Evaporadores de Triple Efecto

9. EVAPORADORES 9.1 Generalidades:

La evaporación consiste en la separación de un disolvente volátil de un soluto no volátil por vaporización del disolvente, el agua es el disolvente que con más frecuencia se separa. La calefacción se efectúa por medio del vapor condensante. La resolución de los problemas de evaporación se lleva a cabo por aplicación de los conceptos generales referentes a la transmisión del calor desde el vapor condensante hasta la disolución a concentrar. Esta cantidad de calor viene dada por la expresión Q = UA ∆T   U  !oeficiente integral de transmisión del calor  "  #uperficie de evaporación ∆t   $iferencia de temperatura 9.2 Sistema de de Efecto Simple Simple

El cálculo lo efectuamos como si el sistema operara en estado estacionario, entonces no ha% acumulación, aplicando primeramente un balance de materia % un balance de entalpia a todo el sistema. #e considera el ingreso igual a la salida.

IX.1

F, X TF, hF

V H

Vo, vapor de agua Sat

Tc, Hc

h0

T P

Líquido

L,x h

IX.2

$onde& '  (racción en masa del soluto en el alimento. x  (racción en masa del soluto en el licor concentrado. (  (lu)o de alimento, lb*h. L  (lu)o de liquido concentrado lb*h. +  (lu)o de vapor, lb*h. h(  entalpa del alimento, -tu*lb. h  entalpa del licor concentrado a la temperatura de ebullición del evaporador, -tu*lb.   entalpa del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador, -tu*lb. /  velocidad del calor transferido a trav0s de los tubos 1desde el vapor de agua hacia el licor concentrado2, -tu*lb. 9.2.1 Balance de materia y ener!a  Balance de materia del soluto

 F X

= Lx

13.42

 Balance de materia del solvente

 F ( 4 − X ) = V + L ( 4 − x )

13.52

 Balance global de materia

 F

= L + V 

13.62

 Balance de entalpia alrededor alrededor del proceso

entalp lpía ía 1entra ntrada da2 = ∑enta entalp lpía ía 1 sali salida da2 ∑enta  F h F  + Q = VH + Lh

13.72

#iendo Q  el calor suministrado por el vapor. $el balance global de masa  F

= L + V 

8eemplazando en la ecuación 13.72  Fh F  + Q = 1 F − L2 H + Lh

 Fh F  + Q − ( F − L ) H − Lh = 9

1 F h 2 #umando % restando

IX.3

 % reagrupando t0rminos se tiene&

 Fh F  + Q − FH + LH − Lh − Fh + Fh = 9

 F 1 h F  − h2 + Q − ( F − L ) 1 H − h2 = 9 Velocidad de transferencia de calor

El calor transferido se puede expresar como& Q =V9 ( H 9 − h9 ) =V9 λ   9

Elemento !alefactor  Q = UA ( T9 − T ) 

:ara el intercambiador  donde&

E!  U 

  !oeficiente global de transferencia de calor, -;U*hft 5

•

T 9

Espacio c

 ;emperatura ;emperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efecto.

•

T 

•

•

Camisa de c   ;emperatura de ebullición del licor concentrado a la : del espacio con vapor en el primer  efecto. Li#sat  A P"T", h"P",  

#i las las func funcio ione ness   % sus derivadas parciales, que aparecen en el Hacobiano H  , son continuas % el determinante de H  , no es igual a cero, entonces el m0todo de DetonB8aphson converge hacia una solución siempre % cuando el grupo de valores, asumido de las variables sea suficientemente consistente con la solución. #i los cambios en los calores especficos, con la temperatura son despreciables, entonces los t0rminos de

( h F  − h4 ) , ( h4 − h5 ) ,( h5 − h6 ) calor sensibles,

, pueden ser remplazados por&

( h F − h4 ) = &p ( TF  − T4 )  ( h4 − h5 ) = &p ( T4 − T5  ) ( h5 − h6 ) = &p1T5 − T6 2  En consecuencia las funciones con esta simplificación se transforman, a continuación se procederá a la formación del vector Hacobiano& 3&nci4n

