Evaluación de Proyectos de Inversión

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD CENTRAL DE CHILE 2007

Miguel Angel Mellado Espinoza Ingeniero Civil – Magister Profesor de Evaluación de Proyectos de la Universidad Central de Chile

PRESENTACIÓN

Análisis Económico de proyectos de Inversión, del académico de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Miguel Ángel Mellado Espinoza, es un texto orientado a alumnos de las carreras de Ingeniería, quienes encontrarán en sus paginas un apoyo docente a los conceptos involucrados en el proceso de decisión económico de proyectos de inversión, de forma que pueda ser usado en las asignaturas de Evaluación de Proyectos.

El texto, aborda la evaluación de proyectos de inversión, siguiendo el proceso natural de los conceptos que se encuentran asociados a la toma de decisiones, abarcando elementos tales como las Matemáticas Financieras para el financiamiento de iniciativas de inversión, el proceso de formulación de las alternativas, los indicadores de rentabilidad y su optimización. Finalmente se incluye el análisis de riesgo e incertidumbre, incorporando la simulación como herramienta para la toma de decisiones complejas

El profesor Miguel Ángel Mellado Espinoza, es Ingeniero Civil de la Pontificia Universidad Católica de Chile y Magíster en Preparación y Evaluación Socioeconómica de Proyectos de la misma Universidad. El Ingeniero Mellado cuenta con una destacada trayectoria profesional en consultoría de evaluación de proyectos civiles, participando como asesor de empresas consultoras de ingeniería a nivel nacional e internacional. Además ha desarrollado actividades docentes en la Universidad de Santiago de Chile, Pontificia Universidad Católica de Chile, Universidad Diego Portales y en la Universidad Central de Chile, en esta última es Director de la Escuela de Ingeniería en Construcción.

A mi querida familia: Cecilia, Sandra y Natalia

INDICE CONTENIDOS

Pagina

Capítulo 1 1.1 1.2 1.3

PROCESO DE EVALUACION DE PROYECTOS El Cotidiano de las Decisiones Proceso de Decisiones Ciclos y Etapas de un Proyecto de Inversión

15 16 18 24

Capítulo 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

MATEMATICAS FINANCIERAS Costo del Dinero: Tasa de Interés. Formulas e Identidades Financieras. Ahorro y Créditos Renegociación de Créditos y Fondos de Amortización. Ejercicios Propuestos.

31 31 45 53 85 91

Capítulo 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

PREPARACION Y EVALUACION DE PROYECTOS Metodología General. Costos e Ingresos en Proyectos de Inversión. Inversiones. Flujos Netos de Caja. Proyecciones de Variables. Punto de Equilibrio. Ejercicios Propuestos.

97 97 104 108 117 123 125 130

Capítulo 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

INDICADORES DE RENTABILIDAD Horizonte de Evaluación Indicadores Determinísticos sin Restricción. Análisis Comparativo de Indicadores(TIR - VAN). Indicadores de Proyectos Repetitivos. Ranking de Proyectos. Tamaño Optimo. Momento Optimo. Ejercicios Propuestos.

137 138 139 152 154 164 173 180 191

Capítulo 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

ANALISIS DE RIESGO E INCERTIDUMBRE Estimadores de Riesgo. Simulación de Variables Análisis de Incertidumbre. Análisis de Sensibilidad Indicadores de Riesgo Conjunto. Ejercicios Propuestos.

197 199 212 217 226 228 231

Agradecimientos El haber concluido el libro ha sido una tarea en la cual han contribuido muchas personas, entre las cuales se encuentran presente todos mis alumnos, quienes activamente ha aportado a mi perfeccionamiento, mejorando con ello mis métodos de enseñanza de la ingeniería económica. Especial mención merecen aquellos que con sus notas y apuntes nos facilitaron el trabajo de preparación de la primera versión y la ampliación de este nuevo libro. Quiero agradecer especialmente a la Universidad Central de Chile, por posibilitar la edición de este libro. Finalmente quiero agradecer a mi esposa Cecilia y a mis hijas, Sandra y Natalia, por su paciente espera, comprensión y apoyo a pesar de tantos momentos que no compartimos durante la preparación de este libro.

PREFACIO

Contenido y Enfoque

Este Libro está orientado a alumnos de las carreras de Ingeniería, quienes encontraran en sus paginas un apoyo docente a los conceptos involucrados en el proceso de decisión de propuestas de inversión, de forma que pueda ser usado en asignaturas de Ingeniería Económica y de Evaluación de Proyectos.

Los temas han sido expuestos sobre la base de la experiencia académica del autor, de forma que la metodología facilite el aprendizaje por parte de los alumnos, contribuyendo de esta forma a propiciar en ellos un salto cualitativo en la capacidad de abstracción, planteamiento y análisis de alternativas, tan propio del pensamiento del ingeniero.

Con relación a los contenidos temáticos, ellos han sido agrupados acorde a lo que normalmente adopta la mayoría de los profesores, lo que se refleja en los contenidos de los diferentes programas de asignaturas e índice de otros libros sobre el tema. La organización se ha efectuado desde lo genérico del proceso de toma de decisiones, pasando por todo el ciclo de preparación de proyectos, incluyendo previamente los conceptos y operatoria de matemáticas financieras. Posteriormente se introduce a los indicadores de rentabilidad, incrementando la profundización de conceptos hasta concluir en la optimización de proyectos. Finalmente, se incorpora el análisis de riesgo e incertidumbre.

En nuevo libro, se han recogido e incorporado las sugerencias de los alumnos que han utilizado el primer libro como texto guía, de forma tal que se ha reforzado el análisis de riesgo en proyectos e incluidos el análisis de incertidumbre.

Evaluación de Proyectos de Inversión

1.

PROCESO DE EVALUACIÓN DE PROYECTOS La evaluación de proyectos de inversión, es un proceso racional de toma de decisiones acerca de las bondades que presentan las diferentes alternativas que tienen las iniciativas de inversión, en el cual las componentes o aspectos económicos son sustantivos. Este proceso de análisis, involucra la formulación del proyecto y de sus alternativas de inversión, la preparación de los antecedentes para la toma de decisiones, el procesamiento de dicha información, la aplicación de criterios de decisión y por último la adopción o recomendación de una decisión propiamente tal. La finalidad de este documento, es proporcionar un instrumento que le permita abordar con éxito el desafío que involucra el proceso de evaluación de proyectos de inversión. Es en este sentido, que resulta conveniente iniciar el presente capitulo con una discusión acerca del proceso general de decisiones, partiendo desde aquellas que los individuos toman a diario en forma rutinaria, casi sin percatarse de ello, extrapolando posteriormente a las decisiones de carácter económico. 15

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Posteriormente, se incorpora a la discusión los enfoque metodológicos de evaluación de iniciativas de inversión en términos globales, abarcando las metodologías de evaluación económica, social y ambiental de proyectos, para especificar con mayor profundidad la metodología de evaluación económica de proyectos o iniciativas de inversión. Finalmente, el capitulo aborda la problemática de la preparación o formulación de proyectos de inversión, de forma que ellos sean analizados económicamente. Lo anterior involucra desde caracterizar los costos y los ingresos pertinentes a la determinación de costos e ingresos que se esperan de la iniciativa en el futuro.

1.1

El Cotidiano de las Decisiones

Las personas, con independencia de la edad, de la condición social, del sexo, etc., están a lo largo de sus vidas constantemente inmersos en procesos de toma de cotidiana de decisiones; Estas van desde las más simples (p.e.: alimentarse, vestirse, movilizarse, etc.) a aquellas más complejas (p.e.: distribución del presupuesto nacional, prospecciones mineras, etc.), involucrando en sus decisiones a su propia persona y en muchos casos a varias personas. En cada circunstancia, el tomador de decisiones (cada persona) debe optar por uno de dos o más cursos de acción que se le presentan, En cada una de estas decisiones, de una u otra forma siempre se encuentra involucrado el antiguo dilema del: Qué, Cómo, Con qué y Cuándo. Dilema básico, que por cierto dio origen a la teoría económica. Sin embargo, muchas de las situaciones corresponden a decisiones simples, el tomador de decisiones las adopta en forma rutinaria, sin pensar que está efectivamente tomando una decisión y mucho menos que se enfrenta al dilema base de la teoría económica, en el cual está en juego:

Qué hacer:

Cada mañana levantarse o quedarse en cama Alimentarse o pasar hambre Ir a la universidad a clases o no Expandir el tamaño de la industria o mantener la actual capacidad

Como hacerlo:

Solicitar ser despertado, levantarse sólo, etc. Pedir alimento, prepararlo, etc. Que le pasen a buscar, ir sólo, etc. Cambiar la tecnología, una nueva sucursal, etc.

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Con qué hacerlo: Colocar el despertador o esperar despertar sólo. Huevos, jamón, sopa, etc. En locomoción propia o en locomoción colectiva Que tipo de equipos serán usados Cuándo hacerlo:

Levantarse a la 6:00 A.M. o a las 12:00 A.M., etc. Todos los días, cada cuatro horas, etc. En la mañana o después de almuerzo Efectúa la ampliación hoy, el próximo año, en dos años más, etc.

En muchas ocasiones, las decisiones rutinarias o simples no son percibidas como “decisiones” propiamente tal, ya que la existencia de factores exógenos a la toma de decisión, sean estos valores, obligaciones u otras circunstancias, hace que varios de los cursos de acción posibles se anulen, prevaleciendo aquel curso de acción que es coherente con los valores u obligaciones que surgen como condiciones de borde. En esta circunstancia se encuentran los casos de las decisiones de alimentarse, de levantarse cada día en la mañana y de ir a trabajar, entre otras muchas. El denominador común en todas ellas, es la presencia de valores de la vida y factores sociales que condicionan los cursos de acción de las personas, limitando la gama de posibles decisiones al respecto. En grado de complejidad creciente, los problemas a los cuales se ve enfrentado un profesional, van desde el trabajo al cual va a optar, lugar en el cual vivirá, cambio de automóvil, reemplazo de equipos en la industria u oficina, automatización de procesos, expansión de empresas, hasta la distribución del presupuesto nacional. En cada una de las circunstancias, la decisión se ve afectada por una mezcla de elementos de carácter económicos, sociales, políticos, técnicos y ambientales. La participación o grado de influencia en la decisión de los elementos señalados, no necesariamente es la misma en cada circunstancia, ya que su peso relativo en la decisión se ve influenciado por la perspectiva o enfoque de la problemática, del sistema económico imperante en el país, de las políticas de la empresa o institución, de la naturaleza de la persona jurídica que va a invertir, etc. Una de las perspectivas para el tratamiento de problemas de toma de decisión, es el denominado enfoque económico o de Ingeniería Económica. Este enfoque, tiene en sus fundamentos en el modelo economía de mercado y que las decisiones son adoptadas individualmente por los agentes económicos en función de los costos e ingresos que por él son percibidos (perspectiva privada), es decir, desde el punto de vista de quien adoptara el curso de acción y que se verá afectado directamente por las consecuencias que dicha acción involucra.

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No obstante, no todos los problemas de toma de decisión pueden ser abordados a través del enfoque de Ingeniería Económica, ya que la aplicación de esta perspectiva de tratamiento tiene asociado el cumplimiento de ciertas hipótesis, los que requiere de que se den cuatro condiciones básicas: • Los aspectos económicos asociados a los cursos de acción tiene la suficiente importancia, como para constituir una componente significativa en la toma de la decisión. • Los aspectos económicos son de tal magnitud, que los elementos sociales y ambientales pierden importancia frente a ellos. En algunas circunstancias ello requiere que el Estado no tenga participación alguna en la decisión. • Los elementos asociados a los cursos de acción, tienen la suficiente complejidad e importancia económica, como para que sea requerido un proceso de análisis que justifique el empleo de técnicas y recursos en la preparación y tratamiento de información. • La complejidad e importancia de los aspectos asociados a los cursos de acción, es tal que se requiere de una sistematización de sus implicancias y de un análisis metódico para comparar las consecuencias de ellos.

1.2

Proceso de Decisiones

El lector habrá podido formarse su propia visión acerca de la toma de decisiones. Para ratificar su posición al respecto, será analizada una de las versiones que fue planteada por uno de los alumnos, al iniciar su curso de Ingeniería Económica, él en dicha oportunidad planteó que:

“Un proceso de toma de decisiones, consiste en optar por uno de los potenciales cursos de acción que sean posibles de tomar”. La forma más apropiada, para analizar esta versión de proceso de toma de decisiones, es a la luz de un contra ejemplo, de forma de poder establecer las bondades y/o déficit que tal versión puede representar. Para estos efectos será usando el comportamiento o actuación que desarrolla una persona frente al juego de ruleta de un casino de la localidad:

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Un apostador se encontraba en dudas acerca de que numero seleccionar en el próximo juego de ruleta, de forma de apostar las últimas 10 fichas que le restaban, así que durante el período de tiempo que resta entre juego y juego meditaba sobre la situación. Después de un breve instante de tiempo, cerro los ojos y tiro una ficha sobre la mesa, cuando abrió los ojos pudo observar que su ficha se encontraba sobre el número 12. A continuación se apresuró a colocar en el mismo número las otras nueve fichas. Sin lugar a dudas, la persona en cuestión acaba de tomar una decisión, en la cual él procedió a establecer una selección del número al cual jugaría sus fichas, seleccionando entre todas las posibilidades de que disponía un curso de acción. Sin embargo, la selección de alternativas carece de algunos aspectos claves, los cuales dicen relación fundamentalmente con el uso de información, la racionalidad y lo sistemático del proceso de selección empleado, es claro que al seleccionar una alternativa al azar como lo hizo el apostador, esta selección no fue racional ni sistemática, queda de manifiesto que no ha sido usada toda la información disponible. Bajo el enfoque de Ingeniería Económica, la definición planteada por el estudiante acerca del proceso de decisiones, si bien tiene en consideración la selección entre alternativas, carece de cuatro elementos, los que corresponden a: •Búsqueda, elaboración y empleo de información •Sistematización del proceso de selección •Análisis de las alternativas •Criterio de análisis

Consecuentemente, a la selección entre cursos de acción alternativos, ahora deben ser agregados los elementos señalados, de forma de disponer de una visión más amplia, la que permite establecer que un proceso de toma de decisiones consiste en:

Un proceso racional, informado y sistemático de búsqueda y selección de alternativas, para el mejor cumplimiento de un cierto objetivo o meta, que analiza las consecuencias de cada curso de acción alternativo bajo un cierto criterio de selección previamente explicitado.

