Evaluacion Continua Algebra Lineal Ing Ambiental
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA FACULTAD DE INGENIERIA DE PROCESOS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AMBIENTAL
MATEMÁTICA III TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA BÚSQUEDA Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL CURSO DE MATEMÁTIC MATEMÁTICA A III A LA INGENIERÍA INGENIERÍ A AMBIENTAL
TRABAJO PRESENTADO POR: AVENDAÑO RIMACHE, ANDREA FERNANDA CHOQUENEIRA CCASA, SARA ROCIO FUENTES MAMANI, SANDRO HENRY GOMEZ CHANA, MARIA PIA ASESOR: MG. PARISACA ZAIRA, OSCAR LEONIDAS AREQUIPA – PERÚ JULIO – 2017
Contenido INTRODUCCION............................................................ ................................................................................... .............................................. ........................... 3 TRABAJO DE INVESTIGACION FORMATIVA ................................ ...................................................... ......................... ... 4 OBEJTIVO: ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. ........................... 4 SISTEMAS LINEALES ............................. ................................................... ............................................. .............................................. ........................... 4 Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones ....................... ............................................. ................................. ........... 5 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LOS SEL ........................... ................................................. .................................... .............. 5 Método de eliminación de Gauss ........................................................ ............................................................................... ........................... 6 Método de la inversa................................... inversa......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 7 EJERCICIOS APLICATIVOS:............................................ ................................................................... ........................................ ................. 8 DETERMINANTE............................................................... ..................................................................................... ............................................ ...................... 8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ n × n ........................................... ............................................................. .................. 8 EVALUACION DE LOS DETERMINANTES POR REDUCCION EN LOS RENGLONES ............................................ .................................................................. ............................................ .......................................... .................... 10 DESARROLLO POR COFACTORES; REGLA DE CRAMER .............................. .............................. 10 EJERCICIOS APLICATIVOS............................................ ................................................................... ...................................... ............... 11 ESPACIO VECTORIAL ....................................... ............................................................. ............................................. ................................... ............ 14 APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS............................................ ................................................ .... 16 APLICACIONES ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 18 TRANSFORMACIONES LINEALES ...................................................... .......................................................................... .................... 26 APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................. .................................. ..... 28 Valores y vectores propios ........................................................... ................................................................................. .................................. ............ 32 EJERCICIO APLICATIVO ........................................................ .............................................................................. ............................... ......... 32 PROGRAMACION LINEAL ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ 35 PROBLEMAS APLICATIVOS ....................................... ............................................................. .......................................... .................... 36 CONCLUSION .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ....................... 40 BIBLIOGRAFIA ............................................ .................................................................. ............................................ .......................................... .................... 41
Contenido INTRODUCCION............................................................ ................................................................................... .............................................. ........................... 3 TRABAJO DE INVESTIGACION FORMATIVA ................................ ...................................................... ......................... ... 4 OBEJTIVO: ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................. ........................... 4 SISTEMAS LINEALES ............................. ................................................... ............................................. .............................................. ........................... 4 Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones ....................... ............................................. ................................. ........... 5 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LOS SEL ........................... ................................................. .................................... .............. 5 Método de eliminación de Gauss ........................................................ ............................................................................... ........................... 6 Método de la inversa................................... inversa......................................................... ............................................ ............................................ ...................... 7 EJERCICIOS APLICATIVOS:............................................ ................................................................... ........................................ ................. 8 DETERMINANTE............................................................... ..................................................................................... ............................................ ...................... 8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ n × n ........................................... ............................................................. .................. 8 EVALUACION DE LOS DETERMINANTES POR REDUCCION EN LOS RENGLONES ............................................ .................................................................. ............................................ .......................................... .................... 10 DESARROLLO POR COFACTORES; REGLA DE CRAMER .............................. .............................. 10 EJERCICIOS APLICATIVOS............................................ ................................................................... ...................................... ............... 11 ESPACIO VECTORIAL ....................................... ............................................................. ............................................. ................................... ............ 14 APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS............................................ ................................................ .... 16 APLICACIONES ........................................... ................................................................. ............................................ ...................................... ................ 18 TRANSFORMACIONES LINEALES ...................................................... .......................................................................... .................... 26 APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES ............................. .................................. ..... 28 Valores y vectores propios ........................................................... ................................................................................. .................................. ............ 32 EJERCICIO APLICATIVO ........................................................ .............................................................................. ............................... ......... 32 PROGRAMACION LINEAL ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ 35 PROBLEMAS APLICATIVOS ....................................... ............................................................. .......................................... .................... 36 CONCLUSION .......................................... ................................................................. ............................................. ............................................. ....................... 40 BIBLIOGRAFIA ............................................ .................................................................. ............................................ .......................................... .................... 41
INTRODUCCION El presente trabajo de investigación formativa, lo que busca es explicar un poco y resolver diferentes problemas aplicativos con todas las herramientas e instrucciones que se dieron en clases, que de por sí, se pudo aprender que todos los temas van asociados con lo que discierne al álgebra lineal El álgebra lineal se caracteriza por estudiar estructuras matemáticas en las que es posible tomar “sumas” entre distintos elementos de cierto conjunto y “multiplicar” tales elementos por números reales o complejos.
