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EXAMEN FINAL DE ESTADISTICA Ӯ PROBABILIDADES (ES-241)

I. UNA CÍA. PERFORADORA DE PETRÓLEO DEBE DECIDIR SI TALADRA O NO UN LUGAR DETERMINADO QUE LA COMPAÑÍA TIENE CONTRATA. POR INVESTIGACIONES GEOLÓGICAS PRACTICADAS SE SABE QUE EXISTE UNA PROBABILIDAD DE 0.40 QUE UNA FORMACIÓN DE TIPO I SE EXTIENDA DEBAJO DEL LUGAR PREFIJADO PARA TALADRAR, 0.35 DE PROBABILIDAD QUE EXISTA UNA FORMACIÓN DE TIPO II Y DE 0.25 DE TIPO III. ESTUDIOS ANTERIORES INDICAN QUE EL PETRÓLEO SE ENCUENTRA EN UN 30% DE LAS VECES EN LA FORMACIÓN DE TIPO I, EN UN 40% EN LA FORMACIÓN DE TIPO II, EN UN 20% EN LA DE TIPO III. DETERMINAR LA PROBABILIDAD QUE SI NO SE ENCONTRÓ PETRÓLEO, LA PERFORACIÓN FUE HECHA EN LA FORMACIÓN TIPO I. Elaboramos el diagrama del árbol: 0.30 /I)

P( 0.40I 0.35

I

0.70

II

0.40 0.60

P(

/II)

0.25 0.20 III 0.80

P(

/III)

P(A')=P(I). P(Ac/I)+P(II). P(Ac/II)+P(III). P(Ac/III) Reemplazando en la formula tenemos: P(A') = 0,40 ×0,70 + 0,35×0,60 + 0,25 ×0,80 INGENIERIA CIVIL | UNSCH

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P(A') = 0,28+ 0,21 + 0,2 P(A') = 0,69 P(A)=1- P(A')=1-0.69=0.31 Respuesta 2: P(A/A'): P(A/A') =

( )

( (

) )

Reemplazando en la fórmula tenemos: P(A/A') = P(A/A') = 0,314492754 Interpretación Estocástica: La probabilidad de ocurrencia del evento de que Una compañía. Perforadora de petróleo debe decidir si la taladra o no en un lugar determinado, que si encontró o no petróleo, dado que la perforación fue hecha en la formación de TIPO I es de 0.314492754

II V. UNA URNA 1 CONTIENE (Z-1) ESFERAS AMARILLAS E (W+2) VERDES. LA URNA II CONTIENE "X+1"ESFERAS AMARILLAS Y "Y+3" VERDES. LA URNA TRES CONTIENE (X+1) BOLAS AMARILLAS E (Y-1) VERDES .SE ESCOGE AL AZAR UNA ESFERA DE LA URNA 1 Y SE PONE EN LA URNA 2. LUEGO SE ESCOGE UNA BOLA AL AZAR DE LA URNA DOS Y E PONE A LA URNA TRES ENTONCES, SE ESCOGE UNA ESFERA AL AZAR DE LA URNA III. ¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE ESTA ESFERA SEA VERDE?

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SOLUCION

𝑋+2 𝐴 𝑌−1 𝑉

𝑋+2 𝐴 𝑌+3 𝑉 𝑍−1 𝑌+3

𝑋+𝑌 𝐴 𝑌 𝑉

𝑋+2 𝐴 𝑌−1 𝑉

𝑋+1 𝐴 𝑌+4 𝑉

𝑋+1 𝐴 𝑌 𝑉

DE QUE LA ESFERA SEA VERDE

X

X

+

X

X

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INTERPRETACION ESTOCASTICA: La probabilidad de que al escoger al azar una bola de la urna y esta sea verde es de X

X

+

X

X

III. EN LA FIGURA N°3.1 SE SUPONE QUE LA PROBABILIDAD DE CADA RELÉ (LLAVE) ESTÉ CERRADO EN “q” Y QUE CADA RELÉ SE ABRE O SE CIERRA INDEPENDIENTEMENTE DE CUALQUIER OTRO. ENCONTRAR LA PROBABILIDAD DE QUE LA CORRIENTE PASE DE I A D: SUGERENCIA.- APLICAR PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES A CIRCUITOS ELÉCTRICOS

FIGUNA N°3.1

SOLUCION: Se tiene los siguientes sucesos : E:Si la corriente pasa por1,2,4 E=(E1∪E4)∩E2 F:la corriente pasa por 5,6,7 INGENIERIA CIVIL | UNSCH

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F=F5∪(F6∩F7) G: es la corriente que pasa por 3 G=G3 Aplicando probabilidades para la ocurrencia de E P(E)=P[(

∪

)∩

P(E)=[ +

−

]q

P(E) =2

]

-

Aplicando probabilidades para la ocurrencia F P (E) =P[

∪(

P (E) =q+

-

∩

)]

Aplicando probabilidades para G P (G)=q La probabilidad que la corriente pase de I Ӯ D la corriente pasa por 1, 2, 3,4,5,6,7 ID=(E∪F)∩G P(ID)=P((E∪F)∩G) P(ID)=[2 P(ID)=

− +3

+ -4

-

+ +3

−

− [(2

−

)( +

−

]]

-

INTERPRETACION ESTOCASTICA: la probabilidad del evento ¨que la corriente pase de I a D es: +3 -4 - +3 -

