Examen de Auxiliatura

 

EXAMEN DE AYUDANT A

CIV 2205

Or., 16 de Febrero de 2016

P1.- Resolver la estructura mostrada en la Fig. 1 con los siguientes datos: r1

3 := 5⋅ 10  

A 1 := .2⋅ .4   = 0.08

 

I1 :=

1 12

−  3  

3

⋅ .2  ⋅ .4   = 1.06 .067 × 10

E1

6

:= 2.4⋅ 10  

P2.- Explicar el procedimiento a seguir pa para ra resolver la estru estructura ctura si el nudo 2 solamente pudiera desplazarse verticalmente un máximo de 0.1 cm, como se muestra en la Fig. 2.

α :=  atan     4

1 ..-- C LC LCUL ULOS OS PREV PREVIO IOS S L52 := F1 :=

3 cos ( α)

1 2

=5  

 3 

L63

⋅ 3 ⋅ 4  = 6  

:=

L52 

L23

F2 := 5 

M

  180 180  

αg := α⋅

:= 5 

= 53.13  

π

EI

β :=  atan    

  18 180 0  

4

βg := β ⋅

 2 

3 := E1⋅ I1   = 2.56 × 10  

L26 :=

π

= 63.435  

2 cos ( β )

:= 3 

2 .-ESTRUCTURA DESPLAZADA DESPLAZAMIENTO 1. b1

:=

1 tan ( α)

= 0.75  

:=

 b3

1 sin( α)

= 1.25  

a

1

:=

tan ( β )

= 0.5  

 b4

:=

1 sin( β )

= 1.118  

D321(  d1) := d1⋅ ( a +   b 1) fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d1 

D631(  d1) := d1⋅ b3   fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d1 

D621(  d1) := d 1⋅ b 4   fl flotante otante , 4 → 1.118⋅ d1 

R21(  d1) := −d1   ⋅ a ⋅ sin (  α) fl flotante otante , 4 → −0.4   ⋅ d1 

R11(  d1)

:= 0 

R31(  d1)

:= 0 

DESPLAZAMIENTO 2.v1

:=

1 tan ( α)

= 0.75  

v2

:=

1 sin ( α)

= 1.25  

v3

:=

1 tan ( β )

= 0.5  

v4

:=

1 sin( β )

= 1.118  

D322(  d2) := d 2⋅ ( v 1 +  v 3) fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d2 

D632(  d2) := d 2⋅ v 2 fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d2 

D622(  d2) := ( d2⋅ v4) flot ant e , 4 → 1.118⋅ d2 

R12(  d2)

R22(  d2)

:= −d2  ⋅ v4  ⋅ cos  α −  

 

DESPLAZAMIENTO 3.-

π 2

flotante otante , 4 → −1.0   ⋅ d2  + β  fl

R32(  d2)

 

D32 D323(  d3)

:= 0 

D633(  d3)

:= −d2 

:= 0 

:= 0 

D6 D62 23(  d3)

:= 0 

αg + βg  − 90  = 26.565   R13(  d3)

:= 0 

= 4.472  

 

 

R23(  d3) := −d3   ⋅ cos (  α) flotante flotante , 4 → −0.6   ⋅ d3 

R33(  d3)

:= d3 

 

RESUMEN .DESNIVELES.-

D32( d1, d2, d3) := D321(  d1) + D322(  d2) + D323  (  d3) fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d1  + 1.25 1.25⋅ d2 

  D63( d1, d2, d3) := D631(  d1) + D632(  d2) + D633  (  d3) fl flotante otante , 4 → 1.25⋅ d1  + 1.25 1.25⋅ d2  D62( d1, d2, d3) := D621(  d1) + D622(  d2) + D623  (  d3) fl flotante otante , 4 → 1.118⋅ d1  + 1.11 1.118 8⋅ d2 

DEFORMACIÓN DE LOS RESORTES y FUERZA EN LOS MISMOS.R1( d1, d2 , d3) := R11(  d1) + R12(  d2) +  R33(  d3) flotante flotante , 4 → −1.0   ⋅ d2  + d3  F1( d1, d2, d3)

:=

R1( d 1 , d2 , d3) ⋅ r1  flotante flotante , 4

→ −5000.0   ⋅ d2  +

5000 5000.0 .0⋅ d3 

R2( d1, d2 , d3) := R21(  d1) + R22(  d2) +  R23(  d3) flotante flotante , 4 → −0.4   ⋅ d1  + −1.0   ⋅ d2   + −0.6   ⋅ d3  F2( d1, d2, d3)

:= R2(d1, d2, d3) ⋅ r1  fl flotante otante , 4 → −2000.0   ⋅ d1  + −5000.0     ⋅ d2 + −3000.0   ⋅ d3 