Tales conjuntos se conocerán como espacios vectoriales y sus elementos serán llamados vectores. En la parte aplicativa, se va intentar encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Tales problemas tienen gran importancia para hallar las corrientes en circuitos eléctricos o hacer códigos en informática.Al ir resolviendo este tipo de problemas, una de las propiedades más ventajosas del álgebra lineal irá apareciendo: la existencia de algoritmos bien definidos para resolver una gran cantidad de problemas. El algoritmo más importante del curso aparecerá desde el inicio con el fin de resolver tales sistemas de ecuaciones lineales. Tal algoritmo es el método de Gauss-Jordan y consistirá en asociarle a cada sistema de ecuaciones lineales un cierto objeto llamado matriz para el cual el algoritmo producirá una matriz reducida que dará inmediatamente la información sobre la solución del sistema. Esto motivará estudiar las matrices como fines en sí mismos y realizar operaciones algebraicas (como suma y producto de matrices) entre ellas. Tal estudio conduce al concepto de determinante, que es un número que se le asigna a las matrices y que cumple que si es distinto de cero entonces la matriz posee una inversa. Posteriormente, con respecto a los espacios vectoriales el concepto de transformación lineal va a ser de suma importancia ya que serán las funciones que preservan la estructura algebraica de un espacio vectorial. A una transformación lineal se le puede asociar una matriz por lo que se podrá utilizar utili zar toda la teoría de matrices para estudiar las transformaciones lineales. En este sentido, el concepto de valor y vector propio serán los últimos ingredientes de la teoría de transformaciones lineales y también se dará una pequeña introducción a lo que es programación lineal.
TRABAJO DE INVESTIGACION FORMATIVA OBEJTIVO:
Entender y aplicar los diferentes métodos aprendidos en el avance del curso del álgebra lineal.
SISTEMAS LINEALES Los SEL
Soluciones de un SEL Dado un SEL
Llamamos solución a cualquier vector que al ser sustituido en el sistema, lo cumple. Es decir, los valores de las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones del SEL. Importante
Si un vector X es es solución del SEL
También es solución del SEL que se obtiene al realizar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL inicial, A*. Este hecho será la clave para obtener los métodos de resolución de un SEL.
Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones Distinguimos tres tipos de sistemas según el conjunto de soluciones que tiene:
Sistema incompatible: el sistema no tiene solución. No existen valores para las incógnitas de modo que se verifiquen todas y cada una de las ecuaciones que conforman el SEL.
Sistema compatible (SC): existe al menos una solución que verifica todas las ecuaciones del SEL. Pero distinguimos dos casos: o
Sistema compatible determinado (SCD): existe una solución y es única, es decir, sólo hay una. En el caso de los SEL homogéneos, la única solución es la trivial (todas las incógnitas valen 0). Esto se debe a que la solución trivial siempre es solución del SEL homogéneo. De este modo, un SEL homogéneo nunca será incompatible.
o
Sistema compatible indeterminado (SCI): existe más de una solución. En este caso, existen infinitas soluciones (ya que el conjunto de soluciones de un SEL es un espacio vectorial). Alguna variable (o todas) dependerán de un (o más) parámetros.
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LOS SEL Destacamos 3 métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que explicamos más adelante:
Eliminación de Gauss: consiste en realizar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL hasta obtener su forma escalonada reducida .
Matriz inversa: consiste en multiplicar el sistema, si es compatible determinado, por la matriz inversa de la matriz de coeficientes.
Método de eliminación de Gauss Se basa en el hecho de que si un vector X es solución del SEL
También es solución del SEL que se obtiene al aplicar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL inicial, A*. Lo que nos permite trabajar con matrices equivalentes para facilitar la búsqueda de las soluciones. El método consiste en realizar operaciones elementales en la matriz ampliada hasta obtener su forma
escalonada (eliminación de Gauss)
escalonada reducida (eliminación de Gauss-Jordan)
Veamos un ejemplo:
Forma escalonada de A* (obtenida al realizar operaciones elementales fila)
Tenemos ahora un sistema más sencillo de resolver (de abajo a arriba) que proporcionará
Método de la inversa Sea el SEL
Supongamos que el sistema es cuadrado , esto es, m = n. El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A-1:
y obtenemos la solución.
Las matrices asociadas al sistema son
Con lo que la solución del sistema es
EJERCICIOS APLICATIVOS:
1. Se contrata a dos empresas para lograr la remediación de aguas, la primera llega a remediar 8 cilindros de agua provenientes de uso agrícola y 3 cilindros de aguas provenientes de uso doméstico en un periodo de 1 hora; mientras que la segunda llega a remediar 18 y 2 cilindros de uso agrícola y domestico respectivamente. Si se cuenta con reservorios que tienen una capacidad de almacenar 130 cilindros de agua provenientes de uso agrícola y 25 cilindros de uso doméstico. ¿Cuántos cilindros de agua de la primera y segunda empresa se pueden remediar si se desea abarcar toda la capacidad de cada uno de los reservorios? SOLUCION: X: número de cilindros de agua remediados por la primera empresa. Y: número de cilindros de agua remediadas por la segunda empresa. 8x + 18y = 130 3x + 2y = 25
9 65 9 65 1 83 182 13025 18 13 24 2 45 3 0 4194 4954 194 10 941 6545 94 10 01 55 ̅ = = 55
Respuesta: La cantidad de cilindros de agua que se debe de remediar son 5 para los cilindros agrícolas y 5 para los cilindros domésticos, trabajando con las dos empresas remediadoras.