IX.11

f 1

= F 1h F  − h4 2 + Q4 − ( F − L4 ) λ 4 = 9  !4 = F &p ( T F  − T4 ) + V9λ9 − ( F − L4 ) λ 4 = 9  !4 = F&pT F  − F&pT4 + V9λ9 − F λ4 + λ 4L4 = 9  !4

∂ !4 =λ ∂V9 9 ∂ ! b47 = 4 = 9 ∂T5 b44

=

3&nci4n

∂!4 = − F&p ∂T4 ∂! b4= = 4 = 9 ∂L5

J

b45

J

=

J J

b46 b4>

=

=

∂!  4 = λ  ∂L4 4

∂!  4 =9 ∂A

f  2

 ! 5 = U4 A ( T9 − T4 ) − V 9 λ 9 = 9

∂ ! 5 = −λ 9 ∂V9 ∂ ! b57 = 5 = 9 ∂T5 b54 =

3&nci4n

J J

b55 = b5= =

∂! 5 = −U4 A ∂T4

∂! 5 =9 ∂L5

J

J b5> =

b56 =

∂!  5 =9 ∂L4

∂!  5 = U4 ( T9 − T4 ) ∂A

f 3

 !6 = L4 ( h4 − h5 ) + ( F − L4 ) λ4 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9  !6 = L4&p ( T4 − T5 ) + ( F − L4 ) λ4 − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9  !6 = L4&pT4 − L4&pT5 + F λ4 − L4λ4 − λ5 L4 + λ5 L 5 = 9

∂ !6 ∂! ∂!   J b65 = 6 = L4&p J b6= = 6 = λ 5 =9 ∂V9 ∂T4 ∂L5 ∂ !   b66 = 6 = &pT4 − &pT5 − λ4 − λ5 = &p ( T4 − T5 )  − ( λ4 + λ5 )   ∂ L4 ∂ ! ∂!   b67 = 6 = − L4&p J b6> = 6 = 9 ∂T5 ∂A b64 =

3&nci4n

f  4

= U 5 A ( T4 − T5 ) − ( F − L4 ) λ 4 = 9  ! 7 = U 5 AT4 − U 5 AT5 − F λ4 + L4λ 4 = 9  ! 7

IX.12

 

∂ ! 7 =9 ∂V9 ∂ ! b77 = 7 = −U 5 A ∂T5

b74

=

3&nci4n

J

b75 J

∂! 7 =U A ∂T4 5 ∂! b7= = 7 = 9 ∂L5

=

J

=

b76

J

b7>

=

∂!  7 = λ  ∂L4 4

∂!  7 = U T −U T = U ( T −T ) ∂A 5 4 5 5 5 4 5

 

f 5

= L5 ( h5 − h6 ) + ( L4 − L5 ) λ5 − ( L5 − L6 ) λ 6 = 9  ! = = L5h5 − L5h6 + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 =  9  ! = = L5&p ( T5 − T6 ) + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 =  9  ! = = L5&pT5 − L5&pT6 + L4λ5 − L5λ5 − L5λ6 + L6λ6 =  9  ! =

∂ != ∂! J b=5 = = = 9 =9 ∂V9 ∂T4 ∂ ! b== = = = &pT5 − &pT6 − λ5 − λ 6 J ∂ L5 b=4 =

3&nci4n

b=6 =

J b=7 =

∂!  = = λ 5 ∂L4

∂!= = L5 &p ∂T5

J

b=> =

∂!  = =9 ∂A

f  6

= U 6 A ( T5 − T6 ) − ( L4 − L5 ) λ 5 = 9  ! > = U 6 AT5 − U 6 AT6 − L4λ5 + L5 λ 5 = 9  ! >

∂ ! > =9 ∂V9 ∂ ! b>7 = > = U 6 A ∂T5 b>4 =

∂! > J =9 ∂T4 ∂! b>= = > = λ 5 J ∂L5

∂!  > = −λ 5 ∂L4 ∂!   b>> = > = U6T5 − U6T6 = U6 ( T5 − T6 )   ∂A

b>5 =

J J

b>6 =

Entonces se forma el vector Hacobiano& 9  λ9 − F&p λ 4  −λ  −U A 9 9 9 4   9  L4&p b66 − L4&p  # %  =   9 U 5 A λ 4 −U 5 A  9 9 λ 5  L5&p  9 −λ5 U 6 A  9

