m y AB=6m

A) 25m2 B) 28 m2 C) 32 m2 D) 21 m2 E) Ninguna de las anteriores Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos A, B y D entre los puntos B y D se toma el punto C tal que AC=CD/4. determinar BC sabiendo que BD-4AB= 20

Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B, M, C, D, N y E de modos que M es punto medio de AD y BC y N es punto medio de ED sabiendo que AD=18m, BE=16m y CN=11m Hallar la longitud de MN y BD

A) 11m y 8m B) 12m y 10m C) 12m y 11m D) 13m y 12m E) 8m y 11m Al dividir un cierto segmento en partes proporcionales a 1/3, 1/4 y 1/2 se obtienen tres segmentos, el segundo de los cuales mide 12cm, la suma en cm de los segmentos 2º y 3º es: A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48

A) 2 B) 5 C) 6 D) 4 E) 8 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E, F sabiendo que se cumple 5 AC+BD+CE+DF=91 y BE= AF  . 8 ¿Cuál es la longitud de AF?:

A) 52 B) 48 C) 54 D) 34 E) 56

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Se tiene un segmento AB de longitud “n” a partir de este se obtienen “n” segmentos de la siguiente manera: El primero es AB de longitud “n” unidades, el segundo de longitud igual a la mitad del primero, el tercero de longitud a la mitad del segundo, el cuarto de longitud igual a la mitad del tercero y asi sucesivamente. Luego se toma la enesima parte de cada una de dichas longitudes y se suman los resultados. esta suma es;

A) B) C) D) E)

2

Los puntos A, B, C y D son consecutivos sobre una línea recta y forman una cuaterna armónica que cumple la siguiente relación 1  AB



el

1  AD



1 4

  . si AD=9, entonces

segmento

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

n - 1

2

n

2n  1 2 n -1 2

n 1

1

n - 1

2 n 2

2 1 n1 2 n -1

2 1 n

Sobre un segmento de izquierda a derecha, se consideran los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que AC=a, BD=3a/4, sabiendo que CD 6



BC 2

 . Hallar AB:

A) 23a/16 B) 2a/3 C) 13a/16 D) 33a/16 E) 4a/13

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CD

mide.

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(Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Filosófo y matemático griego. En su  juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro .

Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que  para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella. Tales se planteó la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia? Tales consideraba que esta última cuestión sería afirmativa, puesto q ue de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico .

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1.

Las rectas XOZ y YOW se cortan el punto O la bisectriz del ángulo XOY forma con OZ un ángulo de 160º. ¿Cuánto mide el ángulo XOY.?

A) 48º B) 40º C) 32º D) 20º E) 16º 2.

En la figura BD es bisectriz del ángulo CBE y la suma de los ángulos ABC y ABE vale 52º. Calcular el valor del ángulo ABD

A) B) C) D) E)

52º 39º 26º 34º 28º

En la figura, OX es la bisectriz del ángulo AOC y OY es la bisectriz del ángulo BOD. El ángulo COD=99º, el ángulo XOY mide 90º. Calcular el ángulo AOB:

4.

Se dan dos rectas oblicuas “a” y “b” y una secante que las corta en los punto A y B, formando con ellas ángulos correspondiente de 85º y 75º respectivamente, escogiendo sobre AB (mas cercano de B que de A) un punto X y tomando sobre la recta “a” el segmento AY=AX y sobre la recta “b” el segmento BZ=BX ambos hacia donde convergen a y b, la medida del ángulo XYZ será.

A) B) C) D)

Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo de 360º. Se sabe que el cuádruplo del menor es a la suma del ángulo menor más el triple del mayor de los ángulos como 4 a 5. Hallar el menor de los ángulos si se sabe que esta comprendida entre 1080º y 3240º.

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

98º 81º 99º 100º 170º

75º 80º 100º 90º 95º

1280º 2160º 3200º 3210º 3230º

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Se tienen dos rectas coplanares L 1 y L2  que forman un ángulo agudo siendo L1  horizontal y L 2  con pendiente positiva. Luego se trazan en el mismo plano dos rectas L 3 y L4 secantes a las anteriores que forman respectivamente ángulos de y con la vertical y con L 2  ángulos iguales. ¿Cual de las siguientes relaciones es verdadera?

        4      90º 2           4                    2             90º     4    2             2  

A)    90º  B) C) D) E)

En la figura mostrada las rectas XX´ e YY´ son paralelas si la suma de los ángulos a y b es de 76º, hallar la medida del ángulo “e” formado por XX´ con al bisectriz del ángulo que determinan las rectas mm´ y qq´.

A) B) C) D) E)

28º 42º 36º 52º 14º

En la figura L 1 //L2 // y L 3 //L4, el valor numerico de 3x-12º es.

