Evaluación 4º ESO Matemáticas Ábaco A

 

EVALUACIÓN Í N D I C E Presentaci Present ación ón ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ¿Qué deben saber los alumnos?................... alumnos?................................... ................................. ................................. ............................ ............ Prueba Prue ba ini inicia ciall I ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... Prueba inicial inicial II ............... ............................... ................................ ................................ ................................ ................................ ............................... ............... Prueba inicial III ................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ............................ ............ ¿Cómo son nuestras propuestas de evaluación? ................ ................................. ................................ ............... Criterios y pruebas de evaluación de cada unidad ............... ............................... ............................. ............. Soluciones de las propuestas de evaluación ................. ................................. ................................ ....................... ....... Prueba global I (Nivel básico)............................................. básico)............................................................. ................................ ....................... ....... Prueba global II (Nivel medio) ........................ ........................................ ................................ ................................ .......................... .......... Prueba global III (Nivel avanzado) ........................................ ........................................................ ................................ ....................

2 3 4 8 12 16 18 50 58 60 62

 

P R E S E N T A C I Ó N Este cuaderno trata de facilitar al profesorado la tarea de evaluación de las distintas unidades de Matemáticas de 4.o de ESO con los siguientes elementos: • Tres pruebas iniciales adaptadas a los criterios de evaluación de Matemáticas de 3. o de ESO, para poder evaluar el nivel inicial de los alumnos. También se incluyen sus soluciones. • Unas pruebas de evaluación de cada unidad , adaptadas a los criterios de evaluación ya descritos en la programación didáctica contenida en el libro del profesor. Dichos criterios están particularizados a distintos niveles, lo que permite al profesor: • – Elaborar pruebas de evaluación conjuntas para todos los alumnos. Estas pruebas permiten realizar un diagnóstico ajustado de los conocimientos que cada alumno del grupo tiene sobre la unidad. • – Atender a la diversidad existente en el aula ya previamente conocida por el profesor, mediante pruebas adaptadas a alumnos de distintos niveles de conocimiento. • Unas pruebas de evaluación globales de toda la materia graduadas en tres niveles: básico, medio y avanzado. Estas pruebas también están adaptadas a los criterios de evaluación de las distintas unidades y permiten atender a la diversidad del aula. Mediante los criterios de evaluación de cada unidad adaptados a diversos niveles, se facilita la tarea del profesor a la hora de realizar adaptaciones curriculares, atender a la diversidad, atender a alumnos de diversificación, etc. Esta forma de abordar la evaluación, adaptándola de una forma más precisa a las necesidades de los alumnos, permitirá al profesor ser más eficaz en su tarea educativa.

ÁBACO ÁBAC O Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

2

Evaluación

 

¿ Q U É

D E B E N

S A B E R

L O S

A L U M N O S ?

Al comenzar 4. de ESO los alumnos deberán ser capaces de: 1. Utilizar números racionales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria. 2. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relación dada mediante un enunciado y observar regularidades en secuencias numéricas obtenidas de situaciones reales mediante la obtención de la ley de formación y la fórmula correspondiente, en casos sencillos. 3. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 4. Reconocer las transformaciones que llevan de una figura geométrica a otra mediante los movimientos en el plano y utilizar dichos movimientos para crear sus propias composiciones y analizar, desde un punto de vista geométrico, diseños cotidianos, obras de arte y configuraciones presentes en la naturaleza. 5. Utilizar modelos lineales para estudiar diferentes situaciones reales expresadas mediante un enunciado, una tabla, una gráfica o una expresión algebraica. 6. Elaborar e interpretar informaciones estadísticas teniendo en cuenta la adecuación de las tablas y gráficas empleadas, y analizar si los parámetros son más o menos significativos. 7. Hacer predicciones sobre la posibilidad de que un suceso ocurra a partir de información previamente obtenida de forma empírica o como resultado del recuento de posibilidades, en casos sencillos. 8. Planificar y utilizar estrategias y técnicas de resolución de problemas tales como el recuento exhaustivo, la inducción o la búsqueda de problemas afines y comprobar el ajuste de la solución a la situación planteada y expresar verbalmente con precisión, razonamientos, relaciones cuantitativas, e informaciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático para ello. Los anteriores criterios se han tomado del REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria.

Evaluación

3

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

PRUEBA INICIAL I (Números y álgebra) 1 Realiza las siguientes operaciones.



3 a)  5

1

b) 7

6



7

4

c)

(35)4



92

3

 

 3 3

d)

4

2 2   5 2

2 Escribe como fracción los siguientes números. a) 1,25

b)   2,6

 

c) 4,32

 

p

d) 13,56

 

p

p

3 Calcula las siguientes expresiones. a) Los

3 de 210 5

b) Los

 



4 5 de  7 8

c) La cuarta parte del triple de 36

 



4 Calcula y expresa el resultado de las siguientes operaciones en notación científica. a) (3,23

10 12)  (4,2  107)

b) (5,14







106



1,03  10 2) 

5 Realiza las siguientes operaciones. 3

a)      2        22

3

b)      3   

 

5

  9

c) 3   2   2    18 18

 

 

d) 4   3   2    27 27

6 Dos grifos que vierten la misma cantidad de agua tardan 4 horas en llenar un depósito. a) ¿Cuánto tardarán 8 grifos en llenar dicho depósito? ¿Y 18 grifos? b) ¿Cuántos grifos serían necesarios para llenar el depósito en 3 horas?

7 Calcula los siguientes binomios al cuadrado. a) (a 2



2

b )2

2 b)   (x     5y  )

8 Factoriza el polinomio P (x )



x 4



x 3

7x 2





c) (3x 2 x    



2y )2

6.

9 Realiza y simplifica las siguientes operaciones con fracciones algebraicas. x 

a)    x    

1



2 x     1

1

 

b)      x 

x   1 x     3 x   2 x   2

10 Resuelve la siguiente ecuación. 2(x   3) x     3    5(x     4)   3 2

11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

4

x     3y     2 x     2y     4

12 La diferencia entre dos números es   1, y la suma del quíntuplo del primero y el triple del segundo es 3. Averigua 15 dichos números.

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

4

Evaluación

 

PRUEBA INICIAL I (Geometría, funciones y estadística) 1 Calcula el área total y el volumen de un cilindro cuya altura mide 20 centímetros, y el radio de la base, 12 centímetros. 2 Calcula el volumen de la esfera terrestre sabiendo que el ecuador mide aproximadamente 40000 kilómetros. 3 Halla el homólogo del punto A(5, 3) respecto a un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo cada uno de los siguientes valores. a) 90

b) 180

 

4 En una traslación, el vector guía es B (1, 1), y C (5, 3).

  v         

c)   90

 

(3, 1). Halla los vértices del triángulo homólogo a ABC , donde A(4, 0);

5 Observa la siguiente gráfica.

Y 

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta? 1

b) ¿Cuál es la ordenada en el origen?

O

1

 

X 

c) Escribe su ecuación.

6 Por reparar una avería, un fontanero cobra 9 euros por el desplazamiento y 12 euros por hora trabajada. a) Calcula cuánto cobrará por reparar una avería en la que ha invertido 3 horas de trabajo. b) ¿Cuánto tiempo le llevó reparar una avería por la que cobró 63 euros? c) Escribe la función que determina el precio a cobrar dependiendo de las horas trabajadas.

7 Se lanza una pelota al aire. La gráfica representa la altura alcanzada por la pelota en función del tiempo. Contesta a las siguientes preguntas.

Y 

a) ¿Cuánto tiempo estuvo en el aire? 5

b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzó?

O

 X 

1

c) ¿Durante cuántos segundos subió y bajó la pelota?

8 Las puntuaciones obtenidas en una prueba de Matemáticas por 20 alumnos de ESO son las siguientes. 3 5 7 6 6

5 8 2 4 5

6 8 7 9 2

10 3 7 6 6

a) Construye la tabla de distribución de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b) Halla la media, la mediana y la moda de la distribución. c) Representa los datos mediante un diagrama de barras.

9 Se ha pasado una encuesta a un grupo de consumidores acerca de una marca de quesos: el 10% manifestó que no le gustaba nada; el 20%, poco; el 40%, regular, y el 30%, mucho. Haz un diagrama de sectores de los resultados de la encuesta. 10 En una bolsa hay 5 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Se saca una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Sea roja.

 

b) Sea blanca o negra. Evaluación

5

 

c) No sea negra.

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción B

 

PRUEBA INICIAL I SOLUCIONES DE LA PRUEBA INICIAL I (Números y álgebra) 1   a)   5 3

c) 313

 

3 4

b) 72

d)   

2   a)   5 4

389 90 1343 d)    99

 

c)   

b)   

8 3

 

3   a) 126

 

b)   

 

b)

5 14

 

c) 27

 

c) 9   2

4   a) 1,3566  10 b) 4,99  108

4

6

5   a) 2  2

   15

1 3



6   a) 8 grifos tardan 1 hora, y 18 grifos, 26 minutos y 40 segundos. b) 3 grifos, aproximadamente. 7   a)

a 4



b) x 2



c) 9x 4

8

P  x 





(

1)(

  x  

1)(

  x  

3)(

2)

2

2

2x  10x  2x  4  x  4x  2



3



   



99 29

10

x       

11

x    

12

  x  

x   x     2   x   1 3

b)

2 12x 2y     4y 

  x  

( )

9   a)

2 2a 2b     b  10xy 2  25y 4

8 y     5

,

1 15 3y     3

x     y       

5x    

14 5





 ⇒

2 5

1 3

x       , y       

ÁBACO ÁBAC O Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

6

Evaluación

 

d)   2   3

 

SO LU C I O N ES D E LA P R U EB A I N I C I A L I (G eo m et r í a , f unci o nes y es t a d í s t i ca ) 1

2

V    

2  AB   480  288 720  2261,95 cm3

r    

6366 km

V    

1,08  1012 km3

AT   AL  

3   a) (3, 5) 4

A(7,

5   a)



768



2412,74 cm2

 

b) (5,

 

b)   3

3)

c) (3,

 

5)

1); B (2, 0); C (8, 4)

m  

1

6   a) 45 euros

c) y     x     3

 

b) 4 horas y 30 minutos

 

 

c) f (x )



9



12x 

7   a) 8 segundos b) 35 metros c) Subió entre los 0 y 4 segundos, y bajó entre los 4 y 8 segundos. 8   a)

x i 

f i 

h i 

F i 

H i 

x i  f i 

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 1 3 5 3 2 1 1

0,10 0,10 0,05 0,15 0,25 0,15 0,10 0,05 0,05

2 4 5 8 13 16 18 19 20

0,10 0,20 0,25 0,40 0,65 0,80 0,90 0,95 1

4 6 4 15 30 21 16 9 10

20

1

  

115

  5,75; M e e   6; M o  b)    x   o   6

c)

5 4        a          i        c 3        n        e        u        c2        e        r          F

1 0

9

2

3

4

5 6 Notas

7

8

9

10

Nada

Mucho

Poco Regular 

10   a)   4     1 12 3

 

8 12

2 3

b)        

Evaluación

 

7

9 12

3 4

c)        

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

 

PRUEBA INICIAL II (Números y álgebra) 1 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado. a)



3

  3 4 1 2

     

2 3

4 5

     



2

7 2

b)   2  



2 Calcula las siguientes expresiones. a) 23

 (2) 

b)   2



2

20

3 2

   (2

)

   3 2     3 

3 Ordena de menor a mayor los siguientes números reales.

  2  

4 Desarrolla el binomio (3x 

 

7 5

1,45



|2|

1

 

2

1,4

v

3

7     5

2

2) .

5 Simplifica la fracción algebraica

x  x  2  . x  5x  6 2

2









15x  5x   1 6 Resuelve la ecuación       2 4 6



4(x   3)  . 3

7 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a) 2x 2 b) x 2





x    

9



1



0

0

8 Cuatro kilogramos de manzanas y un kilogramo de peras cuestan 4,40 euros. Calcula cuánto vale el kilogramo de cada fruta si sabemos que 2 kilogramos de peras cuestan lo mismo que 3 kilogramos de manzanas. 9 Si eres capaz de escribir 80 letras por minuto en un ordenador, ¿cuánto tiempo necesitas para escribir un millón de letras? Expresa el resultado en horas y minutos. 10 Se sabe que el café pierde un 20% de su peso al tostarlo. Si disponemos de 120 gramos de café tostado, ¿cuánto pesaba en crudo? 11 Una madre reparte cierta cantidad de dinero entre sus tres hijos, de 12, 15 y 18 años, proporcionalmente a sus edades. Si al menor le da 180 euros, calcula cuánto le corresponde a cada uno y cuál es la cantidad que reparte. ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

8

Evaluación

 

PRUEBA INICIAL II (Geometría, funciones y estadística) 1 La altura de un prisma recto de base cuadrada mide 13 centímetros, y el lado de la base, 7. a) Calcula su área total. b) Halla su volumen.

2 Halla las coordenadas de los siguientes puntos. a) El homólogo del punto A(3, 4) en un giro de centro el origen y de ángulo 90 . b) El simétrico del punto B (1, 5) respecto del origen de coordenadas.

3 A la vista de la gráfica de la función f (x ) 

x 4



4x 2:

Y 

a) Indica el dominio de la función.

1

b) ¿En qué intervalos crece y decrece?

O

1

 

X 

c) ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos? d) Indica los puntos en que corta los ejes de coordenadas. e) Señala si es simétrica. f) Señala si es periódica. g) Indica en qué puntos no es continua.

4 El recibo mensual de la luz se compone de una cantidad fija (potencia contratada) y de una variable (consumo por kilovatio-hora). Una empresa eléctrica cobra 5 euros por la potencia contratada y 0,20 por cada kilovatio-hora consumido. a) ¿Cuánto pagará una familia que ha consumido en un mes 300 kilovatios-hora? b) Escribe la función que da el importe del recibo mensual de la luz dependiendo del consumo realizado. c) Representa gráficamente la función obtenida.

5 Considera la función de proporcionalidad inversa

2

y        x 

y represéntala gráficamente completando antes la tabla.

x    2   1   1

1 2



2

1

2

y 

6 Se ha preguntado a 16 familias sobre el número de hijos que tienen y se han obtenido los siguientes resultados. 3 2 0 2

1 4 5 4

0 1 0 2

1 2 3 4

Construye la tabla de frecuencias absolutas correspondiente y dibuja el diagrama de barras asociado.

7 Calcula la media y la desviación típica de los siguientes datos. 0 3 1 1 3

0 3 5 3 0

8 Calcula la probabilidad de que al extraer una carta al azar de una baraja española sea un rey o un basto.

Evaluación

9

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

 

PRUEBA INICIAL II SOLUCIONES DE LA PRUEBA INICIAL II (Números y álgebra) 1   a)   11 3

2   a)   59



b)   

b) 1

 

3   1  70

4 9x 2

19 16

 

7 5

     



3

   2   1,4   1,45    2      5   |2| v

12x     4

x   2 5    x  6

6

x    

7   a)

26 19



x 1  

b) x    

1,

1 2

x 2     

3

8 El kilo de manzanas cuesta 0,80 euros, y el de peras, 1,20.

9 12500 minutos



208 horas y 20 minutos.

10 Pesaba 150 gramos.

11 Al mediano, 225 euros, y al mayor, 270. En total reparte 675 euros.

ÁBACO ÁBAC O Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

10

Evaluación

 

SO LU C I O N ES D E LA P R U EB A I N I C I A L I I (G eo m et r í a , f unci o nes y es t a d í s t i ca ) 1   a)

AB   AL   AT  

b) V    

98 cm2 364 cm2 98  364 637 cm3

2   a)

A(4,

3   a)

D (f)  



462 cm2

3)

b) B (1,

 

(, ) Crece en   2, 0 y en   2, . Decrece en ,   2  y en 0,   2 . Máximo relativo en (0, 0) Mínimos relativos en   2, 4 y en   2, (2, 0); (0, 0); (2, 0) Es simétrica par. No es periódica. Siempre es continua.

b) c) d) e) f) g)

4   a) 65 euros b) f (x )



 

5



c)

5)

.