IX.13

9 9 λ 5

9 b== λ 5

  U4 ( T9 − T4 )     9  U 5 ( T4 − T5 )     9  U 6 ( T5 − T6 )   9

= &p ( T4 − T5  ) − ( λ4 + λ 5 ) b== = &pT5 − &pT6  − λ5 − λ 6

b66

9.5 E6emplo 7.1: E0aporador de de #riple #riple Efecto

#e desea diseCar un sistema de evaporación de efecto triple para concentrar el soluto de una solución del 49 N 1alimento2 a una solución del =9 N en peso. El flu)o de alimento es de =9 999 lb*h % entra al primer  efecto como lquido a 499 O(. O(. $ebe usarse usarse alimentación en en paralelo. :ara cumplir con los requisitos de calentamiento del primer efecto se utiliza vapor saturado del solvente a 5=9 P(. El tercer efecto debe ser  operado a una presión absoluta correspondiente al punto de ebullición para el solvente puro a 45=P(. $esprecie la elevación del punto de ebullición, al igual que las variaciones de los calores especficos % el calor latente de vaporización con temperatura % composición. $etermine el área " para cada efecto 1deben utilizarse a0reas iguales2, las temperaturas ; 4 % ;5 los flu)os L 4, L5 % L 6, las composiciones x 4 % x5 % el flu)o +o. Datos:

! p  4,9 -tu * lb P( para el alimento % todas las otras corrientes lquidas

 λ0 = λ1= λ2

  4999 -tu* lb

U4 =99 U5 699 U6 599 La solución de este problema puede iniciarse aplicando los balances de masa % energa para cada efecto, desarrollados en la teora antes mencionada, las cuales son&  !4 = F&p ( T F  − T4 ) + V9λ9 − F 1λ 4 − L4 2 = 9  ! 5 = U4 A ( T9 − T4 ) − V 9 λ 9 = 9  !6 = L4&p ( T4 − T5 ) + ( F − L4 ) λ4 − 1 L4 − L5 2λ 5 = 9  ! 7 = U 5 A1T4 − T5 2 − 1 F − L4 2λ 4 = 9  != = L5 &p ( T5 − T6 ) + 1 L4 − L5 2λ5 − 1 L5 − L6 2 λ 6 = 9  !> = U 6 A ( T5 − T6 ) − 1 L4 − L5 2λ 5 = 9 9.5.1. Simplificaci4n de las f&nciones f &nciones f i

:ara reducir la magnitud de los t0rminos que aparecen en las ecuaciones funcionales % las matrices, se utiliza el procedimiento de cambios de variable o cambio de escala. :ara fines de cálculos es preferible mane)ar t0rminos con magnitudes cerca de la unidad. La selección de los factores para reducir los t0rminos es arbitraria, pero tiene más significado si en los t0rminos reducidos los valores asociados con los parámetros del problema son seleccionados tales como flu)os de alimento, temperatura del vapor de agua % el calor latente de vaporización del vapor de agua. El siguiente procedimiento de cambio de variable fue usado& 4. !ada !ada ecua ecuaci ción ón func funcio iona nall fue div divid idid idaa por el prod produc ucto to (Q 9% la nueva expresión funcional obtenida se denominó g &

IX.14

 g i =

 !i  F λ 9

5. ;odos ;odos los flu)os flu)os se se expresaron expresaron como como una fracció fracciónn del flu)o flu)o de alimento alimento (, (, es decir& decir&  L ) = l ) F % V) = v ) F  6. ;odas ;odas las tempera temperaturas turas se expres expresaron aron como como una fracción fracción de la tempera temperatura tura del vapor vapor de agua agua as& ; ) = u ) × ;9

, el cual define la temperatura fraccional u ). 7. El área de cada efecto efecto fue expres expresada ada como como fracción fracción de un t0rmino t0rmino proporci proporciona onall al flu)o flu)o de alimento, de la siguiente manera&" ) a ) 1(*=92, el cual define la fracción de área a ). ;omando ;omando en cuenta las anteriores consideraciones&  gi =