DETERMINANTE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ n × n
Definición: Si A es una matriz n × n se define el determinante de la matriz A a lo largo de la i-ésima fila como:
Es útil disponer de las dos fórmulas de este ejemplo para su uso posterior. Sin embargo, a fin de evitar la memorización de estas pesadas expresiones, se sugiere recurrir a los artificios mnemónicos que se ilustran en la figura.
El determinante se calcula: Multiplicando los elementos por los que pasa la flecha que apunta hacia la derecha y restando el producto de los elementos por los que pasa la flecha que apunta hacia la izquierda.
La segunda fórmula se obtiene copiando la primera y segunda columnas como se muestran en la figura . Entonces el determinante se calcula al sumar los productos correspondientes a las flechas que apuntan hacia la derecha y restar los productos correspondientes a las flechas que apuntan hacia la izquierda.
Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si: det (A) 0
Si A es una matriz inversible, entonces:
EVALUACION DE LOS DETERMINANTES POR REDUCCION EN LOS RENGLONES Se muestra que hay la posibilidad de evaluar el determinante de una matriz reduciéndola a la forma escalonada en los renglones. La importancia de este método radica en el hecho de que evita los largos cálculos relacionados con la aplicación directa de la definición de determinante.
DESARROLLO POR COFACTORES; REGLA DE CRAMER Se considera un método para evaluar determinantes que resulta útil para cálculos a mano y tiene gran importancia teórica. Como consecuencia de lo que se haga aquí, se obtendrá una fórmula para la inversa de una matriz inversible así como otra para la solución de ciertos sistemas de ecuaciones lineales, en términos de determinantes.
EJERCICIOS APLICATIVOS
a) Evalúese determinante (A), en donde:
Solución: Al reducir A a la forma escalonada en los renglones, y aplicar el teorema 3 se obtiene:
b) Evalúese determinante (A), en donde:
Solución:
No se necesita reducir más ya que, por el teorema 1, se deduce que det (A) = O.
Con base en este ejemplo debe ser evidente que, siempre que una matriz cuadrada tenga dos renglones proporcionales (como el primero y segundo renglones de A), es posible introducir un renglón de ceros al sumar un múltiplo apropiado de uno de estos renglones al otro. Por consiguiente, si una matriz cuadrada tiene dos renglones proporcionales, su determinante es cero.
c) Calcúlese el determinante de Solución: Se podría calcular este determinante como antes, mediante la aplicación de operaciones elementales sobre los renglones para reducir A a una forma escalonada en los renglones. Por otra parte, se puede poner A en la forma triangular inferior en un Paso, sumando -3 veces la primera columna a la cuarta, para obtener:
Este ejemplo señala que siempre conviene no perder de vista las operaciones sobre las columnas que puedan acortar los cálculos.
Ya que es posible extraer del signo det un factor común de cualquier renglón de una matriz y supuesto que cada uno de los n renglones de kA tiene un factor común de k, se obtiene:
d) Evalúese det (A), en donde:
Solución: Al sumar múltiplos apropiados del segundo renglón a los renglones restantes, se obtiene:
e) Aplíquese la regla de Cramer para resolver:
Solución:
Por tanto,
Para resolver un sistema de n ecuaciones en n incógnitas por la regla de Cramer, se necesita evaluar n + 1 determinantes de matrices de n X n. Desde el punto de vista del cálculo, para sistemas con más de tres ecuaciones, la eliminación gaussiana resulta superior, puesto que sólo se ha de reducir una matriz aumentada de n X n + l . Sin embargo, la regia de Cramer da una fórmula para la solución.
ESPACIO VECTORIAL En matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física. Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:
Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.
Definición:
Sea V un conjunto donde hemos definido una ley u operación interna, que
¨¨, + . + . ¨∙ ¨ × , ,, ∙ , ∙ ℜ ℜ C ℜ , . ∴ ℜ ,, ℜ. ∴ = × ℜ, ∴ ,,, ×
Sea K un cuerpo (conmutativo) y sea, por último,
designaremos por
una operación externa que designaremos por Diremos que
tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K , o
simplemente que
es un K-espacio vectorial cuando se verifiquen las
condiciones siguientes: OBSERVACION
En algunos espacios vectoriales reales, distintos de o “identificación” con
, puede hacerse un “paralelismo”
, para un n adecuado.
Por ejemplo, ya hemos visto cómo el espacio vectorial real complejos puede identificarse con
de los números
, correspondiendo el número complejo
al vector
Veamos cómo el espacio con
o
:
= {polinomios de grado ≤ 2 } puede identificarse
cada polinomio
correspondería al vector
Lo mismo ocurre con el espacio de matrices
{matrices 2x2}, que se
identifica con,
el vector
correspondiendo a la matriz
.
