Examen Metodologías de Riesgo

 

Examen Metodolog Meto dolog´ ´ıas de Riesgo Nombre:  Fabi´ aan n P´eerez r ez L´oopez. pez. Fecha:  26 de enero de 2019.

Instrucciones: El examen debe resolverse en menos de 60 minutos. Conteste lo queoon cada punto, incluya cualquier supuesto utilizado. Si no conoces alguna definici´ nsedepide las en preguntas 4 y 5, inv´ eentala, ntala, def def´´ınela y util util´´ızala de acuerdo con su definici´ oon. n. No vale un n´u umero mero como respuesta si no se incluye la l´oogica gica empleada. Pregunta 1  Definici´ oon n formal de la derivada de una funci´on on   f . La funci´on on   f   es   derivable en   a   si

f (a + h) h→0 h

l´ım

− f (  a)

existe.

 derivada ada de   f   en   a. Decimos En este caso el l´ımite se designa por   f  (a) y recibe el nombre de  deriv tambi ta mbi´´een n que qu e   f   es   derivable   si   f  es derivable en   a  para todo   a  del dominio de   f . Pregunta 2  De manera intuitiva i ntuitiva (no form formal), al), ¿qu´e representa llaa segun segunda da derivada de una fun funci´ ci´on? on? A modo de repaso informal, se dice que una funci´on on   f   es  convexa  en un intervalo, si para todo   a y   b  de este intervalo, el segmento rectil rectil´´ıneo que u une ne ( a, f (a)) con (b, f (b)) queda por encima de la o oncava ncava  si dicho segmento rectil gr´aafica fica de   f   (gr´aafica fica en forma de ); la funci´on on   f   es   c´ rectil´´ıneo queda  por debajo de la gr´aafica fica de   f   (gr´aafica fica en forma de ). As´ı,ı, si   f  >  0 significa que   f  es creciente, y por teoremas del c´aalculo lculo elemental,   f  es convexa. De lo contrario, si   f  <   0,   f  es decreciente y por consiguiente   f  es c´ooncava. ncava. Esto es lo que representa la segunda derivada de una funci´on   f .

 ∪

 ∩

Un uso importante de la segunda derivada en la localizaci´oon n de m´aaximos ximos y m´ıınimos nimos es el siguiente teorema, teore ma, que en enunciam unciamos os de maner maneraa forma formal. l.   Supongamos  f  Supongamos   f  (a) = 0. Si  f   f  (a)  >  0 , entonces  f  ti  f  tiene ene un m´ınimo ıni mo local en  e n  a;  a ; si  f   f  (a)  <  0 , entonces  f  tiene f  tiene un m´  aximo local en   a. Pregunta 3 ¿Q  ¿Qu´ u´e es una func funci´ i´oon n de verosimilitud y cu´aall es su uso en la estimaci´oon n de par´aametros? metros?

Previo a la respuesta, se pone en contexto al lector para una mejor comprensi´oon n de la definici´on on que se dar´a en breve.  model delo o estad est ad´ ´ıstico ısti co F  es un conjunto de distribuciones (o densidades o funciones de regreUn  mo  modelo delo param´ par am´ etrico etri co  es un conjunto F  que puede ser parametrizado por un n´u si´oon). n). Un  mo umero mero finito de par´ametros. ametros. Por ejemplo, si suponemos que los datos provienen de una distribuci´on normal, entonces, el modelo es F   =



  1 f (x; µ, σ ) = exp σ 2π

√ 



−

 1 (x 2σ 2

− µ)

2



:  µ

 ∈ R, σ > 0



.

Esto es un modelo de dos par´aametros. metros. Hemos escrito la densidad como  f (x; µ, σ ) para mostrar que x  es un valor de la variable aleatoria, mientras que   µ   y   σ  son par´ aametros. metros. En general, un modelo param´eetrico trico toma la forma

1

 

 {f (x; θ) : θ  ∈ Θ}

F   =

donde   θ   es un par´aametro metro desconocido (o vector de par´aametros) metros) que puede tomar valores en el espacio espac io parame parametral tral Θ.  principio io de m´ axima axima verosimilitud verosimilitu d  supone que la muestra es representativa Esencialmente, el  princip on de de la poblaci´oon n y escoge como estimador el valor del par´aametro metro que maximice la   funci´ densidad densid ad de probabilid probabilidad ad   (en adelante   pdf   ))   f (x; θ ). Damos a continuaci´ oon n la definici´oon n de funci´oon n de verosimilitud. pdf f (x1 , . . . , xn ; θ),   θ Sea (X 1, . . . , Xn  ) un vector aleatorio con   pdf

 ∈ Θ. La funci´on on

L(θ ; x1 , . . . , xn ) =  f (x1 , . . . , xn ; θ)

considerada como una funci´oon n de   θ, es llamada la funci´oon n de verosimilitud. inde pendi ndientes entes e id´ enticame entic amente nte distrib dis tribu u´ıdas   (en adelante   iid ) con   pdf  Si   X 1 , . . . , Xn    son   indepe f (x; θ ), la funci´ oon n de verosimilitud es n

L(θ; x1 , . . . , xn

 )=

f (xi ; θ ).

i=1

Por otro lado, sea Θ

k

 ⊆   R

utiliz liza a   para, y   X   = (X 1 , . . . , Xn  ). La funci´oon n de verosimilitud   se uti

aˆ partir de ella, encontrar un estimador   Θ( ˆ X ) que la maximice, esto es, encontrar una funci´on on k Θ : Rn R que satisfaga

→

L(θˆ; x1 , . . . , xn ) = sup L(θ ; x1 , . . . , xn ).