 !  i  F  λ  . λ 9

; ) = u );9

J

L ) = l )(J

J

+) = v )( J

Las nuevas funciones g i son& 3&nci4n

 g 4 =

 g 4 =

 g4 =

 !4  F λ9

=

 g 5

=

 g 5

=

=

F&p1T F  − T4 2 F λ9

 F&p1T F  − u4;9 2  F λ9 &p1T  F  − u4;9 2 λ9

3&nci4n

 g 5

g1

 !  5  F λ9

F λ9

F λ9

−

=

U4 A ( T9 − T4 ) F λ9

U4a ( 4 − u4 ) T 9 =9 λ 9

g3

−

− v9

−

λ 9

−

V 9 λ 9 F λ 9

v9 F λ 9 F λ 9

F 1λ 4 − L4 2 F λ9

1 F − l 4(2λ 4

14 − l 4 2λ 4

g2

=9 F λ9

IX.15

V 9 λ 9

v9 F λ 9

+ v9 −

U4a( ( T 9 − u4;9 )

3&nci4n

+

+

F λ 9

 

"  = a  1( * =92

 g 6 =  g 6 =  g 6 =

 !  6  F λ9

 g 7 =  g 7 =

 F λ9 l 4&p ( u4 − u5 ) ;9 λ9

 g = =  g = =

 !  7  F λ9

 g > =

 g >

=

F λ9

=

( F − l4(  ) λ 4 1l4 − l5 2 F λ 5 −

F λ9

−

λ9

U 5 A ( T4 − T5 ) F λ9

=9 F λ9 U 5 a ( u4 − u5 ) ;9 =9 λ9

 F λ 9 λ 9

−

−

−

( F − L4 ) λ 4 F λ 9

( F − l4(  ) λ 4 F λ 9

( 4 − l4 )  λ 4 λ 9

g5

 !=  F λ9

 L5&p ( T5 − T 6 )

=

F λ9

l5 F&p ( u5 − u6 ) ;9  F λ9 l5&p ( u5 − u6 ) ;9

+

λ9

+

+

1 L4 − L5 2 λ 5 F λ9

1l4 − l5 2 F λ 5 F λ9

1l4 − l 5 2λ 5 λ9

−

−

−

1 L5 − L6 2λ 6 F λ9

1l5 − l6 2 F λ 6 F λ 9

1l5 − l 6 2λ 6 λ 9

g6

 !  >  F λ9

=

U 6 A ( T5 − T6  ) F λ9

U 6aF ( T5 − T6 ) =9 F λ9

−

U 6a ( u5 − u6 ) ;9 =9 λ9

−

1 L4 − L5 2λ 5 F λ 9

1l4 − l5 2 F λ 5

−

F λ 9

1l4 − l 5 2λ 5 λ 9

!on esto las matrices quedan de la siguiente manera&

IX.16

 

( 4 − l4 )  λ 4 1l4 − l 5 2λ 5

+

U 5 aF ( u4 − u5 ) ;9

3&nci4n

 g > =

−

F λ9

g4

3&nci4n

 g = =

+

( F − L4 ) λ 4 1 L4 − L5 2λ 5 2

+

F λ9

l 4(&p ( u4 − u5 ) ;9

3&nci4n

 g 7 =

 L4&p ( T4 − T5 )

=

 

