Ex Dipole RL

EXERCICES TS.

DIPOLE RL

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Exercices sur le dipôle RL Exercice 1 Calculer la tension aux bornes d’une bobine ( sans calculatrice ) Un circuit électrique comporte une bobine d’inductance L = 1,0 H et de résistance r = 10 Ω. 1. Représenter cette bobine, de bornes C et D, orientée de C vers D. Flécher la tension la tension uDC à ses bornes. 2.

Quelle est l’expression de la tension uDC en fonction de l’intensité i du courant ?

3.

Quelle est la valeur de cette tension lorsque l’intensité i est :

¾

constamment nulle ?

¾

constante et égale à 50 mA ?

4. Durant 10 ms, cette bobine est traversée par un courant variant dans le temps suivant l’équation i(t) = 4,0 t, avec i en ampère et t en seconde. 4.a. Quelle est la valeur de l’intensité du courant à la date t = 5,0 ms ? 4.b. Quelle est la valeur de di à la date t = 5,0 ms ? Préciser son unité. dt 4.c. Quelle sera la valeur de la tension uCD à cette date ?

Exercice 2 Brancher un système d’acquisition ; exprimer des tensions ( sans calculatrice ) 1. Reproduire le schéma du montage ci-contre et flécher les tensions uAB et uBM. 2.

i

K A

Quelles sont les expressions littérales de uAB et uBM ?

3. Quelle est la valeur de la tension uK aux bornes de l’interrupteur lorsqu’il est : ¾

fermé ?

¾

ouvert depuis longtemps ?

4. Quelles sont les expressions littérales de uAB l’interrupteur K est :fermé depuis longtemps ?

+

uK L,r

E et uBM

-

lorsque

5.1. Représenter les branchements d’un système d’acquisition informatisé permettant de visualiser la tension uAM sur la voie Y1 et la tension uBM sur la voie Y2.

B

M R

5.2. Quels sont les calculs à programmer sur le logiciel de traitement de données pour obtenir la tension uAB et l’intensité i du courant ? 6. On désire visualiser simultanément deux tensions sur un oscilloscope à mémoire, bicourbe possédant sur ses deux voies une touche inverseuse de tension. 6.1. Reproduire le schéma du montage et flécher les tensions uAM et uBA. 6.2. Représenter les branchements à effectuer à l’oscilloscope pour visualiser la tension uAM sur la voie Y1 et la tension uBA sur la voie Y2. 6.3. Donner les expressions des deux tensions précédentes dans les cas où l’interrupteur est fermé depuis longtemps, ouvert depuis longtemps. 6.4. Flécher sur un autre schéma les tensions uBM et uAB. Représenter les connexions au système informatisé pour visualiser la tension uBM sur la voie Y1 et uAB. sur la voie Y2 ;

Exercice 3 Exploiter un graphique : établissement du courant, mesure d’une inductance. Un circuit comporte une bobine d’inductance L, un conducteur ohmique, un générateur de tension de f.é.m E et un interrupteur. La résistance totale du circuit est R = 32 Ω, mesurée à l’ohmmètre. 1.

Faire un schéma du montage.

2. On ferme le circuit à la date t = 0 et, à l’aide d’un système informatisé on enregistre le graphe i(t) donné ci-contre. 2.1. Orienter le circuit, flécher la tension u qui a permis de visualiser i(t) ( on justifiera brièvement le choix de cette tension ) et indiquer les connexions que l’on a

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du réaliser pour visualiser u(t), puis indiquer le calcul programmé pour visualiser i(t) ( qu’a-t-il fallu mesurer pour effectuer ce calcul ? ). 2.2. Déterminer la valeur IP du courant en régime permanent , puis la valeur de E ( justifier le calcul ). 2.3. Déterminer par deux méthodes la valeur de la constante de temps τ du circuit. Comparer les valeurs obtenues. 2.4. En déduire la valeur de l’inductance L de la bobine.

Exercice 4 Rupture du courant dans une bobine On dispose d’une bobine d’inductance L = 1,2 H et de résistance suffisamment faible pour que l’on puisse la considérer comme nulle. Insérée dans un circuit ( cf figure ci-contre ), cette bobine est traversée par un courant d’intensité constante i = 2,0 A.

uK

Donnée : il y a apparition d’étincelles aux bornes de l’interrupteur K si la tension à ses bornes dépasse 400 V. 1.

Quelle est la tension ub aux bornes de la bobine en régime permanent ?

2.

En déduire la valeur de r’.

3.

