Examen de Analisis de Orendain,Alvarez Michelle y Avila. (1)

Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de Q = 20 m3/s. La profundidad crítica y para dicho canal satisface la ecuación 𝑄2

0 = 1 − 𝑔𝐴3 B 𝑐

donde g = 9.81m/s2, Ac = área de la sección transversal (m2), y B = ancho del canal en la superficie (m). Para este caso, el anc profundidad y por medio de 𝐵 =3+𝑦

𝑦

𝐴𝑐 = 3𝑦 +

Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico, b) bisección, y c) falsa posición. En los incisos iteraciones hasta que el error aproximado caiga por debajo del 1% o el número de interaciones supere a 10. Analice sus resu

Ac = 3y + (y^2 / 2) B= 3 + y

Método de Bisección Iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

xl 0.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5000 1.5078 1.5117 1.5137 1.5137 1.5137 1.5139

xu 2.5000 2.5000 2.0000 1.7500 1.6250 1.5625 1.5313 1.5156 1.5156 1.5156 1.5156 1.5146 1.5142 1.5142

xi 1.5000 2.0000 1.7500 1.6250 1.5625 1.5313 1.5156 1.5078 1.5117 1.5137 1.5146 1.5142 1.5139 1.5140

B(xl) 3.5000 4.5000 4.5000 4.5000 4.5000 4.5000 4.5000 4.5000 4.5078 4.5117 4.5137 4.5137 4.5137 4.5139

B(xu) 5.5000 5.5000 5.0000 4.7500 4.6250 4.5625 4.5313 4.5156 4.5156 4.5156 4.5156 4.5146 4.5142 4.5142

B(xi) 4.5000 5.0000 4.7500 4.6250 4.5625 4.5313 4.5156 4.5078 4.5117 4.5137 4.5146 4.5142 4.5139 4.5140

Ac(xl) 1.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6250 5.6602 5.6778 5.6866 5.6866 5.6866 5.6877

Método de Falsa Posición Iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

xl 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

xu 2.5000 2.4508 2.4036 2.3583 2.3149 2.2733 2.2335 2.1953 2.1589 2.1240 2.0908 2.0590 2.0287 1.9999 1.9724 1.9463

xi 2.4508 2.4036 2.3583 2.3149 2.2733 2.2335 2.1953 2.1589 2.1240 2.0908 2.0590 2.0287 1.9999 1.9724 1.9463 1.9215

B(xl) 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000

B(xu) 5.5000 5.4508 5.4036 5.3583 5.3149 5.2733 5.2335 5.1953 5.1589 5.1240 5.0908 5.0590 5.0287 4.9999 4.9724 4.9463

B(xi) 5.4508 5.4036 5.3583 5.3149 5.2733 5.2335 5.1953 5.1589 5.1240 5.0908 5.0590 5.0287 4.9999 4.9724 4.9463 4.9215

Ac(xl) 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

1.9215 1.8978 1.8754 1.8542 1.8340 1.8149 1.7969 1.7798 1.7636 1.7483 1.7339 1.7203 1.7075 1.6954 1.6840 1.6733 1.6632 1.6537 1.6448 1.6364 1.6285 1.6211 1.6142 1.6077 1.6016 1.5959 1.5905 1.5855 1.5808 1.5764 1.5723 1.5685 1.5649 1.5615 1.5583 1.5554 1.5526 1.5501 1.5477 1.5454 1.5433 1.5414 1.5395 1.5378 1.5362 1.5347 1.5333

1.8978 1.8754 1.8542 1.8340 1.8149 1.7969 1.7798 1.7636 1.7483 1.7339 1.7203 1.7075 1.6954 1.6840 1.6733 1.6632 1.6537 1.6448 1.6364 1.6285 1.6211 1.6142 1.6077 1.6016 1.5959 1.5905 1.5855 1.5808 1.5764 1.5723 1.5685 1.5649 1.5615 1.5583 1.5554 1.5526 1.5501 1.5477 1.5454 1.5433 1.5414 1.5395 1.5378 1.5362 1.5347 1.5333 1.5320