R3( d1, d2 , d3) := R31(  d1) + R32(  d2) +  R33(  d3) flotante flotante , 4 → d3  F3( d1, d2, d3)

:= R3( d1, d2, d3)⋅ r1  fl flotante otante , 4 → 5000.0⋅ d3 

3 .- ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE FUERZAS.-Como son s on tres desplazamientos independientes, se necesitan tres ecuaciones para hallar dichos desplazamientos incógnita. Los desplazamientos d1 y d2 afectan a todas las barras excepto al resorte R3, por tanto el equilibrio debe ser planteado sobre el cuerpo libre logrado cortando los resorte R1 y R2. Puede verse que en este es te cuerpo existen tres fuerzas incognitas y tres ecuaciones por tanto es una subestructura isostática exteriormente, y como no se han cortado las barras del triángulo no interviene los giros θ2 y θ3. En consecuencia, de este cuerpo libre se determinan las fuerzas R1, R2 y V6. Para el d3, como solo afecta los resortesdeR2equilibrio, y R3, el cuerpo libredea fuerzas estudiares sera obtenido aislando el nudo 5, desplazamiento entonces solo pueden plantearse dosaecuaciones el sistema concurrente, las incógnitas ahora son R1 y V5 (ya se conoce R2), por tanto se puede conocer R1, con lo cual se conoce la fuerza en los tres resortes. Toda vez que estos resortes solo dependen de los desplazamientos d1, d2, d3, estas incognitas se pueden calcular independientemente de los giros. NOTA .- ESTE ES UN CASO PARTICULAR, NORMALMENTE LOS DESPLAZAMIENTOS TRASLACIONALES Y ROTACIONES FORMAN UN SISTEMÁ DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

CUERPO LIBRE No 1

ΣFh=0 ΣMx

h

:= 2⋅ tan( α  ) = 2.667  

RR1 RR 1 :=

R1 +R2*cos α = 0 =0 −1 h

R1*h+6*2+5*3-2*M=0 Donde h=2*tan α 

⋅ ( 6⋅2  + 5⋅ 3  −  2⋅M ) = −7.875  

Σ

−RR RR1 1 = 13.125   cos ( α)

RR2 RR 2 :=

α

CUERPO LIBRE No 2.Fh=0 R3-R2*cos  =0 4.- SOLUCIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS LINEALES d1 := .1 

d2 := .2 

Dado  F1( d1, d2 , d3)

RR1 

F2( d1, d2 , d3)

RR2 

F3( d1, d2 , d3)

RR3 





:= Find( d1, d2 , d3) 

= 7.875  

d 3 := .3 

 dd1  dd2

RR3 := RR2⋅ co coss ( α   )

dd d1 1

= −0.017  

dd d2 2

−  3

= 3.15 × 10

 

dd3 dd3

−  3

= 1.575 × 10

 dd3  4.1.- DESPLAZAMIENTO VERTICAL DEL PUNTO 2.- Considerando positivo hacia arriba, en metros: d 2h

−  3

:= −a ⋅ dd1  − v3⋅ dd2   = 6.82 .825 × 10

 

 

 

5.- MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO BARRA 26.M

:= −3 

 b

1

:= ⋅ L26  = 2.236  

  M26F :=

2

M 2

⋅

 3⋅b 2

 

2

 − 1

 L26

= 0.375  

 

BARRA 36.- Esbiarticulada no tiene momentos de extremo BARRA 23.2

RR  :=

 p ⋅ L

2

  3

α := 2

= 0.6  

5

(

L := 5 

 p

) = 7.248  

2

⋅ α   ⋅ 20 − 15α    + 3α

:= 4 

M23F :=

LL := 1

 p ⋅ L 60

(

2

) = 5.352  

2

⋅ α   ⋅ 10 − 3  α

⋅ (2⋅ LL  −  RR ) = 1.152  

M32F

:=

⋅ ( 2⋅RR   −  LL) = −3.048  

3

3

60

−1

6.- DESNIVELES FINALES DE LAS BARRAS D32F := D32( dd1, dd2, dd3 ) = −0.017

 

D63F

:=

D63( dd1, dd2, dd3)

= −0.017

  D62F

:= D62( dd1, dd2, dd3) = −0.015  

7.- MOMENTOS TOTALES EN BARRAS BARRA 23. Es biempotrada.M23( t2, t3)

M32( t2, t3)

:=

M23F + 4⋅

  EI     ⋅ t2 L23 L23

+

2⋅

  EI   ⋅ t3 L23 L23

−

6⋅ EI 2

EI  

6⋅EI

:= M26F +

3⋅EI

L23

L23

L232

L26

 ⋅ t2

 