Lors de l’ouverture du circuit, le courant s’annule en un temps Δt = 4,5 ms.

ub

3.1. Quelle est la valeur de Δi lors de l’ouverture ( Δi représente la variation de Δt l’intensité du courant ) ? 3.2. Donner alors une estimation de la tension ub aux bornes de la bobine lors de l’ouverture du circuit. Interpréter le signe de ub en termes d’opposition : on représentera la bobine sur un schéma équivalent comme un générateur dont on précisera les pôles. 3.3. En appliquant la loi d’additivité des tensions, donner une estimation de la tension uK aux bornes de l’interrupteur pendant la phase de rupture du courant ( on supposera que le courant moyen qui circule pendant cette phase est de l’ordre de 0,5 A ). Conclure.

Exercice 5 Etablissement et rupture du courant dans un circuit comportant une bobine.

P

On considère le montage ci-contre. Le dipôle D est une diode idéale. En convention récepteur, on représente une diode idéale sur le schéma ci-après. i’ u

S

i’

On peut distinguer deux états de fonctionnement d’une diode idéale : ¾

lorsque la diode est passante, elle se comporte comme un interrupteur fermé ; alors u = 0 et i’ > 0 ;

¾

lorsque la diode est bloquée, elle se comporte comme un interrupteur ouvert ; alors i’ = 0 et u < 0.

1.

T

Etablissement du courant dans le circuit

A la date t = 0, on ferme l’interrupteur. 1.1. Est-ce qu’un courant électrique circule dans la diode ? Justifier brièvement. Dessiner alors un schéma équivalent simplifié du circuit où l’on fera figurer les tension fléchées uPS et uST. 1.2. Que valent i(0) et uPS(0), respectivement de l’intensité du courant et de la tension aux bornes de la bobine juste après la fermeture de l’interrupteur. Justifier. En déduire pourquoi la tension uPS est discontinue à t =0. 1.3. Quelles sont, en fonction de E, r et r’ les expressions, notées IP et uPS (perm), respectivement de l’intensité du courant et de la tension aux bornes de la bobine lorsque le régime permanent est atteint. 1.4. Etablir l’équation différentielle qui traduit l’évolution de l’intensité i(t) dans la bobine, en y faisant figurer IP ainsi que la constante τ = L/R où R = r + r’. 1.5. Vérifier que la fonction i(t) = IP [1 – exp( - t / τ ) ] est solution de l’équation différentielle. Que représente IP pour la fonction i(t) ? 2.

D

Rupture du courant

Une fois le régime permanent atteint, on ouvre l’interrupteur à une date to choisie comme nouvelle origine des dates.

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2.1. Justifier le fait que, juste après l’ouverture, un courant circule dans la bobine et dans la diode. Donner alors un schéma équivalent simplifié du circuit où figurent les tensions uPS et uST.. 2.2. Quelles sont, en fonction de E, r et r les expressions de i(0) et uPS(0), respectivement de l’intensité du courant et de la tension aux bornes de la bobine juste après l’ouverture de l’interrupteur. Justifier. Montrer que la tension uPS subit encore une discontinuité à l’ouverture de l’interrupteur ? 2.3. Que vaut uPS lorsque le courant a atteint une valeur nulle ? Justifier brièvement. 2.4. Etablir l’équation différentielle vérifiée par i(t) en y faisant figurer la constante de temps τ. 2.5. Vérifier que i(t) = IP exp( - t / τ ) est solution de l’équation différentielle. Cette expression est-elle en accord avec l’annulation finale du courant ? Justifier brièvement. 3.

Graphes d’évolution de i(t) et uPS(t).

En utilisant certains résultats des questions précédentes schématiser sur les systèmes d’axes ci-après, l’allure des courbes i(t) et uPS(t). Quelle est la grandeur continue ? Quelle est la grandeur discontinue.

i Ip

O

to

t

to

t

uPS E

O

Indiquer sur les graphes la constante de temps τ.

Exercice 6 Energie emmagasinée par une bobine Une bobine d’inductance L = 0,45 H et de résistance r = 75 Ω est insérée dans un circuit. 1.

Rappeler l’expression de l’énergie stockée dans la bobine. Préciser les unités.

2.

Calculer l’énergie emmagasinée dans cette bobine lorsqu’elle est traversée par un courant d’intensité i = 20 mA.

3.

Pour quelle valeur i’ de l’intensité, l’énergie emmagasinée sera-t-elle égale à 3,2 mJ ?