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IV) II SEAN AY B EVENTOS O SUCESOS TALES QUE: P(A)=1/3; P (B)=1/2 Ӯ P (A∩B)=1/5 HALLAR: IV.1)P(A/B);IV.2)P(B/A);IV.3)P(A∪B);IV.4)P(

/

);IV.5)P(

/

Solución

Ω

A

2/15

B

1/2 3/10 1/121

2.1 P(A/B) SOLUCION P(A/B)=

( ∩ ) ( )

, si P (B)>0

;

P(A/B)=

P(A/B)= 2.2 P (B/A) SOLUCION P (B/A)=

( ∩ ) ( )

, si P (A)>0 INGENIERIA CIVIL | UNSCH

)

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P (B/A)= P (B/A) = 2.3 P (A∪B) SOLUCION TEOREMA DE LA ADICION P (A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) P (A∪B) =1/2+1/3-1/5 P (A∪B)=5/6-1/5 P (A∪B)=19/30 2,4 P(

/

)

SOLUCION P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

2.5 P (

/

(

∩ (

) )

( ∪ ) ( )

)

SOLUCION P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

P(

/

)=

(

∩ (

) )

( ∪ ) ( )

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V) DOS MAQUINAS A Ӯ B HAN PRODUCIDO RESPECTIVAMNETE 100 Ӯ 200 PIEZAS ELECTROMECANICAS. SE SABE QUE A PRODUCE UN 5% DE DEFECTUOSAS, YB UN 6%. SE TOMA UNA PIEZA PRODUCIDA, Ӯ SE PIDE: V.1) PROBABILIDAD DE QUE ESA DEFECTUOSA. V.2) SABIENDO QUE ES DEFECTUOSA, PROBABILIDAD DE QUE PROCEDA DE LA PRIMERA MAQUINA. SOLUCION P(PERFECTO) 95 188 283

A B TOTAL

D(DEFECTUOSO) 5 12 17

TOTAL 100 200 300

ENTONCES RESPONDEREMOS LA S PREGUNTAS RESPECTIVAS a)P(D)=

( )

=17/300

( )

b)p(A/D)=P(A∩D)/P(D)=5/17 VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES

VI. DADA LA FUNCIÓN CUANTÍA F:

TABLA 02 X f(X)

0 0.1

1 0.3

2 0.5

Solución De la tabla tenemos: INGENIERIA CIVIL | UNSCH

3 0.1

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( ) 0 1 2 3 ∑ →

( )

0.1 0.3 0.5 0.1 1.0

( )

0 0.3 1 0.3 1.6

0 0.3 2 0.9 3.2

( ) 0 0.3 4 2.7 7

( ) 0 0.3 8 8.1 16.4

VI.A) Esperanza matemática:

E[x] = 1.6 = µ V.I.B) Variancia o varianza: ( )

∑

( )

V(x) = 3.2

VI.C) momento con cero alrededor del origen (s0). Además s1, s2, s3, s4

[

] [ [

] ]

(

)

16 32 [ ] 7 [ ] 16 4

VI.D) Momento con cero alrededor de la media ( [( − ) [( − ) [( − ) ] [( − ) ] [( − ) ]

] ]

). Además 1

1 16 − 6 9 2 7632

VI.E) Momentos factoriales: m0, m1, m2, m3. [ ( − 1)( − 2)

( −

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+ 1)]

.

1 0

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[ ] [ ] 16 [ ( − 1)] ( ) ( − 1) 96 [ ( − 1)( − 2)] ( ) ( − 1) ( − 2)

− 384

VII. SEA X UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA CON FUNCIÓN DE DENSIDAD DADO POR:

(

)

0

F(x) =

;

x≤0

VII-a) hallar k tal que f(x) defina una función de densidad específica

Solución: Dado que es una función de densidad entonces:

∫

( )

+∫

∫

=0-5k*

dx=1

+

=5k=1 K=1/5

vii-b) hallar la funcion de distribucion acumulada f(x) . Graficar f y f.

F(x)=∫

( )

∫

+∫ INGENIERIA CIVIL | UNSCH

1 1

ES-241 *−

+

=1-

F(T)={

1−

F(x)={ 1− Grafica f(x)=,

;x>0

;0

;x 0

F(X)=,−

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1 2

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5]

IX-c) SABIENDO QUE :A=[3

(

P (A),P(B)

Solución: ( )

P(A)=P (3≤x≤5) = ∫ ∫

dx

= *−

+

P (3≤x≤5) =

-

P(1)=

IX-d) Calcular la Esperanza Matemática E(x).

Solución: Como la esperanza matemática de una p.a. es: 

E(x) =

 xf ( x)dx



=∫

( )

E(x) =0+ {*(−5

dx

+∫ )+ + *−

+ }

E(X)= IX-e) Hallar la variancia o varianza V(x).

Solución: Como la varianza de una p.a. es V(x)=F[( − ) ]=∫ ( − ) f(x)dx

∫ ( − 1 5) f(x)dx+∫ ( − 1 5) 1/5

dx

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1)Calcular:

1 3

∫ 2( − 1 5)

ES-241 dx

dx

1 ∫ -50(0-1) V(x)=50

XIII. SI LA VARIABLE ALEOTORIA CONTINUA TIENE LA FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA EXPRESADA POR:

−2 F(X) =

−2 −1

−1 3 4 { 1

1 1

HALLAR p (| |