Examen Nacional Pensamiento Log Matematico

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EXAMEN NACIONAL ABP INTRODUCCIÓN En este trabajo final se trataran todos los temas visto en el curso de Pensamiento Lógico Matemático, y por medio de problemas que se escogerán se demostraran y verificaran por medio de los diferentes razonamientos y argumentos de acuerdo a cada tema visto. Diagramas de Venn, Leyes de inferencia, tablas de verdad, falacias entre otras. Cada enunciado requiere de una adecuada comprensión y análisis para su desarrollo por lo cual es necesario repasar y revisar algunos conceptos confusos o cruzados acerca de las operaciones lógicas, silogismos, leyes de inferencia entre otras para así dar solución a lo propuesto.

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OBJETIVOS  Se busca clarificar conceptos de operaciones de conjuntos, leyes de inferencia, diagramas de Venn que ayuden a la solución de los problemas escogidos.  Se requiere una rápida y correcta comprensión del enunciado para así poder plantear un análisis adecuado para su solución.  Afianzar los temas vistos durante el semestre en el curso mediante la solución, demostración y verificación de los problemas propuestos.  Impulsar al estudiante a indagar, investigar y profundizar sobre temas confusos y términos que no estén claros para así completar su ciclo de aprendizaje de este curso.

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BANCO DE PROBLEMAS En los numerales (1), (2), (3), (4) y (5) aplicar las propiedades y las operaciones con conjuntos y validar los procesos con el uso de Diagramas de Venn para la solución de cada problema:

1. Se preguntó a 50 docentes de la ECBTI sobre los deportes que practicaban, obteniéndose los siguientes resultados: 20 practican solo futbol, 12 practican futbol y natación y 10 no practican ninguno de estos deportes. Con estos datos averigua el número de docentes que practican natación, el número de ellos que solo practican natación y el de los que practican alguno de dichos deportes.

Solución: Según la información podemos identificar los conjuntos que componen el Universal. Conjunto U: 50 docentes Docentes que practican sólo Futbol: F = 20 Docentes que practican Futbol y Natación: FN = 12 Docentes que no practican ningún deporte: ND = 10 A partir de aquí podemos reducir el grupo de docentes que practican deportes ya que el grupo entrevistado es de 50 y el grupo que no practica ningún deporte es de 10. Es decir, tenemos 40 docentes que practican deportes. (PD=40) De estos 40 docentes sabemos que 20 practican Sólo Futbol (PD-F=40-20=20), es decir que sólo 20 docentes practican generalmente futbol y natación.

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De estos 20 docentes, nos especifican que solo 12 practican Futbol y natación, FN=12, así que restando estos 20 con los 12, tenemos que solo 8 docentes practican natación. Por medio de la operación de conjuntos, tenemos que: De los 50 docentes, hay 10 que no practican deportes, así que: F U N = 40 = (F – N) + (N – F) + (F∩ N) F - N= 20

y

F ∩ N = 12

(N – F ) = 40 – 20 – 12 = 8 Así, la representación de los conjuntos en diagramas de Venn es:

Entonces, podemos concluir que los docentes que Practican solo natación, N: 8 Practican Natación y otro deporte, FN: 20 Practican deportes son 40

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Practican solo futbol, F: 20

En los numerales (6), (7), (8), (9) y (10) identificar todas las expresiones que considera son proposiciones lógicas simples y también las expresiones que no son proposiciones. El siguiente paso es identificar proposiciones compuestas. Para lograr esta identificación, conviene reescribir el texto resaltando los conectivos lógicos que no están explícitos en la expresión. Declarar las proposiciones simples, asignando una de las últimas letras del alfabeto para identificarlas. Finalmente, expresar en lenguaje simbólico las proposiciones simples, compuestas identificadas; y construir sus tablas de verdad. Determinar si la tabla de verdad es tautología, contradicción o contingencia. Además adjuntar pantallazo del uso del simulador de Tablas de Verdad. 9. Si acepto este trabajo o dejo de practicar el deporte que me apasiona por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de jugar ajedrez. Por lo tanto, no realizaré mis sueños

Solución: Si acepto este trabajo o dejo de practicar el deporte que me apasiona por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. He aceptado el trabajo y he dejado de jugar ajedrez. Por lo tanto, no realizaré mis sueños

Proposiciones Simples:  Acepto este trabajo  Dejo de practicar este deporte que me apasiona por falta de tiempo  No realizare mis sueños  He dejado de jugar ajedrez

Proposiciones compuestas:

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Premisa 1: Acepto este trabajo o dejo de practicar el deporte que me apasiona por falta de tiempo, entonces no realizaré mis sueños. Premisa 2: He aceptado el trabajo y he dejado de jugar ajedrez Conclusión: No realizare mis sueños

Declaración de Proposiciones Simples: p: Acepto el trabajo q: Dejar de Practicar el deporte que me apasiona por falta de tiempo r: No realizare mis sueños s: Deje de jugar ajedrez

Proposiciones Compuestas: P1: p ∨ q P2: p ∧ s Conclusión: r Expresión completa: [{(p ∨ q)  r} ∧ (p ∧ s)]  r

Podemos decir que aunque no sabemos nada de si dejó de practicar el deporte de sus sueños, pues nada nos afirma que sea el ajedrez, el haber aceptado el trabajo hace cierto el antecedente, ya que en la conjunción ¨o¨ se permite que con el cumplimiento de cualquiera de las condiciones sea cierto el enunciado. Por esto la conclusión es cierta: no realizará sus sueños.