Exercice 7 Etude d’un circuit RL

E

Un circuit électrique comporte, placés en série : un générateur idéal de tension continue de f.é.m. E = 6,00 V, un interrupteur K, une bobine d’inductance L et de résistance r = 10,0 Ω et un conducteur ohmique de résistance R = 200 Ω.

i

L,r C

Le schéma du circuit ci-dessous précise l’orientation du circuit et les tensions étudiées.

u( V)

Courbe 1

5

4

4

3

3

2

2

1

1 t (s ) 0

0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018

R

B

A u AB

u BC

A t = 0, on ferme l’interrupteur K et on procède à l’acquisition. On obtient les deux courbes suivantes, notées courbe 1 et courbe 2.

5

+

-

Un ordinateur relié au montage par une interface appropriée permet de visualiser au cours du temps les valeurs des tensions uAB et uBC.

u( V)

K

Courbe 2

t (s )

0

0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018

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1. - Etude du montage. 1.1. A défaut d’ordinateur et d’interface d’acquisition, quel type d’appareil peut-on utiliser pour visualiser le phénomène étudié ? 1.2. Donner l’expression de uAB en fonction de i et de di . dt 1.3. Donner l’expression de uBC en fonction de i. 1.4. Associer les courbes 1 et 2 aux tensions uAB et uBC. Justifier. 2.

Détermination de l’intensité du courant en régime permanent.

2.1. Appliquer la loi d’additivité des tensions pour déterminer l’expression I0 de l’intensité du courant qui traverse le circuit lorsque le régime permanent est établi. Calculer la valeur de I0. 2.2. Exploiter l’une des courbes pour retrouver cette valeur de I0. 3.

Calcul de l’inductance L de la bobine.

3.1. -Exploiter l’une des deux courbes pour déterminer la constante de temps τ du montage. Expliciter votre méthode. 3.2. - Rappeler l’expression de la constante de temps τ en fonction des grandeurs caractéristiques du circuit. Montrer que cette expression est homogène à un temps. 3.3. - À partir de la valeur de τ mesurée, calculer l’inductance L de la bobine.

Exercice 8 Une équation au service des sciences physiques L'équation différentielle

dx + αx = β (1), ( α et β étant des grandeurs constantes), permet de décrire un grand nombre de dt

phénomènes physiques variables au cours du temps: intensité, tension, vitesse, grandeur radioactive. On rappelle que mathématiquement cette équation admet en particulier 2 solutions :

β x(t)= . 1 - e-αt si β ≠ 0 (2) α

(

)

et

x(t) = X 0e

- αt

si β = 0 avec X0 grandeur constante.

Cet exercice tend à montrer la validité du modèle pour un circuit électrique mettant en jeu une bobine d'inductance L et de résistance r = 11,8 Ω ,(donc non négligeable), et un conducteur ohmique de résistance R = 12 Ω, alimenté par un générateur délivrant une tension continue E = 6,1 V. On réalise expérimentalement le circuit électrique ci-contre. L'évolution des grandeurs variables, tension u(t) et intensité i(t), est obtenue par voie informatique. ¾

•

La voie EA0 permet de visualiser la tension E

¾

•

La voie EAl permet de visualiser la tension UBC

1.

Étude expérimentale

La courbe expérimentale donnant l'évolution de l'intensité i(t), obtenue par traitement informatique, est donnée ci-contre. 1.1. Évaluer graphiquement la durée du régime transitoire. Aucune justification n'est demandée. 1.2. τ étant la constante de temps associée au dipôle {bobineconducteur ohmique} : 1.2.1. Donner l'expression littérale de τ en fonction des paramètres du circuit. 1.2.2. En déduire l'expression de l'inductance de la bobine et calculer sa valeur (elle doit être comprise entre 0,95 H et 1,20 H). 2.

Modèle théorique

2.1. En utilisant la loi d'additivité des tensions et en respectant l'orientation du circuit, établir l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i(t). 2.2. Par identification avec l'équation (1) vérifier que

α=

R+r et donner l'expression de β. L

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2.3. En déduire l'équation horaire littérale i(t) en fonction de {r, R, L et E}. Montrer que cette solution valide bien l'équation établie en 2.1. 2.4. 3.

t − ⎞ E ⎛ τ Montrer que cette équation horaire peut s'écrire i(t) = ⎜1 − e ⎟ . R+r⎝ ⎠

Confrontation des résultats expérimentaux avec le modèle théorique.

On rappelle que lim e = 0 et x

x→ − ∞

e0 = 1

3.1. On appellera I l'intensité en régime permanent (l'intensité étant constante). Donner l'expression littérale de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec la valeur expérimentale obtenue ? 3.2. Donner l'expression littérale de i(t) à la date t = τ en fonction de I. Calculer sa valeur. Est-elle en accord avec l'expérience ?