4

Y 

0,20x  1 O

5

x    2   1   

1 2



1 2

1

2

y    1   2   4

4

2

1

6

0 3

Número de hijos Frecuencia absoluta

1 3

2 4

3 2

4 3

 X 

1

Y 

1 O

1

 

X 

4

5 1

3

       a          i        c        n        e        u        c        e        r          F

2 1 0

7

x i i 

f i i 

0 1 3 5

3 2 4 1

10 x     1,9   

8

f i i  x i i    (x i   

0 2 12 5



x ) (x i

  1,90   0,90

1,10 3,10

19 s  1,64 19

P (rey o basto )



x )2

3,61 0,81 1,21 9,61

f i i   (x i   



0

1

2 3 N.º de hijos

4

x )2

10,83 1,62 4,84 9,61 26,90

13 40

   

Evaluación

11

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

5

 

P R U E B A I N I C I A L III (Números y álgebra) 1 Calcula y simplifica, cuando sea posible, el resultado obtenido.



2 1 3 4 52 52 b)           2 8 a)

2 3



7 5 1 3       2 4

               



  2



5  4

2

2 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. 7 5 11 4 3 1  ,  ,  ,  ,  ,  2 6 15 7 20 2 3 Redondea hasta las centésimas los números 2,32713 y 0,71246, y calcula los errores absolutos y relativos de cada aproximación. ¿Cuál es más fiable? 4 Simplifica las siguientes expresiones. 3

3

a)       12       12 54       20       20 16 b)       36       36 18       18 300 300

5 Expresa en notación científica los siguientes números y calcula: a) 0,001247  201000 b) 1650000  25000 6 Desarrolla las siguientes expresiones. a) (2x  3y )2 b) (x 2  xy )2 c) (3z  x 3)  (3z  x 3) 7 Dados los polinomios A(x ) a) [A(x )  C (x )] )]  B (x ) b) A(x )  B (x ) c) A(x )  B (x )



3x 2



7x  9, B (x )



x



7 y C (x )



x 3  x 2  3x



2, calcula:

8 Resuelve las siguientes ecuaciones. x    

5

a)   

3 2 b)  x     2



2   (x   1) x        9 2



6   2x   3

9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.   2y     7 3x     7y     9 4x  



10 El producto de dos números naturales pares consecutivos es 624. Calcula ambos números. ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

12

Evaluación

 

P R U E B A I N I C I A L III (Geometría, funciones y estadística) 1 Se sabe que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles vale 8 centímetros. ¿Cuánto valen ambos catetos? ¿Y  la altura? Calcula su área. 2 Calcula el área lateral y el volumen de un prisma hexagonal de 6 centímetros de altura y cuyo lado de la base mide 4 centímetros. 3 En una reparación de una avería, un electricista cobra 15 euros por el desplazamiento y 18 euros por hora trabajada. a) ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? b) Escribe la función que relaciona el tiempo empleado por el electricista en reparar la avería y el precio que cobrará

por dicha reparación. c) Representa gráficamente la función.

4 Dada la siguiente gráfica: Y 

1

O

1

 X 

a) ¿Cuál es el dominio? ¿Y el recorrido? b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Estudia la existencia de extremos relativos y absolutos.

5 Representa gráficamente la siguiente función. 2x     3 si x     1 f (x )  1   1 si x  



6 El número de hermanos de un grupo de 20 chicos es 0, 2, 2, 1, 3, 5, 0, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1 y 2. a) Clasifica estos datos y construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales. b) Construye un diagrama de barras que represente estos datos. c) Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de la distribución. 7 Se considera el experimento consistente en lanzar un dado y observar el número de la cara superior. a) Describe el suceso A  salir un número par . b) Calcular P (A) y P (   A ). ). 8 Se ha hecho un estudio acerca de los resultados obtenidos por un grupo de alumnos de ESO en Matemáticas, Lengua e Inglés, y son los siguientes: el 30% de los alumnos suspendió en Matemáticas, el 65% aprobó en Lengua y el 20% no consiguió superar inglés. Si elegimos un alumno al azar, calcula: a) La probabilidad de que haya suspendido en Matemáticas. b) La probabilidad de que haya suspendido en Lengua. c) La probabilidad de que haya aprobado en Inglés. Evaluación

13

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

 

P R U E B A I N I C I A L III SOLUCIONES DE LA PRUEBA INICIAL III (Números y álgebra) 9 1   a)     10

2

9375 256

 

7 2

1 2

3 20

b)   

4 7

11 15

5 6

                       

3 Aproximación: 2,33

Aproximación: 0,71

E a a  

0,00287

E a a  

0,00246

E r r  

0,001233

E r r  

0,003452

Es más fiable la primera aproximación.

3

4   a) 2  3   2  5      2 b) 6



3  2   10  3

5   a) 2,5  102 

106



9y 2



12xy 

x 2y 2



2x 3y 

b) 1,67

6   a) 4x 2 b) x 4



c) 9z 2

7   a)

x 4





b) C (x ) c) 3x 3

x 6

3x 3 





24x 2

x

35x  49

3x  28, R (x )



187

6x  2

8   a)   26 7

9



 

b) 9

1 67 y     29 29

   ,

10 Los números son 24 y 26. ÁBACO ÁBAC O Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

14

Evaluación

 

SO LU C I O N ES D E LA P R U EB A I N I C I A L I I I (G eo m et r í a , f unci o nes y es t a d í s t i ca ) 1 Catetos  5,66 cm Altura  4 cm Área  16 cm2 2

 144 cm3 Área lateral 2  Volumen  249,12 cm

3   a)  Variable independiente  tiempo  Variable dependiente  precio b) f (x )  18x  15 c)

P ( )  y = 18 x +15

10 O

4   a)

D (f )

t (horas)

1

5]; R (f )  [2, 5] b) Es creciente en [2, 3]; [4, 5] Es decreciente en [1, 2]; [3, 4]

5

 [1,

Y  1

1

 

c) Mínimos relativos: (2,

1)

y (4,

2)

Mínimo absoluto: (4, 2) Máximos relativo y absoluto: (3, 5)

 X 

O 2 x –3 si  x1

 y  =  = –1

6   a)

b)

x i i 

f i i 

h i i 

p i i 

0 1

2 4

0,10 0,20

10% 20%

23 4 5

64 2 2

00,,3200 0,10 0,10

3200% % 10% 10%

f i  6 4 2 0

1

2

3

4

5

 xi 

  2,3; M o  c)    x   o   2; M  2; y R  5

7   a)

A



8   a) 0,30

{2, 4, 6}

b) P (A)

  b) 0,35

   1 ,

2

P (   A)

   1

2

c) 0,80 Evaluación

15

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

 

¿ C Ó M O S O N N U E S T R A S D E E V A L U A C I Ó N ?

P R O P U E S T A S

Las propuestas de evaluación de cada unidad didáctica están organizadas en dos páginas. En la página de la izquierda se presenta una tabla con los criterios de evaluación (que se han establecido en la programación didáctica), clasificados y adaptados a tres posibles niveles: básico (B), medio (M) y avanzado (A). Además, se indican las actividades de la l a prueba de evaluación donde se evalúa cada uno de los criterios adaptados. Criterios de evaluación establecidos en la programación didáctica.

8

Longitudes, áreas y volúmenes

CRITERIOS DE EVALUACI EVALUACIÓN ÓN NIVEL ADAPTA ADAPTACIÓN CIÓN DE DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTO DISTINTOSS NIVELES NIVELES  ACTIVIDAD N. o

Resolver triángulos rectángulos.

B

Resolver un triángulo del que se conocen tres datos.

1

B

Obtener las áreas y perímetros de las figuras planas simples, expresando el resultado en las unidades de medida necesarias.

2

M

Obtener áreas y perímetros de figuras planas compuestas, por adición o sustracción, expresando el resultado en las unidades necesarias.

3

Resolver problemas relacionados con el cálculo de longitudes y áreas de figuras planas.

B

Resolver problemas de cálculo de áreas de objetos de la vida real.

3

Calcular longitudes y áreas de cuerpos en el espacio.

B

Hallar áreas y longitudes de figuras en el espacio.

4

Resolver problemas relacionados con el cálculo de longitudes y áreas de cuerpos en el espacio.

 A 

Plantear y resolver problemas de superficies de poliedros y otros cuerpos geométricos.

5

Calcular volúmenes de cuerpos en el espacio.

B

Plantear y resolver problemas de superficies de poliedros y otros cuerpos geométricos.

6

M

Plantear y resolver problemas de volúmenes de cuerpos en el espacio.

7

 A 

Plantear y resolver problemas de volúmenes de cuerpos de revolución.

8

Calcular de figuraslongitudes planas. y áreas

Resolver problemas relacionados con el cálculo de volúmenes.

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

Niveles de clasificación de los criterios de evaluación: básico, medio y avanzado.

Adaptación del criterio de evaluación a cada uno de los niveles desde los que es posible evaluarlo. o

32

Evaluación

ÁBACO Matemáticas 4. ESO - Opción A

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

16

Evaluación

 

En la página de la derecha se propone una prueba de evaluación fotocopiable que contiene actividades adaptadas a los criterios que se han formulado; el profesor, de acuerdo con las circunstancias de sus alumnos, puede optar por varias posibilidades: a) Utilizar la prueba completa y realizar un diagnóstico para evaluar la situación de los alumnos del grupo. b) Seleccionar actividades para realizar evaluaciones adaptadas a la diversidad del grupo. Los resultados en uno u otro caso le permitirán atender, de forma particular, a las necesidades educativas de cada agrupación de alumnos: desde las competencias básicas hasta la ampliación de conocimientos. En el cuaderno de Atención a la diversidad se ofrecen distintas posibilidades de atención a cada tipo de alumno.

 

EVALUACIÓN

8

Problemas métricos

 A C T I V I D A D E S 1 De un triángulo ABC  se conocen el lado Halla el ángulo C  y los otros dos lados.

BC  que

mide 10 metros y los ángulos A, que mide 25 , y B , que mide 55 .

2 Calcula la superficie y el perímetro del octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 centímetros.

4 cm

3 Calcula el área de la parte sombreada de cada una de las siguientes figuras planas. a)

b) 12 cm 2 cm

5 cm o

45

7 cm

4 Una señal de dirección prohibida mide 60 centímetros de diámetro, y el rectángulo blanco interior mide 15 por 45 centímetros. Calcula el área de la parte coloreada de rojo.

5 Un cilindro tiene 30 π cm2 de área lateral y el radio de la base mide 3 cm. Halla la altura del cilindro. 6 Construimos con cartulina la tulipa de una lámpara como la de la figura. La tulipa es la superficie lateral de un tronco de pirámide recta de base cuadrada. El lado del cuadrado de la base menor es igual que la altura del tronco de cono y mide 20 centímetros. Si el lado de la base mayor mide 60 centímetros, ¿qué superficie de cartulina se gasta para hacer la tulipa? 7 Calcula el área total de un prisma octogonal, sabiendo que la apotema de la base mide 3,7 cm, el lado de la base 3,1 cm y la altura 10 cm. 8 Un balón flota en la superficie de una piscina. Al helarse el agua, el balón queda atrapado por el hielo, pero al liberarlo del hielo deja un agujero de 24 centímetros de diámetro y 8 centímetros de profundidad. Averigua con estos datos el volumen del balón. 9 Un cucurucho en forma de cono de 3 centímetros de radio está lleno de helado. En la parte superior del mismo hay también una semiesfera de helado. Si la cantidad de helado que hay dentro del cucurucho es la misma que la de la semiesfera, ¿cuál es la altura del cucurucho?

Evaluación

Evaluación

33

17

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

ÁBACO Matem Matemáticas áticas 4.o ESO - Opción A

 

1

Números racionales

CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL CRITERIOS

Interpretar el concepto de fracción y obtener fracciones equivalentes para ordenar fracciones.

Expresar un número fraccionario en forma decimal, clasificándolo en decimal exacto, periódico puro o periódico mixto, y viceversa.

Plantear y resolver problemas utilizando los números racionales.

B: Básico

M: Medio

 ACTIVIDAD N.o

B

Interpretar el concepto de fracción.

1

M

Ordenar fracciones reduciéndolas previamente a común denominador.

2

 A 

Definir concepto de número racional cionaleselcomprendidos entre otros dos. y buscar números ra-

3

M

Realizar operaciones combinadas con fracciones en las que aparezcan paréntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.

4

 A 

Realizar operaciones con fracciones en las que intervengan corchetes, paréntesis, potencias de exponente entero, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.

5

M

Expresar una fracción como la suma de un número entero más una fracción propia y representarlas sobre la recta real.

6

B

Clasificar los números fraccionarios en decimales exactos, periódicos puros o mixtos, sin realizar la división.

7

M

Reconocer los números decimales que se pueden expresar en forma de fracción y calcular su expresión fraccionaria.

8

M

Plantear y resolver problemas sencillos utilizando los números racionales.

9

 A 

Plantear y resolver problemas utilizando los números racionales.

10

Operar con fracciones utilizando la jerarquía de las operaciones.

Representar gráficamente los números racionales sobre la recta numérica.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

A: Avanzado

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

18

Evaluación

 

1

EVALUACIÓN

Números racionales

 A C T I V I D A D E S 1 Un libro tiene 250 páginas. Ana ha leído 125; Roberto, dos quintos del total, y Luis, el 30% del libro. ¿Qué fracción

del libro lleva leída Ana? ¿Cuántas páginas ha leído Roberto? ¿Y Luis? 2 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

3 12



7 9

 



5 18





 

3 4

 



15 36

 





6 8

 



9 12

15 24



 





 



3 Entre dos números racionales, ¿existe siempre un número racional? En caso afirmativo, halla un número racional

comprendido entre

12 13 y  . 33 33



4 Opera, simplificando al máximo los resultados.

4 21

8 3

2

2

a)            

 52  1120 49     

12

6

b)             

5

25



 

5

2

     34   34   43 

2 a)     1 3 b)

15



3

2  3





3



2





2









      1 2  23  2

3 1        4 6 2





7 5

     

3

        

  Opera y simplifica. 3

      

1  2

 

3

   

2





1  2 

3





2 2     3

 2

2









6 Representa gráficamente las siguientes fracciones.

2 3

7 3



a)   

8 5



b)   

c)   

7 Sin efectuar la división, clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos, periódicos puros o periódi-

cos mixtos. 18 a)    14

21 75

b)   

12 30

15 18

c)   

d)   

21 4

e)   

28 64

f)   

8 Halla la fracción irreducible correspondiente a los siguientes números decimales. a) 1,12

b) 3,7652

c) 0,15

v

p

9 María ha comprado una televisión y va a pagarla en tres plazos. En el primero abona un tercio del total, en el se-

gundo paga un cuarto y en el último plazo paga 500 euros. ¿Cuánto cuesta la televisión? ¿Cuánto pagará en cada plazo? 10 Las dos quintas partes de la superficie de un campo están plantadas de melocotoneros, y tres cuartos del resto lo

están de manzaneros. Si quedan sin plantar 1200 metros cuadrados, ¿qué superficie tiene el campo? ¿Cuántos metros cuadrados están plantados de melocotoneros? ¿Y de manzano? ¿Qué fracción del campo está sin plantar? Evaluación

19

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

2

Números reales

CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL CRITERIOS

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

Reconocer los distintos tipos de números y decidir los con juntos a los que pertenecen.

1

B

Reconocer, sin efectuar la división, qué fracciones tienen expresión decimal exacta o periódica.

2

M

Clasificar un número decimal en exacto, periódico puro o periódico mixto y hallar su expresión fraccionaria.