 ∂ g4  ∂v  9  ∂ g5   J k  = ∂v9   M   ∂ g>  ∂v9

∂g4 ∂u4 ∂ g5 ∂u4

∂g 4 ∂l 4 ∂ g5 ∂ l4

∂g4 ∂u5 ∂g 5 ∂u5

∂g4 ∂l5 ∂g 5 ∂l5

M

M

M

M

∂g> ∂u4

∂g > ∂l 4

∂g> ∂u5

∂g> ∂l5

 g 4  g   5  f k =  g 6   M   g >

∂g 4 ∂a  ∂ g 5 ∂ a M  ∂g > ∂a

 ∆v9  ∆u  4 ∆xk = xk +4 − x k =  ∆  l 4    ∆u5  ∆l 5

J

Rbtención de la nueva matriz )acobina&

 J k 

b44 =  M b>4

b45

b46

M

b47

M

b>5

b>6

b4=

M

M

b>7

b>=

b4>

  b>>

M

Entonces& Para

 g4 =

g1

&p1T  F  − u4;9 2 λ9

∂ g4 =4 ∂v9 ∂ g b47 = 4 = 9 ∂u5 b44

=

Para

 g 5 =

+ v9 −

J J

=9 λ9

IX.17

−

U4aT9 u  4 =9 λ 9

λ9

b45 b47

g2 U4aT9

λ4

− v9

=

+

l 4λ 4

=

&p;9 ∂g4 =− ∂u4 λ9

λ 9

∂g4 =9 ∂l5

J

J b4>

b46

=

=

∂g 4 =9 ∂a

∂g 4 λ 4 = ∂l 4 λ 9

∂ g 5 = −4 J ∂v9 ∂ g b5=  = 5 = 9J 9J ∂l5 b54

U aT  ∂g 5 ∂g = − 4 9 J b56 = 5 = 9J =9 λ 9 ∂u4 ∂l4 ∂g  U T U T u U T   b5> = 5 = 4 9 − 4 9 4 = 4 9 14 − u4 2 ∂a =9 λ9 =9 λ9 =9 λ 9

=

Para

 g 6 =

b64 =

b55

=

l 4&pu5 ;9

+

b57

=

∂g 5 = 9J ∂u 5

g3 l4&pu4;9 λ9

−

λ9

∂ g6 =9 ∂v9

λ4 λ9

−

l 4λ4 λ9

b65 =

J

−

l 4λ5 λ9

+

l 5λ5   λ9

 

∂g6 l 4&p;9 = ∂u4 λ 9

∂ g6 &pu4;9 &pu5 ;9 λ4 λ 5 &p;9 ( u4 − u5 ) − 1λ4 + λ 5 2 = − − − = ∂l 4 λ9 λ9 λ9 λ9 λ9   ∂ g ∂g l &p;9 λ  b67 = 6 = − 4 J b6= = 6 = 5 J ∂u5 ∂l5 λ9 λ 9 b66 =

Para

 g 7 =

U 5 au4;9 =9 λ9

=

Para

 g = =

∂g 6 =9 ∂a

g4

∂ g 7 =9 ∂v9 ∂ g b7= = 7 = 9J ∂l5 b74

b6> =

−

U 5 au5;9 =9 λ9

−

λ4 λ9

+

l 4λ 4 λ9

 

∂g 7 U 5 a;9 ∂g λ  ∂g  U a; J b76 = 7 = 4 J b77 = 7 = − 5 9 = =9 λ 9 ∂u4 =9 λ9 ∂l4 λ9 ∂u5 ∂g  U u ; U u ; U ;  b7> = 7 = 5 4 9 − 5 5 9 = 5 9 ( u4 − u5 ) =9 λ9 =9 λ 9 ∂a =9 λ9

J

b75

=

g5 l5&p;9u5 λ9

−

l5&p;9u6 λ9

+

l4λ5 λ9

−

l 5λ 5 λ9

−

l5λ6 λ9

+

l6λ   6 λ9

 

∂ g= ∂g ∂g λ  b=5 = = = 9 J b=6 = = = 5 J =9 J ∂v9 ∂u4 ∂l4 λ9 ∂ g &p;9u5 &p;9u6 λ 5 λ6 &p;9 1u 5 − u6 2 − 1λ5 + λ 6 2 b== = = = − − − = ∂l5 λ9 λ9 λ9 λ9 λ9  

b=4 =

IX.18

b=7 J

=

∂g = l5&p;9 = ∂u5 λ 9 ∂g  b=> = = = 9 ∂a

Para

 g > =

g6 U 6 au 5;9 =9 λ9

−

U 6a u6 ;9

∂ g > =9 J ∂v9 ∂ g λ  b>= = > = 5 ∂l5 λ9 b>4

=9 λ9

=

−

λ9

+

l5λ   5 λ9

 

∂g > ∂g λ  b>6 = > = − 5 J =9 J ∂u4 ∂l4 λ9 ∂g U u ; U u ; U 6;9 ( u5 − u6 ) b>> = = = 6 5 9 − 6 6 9 = =9λ9 =9λ9 ∂a =9λ9 b>5

J

l4λ5

=

b>7

=

∂g > U 6a;9 = ∂u5 =9 λ 9

 