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Luego la toma de decisiones en Ingeniería Económica, es un proceso que está compuesto de varias etapas, entre las que se cuentan: la recopilación de información, el procesamiento de antecedentes, planteamiento de cursos de acción o alternativas, explicitar criterios de selección y análisis de alternativas. Sin que constituya pérdida de generalidad, las etapas usualmente empleadas en el proceso de toma de decisiones corresponden a: • Definición de Metas y Objetivos: explicitar los objetivos y metas de la empresa o institución, así como también los correspondientes a la iniciativa de inversión en particular, ejemplos de estos objetivos son: - Vida agradable y tranquila - Obtener la máxima ganancia - Equidad Social - Entregar el máximo de servicios - etc. • Diagnóstico : toma de conciencia y explicitación de él o de los problemas que impiden el cumplimiento de los objetivos y/o alcanzar las metas. Normalmente el diagnóstico es una fase que incluye el levantamiento de información o antecedentes, sin embargo, no debe ser confundido con él, ya que el diagnóstico usa la información recopilada para concluir sobre la relación causa - efecto de la problemática sobre la cual se busca alguna solución. La información acumulada y debidamente procesada, permite obtener una fotografía de lo que se está dando en la realidad, la cual es contrastada con lo que debiera darse, de forma de poder inferir cuales son los elementos que no permiten alcanzar adecuadamente los objetivos de la institución o empresa. • Recopilación de Antecedentes: conjunto de estudios que permitirán generar una visión global de la problemática, así como el marco institucional en el cual se desarrollará la iniciativa de inversión y por tanto el futuro planteamiento de alternativas de solución. Los estudios asociados a la recopilación de información comprenden: - Levantamientos de terrenos: encuestas, entrevistas, etc. - Estudios Técnicos: mediciones de tiempo, análisis de procesos, relaciones hombre máquina, hidrología, etc. - Antecedentes Tecnológicos: tipos de equipos, vida útil residual, costos de operación y mantenimiento, etc. - Antecedentes Legales: tipo de sociedad, expropiaciones, etc. 20

estudio de títulos,

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- Antecedentes Tributarios: régimen tributario, garantías, etc. - Antecedentes Geofísicos - Antecedentes Organizacionales - Estudios de Mercado - etc. • Planteamiento de alternativas: fase en la cual se aplica ampliamente la creatividad de los especialistas, de forma de plasmar la mayor gama de alternativas de solución o cursos de acción, por más extravagantes que ellas parezcan en un principio. Para efectos de generar las potenciales alternativas de solución, se debe tener en consideración: - El hacer nada o dejar las cosas como están, siempre constituye un cursos de acción válido que debe ser considerado. - Formular las alternativas aplicando técnicas de planificación estratégica, tales como tormentas de ideas, panel Delfo, etc. Efectuar reuniones del equipo de trabajo en las cuales no sea cohibida la creatividad de los profesionales con menos experiencia, la mejor solución normalmente surge al visualizar aspectos en forma integral. - Mantener siempre la posibilidad de incorporar nuevas alternativas, las cuales pueden surgir al ir avanzando en los estudios de desarrollo de las alternativas planteadas a priori. • Factibilidad tecnológica: establecer el grado de implementación real de cada alternativa, considerando las restricciones tecnológicas vigentes. Se debe, además, plantear los requerimientos de recursos físicos, monetarios, equipamiento y personal que la alternativa requiera acorde a los procesos y métodos asociados a ella: De igual forma deben ser considerar los productos y subproductos que los procesos productivos asociados a la alternativa en análisis. • Criterios de selección: acorde con los objetivos y metas de la organización, se debe establecer a priori cual será el criterio bajo el cual las alternativas deberán ser comparadas, definiendo cuales serán los indicadores a emplear para determinar cual será a mejor alternativa de solución, incorporando tanto los aspectos cualitativos como aquellos cuantitativos.

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De ésta forma, se decide por aquella alternativa que presente la mayor rentabilidad, si el objetivo de la organización es obtener la máxima ganancia. También puede ser empleado como criterio seleccionar aquella alternativa más eficiente (la que alcance una misma meta al mínimo costo), si el objetivo es otorgar el máximo servicio. • Modelo de Análisis: una vez establecidos los objetivos y criterios de selección, se debe proceder a construir un modelo de análisis que permita sistematizar y relacionar la información, de forma de generar con la información de ingresos o beneficios y costos de cada alternativa, los indicadores consistentes con los criterios establecidos. En base a los indicadores determinados se procederá a proyectar los resultados de las alternativas, de forma que sea posible seleccionar el mejor cursos de acción y posteriormente se analizará el espectro de validez de los resultados, mediante un análisis de sensibilidad. • Análisis de Sensibilidad: estudio efectuado para determinar el impacto que se produce en los indicadores al variar los principales parámetros del problema, entre los cuales se cuentan por ejemplo, el costos del capital, los niveles de precios, niveles de demanda, escalamientos de costos, etc.. El análisis de sensibilidad, deberá establecer adicionalmente los puntos de quiebre de las variables, es decir, aquella mayor variación a la cual puede ser sometida la variable, sin que se vea afectada la decisión. El procedimiento de análisis de sensibilidad, es efectuado bajo la concepción de variación unidireccional de las variables, es decir, se efectúan variaciones de una variable a la vez, manteniendo el resto en las condiciones originales.

La figura Nº 1.1, ilustra el proceso de toma de decisiones como un todo, mostrando las vinculaciones que normalmente de produce entre las diferentes etapas que componen el proceso de toma de decisiones. La figura también permite apreciar las características dinámicas y de retroalimentación que él tiene.

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Figura Nº 1.1 Diagrama del proceso de Decisiones

Diagnóstico

Formular Alternativas

Objetivos

Factibilidad Tecnológica

Información

Modelo de Análisis

Criterios Resultados

Selección Decisión

Sensibilidad

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1.3

Ciclos y Etapas de un Proyecto de Inversión

Suelen existir diferentes acepciones para el vocablo proyecto, estas diferentes interpretaciones provienen de las visiones del quehacer propias de cada profesión. El lector puede investigar y comparar el sentido que dan a proyecto los diferentes profesionales, como por ejemplo: los Ingenieros en Obras Civiles (proyecto de diseño estructural, proyecto de construcción), los Arquitectos (proyecto arquitectónico), los Pedagogos, los Sicólogos, etc.. Sin lugar a dudas, existen naturales diferencias entre cada uno de los campos profesionales, pero todos ellos mantienen en común cuatro elementos en su acepción de proyectos: son acciones o actividades, que ocurren en el futuro, su ejecución implica el consumo de recursos y están destinadas a generar algún servicio o bien. Lo anterior, permite plantear una definición general; entendiendo por proyecto a cualquier acción o conjunto de acciones a implementar en el futuro, que impliquen el consumo de recursos para la producción de bienes y/o servicios. Dentro de la anterior definición, se encuentran contenidos los estudios de arquitectura, estudios de ingeniería, implementación de obras, desarrollo de investigaciones, desarrollos educacionales, mejoras organizacionales, generación y aplicaciones de nuevas tecnologías, etc.. No obstante, la gran diferencia que existe entre toda la amplia gama de proyectos, ellos tienen en común cuatro fases temporales bien definidas; las que dan origen al ciclo de vida de los proyectos, el cual se ilustra en la Figura Nº 1.2.

Figura Nº 1.2 Ciclo de Vida de Proyectos

Preinversión

Inversión

Operación

Abandono

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En el ciclo de vida anteriormente descrito, las fases corresponden a : • Preinversión : comprende el conjunto de estudios destinados a determinar la conveniencia de llevar a cabo la implementación o realización del proyecto, incluyendo el análisis de alternativas y optimización de cada una de ellas. • Inversión : es aquella fase en la cual se desarrollan las actividades necesarias para la implementación del proyecto, comprendiendo la adquisición de equipos, habilitación de inmuebles, selección y capacitación del personal, generar estructuras organizativa y administrativa y puesta en marcha, entre otras. • Operación : se desarrollan las actividades tendientes a la producción rutinaria de los bienes y/o servicios para los cuales fue diseñado el proyecto. • Abandono : involucra un conjunto de estudios destinados a establecer la conveniencia de continuar la operación del proyecto o en su defecto proceder al abandono definitivo de él (cierre del negocio).

Tal como el lector ha podido comprender de la definición de cada una de las fases del ciclo de vida de un proyecto, las fases de Preinversión y de Abandono se deben enfrentar mediante un proceso de toma de decisiones, ya que en ambos casos se busca establecer cual es el mejor curso de acción (implementar o no el proyecto en la fase de Preinversión; continuar operando o abandonar el proyecto en la fase del abandono). No obstante la naturaleza de las decisiones a tomar en cada fase del ciclo de vida del proyecto son diferentes; En la etapa de Preinversión es de interés llegará a conocer la bondad o beneficios esperados del proyecto que justificarán los costos, por tanto es un análisis que es realizado antes de efectuar el proyecto, dicho análisis se denomina Evaluación Ex−Antes. En las fases de Inversión y de Operación, se lleva a cabo un proceso de seguimiento del proyecto, el cual tiene como objetivo detectar posibles variaciones en los principales parámetros del proyecto, lo cual podría llegar a afectar la rentabilidad del proyecto, también se recopilan y registran los antecedentes para obtener información sobre el comportamiento del proyecto durante su operación. Finalmente, en la etapa de Abandono, se efectúa una Evaluación Ex−Post, la cual tiene como objetivo establecer cuan rentable fue el proyecto, no sólo para establecer si fue o no rentable, si no que para detectar cambios en las variables que no fueron adecuadamente previstos en la Evaluación Ex−Antes, todo lo cual es tendiente a mejorar la evaluación de nuevos proyectos

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Figura Nº 1.3 Ciclo de Vida de Proyectos y Evaluación

Mejoras en Metodologías

Información

Preinversión

Inversión

Operación

Abandono

Información

Evaluación Ex−Antes

Seguimiento

Evaluación Ex−Antes

El proceso de toma de decisiones o metodología de análisis económico, puede ser abordado con diferentes niveles de profundidad en los estudios y con mayor o menor nivel de detalles, definiéndose cinco niveles de estudios o etapas de análisis de los proyectos, las cuales corresponden a : • Perfil: Estudio preliminar de rentabilidad del proyecto, elaborado con antecedentes de carácter muy general, con poco o ningún desarrollo de ingeniería, destinado a establecer la bondad de la idea de efectuar el proyecto. • Prefactibilidad : Nivel en el cual se inicia el desarrollo propiamente tal del estudio del proyecto, su objetivo central es establecer la rentabilidad del proyecto mediante un conocimiento más profundo de las circunstancias que han dado origen al proyecto. En este nivel, se procede a efectuar un acabado diagnóstico, planteamiento de alternativas, desarrollo de la ingeniería básica (localización, procesos, topografía, diseño macro de sistemas, estudios de mercado). • Factibilidad : Una vez que se han determinado a nivel de prefactibilidad las ventajas que presenta el proyecto para alcanzar los objetivos, se procede a perfeccionar los aspectos económicos del proyecto, aumentando el nivel de profundidad de los estudios de mercado, efectuando cotizaciones y desarrollando con mayor nivel de detalle la ingeniería básica de las alternativas de solución 26

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• Anteproyecto : En este nivel, se procede a perfeccionar la mejor alternativa seleccionada en estudio a nivel de factibilidad del proyecto, desarrollando la ingeniería de detalle, diseñando las estructuras organizacionales y efectuando cotizaciones a nivel de proforma de los equipos e insumos de los procesos productivos. • Proyecto Definitivo : En este nivel se perfeccionan los detalles que se encuentren pendientes de los estudios desarrollados en los niveles anteriores, y por sobre todo esta enfocado a desarrollar todos los procedimientos para la implementación del proyecto (planos de construcción, programas de producción, programas de adquisiciones, definición de cargos, etc.). El paso de un nivel de estudio al siguiente es efectuado mediante el análisis de los indicadores de logro de los objetivos, resultando en cada nivel de estudio una de tres potenciales cursos de acción: • Aceptar : pasar a siguiente nivel de profundidad de los estudios, en el caso de nivel de proyecto el paso es a una cartera de proyectos que esperan financiamiento. • Rechazo definitivo : el proyecto no es atractivo para el cumplimiento de los objetivos de la organización, ya sea por su baja rentabilidad u otro indicador concordante con los criterios pre establecidos. • Rechazo momentáneo : el proyecto es rechazado bajo las actuales circunstancia, quedando en espera de mejores condiciones y/o resulta necesario introducirle modificaciones (reformulación).

La Figura Nº 1.4, ilustra la relación que se da entre decisiones adoptadas en cada nivel y los niveles de profundidad de los estudios propiamente tales.

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Figura Nº 1.4 Niveles de Estudio y Decisiones de Proyectos

Perfíl

Reformular

Aceptar

Prefactibilidad

Reformular

Rechazo

Aceptar

Anteproyecto

Reformular

Rechazo

Aceptar

Factibilidad

Reformular

Rechazo

Rechazo

Aceptar

Proyecto Definitivo

Aceptar

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Rechazo

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Una de las interrogantes que surge a estas alturas, es porqué emplear un proceso en cinco etapas para decidir acerca de invertir o no en una iniciativa de inversión, en lugar de decidir directamente sobre una alternativa a nivel de proyecto definitivo, nivel en el cual se cuenta con información completa y fidedigna acerca del proyecto. La interrogante resulta válida, sobre todo si se considera que se está en un proceso que busca la optimización en la asignación de recursos escasos, siendo precisamente en esa perspectiva que el proceso en etapas o niveles de análisis cobra su verdadera vigencia, ya que la mayor parte de los proyectos resultan rechazados en los primeros niveles de profundidad de los estudios, con el consiguiente ahorro de recursos, dado que el desarrollo del estudio de un proyecto en su más alto nivel (proyecto definitivo) involucra una sustancial suma de recursos monetarios, humanos y de tiempo, que no todos los proyectos son capaces de soportar.

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2.

MATEMATICAS FINANCIERAS 2.1

Costo del Dinero: Tasas de Interés

La tasa de interés es un concepto ampliamente empleado por la gran mayoría de las personas, dado que ella se encuentra asociada a un sin número de actividades y decisiones casi del diario vivir, tales como: las compras a créditos en las tiendas comerciales, transacciones bancarias, pago de dividendos hipotecarios, etc.. Pero, el concepto de interés o de tasa de interés no siempre es comprendido en su cabalidad, por tal razón resulta conveniente entregar una definición acerca de este ente

La tasa de interés o interés, corresponde al pago por el hecho de hacer uso del dinero de otro agente económico (persona natural, banco, casa comercial u otra institución) por unidad de tiempo.

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La anterior definición implica que a cada tasa de interés le está intrínsecamente asociado cuatro elementos:

Tasa de Interés:

Monto de la tasa expresada en % Moneda base a la cual se aplica la tasa ($, UF, etc.) Periodo de definición o periodo al termino del cual los intereses se hacen efectivos. Periodo de capitalización o periodo al termino del cual los intereses pasan a formar parte del capital o principal.

En el mundo del mercado del dinero existen las instituciones de intermediación financiera (Bancos y Financieras), que corresponden a organismos cuyo objetivo es facilitar las transacciones entre agentes económicos que requieren de dinero y aquellos que disponen de algún excedente de dinero. Como existe una gran cantidad de este tipo de agentes, el hecho de identificarse en primer lugar y de ponerse de acuerdo significaría un tremendo esfuerzo que ninguna economía estaría en condiciones de soportar. Las instituciones de intermediación financieras, diferencian entre la tasa de interés que ofrecen a los agentes que disponen de excedentes de dinero (depositantes o ahorrantes) de aquella tasa que cobran a los agentes que solicitan o requieren de dinero. En el primero de estos casos, es decir cuando un agente deposita o ahorra dinero en una institución financiera, se dice que la tasa de interés es de captación ya que la institución estará captando dinero o tomando dinero en préstamo de terceros. En el segundo caso, es decir cuando los agentes solicitan dinero a la institución financiera, se dice que la tasa de interés es de colocación, ya que la institución coloca o presta dineros. Tal como es de esperar, la tasa de interés de colocación siempre es superior a la tasa de interés de captación, la diferencia entre ambas tasas corresponde al pago por la gestión de la institución financiera. En la figura Nº 2.1, se muestra un mercado de capitales en el cual existen agentes económicos que solicitan dinero de las instituciones financiera, denominados genéricamente inversionista y agentes que depositan sus excedentes de dineros llamados ahorrantes

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Los ahorrantes depositaran en las instituciones financieras toda vez que la tasa ofrecida por ellos sea superior (en el límite igual) al costo de ahorrar, es decir al costo de sacrificio de consumo presente por mayor consumo futuro o tasa de preferencia intertemporal. Los inversionistas aceptaran la tasa cobrada por la institución financiera toda vez que ella sea inferior (en el límite igual) a la rentabilidad que obtendrán del dinero tomado en préstamo.

Figura Nº 2.1 Mercado de Capitales

Tasa de interés

Colocación

Captación Ahorrantes

rcol

rcap

Inversionistas

Dinero

En el caso que una persona o agente económico tome en préstamo una cierta cantidad de dinero P (llamada principal), al termino de un período de tiempo ella deberá retornar a la institución financiera una suma (S) que cubra el monto del principal y de los intereses que se han acumulado en dicho período. Similar situación ocurre cuando el agente deposita dinero en una institución financiera.