3

B

Aproximar un número decimal, por exceso y por defecto, hasta un orden determinado y determinar cuál es la mejor aproximación.

4

M

Determinar la mejor aproximación de un número irracional, comparando los errores relativos cometidos al efectuar las aproximaciones.

5

 A 

Operar con números reales y obtener el error máximo cometido.

6

Representar gráficamente los números reales.

M

Utilizar recursos de la geometría plana para representar números reales.

7

Ordenar los números reales a partir de su comparación.

B

Ordenar números reales a partir de su comparación.

8

Representar gráficamente los intervalos y las semirrectas y asociarlos con las desigualdades correspondientes.

M

Representar gráficamente los intervalos y las semirrectas y asociarlos con las desigualdades correspondientes.

9

Identificar los números reales dentro del conjunto o de los conjuntos que correspondan.

Convertir una fracción en expresión decimal y viceversa.

Aplicar las distintas aproximaciones de números y calcular los distintos tipos de errores cometidos.

B: Básico

M: Medio

B

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

20

Evaluación

 

2

EVALUACIÓN

Números reales

 A C T I V I D A D E S 1 Coloca cada número en el eslabón correspondiente de la pirámide de los números. Ten en cuenta que cada número

puede estar en uno o varios eslabones de la pirámide. 3    

 

2

8

19     5  3

2,01001000100001… 5  2 5      6      0,125



6 2,34

  

 

N



21 35

Z Q

1 2

 π

R

2 Sin efectuar la división, determina si la expresión decimal de las siguientes fracciones es periódica o exacta.

7 8

5 3

a)   

25 12

b)   

18 75

c)   

d)   

3 Expresa los números decimales en forma de fracción: p

p

p

a) 0,416

b) 5,1

c) 1,7

d) 1,5

p

p

e) 0,72

f) 1,05

4 Aproxima el número e    2,71828182... hasta el orden indicado. Hast Ha staa la lass dé déci cima mass

Hast Ha staa la lass ce cent ntés ésim imas as

Hasta Has ta las las mil milési ésimas mas

Por exceso Por defecto Redondeo

5 Una sustancia cuya masa es de 15,35896 gramos se pesa en dos balanzas. La primera marca 15,3589 gramos, y la

segunda, 15,359. Para realizar un experimento, se elegirá la balanza que menor error relativo cometa. ¿Cuál de las dos balanzas elegirías? 6 Opera aproximando hasta las diezmilésimas y halla el error máximo cometido. a) 2  10    3  10 19 19       b)     17 17  5        7 Representa en la recta real el número que se obtiene al calcular la diagonal de un cuadrado de lado 3; representa

también su opuesto. 8 Escribe un decimal exacto, un decimal periódico puro, un decimal periódico mixto y un número irracional compren-

didos entre los números 24,2 y 24,3. Ordénalos de menor a mayor. 9 Representa en la recta real los siguientes números o conjuntos numéricos. a) (3, 3) b) | x    5 | c)   4





2

x   

1 Evaluación

21

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

3

Potencias y raíces

CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL CRITERIOS

Utilizar la notación científica y operar aritméticamente con ella.

Relacionar potencias de exponente fraccionario y radicales, comprender sus propiedadess y utilizarlas propiedade para resolver y simplificar expresiones numéricas y algebraicas.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Transformar un número en notación científica y viceversa.

1

M

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver operaciones numéricas y algebraicas de exponente entero.

2

 A 

Operar con números en notación científica.

3

M

Transformar radicales en potencias de exponente fraccionario y viceversa.

4

 A 

Utilizar las propiedades de las potencias para resolver operaciones numéricas y algebraicas de exponente fraccionario.

5

Extraer factores de un radical e introducir factores en un radical, multiplicar y

B

Reducir radicales a un índice común.

6

M

Extraer e introducir factores en un radical.

7

dividir yradicales distinto índice sumar yde restar radicales.

 A 

Operar con radicales.

8

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

22

Evaluación

 

3

EVALUACIÓN

Potencias y raíces

 A C T I V I D A D E S 1 Asocia cada elemento de una columna con el que corresponde de la otra.

5,021 5,021 5,021 5,021

   

104 10 3 105 10 5

502100 0,005021 0,00005021 50 21 2100





2 Aplica las propiedades de las potencias para operar con las siguientes expresiones. Expresa el resultado en forma de

potencia. 2 5  43  32  9 2 a) 238933 



b)

 



3

2

4

2

( 27) ( 3) ( 6)  ( 12) ( 24) 



  2

c)

3

 

3

3

8 ( 2) ( 3) 27  ( 2) 4 6 12



 

  4





  3







2

3 Calcula. a)

[2 10 4 10 ] (2 10 )  (Expresa el resultado en notación científica.) 3 10 10 8



9









4





-5



4



b) La distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilómetros. A esta cifra se la conoce como unidad astro-

nómica y se más tomapróxima como referencia medirfuera las grandes distancias que nos separanestá de aotros cuerpos lestes. La(UA), estrella a nosotros,para situada del sistema solar, Alfa Centauro, 271 760 UA. ceExpresa ambas distancias en notación científica. ¿Cuántos kilómetros separan la Tierra de la estrella Alfa Centauro? Opera y expresa el resultado en notación científica. 4 Expresa como un único radical y transforma en potencia de exponente fraccionario. a)

   5           3

5

6

  8

5

b)     (2 )    4 4

c)

d) 3

3 

5 Simplifica y expresa en forma de potencia con exponente fraccionario

2b     a        3

6 Reduce a índice común los siguientes radicales:

3

6

4

8

12.   7;   8;   5;    

( 3  ) (3                   

4b     



3

a 

   

   2

2 5

   3

c 



2

3 

   c 

7 Extrae o introduce todos los factores posibles de los siguientes radicales.

b)

3

81000 y   81000 74536.        3 Introduce todos los factores posibles en los siguientes radicales: 2  53  7    2 y 32  5    5.

a) Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:

8 Opera. a) 4 3



3

3

5

108      32      625       

6

b)     85    6 :2   6 6    9   c)     x       (x  )4           x x3  d) 2  108  5  3    45  3 108   

Evaluación

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

23

 

4

Polinomios

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Determinar el polinomio suma, diferencia o producto de dos polinomios o monomios y aplicar las identidades notables.

Calcular los polinomios cociente y resto de una división entera de polinomios y aplicar la regla de Ruffini. Obtener las raíces enteras de un polinomio, aplicando el teorema del resto y el teorema fundamental del álgebra cuando sea necesario.

Factorizar polinomios, aplicando el teorema del factor cuando sea necesario.

B: Básico

M: Medio

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Calcular el valor numérico de una expresión algebraica, y determinar el grado y los coeficientes de un polinomio.

1

M

Aplicar los algoritmos propios de la suma, diferencia y multiplicación de polinomios.

2

 A 

Reconocer las identidades notables en expresione expresioness algebraicas y utilizarlas para simplificarlas.

3

B

Calcular el cociente y el resto de una división entera de polinomios utilizando el algoritmo de la división.

4

M

Dividir un polinomio entre un binomio de la forma x   a  utilizando la regla de Ruffini.

5

B

Aplicar el teorema fundamental del álgebra para determinar el número de raíces reales de un polinomio.

6

Obtenerdel visores las término raíces enteras independiente, de un polinomio, utilizando a partir el teorema de los didel resto.

7

M

Aplicar el teorema del factor para averiguar si un polinomio es divisible entre otro polinomio de la forma x    a .

8

 A 

Factorizar polinomios de coeficientes enteros.

9

M

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4. ESO Opción A

24

 

4

EVALUACIÓN

Potencias y raíces

 A C T I V I D A D E S 1 Completa la siguiente tabla. Ordenado y reducido

Polinomio P (x ) 

2x 3



3x 2



4x 3



3x    2x 2

Q (x ) 

6x 5



2x 2



3x 7



8x 5

R (x ) 

2x 2



3x    5

b) 2







5



x 3





2x 2



4x  y Q (x )



2x 3



4 efectúa las siguientes operaciones.

Q (x )

P (x )

c) P (x )

 Valor numérico para x     1

7x 3



2 Dados los polinomios P (x ) a) P (x )

 Valor numérico para x     1

Grado

Q (x )



Q (x )

3 Desarrolla las siguientes expresiones. a) (2x    y )  (2x    y )  y (3x    y ) b) (2x    3)2 c) (2x 2





1)2

(2x    3)2



(3x    2)2

4 De una división conozco D (x )



4x 3



cx 2



2, d (x )



x   

1; C (x )



4x 2



2x    2 y R (x )

4.

 

Calcula el valor de c . 5 Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de: (5 x 4



2x 2



3x    3) : (x    2).

6 Comprueba, utilizando el teorema del resto, que x    1 es raíz del polinomio P (x )



x 2



3x    2.

Utilizando el teorema fundamental del álgebra, ¿se puede asegurar que el polinomio tiene otra raíz real? 7 Dado el polinomio P (x )

x 3

x 2

2, ¿cuál es el conjunto de las posibles raíces? Aplica el teorema del resto para determinar cuáles de las posibles raíces son realmente raíces del polinomio. 





x   

8 Averigua si es divisible el polinomio P (x )



x 4



2x 2



7 entre x    2. Razona tu respuesta con los teoremas ne-

cesarios. 9 Factoriza los siguientes polinomios. a) P (x ) b) Q (x )



4

3x 4  2x 



3

6x   2x 



2

3x 



6x 

o

Evaluación

25

ÁBACO Matemáticas 4. ESO Opción A

 

5

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y aplicar los métodos a problemas en los que aparezcan este tipo de ecuaciones. Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita y aplicar los métodos a problemas en los que aparezcan este tipo de ecuaciones.

Resolver ecuaciones de grado superior a 2 y aplicar los métodos usados para la resolución de problemas en los que aparezcan este tipo de ecuaciones. Resolver inecuaciones de primer grado e interpretar la solución obtenida. Resolver problemas del entorno cotidiano en los que sea necesario trabajar con inecuaciones de primer grado. Resolver algebraica y gráficamente sistemas lineales de dos ecuaciones, y aplicar los métodos usados para la resolución de problemas en los que

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Aplicar la jerarquía y propiedades de las operaciones para resolver ecuaciones de primer grado.

1

M

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante ecuaciones de primer grado.

2

B

Resolver ecuaciones de segundo grado, completas o incompletas, con denominadores y/o paréntesis.

3

M

Plantear y resolver ecuaciones de segundo grado para la resolución de problemas de la vida cotidiana o en un contexto matemático.

4

M

Transformar mediante un cambio de variable ecuaciones bicuadradas en otras equivalentes para facilitar su solución y resolverlas.

5

 A 

Plantear y resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, aplicando la factorización de polinomios, para la resolución de problemas de la vida cotidiana o en un contexto

6

matemático. Resolver inecuaciones de primer grado, en las que pueden aparecer paréntesis y denominadores, expresando la solución en forma de intervalo o semirrecta.

M

 A 

Plantear y resolver inecuaciones de primer grado para resolver problemas de la vida real o en un contexto matemático.

8

B

Resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, de forma gráfica y analítica, y clasificarlos según el número de soluciones.

9

M

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante

10

aparezcan este tipo de ecuaciones. B: Básico

7

sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

M: Medio

A: Avanzado

o

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4. ESO Opción A

Evaluación

26

 

5

EVALUACIÓN

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

 A C T I V I D A D E S 1 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado.

1 2

a)    (3x    1)



2x   3 3x  2    (x   1)    1         10 5 4

b)

x    4 4    (x   1) 3    (x   1) 3             8 4 8 2

2 Un padre tiene 42 años, y su hijo, 10. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la del hijo?

3 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado. a)

x (x   3) x (x   2) x (3x   1)       2 4 8

b) 1    x (x    3)



3 (x    1)

4 En un triángulo rectángulo se verifica que uno de los catetos es 7 unidades mayor que el otro. Si la hipotenusa mide

13 unidades, ¿cuánto miden cada uno de los catetos?

5 Realiza un cambio de variable adecuado para resolver las siguientes ecuaciones. a) 2x 4  40x 2  128    0 b) x 4  34x 2  225

0



6 Un triángulo rectángulo con catetos que son números consecutivos verifica que el cuadrado de su área vale 36. ¿Cuá-

les son las medidas del triángulo? 7 Resuelve algebraicamente las inecuaciones siguientes, expresando el resultado en forma de intervalo o semirrecta. a)

2    (x   3)    x    5

x 

     

2

3    (x   2)   10

b) 3x   

2    (x   5) x    3      3 (x    5) 3 6

8 El gimnasio que está debajo de mi casa cobra 30 euros de matrícula y 24 euros cada mes. Otro gimnasio cobra 24

euros por la matrícula y 26 euros al mes.

Si voy a ir menos de nueve meses, ¿a qué gimnasio me debo apuntar para que me salga más barato? 9 Considera el siguientes sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas a) Resuelve el sistema por el método gráfico.



3x    2y    6 x    4y    9

b) Resuelve el sistema por sustitución. c) Clasifica el sistema según el número de soluciones que tenga.

10 Halla un número de dos cifras, sabiendo que la suma de sus cifras es 10 y que la cifra de las decenas es el cuá-

druplo de la cifra de las unidades.

o

Evaluación

27

ÁBACO Matemáticas 4. ESO - Opción A

 

6

Proporcionalidad numérica

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Reconocer relaciones de proporcionalidad entre magnitudes dadas y completar tablas de valores de dichas magnitudes.

1

B

Resolver problemas de proporcionalidad simple directa.

2

M

Realizar repartos proporcionales directos.

3

B

Resolver problemas de proporcionalidad simple inversa.

4

M

Realizar repartos proporcionales inversos.

5

B

Calcular el porcentaje de un aumento o un descuento, dadas la cantidad inicial y la final.

6

M

Hallar la cantidad inicial de un aumento o descuento, dados la cantidad final y el porcentaje.

7

Resolver problemas de porcentajes encadenados.

M

Obtener la cantidad final y el porcentaje equivalente a una sucesión de aumentos y disminuciones porcentuales.

8

Resolver problemas de interés simple.

M

Hallar el capital inicial, el rédito, el tiempo o el capital final en un problema de interés simple.

9

Resolver problemas de interés compuesto.

M

Hallar el capital inicial, el rédito, el tiempo o el capital final en un problema de interés compuesto.

10

Identificar magnitudes directa o inversamente proporcionales. Resolver problemas de proporcionalidad empleando el método directa, adecuado.

Resolver problemas de proporcionalidad inversa, empleando el método adecuado.

Resolver problemas de porcentajes en los que haya que averiguar las cantidades finales, las iniciales y los porcentajes a partir de datos conocidos.