3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000

4.9215 4.8978 4.8754 4.8542 4.8340 4.8149 4.7969 4.7798 4.7636 4.7483 4.7339 4.7203 4.7075 4.6954 4.6840 4.6733 4.6632 4.6537 4.6448 4.6364 4.6285 4.6211 4.6142 4.6077 4.6016 4.5959 4.5905 4.5855 4.5808 4.5764 4.5723 4.5685 4.5649 4.5615 4.5583 4.5554 4.5526 4.5501 4.5477 4.5454 4.5433 4.5414 4.5395 4.5378 4.5362 4.5347 4.5333

4.8978 4.8754 4.8542 4.8340 4.8149 4.7969 4.7798 4.7636 4.7483 4.7339 4.7203 4.7075 4.6954 4.6840 4.6733 4.6632 4.6537 4.6448 4.6364 4.6285 4.6211 4.6142 4.6077 4.6016 4.5959 4.5905 4.5855 4.5808 4.5764 4.5723 4.5685 4.5649 4.5615 4.5583 4.5554 4.5526 4.5501 4.5477 4.5454 4.5433 4.5414 4.5395 4.5378 4.5362 4.5347 4.5333 4.5320

1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250

64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

1.5320 1.5308 1.5297 1.5286 1.5277 1.5267 1.5259 1.5251 1.5243 1.5237 1.5230 1.5224 1.5218 1.5213 1.5208 1.5204 1.5199 1.5195 1.5192 1.5188 1.5185 1.5182 1.5179 1.5177 1.5174 1.5172 1.5170 1.5168 1.5166 1.5164 1.5163

1.5308 1.5297 1.5286 1.5277 1.5267 1.5259 1.5251 1.5243 1.5237 1.5230 1.5224 1.5218 1.5213 1.5208 1.5204 1.5199 1.5195 1.5192 1.5188 1.5185 1.5182 1.5179 1.5177 1.5174 1.5172 1.5170 1.5168 1.5166 1.5164 1.5163 1.5161

3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000 3.5000

4.5320 4.5308 4.5297 4.5286 4.5277 4.5267 4.5259 4.5251 4.5243 4.5237 4.5230 4.5224 4.5218 4.5213 4.5208 4.5204 4.5199 4.5195 4.5192 4.5188 4.5185 4.5182 4.5179 4.5177 4.5174 4.5172 4.5170 4.5168 4.5166 4.5164 4.5163

4.5308 4.5297 4.5286 4.5277 4.5267 4.5259 4.5251 4.5243 4.5237 4.5230 4.5224 4.5218 4.5213 4.5208 4.5204 4.5199 4.5195 4.5192 4.5188 4.5185 4.5182 4.5179 4.5177 4.5174 4.5172 4.5170 4.5168 4.5166 4.5164 4.5163 4.5161

1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250 1.6250

dicho canal satisface la ecuación EQUIPO

erficie (m). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la

𝑦2 2 alsa posición. En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de xl = 0.5 y xu = 2.5, y ejecute nes supere a 10. Analice sus resultados. 3𝑦 +

Converge mejor el meto

Método de Bisección Ac(xu) 10.6250 10.6250 8.0000 6.7813 6.1953 5.9082 5.7661 5.6954 5.6954 5.6954 5.6954 5.6910 5.6888 5.6888