S = Principal + Monto de intereses pagados

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El valor de la tasa de interés corresponderá entonces, al monto de los intereses pagados (en el caso de pedir dinero en préstamo) o al monto de los intereses obtenidos (en el caso de otorgar un préstamo) durante un período dividido por el principal o monto original del préstamo, expresado en porcentaje.

r =

Monto de Intereses pagados × 100 Principal

2.1.1 Tasa Interés Nominal y Tasa de Interés Efectiva Una cuestión crucial en el manejo de tasas de interés es, cada cuanto tiempo los intereses se volverán efectivos, es decir, cada cuanto tiempo los intereses pasarán a formar parte de la deuda. Este aspecto es conocido como la capitalización de los intereses, existiendo básicamente tres posibilidades: •

El período de capitalización coincide con el período de definición de la tasa de interés, en cuya situación se dice que la tasa de interés es efectiva y el interés es compuesto.

•

El período de capitalización sea infinito, es decir nunca los interes pasan a formar parte de la deuda, en cuyo caso la tasa de interés es efectiva y el interés es simple

•

El período de capitalización difiera del período de definición (siendo distinto de infinito), en esta situación el interés es compuesto y la tasa de interés es nominal.

El sistema de pago de intereses usado actualmente (a partir de mediados de los años 1960) es el de interés compuesto, en donde en cada período de capitalización los intereses pasaran a formar parte de la deuda y consecuentemente en el período siguiente se aplicaran intereses sobre ellos. En este sistema, se pueden establecer entonces dos tipos de tasas de interés; la efectiva y la nominal.

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Definición Tasa Efectiva

Igual período Capitalización

Definición Tasa Nominal

Diferente período Capitalización

La diferencia fundamental entre ambas tasas, radica en que la tasa nominal no refleja el verdadero costos financiero (monto de intereses a pagar) por un préstamo. En cambio la tasa efectiva tal como su nombre lo señala, indica el verdadero costo financiero del préstamo tomado Consecuentemente, al tener una tasa de interés lo primero a efectuar es examinar la correspondencia entre período de definición y de capitalización, de no concordar será necesario transformar la tasa nominal en efectiva. Para efectos de los anterior, suponga que usted tiene una tasa de interés iz cuyo período de definición es z con capitalización cada c períodos, el proceso para establecer el costo real del financiamiento comprende: determinar el número de capitalizaciones, tasa de interés en cada capitalización y finalmente el costo verdadero del financiamiento. •

El número de capitalizaciones a efectuar en el período de definición corresponde al número de veces que el período de capitalización cae en el período de definición. 0

c

2c

3c

4c

5c

Nc = Número de capitalizaciones =

35

z

z c

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•

La tasa de interés en cada capitalización, es determinada como el cuociente entre la tasa de interés nominal iz y el número de capitalizaciones.

iz

i´c = •

Nc

El costo financiero verdadero al termino del período de definición z, comprende los intereses i´c que se han acumulado durante las Nc capitalizaciones efectuadas. Para estos efectos se determina el Saldo o Suma del principal más intereses al termino de cada uno de los períodos de capitalización.

(1+i´c)

(1+i´c) 0

c

(1+i´c)

2c

3c

(1+i´c)

(1+i´c) 4c

5c

z

(1+i´c)

Consecuentemente con lo que muestra el diagrama anterior, al termino de cada uno de los períodos de capitalización para un período de definición ”z” de un se tendría:

período 1c 2c 3c 4c .. .. .. .. z

Saldo S1 S2 S3 S4 .. .. .. .. SNc

P P*(1+i´c) S1*(1+i´c) = P*(1+i´c)2 S2*(1+i´c) = P*(1+i´c)3 S3*(1+i´c) = P*(1+i´c)4 .. .. .. .. SNc-1*(1+i´c) = P*(1+i´c)Nc

36

Evaluación de Proyectos de Inversión

Los anteriores aspectos permiten establecer que al contar con una tasa de interés nominal de período de definición z y período de capitalización c, el monto del saldo al termino del período z será:

S = P * (1 + i´c) Nc

=

P * (1 +

iz Nc ) Nc

En cambio si se hubiere tenido una tasa efectiva de período de definición z, el monto del saldo al termino del período z sería igual a:

S = P * (1 + rz ) Luego, las tasas de interés nominal con capitalización cada c períodos de tiempo, será equivalente a disponer de una tasa efectiva de igual período de definición z, si y sólo si ambas tasas conducen a partir de un mismo monto de préstamo (P) a idéntico saldo al termino del período z.

S = P * (1 + rz )

S = P * (1 +

iz Nc ) Nc

De la igualdad anterior se puede obtener la expresión que permite obtener la tasa efectiva de período de definición z a partir de una nominal de igual período de definición.

rz

=

(1 +

iz Nc ) Nc

− 1

Un caso de particular importancia para el estudio de decisiones de inversión en proyectos con acumulación de capital en el tiempo (proyectos forestales, proyectos ganaderos, etc.), es la continuidad de la tasa de interés o la capitalización continua.

Para estos efectos se puede considerar que Nc el número de capitalizaciones es una variable que tiende a ser infinito, razón por lo cual aquí resulta ser útil recordar el limite de: 37

Miguel Ángel Mellado Espinoza

Lim N →∞

a   1+  N  

N

=

ea

Consecuentemente al reemplazar las variables “N” y “a” por las correspondientes a “Nc” número de capitalizaciones e “iz” tasa de interés nominal, se obtiene la formula de la tasa de interés efectiva con capitalización continua.

Lim N →∞

 i  1 + z Nc 

  

Nc

( 1 + rz ) rz

iz

=

e

=

e iz

=

e iz − 1

En el caso que fuera conocida la tasa de interés efectiva de período de definición z, se podría generar a partir de ella la tasa de interés nominal de período de definición z con capitalización continua, al tomar el logaritmo natural de (1 + rz), aspecto que tiene importancia en los proyectos de acumulación de capital.

iz

38

=

Ln ( 1 + rz

)

Evaluación de Proyectos de Inversión

Ejercicio : Suponga que Ud. Requiere de un crédito por una suma igual a 10.000 M$, para tales efectos ha recurrido a dos bancos, de forma de forma de poder establecer una mejor opción para satisfacer sus necesidades de financiamiento. La información de condiciones es similar en ambos bancos y corresponde a: •

Banco "A": ofrece una tasa de interés del 8 % anual con composición trimestral, pagando la totalidad del crédito en una sola oportunidad al termino del año.

•

Banco "B”: ofrece una tasa de interés del 7,94 % anual con composición quincenal, pagando la todo el crédito en una sola oportunidad al termino del año.

•

Banco "C": ofrece una tasa de interés del 3,98 % semestral con composición mensual, cancelando la totalidad del crédito al termino del año.

Desarrollo: Dado que las condiciones de pago son idénticas entre los tres Bancos, difiriendo sólo en las tasas, se debe proceder a efectuar la comparación entre las tasas, no obstante al diferir los períodos de definición de los respectivos períodos de capitalización (composición), es necesario que previamente se determinen las tasas efectivas. Tal como fuese planteado, lo primero es la comparación de los períodos, determinando en cada caso el número de capitalizaciones como el período de definición dividido en el período de capitalización.

Banco

Período de Definición

Período de Capitalización

A

1 Año

= 12 meses

1 Trimestre = 3 meses

12/3

B

1 Año

= 12 meses

1 Quincena = 0,5 mes

12/0,5 = 24

C

1 Semestre = 6 meses

1 Mes

39

Número de Capitalizaciones

6/1

= 4 =6

Miguel Ángel Mellado Espinoza

Luego, se puede aplicar directamente la fórmula para la tasa de interés efectiva, conociendo la tasa de interés nominal (período de definición diferente al de capitalización) y el número de capitalizaciones: rz Banco

=

(1 +

iz Nc ) Nc

− 1

Nc

iz [%]

rz [%]

Período de Definición

A

4

8,00

8,24

Anual

B

24

7,94

8,25

Anual

C

6

3,98

4,05

Semestral

Los anteriores resultados muestran que es preferible tomar el crédito del Banco A que el crédito del Banco B, ya que la tasa de interés del Banco A es inferior a la del Banco B en términos efectivos (nótese que la relación en términos nominales es inversa), pero no es posible, comparar las ofertas de los Bancos A y B con el Banco C, dado que, este último tiene un período de definición distinto, debiéndose en este caso buscar la equivalencia.

2.1.2 Tasas Equivalentes Se entenderá que dos o más "Tasas Efectivas" de diferente período de definición son equivalentes, si al término de un período común, ellas conducen a un mismo Saldo. Para estos efectos considere dos tasas rk y rw efectivas:

rk = Tasa Efectiva del período k. rw = Tasa Efectiva del período w. El procedimiento de equivalencia se inicia con la determinación del “período común”, que corresponde al Mínimo Común Múltiplo (MCM) entre los períodos k y w, y al número de veces que es necesario aplicar las tasas para alcanzar el MCM.

40

Evaluación de Proyectos de Inversión

(1+rk) 0

k

(1+rk) 2k

3k

(1+rk) 4k

(Nk –1)k

Nkk

MCM (1+rk)

(1+rk)

Consecuentemente para cada una de las dos tasas se tiene que el número de aplicaciones, corresponde al MCM dividido en el respectivo período de definición.

Nk

=

MCM k

Nw

=

MCM w

Finalmente la equivalencia entre las tasas se establece al conducir ambas a un mismo saldo, el saldo usando la tasa rk será el resultado de aplicarla Nk veces, en el caso de la tasa rw el saldo se obtiene de aplicar Nw veces la tasa:

S = P (1 + rk) Nk

=

P (1 + rw) Nw

Luego al despejar una tasa en relación a la otra, se cancelan los términos similares (P) y se aplican propiedades de las potencias, se obtiene:

(1 + rw) Nw/Nk − 1

=

rk

Una expresión para la tasa equivalente que al explicitar los valores de Nk y Nw conduce a la formula general de tasas efectivas equivalentes

rk

=

(1 + rw) k/w − 1

En la ecuación anterior los períodos de definición se expresan en unidades de tiempo consistentes (las dos en la misma unidad base).

41

Miguel Ángel Mellado Espinoza

Ejercicio:

(Continuando con el ejercicio de la sección anterior)

Para comparar la tasa de interés efectiva de los Bancos A y C, se deberá transformar una tasa en función de la otra, cambiando en este caso de período de definición la tasa interés transformada o equivalente. En este caso, transformaremos la Tasa de Interés semestral del Banco C en una tasa equivalente, pero cuyo período de definición es anual, como sigue: Banco A

8,24 [%]

Anual

= 12 meses

Banco C

4,05 [%]

Semestral = 6 meses

Luego la tasa anual equivalente para el Banco C será:

=

ranual ranual

=

(1 + rsemestral ) 12/6 − 1 2

(1 + 0,0405) − 1 = 8,26 % anual

Luego al comparar las dos posibilidades de crédito, resulta ser más conveniente la otorgada por el Banco "A", al otorgar una Tasa Efectiva Equivalente del 8,24 % anual, la cual es más baja que la de sus competidores Banco B y C con tasas efectivas equivalentes del 8,25% y 8,26% respectivamente.

2.1.3 Tasas Libres de Inflación La inflación corresponde a un fenómeno macroeconomico en el cual por efecto de un crecimiento o aumento generalizado de precios de los productos o bienes, el dinero pierde su capacidad de adquisición. Es decir, que con una misma cantidad de dinero ($; Pesos Chilenos) se pueden comprar una menor cantidad de bienes. La comparación de valores monetarios que ocurren en diferentes fechas (por ejemplo ventas de Navidad en los dos últimos años), tiene asociado dos aspectos. El primero de ellos, dice relación a que los valores monetarios (dinero) deben estar expresados en unidades que tengan una misma capacidad de adquisición, este aspecto es la corrección de los flujos monetarios por inflación. El segundo aspecto es incorporar el costo por el uso del dinero en el tiempo, es decir la aplicación de la tasa de interés efectiva libre de inflación o tasa efectiva real.

42

Evaluación de Proyectos de Inversión

Suponga para estos efectos que ha decidido trabajar uno de los meses del próximo verano en una tienda de ropa deportiva, el dueño le ofrece que opte por una de dos formas de pago del sueldo del mes. La primera forma es pago anticipado (antes de iniciar el trabajo) por un monto igual a $ 250.000 y la segunda justo al terminar de trabajar (pago vencido) un valor de $ 255.000. Los dos valores son claramente no comparables, debiendo primero efectuar la corrección de poder adquisitivo del dinero o inflación, en otras palabras esta corrección lleva los flujos monetarios a una moneda del mismo poder adquisitivo o moneda base (por ejemplo pesos del 31 de Diciembre de 1999). Luego de efectuar la corrección por inflación se procede a aplicar el costo por uso del dinero en el tiempo.

inflación

P

S Costo del dinero

= =

P (1 + i f

)(1 + r ) P (1 + r f )

En diagrama if es la tasa de inflación esperada del período, en tanto rf es la tasa de interés efectiva con inflación y r es la tasa de interés efectiva libre de inflación. De los resultados indicados en el diagrama en lo que respecta a proyectar un cierto valor monetario en el tiempo en moneda de cada período, se puede concluir que:

rf

=

( 1 + i )( 1 + r )

r

=

(1+ r ) (1+ i )

f

f

− 1

− 1

f

En el caso en análisis considere que el banco local ofrece por los depósitos un 9,2% anual sobre U.F. y que la inflación se estima en un 0,83% mensual. Dado que los valores de pago del trabajo difieren justo un mes, se debe en primera instancia o fase cero del análisis financiero ajustar los períodos de definición de las tasas a la ocurrencia de los flujos o valores monetarios, es decir se debe determinar las tasas equivalentes. Al analizar los períodos de definición de las tasas se puede apreciar que difiere del período de ocurrencia de los eventos monetarios sólo las tasa de captación del banco local. 43

Miguel Ángel Mellado Espinoza

La tasa de captación o tasa que el banco ofrece por los depósitos a sus clientes, se encuentra expresada en la moneda U.F (Unidad de Fomento) moneda que se encuentra libre de inflación (1 U.F. es una unidad de fomento con independencia del año en la cual se encuentre referida y con independencia de los niveles de inflación, las variaciones se producen cuando la U.F es traducida a pesos de cada fecha, ya que en ese caso si cobra importancia los niveles inflacionarios), por lo tanto se puede considerar que dicha tasa es libre de inflación y efectiva anual, con una equivalencia mensual de: r mensual

=

(1 + r anual )

r mensual

=

0 , 74 % efectiva

1/12

−1 mensual

Una vez establecida ambas tasas (interés efectivo e inflación) en un mismo período de definición coherente con la ocurrencia de los flujos, se aplica en primera instancia el concepto de valores monetarios con igual poder adquisitivo, para lo cual se procede a llevar el valor de pago anticipado ($ 250.000) a valor de moneda de un mes más o fin de mes, usando la inflación esperada

Valor

(

= 250.000 1 + i f

)

= 250.000 (1,0083) = 252.075 $

El paso siguiente, después de efectuada la corrección por inflación es la determinación del valor que se tendría al termino del mes de haber depositado el valor anticipado en el banco local. Saldo = 252.075 ( 1 + rmensual

)

= 252.075 (1,0074) = 253.940 $

El resultado muestra claramente que sería preferible esperar el pago al termino del mes, ya que se estaría obteniendo 255.000 $ en lugar de 253.940 $. Una forma muy usada en el análisis de alternativa de inversión, es aplicar el concepto de valores monetarios con igual poder adquisitivo, es el emplear una moneda libre de inflación (U.F.) para los flujos o referir todos los valores monetarios a una moneda de una fecha base ($ del 31 de Diciembre del 1998 por ejemplo) y emplear una tasa efectiva libre de inflación, evitando de esta forma efectuar proyecciones acerca de los niveles de inflación futura. Imagine que un proyecto industrial tiene a lo menos un período de análisis de 15 años, el evaluador debería ser capaz de proyectar los niveles de inflación de cada uno de esos años, lo que por cierto incluye en “conocer” la política monetaria y fiscal para iguales años, verdaderamente una tarea a decir lo menos complicada. Por ello se trabaja el análisis económico de alternativas con valores monetarios referidos a una moneda de una misma fecha o en su defecto unidades de fomento. 44

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.2

Fórmulas e Identidades Financieras

Las identidades o fórmulas financieras, son un conjunto de expresiones que permiten trabajar con la ocurrencia de eventos monetarios en el tiempo. En el mundo de las finanzas los sucesos o eventos monetarios, deben ser caracterizados por el monto o valor, por el instante de tiempo en el cual ocurren y por las tasas de interés asociadas. Las expresiones que se derivan a continuación, muestran en general todas aquellas situaciones que se podrían dar al analizar económicamente un determinado curso de acción.