En todos los casos las operaciones de suma y producto por escalar se pueden trasladar
x y
Esto hace posible efectuar las operaciones en
ℜ
en lugar de otros espacios
V
es
un
espacio
vectorial
es un espacio vectorial (PROP) W
≠∅ ൝ → C
1.
= , … . , , … . , = , … . , =1, , … . 2,,3,…=…, … . , ,∈ = =× = con las operaciones
es un espacio vectorial para 2. 3. 4.
con las operaciones puede ser un espacio vectorial sobre R o sobre C . , con las operaciones, es un espacio vectorial sobre K .
, espacio de todos los polinomios en una variable y coeficientes
complejos, es, con las operaciones habituales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar, un espacio vectorial sobre K . 5.
=
, espacio de los polinomios en una variable, coeficientes complejos
y grado a lo sumo n es, con las operaciones habituales de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar, un espacio vectorial sobre K .
EJEMPLO o
: , / ≤0, ∈} C
Basta una regla para que noche cumpla de las 10
Contraejemplo:
=3,2∈ 2 ∈ → ∴2=6,4 ∉
APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS El método de mínimos cuadrados es un método de extrapolación para encontrar la curva que mejor se ajuste a una colección de puntos. Se le conoce también bajo el nombre de Regresión. Con el tiempo se le han dado otros nombres como Lineal o Cuadrática dependiendo de la curva que se desea aproximar. Para este caso en particular, se comenzara con la regresión lineal. Luego se generalizara para cualquier curva que se desee.
1. Mediante interpolación 2. Mediante la obtención de una curva,
, que se aproxime a los datos
sin que, necesariamente pase por ellos. Se deberá identificar dos aspectos importantes:
¿Qué clase de función usaremos?
¿Cuál es el criterio de aproximación que más se utiliza?
MODELO LINEAL
= =2 =3 ……
1. Ajuste lineal: (recta de mínimos cuadrados) se utiliza 2. Ajuste polinomial: se utiliza el modelo
(llamado ajuste cuadrático o cubico para
).
∗ = ∗ = −− ……… , , , , … …. . , , ≥1 1 =
3. Ajuste con spline lineal ( 1 nodo interior
) modelo:
AJUSTE LINEAL
Los modelos lineales son aquellos que utilizan funciones
de la forma:
que mejor se ajusta a los datos: Donde
y al menos
de los , son distintos.
Se comenzara asumiendo que se tiene una cantidad n de puntos en el plano. Cada punto tendrá una coordenada
y una coordenada
. Se quiere aproximar la
tendencia de estos mediante una recta de la forma:
. −− ⋯ 11 − = .. = [ ⋮− ⋯⋱ ⋮ 1] = : [ ] [] =
a) Determinar matrices:
,
,
b) Resolver el sistema normal:
En términos de mediante una reducción de Gauss- Jordan.
OJO
≠0 = =−
Si es una matriz no singular la solución usual del S.L.
la solución del sistema normal es simplemente
, es decir
El sistema Normal, determina un vector
.
tal que
sea tan cercano a “b” como sea
posible, es decir el Sistema Normal asegura una solución aproximada del S.L. si esta tiene solución.
=
APLICACIONES
PROBLEMA 1. En el mercado de bolsa de valores se trabaja para asegurar la máxima ganancia de la empresa, y esta depende mucho del rendimiento de los trabajadores que aseguran la prosperidad de la empresa: Una organización obtiene los siguientes datos que relacionan el número de agentes de ventas con las ventas anuales.
Número de agentes
5
6
7
8
9
10
2.3
3.1
4.1
5.0
6.1
7.2
Ventas anuales (millones de dólares)
¿Se pide pronosticar las ventas anuales si es qué se hubiera trabajado con 14 agentes?
Número de agentes (variable independiente). Ventas anuales (variable dependiente).
DESARROLLO: a) Determinación de matrices para el método de mínimos cuadrados.
2,3,32 = 4,5,6,101 [7,2]×
567 111 = 89 11 [10 1]×
=
b) Resolver el S.N.
= → =51 61 71 81 91 101 ×
5 1 6 1 =51 61 71 81 91 101 789 111 = [10, 1] , = ,,, =,, ,
=35545 456 ⋮ 226,27,93 451 0,613 ⋮ 0,27,649⃗ 10 0,0,1135 ⋮ 0,0,649 , 10 0,113 ⋮ 0,664⃗ , 10 01 ⋮ 1,642 = =, = → =. ∴=1.426→ =1.4214 6 Para 14 agentes la ganancia para las ventas anuales se obtendría un valor de:
=13.88 2. En una planta se destila aire líquido para producir oxígeno, nitrógeno argón. Se cree que el porcentaje de impureza del oxígeno esta linealmente relacionado con la cantidad de impurezas que hay en el aire, medido mediante el conteo de contaminación “en partes por millón (ppm)”. Los datos son los siguientes:
Pureza
93.3
92.0
92.4
91.7 94.0
94.6 93.6
93.1 93.2
92.9 92.2
91.3 90.1
91.6 91.9
1.10
1.45
1.36
1.59 1.08
0.75 1.20
0.99 0.83
1.22 1.47
1.81 2.03
1.75 1.65
% Conta. ppm
a. Ajuste un modelo de regresión lineal as datos. b. ¿parece razonable la relación lineal entre la pureza y el conteo de la contaminación? c. Predecir qué pasaría si la contaminación en ppm se reduce 0.4 ppm en el ambiente.