%.5.2 Valores 8niciales:

 v9  u  4  l 4  x 9 =   u5 l 5   a  :ara la solución de este problema tomamos como base los siguientes supuestos& 4. 1;o S ;42  75O( , 1; 4 S ;52  75O( % 1;5 S ;62  74O (. 5. #olven #olvente te evap evapora orado do en en el primer primer efec efecto to + 4  47 999 lb* h. #olvente evaporado en el segundo efecto  + 547 999 lb* h. #olvente evaporado en el tercer efecto  + 645 999 lb* h. 1Dota& Estas suposiciones son consistentes con el hecho de que la cantidad total de solvente evaporado se toma a partir del enunciado del problema % del balance de material por componente2, de donde&  FX  = 49 999 lb * h  L6 =  x6 6. "  4 999 pies5 para cada efecto. 7. +o  4= 999 lb* h, 1supuesto2 8ecordando&  F = =9 999 lb * h ;9 = 5=9 ° F  ! p = 4, 9 -tu * ( lb °( )

= λ4 = λ 5 = 4999 -tu -tu * lb U4 = =99J U 5 = 699J U 6 = 599 ; ) = u );9 J L ) = l  ) (J +) = v )( λ9

" ) = a ) ( ( * = 9 )

IX.19

"plicando estos supuestos se tiene& + ) = v )(

entonces

v9 =

+9 (

4= 999

=

=9 999

= 9, 6

( ;o S ;4 ) = 75O F  •

#i& ;4 = ;o S 75O ( = 5=9 O ( S 75O ( = 59A O ( ; ) = u );9

entonces u4 =

J

;4 ;9

59A℉

=

5=9℉

= 9, A65

Del Balance lo$al de materia en el primer efecto:

( 3.=)

V4 = F − L4

 L4 = F − V 4

L j =l j F

 A 

=

entonces l1 =

a )(

entonces a =

=9

L1 F - V1  50 00 000 0 - 14 00 000 0 = = =0,72 F F 50 000

 A × =9 (

=

4999 ×=9 =9 999

=4

( ;4 S ;5 ) = 75O ( #i& ;5 = ;4 S 75O ( = 59A O ( S 75O ( = 4>> O ( •

; ) = u );9

J

entonces u 5 =

;5 ;9

=

4>>℉ 5=9℉

= 9, >>7

( ;5 S ;6 ) = 74O ( #i& ;6 = ;5 S 74O ( = 4>> O ( S 74O ( = 45= O ( •

u6 =

;6 ;9

=

4>>℉ 5=9℉

= 9, >>7

Del Balance lo$al de materia en el se&ndo efecto:

IX.20

= V5 + L5  L5 = L4 − V 5  L5 = F − V4 − V 5  L4

L )

= l )(

enton entonce cess l 5

=

L5 (

=

 F − V4 − V 5 (

=

=9 999 − 47 999 − 47 999 =9 999

El 0ector inicial es:

9, 6   v9  9,6  u  9,A65  4    l 4 9,@5   x 9 =   =   u5 9,>>7  l 5  9, 77      a  4 

%.5." Preparaci4n del 0ector col&mna f 

 J k ∆x = − f ( x ) k 

 g4 ( v9,9 J u4,9 J l4,9 J u5,9 J l5,9 J l5,9 J a )    !  9 =  M   g v J u J l J u J l J l J a   > ( 9,9 4,9 4,9 5,9 5,9 5,9 ) 8emplazando datos % valores encontrados en las funciones fun ciones g i& &pT  F 

 g4 =

 g 4,9

 g 5

λ9

=

=

 g 5,9

−

4× 499 4999

&pu4;9 2 λ9

−

=

λ4 λ9

4× 9, A65 × 5=9

U4aT9 ( 4 − u4 )

=9λ 9

+ v9 −

4999

l4λ 4 λ9

+ 9, 6 −

 

4999 4999

+

− v9

=99 ×4× 5=9 ( 4 − 9, A65 )

