Examen Admision Maestria Uni

Universidad Nacional de Ingenier ía   / Facultad de Ciencias Sección de Posgrado y 2da. Especialización Profesional

EXAMEN DE ADMISIÓN 2008 – II MAESTRIA EN CIENCIAS, MENCION EN F ÍSICA Y MENCIÓN EN FÍSICA MÉDICA Examen de Especialidad Martes, 26 de agosto del 2008 Duración: 4 Horas. ESCOJA SOLAMENTE DOS PROBLEMAS DE CADA TEMA (TOTAL: 6 PROBLEMAS)

Tema: Mec á nica Cl  á sica 1.

Tres bloques de igual masa m se mueven, sin fricci ón, a lo largo del eje X unidos por resortes ideales de igual constante el ástica K (ver figura 1). En el instante t  0  los resortes no est án deformados. =

a) Usando como coordenadas generalizadas diferenciales del movimiento de los bloques. b) Determine las frecuencias propias.

k 

= xk  – x(0), determine las ecuaciones

Figura 1 2.

Se tiene dos part í culas cargadas A y B de masas iguales a M y m = 0,5 kg, respectivamente. La partí cula A tiene carga Q y la part í cula B tiene carga q. Supongamos que la part í cula A permanece fija y que la única fuerza que act úa sobre la partí cula B es la fuerza el éctrica debido a la part í cula A. En la figura 2 se muestra la posici ón inicial de la part í cula B. Si KQq = 0,5 N-m 2, halle el tiempo que demora la partí cula B en ir del punto inicial al punto donde la distancia al origen de coordenadas es el doble de la distancia inicial (no es necesario efectuar la integraci ón).

Figura 2

3.

Una pequeña bola se mueve (sin rozamiento) en un canal que tiene forma de espiral el cual está contenido en el plano xy y cuya ecuaci ón es C: r = a . En el instante t = 0 la bolita está   en el origen de coordenadas y se le imparte la velocidad v = vo i. Determine una ecuaci ón que relacione el tiempo con la coordenada polar r considerando que la fuerza de gravedad es perpendicular al plano xy.

Figura 3 4.

Un bloque A se mueve en el eje x (no hay rozamiento) unido a un resorte ideal cuyo otro extremo está  unido a otro bloque que se mueve tambi én en el eje x (ver figura 4) pero con aceleración constante a o. Halle la coordenada del bloque A en función del tiempo.

Figura 4 5.

En la figura 5 se muestra un p éndulo de masa m con punto de suspensi ón que se mueve en el eje X con velocidad constante v o. Usando la dinámica de Lagrange determine la ecuaci ón diferencial de movimiento del péndulo.

Figura 5

Tema: Electromagnetismo 1. Halle la densidad de flujo magnético B a lo largo del eje z (z = 0 est á en el medio de solenoide) en los siguientes casos:

En todos ellos haga el caso general para h > r y tambi én para

h

, r 0.

a) Imán cilí ndrico, Norte arriba y Sur abajo (escoger antes los parámetros de un imán permanente. b) Solenoide con una corriente Ib. c) Solenoide con núcleo de hierro ( r = 250, = 1.07 x 10 7 Sm-1), corriente Ic. d) Solenoide con espiras conc éntricas (o espirales), con corriente I d. Halle también las posibles equivalencias bajo que corrientes o condiciones dos o m ás dispositivos son equivalentes. Si es posible verificar experimentalmente. 2. En el caso b) para h , r 0, se conoce tambi én como la cuerda de Dirac (Dirac String). Analice el campo alrededor de un polo y compare con la forma del campo el éctrico de una carga. 3. Use la ecuaci ón de Laplace en coordenadas cil í ndricas para hallar la capacitancia de un cable coaxial (los radios interior y exterior son a y b respectivamente). Tema: Mec á nica Cu á ntica 1. Una partí cula de masa m se mueve en el siguiente pozo de potencial

V(x) =

 0 ∞ 

si si

− a <  x < a − a >  x > a

Suponga que en t = 0, (x, 0) = A (a 2 – x2). Calcule la probabilidad P0 y P1, de medir las energ í as del nivel fundamental y del primer nivel excitado, E0 y E1, respectivamente.

2. El hamiltoniano H de un cierto sistema f ís  ico está representado por la matriz:

H = hw

 1  0 0  

0

0  

2

0  ,

 

2    

0

mientras que los observables A y B est án representados por las matrices:

    A =    

0

λ 

λ  0 0

0

    0   , 2λ     0

    B =    

2 µ  0

0

      ,    

u1

+

0

0

0  µ 

0

 µ 

respectivamente, donde λ   y  µ   son constantes. Se pide: i) Calcular los autovalores de A y B, ii) Si el sistema f í sico se encuentra en el estado

 1      u 1 =  0  ,  0      

u2

u  =

 0      =  1  ,  0      

1 2

u3

1 2

u2

+

1 2

u3 ,

con

 0      =  0    1      

calcule, en este estado u , los valores medios < H >, < A > y < B >. iii) Calcule la probabilidad de que, al hacer una medida del observable A en el estado u  se obtenga el mayor de sus autovalores. iv) Calcule la probabilidad de que, al hacer una medida del observable B en el estado u  se obtenga el mayor de sus autovalores. 3. Una partí cula, con momento angular orbital 

=

1,

  1  φ  =  4 26    - 3 1

está en el estado

         

¿Cuál es la probabilidad de que una medida del observable L x dé como resultado cero?  Nota: El estado φ   está escrito en la base {Y 11 , Y 10 , Y 1−1 } .

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EXAMEN DE ADMISIÓN 2008 – II MAESTRIA EN CIENCIAS, MENCION EN F ÍSICA Y MENCI ÓN EN FÍSICA MÉDICA Examen de Matem ática

Miércoles, 27 de agosto de 2008 Duración: 2 horas y 30 minutos

Tema: M é todos Matem á ticos Aplicados a la Fí  sica 1.

Encuentre una serie de Fourier en cosenos que represente a la funci ón f(x) mostrada en la figura, en el intervalo (0,6).

2. Encuentre la distribución de temperaturas en r égimen estacionario en una placa semi-infinita para las condiciones de frontera indicadas en la figura. En el borde inferior la temperatura, a x centí metros del origen, es x grados. El ancho de la placa es 10cm.

3. En el problema del oscilador armónico unidimensional, seg ún la Teorí a Cu ántica, considere las funciones n, n = 0, 1, 2, …, normalizadas, tales que H n = E n n , donde H = D2 + X2, es el hamiltoniano del sistema. D = d/dx es el operador derivada con respecto a x y X es el operador cuya acción sobre cualquier funci ón f(x) del espacio de funciones est á   dada por X f(x) = x f(x). a)

Mostrar que

[ D, X ] = I

(Nota: [ D, X ]

es el conmutador de D y X)

b)

Mostrar que

( X + D ) n =

+∞

c)

Calcule la integral

∫ 

−∞

(φ 2

  

n=0

0 2n ϕ n − 1

+ φ 1 )

n

( D 2 +  X 2

= 1, 2, ...

+ 2 D X )

(φ 1

− φ 2 ) dx .

4. Considere el siguiente problema con condiciones de frontera: d 2 y d  x

2

=  x ,

(0

x

1 ),

y(0) = 0,

a) Obtenga la correspondiente función de Green. b) Utilice el método de la funci ón de Green para obtener y(x).

y’(1) =

d  y d  x

=0.  x = 1