DESARROLLO: a. Determinación de matrices por el método de mínimos cuadrados.
992.92.3.304 91.94.94.706 93. 6 = 93.93.92.129 92.91.23 90.[91.16] 91.9 ×
1.1.1405 11 1.1.1.350698 111 1 0. 7 5 1 1. 2 0 = 0.0.1.982932 111 1.1.2.480713 111 1.[1.7655 11]×
=
= =1.10 1.45 1.36 1.59 1.08 0.75 1.20 0.99 0.83 1.22 1.47 1.81 2.03 1.75 1.65
a. Resolver el S.N
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
×
1.1.1405 11 1.1.1.350698 111 1 0. 7 5 =11.10 1.145 1.136 1.159 1.108 0.175 1.120 0.199 0.183 1.122 1.147 1.181 2.103 1.175 1.165 1.0.0.1.29820932 1111 1.1.2.480713 111 1.1.7655 11
=.. .
93.92.30 92.91.94.470 94. 6 =11.10 1.145 1.136 1.159 1.108 0.175 1.120 0.199 0.183 1.122 1.147 1.181 2.103 1.175 1.165 93.93.93.92.6129 92.91.23 90.91.16 91. 9 =.
. =29.20.3268 20.1528 ⋮ 1870.1387.798 29. 36 20.128 0.1569 ⋮ 1387.63.729⃗ 20.28 10 0.169 ⋮ 63.95.7626 1 0.69 ⋮ 63.72⃗ . 1 0 ⋮ 2.29
0 1 95.66 0 = 1=95.6.6 ∴= → =. . . = → =. . =.
La relación es razonable de pureza y conteo de partículas, pues el rango del erros es muy
pequeño y no afecta mucho la ecuación.
=. . → =. . . = . %
Considere los datos siguientes, los cuales son el resultado de un experimento para determinar el efecto de: X= tiempo de prueba en horas a una temperatura particular. Y= Cambio en la viscosidad del aceite.
Y
-1.42
-1.39
-1.55
-1.89
-2.43
-3.15
-4.05
-5.15
-6.43
-7.89
X
0.25
0.5
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
Determinación de matrices por el método de mínimos cuadrados.
0.0.255 11 1.1.4329 0.1.7050 11 1.1.5859 = 2.3.4.410355 = 1.1.1.257505 111 5.[6.7.148539] 2.[2.0205 11] × 2. 5 0 1 × = = =0.125 0.15 0.715 1.010 1.215 1.510 1.751 2.010 2.125 2.150× Resolver el S.N
a.
0.0.255 11 0.1.7050 11 =0.125 0.15 0.715 1.010 1.215 1.510 1.751 2.010 2.125 2.150 1.1.1.257505 111 2.[2.0205 11] 2. 5 0 1 =.. . 1.1.4329 1. 5 5 1. 8 9 0 . 2 5 0. 5 0. 7 5 1. 0 0 1. 2 5 1. 5 0 1. 7 5 2. 0 0 = 1 1 1 1 1 1 1 1 2.125 2.150 2.3.4.410355 5.[6.7.148539] =. . =24.13.0765 13.1075 ⋮ 63.35.4355 24.06 13.175 0.1057 ⋮ 35.2.6345⃗ 13.57 10 0.2.5176 ⋮ 2.0.9654 2.16 10 0.157 ⋮ 2.0.4644⃗ . 10 01 ⋮ 2.0.4849 = =.. ∴= → =. . Ajuste un modelo de regresión lineal as datos.
b. ¿parece razonable la relación lineal entre la pureza y el conteo de la contaminación? Si pero la dispersión de puntos parece que toma otro tipo de comportamiento a manera de parábola.
c. Predecir qué pasaría si la sustancia llegaría a las 5 horas en la experiencia.
= → =. . 4 4
=
=. . → =. . = .
1. Los siguientes datos muestran los contaminantes atmosféricos
(con respecto de cierta
norma de calidad de aire) en intervalos de media hora . 1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
-0.15
0.24
0.68
1.04
1.21
1.15
0.86
0.41
-0.08
Determine el polinomio de mínimos cuadrados que relacione “x” con “y”.
Utilice la ecuación obtenida para estimar el grado del contaminante obtenido cuando el t=15. •
Determinación de matrices por el método de mínimos cuadrados.
11.5 11 0.0.2145 0.1.6084 2 1 2. 5 1 = 1.1.2115 = 3.35 11 0.[ 0.8461 ] 4[4.5 11] 1 0. 0 8 5 × × = = =11 1.15 12 2.15 31 3.15 41 4.15 15×
Resolver el S.N
El ajuste de mínimos cuadrados no se acomodara ala grafica debido al comportamiento de este es más para una gráfica de carácter cuadrático, se necesitara más información para el desarrollo de este problema.