IX.21

+

=9 ×4999

− 9, 6 = 9,459

9, @5 × 4999 4999

= −9, 9AA

= 9,77

 g 6

=

 g 6,9

 g =

 g >,9

4999

=9 × λ9

−

λ9

1l4 − l 5 2λ 5 λ9

−

9, 77 × 4× 5=9 ( 9, >>7 − 9, = ) 4999

U 6a;9 1u5 − u6 2

=

λ 9

=9 ×4999

+

=9 λ9

−

= 9,969

( 4 − l4 ) λ 4

699 ×4× 5=9 ( 9, A65 − 9, >>7 )

l5&p ( u5 − u6 ) ;9

=

 g > =

9, @5 ×4× 5=9 ( 9, A65 − 9, >>7 ) + ( 4 − 9, @5 ) 4999 − ( 9, @5 − 9, 77 ) 4999

U 5 a ( u4 − u 5 ) ;9

=

=

 g =,9

λ 9

=

 g 7 =

 g 7,9

l4&p ( u4 − u5 ) ;9 + ( 4 − l4 ) λ  4 − 1l4 − l5 2λ 5  

−

( 4 − 9, @5 ) 4999 4999

= −9,95A

1l5 − l 6 2λ 6

+

λ 9

19, @5 @5 − 9, 77 7724999 4999

−

19, 77 77 − 9, 52 524999 4999

= 9,9=A

1l4 − l 5 2λ 5 λ 9

599 ×4× 5=9 × 19, >>7 − 9, =2 =9 ×4999

−

( 9, @5 − 9, 77 ) ×4999 4999

= −9,44>

 −9,9AA 9,459     9,969    !  9 =  −9,95A  9,9=A   9,44> −       %.5.'. Vector Vector aco$iano para la primera iteraci4n: 

:ara formar el vector )acobiano se procede a remplazar datos % valores encontrados en las funciones b&

IX.22

b44

=4

b47

=9

J

b45

=−

&p;9 λ9

=−

b4=

b54 = −4 J

b55 = −

U4aT 9

b5= = 9 J

b5> =

b64 = 9 J b66 =

λ 9

λ9

b74

= 9J

b77

=−

b75

U 5 a;9

b7=  = 9J 9J

9, @5 ×4× 5=9

=

=9λ 9 b7>

4999

=

U 5 a;9 =9λ9

=− =

=9λ 9

λ 5 λ9

=

b>=

= 

λ 5 λ9

b>5

=

=9

4999 4999

4J = 4J

b>6

=4

=9

=

b56 = 9 J b57 = 9

λ 9

4999 4999

=

b76

699 × 5=9 =9 ×4999

λ 4 λ 9

= 4J

=

= −4,3=A

b6> = 9

4999 4999

=4

4999

× ( 9, A65 − 9, >>7 ) = 9, 5=5

= 4J

4999

b=7 =

=−

λ 5 λ9

b>>

=

=−

l5&p;9 λ 9

=

9, 77 ×4× 5=9 4999

= 9,44

4, 3=3J b=> = 9 = −4,

4999 4999

= −4J

U 6;9 ( u5 − u6 ) =9λ 9

b>7

=

=

U 6a;9 =9λ 9

599 × 5=9 =9 × 4999

9.5.5 Vector Vector sol&ci4n para la primera iteraci4n: ;1

$e donde se obtiene&  J 9 ×∆x9 = − f ( x ) 9

IX.23

4999

= −4, =

4999

= 9J

λ 5

= 4, =J

4× 5=9 × 19, >> >>7 − 9, =2 − 14999 + 49992

b>4

4999

9 , 75 × ( 4 − 9, A65 ) = 9,

b6= =

=9 ×4999

( u4 − u5 ) =

b=6 =

λ 9

=

4999

699 ×4× 5=9

=9 ×4999

λ 4

4× 5=9 × ( 9, A65 − 9, >>7 ) − 14999 + 49992

− 9,4AJ

699 ×4× 5=9

U 5 ;9

b=4 = 9J b=5 = 9J

=

=

=

= 9,4A

4999

λ 9

l4&p;9

=99 × 5=9 =9 ×4999

b46

= −5, = J

=9 ×49 4999

9, @5 ×4× 5=9

=

J b4>

=99 × 4× 5=9

( 4 − u4 ) =

&p;9 ( u4 − u5 ) − ( λ4 + λ 5 )

b67 =

b==  =

l 4&p;9

b65 =

= −9, 5=

J

=−

=9 × λ 9

=9 λ 9

4999

=9

J

U4T 9

4× 5=9

=

599 × 4× 5=9 =9 × 4999

= 4J

9,4>7 × ( 9, >>7 − 9, =) = 9,

4 9 9 9   4 −9, 5=  −4 −5, =  9 9 9 9, 75    9 9,4A −4, 3=A −9,4A 4 9    −4, = 4, = 4 9 9, 5=5 9 9 9 4 9,44 −4, 3=3 9    −4 9 4 4 9,4>7 9