Pun

Ac(xi) F(xl) F(xu) F(xi) F(xl)F(xi) F(xu)F(xi) Er 5.6250 -32.2582 0.8130 -0.0309 0.9983 -0.0252 8.0000 -0.0309 0.8130 0.6018 -0.0186 0.4893 2.50E-01 6.7813 -0.0309 0.6018 0.3789 -0.0117 0.2280 1.43E-01 6.1953 -0.0309 0.3789 0.2069 -0.0064 0.0784 7.69E-02 5.9082 -0.0309 0.2069 0.0980 -0.0030 0.0203 4.00E-02 5.7661 -0.0309 0.0980 0.0363 -0.0011 0.0036 2.04E-02 5.6954 -0.0309 0.0363 0.0034 -0.0001 0.0001 1.03E-02 5.6602 -0.0309 0.0034 -0.0136 0.0004 0.0000 5.18E-03 5.6778 -0.0136 0.0034 -0.0051 0.0001 0.0000 2.58E-03 5.6866 -0.0051 0.0034 -0.0008 0.0000 0.0000 1.29E-03 5.6910 -0.0008 0.0034 0.0013 0.0000 0.0000 6.45E-04 5.6888 -0.0008 0.0013 0.0002 0.0000 0.0000 3.22E-04 5.6877 -0.0008 0.0002 -0.0003 0.0000 0.0000 1.61E-04 5.6883 -0.0003 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 8.06E-05

Método de Falsa Posición Ac(xu) 10.6250 10.3558 10.0996 9.8559 9.6242 9.4039 9.1946 8.9958 8.8070 8.6279 8.4579 8.2968 8.1441 7.9995 7.8625 7.7329

Ac(xi) 10.3558 10.0996 9.8559 9.6242 9.4039 9.1946 8.9958 8.8070 8.6279 8.4579 8.2968 8.1441 7.9995 7.8625 7.7329 7.6103

F(xl) -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582

F(xu) 0.8130 0.7999 0.7861 0.7718 0.7569 0.7414 0.7255 0.7090 0.6921 0.6747 0.6569 0.6388 0.6204 0.6017 0.5829 0.5638

F(xi) 0.7999 0.7861 0.7718 0.7569 0.7414 0.7255 0.7090 0.6921 0.6747 0.6569 0.6388 0.6204 0.6017 0.5829 0.5638 0.5447

F(xl)F(xi) F(xu)F(xi) Er -25.8025 0.6503 -25.3589 0.6288 1.96E-02 -24.8966 0.6067 1.92E-02 -24.4160 0.5842 1.88E-02 -23.9178 0.5612 1.83E-02 -23.4025 0.5379 1.78E-02 -22.8712 0.5144 1.74E-02 -22.3248 0.4907 1.69E-02 -21.7645 0.4669 1.64E-02 -21.1915 0.4432 1.59E-02 -20.6073 0.4197 1.54E-02 -20.0133 0.3963 1.49E-02 -19.4111 0.3733 1.44E-02 -18.8023 0.3507 1.39E-02 -18.1887 0.3286 1.34E-02 -17.5719 0.3071 1.29E-02

Iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 80.0000

70.0000

7.6103 7.4944 7.3849 7.2815 7.1839 7.0918 7.0049 6.9231 6.8459 6.7733 6.7049 6.6406 6.5802 6.5233 6.4699 6.4197 6.3726 6.3284 6.2870 6.2481 6.2116 6.1775 6.1455 6.1155 6.0874 6.0611 6.0365 6.0135 5.9920 5.9718 5.9530 5.9354 5.9190 5.9036 5.8892 5.8758 5.8633 5.8515 5.8406 5.8304 5.8209 5.8120 5.8036 5.7959 5.7887 5.7819 5.7756

7.4944 7.3849 7.2815 7.1839 7.0918 7.0049 6.9231 6.8459 6.7733 6.7049 6.6406 6.5802 6.5233 6.4699 6.4197 6.3726 6.3284 6.2870 6.2481 6.2116 6.1775 6.1455 6.1155 6.0874 6.0611 6.0365 6.0135 5.9920 5.9718 5.9530 5.9354 5.9190 5.9036 5.8892 5.8758 5.8633 5.8515 5.8406 5.8304 5.8209 5.8120 5.8036 5.7959 5.7887 5.7819 5.7756 5.7697

-32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582

0.5447 0.5256 0.5064 0.4873 0.4684 0.4496 0.4310 0.4126 0.3946 0.3769 0.3596 0.3427 0.3263 0.3103 0.2948 0.2798 0.2653 0.2513 0.2379 0.2249 0.2126 0.2007 0.1894 0.1785 0.1682 0.1584 0.1491 0.1402 0.1318 0.1238 0.1163 0.1091 0.1024 0.0960 0.0900 0.0844 0.0790 0.0740 0.0693 0.0649 0.0607 0.0568 0.0531 0.0497 0.0464 0.0434 0.0406