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

o

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4. ESO - Opción A

Evaluación

28

 

6

EVALUACIÓN

Proporcionalidad numérica

 A C T I V I D A D E S 1 Completa la siguiente tabla indicando si la relación de proporcionalidad es directa o inversa. Horas/semana trabajadas

40

35

Sueldo (euros)

1140

1050

37 960

2 Un centro escolar decide pintar 4 de sus aulas, para lo que compra 30 kilogramos de pintura. Antes de que acaben,

deciden pintar 3 aulas más exactamente iguales a las anteriores. ¿Cuántos kilogramos más deberán comprar? 3 Para montar una peluquería tres socios han puesto 3000

, 4000 € y 6000 € respectivamente. Al cabo de cierto tiempo obtienen obtienen 15 21 2100 € de beneficios. Si reparten los beneficios en partes proporcionales al capital invertido, ¿cuánto dinero se debe llevar cada uno? €

4 Un ganadero tiene bellotas para alimentar a sus 9 cerdos durante 20 días. ¿Cuánto durarán las bellotas si compra 6

cerdos más? 5 En un concurso de preguntas se reparten 1000

en partes inversamente proporcionales al número de fallos cometidos. Si el primer participante ha fallado 4 preguntas y el segundo 6, ¿cuánto dinero se ha de llevar cada uno? €

6 De los 352 alumnos de un instituto, 47 han ido a la excursión de final de curso. ¿Qué porcentaje de alumnos no ha

ido a la excursión? 7 Con las lluvias caídas en el último mes, un pantano ha aumentado un 12% sus reservas de agua. Si actualmente

hay 1835 hm3 de agua, ¿cuántos hectómetros cúbicos tenía antes de las lluvias? 8 En diciembre, los precios subieron un 2% y en enero bajaron un 3%. a) Indica si en total se ha producido un aumento o un descuento y de qué porcentaje. b) Si un producto costaba antes de la subida 28 euros, utiliza el resultado obtenido en el apartado anterior para

calcular cuánto cuesta después de enero. 9 Halla el tiempo que debemos mantener una inversión de 8500 euros al 2% de interés simple anual para que el ca-

pital final sea de 9520 euros. 10 Lucía quiere depositar 6000

en un banco durante un año. El primer banco le ofrece un 6% de interés compuesto mensual y el segundo banco un 4% de interés compuesto semestral. ¿En qué banco debe depositar Lucía el dinero para que obtenga más beneficios? €

o

Evaluación

29

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

7

Semejanza y tr trig igon onom omet etrí ríaa

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Identificar figuras semejantes y triángulos en posición de Tales.

Obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Aplicar las relaciones fundamentales para obtener las razones trigonométricas conociendo otra de ellas.

B: Básico

M: Medio

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Hallar la razón de semejanza de dos figuras semejantes y utilizarla para calcular medidas desconocidas de una de ellas.

1

M

Demostrar, utilizando los diferentes criterios de semejanza, si dos triángulos son o no semejantes.

2

 A 

Aplicar el teorema de Tales para resolver problemas de seme janza de triángulos.

3

B

Calcular, con ayuda de la calculadora científica, las razones trigonométricas de un ángulo agudo cualquiera.

4

M

Resolver triángulos rectángulos dados dos de sus lados o un lado y un ángulo.

5

 A 

Determinar medidas y ángulos desconocidos en un problema aplicando las razones trigonométricas.

6

Hallar razones trigonométricas defundamentales un ángulo, conociendo una delas ellas, y usando las relaciones trigonométricas.

7

Demostrar igualdades trigonométricas aplicando las razones conocidas.

8

B

M

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

30

 

7

EVALUACIÓN

Semejanza y tr trig igon onom omet etrí ríaa

 A C T I V I D A D E S 1 Las figuras del dibujo son semejantes. Halla la razón de

3 cm

semejanza y los lados desconocidos.

2 cm

2 cm 6 cm

4 cm

2 El triángulo ABC  es isósceles. Si A    36 y BD  es la bisectriz del ángulo B , justifica que los triángulos ABC  y BCD  p

p

son semejantes. B

C  

 A

D

3 Las rectas r , r ’ y r ” son paralelas, y además, x    y  mide 8,6 centímetros. Calcula x, y , z , a  y b . r''   z  r' 

r  5 cm

3 cm

a

V 

8 cm

 

b

6 cm

 x 

 y 

4 Calcula el seno, el coseno y la tangente de los siguientes ángulos con la ayuda de la calculadora. a) a    25 12’ 58”

b)   β    80 45’ 53”

5 Sea a  un ángulo de un triángulo rectángulo, de modo que el cateto opuesto a a  mide 6 centímetros, y la hipote-

nusa 7,5 centímetros. Halla la medida de los ángulos y el otro cateto del triángulo. 6 Como sabrás, en un juego de escuadra y cartabón, la hipotenusa de la escuadra, que es un triángulo rectángulo isós-

celes, es igual que el cateto mayor del cartabón. Si la hipotenusa del cartabón mide 20 centímetros, y el cateto menor, 10, determina razonadamente y sin utilizar la calculadora. a) Los ángulos del cartabón y de la escuadra. b) El seno, el coseno y la tangente de cada uno de los ángulos agudos. c) La medida de los lados de la escuadra. 7 Sin utilizar la calculadora, y aplicando las relaciones fundamentales de la trigonometría, calcula el coseno y la

tangente de un ángulo agudo a , sabiendo que sen a   

  3



2

8 Demuestra la siguiente igualdad: sen2α    cos2α    cos4α    cos2α.

Evaluación

31

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

8

Longitudes, áreas y volúmenes

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Resolver triángulos rectángulos.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Resolver un triángulo del que se conocen tres datos.

1

B

Obtener las áreas y perímetros de las figuras planas simples, expresando el resultado en las unidades de medida necesarias.

2

M

Obtener áreas y perímetros de figuras planas compuestas, por adición o sustracción, expresando el resultado en las unidades necesarias.

3

Resolver problemas relacionados con el cálculo de longitudes y áreas de figuras planas.

B

Resolver problemas de cálculo de áreas de objetos de la vida real.

3

Calcular longitudes y áreas de cuerpos en el espacio.

B

Hallar áreas y longitudes de figuras en el espacio.

4

 A 

Plantear y resolver problemas de superficies de poliedros y otros cuerpos geométricos.

5

B

Plantear y resolver problemas de superficies de poliedros y otros cuerpos geométricos.

6

M

Plantear y resolver problemas de volúmenes de cuerpos en el espacio.

7

 A 

Plantear y resolver problemas de volúmenes de cuerpos de revolución.

8

Calcular longitudes y áreas de figuras planas.

Resolver problemas relacionados con el cálculo de longitudes y áreas de cuerpos en el espacio. Calcular volúmenes de cuerpos en el espacio.

Resolver problemas relacionados con el cálculo de volúmenes.

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

32

 

EVALUACIÓN

8

Problemas métricos

 A C T I V I D A D E S 1 De un triángulo ABC  se conocen el lado BC  que mide 10 metros y los ángulos A, que mide 25, y B , que mide 55.

Halla el ángulo C  y los otros dos lados. 2 Calcula la superficie y el perímetro del octógono regular inscrito en una circunferencia de radio 4 centímetros.

4 cm

3 Calcula el área de la parte sombreada de cada una de las siguientes figuras planas. a) b) 12 cm 2 cm 5 cm

45o

7 cm

4 Una señal de dirección prohibida mide 60 centímetros de diámetro, y el rectángulo blanco interior mide 15 por 45

centímetros. Calcula el área de la parte coloreada de rojo. 5 Un cilindro tiene 30π cm2 de área lateral y el radio de la base mide 3 cm. Halla la altura del cilindro. 6 Construimos con cartulina la tulipa de una lámpara como la de la figura.

La es la superficie lateral de un de pirámide rectatronco de base cuadrada. El ladotulipa del cuadrado de la base menor es tronco igual que la altura del de cono y mide 20 centímetros. Si el lado de la base mayor mide 60 centímetros, ¿qué superficie de cartulina se gasta para hacer la tulipa? 7 Calcula el área total de un prisma octogonal, sabiendo que la apotema de la base mide 3,7 cm, el lado de la base

3,1 cm y la altura 10 cm. 8 Un balón flota en la superficie de una piscina. Al helarse el agua, el balón queda atrapado por el hielo, pero al li-

berarlo del hielo deja un agujero de 24 centímetros de diámetro y 8 centímetros de profundidad. Averigua con estos datos el volumen del balón. 9 Un cucurucho en forma de cono de 3 centímetros de radio está lleno de helado. En la parte superior del mismo hay

también una¿cuál semiesfera de helado. Si la cantidad de helado que hay dentro del cucurucho es la misma que la de la semiesfera, es la altura del cucurucho?

Evaluación

33

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

9

 Ve c t o r e s y r e c t a s  Vec en el plano

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Representar vectores.

Sumar vectores.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Identificar el módulo, la dirección y el sentido de un vector, así como su punto de origen y el extremo del mismo.

1

M

Determinar de forma gráfica y analítica vectores fijos y vectores equipolentes entre sí.

2

 A 

Calcular el módulo de un vector a partir de sus coordenadas, utilizando este cálculo para hallar la distancia que separa dos puntos.

3

B

Efectuar sumas con vectores libres.

4

B

Efectuar operaciones operaciones con vectores vectores libres tanto tanto de forma gráfica como analítica.

5

M

Expresar, cuando sea posible, un vector como combinación lineal de otros.

6

B

Hallar puntos y vectores directores de una recta, dada alguna de las ecuaciones que la describen, y utilizarlos para obtener las ecuaciones restantes.

7

M

Deducir ecuaciones de rectas utilizando las condiciones de paralelismo e incidencia.

8

 A 

Utilizar las rectas en el plano y sus ecuaciones como método de resolución de problemas geométricos.

9

Efectuar el producto de un vector por un escalar escalar..

Hallar la ecuación de una recta de distintas formas.

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

34

 

9

EVALUACIÓN

 Ve c t o r e s y r e c t a s  Vec en el plano

 A C T I V I D A D E S 1 Indica si los vectores AB  y CD  tienen el mismo módulo, dirección y sentido, donde las coordenadas de cada punto

           

     

son A (1,   1); B (2, 1); C (5, 3), y D (4, 1). ¿Son equipolentes? Obtén las coordenadas de cada uno de ellos. 2 Sean los puntos A (2, 1), B (2, 4), C (0,

 73 , 32 .

2) y D 



 

a) Determina dos puntos M  y N  de manera que los vectores fijos CM  y ND  sean equipolentes a AB . b) Representa los vectores.

3 ¿Qué puntos de ordenada 3 distan 5 unidades del vector (1, 7)?

4 Halla el vector   u      v , siendo   u    (5,      

     

     

3) y   v    (1, 2).



     

5 Dados los vectores u    (2, 1) y v    (3, u  y v  cuyo

2), efectúa gráficamente la operación 2 u    v  tomando representantes de origen común sea el punto P (3, 1). ¿Qué coordenadas tiene el vector 2u    v ?

6 Expresa el vector x    (8,

1) como combinación lineal de los vectores u    (1, 4) y v    (2, 3), y el vector v  como combinación lineal de u  y x . 

7 La ecuación general de la recta r  es 2x    2y    7 a) b) c) d)

0. Escribe un vector director y un punto por el que pase la recta. Halla la ecuación explícita. Calcula su pendiente y ordenada en el origen. Halla la ecuación vectorial de la recta. 

e) Escribe la ecuación continua. f) ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta? g) Halla la ecuación punto-pendiente de la recta. 8 Halla la ecuación general de una recta que pase por el punto P (2, 3) y sea paralela a la recta 2x    y    3

9 Una hormiga camina en línea recta por un plano que tiene unos ejes de

coordenadas cartesianas. El rumbo que lleva siempre es el mismo, cada tres cuadros que avanza hacia la derecha, baja dos cuadros. Si en un instante la hormiga está pasando por un punto de coordenadas (120, 8). a) ¿Cuál es la ecuación general de la recta que recorre la hormiga? b) Si otra hormiga camina por la recta de ecuación x    y    73 ¿cuál es el único punto donde es posible que se encuentren?



0,



0.

Evaluación

35

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

10

Propiedades de las funciones

CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL CRITERIOS

Identificar el dominio y recorrido de una función. Obtener los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calcular tasa de variación media,lay señalar los máximos y mínimos de una función.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Estudiar el dominio y el recorrido de una función a partir de su expresión algebraica.

1

B

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y los mínimos de una función a partir de su representación gráfica.

2

M

Estudiar la tasa de variación media y la tasa de variación de una función en un intervalo, a partir de su expresión algebraica.

3

M

Determinar la continuidad o discontinuidad de una función en un punto x , estudiando la tendencia de la tasa de variación en el intervalo [x , x    h].

4

 A 

Determinar la continuidad o discontinuidad de una función definida a trozos en un punto x , estudiando la tendencia de la tasa de variación en el intervalo [ x , x    h].

5

M

Determinar si una función es periódica y/o simétrica y, en caso de serlo, calcular su tipo de simetría.

6

B

Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana a partir del planteamiento de funciones definidas a trozos lineales.

7

M

Interpretar y extraer información, a partir de gráficas o tablas que representan situaciones sobre la vida cotidiana, y emitir  juicios sobre ellas.

8

Estudiar la continuidad de una función en un punto.

Reconocer funciones periódicas y simétricas, calculando el tipo de simetría. Transcribir cierta información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades. B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

36

 

10

EVALUACIÓN

Propiedades de las funciones

 A C T I V I D A D E S 1 Indica el dominio y el recorrido de cada una de estas funciones.

  

  x  

a) y     x  x    3 b) y   

c) y     9

70x   1    x 

d) y   

2

1  2   x 

1



25

2 Observa la gráfica de las siguientes funciones y estudia los siguientes aspectos. Y 

Y 

1

1

 X 

1

O 1

 

X 

a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Máximos y mínimos relativos y absolutos. 3 La tasa de variación de una función en el intervalo [ 2, b ] es igual a 12; y la tasa de variación media es



función pasa por el punto 2, 4 Estudia si la función f (x )



3 . Si la 2





143 , calcula b  y f (b ).).

 

3

 es continua en el punto x    1

5 Estudia la continuidad de la siguiente función: f (x )



1

x   

1.



2, x     x , x   

x   

1 en x    1 

1.



6 Indica si las siguientes funciones son simétricas y/o periódicas. En caso afirmativo indica el tipo de simetría y/o el

período. a)

a)

b)

Y 

b)

O O

 X 

c)

Y 

c)

Y 

 X  O

 X 

7 En un aparcamiento de un aeropuerto existe la siguiente tarifa: “Por la primera hora o fracción, 2 euros. A partir de

la segunda hora o fracción 1,5 euros, con un máximo de 17 euros diarios”. Escribe la función que describe esta situación y represéntala gráficamente. 8 La presión atmosférica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al aumentar la distancia un

kilómetro, la presión atmosférica es, aproximadamente, 0,9 veces la anterior. La presión atmosférica, al nivel del mar, es de 1 atmósfera. a) ¿Qué variable consideras como independiente? ¿Y como dependiente? b) ¿Qué presión hay a un kilómetro de distancia? ¿Y a dos? ¿Y a tres? Escribe la expresión que permite calcular la presión en función de la altura. Comprueba que al nivel del mar, la presión atmosférica es 1. Construye una tabla de valores y representa la función. c) ¿Se alcanzará en algún momento una atmósfera negativa? d) ¿Qué presión hay a 10 kilómetros de distancia?

Evaluación

37

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

11

Funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Reconocer las funciones polinómicas de segundo grado a través de sus expresiones algebraicas, y representarlas gráficamente estudiando algunos de sus elementos fundamentales, como simetría,losel vérticeeldeejelade parábola, puntos de corte con los ejes, etc. Obtener gráficas de parábolas por traslación.

Reconocer las funciones de proporcionalidad inversa a partir de la relación entre dos magnitudes o mediante su expresión algebraica.

Obtener gráficas de hipérbolas. Transcribir información a su expresión funcional y extraer conclusiones a partir del aná-lisis matemático de sus propiedades.

B: Básico

M: Medio

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

M

Determinar el vértice y los puntos de corte con los ejes de una función cuadrática y, con estos datos, representarla gráficamente.

1

 A 

Obtener la expresión algebraica de una función cuadrática a partir de ciertas características de las mismas.

2

M

Representar ciertas parábolas a partir de y    ax 2.

3

M

Identificar una función de proporcionalidad inversa a partir de su expresión algebraica y estudiar a través de su gráfica las características fundamentales.

4

 A 

Obtener la expresión algebraica de una función de proporcionalidad inversa y, a partir de ella, su representación gráfica estudiando los elementos fundamentales.

5

M

Representar gráficamente funciones racionales, cuya gráfica es una hipérbola, mediante la traslación de otra más sencilla.

6

M

Resolver problemas a partir del planteamiento de una función de proporcionalidad inversa aplicando sus propiedades fundamentales.