2.2.1. Valor Futuro de un flujo (F) que ocurre en el período actual. Corresponde al valor del flujo actual más los intereses que se tendrá acumulado después de transcurrido n períodos

VFn = F ∗ (1 + r ) n

2.2.2. Valor Presente de un flujo (F) que ocurre en el período (n). En forma inversa, el valor presente corresponde al monto del flujo que ocurre en el futuro retirándole los intereses que se hubieran acumulado en n período.

VP =

F (1 + r ) n

2.2.3. Valor Futuro de un flujo (F) que ocurre en el período actual y de tasa interés variable entre períodos.

Se aplica el valor acumulado período a período, considerando en cada caso la tasa de interés asociada a cada período. Se va proyectando el valor periodo a periodo, con lo cual se aplican los intereses de un periodo a otro y luego el siguiente. VFn = F ∗ (1 + r1 ) ∗ (1 + r2 ) ∗ (1 + r3 ) ∗ .... ∗ (1 + rn ) n

VFn = F ∗ ∏ (1 + r j ) j =1

45

Miguel Angel Mellado Espinoza

2.2.4. Valor Presente de un flujo (F) que ocurre en el período (n) y de tasa interés variable.

Al contrario al caso anterior, al descontar o actualizar llevando al presente el valor que ocurre en el tiempo n período a período se logra: VP =

F n

∏ (1 + r ) j

j =1

2.2.5. Valor Presente de una serie de flujos (Ft.) que ocurren desde el período 1 al período n y de tasa interés variable. El valor presente de una serie, puede ser tratado como la suma de los valores presentes de cada uno de los factores que la componen.

VP = VP1 + VP2 + VP3 + .... + VPn n

VP = ∑ t =1

Ft t

∏ (1 + r ) j

j =1

2.2.6. Valor Presente de una serie de flujos (Ft.) que ocurren desde el período 1 al período n y de tasa interés constante.

VF = VP1 + VP2 + VP3 + .... + VPn n

VP = ∑ t =1

Ft (1 + r ) t

2.2.7 Valor Presente una serie de flujos iguales (F) que ocurren desde el primer al enésimo período y de tasa interés constante.

Derivamos desde la Fórmula de Valor Presente de una serie de flujos (F) que ocurre en el período (n) y de tasa interés constante. n

VPn = ∑ t =1

Ft (1 + r ) t

Como los Flujos son constantes, entonces... 46

Evaluación de Proyectos de Inversión

n

VP = ∑ t =1

F (1 + r ) t

Desarrollando la expresión anterior tenemos: VP =

F F F F + + + .... + 2 3 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n

(*)

Si multiplicamos por (1+r) a ambos lados, obtendremos: VP ∗ (1 + r ) = F +

F F F + + ... + 2 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) ( n −1)

(**)

Si a (**) le restamos (*), nos queda: VP ∗ (1 + r ) − VP = F −

F (1 + r ) n

 1  VP ∗ [(1 + r ) − 1] = F ∗ 1 − n   (1 + r )   (1 + r ) n − 1 VP ∗ [1 + r − 1] = F ∗   n  (1 + r )   (1 + r ) n − 1 VP ∗ r = F ∗   n  (1 + r ) 

Finalmente, al despejar VP obtenemos la Fórmula de Progresión Geométrica:  (1 + r ) n − 1 VP = F ∗   n  (1 + r ) ∗ r 

47

Miguel Angel Mellado Espinoza

2.2.8. Valor Presente una serie de flujos iguales (F) perpetuos (que ocurren desde primer período al infinito) y de tasa interés constante.

En la expresión de una serie de flujos iguales, al ser estos de carácter perpetuo, el período n tiende a infinito, luego en la misma expresión se aplica limite.

  (1+ r ) n −1  VP = lim  F ∗  n    (1+ r ) ∗r  n →∞

VP

  (1 + r ) n 1 −   n n (1 + r ) (1 + r ) = lim  F ∗    (1 + r ) n ∗ r   n (1 + r )   n→ ∞

VP

1   1−   (1 + r ) n = lim  F ∗  r     n→ ∞

VP = F ∗

      

     

(1 − 0) r

Finalmente la expresión para el valor presente de una serie de flujos iguales perpetuos es la siguiente:

VP = Supuestos : a. b. c.

F r

Vida Útil : infinita Flujos : constantes Tasa : constante

48

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.2.9. Gradiente Escalón Los Valores de flujos de cada período tienen un comportamiento de crecimiento a una razón constante en el tiempo (G), cuya expresión matemática corresponde a una serie aritmética Sea : a. b.

C = G =

Valor del Flujo en el 1er. Período. Razón de crecimiento constante del Flujo.

C+3G C+2G C+G C

1

2

3

4

n

Períodos

Los valores o cuotas aumentan en proporción constante (G) cada período. c.

Ft = C + G ∗ (t − 1)

Derivando desde la Fórmula de Valor Presente de una serie de flujos cualquiera (Ft.) que ocurren hasta el período n y de tasa interés constante. n

VP = ∑ t =1

Ft (1 + r ) t

Reemplazando la expresión que adopta en este caso Ft... n

VP = ∑ t =1

C + G ∗ (t − 1) (1 + r ) t

49

Miguel Angel Mellado Espinoza

n

C (1 + r ) t

VP = ∑ t =1

+

G ∗ (t − 1) (1 + r ) t

VP1

VP2

Sea: n

VP1 = ∑ t =1

n

C (1 + r ) t

y

VP2 = ∑ t =1

 (1 + r ) n − 1 VP1 = C ∗   n  (1 + r ) ∗ r 

G ∗ (t − 1) (1 + r ) t

al aplicar serie de flujos iguales

VP2 = ∑

G ∗ (t − 1) (1 + r ) t

VP2 = 0 +

G G ∗2 G ∗3 G ∗ (n − 1) + + + .... + 2 3 4 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n

n

t =1

se descompone en los factores de la serie

(*)

Se multiplica por (1+r) a ambos lados de la expresión anterior. VP2 ∗ (1 + r ) =

G G∗2 G ∗3 G ∗ (n − 1) + + + .... + 2 3 (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) ( n −1)

(**)

Al restar (**) - (*) se tiene: VP2 ∗ r =

G G G G G ∗ (n − 1) + + + .... + − 2 3 ( n −1) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) n

 (1 + r )(n −1) − 1 G∗  ( n −1) ∗r  (1 + r ) VP2 =

( n −1) G   (1 + r ) − 1 (n − 1)  ∗   − r   (1 + r )(n −1) ∗ r  (1 + r ) n 

VP = VP1 + VP2

50

Evaluación de Proyectos de Inversión

Finalmente la fórmula para valor presente de una serie de flujos con comportamiento de gradiente escalón es:

 (1 + r ) n − 1 G   (1 + r )n − 1 n  VP = C ∗  −  + ∗  n n n   (1 + r ) ∗ r  r   (1 + r ) ∗ r  (1 + r ) 

2.2.10. Gradiente Tasa

En este caso los Flujos presentan un comportamiento creciente tomando como base los valores del primer período, con lo cual se ven incrementados a partir del segundo período, en un porcentaje o tasa constante (a) sobre el flujo del primer período. Sea : a. C = Valor del Flujo en el 1er. Período. b. a = Razón de crecimiento constante del Flujo. Ft = C ∗ (1 + a) (t −1) c.

C ∗ (1 + w) 2 C ∗ (1 + w) C

1

2

3

Empleando la fórmula básica de Valor Presente de una serie de flujos cualquiera (Ft.) y de tasa interés constante. n

VP = ∑ t =1

Ft (1 + r ) t

51

Miguel Angel Mellado Espinoza

Reemplazando Ft. por su expresión correspondiente se llega a: C ∗ (1 + a ) (t −1) (1 + r ) t t =1 n

VP = ∑

VP =

VP =

VP =

n 1 C ∗ (1 + a) t ∗∑ 1 + a t =1 (1 + r ) t

n 1 C ∗∑ 1 + a t =1  (1 + r )  t    (1 + a ) 

1+ r  donde 1 + w =   1+ a 

n 1 C ∗∑ 1 + a t =1 (1 + w) t

Finalmente se emplea el resultado alcanzado para el caso de una serie de flujos constantes, pero actualizados a una nueva tasa w. VP =

 (1 + w) n − 1  C ∗  1 + a  (1 + w) n ∗ w 

52

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.3

Ahorro y Créditos

2.3.1

Generalidades

Una de las primeras y quizás más importante aplicación de las matemáticas financieras dice con las decisiones de ahorro y préstamos, las cuales se encuentran presentes tanto en empresas (negocios) como en personas. En cada caso existirán circunstancias que llevan a ahorrar (si es posible) para la adquisición (o inversión) de un bien o un servicio en algún período del tiempo, cancelando la totalidad del valor cuando los fondos acumulados lo permitan o mediante la programación de algún crédito. En materia de programación de créditos se deben distinguir cuatro elementos, los cuales concomitan para definir el valor a pagar en cada oportunidad por un crédito (cuota de pago) y las proporciones de dicho pago destinado a la disminución de la deuda (amortización), y al pago de los intereses por usar el dinero de otros (intereses): − Moneda Base: Unidad monetaria en la cual fue contratado el crédito, la cual constituirá a su vez la moneda en la cual se efectuarán los respectivos pagos, siendo las de mayor uso corriente; Dólar Americano (US$), Unidad de Fomento (UF) y Peso Chileno ($). − Costo del Crédito: el costo del crédito corresponde al valor a pagar por usar el dinero de un tercero, lo que es coincidente con la definición de tasa de interés. Luego el costo del crédito es la tasa de interés efectiva asociada. − Períodos: en materia de períodos, los préstamos tienen asociados dos tipos. Un primer que comprende el plazo de pago del crédito y un segundo con relación al número de períodos de no pago o gracia: número de cuotas de pago con su oportunidad de pago (diez cuotas mensuales de pago) Plazo número de períodos de pago (12 meses)

Parcial, número de períodos durante los cuales sólo serán cancelados los intereses Gracia Total, número de períodos en los cuales no se efectúa pago del préstamo, aumentando consecuentemente la deuda.

53

Miguel Angel Mellado Espinoza

− Modalidad de Pago: es el sistema bajo el cual será pagado el préstamo y por ende de cálculo de cada una de las cuotas de pago o programa de pago, los sistemas más utilizados corresponden a pagos vencidos (al término de cada uno de los períodos):

Pago Vencido al finalizar el plazo de pago, se cancela la totalidad de la deuda al cumplirse el plazo del préstamo. Cuotas Iguales de Pago con interés sobre saldo insoluto, en cada oportunidad de pago es cancelado al acreedor (quien otorgó del crédito) una misma suma. El monto de los interese pagados en cada una de las cuotas es determinado aplicando la tasa de interés sobre el monto adeudado del préstamo (saldo deudor). El saldo deudor es calculado al rebajar del saldo del período anterior la amortización del período, la cual a su vez es determinada como la diferencia entre la cuota de pago y el moto de los intereses pagados en el mismo período. Cuota de Pago

Monto de Intereses a pagar

Amortización

Saldo deudor o insoluto Cuotas Iguales en Amortización con interés sobre saldo insoluto, en esta modalidad el monto de la amortización (disminución de la deuda) en cada uno de los pagos es la misma, complementando el valor a pagar en cada oportunidad con el monto de los intereses. Los cuales son calculados con la tasa de interés aplicada sobre el saldo deudor. El saldo deudor es calculado al rebajar del saldo del período anterior la amortización del período. Amortización

Monto de Intereses a pagar

Cuota de Pago

Saldo deudor o insoluto Cuotas Iguales en Amortización con interés sobre cada cuota, en este caso el monto de la amortización (disminución de la deuda) en cada uno de los pagos es la misma. El monto de cada cuota se determina como si se tratase de préstamos pagaderos en modalidad de Pago Vencido al finalizar el plazo de pago, el cual va variando en cada oportunidad de pago. Los interese se determinan por diferencia entre cuota de pago y amortización. Amortización

Cuota de Pago Saldo deudor o insoluto

54

Intereses a pagar

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.3.2 Cuotas Iguales de Pago con Interés Sobre Saldo Insoluto A.

Plazo en nº de Cuotas o nº de Períodos sin Período de Gracia. Préstamo nº de Cuotas o nº de Períodos de Pago (N) 0

1

N

El concepto básico que rige el análisis de contratación y pago de créditos es que los pagos a efectuar en cada oportunidad permitan cancelar la totalidad de la deuda o extinguirla al termino del plazo de pago, consecuentemente se tiene:

Valor presente de los pagos ≡ Valor del Préstamo En este caso, se da que cada una de las cuotas de pagos son iguales a C, luego se puede aplicar la expresión de valor presente de una serie de flujos iguales, con lo cual  (1 + r )N − 1 Préstamo = C ∗   N  (1 + r ) ∗ r 

, donde C es el monto de la cuota de pago.

 (1 + r )N * r  C = Préstamo ∗   N  (1 + r ) − 1 El Programa de Pago está formado por la evolución en el tiempo del Saldo Deudor o Insoluto, Intereses, Amortización y Cuotas de Pago. Programa de Pago (Período) (Saldo) nº S 0 Préstamo 1 .... .... N

(Interés) I -

(Amortización) A -

55

(Monto Cuota de Pago) C C C C C

Miguel Angel Mellado Espinoza

Procedimiento a seguir para completar el Programa de Pago:

B.

i)

 (1 + r )N * r  C = Préstamo ∗   = constante N  (1 + r ) − 1

ii)

I t = r ∗ S t -1

Los intereses pagados son la parte del pago que tiene como objetivo que la deuda no aumente, o el pago por el uso del dinero de otro.

iii)

At = C − It

La amortización es parte del pago destinado a disminuir la deuda.

iv)

St = St −1 − A t

St −1 : saldo del período anterior

Plazo definido en nº de Cuotas y Períodos de Gracia.

Préstamo

0

Período de Gracia 1 K

nº de Cuotas de Pago (N) K+1

N+K

Al tener el sistema de pago incorporado un Período de Gracia de longitud K ocurren dos cambios con respecto al caso anterior. El primero de ellos dice relación con el plazo en el cual se terminará de pagar la deuda, el cual se prolonga por sobre el número de cuotas en el período de gracia. El segundo, es con respecto a que la deuda no se comienza a disminuir hasta el período (K+1), con lo cual se produce un cambio en el concepto básico en la contratación y pago de créditos.

Valor Presente de los pagos al período inmediatamente antes del inicio de los pagos efectivos (K)

=

56

Monto de la deuda al término del período K (período anterior al inicio de los pagos efectivos)

Evaluación de Proyectos de Inversión

Por lo anterior el Saldo varía dependiendo del tipo de Gracia entregada: Préstamo * (1+ r)K

si hay período de gracia total

Préstamo

si hay período de gracia parcial

SK =

Y así también afecta a la Cuota de Pago:

Ct =

C.

