Examen 2014 de RDM 2 - 1ère Année Génie Civil

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Exercices corrigés de RDM 2  1ère Année Génie Civil

En utilisant les fonctions de singularités, déterminer  élastique. Ensuite déterminer les réactions ,  et  et la flèche  au point C.



 

l’équation de la courbe       Λ

 

/2

/2

Une poutre encastrée à l’ u ne de ses extrémités et simplement appuyée à l’ a utre est chargée tel qu’illustré. Calculer a- Les réactions aux appuis de cette poutre b- La pente de cette poutre au point B

 

 



/2

/2

Calculer le déplacement déplacement vertical de même que la rotation au point C de la structure cicontre. Les deux membrures sont identiques et le joint B est rigide.



 





Paramètres ,,,  

RDM 2

Par CHBIHI Youness

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Exercices corrigés de RDM 2  1ère Année Génie Civil

     



/2 /2 D’après les équations de la statique, on a ∑ = 0 ⇒  =  ∑/ = 0 ⇒  = (  2)∙

  

 :



(1)

(2)

(1) Chargement :

 =  ∙〈0〉− + ∙〈 0〉− ∙〈/2 〉− + ∙〈〉− (2) Effort tranchant :

 =  ∙〈0〉− + ∙〈 0〉 ∙〈/2 〉 + ∙〈 〉 (3) Moment fléchissant :

 =  ∙ 〈 0〉 + ∙ 〈 0〉 ∙ 〈/2 〉 + ∙ 〈 〉 ∙ =  ∙〈0〉 + 2 ∙〈0〉  2 ∙〈 2〉 + 2 ∙〈〉 + ∙ = 2 ∙ 〈0〉 + 6 ∙ 〈0〉  6 ∙ 〈 2〉 + 6 ∙ 〈〉 + ∙+ 0 = 0     {  0 =0 (4) Pente de la déformée :

(5) Flèche :

Conditions aux limites :

On a alors :

RDM 2

{ == 00 Par CHBIHI Youness

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L’équation de la courbe ∙ = 2 ∙ 〈0〉 + 6 ∙ 〈0〉  6 ∙ 〈  2〉 + 6 ∙ 〈〉 =∙Λ  =∙   2          ∙ = 2 ∙ + 6 ∙  6 ∙(2)   ∙ = (13   485 )∙ D’où 1 3 3 1  = 516 ∙ 1+13   = (1116 + 3 ) ∙   = (  )  16 2 3 ∙  1+ 3  1+    Λ =  516 ∙ +13  élastique est donc :

Par ailleurs :

En remplacent les expressions de

 et

 ((1) et (2)) dans celle de la flèche :

 :

   

 

 

 

/2 /2 Cet exercice est similaire au premier, on garde les mêmes équations qu’ o n a trouvées  c’est dire, que l’équation de la courbe élastique reste ∙ = 2 ∙〈0〉 + 6 ∙〈0〉  6 ∙〈  2〉 + 6 ∙〈〉 avant de remplacer la réaction la même :

-à-

Dans le cas de cet exercice on a :

 = 0   On a ainsi l’équation suivante           2 ∙ = 2 ∙ + 6 ∙  6 ∙(2)  :

RDM 2

Par CHBIHI Youness

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0 = (13   485 )∙

D’où

 :

 = 165 ∙   = 1116 ∙   = 316 ∙ similaire que l’exercice précédent  ∙ =  3 ∙〈 0〉 + 11 ∙〈0〉  1 ∙〈 〉 + 5 ∙〈 〉  16 32 2 2 32 =/2  11   3   = /2 =  16 ∙ 2 + 32 ∙ 4 ∙  D’où  =  1281 ∙  La formule de la pente est aussi

Pour

 :

 :

 :











Paramètres ,,,

  C’est un exercice d’application du théorème de Castigliano Onverticalement cherche toutaud’point abordC,ledans moment fléchissant de la structure suite à un effort appliqué notre cas l’effort P est vertical on n’a pas besoin d’un  :

effort virtuel : 

Moment fléchissant et effort normal : o Entre B et C :

 =∙     =  =0  =0   = 0 RDM 2





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Exercices corrigés de RDM 2  1ère Année Génie Civil

o

Entre A et B :

 =∙       =  =0  =   = 1 Onde l’neénergie considère que l’ e ffet du moment fléchissant et de l’ e ffort normal interne d’après les paramètres de l’exercice   1    = 2 [∫   +∫  ]



dans la formule

 :

Le théorème de Castigliano énonce que :

 =    = ∫  ∙   +∫  ∙          On n’a plus qu’à calculer l’intégrale  = ∫  ∙   +∫  ∙   +∫  ∙              ∙         = ∫  ∙  +∫  ∙   +∫    =   3 +    2  = 3 +   > 0 Avec :

 :

On remarque que

 : le point C se déplace dans le sens de P.

Pour calculer la rotation du point C, on applique un moment virtuel en ce point :



 

   Paramètres ,,,

  RDM 2

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De la même manière on a : 

Moment fléchissant : o Entre B et C :

   =0  =∙   = 1 o

Entre A et B :

    =0  =∙   = 1 n ne considère que l’effet l’énergie interne, en particulier pour ce cas car l’effort normal ne dépend pas de    1   = 2 ∫    =    = ∫  ∙       On n’a plus qu’à calculer l’intégrale  = ∫  ∙   +∫  ∙           ∙      = ∫   +∫  ∙  =   2    = 2  > 0   Généralement, o

du moment fléchissant dans la formule de  :

Le théorème de Castigliano énonce que :

Avec :

 :

On remarque que

RDM 2

 : le point C tourne dans le même sens que

.

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