7

 A 

Plantear y resolver problemas de optimización a partir del planteamiento de una función cuadrática.

8

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

38

Evaluación

 

11

EVALUACIÓN

Funciones cuadráticas y de proporcionalidad inversa

 A C T I V I D A D E S 1 Dada la función y    2x 2  4x    1, contesta a las siguientes cuestiones. a) ¿De qué tipo de función se trata? b) Halla el dominio, los máximos y mínimos, y los puntos de corte con los ejes. c) Con los datos anteriores, representa gráficamente la función. 2 Halla la expresión algebraica de una función cuadrática que verifica las siguientes condiciones.

• Tiene el vértice en el punto V (0, 4). • Corta el eje OX  en el punto P (2, (2, 0). Representa gráficamente la función. 3 Partiendo de la gráfica de la parábola y    3x 2, obtén la gráfica de las parábolas que se indican a continuación. a) y    3x 2



1

b) y    3(x    5)2

4 Dada la función f (x )

3

  

c) y    3(x    1)2



4

.

x 

a) ¿Cuál es su dominio de definición? b) Calcula las asíntotas horizontales y verticales c) Haz su representación gráfica d) ¿Corta a los ejes de coordenadas? ¿Es creciente? 5 La función f (x )



a 

 no corta a los ejes coordenados y pasa por el punto (2, x    h

5).



Calcula su expresión algebraica (valores de a  y h) Halla el dominio de la función ¿Cuáles son las asíntotas horizontales y verticales? Haz su representación gráfica e) ¿Es creciente o decreciente? a) b) c) d)

2 f 1

6 Haz la representación gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de la función (x )    x . 2 2 2 a) f 2(x )        1 b) f 3(x )   c) f 4(x )    1

3 x    1 Estudia las diferencias y semejanzas entre sus gráficas. Y para cada una de ellas, indica su dominio y recorrido, sus asíntotas y si es creciente o decreciente. x 

x   

7 Un grupo de alumnos de un centro escolar quiere hacer una excursión y averiguan el precio del alquiler del

autobús. Para saber lo que cada uno debe pagar plantean la siguiente función, f (x ) mero de alumnos que van de excursión. a) Calcula cuánto cuesta alquilar el autobús. b) ¿Cuánto deberá pagar cada uno si se apuntan 40 alumnos? c) ¿Cuántos alumnos irán a la excursión si cada uno paga 4,80 €?

240

   

x 

donde x es el nú-

8 Con 100 metros de valla, queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 70 metros de longi-

tud. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del recinto para que el área sea máxima? ¿Cuál es esa área?

Evaluación

39

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

12

Función exponencial

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Representar gráficamente funciones exponenciales exponenciales..

Obtener la gráfica de una función exponencial mediante traslación de otra con la misma base.

Identificar la existencia de relaciones funcionales sencillas en muchos de los

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Reconocer las funciones exponenciales tanto gráfica como analíticamente, y clasificarlas en crecientes o decrecientes.

1

M

Dibujar la gráfica de una función exponencial a partir de su expresión algebraica, indicando las propiedades que la caracterizan.

2

 A 

Representar una función exponencial, obteniendo previamente su expresión algebraica a partir de unas condiciones dadas.

3

M

Representar mediante traslaciones una función exponencial de la forma y    b x  n  m, a partir de y    b x .

4

B

Conocer y aplicar la ley de interés compuesto.

5

M

Resolver problemas de la vida cotidiana relativos al crecimiento

6

procesosyeconómicos, sociales de la vida cotidiana.

o decrecimiento de poblaciones.  A 

B: Básico

M: Medio

   

Interpretar gráficas sobre interés compuesto. A: Avanzado

7

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

40

 

12

EVALUACIÓN

Función exponencial

 A C T I V I D A D E S 1 Indica cuáles de las siguientes funciones son exponenciales y, en los casos afirmativos, cuáles son crecientes y cuá-

les son decrecientes. a) y    3,7x  b) y    x 4

c) y    2



2

x 

d) y   

 1  2

x  

1

e) y  x 4



x 2

f) y    3

x 

2 Considerando la función f (x )  5 x , responde a las siguientes cuestiones. a) Calcula f (0), f (1) y f (1). 

b) ¿Cuál es su dominio? ¿Es creciente o decreciente? ¿Puede tomar f  valores negativos? Razona tu respuesta. c) ¿En qué punto corta al eje OY ? ¿Corta al eje OX ? Razona tu respuesta. d) Represéntala gráficamente. 3 La función exponencial f (x )



k    b x  pasa

 

por los puntos (1, 2) y 3,

a) Halla el valor de la constante k  y de la base b .

1 . 8



b) Calcula f (0), f (3) y f (3). c) Represéntala gráficamente. 4 En cada caso, escribe la expresión algebraica que resulta al trasladar la función f (x )  a) b) c) d)

g (x )

dos unidade unidadess hacia abajo abajo h (x ) tres unidades unidades hacia arriba y dos a la derecha i (x ) cinco unidades hacia arriba  j (x ) cuatro unidades a la derecha y dos hacia abajo

Representa gráficamente la función y   



1 x   : 4



1 x   y, a partir de ella, el resto de funciones. 4

5 Colocamos 2000 euros al 2% de interés compuesto anual durante un año. Los intereses se pueden abonar anual-

mente, trimestralmente o mensualmente. ¿En qué tipo de inversión nos darán más intereses? Justifica tu respuesta. 6 La población actual de una ciudad es de 520000 520 000 habitantes y aumenta a razón del 2,75% cada año. año. a) Obtén la expresión algebraica que exprese el número de habitantes según los años transcurridos. b) ¿Cuál será la población dentro de 3 años? 7 La siguiente gráfica muestra le evolución de un capital invertido a interés compuesto anualmente. Calcula cuál es el

capital invertido y el rédito. ¿Cuál será el capital dentro de 10 años? C f  (󲂬)

1300 1200 1100 1070 1000

1

2

3

4 Tiempo (años)

Evaluación

41

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

13

Estadística descriptiva

CRITERIOS CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Reconocer variables estadísticas, distinguiendo entre variables discretas y variables continuas, y organizar los datos correspondientes correspondien tes a dichas variables eneuna frecuencias interpretar tabla de dicha tabla.

Representar gráficamente datos estadísticos, utilizando en cada caso el gráfico más apropiado e interpretando dichos gráficos.

Calcular parámetros estadísticos de una variable: media, mediana, moda, cuartiles, varianza y desviación típica.

Interpretar conjuntamente varios parámetros estadísticos, en particular particular,, la media con la desviación típica o los cuartiles con el rango.

B: Básico

M: Medio

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Reconocer variables estadísticas distinguiendo entre variables discretas y variables continuas y organizar los datos correspondientes a dichas variables en una tabla de frecuencias.

1

M

Organizar los datos correspondientes a variables estadísticas en una tabla de frecuencias, extrayendo conclusiones de dicha tabla como la cantidad de datos que están por encima o por debajo de un dato concreto en términos porcentuales o absolutos.

2

B

Representar gráficamente datos estadísticos, utilizando en cada caso el gráfico más apropiado e interpretar dichos gráficos.

3

M

Representar gráficamente datos estadísticos, utilizando en cada caso el gráfico más apropiado e interpretar dichos gráficos; y recíprocamente, obtener conclusiones numéricas a partir de un gráfico dado.

4

B

Calcular parámetros estadísticos de una variable: media, mediana, moda, cuartiles, varianza y desviación típica interpre-

5

tando los más sencillos: media y desviación típica. M

Calcular parámetros estadísticos de una variable: media, mediana, moda, cuartiles, varianza y desviación típica, interpretando en cada caso su significado.

6

B

Interpretar conjuntamente varios parámetros estadísticos, en particular, la media con la desviación típica.

7

M

Interpretar conjuntamente varios parámetros estadísticos, en particular, la media con la desviación típica, o los cuartiles con el rango.

8

 A 

Interpretar conjuntamente varios parámetros estadísticos, en particular, la media con la desviación típica; los cuartiles con el rango o la media con la mediana, reconociendo los parámetros que pueden estar influidos por los datos atípicos.

9

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

42

 

13

EVALUACIÓN

Estadística descriptiva

 A C T I V I D A D E S 1 En una competición de salto de longitud en la que participan 20 niños de primero de Primaria se obtienen los si-

guientes resultados (en metros): 1,02; 1,15; 1,07; 1,10; 1,18; 1,03; 1,01; 1,12; 1,04; 1,10; 1,16; 1,20; 1,11; 1,09; 1,10; 1,09; 1,12; 1,21; 1,05; 1,17. a) ¿Se trata de una variable discreta o continua? b) Realiza una tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos de longitud de 5 cm.

2 En una competición de salto de longitud en la que participan 100 niños de primero de Primaria se obtienen los re-

sultados recogidos en la tabla. Clase [1,00; 1,05) [1,05; 1,10) [1,10; 1,15) [1,15; 1,20)

Marca de clase

 

h i 

 

H i 

 

f  i 

 

F  i 

13 0,41 32

a) Completa los datos que faltan. b) ¿Cuántos niños han saltado más de 1,15 m? ¿Cuántos han saltado menos de 1,05? c) ¿Qué porcentaje de participantes ha saltado entre 1,10 y 1,20? 3 Con los datos del ejercicio anterior, realiza un histograma agrupando los datos en intervalos de 10 cm. 4 Se tiene el siguiente gráfico correspondiente al número de hermanos que tienen los

alumnos de cuarto de ESO de un centro escolar. a) Realiza una tabla de frecuencias que refleje los datos del gráfico. b) Representa esta misma información con un diagrama de barras.

1 alumno 6 alumnos

2 alumnos

3 2 0

16 alumnos

1

5 La siguiente tabla recoge los datos obtenidos al preguntar a 50 alumnos por el número de horas diarias que ven la televisión. a) Calcula la media, moda, mediana y cuartiles. Hora Ho rass de de tel telev eviisi sión ón N.º de al alum umno noss b) Calcula la desviación típica. ¿Hay mucha dispersión en los datos? 0 0,5 1 1,5 2 2,5

1 8 21 12 5 3

6 Se estudia la edad de los trabajadores con contrato indefinido en una determinada empresa, obteniéndose los si-

guientes resultados. Edad [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70)

N.º de empleados 1 2 6 18 13

a) Calcula la media, la mediana y la moda. Calcula los cuartiles. b) Calcula la desviación típica. c) ¿Cómo interpretas el valor de los cuartiles?

7 Con los datos del ejercicio 5 calcula cuántos valores están entre ( x    s ,  x    s ).). ¿Cuántos datos atípicos, fuera del intervalo ( x    2s ,  x    2s ),), tiene esta variable? 8 Con los datos del ejercicio 5 realiza un diagrama de cajas y bigotes. 9 Encuentra los datos atípicos de la distribución del ejercicio 5 (los datos que están fuera del intervalo ( x    2s ,  x    2s ).).

Compara los resultados de la media y la mediana.

Evaluación

43

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

14

Técnicas de recuento

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Calcular permutaciones de n elementos, operando correctamente factoriales y reconociendo las situaciones en las que dicho cálculo es pertinente.

M

 A 

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

Calcular permutaciones de n elementos, obteniendo correctamente el factorial de un número y resolviendo problemas en los que se pregunte de forma explícita por las ordenaciones posibles de n elementos.

1

Reconocer situaciones en las que se deben obtener permutaciones de n elementos y resolverlas correctamente.

2

M

Calcular variaciones con o sin repetición de n elementos tomados de m en m y resolviendo problemas en los que se pregunte de forma explícita por las ordenaciones posibles de los n elementos tomados de m en m con o sin repetición.

3

 A 

Reconocer situaciones en las que se deben calcular variaciones de n elementos tomados de m en m y resolverlas correctamente.

4

B

Reconocer los números combinatorios y utilizar sus propiedades para calcular números combinatorios a partir de otros.

5

M

Calcular combinaciones de n elementos tomados de m en m y resolviendo problemas en los que se pregunte de forma explícita por las ordenaciones posibles de n elementos tomados de m en m.

6

 A 

Reconocer situaciones en las que se deben obtener combinaciones de n elementos tomados de m en m y resolverlas correctamente.

7

Diferenciar las diferentes técnicas de recuento, aplicando cada una de ellas a la resolución de

M

Identificar qué técnica de recuento hay que utilizar en una situación determinada.

8

problemas.

 A 

Calcular variaciones con o sin repetición de n elementos tomados de m en m, reconociendo las situaciones en las que dicho cálculo es pertinente.

Calcular combinaciones de n elementos tomados de m en m, reconociendo las situaciones en las que dicho cálculo es pertinente.

B: Básico

M: Medio

Diferenciar las diferentes técnicas de recuento aplicándolas a la resolución problemas en los que sea necesario varias técnicasdeconjuntamente o modificar alguna deaplicar ellas. A: Avanzado

9

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

44

 

14

EVALUACIÓN

Técnicas de recuento

 A C T I V I D A D E S 1 Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, ¿cuántas números de 6 cifras se pueden escribir sin que se repita ningún dígito? 2 Luis tiene 3 libros de matemáticas, 2 de física y 3 de química, todos ellos diferentes. Quiere colocarlos en una es-

tantería, de manera todos los matemáticas estén juntos, los de física juntos y los de química juntos. ¿De cuántas manerasque diferentes loslibros puededecolocar? 3 En un centro escolar se organiza una rifa para financiar un proyecto de construcción de una escuela en Chad. En

una urna se introducen diez bolas con los diez dígitos del 0 al 9. Se hacen tres extracciones, con reposición de las bolas, la primera corresponde a las unidades, la segunda a las decenas y la tercera a las centenas. Si se venden tantas papeletas como números pueden salir elegidos en el sorteo, ¿cuántas papeletas se venderán? 4 Para abrir una cuenta de correo electrónico necesito una dirección que debe tener 6 caracteres. Para formarla se

pueden utilizar las 26 letras minúsculas del alfabeto –excepto la ñ, porque no está en los alfabetos de otros idiomas–, las cifras del 0 al 9, los guiones y los guiones bajos. a) ¿Cuántas posibles direcciones existen? b) Si actualmente hay 200 millones de usuarios registrados, ¿cuántas direcciones quedan sin utilizar? 5 Aplicando las propiedades de los números combinatorias calcula los siguientes números. a)

42 

b)

52 

c)

62 

6 El examen final de matemáticas consta de 10 preguntas, de las cuales se tienen que hacer 6. a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden elegir las preguntas? b) La profesora dice que las 3 primeras preguntas son obligatorias, ¿de cuántas maneras se pueden elegir en este caso? 7 Para formar un comité organizador del viaje de fin de curso de Bachillerato se eligen 3 alumnos de primero y 4 de

segundo. ¿De cuántas formas posibles se puede formar este comité si en primero de Bachillerato hay 30 alumnos y en segundo, 28 alumnos 8 Indica en cada caso la técnica de recuento que hay que utilizar. a) Con la palabra SALUD, ¿cuántas palabras de 5 letras (tengan o no sentido) podemos formar? b) En la junta de delegados de una clase se va a elegir al delegado y al subdelegado. Si son 25 alumnos, ¿cuántas

parejas se pueden formar? c) ¿Cuántos números de 10 cifras podemos formar con solo las cifras impares? d) Para realizar un trabajo, los 30 alumnos de una clase deben hacer grupos de 5 personas. ¿Cuántos grupos dife-

rentes se pueden hacer? 9 Con las letras A, P, R, C, E, F, M, L, I, O, U, ¿cuántas palabras, tengan o no sentido, se pueden formar con 3 conso-

nantes y 2 vocales sin que se repita ninguna letra?

Evaluación

45

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

15

Sucesos y probabilidad

CRITER CRI TERIOS IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Reconocer experimentos aleatorios, identificando el espacio muestral y los sucesos elementales, así como sucesos definidos a partir de la unión o la intersección de sucesos.