0

si hay gracia total para t ≤ K

r * Préstamo

si hay gracia parcial para t ≤ K

 (1 + r )N * r  SK ∗   N  (1 + r ) − 1

si (K+1) ≤ t ≤ (N+K)

Plazo definido en nº de Períodos y Período de Gracia. Préstamo

0

Período de Gracia 1 K

nº de Períodos de Pago (N-K) K+1

N

Al tener definido el plazo de pago en número de períodos, el termino del proceso de cancelación de la deuda esta fijo, luego el período de pago efectivo disminuye en el número de períodos de gracia. Préstamo ∗ (1 + r )

si hay gracia total

Préstamo

si hay gracia parcial

0

si hay gracia total para t ≤ K

r * Préstamo

si hay gracia parcial para t ≤ K

K

SK =

Ct =

 (1 + r )N - K ∗ r  SK ∗   N-K  (1 + r ) − 1

si (K+1) ≤ t ≤ N

57

Miguel Angel Mellado Espinoza

2.3.3 Amortizaciones Iguales con Interés Sobre Saldo Insoluto A.

Plazo en nº de Cuotas o nº de Períodos sin Período de Gracia.

Préstamo nº de Cuotas o nº de Períodos de Pago (N) 0

1

N

Al igual que las modalidades de pago anterior, el concepto básico en la contratación y pago de créditos es:

Valor presente de los pagos ≡ Monto del Préstamo contratado

En este caso el préstamo será amortizado en N ocasiones, siendo en cada oportunidad el monto de la disminución de la deuda o amortización el mismo valor, luego: Préstamo = A ∗ N , siendo A la amortización del crédito o préstamo contratado.

A=

Préstamo N

El Programa de Pago está formado por la evolución en le tiempo del Saldo Deudor o Insoluto, Intereses, Amortización y Cuotas de Pago.

Programa de Pago (Período) (Saldo) nº S 0 Préstamo 1 .... .... N

(Interés) I -

(Amortización) (Monto Cuota de A Pago) C A A A A

58

Evaluación de Proyectos de Inversión

El procedimiento a seguir para completar el Programa de Pago es :

B.

Préstamo = constante N

i)

A=

ii)

St = St −1 − A

iii)

I t = r ∗ St-1

iv)

Ct = A + It

Plazo definido en nº de Cuotas y Períodos de Gracia.

Préstamo

0

Período de Gracia

nº de Cuotas de Pago (N)

1

K+1 N+K

K

Al tener Período de Gracia la deuda no se comienza a pagar hasta el período (K+1), en donde K es la longitud del Período de Gracia (parcial o total). El concepto básico en la contratación y pago de créditos cambian con respecto al anterior debido al Período de Gracia.

VP de los pagos ≡ Monto de la deuda al período K o deuda antes del inicio del pago

Considerando un préstamo de un mismo monto, la deuda acumulada al período inmediatamente anterior al inicio de pago varía, dependiendo del tipo de gracia otorgada, consecuentemente se tiene:

59

Miguel Angel Mellado Espinoza

Préstamo ∗ (1 + r )

si hay gracia total

Préstamo

si hay gracia parcial

K

SK =

Para la elaboración del programa de pago, se debe tener en consideración los siguientes aspectos Durante el período de gracia Parcial:

I t = r ∗ Pr estamo A=0 Cuota de Pago = It

i) ii) iii)

Durante el período de gracia Total: i) ii) iii)

It = 0 A=0 Cuota de Pago = 0

Al termino del período de gracia, desde período (K+1) hasta (N+K):

ii)

SK N I t = r ∗ St-1

iii)

C t = A + It

iv)

St = St −1 − A

A=

i)

C.

Plazo definido en nº de Períodos y Período de Gracia. Préstamo

0

Período de Gracia

nº de Períodos de Pago (N-K)

1

K+1 N

K

60

Evaluación de Proyectos de Inversión

Préstamo ∗ (1 + r )

si hay gracia total

Préstamo

si hay gracia parcial

K

SK =

Al igual que en el caso anterior, para la elaboración del programa de pago, se debe tener en consideración los siguientes aspectos Durante el período de gracia Parcial: i) ii) iii)

I t = r ∗ Pr estamo A=0 Cuota de Pago = It

Durante el período de gracia Total: i) ii) iii)

It = 0 A=0 Cuota de Pago = 0

Al terminar el período de gracia, desde período (K+1) hasta (N) el programa de pago se regirá por:

ii)

SK N−K I t = r ∗ St-1

iii)

Ct = A + It

iv)

St = St −1 − A

i)

A=

2.3.4 Cuotas de Amortizaciones Iguales con Interés Sobre Cada Cuota A.

Plazo en Número de Cuotas o Número de Períodos sin Período de Gracia. Esta modalidad de pago actúa tal como si el préstamo original fuera dividido en N préstamos, todos iguales de valor A. Desde este punto la modalidad considera que cada uno de los pequeños préstamos de valor A, será cancelado a su fecha de vencimiento, en la que la fecha de vencimiento va corresponder al período en el cual se debe cancelar cada cuota de pago (del préstamo original). 61

Miguel Angel Mellado Espinoza

Préstamo

0

1

2

3 N

A A A . . A

El concepto básico en la contratación y pago de créditos en este caso sigue siendo:

Valor presente de los pagos ≡ Préstamos Préstamo = A ∗ N , donde A corresponde a la amortización del crédito.

A=

Préstamo N

El programa de pago está formado por la evolución en el tiempo del saldo deudor o insoluto, intereses, amortización y cuotas de pago.

Programa de Pago (Período) (Saldo) nº S 0 Préstamo 1 .... .... N

(Interés) I -

(Amortización) (Monto Cuota de Pago) A C A A A A

62

Evaluación de Proyectos de Inversión

Para completar el Programa de Pago se deben seguir los siguientes pasos:

ii)

Préstamo N t C t = A ∗ (1 + r )

iii) iv)

It = Ct − A St = St −1 − A

i)

B.

A=

Plazo definido en Número de Cuotas y Períodos de Gracia.

Préstamo

0

Período de Gracia 1 K

nº de Cuotas de Pago (N) K+1 N+K

Al tener Período de Gracia la deuda no se paga hasta (K+1), donde K es la longitud del Período de Gracia y el plazo de pago se extiende hasta N+K. El concepto básico en la contratación y pago de créditos cambian con respecto al anterior debido al Período de Gracia. VP de los pagos ≡ Monto de la deuda al período K o deuda antes del inicio del pago

Por lo anterior el Saldo varía dependiendo del tipo de Gracia entregada: Préstamo ∗ (1 + r )

si hay gracia total

Préstamo

si hay gracia parcial

K

SK =

63

Miguel Angel Mellado Espinoza

SK N

i)

A=

ii)

C t = A t ∗ (1 + r )

iii)

It = Ct − A

iv)

St = St −1 − A

, para períodos que van desde (K+1) hasta (N+K). (t − K )

C. Plazo definido en Número de Períodos y Período de Gracia.

Préstamo

0

Período de Gracia 1 K

Nº de Períodos de Pago (N-K) K+1 N

Al tener el plazo definido en períodos y además períodos de gracia, la deuda se comienza a pagar a partir del período (K+1), en donde K es la longitud del Período de Gracia y a su vez el plazo de pago se mantiene en N, con lo cual el número efectivo de cuotas de pago disminuye a (N-K). Préstamo ∗ (1 + r )

si hay gracia total

Préstamo

si hay gracia parcial

K

SK =

SK N−K

i)

A=

ii)

C t = A t ∗ (1 + r )

iii)

It = Ct − A

iv)

St = St −1 − A

, para períodos que van desde (K+1) hasta N. (t − K )

64

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.3.5

Comportamiento General de las Modalidades de Pago

Las siguientes tres gráficas permiten visualizar el comportamiento en el tiempo de los tres componentes de pago de créditos (cuota de pago, amortización e intereses), en cada una de las tres modalidades de pago, para facilitar la comprensión sólo se incluye el caso en el cual no se dan períodos de gracia.

A. Cuotas Iguales de Pago con Interés sobre Saldo Insoluto (2.3.2)

C A

I

0

1

tiempo

B. Amortizaciones Iguales con Interés Sobre Saldo Insoluto (2.3.3)

C A

I

0

1

tiempo 65

Miguel Angel Mellado Espinoza

C. Cuotas de Amortizaciones Iguales con Interés Sobre Cada Cuota (2.3.4)

C

A I

0

1

tiempo

Es necesario hacer notar que a pesar que las tres modalidades de pago implican evoluciones diferentes de los programas de pago, en cada una de ellas siempre es pagada la totalidad de la deuda, cancelando siempre un mismo monto de préstamo con independencia de la modalidad de pago. El contratante de un crédito o deudor va a tender a preferir aquel sistema en el cual pague el menor monto al inicio del período de pago, el cual normalmente coincide con el inicio de las operaciones de una empresa o un nuevo negocio, en el cual los ingresos son bajos, es decir él va a preferir cancelar con la modalidad de pagos iguales en amortización e interés sobre cada cuota. A su vez quien otorga el crédito, va a preferir naturalmente aquel sistema que le permita recuperar lo antes posible el monto de los valores entregados en préstamo, lo cual es consistente con la modalidad de pago en cuotas iguales de amortización con interés sobre saldo insoluto. El anterior conflicto de intereses, ha sido resuelto empleando como modalidad preferente de pago de créditos una forma que combine ambos factores, usando en casi la totalidad de las operaciones (créditos bancarios, tarjetas de tiendas, compra de automóviles, etc.) el sistema de cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto. Sólo ha sido superada esta modalidad en intensidad de uso, por el sistema de pago mínimo. El sistema de pago mínimo empleado por las tarjetas de créditos, considera el pago de cierto porcentaje mínimo de la deuda (varia entre 0% y 10% normalmente), pero con una acumulación de los intereses. Sistema que si bien es flexible a las disponibilidades de pago de las personas, usa a su favor la predisposición al consumo de las personas y por ende a mantener un cierto nivel de endeudamiento.

66

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.3.6 Aplicaciones

A.

Se pide un préstamo para adquirir un automóvil, cuyo valor es de $ 7.500.000. La empresa automotora (G.M.) otorga el crédito con una tasa o costo del crédito del 26% anual capitalizable bimestralmente y el comprador debe cancelar el 25 % del valor al contado y el préstamo lo cancelará en 12 cuotas de pago mensuales.

Se solicita que determine cual de las siguientes Modalidades de Pago es más beneficiosa para el comprador del automóvil : i) ii) iii)

Modalidad de Pago en Cuotas iguales de Pago con interés sobre saldo insoluto (deuda). Modalidad de Pago en Amortizaciones iguales con interés sobre saldo insoluto. Modalidad de Pago en Cuotas de Amortizaciones iguales con interés sobre cada Cuota.

Solución:

− Transformación a la Tasa Efectiva:  0,26  ra = 1 +   12/2 

12/2

− 1 = 28,98 % anual

Luego la Tasa efectiva anual debe ser llevada a una Tasa Efectiva mensual, ya que debe corresponder la oportunidad de pago con el período de definición de la tasa, la cual para reflejar el verdadero costo debe estar en términos efectivos: rm = (1 + ra )

1/12

−1

rm = (1 + 0,2898 )

1/12

−1

rm = 1,0214 − 1 = 2,14 % mensual − Monto del Crédito: como debe pagar un 25% contado el crédito será del 75% del valor de automóvil, es decir: Préstamo = $ 7.500.000 * 0,75 Préstamo = $ 5.625.000 67

Miguel Angel Mellado Espinoza

− Programa de Pago: i) Modalidad de Pago en Cuotas iguales de Pago con intereses sobre saldo insoluto  (1 + r )N * r  C = Préstamo ∗   N  (1 + r ) − 1  (1 + 0,0214 )12 * 0,0214  C = 5.625.000 ∗   12  (1 + 0,0214) − 1   (1,0214 )12 * 0,0214  C = 5.625.000 ∗   12  (1,0214) − 1 

C = 5.625.000 ∗ 0,0953744951

C = 536.481,5349

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Períodos (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

, St −1 : saldo del período anterior

Saldos

5.625.000,00 5.208.893,47 4.783.882,26 4.349.775,81 3.906.379,48 3.453.494,47 2.990.917,72 2.518.441,83 2.035.854,96 1.542.940,73 1.039.478,13 525.241,43 0,00

Interés

120.375,00 111.470,32 102.375,08 93.085,20 83.596,52 73.904,78 64.005,66 53.894,65 43.567,30 33.018,93 22.244,83 11.240,10

68

Amortización

416.106,53 425.011,21 434.106,45 443.396,33 452.885,01 462.576,75 472.475,87 482.586,88 492.914,23 503.462,60 514.236,70 525.241,43

Cuota de Pago 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53 536.481,53

Evaluación de Proyectos de Inversión

ii) Modalidad de Pago en Amortizaciones iguales con interés sobre saldo insoluto.

A=

Préstamo N

A=

5.625.000 12

A = 468.750

St = St −1 − A I t = r ∗ S t -1 Ct = A + It

Períodos (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldos

Interés

Amortización

5.625.000,00 5.156.250,00 4.687.500,00 4.218.750,00 3.750.000,00 3.281.250,00 2.812.500,00 2.343.750,00 1.875.000,00 1.406.250,00 937.500,00 468.750,00 0,00

120.375,00 110.343,75 100.312,50 90.281,25 80.250,00 70.218,75 60.187,50 50.156,25 40.125,00 30.093,75 20.062,50 10.031,25

468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00

69

Cuota de Pago 589.125,00 579.093,75 569.065,50 559.031,25 549.000,00 538.968,75 528.937,50 518.906,25 508.875,00 498.843,75 488.812,50 478.781,25

Miguel Angel Mellado Espinoza

iii) Modalidad de Pago en Cuotas de Amortizaciones iguales con interés sobre cada Cuota A=

Préstamo N

A=

5.625.000 12

A = 468.750

C t = A ∗ (1 + r )

t

It = Ct − A St = St −1 − A Períodos (meses)

Saldos

Interés

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5.625.000,00 5.156.250,00 4.687.500,00 4.218.750,00 3.750.000,00 3.281.250,00 2.812.500,00 2.343.750,00 1.875.000,00 1.406.250,00 937.500,00 468.750,00 0,00

10.031,25 20.277,17 30.742,35 41.431,49 52.349,37 63.500,90 74.891,07 86.524,98 98.407,87 110.545,05 122.941,96 135.604,17

Amortización

Cuota de Pago

468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00 468.750,00

478.781,25 489.027,17 499.492,35 510.181,49 521.099,37 532.250,90 543.641,07 555.274,98 567.157,87 579.295,05 591.691,96 604.354,17

La modalidad de pago más adecuada para la estudiante, va hacer aquella que se ajuste de mejor forma a su capacidad de pago, ya que en todas siempre paga la misma suma.

70

Evaluación de Proyectos de Inversión

B.

Determine el programa de pago para un préstamo de 1500 UF, pagadero al 7,8 % anual con capitalización trimestral, en: i) ii) iii) iv) v) vi)

6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto. 6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia total. 6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia parcial. 6 meses con cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia total. 6 meses con cuotas bimestrales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 3 meses de gracia parcial. 3 años con cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses al inicio de cada año de gracia total.