 

(1)

θ∈Θ

Las constantes no se admiten como estimadores. Si una   θˆ  que satisface (1) existe, lo llamamos estimador estimad or de m´ axima axima verosimilitud verosimilitu d  (en adelante MLE). Pregunta 4  Se tiene una ca cartera rtera de cr´eedito, dito, la ca cartera rtera es est´ t´a compuesta s´oolo lo por 3 cr´eeditos ditos a cierta fecha de referencia   f 1  y se sabe que todos los cr´ editos editos tiene tienen n un ven vencimie cimiento nto menor o igual a un

a˜n no; o; esta cartera se monitorea durante los 12 meses posteriores a la fecha de referencia y se observa la siguiente distribuci´oon n de incumplimientos: El cr´edito edito 1 no incumpl incumple, e, El cr´edito edito 2 incumple en el mes 11, El cr´eedito dito 3 incum incumple ple en los meses 4 y 9 (incu (incumple mple 2 ve veces ces en el aa˜ n no). ˜o). Con la informaci´oon n anterior oobtenga btenga el mejor esti estimador mador p posible osible de la prob probabilid abilidad ad de que un cr´edito edito incumpla en el pr´ooximo ximo a˜ n no. o. axima axima verosimilitud verosimilitud   supone que la Como se coment´o en el problema 3, el   principio de m´ muestra es representativa de la poblaci´oon n y escoge como estimador el valor del par´aametro metro que maximice maximi ce a   f (x; θ ). Se asume que los pagos mensuales de cada cr´eedito dito son independientes. Considere la variable aleatoria   X ij edito edito   i   incumple en el mes   j   (i   = 1, . . . , 3, j   = ij   = 0 si el cr´ 1, . . . , 12) o  X ij edito edit o  i  cumple en el mes  j ; sea   p  que denote la probabilidad de cumplir ij  = 1 si el cr´ o pagar. Entonc Entonces, es, escribimo escribimoss la funci funci´´oon n de verosimilitud de acuerdo a la muestra de pagos que el problema proble ma proporc proporciona iona (X   = (X 1111 . . . , X3  12)). 2

 

12

3



1−xij

 pxij (1

L( p, X ) =

− p) (1 −  p)  p (1 −  p)  p (1 −  p) .

i=1  j =1

=   p12 =   p33

0 11

1 10

(1

3

− p)

2

Observando que maximizar   L( p, X ) es equivalente a maximizar log(L( p, X )) )) en virtud de que la funci´oon n log es creciente, se tiene que log(L( p, X )) = log( p33(1  p)3 ) = 33 log( p) + 3 log(1 log(1  p).

−

−

Por consiguiente d   33  (log(L( p, X ))) ))) = dp  p

  − 1  −3  p .

 

(2)

As´ı d

 (log(L( p, X ))) = 0

dp

↔

33

  3   −   = 0  p 1 −  p ↔  p   33   = 1 −  p 3 ↔  p   =

  11 . 12

Por tanto, la probabilidad de que un cr´edito edito incumpla el pr´ooximo ximo a˜ n noo es 1

 11

 p  = 1

 =

 1

.

− 12

12 A modo de confirmar que   p   =   11   es un m´aaximo ximo para la funci´oon n de verosimilitud y apelando al 12 teorema mencionado al final del problema 2, derivamos una vez m´aass la ecuaci´oon n (2).

−

d2  (log(L( p, X ))) = dp

  − p33 − (1  −3 p)

=

2

 33

2

  3   +  p2 (1  p)2  p  (0 , 1).

 − <   0   ∀  ∈

−



En particular, esta derivada es negativa para   p  =   11 , confirm´aandose ndose as´ as´ı que q ue eeste ste valor es un m´axiaxi12 mo para la funci´on on de verosimilitud planteada con anterioridad. Pregunta Pregu nta 5   Se sabe que la proba probabilida bilidad d de que un cr´ edito edito con ve vencimi ncimient entoo a 6 mese mesess incum incum-pla en los pr´ooximos ximos 6 meses es   p1 (0   < p1   <   1), ¿cu´al al es la probab probabilidad ilidad de que este cr´ cr´eedito dito

3

 

incumpla en el pr´ooximo ximo a˜ n no? o? Pregunta 5  Se sabe sab e que la probabilidad de un cr´edito edito con vencimien vencimiento to a 6 meses incumpla en los pr´ooximos ximos 6 meses es   p   (0   < p <  1). ¿Cu´aall es la proba probabilida bilidad d de que este cr´eedito dito incumpla en el

pr´ooximo ximo a˜ n no? o? Supongo que tiene que ver con temas de probabilidad de incumplimiento; no me ha sido posible modelarlo como tal. Pregunta 6  Se tiene 2 vectores   x  y   y , tal que

x   = [x1 , . . . , xn ] y   = [y1 , . . . , ym ]

donde   m   y   n  son enteros positivos diferentes, ambos vectores est´aan n ordenados de modo que   x1 x2  ...   xn   y   y1   y2  ...   ym . Plantea un pseudoc´ oodigo digo para unir ambos vectores en un solo vector   w   que contenga ambos vectores ordenados de manera ascendente, es decir,   w   = [w1 , w2 , . . . , wm+n ] tal que   wi  es un elemento de   x   o   wi  es un elemento de   y . Adem´aas, s, el vector w   debe cumplir que   w1   w2   . . . wm+n .   Hint:  Utiliza el hecho de que ambos vectores est´ an an ordenados.

  ≤  ≤

 ≤

 ≤  ≤  ≤  ≤  ≤

Definir Defini r e inici iniciali alizar zar vecto vector r w de longi longitud tud m+n m+n w = (0,.. (0,...,0 .,0) ) Inicializ Inicia lizar ar contad contadore ores s i y j i = 1 j = 1  mientras(i