Asignar probabilidades a los sucesos elementales de experimentos sencillos, usando la regla de Laplace y las propiedades básicas de probabilidad.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

B

Diferenciar entre experimentos aleatorios y experimentos deterministas y, de los aleatorios, obtener su espacio muestral.

1

M

Identificar los distintos sucesos relacionados con un experimento aleatorio y realizar operaciones con ellos.

2

B

Asignar probabilidades experimentales a sucesos.

3

M

Aplicar la ley de Laplace para calcular la probabilidad de sucesos ligados a experimentos aleatorios equiprobables.

4

B

Distinguir sucesos dependientes e independientes, a través de la asignación de probabilidades.

5

M

Calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos conocidas la probabilidad de cada uno de ellos y la probabilidad de la intersección.

6

M

Resolver problemas en un contexto cotidiano utilizando diagramas de Venn u otros recursos para calcular la probabilidad de los sucesos incompatibles en los que se descompone el espacio muestral.

7

 A 

Resolver problemas de probabilidad presentes en el entorno, donde se organicen los datos en tablas para simplificar el problema.

8

Asignar probabilidades a la unión y a la intersección de sucesos.

Calcular probabilidades condicionadas reconociendo sucesos independientes.

B: Básico

M: Medio

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

46

 

15

EVALUACIÓN

Sucesos y probabilidad

 A C T I V I D A D E S 1 Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuáles deterministas. En los sucesos aleatorios escribe

su espacio muestral. a) Lanzar un dado. b) Sacar una bola de una urna que contiene dos bolas verdes y tres rojas, y anotar su color. c) Extraer una bola de una urna que contiene 10 bolas rojas y anotar su color. d) Elegir un número al azar y anotar el resto al dividirlo entre 4. 2 Considera los siguientes sucesos relativos al experimento: sacar una bola de la urna de la figura. A    sacar número par . B    sacar número impar . C    sacar múltiplo de 10 . D    sacar un número mayor que 2 . F    sacar un múltiplo de 3 .

2

  12

3

6 8

7

9 10 Responde razonadamente a las cuestiones planteadas. a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento? b) Indica qué sucesos son elementales y qué sucesos son compuestos. c) Obtén los sucesos: A    B , A    F , A    B ,   A,   D .

4

5

1

11

d) ¿Existe alguna pareja de sucesos que sean incompatibles? 3 El portero titular de un equipo ha parado 8 de los últimos 10 penaltis y, el portero suplente 5 de los últimos 7. a) Asigna una probabilidad al suceso A    “El portero titular parará el próximo penalti” y B    “El portero suplente

parará el próximo penalti”. b) Cada portero va a intentar parar una ronda de 6 penaltis. ¿Cuántas paradas se esperan de cada uno? 4 De una baraja española de 40 naipes extraemos una carta al azar. Halla la probabilidad de que la carta cumpla las

siguientes condiciones. a) A  “Sea un copa”. b) B  “No sea ni un dos ni una figura”. c) C  “Sea un oro y una figura”. 5 Dados dos sucesos A y B , se sabe que P (A)



0,6, P (B )



0,4 y P (A    B )



0,3. ¿Son estos sucesos dependientes

o independientes? 6 En un determinado país se realiza un estudio epidemiológico y se concluye que la probabilidad de que una persona padezca hepatitis es de 0,01, mientras que la probabilidad de padecer tuberculosis es de 0,005. Si la probabilidad de padecer ambas enfermedades a la vez es de 0,003, calcula la probabilidad de que un individuo sufra alguna de las dos enfermedades. 7 En cierto municipio se publican dos periódicos locales: El Diario  y El Noticiario . El 65% de la población lee El Diario ;

el 20%, los dos periódicos, y el 15% no lee ninguno de ellos. Representa estos datos mediante diagramas de Venn y calcula qué porcentaje de la población lee únicamente cada uno de los periódicos y qué porcentaje lee El Noticiario . 8 En una clase de 4. o de Secundaria hay 28 personas, de las que 14 son chicas, y sabemos que hay 22 personas que

llevan reloj. Sabiendo que la probabilidad de ser chico y no llevar reloj es de Chicas Llevan reloj No llevan reloj

Chicos

1 , completa la tabla. 7



Evaluación

47

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

16

Probabilidad compuesta

CRITERIOS CRITER IOS DE DE EVALU EVALUACI ACIÓN ÓN NIV NIVEL EL

Reconocer experimentos aleatorios, compuestos, y asignar probabilidades a dichos sucesos.

Elaborar correctamente diagramas de árbol sencillos.

ADAPTA ADA PTACIÓ CIÓN N DE LOS LOS CRITER CRITERIOS IOS A LOS LOS DISTI DISTINTO NTOS S NIVELE NIVELES S

 ACTIVIDAD N.o

M

Calcular probabilidades en experimentos compuestos, obteniendo previamente el espacio muestral y utilizando la regla de Laplace.

1

M

Utilizar diagramas de árbol para calcular probabilidades de sucesos elementales en experimentos compuestos.

2

Realizar diagramas de árbol para calcular la probabilidad de que ocurra un suceso compuesto correspondiente a un experimento compuesto.

3

B

Interpretar tablas de contingencia.

4

M

Ela labborar ta tabbla lass de de co cont ntin inggenc nciia pa para ca calc lcuula larr pro probbabililid idaades.

5

B

Calcular probabilidades condicionadas reconociendo sucesos

6

 A 

Elaborar e interpretar tablas de contingencia.

Calcular probabilidades condicionadas reconociendo sucesos independientes.

Calcular probabilidades en experimentos compuestos. B: Básico

M: Medio

independientes. M

Calcular probabilidades condicionadas reconociendo sucesos independientes y relacionando dicho cálculo con otras técnicas de probabilidad: unión de sucesos, suceso contrario…

7

 A 

Resolver problemas de experimentos compuestos utilizando la probabilidad total.

8

A: Avanzado

ÁBACO ÁBAC O Matemá Matemáticas ticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

48

 

16

EVALUACIÓN

Probabilidad compuesta

 A C T I V I D A D E S 1 Se considera el experimento aleatorio consistente en lanzar al aire tres monedas simultáneamente. Obtén el espacio

muestral de dicho experimento y la probabilidad del suceso A    “Obtener al menos dos caras”. 2 Lanzamos una moneda. Si sale cara, tiramos un dado y anotamos su puntación, y si sale cruz, sacamos una carta al

azar de unaunbaraja española de 40quenaipes y anotamos el palo al que pertenece. a) Realiza diagrama de árbol represente este experimento. b) Calcula la probabilidad de que finalmente se anote “Espadas”. c) Calcula la probabilidad de que se anote “5”. 3 Una persona elige al azar entre tres urnas, la A, la B  y la C . En la urna A hay tres bolas numeradas del 1 al 3; en

la B , cuatro bolas numeradas del 1 al 4, y en la C  hay dos bolas numeradas del 1 al 2. Realiza un diagrama de árbol para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos. a) Sacar un 4 . b) Sacar un 1. c) Sacar par . 4 El dueño de una pastelería ha hecho una encuesta para saber qué postre especialidad de la casa prefieren los clien-

tes: tarta de manzana, pastel de queso o bizcocho de chocolate. Los resultados obtenidos se han ordenado en la siguiente tabla de contingencia. Pastel de manzana

Tarta de queso

Bizcocho

Total

Mujeres

32

11

22

65

Total

57

23

30

110

Hombres

25

12

8

45

Responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuántas personas prefieren el pastel de manzana? b) ¿Qué porcentaje de clientes prefiere el bizcocho? c) Considera los clientes que prefieren el pastel de manzana: ¿Qué porcentaje son mujeres? d) ¿Cuántos hombres prefieren el bizcocho o el pastel de manzana? 5 Los 100 alumnos de 4.o de Secundaria de un instituto se dividen en tres grupos para realizar un taller de mosaicos,

uno de reciclaje y otro de deportes. En el taller de mosaicos hay un total de 35 alumnos. De las 52 chicas que hay o

en 4. , 18 van alpara de reciclaje, 15, al de deportes. De los chicos, 7 acuden al taller de reciclaje. Realiza una tabla de contingencia hallar la yprobabilidad de los siguientes sucesos si se extrae un alumno al azar. a) Que esté en el taller de reciclaje. b) Que sea chica y esté en el de deportes. c) Que sea chico y esté en el taller de mosaicos. 6 Una urna contiene 15 bolas, de las cuales 12 son blancas y el resto de color. Si se escogen tres bolas de forma con-

secutiva, sin volver a introducirlas en la urna, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean blancas? 7 Para preparar un examen Marta tenía que estudiarse 15 preguntas pero solo le dio tiempo a estudiar 12. Si el pro-

fesor le hace tres preguntas elegidas de entre esas quince. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Marta las acierte todas? b) Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una? A B  y C . La factoría A produce, a la hora, 600 tornillos; la factoría B , de tornillos tres factorías 8 Una 300, fábrica y la factoría C , 100.tiene Un estudio realizado, informa de que el 2% de los tornillos fabricados en A son defectuo-

sos; lo mismo ocurre con el 3% de los producidos en B  y con el 1% de los fabricados en C . Halla la probabilidad de que al coger un tornillo al azar no sea defectuoso.

Evaluación

ÁBACO Matemáticas 4.o ESO - Opción A

49

 

SOLUCIONES Unidad 1

DE

LAS

PROPUESTAS

1 del libro; Roberto: 100 páginas 2 Luis: 75 páginas

1 Ana:

9 15 5 3 15 3 7 2              12 24 18 12 36 4 9

3 Sí. Entre dos números racionales siempre existe otro número 25 racional. Por ejemplo, . 66 133 4 a)  18 45

6 a)

b)

–2 3

–1

–

 

8 exacto f) 624

28 25 9319 b)  2475

c)



7 45



0





3 2 9 de 1      4 3 20



2 9 17     5 20 20 2 2  El campo tiene 8000 m . Por tanto, 5 de 8000  3200 m2 9 son melocotoneros, y  de 8000  3600 m2 son manza20 neros. – Melocotoneros  manzaneros 

0

1

2

–8 5

–2

2 exacto c) 310

10 – Manzanos:

7 –

3

3

c)

15 mixto 18 21 e)  exacto 4 

9 Cuesta 1200 €. En el primer plazo pagará 400 €, y en el segundo, 300 €.

53 b)  64

5 a)  2

d)



8 a)

16 b)  75

EVALUACIÓN

18 puro 14 21 b)  exacto 75

7 a)



DE

–1

–

0



Unidad 2 1

6 a)

N

8; 35; 6

Z

8; 35; 6; –2; –21

Por exceso  6,3246 6,3246 13,0767 Por defecto 6,3244 13,0764

8; 35; 6; –2; –21;  5 ; 5 ; 3 2   Q –5   ;  1 ; 2, 34; 0,12 5 6 2 8; 35; 6; –2; –21; 5 ; 5 ; –5 ; 1 ; 3 2 6 2 2,34; 0,12 5; 3; √19; 2,01001...; 

b)

R

7 7  3 exacta 8 2 5 b)  pura 3

2 a)

5 12 3 d)  2

3 a)

25 25  2  mixta 12 2 3 18 6 6 d)     2 exacta 75 25 5

c)





4

Por exceso Por defecto 

 

46 9 13 e)  18

b)

Décimas 2,7 2,8

   17 17

19,4013 19,4008

Centésimas 2,72 2,71

2,7 2,72 Redondeo 5 Primera balanza: Er  0,0000039… Segunda balanza: Er  0,0000026… Es mejor la segunda balanza.

0,0005

Error máx. 0,00063 592

    17      5 17

  5

Por exceso  4,1232 2,2361 Por defecto 4,1231 2,2360

9,2198875 2 9,21988752 9,2192516

7    32  3 2        18 18

  

_ 18 0

16 9 19 f)  18

c)



Error máx.

2   10 3   10 10 2    10 10   3    10 19 19

1

2

3



Milésimas 2,718 2,719 2,718

4

18

8 Por ejemplo: 24,2  24,20178354891267...  24,21  24,211111 1111111......  24,22222  24,3 9 a)

b) c)

–4   –3

–2 –2

–1

0

2   3

4

5

6

–5   –4

–3 –3

–2 –2

–1 –1

1 7 0

2

3

4

2

3

8 1

ESFERA Matemáticas 4.o ESO - Opción A

Evaluación

50

 

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Página 51

Unidad 3 1 5,021 5,021 5,021 5,021

   

5\ 5

104  50210 103  0,005021 105  502100 105  0,00005021

2 a) 2  31

3

c) 26  33

3 a) 4,2  10 b) T  S: 1,5  108 km; T  E: 4,0764  1013 km 8

1

2

6     7  

b) 32  217

8 7

24 ;

5

b) 2 3

d) 3 4



6

4

3

8

3



3

              3

9 

8 a) 10  4   5  5

5

c) 8 2



  12 24 12     8   8424;   5   5624;    

7 a)   81000 81000  90      10;  74536  22    7 10 3 b)  4  56  72   2 ;  36  53   5 3

8

4 a) 530

1  3

c)   x 3     x 2





3 b) 2  16   

d)   28  3

Unidad 4 1

Ordena Orde nado do y red reduc ucid idoo 6x 3   x 2  3x     5 3 2 2 7x   2x   3x   x 7 3

x 5 2

x 2

Gradoo   Grad 3  

5

 

7 3

x  1

 

x 

9

 

3

3

   

1 3

17

1

6   P (1)  0. Por el teorema del resto, 1 es raíz del polinomio. Según el teorema fundamental del álgebra, el polinomio tendrá a lo máximo dos raíces reales. Con lo cual, basándonos únicamente en este teorema, no podemos garantizar que tenga otra raíz.

2 a)   P (x )   Q (x )  3x 3  2x 2  4x     4 b) 2P (x )   Q (x )  4x 2  8x     4 c)   P (x )   Q (x )  2x 6  4x 5  8x 4  4x 3  8x 2  16x 

7 El conjunto de posibles raíces es 1, 2. P (1), (1), P (2), P (1)  0 y P (2)  0 x     2 es la única raíz entera del polinomio.

3 a) 4x 2  3xy 

  2 no es una raíz de P (x ) porque 2 no es un divisor 8   x   del término independiente. Por el teorema del factor x   2 no   2. es factor de P (x ) y, por tanto, no es divisible entre x  

b) 24x 

c) 4x 4  5x 2  12x     5

4   c     6   33; R (x )  63 5   C (x )  5x   10x   18x   3

2

9 a)  P (x )  3x     (x     1)  (x     2)  (x     1) b)  Q (x )  2x     (x     1)  (x 2   x   1)

Unidad 5 7 1 a)   x      12

3 b)   x      2

8 Llamando x  al número de meses que va al gimnasio:   24  26x  ⇒  x   3. 30  24x   Por tanto, si va 1 ó 2 meses al gimnasio, le sale más barato ir al gimnasio 2. Si va 3 meses, salen los dos a igual precio, y si va más de tres meses, debe ir al gimnasio 1.

2 Llamando x  a los años que han de pasar: 42   x   3 (10   x )

Han de pasar 6 años. 3 a)   x     0, x     5

b) x     2

 32 .

9 a) Las rectas se cortan en el punto 3,



Y 

4 Llamando x  a la medida del cateto menor: x 2  (x     7)2  132 El cateto menor mide 5 y el mayor 12. 5 a)   x     2, x     4



3 7



O

1

 

X 

b)   x     5, x     3

6 Llamando x  a la medida del cateto menor: x  (x   1) 2    36 2 El cateto menor mide 3 y el mayor 4. 7 a)   x     

1



b)   x    

113 39



Evaluación

b)  x   3; y     3\2 c) Es compatible determinado. 10 Llamando x  a la cifra de las decenas e y  al de las unidades: x      y   10; x     4y  x     8 e y     2. El número es 82. 51

ESFERA Matemáticas 4.o ESO - Opción A

 

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Unidad 6 1

Horas/semana trabajadas Sueldo (euros)

40

38

35

32

37

1200

1140

1050

960

1110

7 1638,39 hm3. 8 a) 1,02  0,97  0,9894. Bajaron un 1,06%. b) 98,94% de 28  27,7 €.