Solución:

−

Transformación a la Tasa Efectiva:  0.078  ra = 1 + 12/3  

12/3

− 1 = 8,03 % anual

Para Transforma la Tasa Efectiva anual a una Tasa Efectiva mensual y bimestral, el cálculo es el siguiente: rm = (1 + ra )

1/12

−1

rm = (1 + 0,00803) rb = (1 + ra )

2/12

1/12

− 1 = 0,65 % mensual

2/12

- 1 = 1,30 % bimestral

−1

rb = (1 + 0,00803) −

Monto del Crédito: Préstamo = UF 1500

71

Miguel Angel Mellado Espinoza

−

Programa de Pago: i) 6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto. Préstamo = 1500

6 Cuotas mensuales 0

1

6

 (1 + r )N * r  C = Préstamo ∗   N  (1 + r ) − 1  (1 + 0,0065)6 * 0,0065  C = 1.500 ∗   6  (1 + 0,0065) − 1  C = 1.500 ∗ 0,1704788046 C = 255.7182

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (meses) 0 1 2 3 4 5 6

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo 1.500,00 1.254,03 1.006,46 757,28 506,48 254,05 0,00

Interés Amortización 9,75 8,15 6,54 4,92 3,29 1,67

245,97 247,57 249,18 250,80 252,43 254,05

72

Cuota de Pago (UF) 255,72 255,72 255,72 255,72 255,72 255,72

Evaluación de Proyectos de Inversión

ii) 6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia total. Préstamo = 1500

0

2 meses G. Total 1 2

6 Cuotas mensuales 3

8

 (1 + r )N * r  C = SK ∗   N  (1 + r ) − 1 S K = 1.500 ∗ (1 + 0,0065) = 1.519,56

S K = Pr éstamo ∗ (1 + r )

2

K

 (1 + 0,0065)6 * 0,0065  C = 1.519,56 ∗   6  (1 + 0,0065) − 1  C = 1.519,56 ∗ 0,1704788046 C = 259,0528

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo 1.500,00 1.509,75 1.519,56 1.270,39 1.019,60 767,18 513,12 257,41 0,00

Interés Amortización 0,00 0,00 9,88 8,26 6,63 4,99 3,34 1,64

0,00 0,00 249,17 250,79 252,42 254,06 255,71 257,41 73

Cuota de Pago (UF) 0,00 0,00 259,05 259,05 259,05 259,05 259,05 259,05

Miguel Angel Mellado Espinoza

iii) 6 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia parcial. Préstamo = 1500

0

2 meses G. Parcial 1 2

6 Cuotas mensuales 3

8 meses

 (1 + r )N * r  C = SK ∗   N  (1 + r ) − 1

S K = Pr éstamo

S K = 1.500

 (1 + 0,0065)6 * 0,0065  C = 1.500 ∗   6  (1 + 0,0065) − 1  C = 1.500 ∗ 0,1704788046 C = 255.7182

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo 1.500,00 1.500,00 1.500,00 1.254,03 1.006,46 757,28 506,48 254,05 0,00

Interés

Amortización

-

9,75 9,75 9,75 8,15 6,54 4,92 3,29 1,67

74

0,00 0,00 245,97 247,57 249,18 250,80 252,43 254,05

Cuota de Pago (UF) 9,75 9,75 255,72 255,72 255,72 255,72 255,72 255,72

Evaluación de Proyectos de Inversión

iv) 6 meses con cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses de gracia total. Préstamo = 1500

0

2 meses G. Total 1 2

4 meses (períodos) 3

6 meses

 (1 + r )N - K * r  C = SK ∗   N-K  (1 + r ) − 1

S K = 1.500 ∗ (1 + 0,0065)

S K = Pr éstamo ∗ (1 + r )

K

2

S K = 1.519,56

 (1 + 0,0065)6 - 2 * 0,0065  C = 1.519,56 ∗   6- 2  (1 + 0,0065) − 1  C = 1.519,56 ∗ 0,2540756603

C = 386,0841 I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (meses) 0 1 2 3 4 5 6

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo 1.500,00 1.509,75 1.519,56 1.143,36 764,71 383,60 0,00

Interés

Amortización

-

0,00 0,00 9,88 7,43 4,97 2,49

75

0,00 0,00 376,20 378,65 381,11 383,59

Cuota de Pago (UF) 0,00 0,00 386,08 386,08 386,08 386,08

Miguel Angel Mellado Espinoza

v) 6 meses con cuotas bimestrales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 3 meses de gracia parcial. Préstamo = 1500

0

3 meses G. Parcial 1

3

4

0

1

3

4

2

3 meses (períodos) 6 meses

5

C

0

k=1

6 meses

C

2

3 bimestres

 (1 + r )N - K * r  C = SK ∗   N-K  (1 + r ) − 1

S K = Pr éstamo S 1 = 1.500  (1 + 0,013)3-1 * 0,013  C = 1.500 ∗   3-1  (1 + 0,013) − 1  C = 1.500 ∗ 0,5097709886

C = 764,6565

76

Evaluación de Proyectos de Inversión

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (bimestres) 0 1 2 3

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo

Interés

1.500,00 1.500,00 754,84 0,00

Cuota de Pago (UF) 0,00 19,50 745,16 764,66 754,84 764,66

Amortización

19,50 19,50 9,82

vi) 3 años con cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto y 2 meses al inicio de cada año de gracia total. Préstamo = 1500

2 meses 2 meses 2 meses 10 cuotas 10 cuotas 10 cuotas Gracia Gracia Gracia mensuales mensuales mensuales Total Total Total 0 1 2 3 12 13 14 15 24 25 26 27 36

SK = Préstamo ∗ (1 + r )

K

SK = 1.500 ∗ (1 + 0,0065) = 1.519,56 2

En este caso se dispone de 3 años (36 meses) para el pago y al inicio de cada año 2 meses de gracia total, es necesario recurrir a la ecuación origina de créditos para establecer el monto de la cuota. Para estos efectos el valor presente de los pagos debe ser igual al valor de la deuda a la fecha focal.

77

Miguel Angel Mellado Espinoza

0 1 2

3

12

15

24

27

 (1 + 0,0065)10 - 1    1 1 1.519,56 = C ∗  +  ∗ 1 + 10 12 24  (1 + 0,0065)   (1 + 0,0065) * 0,0065   (1 + 0,0065)

 (1 + 0,0065)10 * 0,0065  1 C = 1.519,56 ∗  * 10  1 1  (1 + 0,0065) − 1  1 + +  12 24  (1 + 0,0065)   (1 + 0,0065) C = 1.519,56 ∗ 0,03725375604 C = 56,6094

I t = r ∗ S t -1 At = C + It St = St −1 − A t

Período (meses) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

, St −1 : saldo del período anterior

Saldo

1.500,00 1.509,75 1.519,56 1.472,83 1.425,79 1.378,45 1.330,80 1.282,84 1.234,57

Interés

Amortización

-

0,00 0,00 9,88 9,57 9,27 8,96 8,65 8,34

0,00 0,00 46,73 47,04 47,34 47,65 47,96 48,27

78

Cuota de Pago (UF) 0,00 0,00 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61

36

Evaluación de Proyectos de Inversión

Continuación Programa de Pago

Período (meses) 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Saldo

1.185,98 1.137,08 1.087,86 1.038,32 1.045,07 1.051,86 1.002.09 951,99 901,57 850,82 799,74 748,33 696,58 644,50 592,08 539,32 542,83 546,36 493,30 449,90 386,15 332,05 277,60 222,79 167,63 112,11 56,23 0,00

8,02 7,71 7,39 7,07 0,00 0,00 6,84 6,51 6,19 5,86 5,53 5,20 4,86 4,53 4,19 3,85

48,59 48,90 49,22 49,54 0,00 0,00 49,77 50,10 50,42 50,75 51,08 51,41 51,75 52,08 52,42 52,76

Cuota de Pago (UF) 56,61 56,61 56,61 56,61 0,00 0,00 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61

0,00 0,00 3,55 3,21 2,86 2,51 2,16 1,80 1,45 1,09 0,73 0,38

0,00 0,00 53,06 53,40 53,75 54,10 54,45 54,81 55,16 55,52 55,88 56,23

0,00 0,00 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61 56,61

Interés

Amortización

79

Miguel Angel Mellado Espinoza

C.

Se pide un préstamo para adquirir una casita, cuyo valor es de 10.000 UF, con un interés del 12 % anual capitalizable bimestralmente. Determine las cuotas de amortizaciones iguales más intereses sobre cada cuota a pagar y el programa de pago en: En 6 Cuotas bimestrales. i) ii) En 6 Cuotas bimestrales y 2 bimestres de Gracia Parcial. iii) En 12 meses y 4 meses de Gracia Parcial en cuotas bimestrales. iv) En 6 Cuotas bimestrales y 6 meses de Gracia Total.

Solución:

− Transformación a la Tasa Efectiva:  0.12  ra = 1 +   12/2 

12/2

− 1 = 12,616 % anual

Para Transforma la Tasa Efectiva anual a una Tasa Efectiva mensual, el cálculo es el siguiente: rm = (1 + ra )

1/12

−1

rm = (1 + 0,12616)

1/12

−1

rm = 1,00995 − 1 = 0,995 % mensual

Para Transforma la Tasa Efectiva anual a una Tasa Efectiva bimestral, el cálculo es el siguiente: rB = (1 + ra )

2/12

−1

rB = (1 + 0.12616)

2/12

−1

rB = 1,01999 − 1 = 2 % bimestral

80

Evaluación de Proyectos de Inversión

− Programa de Pago: i) En 6 Cuotas bimestrales. A=

Préstamo N

A=

10.000 6

A = 1.666,67

Cálculo de la cuota: C t = A ∗ (1 + r )

t

(valores en la tabla)

Cálculo del Interés : It = Ct − A

(valores en la tabla)

Períodos Saldos (bimestres) 0 10.000,00 1 8.333,33 2 6.666,67 3 5.000,00 4 3.333,33 5 1.666,67 6 0,00

Interés

Amortización

33,33 67,33 102,01 137,39 173,47 210,27

1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67

81

Cuota de Pago (UF) 1.700,00 1.734,00 1.768,68 1.804,05 1.840,14 1.876,94

Miguel Angel Mellado Espinoza

ii) En 6 Cuotas bimestrales y 2 bimestres de Gracia Parcial. Pago Crédito con Período de Gracia :

Gracia Parcial

0

1

2

Pago del Crédito

3

4

5

6

7

8 bimestres

Cálculo de las Amortizaciones iguales: A=

Préstamo N

A=

10.000 6

A = 1.666,67

Cálculo de la cuota: C t = A ∗ (1 + r )

t

(valores en la tabla)

Cálculo del Interés : IT = C t − A

(valores en la tabla)

Períodos Saldos (bimestres) 0 10.000,00 1 10.000,00 2 10.000,00 3 8.333,33 4 6.666,67 5 5.000,00 6 3.333,33 7 1.666,67 8 0,00

Interés

Amortización

200,00 200,00 33,33 67,33 102,01 137,39 173,47 210,27

82

0,00 0,00 1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67 1.666,67

Cuota de Pago (UF) 200,00 200,00 1.700,00 1.734,00 1.768,68 1.804,05 1.840,14 1.876,94

Evaluación de Proyectos de Inversión

iii) En 12 meses y 4 meses de Gracia Parcial en cuotas bimestrales.

Gracia Parcial

Pago del Crédito

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 meses Gracia Parcial

0

1

2

Pago del Crédito

3

4

5

6 bimestres

Cálculo de las Amortizaciones iguales: A=

Préstamo N-K

A=

10.000 6-2

A = 2.500

C t = A ∗ (1 + r )

t -K

(valores en la tabla)

Cálculo del Interés : IT = C t − A Períodos (bimestres) 0 1 2 3 4 5 6

(valores en la tabla) Saldos

Interés

10.000,00 10.000,00 10.000,00 7.500,00 5.000,00 2.500,00 0

200,00 200,00 50,00 101,00 153,02 206,08

Amortización Cuota de Pago (UF) 0,00 200,00 0,00 200,00 2.500,00 2.550,00 2.500,00 2.601,00 2.500,00 2.653,02 2.500,00 2.706,08

83

Miguel Angel Mellado Espinoza

iv)

En 6 cuotas bimestrales y 6 meses de Gracia Total.

Gracia Total

0 1

Pago del Crédito

6 7

9

Gracia Total

0

1

2

11

13

15

17 18 meses

Pago del Crédito

3

4

Préstamo ∗ (1 + r ) A= N

K

5

6

7

8

9

bimestres

10.000 ∗ (1 + 0,02) A= 6

3

A = 1.768,68 Cálculo de la cuota: C t = A ∗ (1 + r )

t -K

(valores en la tabla)

Cálculo del Interés : It = Ct − A Períodos (bimestres) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(valores en la tabla) Saldos

10.000,00 10.200,00 10.404,00 10.612,08 8.843,40 7.074,72 5.306,04 3.537,36 1.768,68 0,00

Interés

0,00 0,00 0,00 35,37 71,45 108,26 145,80 184,08 223,14

84

Amortización

0,00 0,00 0,00 1.768,68 1.768,68 1.768,68 1.768,68 1.768,68 1.768,68

Cuota de Pago (UF) 0,00 0,00 0,00 1.804,05 1840,13 1876,94 1914,48 1952,76 1991,82

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.4

Renegociación de Créditos y Fondos de Amortización

La reprogramación o renegociación, dice relación con la manifestación explícita, durante el período de pago, de cambios en las condiciones originales de contratación de los créditos. Esta reprogramación se puede deber a una o más de las siguientes causas: • • • •

cancelar deudas impagas cambio en los plazos de pago cambio en las tasas de interés unificación de créditos

2.4.1 Procedimiento de Reprogramación

El procedimiento para llevar a cabo un proceso de renegociación de deudas, considera tres etapas, la primera comprende generar el programa de pago del crédito original, una segunda es determinar los montos adeudados a la fecha en la cual se está efectuando el análisis o fecha focal y por último aplicar las nuevas condiciones de pago. De las tres fases descritas anteriormente, la primera de ellas fue tratada ampliamente en el punto 2.3 y la tercera, es una vez definida la deuda una programación de deuda. Con lo cual, el centro de la reprogramación es la determinación de los montos adeudados a la fecha focal. Para la determinación del monto adeudado por un crédito, concurren dos conceptos; uno correspondiente a la fecha focal y el otro el saldo deudor.

Fecha Focal (FF): es la fecha en la cual se realiza el análisis o estudios tendientes a efectuar la reprogramación.

Saldo Deudor

: corresponde a la suma de los saldos deudores de cada uno de los créditos.

El saldo deudor puede ser obtenido de dos formas; una de ellas plantea que la deuda es igual al préstamo original menos lo pagado y la otra señala que la deuda es lo que resta por pagar, de esta forma se tienen:

85

Miguel Angel Mellado Espinoza

i)

Deuda original (SK) proyectado a la fecha focal descontando los pagos efectivos. Sin Período de Gracia:

Pagos Efectivos 0

Créditos Impagos

Pagos Futuros

1

FF

N

Deuda = (Préstamo − Pagos Efectivos Actualizados ) ∗ (1 + r )

FF

Con Período de Gracia:

Pagos Efectivos 0

Créditos Impagos

Pagos Futuros

K

FF

Deuda = (S K − Pagos Efectivos ) * (1 + r )

ii)

(N+K)

FF − K

Valor actualizado de los pagos futuros más el valor proyectado de las cuotas no pagadas.

Pagos Efectivos 0

1

Créditos Impagos

Pagos Futuros FF

N

Deuda = Pagos Futuros Actualizados + Valor Futuro de Créditos Impagos

86

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.4.2

Aplicación

A. Una empresa contrató hace tres años un crédito por 3500 UF, pagadero al 8.6% anual con capitalización bimestral en 48 cuotas de pago mensuales iguales y dos meses de gracia total; un segundo crédito fue tomado por un monto de 2500 UF en idénticas condiciones de pago, hace dos años. La situación económica de la empresa ha impedido el pago de los compromisos durante los últimos 6 meses. B. La gerencia de finanzas de la empresa ha solicitado al banco una reprogramación de los compromisos, acordando unificación de los créditos, un plazo de 36 meses con pagos en cuotas iguales bimestrales y 3 meses de gracia parcial a una tasa del 9,2 % anual.