A) B) C) D) E)

15º 16º 17º 18º 19º

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El ángulo ABC de un triangulo ABC mide 68º y el ángulo BCA mide 12º. ¿Cuál es el menor ángulo que forman entre si las alturas bajadas de los vértices B y C. A) 40° B) 56° C) 112°

D) 80° E) 110°

El segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto de un triangulo se llama: A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

Un quinto de radian 0,1  radianes 30° 18° Un sexto de un ángulo recto

Calcular el ángulo agudo formado por las bisectrices de los ángulos ABC y CAB de un triangulo ABC, si el ángulo ABC mide 66º y el ángulo BCA mide 24º. :

Altura Bisectriz interior Mediatriz Mediana Bisectriz exterior

El ángulo BAC de un triangulo ABC cualquiera mide 54º12´. ¿Cuál es el valor del ángulo menor de la intersección de las bisectrices exteriores de los Angulo ABC y ACB : : A) 27º06´ B) 35º48´ C) 62º54´

Cuanto mide el ángulo entre un lado de un cuadrado y el lado más próximo de un triángulo equilátero inscrito en dicho cuadrado. Ambos lados tienen un vértice en común:

D) 54º12´ E) 38º45´

AR, BS y CT son tres rectas cualquiera no paralelas que se bisecan mutuamente en un punto de intersección común P. (es decir AP=PR, PB=PS y CP=PT). Cual de las siguientes expresiones no existe. A) El ángulo ABC y el ángulo TSR siempre son iguales B) Los segmentos AB y TS pueden ser iguales C) Los segmentos AC y TR pueden ser desiguales D) Los ángulos ABC y TSR son iguales E) Los segmentos AB y SR siempre son iguales

A) B) C) D) E)

50° 25° 75° 78° 12°

El ángulo formado por las bisectrices interiores de loas ángulos internos B y C de un triangulo ABC, mide 30º. El ángulo interno A medirá: A) B) C) D) E)

120° 150° 60° 165° 105°

Los ángulos de un triangulo rectángulo están en progresión geométrica. La diferencia de los ángulos agudos es igual a: ( dato: A) B) C) D) E)

5   2,24 )

21,2º 34,4º 9,8º 55,6º 10,6º

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El ángulo que forma la altura relativa a la base de un triangulo isósceles y la bisectriz interior que uno de sus ángulos iguales es 56º. Dichos ángulos iguales miden: A) B) C) D) E)

44° 134° 68° 34º 62°

.

A) B) C) D) E) a.

A) B) C) D) E)

10° 80° 50° 40° 20°

.

La bisectriz del angulor recto de un triangulo rectangulo y la mediatriz de su hipotenusa forman un agulo de 12º30´. ¿Cuanto mide el angulo que forman la hipotenusa con la bisectriz del angulo menor. A) B) C) D) E)

22º 30´ 11º 15´ 18º 45´ 25º 12º 30´

c=40m, B= 30º, C=35º c=35m, B= 25º, C=35º Faltan datos c=28m, B= 35º, C=30º No hay solucion , es imposible

38º15´ 47º 30´ 51º 45´ 54º 45´ 50º 45´

Una competencia consite en salir corriendo de A y llegar a B tocando la pared. Hallar el angulo .

En cierto triangulo isosceles, el angulo opuesto a la base mide 162º. Cuanto mide el angulo agudo formado por la bisectriz de uno de los angulos iguales del triangulo con la altura relativa a la base? . A) 85° B) 75° C) 75º30´ D) 85°30´ E) 81°

a=21m,

En un triangulo ABC, la diferencia de los angulos A y B es de 76º 30´, la bisetriz del angulo C corta al lado opuesto en D. Hallar el angulo formado por la bisectriz y el segmento DB.

Las bisectrices interiores de los ángulos iguales de un triángulo isósceles forman un ángulo un ángulo de 100º. ¿Cuánto vale cada uno de dichos ángulos iguales?:

A) B) C) D) E)

Resolver el triangulo b= 32m y A= 115º .

A) B) C) D) E)

.

B

A

=60° = 45º = 90º =120° =Ninguno indicados

de

los

valores

AB y AC son los lados iguales de un triangulo isosceles ABC, en el que se inscribe un tringulo equilatero DEF con vertices D sobre AB, E sobre AC y F sobre BC. Si “a” es el angulo BFD, “b” es el angulo ADE y “c” es el angulo FEC, luego se cumple que :

A) b  B) a  C) a 

ac 2

D) b 

ac 2

bc 2 bc 2

E) a 

b  2c 2

El que aprende y aprende y no practica lo que sabe es como el que ara y ara y nunca siembra

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Del siguiente conjunto de datos el unico que no determina la forma de un triangulo es :

.

A) La relacion entre dos lados y medida del angulo comprendido B) Las relaciones entre las tres alturas C) Las relaciones entre las tres medianas D) Dos angulos E) La relacion entre la altura y la base sobre la que cae .