0.5256 0.5064 0.4873 0.4684 0.4496 0.4310 0.4126 0.3946 0.3769 0.3596 0.3427 0.3263 0.3103 0.2948 0.2798 0.2653 0.2513 0.2379 0.2249 0.2126 0.2007 0.1894 0.1785 0.1682 0.1584 0.1491 0.1402 0.1318 0.1238 0.1163 0.1091 0.1024 0.0960 0.0900 0.0844 0.0790 0.0740 0.0693 0.0649 0.0607 0.0568 0.0531 0.0497 0.0464 0.0434 0.0406 0.0379

-16.9538 -16.3360 -15.7203 -15.1084 -14.5019 -13.9023 -13.3111 -12.7298 -12.1594 -11.6013 -11.0564 -10.5257 -10.0099 -9.5096 -9.0254 -8.5578 -8.1070 -7.6732 -7.2565 -6.8569 -6.4743 -6.1085 -5.7594 -5.4266 -5.1099 -4.8087 -4.5226 -4.2513 -3.9942 -3.7508 -3.5207 -3.3032 -3.0980 -2.9043 -2.7218 -2.5498 -2.3880 -2.2358 -2.0926 -1.9582 -1.8319 -1.7133 -1.6021 -1.4977 -1.3999 -1.3083 -1.2224

0.2863 0.2662 0.2468 0.2282 0.2106 0.1937 0.1778 0.1628 0.1487 0.1356 0.1233 0.1118 0.1013 0.0915 0.0825 0.0742 0.0667 0.0598 0.0535 0.0478 0.0427 0.0380 0.0338 0.0300 0.0266 0.0236 0.0209 0.0185 0.0163 0.0144 0.0127 0.0112 0.0098 0.0086 0.0076 0.0067 0.0059 0.0051 0.0045 0.0039 0.0034 0.0030 0.0026 0.0023 0.0020 0.0018 0.0015

1.24E-02 1.19E-02 1.15E-02 1.10E-02 1.05E-02 1.01E-02 9.61E-03 9.17E-03 8.73E-03 8.32E-03 7.91E-03 7.51E-03 7.13E-03 6.76E-03 6.41E-03 6.07E-03 5.74E-03 5.42E-03 5.12E-03 4.83E-03 4.56E-03 4.29E-03 4.04E-03 3.81E-03 3.58E-03 3.37E-03 3.16E-03 2.97E-03 2.79E-03 2.62E-03 2.46E-03 2.30E-03 2.16E-03 2.02E-03 1.89E-03 1.77E-03 1.66E-03 1.55E-03 1.45E-03 1.36E-03 1.27E-03 1.19E-03 1.11E-03 1.04E-03 9.70E-04 9.07E-04 8.47E-04

60.0000

50.0000

40.0000

30.0000

20.0000

10.0000

0.0000

5.7697 5.7642 5.7591 5.7543 5.7499 5.7457 5.7418 5.7382 5.7349 5.7317 5.7288 5.7260 5.7235 5.7211 5.7189 5.7168 5.7149 5.7131 5.7114 5.7099 5.7084 5.7070 5.7058 5.7046 5.7035 5.7025 5.7015 5.7006 5.6998 5.6990 5.6983

5.7642 5.7591 5.7543 5.7499 5.7457 5.7418 5.7382 5.7349 5.7317 5.7288 5.7260 5.7235 5.7211 5.7189 5.7168 5.7149 5.7131 5.7114 5.7099 5.7084 5.7070 5.7058 5.7046 5.7035 5.7025 5.7015 5.7006 5.6998 5.6990 5.6983 5.6976

-32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582 -32.2582

0.0379 0.0354 0.0331 0.0309 0.0288 0.0269 0.0251 0.0235 0.0219 0.0204 0.0191 0.0178 0.0166 0.0155 0.0145 0.0135 0.0126 0.0117 0.0110 0.0102 0.0095 0.0089 0.0083 0.0077 0.0072 0.0067 0.0063 0.0058 0.0055 0.0051 0.0047