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Desarrollando la tabla de verdad: p q r s pVq

(p V q) -> r p ∧ s

{(p V q) -> r} ∧ (p ∧ s)

>r

V V V V

V

V

V

V

V

V V V F

V

V

F

F

V

V V F V

V

F

V

F

V

V V F F

V

F

F

F

V

V F V V

V

V

V

V

V

V F V F

V

V

F

F

V

V F F V

V

F

F

F

V

V F F F

V

F

F

F

V

F V V V

V

V

F

F

V

F V V F

V

V

F

F

V

F V F V

V

F

F

F

V

F V F F

V

F

F

F

V

F F V V

F

V

F

F

V

F F V F

F

V

F

F

V

F F F V

F

V

F

F

V

F F F F

F

V

F

F

V

Según la tabla de verdad obtenemos que la expresión sea una tautología por lo tanto la conclusión es cierta. r La expresión booleana traducida para el simulador de tabla de verdad: [{(p + q) > r} & (p & s)] > r

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Y simulando esta expresión obtenemos:

En los numerales (11), (12), (13), (14) y (15) identificar (del texto dado), los razonamientos lógicos inductivos y deductivos, y en ellos el tipo de razonamiento. A partir de los razonamientos propuestos para el texto, responder la pregunta: ¿Se verifica la conclusión propuesta? Y presentar argumentos que permitan respaldar veracidad a la respuesta dada. Es decir, a partir de las tablas de verdad y las leyes de inferencia demostrar la validez o no del razonamiento. Además adjuntar pantallazo del uso del simulador de Tablas de Verdad.

13. Si el Rector no pudo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo, entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían. Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero. No se devolvió el dinero. Por lo tanto, el Rector pudo dar el discurso. Solución: Las proposiciones simples son: p = El rector pudo dar el discurso q = Los diploman llegan a tiempo r = Cancelar la fiesta de graduación s = Se enojan los estudiantes t = Devolver el dinero

Y las proposiciones compuestas son: Premisa 1: Si El Rector no puedo dar el discurso o los diplomas no llegasen a tiempo entonces la fiesta de graduación tendría que cancelarse y los estudiantes se enojarían.

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Premisa 2: Si la fiesta se cancelara, habría que devolver el dinero Premisa 3: No se devolvió el dinero Conclusión: El Rector pudo dar el discurso P1: (~p ∨ ~q)  (r ∧ s) P2: r  t P3: ~t Conclusión: p Como se cumple la P3: ~t, entonces por Modus tollendo tollens sobre P2 tenemos ~r. [(r  t) ∧ ~t]  ~r Entonces el consecuente de P1: (r ∧ s) es falso, luego por tollendo tollens sobre P1 se cumple. ~(~p ∨ ~q)  ~(r ∧ s) Simplificando ~(~p v ~q); por las leyes de Morgan: ~(~p) ∧ ~(~q), y por la doble negación  p ∧ q Así que podemos simplificar porque p y q tienen que ser verdaderas. Conclusión p Luego se verifica la conclusión propuesta.

La expresión booleana queda: [{(~p ∨ ~q)  (r ∧ s) } ∧ (r  t) ∧ (~t)]  p Así, la tabla de verdad queda:

p V V V V V V V V V V

q V V V V V V V V F F

r V V V V F F F F V V

s V V F F V V F F V V

t ~p V F F F V F F F V F F F V F F F V F F F

~q F F F F F F F F V V

~p ∨ ~q F F F F F F F F V V

r∧s V V F F F F F F V V

rt V F V F V V V V V F

~t F V F V F V F V F V

(~p ∨ ~q)  (r ∧ s) V V V V V V V V V V

10 V V V V V V F F F F F F F F F F F F F F F F

F F F F F F V V V V V V V V F F F F F F F F

V V F F F F V V V V F F F F V V V V F F F F

F F V V F F V V F F V V F F V V F F V V F F

V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F

F F F F F F V V V V V V V V V V V V V V V V

V V V V V V F F F F F F F F V V V V V V V V

V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F

V F V V V V V F V F V V V V V F V F V V V V

F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V F V

F F F F F F V V F F F F F F V V F F F F F F

y… {(~p ∨ ~q)  (r ∧ s) } ∧ (r  t) ∧ (~t) F F F F F V F V F F F F F F F F F F F F F F F

[{(~p ∨ ~q)  (r ∧ s) } ∧ (r  t) ∧ (~t)]  p V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

11 F F F F F F F F F

V V V V V V V V V

Podemos determinar por la tabla de verdad que la expresión dada es una Tautología. Es decir, la expresión es válida y llegamos a la conclusión propuesta p.