Solución:

Programación de créditos originales:

48 Cuotas de Pagos Iguales 0

1

2

3

50

6

 0,086  ra = 1 +  − 1 = 8,91% anual 6   rm = (1 + 0,0891)

(1/12 )

− 1 = 0,71% mensual

SK − 2 = 3500 ∗ (1 + 0,0071) = 3550,17 UF

(crédito 1)

SK − 2 = 2500 ∗ (1 + 0,0071) = 2535,63 UF

(crédito 2)

2

2

 (1 + 0,0071)48 ∗ 0,0071 C = SK ∗   48  (1 + 0,0071) − 1 

cuotas

C1 = 87,54 UF

(crédito 1)

C 2 = 62,52 UF

(crédito 2)

87

Miguel Angel Mellado Espinoza

Establecer los saldos deudores a la fecha focal: Crédito Uno:

Pagos Efectivos 0 1

2

3

Créditos Impagos

Pagos Futuros

30 31

28 Cuotas

36 37

6 Cuotas

50

14 Cuotas

34 Cuotas

Saldo Deudor del Crédito Uno: i)

Deuda original (SK) proyectado a la fecha focal descontando los pagos efectivos.

Deuda = SK ∗ (1 + r ) − Pagos Efectivos FF

Deuda1 = 3550,17 ∗ (1 + 0,0071)

34

 (1 + 0,0071)28 − 1  34 − 87,54 ∗   ∗ (1 + 0,0071) 28  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071

Deuda1 = 1697,3 UF

ii)

Valor actualizado de los pagos futuros más el valor proyectado de las cuotas no pagadas.

 (1 + 0,0071)14 − 1   (1 + 0,0071)6 − 1  6 Deuda1 = 87,54 ∗   + 87,54 ∗   ∗ (1 + 0,0071) 14 6  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071 Deuda1 = 1697,3 UF

88

Evaluación de Proyectos de Inversión

Crédito Dos:

Pagos Efectivos 0 1

2

3

Créditos Impagos

Pagos Futuros

18 19

16 Cuotas

24 25

6 Cuotas

50

26 Cuotas

22 Cuotas

Saldo Deudor del Crédito Dos: i)

Deuda original (SK) proyectado a la fecha focal descontando los pagos efectivos.

Deuda = SK ∗ (1 + r ) − Pagos Efectivos FF

 (1 + 0,0071)16 − 1  22 22 Deuda 2 = 2535,63 ∗ (1 + 0,0071) − 62,52 ∗   ∗ (1 + 0,0071) 16  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071 Deuda 2 = 1861,5 UF

ii)

Valor actualizado de los pagos futuros más el valor proyectado de las cuotas no pagadas.

 (1 + 0,0071)26 − 1   (1 + 0,0071)6 − 1  6 Deuda 2 = 62.52 ∗  + 62.52 ∗    ∗ (1 + 0,0071) 26 6  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071  (1 + 0,0071) ∗ 0,0071 Deuda 2 = 1861,5 UF Deuda Total = 1697,3 + 1861,5 = 3558,8 UF

89

Miguel Angel Mellado Espinoza

Aplicación de nuevas condiciones al saldo deudor: La gerencia de finanzas de la empresa ha solicitado al banco una reprogramación de los compromisos, acordando unificación de los créditos, un plazo de 36 meses con pagos en cuotas iguales bimestrales y 3 meses de gracia parcial a una tasa del 9,2 % anual. Como dispone de 36 meses para pagar y tres meses de gracia, ello implica que el primer pago lo debe efectuar el mes cuatro y a partir de allí cada dos meses (bimestre) hasta completar los 36 meses, generando por ende 17 pago bimestrales.

3 meses de gracia 0

1

2

17 Pagos Bimestrales 3

4

36

S = 3558,8 ra = 9,2% anual rB = (1 + 0,092)

(1/6 )

− 1 = 1,47% bimestral

 (1 + 0,0148)17 * 0,0148  C = 3558.8 ∗   = 238,32 UF 17  (1 + 0,0148) − 1  Finalmente se pagarán 17 cuotas de 238,32 UF.

90

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.5 Ejercicios Propuestos

1. Blanca Tejelindo hace 16 meses inicio un negocio de tejidos artesanales, para lo cual solicitó un crédito al Bancotel por un monto igual a M$ 20.000 pagadero en 36 cuotas iguales de pago mensual con interés sobre saldo insoluto al 1,5 % mensual. Luego de haber transcurrido seis meses desde el inicio del negocio solicitó un nuevo crédito al mismo banco por un monto igual a M$ 25.000 pagadero en 36 cuotas iguales de pago mensual con interés sobre saldo insoluto la 1,6 % mensual y tres meses de gracia parcial. Hoy la señora Tejelindo después de pagar las cuotas del mes, desea consolidar los dos créditos en uno sólo, pagadero mensualmente en cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto en 30 meses y dos meses de gracia total, el banco aceptó la propuesta, pero a una tasa del 19 % anual con capitalización quincenal. Determine la cuota de pago del crédito consolidado.

2. Juan Poca Plata desea instalar, cuando termine sus estudios, una oficina consultora en sistemas de información; Él estima que para esos efectos requeriría de unos M$ 30.000 en término de hoy día, que crecerían al 0,8 % anual real. A Juan poca Plata le restan cuatro años para terminar sus estudios, para enfrentar el desafío del nuevo negocio él dispone hoy de un depósito por M$ 3.000 en una financiera que le rinde el 12 % anual con capitalización mensual, además dentro de tres meses recibirá una participación en la empresa de M$ 2.000 de los cuales piensa ahorrar el 50 % y a partir del mes siete a contar de hoy podrá iniciar un ahorro mensual consistente en M$ 150 para el mes siete y luego incrementarlo en M$ 20 durante 17 meses, para posteriormente continuar ahorrando siempre la misma suma del mes 24. Juan estima que lo que le falte puede obtenerlo de la misma financiera, mediante un crédito al 1,2 % mensual pagadero en seis cuotas iguales de amortización mensual con interés sobre cada cuota y dos meses de gracia total. Genere el programa de pago del crédito si lo necesita.

91

Miguel Angel Mellado Espinoza

3. La Sociedad de Ediciones Pocasletras S.A. en su plan de expansión al mercado latinoamericano, decidió hace tres años atrás iniciar un programa que les permitiera mejorar la tecnología de producción, para estos efectos, ellos consideraron: ahorrar casa dos meses una suma igual a M$ 500 durante un año, aumentar la frecuencia de ahorro al año siguiente, de forma de ahorrar mensualmente 400 M$ a partir del mes, 13 hasta mes 24 desde mes 25 incrementándolo mes a mes en un 5% por sobre lo ahorrado el mes 13. No obstante, este esfuerzo económico n ha sido lo suficiente, decidiendo hoy la sociedad de Ediciones Pocasletras S.A. postergar la inversión siete años más, debido a que los equipos de impresión nuevos significan 290.000 M$. La sociedad tiene en la actualidad ingresos del orden de M$ 2.500 mensuales y gastos por M$ 1.000 al mes, situación que se estima se mantendrá durante los próximos cinco años, luego los ingresos podrían crecer a razón de m$ 150 por mes y los costos a razón de M$ 50 por mes durante un año. A partir del primer mes del séptimo año los ingresos crecerán al 0.5% mensual manteniéndose los costos a los mismos niveles del último mes del año sexto. La sociedad planea ahorrar mensualmente el 30% de los ingresos netos (ingresos mensuales descontado los gastos), durante los primeros cinco años, pasando luego a ahorrar el 20% de los ingresos netos, el banco le da por sus depósitos un 16.90% de interés anual. 4.

Don Matías Donperiñon, alumno avanzado de Evaluación de proyectos, ha planificado su futuro de forma de establecer proyecciones sobre sus ingresos y capacidades de ahorro. El piensa que al terminar la carrera cumplirá los 25 años de edad y que un profesional titulado obtendría ingresos de M$ 1000 al mes los cinco primeros años de actividad, para incrementarlos a M$ 1500 los siguientes cinco años, pasando luego a M$ 2000 por otros cinco años y finalmente llegar a una renta promedio de M$ 2500 mensuales al cumplir los cuarenta años. Matías, ha pensado que los cinco primeros años ahorrara el 10 % de sus ingresos, que los cinco años siguientes iniciara su ahorro con el 10 % del ingreso pero lo incrementará mes a mes en 1 M$. Pasando, al terminar estos diez primeros años de ahorro, continua el ahorro con el 10 % de sus ingresos aumentándolo mes a mes en el 0,8 %, hasta el año 15 de ahorro. Al cumplir Matías los cuarenta años de edad desea adquirir una casa, la que estima que tendría un valor de doscientos millones de pesos. Si sus ahorros no le alcanzan contratara un crédito al 1,5 % de interés mensual pagadero en 120 cuotas iguales de pago mensual.

92

Evaluación de Proyectos de Inversión

Matías piensa que al cumplir los cuarenta años y tener ingresos mensuales por 2500 M$ él podría destinar al ahorro el 20 % sus ingresos, siempre y cuando no tenga deudas que superen 1500 M$, en caso contrario no ahorra. Matías le solicita, que le ayude a determinar de cuanto podrían disponer sus descendientes para retirar en forma perpetua mensualmente, si el banco le otorga por los depósitos un 8% semestral capitalizable mensualmente, y él cree trabajar hasta los 65 años teniendo una sobrevivencia hasta los 85 años de edad, gustando de disponer entre ambas fechas de un fondo de retiro de M$ 1800 mensual.

5.

Artesanías Cruz Azul pequeña empresa dedicada a la elaboración de joyas artesanales, ha estado planificando desde hace algunos años la ampliación de sus operaciones, razón por la cual han procedido a estudiar diferentes alternativas, entre las cuales se cuenta instalar una nueva sala de venta y ampliar su taller, todo lo cual les significaría unos M$ 110.510 en moneda de hoy día, inversión que sin embargo se ha estimado que puede aumentar al 1,5 % anual. La pequeña empresa tiene en la actualidad ingresos del orden de M$ 2.500 mensual y gastos por M$ 1.000 al mes, situación que se estima se mantendrá durante los próximos cuatro años, luego los ingresos podrían crecer a razón de M$ 150 por mes y los costos a razón de M$ 50 por mes durante un año. A partir del primer mes del sexto año los ingresos crecerán al 0,75 % mensual manteniéndose los costos a los mismos niveles del último mes del año cinco. La empresa estima que la ampliación del taller y la instalación de la nueva sala de venta podría ser iniciada sólo dentro de siete años, para lo cual ellos planean ahorrar mensualmente el 50 % de los ingresos netos (ingresos mensuales descontado los gastos), el banco le da por sus depósitos un 16,9 % de interés anual Se pide determine el monto del crédito a solicitar al Banco, programando su pago en Cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto, pagadero en 6 cuotas al 9 % de interés semestral con capitalización mensual.

6.

Bool and Co. Empresa de servicios informáticos (procesar información, facturación, remuneraciones, etc.), preocupada de la problemática del año dos mil, hace dos años (31 de agosto de 1995) contrajo un crédito destinado a financiar la renovación de la totalidad de los equipos y sistemas que poseía. Las condiciones de pago fueron, cancelar en 48 cuotas mensuales iguales de pago con interés sobre saldo insoluto al 22 % de interés anual con capitalización trimestral y 4 meses de gracia total.

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No obstante, la fuerte competencia existente en el mercado de los servicios informáticos, han hecho que la empresa se encuentre pasando por una situación financiera desfavorable, por tal motivo la gerencia de general le ha contratado para que reprograme los compromisos del crédito. Si el análisis lo focaliza al 30 de Septiembre de 1997 y la gerencia cree que la empresa necesita una extensión de dos años en el plazo de pago, considerando que se encuentran en condiciones de reiniciar el pago del crédito el 31 de Enero de 1998 y que en el período que va desde Octubre a Diciembre, sólo paga los intereses. a. Determine el monto de la cuota de pago original b. Determine el monto de la nueva cuota de pago, si la modalidad de pago es cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto al 22 % de interés anual con capitalización trimestral y 4 meses de gracia total.

7.

Juan Poca Monta. Empresario del rubro muebles tiene plan de expansión al mercado Latinoamericano, decidió hace un año atrás entrar en un programa que les permitiera mejorar las tecnologías de producción, para estos efectos, ellos consideraron comprar nuevas maquinarias en un año a partir de hoy. La empresa con visión de futuro, generó un programa de ahorro consistente en: • Ahorrar cada dos meses una suma igual a 5000 M$ durante el primer semestre • Aumentar la frecuencia de ahorro al semestre siguiente, de forma de ahorra mensualmente 4000 M$ a partir del mes 7, incrementado en ocasión el ahorro mensual en un 1% por sobre lo ahorrado el mes 6 La empresa deposita su dinero en el Bancaso, institución que otorga una tasa de interés del 16% bianual con capitalización trimestral. Se estima que las nuevas maquinarias dentro de un año tendrán un valor de 500.000 M$, se solicita que genere el programa de pago: a. Si el sistema de pago es en 12 cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto al 3 % mensual, con dos meses de gracia total. b. Si después de cancelar las primeras 4 cuotas y haber suspendido los pagos durante seis meses, la empresa desea salir de su condición de moroso y pagar la deuda en 8 meses en cuotas de amortización igual con interés sobre cada cuota y dos meses de gracia parcial, al 3 % de interés mensual.

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Evaluación de Proyectos de Inversión

8.

Una compañía productora de Calculadoras de bolsillo se encuentra analizando la factibilidad de incrementar su capacidad de producción, debido a que no ha sido capaz de cubrir la demanda que enfrenta. La demanda en la actualidad alcanza a las 100.000 unidades al año pudiendo llegar a capturar hasta un 70%, dicha demanda se espera que se vea incrementada anualmente en 10.000 unidades al año. El precio de venta de cada unidad es de M$ 35 costo de venta M$ 12,000 más 2% de las ventas. La actual tecnología fue adquirida hace 4 año atrás en un valor de M$ 380.000 con un valor residual de M$ 20.000 y una vida útil de 9 años, al termino de los cuales se podría vender en M$ 35.000, Si decide venderla hoy el precio sería de M$ 250.000. Esta tecnología implica costos fijos de producción de M$ 50.000 por año, costos variables de producción de M$ 19 por unidad. Los costos de Administración y otros Indirectos suman M$ 30.000 al año. La capacidad de producción es de 45.000 unidades al año. La Nueva Tecnología produce como máximo 100.000 unidades al año, con un costo fijo de producción de M$ 45.000, costo variable de M$ 15 por unidad y costo de administración e indirectos de M$ 35.000. La implentación de la nueva tecnología implica adquirir dos equipos. El primero de ellos con un valor de M$ 300.000, valor residual de M$ 20.000 y valor de venta de M$ 50.000 al termino de su vida útil de 5 años. El segundo equipo de valor inicial igual a M$ 110.000 con valor residual de M$ 20.000, valor de Venta de M$ 30.000 al termino de su vida útil de 3 años y de M$ 60.000 al termino de su segundo año de vida. La empresa determina la necesidad anual de capital de trabajo como un 20% del costo de producción de cada año. Estando afecta a un impuesto del 15% de las utilidades. Determine los flujos netos de caja del presente proyecto.

9.

Una empresa de seguros, esta interesada en adquirir un nuevo tipo de sistema de información que sea capaz de procesar la información de sus clientes y enviar la información escrita a la casa de ellos. Para estos efectos ha recibido la oferta de dos grandes compañías Alfa y Beta. La oferta de Alfa consiste en un sistema cuyo precio al contado es de M$350.000, con un pie del 15% y la diferencia debe ser pagada en cuotas mensuales de pagos iguales, a 15 años y a una tasa de interés efectivo del 1,4% mensual y cuatro meses de gracia parcial. Este sistema tiene asociado además un costo de mantenimiento anual de M$5.000 para cada uno de los 5 primeros años, para crecer luego a una taza del 3% anual. 95

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La oferta de Beta, consiste en un sistema cuyo precio contado es de M$150.000, pero que debe ser implementado en un equipo computacional más moderno que el que dispone la empresa cuyo valor contado es de M$270.000. Debido al cambio de equipo requerido, acepta en recibir los actuales equipos de la empresa en parte de pago por un valor de M$50.000. Este moderno sistema tiene asociado un costo de mantenimiento anual de M$2.000. La oferta incluye un financiamiento del 100% de la inversión, pagadero en 15 años, en cuotas trimestrales iguales de pago al 10% anual con capitalización bimestral. La empresa desea que usted, determine el Valor Presente de ambas propuestas de modo de poder compararlas, ya que el costo alternativo del capital para la empresa es del 12% anual.