0.0354 0.0331 0.0309 0.0288 0.0269 0.0251 0.0235 0.0219 0.0204 0.0191 0.0178 0.0166 0.0155 0.0145 0.0135 0.0126 0.0117 0.0110 0.0102 0.0095 0.0089 0.0083 0.0077 0.0072 0.0067 0.0063 0.0058 0.0055 0.0051 0.0047 0.0044

-1.1420 -1.0668 -0.9963 -0.9304 -0.8687 -0.8111 -0.7571 -0.7067 -0.6596 -0.6156 -0.5745 -0.5360 -0.5001 -0.4666 -0.4353 -0.4061 -0.3788 -0.3534 -0.3296 -0.3074 -0.2867 -0.2674 -0.2494 -0.2325 -0.2168 -0.2022 -0.1886 -0.1758 -0.1639 -0.1529 -0.1425

0.0013 0.0012 0.0010 0.0009 0.0008 0.0007 0.0006 0.0005 0.0004 0.0004 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

7.91E-04 7.39E-04 6.90E-04 6.44E-04 6.01E-04 5.61E-04 5.24E-04 4.89E-04 4.56E-04 4.26E-04 3.97E-04 3.71E-04 3.46E-04 3.23E-04 3.01E-04 2.81E-04 2.62E-04 2.44E-04 2.28E-04 2.12E-04 1.98E-04 1.85E-04 1.72E-04 1.61E-04 1.50E-04 1.40E-04 1.30E-04 1.21E-04 1.13E-04 1.06E-04 9.84E-05

Orendain Serratos Gabrila Esmeralda Contantino Alvarez Michele Daniel Avila

onverge mejor el metodo de la secante. Con 12 iteraciones.

Punto Fijo xi B(xi) Ac(xi) F(xi) 1.0000 4.0000 3.5000 -2.8041 -2.8041 0.1959 -4.4808 1.0888 1.0888 4.0888 3.8592 -1.9007 -1.9007 1.0993 -3.8958 1.7581 1.7581 4.7581 6.8198 0.3883 0.3883 3.3883 1.2404 -71.3942 -71.3942 -68.3942 2334.3809 1.0000 1.0000 4.0000 3.5000 -2.8041 -2.8041 0.1959 -4.4808 1.0888 1.0888 4.0888 3.8592 -1.9007

Er 1.3566 3.5753 1.5728 2.0811 3.5273 1.0054 72.3941 1.3566 3.5753

Método de la Secante xi 0.5000 0.6000 0.7248 0.8656 1.0228 1.1847 1.3327 1.4416 1.4970 1.5124 1.5140 1.5141

B(xi) 3.5000 3.6000 3.7248 3.8656 4.0228 4.1847 4.3327 4.4416 4.4970 4.5124 4.5140 4.5141

B'(xi) 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Ac(xi) 1.6250 1.9800 2.4372 2.9713 3.5914 4.2558 4.8863 5.3639 5.6116 5.6808 5.6882 5.6883

Ac'(xi) F(xi) F'(xi) Er 3.5000 -32.2582 0.0490 3.6000 -17.9103 0.1261 1.67E-01 3.7248 -9.4915 0.2110 1.72E-01 3.8656 -5.0086 0.2941 1.63E-01 4.0228 -2.5409 0.3737 1.54E-01 4.1847 -1.2136 0.4436 1.37E-01 4.3327 -0.5143 0.4987 1.11E-01 4.4416 -0.1735 0.5347 7.55E-02 4.4970 -0.0376 0.5517 3.70E-02 4.5124 -0.0036 0.5562 1.02E-02 4.5140 -0.0001 0.5567 1.08E-03 4.5141 0.0000 0.5567 2.58E-05

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Bissecion Falsa posicion Punto Fijo Secante

14

Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desar puede contener se calcula con 3𝑅 − ℎ 𝑉 = 𝜋ℎ2 − 3 Donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque [m].

Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 m3? Haga tres iteraciones con el método de Determine el error relativo aproximado después de cada iteración.

Método de Bisección iteraciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a 2.5000 3.0000 3.0000 3.1250 3.1875 3.1875 3.1875 3.1875 3.1875 3.1875 3.1875 3.187988281

b

a 2.5000 3.1533 3.1868 3.1883

b

3.5000 3.5000 3.2500 3.2500 3.2500 3.2188 3.2031 3.1953 3.1914 3.1895 3.1885 3.1885

h 3.0000 3.2500 3.1250 3.1875 3.2188 3.2031 3.1953 3.1914 3.1895 3.1885 3.1880 3.1882

F(a) -37.5950 -11.1768 -11.1768 -3.8359 -0.0551 -0.0551 -0.0551 -0.0551 -0.0551 -0.0551 -0.0551 -0.0252

Método de Falsa Posición iteraciones 1 2 3 4

3.5000 3.5000 3.5000 3.5000

1.4

1.2

1

0.8

0.6

h 3.1533 3.1868 3.1883 3.1884

F(a) -37.5950 -2.1348 -0.0989 -0.0045

0.6

0.4

0.2

0 1

2

3

4

5

Converje mejor con el metodo de secante por que con menos iteracciones llegamos al error busc

do pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que

res iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la respuesta.

e Bisección

Punto Fijo F(b) F(h) F(a)F(h) F(b)F(h) Er 19.9538 -11.1768 420.1918 -223.01963 19.9538 3.79945 -42.4657 75.81347 0.0769 3.7994 -3.8359 42.8735 -14.57445 0.04 3.7994 -0.0551 0.2112 -0.20920 0.0196 3.7994 1.8630 -0.1026 7.07834 0.0097 1.8630 0.9017 -0.0496 1.67979 0.0049 0.9017 0.4227 -0.0233 0.38116 0.0024 0.4227 0.1837 -0.0101 0.07765 0.0012 0.1837 0.0643 -0.0035 0.01181 0.0006 0.0643 0.0046 -0.0003 0.00030 0.0003 0.0046 -0.0252 0.0014 -0.00012 0.0002 0.0046 -0.0103 0.0003 -0.00005 7.66E-05

sustitucion 26.2744 31.2664833 28.7213542 29.9816469 30.6209971 30.300555 30.1409092 30.0612301 30.0214265 30.0015337 29.9915895 29.9965614

Falsa Posición F(b) 19.9538 19.9538 19.9538 19.9538

F(h) F(a)F(h) -2.1348 80.2575 -0.0989 0.2112 -0.0045 0.0004 -0.0002 0.0000

F(b)F(h) -42.5972 -1.9739 -0.0906 -0.0042

Er

sustitucion 29.2884031 0.0105 29.9670258 0.0005 29.9984871 0.0000 29.9999306

Secante

Punto fijo

Iteraciones 1 2 3 4 5 6 7

h 3 -11.1768 1067.1773 10734565.6 1.086E+15 1.1116E+31 1.1646E+63

Iteraciones 1 2 3 4 5 6

h 3.1 3.2 3.1882412 3.18840097 3.18840126 3.18840126

Secante

Metodo biseccion

Metodo Falsa Posicion

6

7

8

es llegamos al error buscado.

9

10

11

12

Punto Fijo F(h) -11.1768 1067.1773 10734565.6 1.086E+15 1.1116E+31 1.1646E+63 1.278E+127

Er 1.26841314 1.01047324 0.99990058 0.99999999 1 1

sustitucion 26.2744 385.725768 3578218.55 3.6201E+14 3.7054E+30 3.882E+62 4.261E+126

F(h) Er -5.327672 0.709952 0.03125 -0.00977927 0.00368818 -1.7466E-05 5.011E-05 4.3123E-10 8.9658E-08 0 2.2136E-12

sustitucion 28.2241093 30.2366507 29.9967402 29.9999942 30 30

Secante

La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua dulce se calcula con la ecuación (APHA, 1992)