2 22,5 kg más. 3 3510 €, 4680

y 7020

€

€

9 9520  8500  (1  0,02)t  ⇒  t   6 años.

respectivamente.

4 12 días. 5 600

€

y 400

6   12   100

Banco 2: C f   6000 

4   2   100

respectivamente.

€

 1

10 Banco 1: C f   6000  1 

6 86,65%.







12



6370

2



6242,4

Es mejor el primer banco.

M

N

Unidad 7 4 2 6 3 El lado superior del trapecio de la izquierda es 2 9 2 3        4,5 cm, y el lado derecho es 2     cm. 3 2 3 2 4 El lado que falta del otro trapecio es 2      1,33 cm. 3 3

1 Razón de semejanza 

   

6 20 B

p

p

p

p

p



a 

b    5   3

⇒

sen   0,987

cos   0,905

tg   0,471

cos   0,16

tg   6,15

x 

cos53,13     7,5

⇒

⇒

6 cos        0,8 7,5

  

  

2

  

c)   MN  AB   20   10   202     102   10 3  cm

  

  2

RN  RM  MN  sen 45  10   3     5  6  cm

2

  3 7 cos   1    sen2   1   2

 

2



1 4

 ⇒

cos  

53,13

 x   4,5 cm (otro cateto)

⇒

  2

  

tg M       tg    N      1

5

6 5 sen        0,8 7,5

A

  

8a   b      5,26 cm

4 sen   0,426

 

sen se n M      se  sen n    N   cosM   co coss    N   ;

Los triángulos VAA’, VBB ’ y VCC ’ son semejantes, por lo que: a  8 48     ⇒  a     3,29 cm 6 6   8,6 14,6 5

10

  3 b)  se    co   ;  sen n    C    coss    B   2 1 coss    co C      se  sen n    B       2   3   tg    B      ; tg    C          3 3

3 Aplicando el teorema de Tales: z  5 3        ⇒  x   3,6 6 x  y  y     5 x      y   8,6 ⇒ z     4,16

  

 

1     a) Cartabón: se sen n    B      ⇒  B    30,    C      60 2     M      N    45 Escuadra:   

1 2   B   C   72   CBD    B   36  A . Luego CBD   72º. 2 Como tienen los tres ángulos iguales, son semejantes. p

R

C

8   sen2    cos 2    cos 4    cos 2   (sen2    cos 2 )    cos 2  

1     cos 2 

36,87

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Evaluación

1 2



 

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Unidad 8 1   h   10   sen 55  8,19 cm

h     20 202     202  20  2 cm 20

  

h 8,19 c      a    cos  55    10   cos  55    23,32 cm tg 25 t g 25 h b        19,38 cm sen 25

Luego la superficie de cartulina es: 60   20 S     4     20   2   640  2 cm2 2





   C      180  25  55  100   2  7   A total  

2   a     4   cos  22,5  3,69 I 

  

2

4   sen 22,5  1,53 ⇒  I   3,06

⇒

 R   13 cm

4 V      π   132  9203 cm3 3

24,28  3,69    45,17 cm 2

2

3 a)   A   56,59 cm2

2

8   R 2  (R     8)  122

P     8  3,06  24,48 cm2 A  

3,1   8  3,7    3,1  10  122,76 cm 2

R

_

 

8

12

b)  A   12,57 cm2

8

4   A   π   302  15  45  2145 cm2 5 30π   2π   3   h

⇒

 h   5 cm.

9  Volumen del cono: V    

6 Para determinar la altura de los trapecios, la clave está en hacer una buena sección de la pirámide.

2

   r    h   3 π

 Volumen de la semiesfera: V     Como son iguales:    r 2   h    12 43 π   r 3 3

20



π

20 20

20



⇒





1 4 3 π    r  2 3



 h   2r     6 cm

20

Unidad 9 1 Tienen el mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos, por lo que no son equipolentes.        (1, 2) y           (1, 2)    AB  CD 

5





Y 

u

  (4, 3)  (m1   0, m2   (2) ⇒  M  (4, 1) 2   AB   7 3 5 3 (4, 3)      n 1 ,     n 2 ⇒ N ,  3 2 3 2



1  X 

1

v 



2u      v   2  (2, 1)  (3, 2)  (7, 0)

Y  B

 A

D

1 1

N

6   x      au    bv  M

(8, 1)  (a , 4a )  (2b , 3 b ) a     2b     8 a     2   3b     1 ⇒ b   4a     3

 X 

⇒



C

3 Hay que hallar los puntos de la forma ( x , 3) que verifican d ((x , y ),), (1, 7))  5. Es decir,

R

  2u     3v , y despejando v  se obtiene: Luego x   2 1 v      u      x  3 3

  1    7)2  5. (x   )2  (3      

Resolviendo se tiene que los puntos son (4, 3) y ( 2, 3). 4     u         v          (6, 1)

Evaluación

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Unidad 9 (continuación)       (B , A)  (2,2). Pasa por el 7 a) Un vector director es   u  1 punto A   4,  . 2

y    

1 

2 e)     2 2 x     4

 

x     4  2t 

7 b) Para hallar la ecuación explícita despejo y      x   . 2

f)   x    

7 c) Pendiente m   1; n    . 2

g)  x   4  2t ; y    

 12 

d) (x ,y )  4,



   t  

1 2

  

2t  1 2

  

2t 

8   m   2, y     3   2(x     2), 2x      y   1  0

(2,2).

  3y     216  0 9 a) 2x  

b)   P (3, 70)

Unidad 10 1 a) Dominio: [3, ). Recorrido: [0, ].

6 a) Periódica (período  4)

  1. Recorrido: R. b) c) Dominio: Dominio: R[3,  3]. Recorrido: [0,3]. d) Dominio: R. Recorrido: [1, 1].

b) Periódica (período  8); función impar c) Función par

2 a) Gráfica 1 – Creciente [ 4, 4] – Decreciente [, 4) U (4, ] Gráfica 2 – Creciente (, 5] U [2, 6) – Decreciente (5, 2) U [6, ) b) Gráfica 1: M (4, 4); m ( 4, 4) c) Gráfica 2: M (5, 3); M (6, 4), m (2, 4)

si 0  x  1 2 7   f (x )  1,5   x   2 si 1  x  10 si x  10 17



Y 

13 3   TV [2, b ]   f (b )   f (2)   f (b )     12 ⇒ 4 35 f (b )   4 f (b )  f (2) 12 3 TVM [2, b ]        ⇒  b   6 b   2 b   2 2 35 Pasa por el punto 6,  . 4

2 O



 

  1, por lo que no es 4 La función no está definida para x   continua.

 X  2

8 a) La variable independiente, x , es la distancia a la superficie del mar, y la variable dependiente, y , es la presión atmosférica.

b) A un kilómetro de distancia hay 0,9 atmósferas; a dos, 0,92, y a tres, 0,93. Por tanto, y   0,9x . Para x   0, la pre  1 atmósfera. sión es y  

5 Si h   0: f (1   h )   f (1)   1  (1   h )  (1  1)   h

Si h  0: f (1  h)  f (1)  1  h  2  (1  1)    h   1 (No tiende a 0, cuando h tiende a 0). La función   1. no es continua en x  

c) No, porque 0,9x   0,   x  d) Para x     10, y     0,910  0,35

Unidad 11 1 a) Es una función cuadrática. c) b)  D (f )    R; máximo: V (1, 3). Puntos de corte: (0, 1); (0,22; 0), y (2,22; 0)

Y 

 y  =  x +1  = —2 x2 +4 x  +1

2   y     x 2  4  y  =  = – x2 +4

1 O

Y 

1 1

 

X  O

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Evaluación

1

 

X 

 

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Página 55

Unidad 11 (continuación 3 a) 1 hacia abajo

b) 5 a la derecha

6 a)  f 2: Traslación vertical de 1 hacia arriba Dom f      R  0   0; y     1 Asíntotas: x   Creciente

Y 

Y 

Y  1 O

3

1

0,6   X 

O

2

 

O

X 

 X 

3

c) 4 hacia abajo y 1 hacia la izquierda Y 

f 3: Traslación horizontal derecha de 3 2

Dom f      R  3

O

Creciente

1

 

X 

Asíntotas: x     3; y     0

Y 

4 a)  Dom f  R  0 c) Y  2

b)   x     0; y     0

3 O

 X 

3

2

O

 X 

f 4: Traslación vertical una hacia abajo, y horizontal iz-

quierda de una unidad Dom f 4    R  1 Creciente

d) No corta a los ejes de coordenadas. Es creciente en su dominio. 10

  1; y     1 Asíntotas: x  

Y 

b)  Dom f  R  0

5 a)   f (x )    x 

3

c)   x     0; y     0 d) Y 

O

 X 

3

3 O

3

 X 

€

€

7 a) 240 alumnos

b) 6

c) 50

8 Las dimensiones son 25 m de alto y 50 m de de ancho. El área

e) Creciente en su dominio.

Unidad 12 1 a) Creciente c) Creciente

b) No es función exponencial. exponencial. d) Decreciente.

1 2 a)  f (0)  1, f (1)  5; f ((1) 1)   5

3 a)  k   1, b    

1 2



⇒

 f (x )  2x 

b)  f  (0)  1; f (3)  8; f (3)  Y 

1 8



Y 

b)  Dom f     R, Decreciente; No toma valores negativos. c) Corta al eje en (0, 1).

1 O

1

Evaluación

 

1

X 

O

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1

 

X 

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Página 56

Unidad 12 (continuación) 4 a)   g (x ) 

 14   14 

2

b)  h (x ) 

5

d)  j (x ) 

 







3

5 Anualmente: C final  final   2080 €

Trimestralmente: C final   2081,20 € Mensualmente: C final   2081,48 € Por tanto, nos darán más intereses si estos se abonan mensualmente.

  4 x  

x 

c)   i (x ) 

 14   14 

  2 x  

x 



Y 

h( x)= 1 4

 x

x

+5

 j ( x)=

1

2

+3

i ( x )=  )=  1 4

O

–2





1 4

 x

–4

6 a)  y   520000  1,0275x 

b) 564091

7   C     1000 €. C f   1070 €

Interés  7%

–2

1

 X  x

 g ( x )= 1 4

C 10  1967,15

–2

€

Unidad 13 b)

1 a) Continua

b)

2 a)

Clase   [1,01; 1,06) [1,06; 1,11) [1,11; 1,16) [1,16; 1,21) Clase   [1,00; 1,05) [1,05; 1,10) [1,10; 1,15) [1,15; 1,20)

x i 

 

h i 

1,035 1,085 1,135 1,185 x i 

 

H i 

0,25 0,3 0,2 0,25  

h i 

1,025 1,075 1,125 1,175

 

f i 

0,25 0,55 0,75 1  

H i 

0,13 0,41 0,32 0,14

 

5 6 4 5  

0,13 0,54 0,86 1

13 41 32 14

b) Más de 1,15; 14. Menos de 1,05; 13. 3 a) Y 

F i 

5 11 15 20

f i 

 

F i 

13 54 86 100

c) 46%

Y 

15 10

5

0

1

2

3

X 

5 a) Media, 1,21; mediana, 1; moda, 1; primer cuartil, 1; tercer cuartil, 1,5

b) 0,56. La dispersión no es muy alta. 6 a) La media es 55. Intervalo modal [50, 60) Intervalo mediano es [50, 60) Los dos primeros cuartiles están en el intervalo [50, 60), el tercer cuartil en [60, 70)

b) 9,48 b) Están desplazados a la derecha. La distribución es asimétrica. La mayoría de los valores están a la derecha de la media.

100

7 ( x    s ,  x    s ):): 32 datos. ( x   2s ,  x   2s ):): 47 Solo 2,5 es un valor atípico, 3 datos.

50 30 10 1

4 a)

x i 

0 1 2 3

 

1,10 1,20 1,30

h i 

 

0,24 0,64 0,08 0,04

H i 

0,24 0,88 0,96 1

 

8

X 

f i 

6 16 2 1

 

Me Q1

Q3

1

1,5

F i 

6 22 24 25

0

0,5

2

2,5

9 2,5 es dato atípico. Hay más datos alejados de la media mayores que ella que menores.

Unidad 14 1   P 6   6!  720 números.

5 a) 6

2   P 3    P 3    P 2    P 3   3!  3!  2!  3!  432 ordenaciones.

6 a) 210 formas

3   V 7,7, 3   210 papeletas. 10 4 Hay VR 38, 38, 10   38 cuentas.

Quedan libres 386  3  108  2 81 8100 936384 cuentas. cuentas.

b) 10

c) 15 b) 35 formas

7 83128500 8 a)  P 5

b)   V 25,2 25,2

9   C 6,3 6,3    C 5,2    P 5   24000

c)   VR 5,10 5,10

d)   C 30,5 30,5

o

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Evaluación

 

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Unidad 15 1 a) b) c) d)

5   P (A )   P (B )  0,24   P  (A    B )  0,3. Por tanto, son sucesos dependientes.

Aleatorio. E     {1, 2, 3, 4, 5, 6}.   {blanca, roja }. Aleatorio. E   }. Experimento determinista.   {0, 1, 2, 3 }. Aleatorio. E   }.

6 0,012

2 a)   E     {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} b) Elemental: C . Compuestos: A, B, D  y F  c)   A    B     ; A    F   {6, 12}; C      D   {10}       A    B    E ; A      B D     {1, 2} d) Son incompatibles A y B , B  y C, C  y F . 3 a)   P (A)  0,8 y P (B )  0,714 b) Titular: 4,8 penaltis. Suplente: 4,284 4 a)   P (A ) 

1 4

b)   P (B )  3 5



7 Sólo El Diario , el 45%, sólo El Noticiario , el 20% y el lee El  Noticiario  el 40% D

N

45%

20%

15%

8

c)   P (C )  3 10

20%

Llevan reloj No llevan reloj

Chicas

Chicos

12 2

10 4

Unidad 16 1 a)   E     {CCC , CCX , CXC ,  XCC , CXX ,  XCX ,  XXC ,  XXX } b)  P (al menos dos caras )  0,5 2 a)

1 2 3 4 5 6

Cara

1 12 13 P (sacar 1)   36 4 P (sacar par )   9 P (sacar 4 )  

4 a) 57 personas

b) 33%

c) 56,14%

d) 25  8  33 personas

5 La tabla de contingencia es la siguiente. Oros Copas Espadas Bastos

Cruz

b)

1 2

1 4

1 8

c)

      

3  A

1 2 3

B

1 2 3 4

C 

1 2

1 2

1 6

     

1 12



Alumnas

Alumnos

Total

19 18 15 52

16 7 25 48

35 25 40 100

Mosaicos Reciclaje Deportes Total

25 a)  P (taller de reciclaje )      0,25. 100 15 b)  P (chica y deportes )     0,15. 100 16 c)   P (chico y mosaicos )     0,16. 100 6   P (tres blancas )  7 a) 0,484

12 15

11 14

10 13

        

0,484.

b) 0,998

   “el tornillo es defectuoso” . 8 Sea D  

P (   D )  0,6  0,98  0,3  0,97  0,1  0,99  0,978

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PRUEBA GLOBAL I (Nivel básico) 1 Calcula las siguientes operaciones y simplifica el resultado obtenido. 7 2 5 13 4 1 2 a)           b)         3 9 6 18 7 5 3





2 Completa la tabla para efectuar la suma 3 π   4  3 aproximando hasta las milésimas.

  3

3π

π

Por exceso Por defecto

4  3

3π  4  3 Error máximo

3 Expresa como un único radical con forma de potencia las siguientes operaciones. 3

4

b)    37  3           

6

10

a)       52        57        55       4 Factoriza los siguientes polinomios. a)   P (x )  2x 2  2x     12

b)   Q (x )   x 3   x 2  4x     4

5 Resuelve las siguientes ecuaciones y sistemas. 3x     2y     8 7 3x   1 x     1 2 a)           b) 4x 2  12x   c) 4x     9  0     y    7 3 10 5 3 6 Calcula el precio de un artículo en liquidación que inicialmente costaba 182 euros, sabiendo que en la primera oferta se rebajó un 20%, y en la segunda, un 15%. ¿El descuento total fue de un 35%?