    ×    >× > 

∆v9 ∆u4 ∆l 4  ∆u5 ∆l 5  ∆ a

    =    >×4

−9, 9AA  9,459  9,969  −9, 95A 9,9=A  −9,44>

 J 9 − × f 9 = ∆x 9 4

3=55@>  9, 3=  −9, 67  67=45  −9, 96A=>  9=93=  −9, 9=  −9, 955=7  5469==  9, 54

−9, 97 97@@5 −9, 67 67=45 −9, 96 96A=> −9, 9= 9=93= −9, 955=7

9, >6 >6679@

9, 99 9964>7

9, 6> 6>6=74

−9, 54 54@4@ −9, >A >A@@ −9, 6= 6=554 −9, 6@9A5

9, 9> 9>9945

−9, 9A 9A96= −9, 6A6>6

9, 54 5469==

9, 54 54=753

9, 6> 6>7@4

9, 944A63

−9, 9= 9=44= 9, 57 57=6>3 9, 9964@4 −9, >35=5 9, 6A696

9, 9@ 9@A@@ 

 9, 9= 9=3@>>  −9, 9> 9>6A6  9, A65AA= 9, 9474A=  9, =7653A

9,9=A733 9,969AAA    9,96@556 ∆ x 9 =    9,936556  9,9=6A>6   9,96@757 >×4 ∆ x k = x k +4 − x k  K puesto que

entonces&

 x k +4 = ∆ x k + x k   x4 = ∆ x9 + x 9

9, 9=A733 9, 969AAA    9, 96@556  x 4 =   9 , 9 3 6 5 5 6    9, 9=6A>6   9 , 9 6 @ 7 5 7  

IX.24

    +    >×4 

9, 6

   9, A65   9, @5   = 9, >>7  9, 77    4  >×4

9, 6=A 733

   556 9, @=@  9, @=6  556  A>6 9, 736  4,46@757 9, A>5AAA

>×4

 9, 9AA 9, 9=A733  −9,459 9, 969AAA      −9, 969 9, 96@556 ×  =   9, 95A 9, 936556 −9, 9=A 9, 9=6A> 6      9,44>  >×4 9,96@757 >×>

>×4

9,6=A733 9,A>5AAA   9,@=@556  x4 =   9,@=6556   9,736A> 9, 736A>6 6   4,46@757  

 v9,4 u  4,4  4,4 l 4,4 =  u5,4   l 5,4  a5,4 >×4  

>×4

Luego se realiza la siguiente iteración. :ara facilitar todo este procedimiento se utilizara un programa que nos permita calcular la solución a trav0s de un m0todo iterativo. %.5.7. Sol&ci4n del E6emplo 1 por *atla$

IX.25

IX.26

IX.27

IX.28

E6ec&ci4n del Prorama en *atla$.

%.5.@℉ 

"=

a( =9

= 446@, 96 pie5

,omenclat&ra

(  (lu)o de alimentación, 1masa* tiempo2 L  (lu)o de lquido concentrado, 1masa* tiempo2 +  (lu)o de vapor, 1masa* tiempo2 '  (racción en masa de soluto en la alimentación x  (racción en masa de soluto en el lquido concentrado  H  F = ¿  Entalpia de la alimentación, 1energa * masa2

he = ¿

Enta Entalp lpia ia del del liqu liquid idoo conc concen entra trado do a la temp tempera eratu tura ra de ebul ebulli lici ción ón del del evap evapor orad ador  or 

1energa * masa2   Entalpia del vapor a la temperatura de ebullición del evaporador,1energa * masa2 /  +elocidad del calor transferido a trav0s de los tubos 1desde el vapor de agua hacia el lquido concentrado2, 1energa * masa2 +9  (lu)o de vapor de agua alimentado a ; 9 % :9 , 1masa* tiempo2 U  !oeficiente global de transferencia de calor, 1energa* área tiempo2 ;9  ;emperatura ;emperatura de saturación del vapor de agua que entra al primer efecto ;  ;emperatura de ebullición del lquido concentrado a la presión del espacio con vapor 

IX.29