La bisectriz de uno de los ángulos de un triangulo escaleno forma con el lado opuesto dos ángulos que son entre si como 7:13. Determinar el menor de los ángulos del triangulo asumiendo que la medida en grados de cada uno de los tres ángulos es un número entero menor de 80º: : A) B) C) D) E)

.

76º 25º 79º 78º 24º

A) B) C) D) E)

Iguales Complementarios Suplementarios No existe ninguna relación entre ellos E) Conjugados

83º 76º 72º 68º 56º

. En un triangulo ABC la bisectriz interior trazada por A forma con la bisectriz exterior del ángulo C un ángulo de 36º, sabiendo que m A - m C=20º. Calcular el m C.

A) 44º B) 88º C) 36º D) 64º E) 72º .

En

un

triángulo

ABC,

AC=10cm,

m A=2 m B, y la longitud desde el pie de la altura trazada del vértice C, hasta el punto B, es igual a 15cm, luego el ángulo C vale:

Si desde un punto de un triangulo, trazamos perpendiculares a dos de los lados del triangulo. El ángulo que forman estos dos lados del triangulo y el ángulo que forman las perpendiculares trazadas son entre si: A) B) C) D)

El ángulo ABC de un triangulo ABC mide 70º y el ángulo BCA mide 13º. ¿Cuál es el menor ángulo que forman entres si, las alturas bajadas de los vértices B y C?.

A) 3  /8 B) 3  /4 C)  /2 D) 2  /5 E) 3  /7 .

En el siguiente triangulo, calcular el valor del ángulo que es el complemento del suplemento de . A) B) C) D) E)

40º 20º 110º 220º 80º

40º  

El que aprende y aprende y no practica lo que sabe es como el que ara y ara y nunca siembra

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.

En la figura RS biseca el ángulo PRQ, luego podemos afirmar:

.

R

p P

A) β  B) β  C) α  D) α  E) β  .

Q

BAC ICE EIC DIE IBD

pq

.

2 pq 2 pq 2 β 2 α p

2

 15º

Cual de las siguientes afirmaciones es falsa? Un triangulo se puede resolver si se conocen: A) 1 lado, 2 ángulos B) 2 lados y el ángulo comprendido C) 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos D) 2 ángulos E) 2 lados y 2 ángulos

.

A) B) C) D) E)

q S

En un triangulo ABC, sea D el punto de intersección de la prolongación de AI y BC, IE es la perpendicular trazada de I a BC, ¿entonces la medida del ángulo BID es igual a la medida del ángulo: (I es incentro).

En un triangulo ABC se tiene que m ABC=3 m ACB, AH: altura trazada desde A AD: Bisectriz del ángulo BAC, entonces la medida del ángulo HAD es: A) m ACB B) 3 m ACB C) m ACB/2 D) 2 m ACB/3 E) 2 m ACB

Los ángulos interiores de un triangulo son  es otro ángulo tal que =180º, además 15º y =15º. Entonces  es: A) B) C) D) E)

54º 15´ 56º30´ 56º15´ 62º30´ 56º12´

En un triangulo isósceles ABC de la figura, donde AB=BC, se cumple Tg( )= 3 . Siendo AN y BM bisectrices de los ángulos A y B respectivamente. Determinar la medida de ( B

A) B) C) D) E)

20º 15º 40º 32º 35º

N

A

M

C

En el triangulo ABC, AB=12m, AC=7m y BC=10m si las longitudes AB y AC se duplican mientras BC permanece constante entonces se cumple. A) La altura trazada desde A, se duplica B) La nueva figura no es un triangulo C) El área del nuevo triangulo es 4 veces el área original D) El área del triángulo se duplica E) La mediana trazada desde A queda invariable

El que aprende y aprende y no practica lo que sabe es como el que ara y ara y nunca siembra

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Sea el triangulo ABC en el cual m ABC=64º

y

el

.

ángulo

m ACB=72º, sean BM y CP bisectrices de los ángulos ABC y ACB respectivamente, BM y CP se cortan en el punto Q, BH es la altura trazada desde B. Hallar la medida de los ángulos BQC y MBH. A) B) C) D) E) .

En la siguiente figura se tiene que   ¿Cual de las siguientes relaciones es verdadera? B

A

112º y 16º 120º y 12º 110º y 14º 110º y 12º 112º y 14º

A) B) C) D) E)

Los lados de un triangulo son a, b y c si se añade al lado “a” una longitud d/2, se le quita la lado “b” la longitud d/4 y se le agrega al lado “c” la longitud de 5d/6, y con los nuevos segmentos, así obtenidos se forma una poligonal. ¿Cuál debe ser la longitud de “d” para que la longitud de la poligonal sea el triple del perímetro del triangulo.

R

Q

P

AP+PBAQ+QB>AR+RB AQ+QBAP+PB AQ+QB