Examen de matamáticas UMSA Prefacultativo

FACULTAD DE INGENIERÍA

F I

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

UMSA

ÁREA: MATEMÁTICA

FECHA: 5.05.2009

TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS NO SE PERMITE CALCULADORAS ************************************************************************************************************************************************************

En las siguientes preguntas marque en un recuadro la opción correcta: log 2 4  log 1 4

1.- (8 puntos) Si E 

2

log 3 243  log 1 81

, ¿el valor de E es?:

3

a. -1

b. -2

c. 1

d. 2

e. 3

f. 4

g. ninguno

2.- (8 puntos) Dados dos números a, b extremos y H su medio armónico, entonces una expresión para la media armónica es:? a)

H  a b

b)

H

ab ab

c)

ab ab

H

d)

H

2ab ab

3.- (8 puntos) Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6/11 entonces el octavo término es: a) 3/10

b)

10/3

c) 17/6

d)

6/17

e) N. A.

4.- (8 puntos) Si tg ( 45º x)  4, entonces el valor R  8tg 2 x es: a) 15

b) 20

c) 12

d) 25

e) ninguno

5.- (8 puntos) Indicar los valores principales para la solución de la ecuación. 2 sen x  3  0 a)

1  ,5 4

b)  ,2

c)

3  , 4

d) 

e). Ninguno

Resuelva los siguientes problemas con el máximo detalle en el procedimiento: 1.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonometriítas:  tgx  ctgy  8  8   ctgx  tgx  7

(1) (2)

2.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:  1 1 x 3  5   5 5 

log 5 120  ( x  3)  2 log 5 (1  5 x 3 )   log 5 

3.- (20 puntos) Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación? ¿Cuántos soldados tendrán la última fila?

FACULTAD DE INGENIERÍA

F I

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREFACULTATIVO – GESTIÓN I / 2009

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

UMSA

ÁREA: MATEMÁTICA

FECHA: 5.05.2009

TIEMPO DE DESARROLLO DEL EXAMEN: 100 MINUTOS NO SE PERMITE CALCULADORAS ************************************************************************************************************************************************************

SOLUCIONARIO log 2 4  log 1 4

1.- (8 puntos) Si E 

2

log 3 243  log 1 81

, ¿el valor de E es?:

3

a. -1

b. -2

c. 1

d. 2

e. 3

f. 4

g. ninguno

1 log 2 2 2 2 log 2 2 1 1 2 log 2 2  2 1 log 2 2  log 2 1 0  log 2 2 2  1  4 E  4 4 log 3 3 4 log 3 3 1 5 log 3 35  5 log 3  3 1 1 1 log3 1 0  log 3 3 log 3 3

log 2 22 

2.- (8 puntos) Dados dos números a, b extremos y H su medio armónico, entonces una expresión para la media armónica es:? a)

H  a b

b)

H

ab ab

c)

H

ab ab

d)

H

2ab ab

3.- (8 puntos) Si el segundo término de una progresión armónica es 3 y el quinto es 6/11 entonces el octavo término es: a) 3/10

b)

10/3

c) 17/6

d)

6/17

e) N. A.

Como la progresión es armonica, en su progresión aritmética asociada tendremos los siguientes datos: segundo termino 1/3 y quinto termino 11/6, con estos datos encontramos la razon y el primer termino.



a n  a1

1 a  a  d  2 1  3  (n  1)d , el sistema a formarse sera:   a  a  4d  11  5 1 6

Restando ambas ecuaciones tenemos:  3d  

a1 

3 1  d  , el primer termino es: 2 2

1 7 1 10 1 1 1  1    entonces: a8    7     6 2 6 3 3 2 6  2

4.- (8 puntos) Si tg ( 45º x)  4, entonces el valor R  8tg 2 x es: a) 15

b) 20

c) 12

d) 25

e) ninguno

Aplicando el concepto de la suma de arcos y las definiciones de identidad se obtiene: tg ( 45º  x ) 

tg 2 x 

tg 45º tgx 1  tgx   4  1  tgx  4  tgx  tgx  3 / 5 1  tg 45º.tgx 1  tgx

2tgx 2( 3 / 5)  6/5 15    2 1  tg x 1  ( 3 / 5)(3 / 5) 16 / 25 8

5.- (8 puntos) Indicar los valores principales para la solución de la ecuación. 2 sen x  3  0

a)

1  ,5 4

b)  ,2

c)

3  , 4

d) 

e). Ninguno

3 3  x  arcsen 2 2 Como el seno de un ángulo esta contenido entre  1,1 la respuesta es ninguno 2 sen x  3  senx 

1.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones trigonometriítas:  tgx  ctgy  8  8   ctgx  tgy  7 1.- La ecuación (1) se puede expresar como: senx cos y  8 cos x seny



senx.seny  cos x cos y 8 cos x.seny

(1) (2)



cos( x  y )  8cos x.seny

(3)

Ahora, la ecuación (2) se expresa como: cos x seny 8   senx cos y 7 Sumando (3)+(4)



cos x cos y  senxseny 8  senx cos y 7

cos( x  y )  8 cos xseny 7 cos( x  y )  8senx cos y



7 cos( x  y )  8senx cos y



cos( x  y )  sen( x  y )

(3) (4)

8cos( x  y )  8  senx cos y  cos xseny   8sen( x  y )     ( x  y )  0  2 

sen( x  y )  sen 



  2 cos( y  ) sen( x  )  0 4 4

La ecuación se cumple cuando:

  cos( y  )  0  sen( x  )  0 4 4 Las soluciones principales:   cos( y  )  0  y   arccos  0   4 4   sen( x  )  0  x   arc sen  0  4 4 Las soluciones generales

y

   4 2

 x

y  2k 



y

 4

  0  x 4 4

  , x  m  4 4

2.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:  1 1 x 3  5   5 5 

log 5 120  ( x  3)  2 log 5 (1  5 x 3 )   log 5 

 1  (1  5 x3 )  5  1 log 5 120  log 5 5 x 3  2 log 5 (1  5 x 3 )   log 5  log 5 (1  5 x 3 ) 5 1 log 5 120  log 5 5 x 3  log 5  2 log 5 (1  5 x 3 )  log 5 (1  5 x3 ) 5 1 log 5 (120 5 x 3  ) log 5 (1 5 x 3 ) 5 log 5 120  log 5 5 x 3  2 log 5 (1  5 x 3 )   log 5 

De donde

(4)

1 120 5 x 3  1 5x 3  24 5x 3 5x 3 1  25 5x3 1 5 2 x 3 5 5 1  5 x 1 1  5x 1 50  x 1 0

x 1

3.- (20 puntos) Un coronel que manda 3003 soldados quiere formarlos en triángulo, de manera que la primera fila tenga 1 soldado, la segunda 2, la tercera 3 y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá la formación? ¿Cuántos soldados tendrán la última fila? La suma de una progresión aritmética es De esta ecuación se obtiene Entonces la respuesta valida es n  77

S

n  n  1 2

n  77, n  78

 3003  , pero n  

Lo que equivale también al número de filas y el número de soldados. Rpta.:

Nro de filas = 77 Nro de soldados en la ultima fila = 77

n  n  1 2