+ 0⋅t 6 −

t6

3⋅EI 2

→

2048.0⋅ t2  + 1024.0 1024.0  ⋅ t3

+

11.64 

⋅  D32F fl flotante otante , 4 → 1024.0⋅ t2  + 2048 2048.0 .0  ⋅ t3 + 7.435 

BARRA 62. Es empotrada/articulada M26( t2)

flotante flotante , 4

L23 L23

EI

:= M32F + 2⋅     ⋅ t2 + 4⋅   ⋅ t3 −

⋅  D32F

:= 0 

M 62 := 0 

⋅  D62F fl flotante otante , 4 → 1717.0⋅ t2  + 6.235 

L26

BARRA 63.- Es bi articulada por tanto o tiene momentos de extremo

M 63

:= 0 

M 36

:= 0 

8 .-ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE MOMENTOS EN NUDOS NUDO 2.- BARRAS 23 Y 26 SM2( t2, t3)

:= M23( t2, t 3) + M26  ( t2) fl flotante otante , 4 → 3765.0⋅ t2  + 1024 1024.0 .0  ⋅ t3 + 17.87 

NUDO 3.- BARRAS 32 Y 36 SM3( t2, t3)

:= M32( t2, t 3) + M3 M 36 fl flotante otante , 4 → 1024.0⋅ t2  + 2048 2048.0 .0  ⋅ t3 + 7.435 

9 .- SOLUCIÓN DE LAS ROTACIONES.- Como se ha indicado, indicad o, en este caso particular, los desplazamientos traslacionales han sido ya determinados, por tanto las ecuaciones de momentos están disgregadas y sirven para calcular los giros. t 2 := 0.01  Dado  SM2( t2, t3)

t 3 := 0.01  0 

 tt2  :=  Find Find ( t2, t3)   tt3 

SM3( t2, t3) t tt2 2

0 

−  3

= −4.35 1 × 10

 

10.- MOMENTOS FINALES EN BARRAS M23 M2 3F := M2 M23 3( tt2 tt2 , tt tt3 3) = 1.24   M32 M3 2F := M3 M32 2( tt tt2 2, tt tt3 3) = 0  

t t3 t3

−  3

= −1.45 5 × 10

M26 M2 6F

 

:= M2 M26 6( tt tt2 2) = −1.235  

 

 

PROBLEMA 2.- EL NUDO 2 TIENE UN DESPLAZAMIENTO DES PLAZAMIENTO LIMITADO En el problema 1 se ha establecido que el desplazamiento del nudo 2, cuando no esta limitado, es de 6.8 mm hacia arriba, ahora bien, en este caso dicho desplazamiento no puede ser mayor que 1 mm, como se muestra en el gráfico Cuerpo Libre No 3, por tanto se genera la restricción V2 indicada y la subestructura no es más isostática, es el caso general en el que las incógnitas a determinar son los desplazamientos d1, d2, d3, aunque las fuerzas RR1, RR2 y RR3 en los resortes no estén conocidas explicitamente. Como se dijo, en el Cuerpo Libre C. L. No 3, se tienen cuatro incógnitas de fuerza y en el C. L. No 1 otras 2, más las tres incógnitas de desplazamiento suman nueve incógnitas, Las ecuaciones disponibles son: tres ecuaciones de equilibrio en el C. L. No 3 y dos en el No 1, tres ecuaciones de las fuerzas en los resortes en función de los desplazamientos y una que es el desplazamiento del nudo 2. De estas nueve incógnitas solamente interesan los tres desplazamientos, entonces se deben escoger cuidadosamente las ecuaciones necesarias para dicho fin, y no necesariamente las nueve. Entonces, como ecuaciones a plantear se usaran: 3 ec. de las fuerzas Fi en función de los desplazamientos, en particular, L. No1 solamente se usará la suma dey fuerzas porX,cuanto V5 no interesa. En anterior, el C. L. No3 se volveránelaC.plantear: suma de fuerzas horizontales suma dehorizontales momentos en a diferencia con el caso en esta última ecuación aparece V2, lo que imposibilita calcular directamente las fuerzas en los resortes, por tanto se debe incluir una ecuación adicional para esta fuerza, logicamente la limitación impuesta im puesta por el apoyo .