Y la expresión para el simulador de tablas de verdad es: [{(~p + ~q) > (r & s) } & (r > t) & (~t)] > p

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En los numerales (16), (17), (18), (19) y (20) seleccionar uno de los siguientes enunciados e identificar en dicho silogismo las diferentes proposiciones categóricas, y proponer una representación mediante Diagramas de Venn de las diferentes relaciones entre las clases implicadas, según las proposiciones categóricas:

18.

Todos los artistas son ególatras. Algunos artistas son indigentes. Por lo tanto, algunos indigentes son ególatras.

Solución: Proposiciones categóricas: Premisa universal: Todos los artistas son ególatras. Premisa particular: Algunos artistas son indigentes.

Así, representando estas premisas en un diagrama de Venn tenemos:

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Al observar este diagrama, y poder demostrar la conclusión “Algunos indigentes son ególatras” ponemos una X en la intersección de los círculos Indigentes y ególatras, esta sección superpuesta está formada por las regiones SPM (IEA: Indigente – Ególatra Artista) y SPM (IEA) que constituyen conjuntamente la región SP, lo cual nos validará que “Algunos indigentes son ególatras” y podemos decir que el silogismo es válido.

Dados los numerales (21), (22), (23), (24) y (25), identificar, clasificar y explicar las diversas falacias de lenguaje contenidas en las siguientes expresiones y el tipo de razonamiento que se utiliza.

23. Juan ha prometido a su novia, que no va a beber alcohol, para no meterse en líos. Sus amigos le dicen que beba, para no aburrirse, insistiendo en que se lo monta muy bien, cuando bebe. ¿Qué tipo de falacia están usando los amigos de Juan, para convencerle de que beba? Solución: El tipo de falacia que los amigos de Juan están usando es la falacia del antecedente. Sus amigos le dicen que beba, insistiendo en que se la monta muy bien cuando bebe, basándose en experiencias vividas previamente. Así que: -

Si no está aburrido no beberá.

-

Y si no bebe no estará aburrido

 Por lo tanto no beberá ni estará aburrido Falacia negación del antecedente:

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Razonamiento que partiendo de un condicional (si p, entonces q) y negando el primero, que es el antecedente, se concluye la negación q, que es el consecuente. [1] Ejemplo: "Si llueve, cojo el paraguas; no llueve. Entonces, no cojo el paraguas". Los argumentos de esta forma son inválidos, porque la verdad de las premisas no garantiza la verdad de la conclusión: podría ser que las premisas fueran todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Por ejemplo, el siguiente argumento tiene la forma de una negación del antecedente: 1. Si está nevando, entonces hace frío. 2. No está nevando. 3. Por lo tanto, no hace frío. Aun cuando ambas premisas sean verdaderas, la conclusión podría ser falsa, porque podría no estar nevando y aun así hacer frío. Otro ejemplo: 1. Si estudio, aprobaré. 2. No estudié. 3. Por lo tanto, no aprobaré. La primera premisa solo nos da información sobre lo qué sucederá si estudio, pero no dice nada sobre lo que sucederá si no estudio. Podría ser que tenga suerte o me copie, y que por lo tanto apruebe aún sin haber estudiado.[2]

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CONCLUSIONES  Se logró repasar y afianzar los conocimientos adquiridos durante este curso.  Se logró aplicar adecuadamente las propiedades de conjuntos a los ejercicios propuestos con su respectiva demostración.  Se identificaron y usaron las reglas de inferencia lógica vistas en el curso aplicadas a los ejercicios propuestos y de paso se afianzaron sus conocimientos.  Se identificaron algunos conceptos confusos y se afianzaron términos y operaciones para poder interpretar y dar solución a los problemas.  La identificación y análisis del problema llevo a una comprensión más clara de muchos conceptos y términos que estaban confusos lo cual llevo a una consulta e investigación y fomentó una amplia lluvia de ideas y alternativas para dar solución a los problemas

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Falacias lógicas. (2016). Xtec.cat. Obtenido en Julio 5 de 2016, de http://www.xtec.cat/~lvallmaj/preso/fal-log2.htm [2] Negación del antecedente. (2013). Es.wikipedia.org. Obtenido en Julio 6 de 2016, de https://es.wikipedia.org/wiki/Negaci%C3%B3n_del_antecedente Introducción a la Lógica (2016). Silogismos Categóricos y Diagramas de Venn. Pg

213

–

218.

Obtenido

en

Julio

6

de

2016,

de

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/200611/ANO_2016/1601/DOCUMENTOS_BIBLIOGRAFICOS_DE_APOYO/LOGICA_PROPOSICIONAL/Silo gismo_Categoricos_y_Diagramas_de_Venn.pdf Tabla de verdad. (2016). Es.wikipedia.org. Obtenido en Julio de 2016, de https://es.wikipedia.org/wiki/Tabla_de_verdad