Donde osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua dulce a 1 atm (mg/L) y Ta = temperatura absoluta (K). R ecuación, la saturación disminuye con el incremento de la temperatura. Para aguas naturales comunes en climas templados, mg/L a 0ºC a 6.413 mg/L a 40ºC. Dado un valor de concentración de oxígeno, puede emplearse esta fórmula y el método de

a) Si los valores iniciales son de 0 y 40ºC, con el método de la bisección, ¿cuántas iteraciones se requerirían para determina b) Desarrolle y pruebe un programa para el método de bisección a fin de determinar T como función de una concentración d elecciones iniciales de 0 y 40ºC, pruebe su programa para un error absoluto de 0.05ºC para los casos siguientes:

Metodo de Biseccion Iteracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.078125 0.1171875 0.1367188 0.1464844 0.1464844

b 40 20 10 5 2.5 1.25 0.625 0.3125 0.15625 0.15625 0.15625 0.15625 0.15625 0.1513672

xi 20 10 5 2.5 1.25 0.625 0.3125 0.15625 0.078125 0.1171875 0.1367188 0.1464844 0.1513672 0.1489258

Ln 14.621- Er 0.05°C f(a) f(b) f(xi) 0.0042401 -0.8218058 -0.4720343 0.0042401 -0.4720343 -0.2551813 0.0042401 -0.2551813 -0.1314013 0.0042401 -0.1314013 -0.0651285 0.0042401 -0.0651285 -0.0308384 0.0042401 -0.0308384 -0.0133985 0.0042401 -0.0133985 -0.0046042 0.0042401 -0.0046042 -0.0001883 0.0042401 -0.0001883 0.0020244 0.0020244 -0.0001883 0.0009177 0.0009177 -0.0001883 0.0003646 0.0003646 -0.0001883 8.814E-05 8.814E-05 -0.0001883 -5.007E-05 8.814E-05 -5.007E-05 1.903E-05

Falsa posicion Iteracciones 1

a 0

b 40

xi 0.2053208

Ln 14.621- Er 0.05°C f(a) f(b) f(xi) 0.0042401 -0.8218058 -0.0015764

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0 0 0 0 0 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982

0.2053208 0.1496735 0.1495983 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982

0.1496735 0.1495983 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982 0.1495982

0.0042401 -0.0015764 -2.133E-06 0.0042401 -2.133E-06 -2.882E-09 0.0042401 -2.882E-09 -3.796E-12 0.0042401 -3.796E-12 -7.239E-14 0.0042401 -7.239E-14 6.972E-14 6.972E-14 -7.239E-14 4.13E-14 4.13E-14 -7.239E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 -4.396E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14 4.13E-14 -4.396E-14 4.13E-14

Punto Fijo Iteracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ln 14.621- Er 0.05°C f(xi) Er 0 0.00424011 0.00424011 0.00411977 -0.02920956 0.00411977 0.00412319 0.00082827 0.00412319 0.00412309 -2.3506E-05 0.00412309 0.00412309 6.6706E-07 0.00412309 0.00412309 -1.8929E-08 0.00412309 0.00412309 5.3768E-10 0.00412309 0.00412309 2.068E-11 0.00412309 0.00412309 6.8933E-12

Xi

Grafica de

Grafica de Ln 14.621- Er 0.05°C 1.2 1 0.8 Metodo de biseccion

0.6

Falsa posicion 0.4

Punto fijo

0.2 0 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23

-0.2

El metodo que mejor converje es el de punto fijo por que encontramos en menos iteracciones el

ción (APHA, 1992)

= temperatura absoluta (K). Recuerde el lector que Ta = T + 273.15, donde T = temperatura (ºC). De acuerdo con esta urales comunes en climas templados, la ecuación se usa para determinar que la concentración de oxígeno varía de 14.621 plearse esta fórmula y el método de bisección para resolver para la temperatura en ºC.

ones se requerirían para determinar la temperatura con un error absoluto de 0.05ºC? omo función de una concentración dada de oxígeno, con un error absoluto preespecificado como en el inciso a). Dadas ara los casos siguientes: osf = 8, 10 y 12 mg/L. Compruebe sus resultados.