1 .- C LCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS TRASLACIONALE TRASLACIONALES S d 1 := 0.1 

d 2 := 0.1 

d 3 := 0.3 

V2

:= 1 

Dado 

CUERPÒ LIBRE No 3.2) Σ M=0

1) ΣFh=0

F1( d1, d2 , d3) h

CUERPO LIBRE No 2.- 3)

+F F2 2( d 1, d 2, d3   ) ⋅ co s ( α)

0 

F3( d1, d2 , d3) − F F2 2( d1 , d 2, d3   ) ⋅ cos ( α)

0 

F1( d1, d2 , d3)

+ 6⋅ 2  + 5⋅ 3  − 2⋅ M  − V2⋅ 2

ΣFh=0

CONDICION DE DESPLAZAMIENTO VERTICAL.- (4)

0 

−a ⋅ d1  − v3⋅ d2  

−  3

1⋅ 10

 

 

 

 dd12   dd22  := Find Find ( d1, d2 , d3 , V2)   dd32    V2  

dd dd1 12

= −2.53 1 ×

− 

3

10

−  4

 

dd dd2 22 = 5.313 × 10

 

−  4

dd3 dd32 = 2.656 × 10

 

= 14 14.7 .729 29  

V2

2 .- C LCULO DE LOS DESPLAZAMIENTOS DESPLAZAMIENTOS ROTACIONALES ROTACIONALES 2.1.- DESNIVELES TOTALES DE LAS BARRAS −  3 D32 D32F2 := D32 D32( dd1 dd12 2 , dd2 dd22 2 , dd32)

D62 D62F2 := D62 D62( dd1 dd12 2 , dd2 dd22 2 , dd32)

 

= −2.5  × 10 = −2.23 6 ×

−  3

− 

10

3

D63F2 63F2 := D63( dd1 dd12 2 , dd2 dd22 2, dd32)

 

= −2.5  × 10

 

2.2 .- MOMENTOS TOTALES EN BARRAS.BARRA 23. Es biempotrada.M232( t22, t32)

M322( t22, t32)

EI

EI  

6⋅ EI

L23

L23

2

EI

EI  

6⋅ EI

L23

L23

2

:= M2 M 23F + 4⋅    ⋅ t22 + 2⋅   ⋅ t32 −

L23

:= M3 M 32F + 2⋅    ⋅ t22 + 4⋅   ⋅ t32 −

:=

M26F

  3⋅ EI

+

L26 L26

⋅ t22 +

0⋅ t62

⋅ D32F2 fl flotante otante , 4 → 1024.0⋅ t22  + 2048 2048.0 .0 ⋅ t32 + 1.536 

L23

BARRA 62. Es empotrada/articulada M262( t22)

⋅ D32F2 fl flotante otante , 4 → 2048.0⋅ t22  + 1024 1024.0 .0 ⋅ t32 + 2.776 

t 62 3⋅ EI

−

2

⋅ D62F2

:= 0 

M622

flotante flotante , 4

→

1717.0⋅ t22 

:= 0  −

0.3764 

L26 L26

BARRA 63.- Es bi articulada por tanto o tiene momentos de extremo

M 632

:= 0 

M 362 := 0 

2.3 .-ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE MOMENTOS EN NUDOS NUDO 2.- BARRAS 23 Y 26 SM2( t22, t32)

:= M232( t22, t32) + M262  ( t22) fl flotante otante , 4 → 3765.0⋅ t22  + 102 1024.0 4.0 ⋅ t32 + 2.4 

NUDO 3.- BARRAS 32 Y 36 SM3( t22, t32)

:= M322(t22, t32) + M3  62 fl flotante otante , 4 → 1024.0⋅ t22  + 2048 2048.0 .0 ⋅ t32 + 1.536 

2.4 .- SOLUCI N DE LAS ROTACIONES.ROTACIONES.- Como se ha indicado, indicado, en este caso particular, particular, los desplazamie desplazamientos ntos traslacion traslacionales ales han sido ya determinados, por tanto las ecuaciones de momentos están disgregadas y sirven para calcular los giros. t 22 22 := 0.01  Dado 

t3 32 2

SM2( t22, t32)

0 

:= 0.01  SM3( t22, t32)

 tt22  :=  Fi Find nd ( t22, t32)   tt32 

t t2 t2

0 

= −4.35 1 ×

− 

10

3

 

t t3 t3

= −1.45 5 ×

− 

10

3

 

2.5.- MOMENTOS FINALES EN BARRAS M23 M2 3F2 := M2 M232 32( tt22 tt22, tt3 tt32 2)

= 1.237  

3 .- FUERZAS EN LOS RESORTES.F1( dd12, dd22 , dd32) = −1.328  

M32 M3 2F2 := M3 M32 22( tt2 tt22 2 , tt3 tt32 2)

F2( dd12, dd22 , dd32)

=

0

 

= 1.609  

M26 M2 6F2 := M26 M262( tt2 tt22 2)

F3( dd12, dd22 , dd32)

= −1.238

= 1.328