TRANSFORMACIONES LINEALES La diferencia entre una ecuación matricial Ax = b y la ecuación vectorial asociada x 1a1 + ∙ ∙ ∙ + x nan =
b es sólo un asunto de notación. Sin embargo, una ecuación matricial Ax = b
puede aparecer en álgebra lineal en una manera que no esté directamente relacionada con combinaciones lineales de vectores.
1 42 0 3 15 31111=58 A
x
b
y
1 42 0 3 15 31143 =00 A
u
0
Desde este nuevo punto de vista, la resolución de la ecuación Ax = b equivale a encontrar todos los vectores x en
ℝ
4
que se transformen en el vector b en
representa multiplicar por A.
ℝ
bajo la “acción” que
La correspondencia de x a Ax se denomina función de un conjunto de vectores a otro. Este concepto generaliza el conocimiento usual de función como una regla que transforma un número real en otro.
ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ
Una transformación (o función o mapeo) T de vector x en
ℝ
un vector T(x) en
. El conjunto
llama codominio de T. La notación T : el codominio es
ℝ
. Para x en
a
→
es una regla que asigna a cada
indica que el dominio de T es
, el vector T(x) en
ℝ ℝ
se llama dominio de T, y
se
y que
se denomina imagen de x (bajo
la acción de T). El conjunto de todas las imágenes T(x) es llamado rango de T.
La transformación x → Ax tiene las propiedades:
A(u + v) = Au + Av
y
A(cu) = cAu
Para cada u, v en Rn y todos los escalares c. Estas propiedades, escritas en notación de funciones, identifican la clase más importante de transformaciones del álgebra lineal. Estas transformaciones son útiles para llevar al sistema a un espacio donde ciertas
Características propias sean más fácilmente observadas. Tal vez las más utilizadas son aquellas que nos permiten obtener un modelo de estados diagonal (matriz A diagonal) o un modelo en variables de fase. DEFINICION Una transformación (o mapeo) T es lineal si: (i) T(u + v) = T(u) + T(v) para toda u, v en el dominio de T; (ii) T(cu) = cT(u) para toda u y todos los escalares c. Si T es una transformación lineal, entonces: o
T (0) = 0
o
T (cu + dv) = cT (u) + dT(v)
para todos los vectores u, v en el dominio de T y todos los escalares c, d.
o
T (c1v1 + ··· + c pvp) = c1T (v1) + ··· + c pT (vp)
Esta última ecuación se denomina principio de superposición. Considerando a v1, . . . , vp como señales que ingresan en un sistema o proceso, y en T(v1), . . . , T(vp) como las respuestas de ese sistema o proceso a dichas señales. El sistema satisface el principio de superposición si al expresar una entrada como una combinación lineal de tales señales, la respuesta del sistema es la misma combinación lineal de respuestas a las señales individuales. APLICACIONES DE TRANSFORMACIONES LINEALES
Una compañía fabrica dos productos. Para $1.00 obtenido del producto B, la compañía gasta $.45 en materiales, $.25 en mano de obra, y $.15 en gastos generales. Para $1.00 obtenido del producto C, la compañía gasta $.40 en materiales, $.30 en mano de obra, y $.15 en gastos generales. Sean:
0. 4 0 0. 4 5 =0.0.2155 =0.0.3105
Donde b y c representan los costos por dólar de ingreso de los dos productos: a. ¿Qué interpretación económica puede darse al vector 100b? b. Suponga que la compañía desea fabricar x 1 dólares del producto B y x 2 dólares del producto C. Proporcione un vector que describa los diversos costos que tendrá esta empresa (por materiales, mano de obra y gastos generales).
SOLUCION a. Se tiene:
0. 4 5 45 100=1000.0.2155=2515
El vector 100b enlista los diversos costos por generar $100 del producto B – a saber, $45 por materiales, $25por mano de obra, y $15 por gastos generales.
b. Los costos de obtener x 1 dólares a partir de B están dados por el vector x1b, y los costos de obtener x 2 dólares del producto C están dados por x 2c. Por lo tanto, el costo total de ambos productos lo proporciona el vector x1b + x2c. Se construye una matriz de “costo unitario”, U = [b
c], cuyas columnas describen los
“costos de producción por dólar” para los distintos productos:
.
0. 4 5 0. 4 0 =0.0.2155 0.0.3155 c.
Sea x = (x1 , x2 ) un vector de “producción”, correspondiente a x 1 dólares del producto B y
ℝ2 →ℝ3
x2 dólares del producto C, y defina T :
como:
0. 4 0 0. 4 5 == 0.0.2155 0.0.3155= El mapeo T transforma una lista de cantidades de producción en una lista de costos totales. La linealidad de este mapeo se refleja de dos maneras: 1. Si, por ejemplo, la producción se incrementa por un factor de 4, de x a 4x, entonces los costos se incrementarán por el mismo factor, de T(x) a 4T(x).
2. Si x e y son vectores de producción, entonces el costo total asociado a la producción combinada x + y es precisamente la suma de los vectores de costo T(x) y T(y).