Metodo

C f(a) f(xi) -0.0020015 -0.001082 -0.0005572 -0.0002762 -0.0001308 -5.681E-05 -1.952E-05 -7.983E-07 8.583E-06 1.858E-06 3.346E-07 3.213E-08 -4.413E-09 1.677E-09

f(b) f(xi) 0.3879205 0.1204543 0.0335311 0.008558 0.0020085 0.0004132 6.169E-05 8.668E-07 -3.811E-07 -1.728E-07 -6.864E-08 -1.659E-08 9.427E-09 -9.53E-10

Er 1 1 1 1 1 1 1 1 0.3333333 0.1428571 0.0666667 0.0322581 0.0163934

Iteracciones 1 2 3 4

a 0 20 20 20

b 40 20 20 20

Falsa Er 0.05°C f(a) f(xi) -6.684E-06

f(b) f(xi) 0.0012955

Er

Iteracciones 1

a 0

b 40

-9.042E-09 -1.222E-11 -1.609E-14 -3.069E-16 2.956E-16 2.88E-27 -1.816E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 -1.816E-27 -1.816E-27 -1.816E-27 -1.816E-27 -1.816E-27 1.706E-27 1.706E-27 1.706E-27 -1.816E-27 1.706E-27 1.706E-27

2 40.112628 3 #DIV/0! 4 #DIV/0!

3.362E-09 0.3717913 6.147E-15 0.0005029 1.094E-20 6.798E-07 2.748E-25 8.952E-10 -5.047E-27 1.707E-11 -2.99E-27 8.376E-12 3.182E-27 3.159E-12 -1.816E-27 1.629E-12 -1.816E-27 7.891E-13 -1.816E-27 4.069E-13 -1.816E-27 2.098E-13 -1.816E-27 1.082E-13 1.933E-27 5.566E-14 1.933E-27 2.876E-14 1.933E-27 1.392E-14 1.933E-27 6.679E-15 1.933E-27 3.34E-15 -1.816E-27 1.484E-15 -1.816E-27 7.421E-16 -1.816E-27 3.711E-16 1.933E-27 1.855E-16 -1.816E-27 1.855E-16 -1.816E-27 #VALUE!

40.112628 #DIV/0! #DIV/0!

Punto Fijo Iteracciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ln 14.413- Er 0.05°C f(xi) 0 0.82837178 0.82837178 0.80503656 0.80503656 0.80568913 0.80568913 0.80567087 0.80567087 0.80567139 0.80567139 0.80567137 0.80567137 0.80567137 0.80567137 0.80567137 0.80567137 0.80567137

Xi

Er -0.02898654 0.00080995 -2.2655E-05 6.3368E-07 -1.7725E-08 4.9547E-10 -1.3617E-11 2.4694E-13

mos en menos iteracciones el error que buscamos.

Grafica de Ln 14.413- Er 0.05

0.01 0 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04

1

2

3

4

5

6

7

8

ºC). De acuerdo con esta eno varía de 14.621

). Dadas

Metodo de Biseccion xi 20 20 20 20

Ln 6.413 - Er 0.05°C f(a) f(b) f(xi) 0.8283718 0.0023259 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974 0.3520974

f(a) f(xi) 0.2916675 0.1239726 0.1239726 0.1239726

f(b) f(xi) 0.0008189 0.1239726 0.1239726 0.1239726

Er

f(a) f(xi) 0.0004529

f(b) f(xi) 1.272E-06

Er

0 0 0

Falsa posicion xi 40.112628

f(a) 0.8283718

Ln 6.413- Er 0.05°C f(b) f(xi) 0.0023259 0.0005467

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

0.0005467 #DIV/0! #DIV/0!

0.0005467 #DIV/0! #DIV/0!

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

#DIV/0! #DIV/0! #DIV/0!

afica de Er 0.05°C

8

Meto de biseccion Falsa posicion Punto fijo