7 En la siguiente tabla aparecen algunos datos de un triángulo rectángulo. Completa los valores que faltan. A

B

90 90

15

C

a

b

c

 

12 cm 70

7 cm

8 Dibuja en un plano coordenado los vectores   u       (5, 3) y   v        (1, 2). Obtén   u            v     y 2  v     de forma tanto gráfica como analítica. 9 Una recta r pasa por el punto A   (1, 2) y tiene vector de dirección   v       (1, 3). Halla la ecuación vectorial de la recta, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua, la ecuación general, la ecuación punto-pendiente y la ecuación explícita. 10 Calcula el dominio de las siguientes funciones. Expresa el dominio en forma de intervalo:

2x  5 a)   f (x )    x 2  4 b)   g (x )   1 11 Dibuja las siguientes funciones por traslación de f (x )    x 2. a)   f (x )  (x   b)   g (x )   x 2  3 c)   h (x )   x 2  5   2)2

    

  

d)   j (x )  2  (x     1)2

12 Representa en una misma gráfica las funciones exponenciales f (x )  10x  y g (x )  0,1x . Para cada una de las funciones halla su dominio, su recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los valores a los que tiende y cuando x  tiende a . 13 Los siguientes datos muestran el resultado de un estudio sobre el tiempo que dedican a estudiar semanalmente los alumnos de 4.º de ESO de un centro escolar. Tiempo (min) N.º de estudiantes

[0, 60) 6

[60, 120) 10

[120, 180) 25

[180, 210) 18

[240, 300) 9

Calcula la media, la mediana y la moda y representa los datos mediante un histograma. 14 En una heladería venden helados de 5 sabores distintos. Si no se pueden mezclar sabores, ¿de cuántas formas dis-

tintas se pueden elegir los sabores? 15 En una escuela infantil hay matriculados 52 niños y 48 niñas. De ellos, 25 niñas y 35 niños se quedan al comedor. Si escogemos un alumno al azar, calcula la probabilidad del suceso “No se quede al comedor o sea niña”. ESFERA Matemáticas 4.o ESO - Opción A

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SOLUCIÓN I (Nivel básico) 1 a)

5 9

40 b)  21



2 3,141 3,142

12

  3 1,732 1,733

3π 9,423 9,426

π

Por defecto Por exceso

4  3 6,928 6,932

12

3π  4  3 Error máximo 16,351 0,007 16,358 20

539    53  53 3 a)          

b)     319   

  3)  (x     2) 4 a)   P (x )  2  (x  

b)   Q (x )  (x     2)  (x     2)  (x     1)

41    5 a)   x   7

b)   x    

3 (doble) 2

c)   x     2, y     1



6 123,76 €. El descuento fue de un 32%.   75; b     3,11; c     11,59 7 a)   C  

  20; a     20,47 c     19,23 b)   B  

     v     (6, 1); 2  v    (2, 4) 8     u              Y  v 

1 O   1

 X  u+v  u

–2v 

x     1   t  9  Vectorial: (x , y )  (1, 2)  t  ( x     2 1,3)3t 

neral: 3x      y   1  0 x   1 y     2 Continua:     3 1 10 a)   D (f )  (, 2] 11 a)



Punto-pendiente: y     2  3  (x     1)

b)

Y 

b)   D (g ) 

[2, )

c)

Y 

Explícita: y     3x     1

 12 ,  



d)

Y 

Y 

1 O

1

2

 y = x –2 x+3

1

 

1

X 

1

 

X 

 y  = ( x –2)2

1

 X 

O

 y  =  x2 +3 O

Paramétricas:

1 O

1

 

X   y  = x2 –5 Y 

12   f (x ):): Dom f (x )  R Rec f (x )  R Creciente. Cuando x  tiende a  y tiende a 0 y cuando tiende a  y tiende a . g (x ): ): Dom g (x )  R Rec g (x )  R Decreciente. Cuando x  tiende a  y tiende a  y cuando tiende a  y a 0. 25    )

5 O

1

 X 

13    x   162,35

Med  150

Mo  150

   n    i 20    m    (

15

   o    p10    m    e    i    T 5

0

60 120 180 240   300 N.º de estudiantes

0

14   VR 5,3   53  125 formas. Evaluación

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PRUEBA GLOBAL II (Nivel medio) (3  10  2  10 )  (4  10  3  10 )  8  10  7  10 6

1 Opera y expresa el resultado en notación científica:

5

2

9

6

3

2 Expresa en forma de fracción y calcula, simplificando el resultado obtenido.

a) 2,3   1,9  (2,7  1,5) v

b) 1,23  5,1   (0,52  2,16)

v

v

v

v

3 Razona si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a)   x     2 es divisor de x 2  4.

b)   x 3  2x 2  2x     6 es múltiplo de x     1.

4 Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones:

a)   x 3  3x 2  10x     0

b) (x 2  1)2  4(x 2  1)  3  0

c)

2(x   1) 3(2x   2) x     2 2x   2       4 3 6 3

5 Una empresa quiere premiar a tres de sus empleados repartiendo una cuantía de 6000 euros de manera directamente proporcional a la antigüedad de cada uno de ellos en la empresa. Si Alicia lleva 10 años; Antonio, 8, y Sergio, 5, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno? 6 Los lados de un triangulo miden 10, 15 y 20 centímetros, y otro triángulo semejante al dado tiene un perímetro de 54 centímetros. Halla la medida de sus lados. 12 7 Calcula las razones trigonométricas del ángulo agudo α, sabiendo que sen α   . 13 w  8 Dados los vectores   u      (2,7),   v      (3,1) y         ( 4,2), halla el valor de m y n para que se cumpla que u     m       v     n    w      .            9 Determina si los puntos A (2, 2), B (1, 3) y C (4, (4, 5) están alineados. 10 Halla el área lateral y el volumen de un cono de 10 centímetros de diámetro y 12 de altura. 11 Calcula el valor de k  para que la gráfica de la función cuadrática f (x )  kx 2  2x   2 tenga un máximo en x   1. Halla el vértice y represéntala gráficamente. 12 En el momento de su compra, el precio de un coche es de 15 000 euros. Si el valor se va devaluando a razón de un 30% anual, ¿cuál será su importe al cabo de un año? Escribe la fórmula que expresa el precio del coche en función de los años transcurridos desde su compra.

ordenadores codifican la información mediante de ceros ¿Cuántos dígitos son necesarios como 13 Los mínimo para codificar los toda 27 caracteres del alfabeto queseries aparecen en uny unos. teclado? 14 Las notas obtenidas por los 20 alumnos de un grupo de 4.º de Educación Secundaria en la asignatura de Matemáticas han sido las siguientes: 2 6

a) b) c) d)

4 7

8 8

7 1

4 2

9 3

1100 4

3 3

6 4

7 1

¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo un 6? ¿Cuál ha sido la nota media? ¿Cuántos alumnos han suspendido? Calcula la nota modal y la desviación típica. Interpreta los resultados.

e) ¿Cuál es la nota tal que el 50% de los alumnos ha obtenido una calificación superior a ella? En vista de la mediana, ¿han sido buenos los resultados? 15 En una empresa de electrónica, el 40% de los empleados son mujeres. Sabiendo que el 8% de los hombres y el 20% de las mujeres son rubios, calcula la probabilidad de que uno de ellos: a) Sea mujer. d) Sabiendo que es hombre, no sea rubio. b) Sabiendo que es mujer, no sea rubia. e) No sea rubio y sea hombre. c) No sea rubia y sea mujer. f) No sea rubio. ESFERA Matemáticas 4.o ESO - Opción A

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SOLUCIÓN II (Nivel medio) (3,2  10 )  (3,4  10 )   1,36 7,993   10 6

1

3

9

1883 2 a)   x      180

3569 b)   x      450

3 a)  Verdadera, porque: 22  4  0

b) Falsa, porque: (1)3  2 ( 1)2  2 ( 1)  6   3  0 b)   x     2; x        2

  0; x     2; x     5 4 a)   x  

5 Alicia 2608,7

Antonio, 2986,96

€

c)   x    (, Sergio, 1304,35

€

1 11

]

€

6   x     12, y     18, z     24 7 cos α   153

tan α   152 23 8   m   16, m    2 9 Los tres puntos no están alineados. 10 A lateral  π   5  13  204,1 cm2

 Volumen 

1 3

   π  

52  12  314 cm2

  1; V (1, 1) 11   k   Y   y  = – x2 +2 x –2 1 O

1

 

X 

12 Al cabo de un año, el coche costará: P 1 año   15000  (1  0,30)  10500 Después de t  años, el coche valdrá: P t t  años   15000  (1  0,30)t  € 13   VR 2, x   2x  27 14

⇒

€

 x   5 dígitos, ya que 24  16 y 25  32

N

f i 

1 2 3 4 5 6 7

2 2 3 4 0 2 3

 

F i 

2 4 7 11 11 13 16

 

h i 

0,10 0,10 0,15 0,20 0,00 0,10 0,15

 

H i 

0,10 0,20 0,35 0,55 0,55 0,65 0,80

4

  s   o   n 3   m   u    l   a   e 2    d   o   r   e   m1    N

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

8 9 10

2 1 1

18 19 20

0,10 0,05 0,05

0,90 0,95 1,00

a) 10% b)   x   4,95 c) 11 alumnos. d)   M o o   4 ⇒ es la nota obtenida por la mayoría de los alumnos; s     2,64 ⇒ la media no es muy representativa. e) Es la mediana: M e e   4. El 50% de la clase ha sacado menos de un 4. No han sido buenos resultados. 40 15 a)   P (M )      0,4 100 d)   P  R  / H   ( ) 0,92

b)   P ( R  / H )  0,92

c)   P (  R   M )  0,32

e)   P  R   H   ( ) 0,552

f)   P  R   ( ) 0,872

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PRUEBA GLOBAL III (Nivel avanzado) 12

12

3

12

8192)    8   6  4    3  2 1 Efectúa la siguiente operación con radicales: (2   2           3, y al dividirlo por x     3 da resto 6. 2 El polinomio P (x )  2x 3   x 2   mx    n es divisible por x   Halla el valor de m y n.

3 Resuelve:

a) 0,5x 3  2x 2  3,5x     5  0

b)

3   (5x     1) 1    4 (x     5)  2 6



c)

2   (x     y )   3y     49 3



x     2y 

4  32



4 Desde un barco A se observa el vuelo de un helicóptero bajo un ángulo de elevación de 30 . Desde un barco B , si-

tuado a 350 metros de A, se observa dicho helicóptero bajo un ángulo de 50. ¿A qué altura vuela el helicóptero? 5 Calcula el área y el volumen de la siguiente figura.

r  = 4 cm     m     c      7    =           h

6 Dados los puntos A(3, 0) y B (1, (1, 3), halla las coordenadas de un punto C  que pertenece a la recta r : 2 x      y   2  0 y forma con A y B  un triángulo ABC  rectángulo en A.   |2x     4| como una función dada a trozos y represéntala gráficamente. Haz un estudio completo de la 7 Define y   función: continuidad, puntos de corte, crecimiento y decrecimiento, y existencia de máximos y mínimos.

8 La altura que alcanza un objeto que se lanza hacia arriba (tiro vertical) viene dada por la fórmula: 1 2   2  gt  , donde e 0  es la altura inicial, v 0  la velocidad inicial y g  es la fuerza de atracción de la gravedad. h (t )   e 0    v 0 t   ¿Cuándo se alcanzará la altura máxima? ¿Cuál será altura? 9 La cantidad de fármaco presente en el cuerpo después de un tiempo t  de haberlo ingerido viene dado por la fórmula y      k    a t , donde k  es la dosis tomada y a  es un factor de crecimiento. La dosis inicial para dos fármacos, A y B , es de 3 mg y el factor de crecimiento es 0,7 y 1,2, respectivamente.

a) Haz una representación gráfica de la cantidad de fármaco que queda en la sangre, en función del tiempo transcurrido.

b) Uno de los dos fármacos no es real, ¿por qué? 10 Resuelve la siguiente ecuación: V x x,  3   8   C x x,  2 . 11 Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de 4.º de ESO en una prueba de Educación Física han sido 83, 92, 94, 86, 110, 105, 103, 111, 99, 94, 93, 85, 90, 91, 87, 86, 94, 92, 95, 103, 105, 88, 120, 100, 86, 92, 91, 117, 119, 83. Agrupa los datos en intervalos de amplitud 10. Calcula la puntuación media obtenida y la desviación media. Calcula los valores que están en el intervalo (   x  ,    x   ). 12 En una guardería, el 56% de los bebés son niñas. Se sabe que el 60% de las niñas no han estado enfermas durante el mes de enero, y que el 30% de los niños, tampoco. Si se elige un bebé al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no haya contraído ninguna enfermedad durante dicho mes? ESFERA Matemáticas 4.o ESO - Opción A

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SOLUCIÓN III (Nivel avanzado) 12

27 1 6    2   m   19; n   6 128 b)   x      69

  2, x     5 3 a)   x  

c)   x     9, y    

1 

5

4   h   392 m 5 Área  201,71 cm2

 Volumen  133,97 cm2

6   x     0, y     2 7   f (x ) 

 22

 x 4 x     4

si x     2 si x     2

Y 

Es continua en 0. Corte con OX : ( 2, 0) Corte con OY : (0, 4) Es creciente en [2, ). Decreciente en (, 2).

1 O

  1 X 

8 Como se trata de una parábola con las ramas hacia abajo tiene su máximo en el vértice. Luego la altura máxima se alcanza para t  v 0 /g . En este caso la altura máxima es hmax    v 0 2/2g      e 0 . 9 a)  y  =  = 4,3.(0,7) x

Y   y  =  = 2,5.(1,2) x

2

O

2

 X 

b) El B  no es real, pues la función es creciente y, por tanto, nunca se eliminaría el medicamento del cuerpo y su presencia seguiría creciendo exponencialmente.

  (x     1)  (x     2)  4   x   (x     1) 10   x  

11

Intervalos [80, 90) [90, 100) [100, 110) [110, 120)  x  

 

⇒

 x   6

f i 

8 12 5 5

97,33; α  10,23. En el intervalo hay 19 valores.

12   P (el bebé no se haya puesto enfermo )  0,468

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niñas

0,4 enfermos no enfermos 0,6

0,44 niños

0,7 enfermos no enfermos 0,3

0,56

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PROYECTO EDITORIAL Equipo de Educación Secundaria de Ediciones SM AUTORES Ana María Álvarez Juan Jesús Donaire  Vanesa Fernández Mariano García Miguel Ángel Ingelmo Pedro Lomas Marta Marcos Carolina Puente  Yolanda A. Zárate EDICIÓN Inmaculada Luque ILUSTRACIÓN Félix Anaya Juan Francisco Cobos Jurado y Rivas José Manuel Pedrosa DISEÑO DE CUBIERTA E INTERIORES Pablo Canelas Alfonso Ruano MAQUETACIÓN Grafilia S. L. COORDINACIÓN EDITORIAL Inmaculada Luque DIRECCIÓN EDITORIAL Aída Moya

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