EJEMPLO: Un asunto de interés para los demógrafos es el movimiento de poblaciones o grupos de personas de un lugar a otro. Se considerará aquí un modelo sencillo para los cambios observados en la población de cierta ciudad y sus suburbios durante un periodo de varios años. Suponga que los estudios demográficos muestran que, cada año, el 5% de la población de la ciudad se muda a los suburbios (mientras que el 95% permanece en la ciudad), en tanto que el 3% de la población suburbana se muda a la ciudad (y el otro 97% se queda en los suburbios). Determine la población de la región recién descrita para los años 2001 y 2002, si la población en el año 2000 era de 600,000 habitantes en la ciudad y 400,000 en los suburbios.
SOLUCION: Después de un año, la cantidad original r 0 de personas residentes en la ciudad se ha distribuido entre la ciudad y los suburbios de la siguiente manera:
00..9055= 00..9055 Las s0 personas que estaban en los suburbios en el 2000 se distribuyen, después de un año, de la siguiente manera:
00..0937= 00..0937 = 00..9055 00..0937=00..9055 0.0.0937
Los vectores anteriores contabilizan la población total en el 2001:
Entonces:
=
………….()
Donde M es la matriz migración determinada por:
0.95 0.0 : 0.05 0.937 () describe como cambia la población del año 2000 al 2001, si los porcentajes de migración permanecen constantes, el cambio de 2001 a 2002 estaría dado por :
= =6400,00,006000000, 000 582,000 =00..9055 0.0.0937400,000=418,000 = =00..9055 0.0.09375418,82,000000=5434,65,454060
La población en el año 2000 es
Para el 2002:
. Para el 2001:
APLICACIÓN: Considere la aplicación
∶ ℝ → ℝ ; ; ; →! ; ;
i) Demuestre que T es lineal.
ii) Encuentre bases para Ker(T) . Solución:
= , , , , , , = , , , = , , = , , = , ,= , , i)
)
ii) Para encontrar el núcleo, debemos resolver: T(x,y,z,t)=0 es decir: (x+y , y-z , x+z) =(0,0,0) x+y=0 y-z=0 x+z=0
∈ =4 =# →,,,=0,0,0 ∈
x= -r y= r z= r
r
R
Valores y vectores propios Sea T : V→ V una transformación lineal. En muchas aplicaciones es útil encontrar un vector v en V tal que T v y v son paralelos. Es decir se busca un vector: Si v ≠0 y
, . satisface
=
se llama valor propio de T y v se llama un vector propio de T
correspondiente al valor propio EJERCICIO APLICATIVO
1. Calcula los valores y vectores propios de la aplicación f : R3 −→ R3 dada por f(x, y, z) = ( x + y, x + z, y + z ). Solución: La imagen de la base canónica es f (1 , 0 , 0) = (1 , 1 , 0) , f (0 , 1 ,0) = (1 , 0 , 1) , f (0 , 0 , 1) = (0 , 0 , 1)
Y la matriz asociada a f en la base canónica es :
1 1 0 1 1 0 =(10 01 11)→ =( 10 01 11 )
Planteamos la ecuación:
1 1 0 0= | | = 10 01 11 = 2 2 1=1 , 1=1 2=1 , 3=2 =0 0(0)= 1 =(01 1 1 10) → =0 0 0 1 0 =0 Sus soluciones son
Vectores propios asociados a
:
La solución del sistema es x = α, y = 0 , z = −α, α ∈ R. Entonces los Vectores propios asociados a λ1 = 1 son: { (α, 0 ,−α) , α∈ R , α≠0 }.
Vectores propios asociados a λ2 = −1: Planteamos el sistema de ecuaciones lineales asociado a λ1 = −1:
2=0 0(0)= 1 =(21 11 01) → =0 0 0 1 2 2=0
La solución del sistema es x = α, y = −2α, z = α, α ∈ R. Entonces Los vectores propios asociados a λ2 = −1 son { (α,−2α, α) , α∈ R , α≠ 0 }.
Vectores propios asociados a λ3 = 2: Planteamos el sistema de ecuaciones lineales asociado a λ1 = 2:
=0 0(0)= 2 =(11 21 01 ) → 2=0 0 0 1 1 =0
La solución del sistema es x = α, y = α, z = α, α ∈ R. Entonces los Vectores propios asociados a λ3 = 2 son: { (α, α, α) , α∈ R α ≠ 0 }.
2. El marco de concreto mostrado en la siguiente figura, tiene un peso de 147100N en cada entrepiso. Las vigas son muy rígidas, la sección de las columnas es b= 0,30 m x h= 0,40 m. El concreto tiene un módulo elástico E=2,171 x 10 10 N/m2 . Determine los periodos y modos de vibrar de la estructura utilizando valores y vectores característicos.
