Examen Final Investigacion

SOLUCION EXAMEN POR: ALVARO YEPES RAFAEL ARRIETA

1. Dakota Company fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la manufactura de cada tipo de mueble se requiere madera y dos tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de muebles se proporciona en la tabla. Se cuenta en la actualidad con 48 pies de tablón de madera, 20 horas de acabado y 8 horas de carpintería. Un escritorio escritorio se vende en 60 dólares, dólares, una mesa, en 30 dólares y una silla en 20 dólares. Puesto que los recursos disponibles ya se compraron, Dakota requiere maximizar el ingreso total. Recursos necesarios para los muebles de Dakota Recursos Escritorios Mesa Madera (pie tablón) 8 6 Horas de acabado 4 2 Horas de carpintería 2 1.5

Silla 1 1.5 0.5

a. Formule el modelo de programación lineal b. Resuélvalo por el método adecuado c. Formule el modelo dual y determine los precios sombras d. Demuestre Demuestre que si las mesas se venden en 50 dolares y se usa un pie de tablón de madera, 3 horas de acabado y 1.5 horas de carpintería, las base actual para el problema ya no será óptima. Determine Determine la nueva solución. e. Muebles Dakota planea producir mesas para computadoras domesticas. Una mesa para la computadora del hogar se vende en 36 dolares y requiere 6 pies de tablón 2 hras de acabado y 2 horas de carpintería. ¿La compañía debe fabricar mesas para computadoras domesticas?. SOLUCION a. X1=CANTIDAD DE ESCRITORIOS A FABRICAR X2=CANTIDAD DE MESAS A FABRICAR X3=CANTIDAD DE SILLAS A FABRICAR MAX Z= 60X1+30X2+20X3 Z-60X1-30X2-20X3 S.A. 4X1+2X2+1.5X3 ≤20

8X1+6X2+X3 +S1 =48 4X1+2X2+1.5X3 +S2 = 20

2X1+1.5X2+ 0.5X3 ≤8

2X1+1.5X2+0.5X3

8X1+6X2+X3 ≤48

+S3=8

b. Por el método simplex BASICA Z S1 S2 S3

X1 -60 8 4 2

X2 -30 6 2 1.5

X3 -20 1 1.5 0.5

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 1

B 0 48 20 8

COLUMNA X1 Y FILA S3 SON LAS PIVOTES DIVIDIENDO S3 X 2 DA LA SIGUIENTE TABLA BASICA Z S1 S2 S3

X1 -60 8 4 1

X2 -30 6 2 0.75

X3 -20 1 1.5 0.25

S1 0 1 0 0

S2 0 0 1 0

S3 0 0 0 0.5

B 0 48 20 4

SOLUCIONANDO POR GAUSS JORDAN 60*RENGLON3 + RENGLON Z VIEJO -8*RENGLON3 + RENGLON 1 VIEJO -4*RENGLON3 + RENGLON 2 VIEJO ORIGINA LA SIGUIENTE TABLA

BASICA X1 X2 X3 S1 S2 S3 B Z 0 15 -5 0 0 30 240 S1 0 0 -1 1 0 -4 16 S2 0 -1 0.5 0 1 -2 4 X1 1 0.75 0.25 0 0 0.5 4 COLUMNA X3 Y FILA S1 SON LAS PIVOTES DIVIDIENDO S2 X 0.5 DA LA SIGUIENTE TABLA BASICA Z S1 X3 X1

X1 0 0 0 1

X2 15 0 -2 0.75

X3 -5 -1 1 0.25

5*RENGLON2 + RENGLON Z VIEJO 1*RENGLON2 + RENGLON 1 VIEJO -0.25*RENGLON2 + RENGLON 3 VIEJO ORIGINA LA SIGUIENTE TABLA

TABLA OBJETIVO PRIMAL

S1 0 1 0 0

S2 0 0 2 0

S3 30 -4 -4 0.5

B 240 16 8 4

BASICA Z S1 X3 X1

X1 0 0 0 1

X2 5 -2 -2 1.25

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 10 2 2 -0.5

S3 10 -8 -4 1.5

B 280 24 8 2

SE DEBEN FABRICAR 8 SILLAS X3, 2 ESCRITORIOS X1 Y NINGUNA MESA X2 PARA OBTENER LA MAXIMA UTILIDAD Z=60(2)+30(0)+ 20(8)=120+0+160=280 c.

---- Z=280

Método dual Min W= 48x1+20x2+8x3 s.a 8y1+4y2+2y3≥60 6y1+2y2+1.5y3≥30 y1+1.5y2+0.5y3≥20

Precios sombra Nuevos coeficientes objetivos de la variable básica (s1,x3,x1)

Y1, Y2,y3=(s1,x3,x1)

Y1, Y2,y3=(0,20,60)

1

2

-8

0

2

-4

0 -0.5

1.5

1

-8

0

2 2

0 -0.5

-4

=

= (0,10,10)

1.5

d. Función dual que pertenece a x2 primal es: 6y1+2y2+1.5y3-50=6(0)+2(10)+1.5(10)-50=-15=costo reducido Cuando es menor que 0 hay que modificar la tabla objetivo primal, reemplazando en z el valor x2 por -15 y s2 , s3 que son las variables no basicas se reemplazan de la siguiente manera :

S2=y2-0=10 S3=y3-0=10 Y la solución se reemplaza por los nuevos coeficientes, en este caso no se afecta porque el valor de x2 es cero. Por lo tanto el nuevo valor solución en la fila z es 280. Entonces la nueva tabla primal es:

BASICA Z S1 X3 X1

X1 0 0 0 1

X2 -15 -2 -2 1.25

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 10 2 2 -0.5

S3 10 -8 -4 1.5

B 280 24 8 2

X2 -15 -2 -2 1.25

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 10 2 2 -0.5

S3 10 -8 -4 1.5

B 280 24 8 2

X2 -15 -2 -2 1

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 10 2 2 -0.4

S3 10 -8 -4 1.2

B 280 24 8 1.6

Nueva columna y fila pivote BASICA Z S1 X3 X1

X1 0 0 0 1

X1/1.25 Nueva tabla BASICA Z S1 X3 X2

X1 0 0 0 .8

Entra x2 y sale x1 15*renglon3+renglón z 2*renglon3+renglon1 2*renglon3+renglon2

Nueva tabla objetivo

BASICA Z S1 X3 X2

X1 12 1.6 1.6 .8

X2 0 0 0 1

X3 0 0 1 0

S1 0 1 0 0

S2 4 1.2 1.2 -0.4

S3 28 -5.6 -1.6 1.2

B 304 27.2 11.2 1.6

Con la nueva condición se fabricarían 11.2 sillas x3 , 1.6 mesas x2 y ningún escritorio x1 Con una ganancia mayor 60x1+50x2+20x3=z 60(0)+50(1.6)+20(11.2)=304

Los nuevos coeficientes para la restricción de la mesa son Y1+3Y2+1.5Y3 Los nuevos precios sombra son 1

1.2

-5.6

0

1.2

-1.6 =(0,4,28)

0

-0.4

S1,x3,x2 Y1+Y2+Y3=(0,20,50)

1.2

Reemplazando aquí 1(0)+3(4)+1.5(28)=12+42=54 e. Costo reducido de x4 nueva variable X4=6y1+2y2+2y3-36 =6(0)+2(10)+2(10)-36=4 X4 ˃ 0 entonces no es rentable incluir x4 porque no supera el optimo actual a ese

precio de 36.

2. “FIBRA TOLIMA” ha transportado desde su planta en Ibagué, 400 toneladas de tela al puerto de santa marta, 200 toneladas al puerto de Cartagena y 150 toneladas al puerto de barranquilla; para atender sus pedidos de exportación así: panamá requiere 200 toneladas que pagara a $120.000 tonelada: honduras requiere 300 toneladas que pagara a $110.000 toneladas y Venezuela desea 250 toneladas que pagara a $100.000 toneladas. A fibra Tolima le cuesta $50.000 traer cada tonelada de su planta en Ibagué hasta santa Marta, $40.000 toneladas a Cartagena y $30.000 toneladas a barranquilla La siguiente tabla muestra el costo de transportar la tela desde cada puerto de embarque a sitio de pedido. HASTA (Por mar) Panamá (P) Honduras(H) Venezuela(V)

DESDE

25.000 25.000 20.000

Santa marta (S) Cartagena (C) Barranquilla (B)

25.000 20.000 15.000

20.000 20.000 15.000

Se requiere; 1. Formular el problema 2. Use el método de vogel para obtener una solución básica factible 3. Obtenga la solución optima Solución: Fibra Tolima = 1

Santa marta = 2 Panamá = 5

Cartagena = 3 Honduras = 6

Barranquilla = 4 Venezuela = 7

2

5

3

6

1

4

7

X = cuanto materia a enviar C = costos de envió Variables de decisión            

Función objetivo        

Función requerimiento                      

Función minimizar costos de envió                                                                                               

Restricciones de oferta                     

Restricciones de demanda                     

Método de vogel DESDE Panamá (P)

25.000 25.000 20.000 200

Santa marta (S) Cartagena (C) Barranquilla (B) Demandas

DESDE Panamá (P) Santa marta (S) Cartagena (C) Barranquilla (B) Demandas Penalizaciones

250 20.000 20.000 15.000 0

5.000

5.000

5.000

25.000 20.000 15.000 300

5.000

5.000

Panamá (P) Santa marta (S) Cartagena (C) Barranquilla (B) Demandas Penalizaciones

25.000 20.000 15.000 300

0

5.000

Panamá (P)

25.000 25.000

250 20.000 20.000 15.000 0

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

25.000 25.000 150 20.000 50

DESDE Santa marta (S) Cartagena (C)

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

25.000 25.000 150 20.000 50

DESDE

20.000 20.000 15.000 250

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

25.000 20.000 15.000 300

Panamá (P)

Barranquilla (B) Demandas Penalizaciones

25.000 20.000 15.000 300

25.000 25.000 20.000 200

DESDE Santa marta (S) Cartagena (C)

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

250 20.000 20.000 15.000 0

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

25.000 200 20.000

250 20.000 20.000

Oferta

150 200 150 Total 750

Oferta

150 200 0

Oferta

150 200 0

Oferta

150 0

Oferta

400 200 150 Total 750

Penalizaciones 5.000 0 0

Penalizaciones 0 5.000 5.000

Penalizaciones 0 5.000

Penalizaciones 0 5.000

Barranquilla (B) Demandas Penalizaciones

150

20.000 50

15.000 100

0

5.000

DESDE Panamá (P) Santa marta (S) Cartagena (C) Barranquilla (B) Demandas Penalizaciones

50

25.000 25.000 150 20.000 0

15.000 0

HASTA (Por mar) Honduras(H) Venezuela(V)

100 25.000 200 20.000 15.000 0

250 20.000 20.000 15.000 0

0

Oferta

Penalizaciones

0 0 0

Buscamos la factibilidad Numero de renglones + número de columnas -1 = número de celdas ocupadas Numero de renglones = 3 Numero de columnas =3 

  

Los costos                       