Solución: El momento de inercia de las columnas es :
ℎ = 12 =0,0016 =2 12 =13024767,091 = 147100 =15000, 2 5 9,807 =2 ;=0 0 det2 =0 =0 2,3394314 × 10 3,04716316554 ×104,410000004842×10 =0 =331,667 , =2273, 2=√ 82 =18,212 = √ =47,679 = Π La rigidez en cada entrepiso es :
La masa de cada entrepiso es :
Las matrices de rigideces y de masas del marco, respectivamente, son:
El problema de valores característicos de las matrices de la ecuación se plantea como:
La solución de la ecuación es
a los valores de frecuencia al cuadrado, por lo tanto
También podemos hallar el periodo con
, estos valores corresponden
. =0 =,:21074515,776 13024767,091 0 13024757,091 8049748,686 . =0 =,:8049748,821 13024767,091 0 13024757,091 21074515,912 . =0 =. = ,
Para determinar los vectores propios se resuelve la ecuación:
Para
Para
La soluciones de la ecuaciones (solución diferentes a triviales), son :
Corresponden a las formas modales del marco.
PROGRAMACION LINEAL La programación lineal es el campo de la optimización matemática dedicado a maximizar o minimizar (optimizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales. El método tradicionalmente usado para resolver problemas de programación lineal es el Método Simplex.
= ……. : = : ≤, ≥ , = , < , > , ⋮ ⋮ ≤,⋮ ≥,=, { ≥0, ≥0≤,≥,=,
Fig. Puntos de varianza máx. o min, entre otros. PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, Y la diferencia de las grandes sobre las pequeñas tiene que ser como mínimo 10 pastillas para una buena distribución a los centros de venta. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
::## ≥0 ñ ≥0 =, =2 4030≤600 → 43≤6 ≥3 ≥10 ≥0, ≥0
Sea
P.P.L
MAX.
RESTRICCIONES: Disponibilidad
Pastillas grandes
Primer cuadrante GRAFICA
SOLUCION:
= 1 0. 0 →20 € 2 0, 7 →28, 5 7 =2 =90/7, € = 15,0 →30 €
Se debe tener 10 pastillas grandes para obtener una ganancia de 30 € por paquete.
2. Tres productos son fabricados en una máquina. El tiempo de preparación de cada producto es de 2, 3 y 4 minutos respectivamente, y el tiempo de proceso de 3, 2 y 1 minutos. El beneficio aportado por cada producto es respectivamente de 12, 10 y 15 euros. Se dispone de 100 minutos de máquina y 200 para la preparación de la misma. Determine el número óptimo de unidades a fabricar de cada artículo. SOLUCION:
Producto A Producto B Producto C Preparación 2
3
4
≤ 200
Proceso
3
2
1
≤ 100
Beneficio
12
10
15
Función ha maximizar: B = 12x + 10y + 15z Restricciones: 2x + 3y + 4z ≤ 200 3x + 2y + z ≤ 100
Agregando las variables de holgura: 2x + 3y + 4z + u =200 3x + 2y + z + v = 100
x
y
Z
u
v
B
u
2
3
4
1
0
0
200
1 /4 f 1
v
3
2
1
0
1
0
100
f 2- ¼ f 1
-12
-10
-15 0
0
1
0
f 3 + 15/4 f 1
z
1/2
3/4 1
1/4
0
0
50
F1 - 1/5 f 2
v
5/2
5/4 0
-1/4
1
0
50
2/5 f 2
-9/2
5/4 0
15/4
0
1
750
F3 + 9/5 f 2
z
0
2/4
1
3/10
-1/5
0
40
x
1
1/2
0
-1/10
2/5
0
20
0
7/2
0
33/10
9/5
1
840
3. En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos lotes (A y B). El lote A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; el lote B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 y con el lote B de 1400. Determinar el número de kilogramo de cada tipo para conseguir beneficios máximos. SOLUCION:
Lote A
Lote B
Naranja
1
2
< 800
Manzana
2
1
< 800
Plátano
1
1
< 500
Función ha maximizar: B= 1200x + 1400y
≤≤ ≤
x + 2y
800
2x + y 800 X+y
500
Agregando las variables de holgura: x + 2y + u = 800 2x + y + v = 800 X + y + w = 500
x
y
u
v
w
B
u
1
2
1
0
0
0
800
1/2f 1
v
2
1
0
1
0
0
800
F2 - 1/2f 1
w
1
0
0
0
1
0
500
F3 - 1/2f 1
-1200
-1400
0
0
0
1
0 F4 + 700f 1
y
1/2
1
1/2
0
0
0
400
F1 – f 3
v
3/2
0
-1/2
1
0
0
400
F2 – 3f 3
w
1/2
0
-1/2
1
0
0
100
2f 3
-500
0
700
0
0
1
560000 F4 + 1000f 3
y
0
1
1
-1
0
0
300
v
0
0
1
-2
0
0
100
x
1
0
-1
2
0
0
200
0
1000
200
1000
0
2
660000
Para maximizar los beneficios el número de kilos debe ser 200 para el lote A y 300 para el lote B, obteniendo así un beneficio de 660000.
CONCLUSION
El entendimiento del álgebra lineal se basa en la constante práctica y la aplicación de los diversos métodos aprendidos son de bastante ayuda para poder resolver los diversos problemas que van apareciendo con el avance de la ciencia, para esto necesario tener una base sólida para poder dar fin a todas los problemas venideros.
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