96

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.

PREPARACIÓN Y FORMULACIÓN DE PROYECTOS

3.1

Metodología General

La metodología general de la Preparación y Formulación de Proyectos, surge al reconocer que la evaluación de proyectos de inversión es un proceso y que como tal, presenta variadas etapas que se comunican entre sí para otorgar dinamismo al proceso. De esta forma, se plantea que la Evaluación de Proyectos Inversión, es un proceso orientado a establecer la mejor opción entre las diferentes alternativas de solución que admite un determinado problema o resolución de alguna necesidad. Acorde a lo anterior el proceso de Evaluación de proyectos es un proceso de toma de decisiones, tal como fue descrito en el capítulo Nº1 (ver figura Nº 1.1), en el cual deben ser especificados los diferentes componentes del diagrama de proceso, dichos componentes debe estar en relación directa con los objetivos del proceso de evaluación de alternativas de inversión. Sobre la base de lo anterior se plantea el siguiente diagrama:

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Figura Nº 3.1 Proceso de Evaluación

Diagnostico o Estudio situación

actual Plantear y formular Alternativas

Estudio Tecnológico

Estudio Económico

Flujos Netos de Caja Criterio de Evaluación

Indicadores de Rentabilidad Sensibilidad

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El anterior diagrama muestra la existencia de tres grandes conjuntos de acciones relacionadas con el proceso de evaluación, en la cual la primera fase comprende la definición del sujeto en estudio, es decir el diagnostico o estudio de la situación actual y al planteamiento de cursos de acción alternativos. La segunda fase, dice relación con los estudios técnicos que permitirán estructurar el proyecto de inversión en términos de ingeniería, en relación a procesos y tecnologías a emplear, y al conjunto de estudios de mercado y financieros que sustentaran los aspectos económicos de él. Por último, se hace presente la fase de instrumentos de evaluación, la que se inicia con la explicación de los flujos de caja de la alternativa de inversión a la luz del criterio de evaluación, y continua con los indicadores y análisis de sensibilidad. Estas tres fases, siempre están siendo ejecutadas a la luz de los criterios de evaluación que se vayan a emplear, de tal forma que desde el análisis de la situación actual y planteamiento de alternativas se tenga en consideración los criterios de evaluación. DE otra forma, sería lastimoso el llegar a la etapa de aplicación de los instrumentos de evaluación y detectar que la información recopilada no permita generar los indicadores. Ello puede ocurrir por falta de antecedentes o por haber sido ésta preparada con otro objetivo. Los criterios contemplan un doble prisma, por una parte el tipo de evaluación y por otra el criterio propiamente tal de análisis.

− Tipo de Evaluación: Dice relación con los objetivos básicos del proyecto de inversión y de los agentes económicos que se verían afectados por la acción del proyecto, en este sentido se pueden establecer: − Evaluación Privada: considera sólo los efectos que pueden ser tomados en propiedad por parte de quien efectúa la inversión. − Evaluación Socioeconómica: considera los efectos inducidos por el proyecto en la totalidad de los agentes económicos (estudiando la forma en que se ve afectado el desarrollo del país y los agentes más cercanos), prescindiendo de quien toma en propiedad los beneficios y costos. − Evaluación Ambiental: considera la medición de los efectos que el proyecto provoca en el medio ambiente (ambiente natural y humano) e incluye las medidas de mitigación respectivas. − Evaluación Integral: incorpora a la evaluación socio – económica la evaluación ambiental, generando instrumentos que integren efectivamente todos los efectos. Este tipo de evaluación trata de generar consenso entre las posturas ecologistas con las centradas en el hombre, valorando los efectos en el medio pero considerando que el bienestar del hombre requiere de emplear los recursos naturales sostenible y sustentable.

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− Criterio: incorpora explícitamente los objetivos del proyecto y de los agentes económicos que están invirtiendo en él (en el caso que el estado tenga algún tipo de participación, también debe estar incluido su visión), se pueden entonces distinguir: − Rentabilidad: aumentar y/o mejorar la rentabilidad de una empresa o negocio con la ejecución de un proyecto de inversión, lo cual conlleva un balance entre Costo y Beneficios. Este criterio está normalmente asociado a empresas e instituciones cuyo objetivo se maximizar su rentabilidad (ganancias). − Desarrollo económico: Aumentar la riqueza de una determinada área, mejorar las condiciones de un determinado sector, etc.. Normalmente asociada a tipo de evaluación socioeconómicas, en donde se pone de manifiesto un balance entre Costos y Beneficios para la sociedad de implementar el proyecto. − Objetivos de Programas: en estos casos los proyectos corresponden al tipo de evaluación socioeconómicas, ambientales e integrales, en donde se busca la efectividad para alcanzar los objetivos particulares de un determinado programa (nutrición Infantil, Salud Pública, Descontaminación, etc.), por lo cual el juicio estará puesto en el balance entre Costos y Eficiencia para alcanzar los objetivos (número de prestaciones, personas beneficiadas, etc.). No obstante, también es empleado este criterio en proyectos del tipo evaluación privada, cuando los proyectos son de beneficencia, o en los tipos privados y social cuando los beneficios económicos sean difíciles de estimar, pudiendo presumir que todas las alternativas general similares beneficios económicos y se busque la mejor manera de cumplir un cierto objetivo (permanencia en el mercado, seguridad nacional, seguridad ciudadana, mejorar gestión de unidades administrativas, etc.)

Lo anteriormente expuesto a dado tradicionalmente origen a dos grandes criterios de evaluación de proyectos de inversión, los que corresponde a: Costo – Beneficio y a Costo – Eficiencia. En donde, ha sido el primero de estos criterios el de mayor uso, al estar orientado a determinar rentabilidad de los proyectos, no obstante el segundo criterio esta siendo cada día de mayor uso, especialmente en la evaluación integral. Los conceptos de costo, beneficio y eficiencia, van a depender del tipo de evaluación (Privada, Socioeconómica, Ambiental e Integral) Para efectos del presente documento, se considerará que a partir de este punto el Criterio de Evaluación es el de Costo – Beneficio, en tipos de evaluación privada cuyo objetivo es maximizar la rentabilidad. 100

Evaluación de Proyectos de Inversión

En el proceso de estudio de una iniciativa de inversión, se deben distinguir tres situaciones: actual, sin proyecto y con proyecto.

− Situación Actual, comprende la descripción en materia de sucesos físicos, humanos, ambientales y económicos de lo que actualmente esta aconteciendo con la fuente que dio origen al proyecto, por ejemplo: la situación actual de la empresa en materia de productos elaborados (cantidad, calidad, precios, costos de producción, etc.), equipos de producción (vida útil, estado de conservación, costos de reparación, fracción de artículos producidos defectuosos, velocidad de producción), procesos productivos (secuencias de producción para cada producto, cantidad de equipos disponibles, capacidad de la línea de producción, cuellos de botella, etc.), demanda por cada uno de los productos, segmentación de mercados, competidores, aliados, situación económica del área y/o del país, etc. El estudio, determinación de valores y análisis de los anteriores aspectos, constituye per se el Diagnostico, él cual comprende tres grandes grupos de estudios; tecnológico (procesos de producción, equipos, etc.), Mercado (productos, competidores, aliados, precios, costos, etc.) y Financieros (fuentes de capital, costos de los créditos, nivel de endeudamiento, etc.). Es necesario destacar que esta situación actual es estática, muestra lo ocurrido en el pasado hasta el instante en el cual se comienza a efectuar los estudios, pero permite establecer las causas que verdaderamente dan origen a aquel problema activo el proyecto de inversión en estudio, consecuentemente se pueden plantear a partir de esta información básica algunas alternativas de solución.

− Situación sin Proyecto, toma como base la situación actual e incorpora aquellos aspectos que van ha ocurrir en el futuro, independientemente de que se lleve a cabo el proyecto o no, tal es el caso de incrementos de la demanda por crecimiento natural de la población, expectativas de crecimiento del Ingreso de las personas y sus efectos el las preferencias, variaciones en los precios de mercado de los productos, materias primas etc.. Componentes todas ellas que otorgan una característica absolutamente dinámica a la situación, ya que incluye las proyecciones de lo venidero o futuro. La importancia de considerar ésta situación en la evaluación de proyecto, radica simplemente en evitar que sean asociados al proyecto una cantidad mayor de efectos que los en realidad éste induce. El siguiente ejemplo es aclaratorio al respecto: en la situación actual la demanda es de 5000 unidades al mes, y en la situación con proyecto sería de 10.000 unidades al mes, se estaría planteando que el proyecto induce un incremento de demanda de 5.000 unidades, en tanto que la situación sin proyecto podría señalar 9.000 unidades al mes de demanda, con lo cual equivocadamente se estaría sobre estimando el efecto del proyecto en 4.000 unidades por mes, lo que redundará en una sobre estimación de la rentabilidad del proyecto, situación que es extremadamente peligrosa.

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− Situación con Proyecto, como su nombre lo indica considera todo aquello que ocurrirá el ser implementado el proyecto, incorporando todos aquellos aspectos que digan relación con cambio en producción, inversiones, nuevos mercados, etc.. Al aplicar los cambios generados por el proyecto, la base de proyección debe ser la situación sin proyecto, de modo que incorpore las modificaciones sobre aquellos aspectos que ha de ocurrir se efectúe o no el proyecto.

La fase de formulación de alternativas, que se inicia a partir del estudio de la situación actual y sin proyecto, viene a constituir una etapa de puesta a prueba del ingenio, de la capacidad de innovación, y de conocimientos de los profesionales que intervienen en cada una de las especialidades que involucre el proyecto, en atención a planear nuevos negocios, nuevas formas para un mismo tipo de negocio, nuevas estrategias de desarrollo, nuevas tecnologías o un uso eficiente de las actuales, optimización del uso de los recursos, etc., razón por la cual en esta fase se debe dejar abierta las puertas a la creatividad y trabajar más bien en un clima de tormentas de ideas, aceptando cualquier iniciativa, las malas o absurdas no resistirán los análisis preliminares, este estilo de trabajo facilita el alumbramiento de la mejor solución, la cual de otra forma pudiere quedar excluida sin haber siquiera nacido. Las fases de estudio tecnológico y estudio económico, tal como fuere planteado en la situación actual son un conjunto de estudios destinados a caracterizar y a generar la información base de cada situación asociada a un proyecto de inversión. Sin perdida de generalidad, es en la situación con proyecto en donde los estudios tecnológicos y económicos cobran más importancia, ya que se debe determinado para cada una de las alternativas de solución, cuales son los procesos y si estos procesos técnicamente son factibles. Si ellos son aplicables, cuales serán: los equipos, materias primas, personal, energía y espacio físico requerido, tipo de instalación. En los aspectos económicos la existencia de demanda para el producto (en especial cuando es nuevo), precios de la competencia, precios de las materias primas, estrategias de difusión y de penetración de mercado, etc.. Ambos tipos de estudios vierten su información en los flujos de Caja. Los flujos de caja, constituyen el resumen de los efectos de un proyecto de inversión desde la perspectiva de eventos económicos o monetarios, estos flujos o corriente de ingresos y egresos del proyecto deben ser tratados en términos increméntales, es decir deben reflejar la diferencia que se produce entre la situación con y sin proyecto, de modo de evaluar sólo los efectos que el proyecto de inversión genera. Serán estos flujos el material básico para la determinación de los respectivos indicadores de rentabilidad, optimizando y sensibilizando los resultados a fin de dar el mejor uso de los recursos disponibles.

102

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Figura Nº 3.2 Estudio de Alternativas Para cada alternativa situación con proyecto

Proceso Productivo

Mercado

Legal y organizacional

Legalidad de la actividad Factibilidad Técnica

Precios

Franquicias, Impuestos Estructura orgánica administrativa

SI Equipos

Vehículos

Espacio Físico

Productos

Mat. Primas

Personal

Consumos

Costos – Beneficios

Inversión

Ingresos

Flujo Neto de Caja

103

Costos

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3.2

Costos e Ingresos en Proyectos de Inversión

3.2.1

Conceptos

En el proceso de evaluación de proyecto anteriormente descrito, surge como elemento clave en la determinación de indicadores de rentabilidad, los costos e ingresos (beneficios en general) generados por el proyecto, a este respecto se debe tener claridad que el criterio de evaluación es Costo - beneficio y en tipo de evaluación privada, lo cual implica que tanto costos como beneficios deben cumplir con cinco condiciones para ser incorporado a los flujos de caja del proyecto.

− Identificables:

el beneficio o costo debe corresponder a una acción u omisión inducida por el proyecto, estando entonces el beneficio o costo (según sea su naturaleza) ligado y manifestando uno de los componentes del proyecto. Al plantear beneficios o costos, se debe tener especial precaución de no considerar más de una vez un mismo componente (evitar contabilizar más de una vez). En proyectos ganaderos por ejemplo, no se puede considerar para una misma cabeza de ganado, beneficios simultáneos de producción de leche y carne. Los Costo y Beneficios, para que sean propios del proyecto deben ser evitables, ello implica que serán evitables (no se producen, no se incurren) si al actuar de una determinada manera (no efectuar el proyecto) dichos costos o beneficios no están presentes

− Medibles:

Los ítem de beneficios y costo, identificados previamente, deben ser convertidos con cantidades mensurables, para cada uno de los períodos en los cuales el proyecto será analizado. El proyecto ganadero, va ha producir más leche, la pregunta es cuanta más leche, al responder se estará midiendo cuantitativamente el beneficio o costo.

− Valorables:

Una vez determinada la cantidad de beneficios o costos (cuantos litros de leche más, cuantas toneladas más de forraje, etc.), se debe proceder a traducirlas a valores monetarios. En este punto cobra importancia la proyección de precios y lo planteado en matemáticas financieras en materia de moneda base y efecto inflación, prefiriendo emplear una moneda libre de inflación o en su defecto pesos con una determinada fecha base.

104

Evaluación de Proyectos de Inversión

− Esperados:

Dice relación con la capacidad de acción sobre el futuro, en la cual se plantea que los eventos sobre los cuales se puede tener injerencia son aquellos que ocurrirán en el futuro. Sólo es posible cambiar o modificar el futuro de la empresa y de las personas, mediante acciones que se desarrollen e implementen a partir de hoy día. Sobre el pasado, con sus costos y beneficios no existe poder de decisión, es no modificable, los costos del pasado incurridos están al igual que los ingresos.

− Increméntales:

Al existir dos situaciones de ocurrencia en el futuro, las sin y con proyecto, resulta ser conveniente para efectos de asilar aquellos que son inducidos sólo por el proyecto, trabajar con el concepto análisis incremental. Lo que implica restar de la situación con proyecto la situación sin proyecto, lo anterior surge como respuesta al hecho de que en la mayor parte de los proyectos de inversión, los diferentes componentes sirven a más de un propósito (por ejemplo los ejecutivos de marketing, no sólo se preocupan de la línea de productos elaborados por el proyecto, más bien se ocupan de todas las líneas de la empresa). En la mayor parte de los proyectos de inversión que son emprendidos, existe el denominador común de; ampliación, modificación, actualización, renovación, conceptos todos ellos que implican la existencia de una situación actual productiva (bienes y/o servicio) en la cual se compartirán (existencia) algunos elementos comunes con el proyecto. Los elementos comunes, van desde compartir parte de la estructura administrativa, personal de producción, vehículos, equipos, a incluso materias primas.

3.2.2

Clasificación de Costos

Los costos son susceptibles de ser clasificados de diversas maneras, dependiendo de los objetivos que tenga en mente el analista, pudiendo en este caso hablar de costos de inversión, costos de producción, costos de operación y fuera de explotación, etc. Sin lugar a dudas la gama de clasificaciones es amplia, siendo el área de la Contabilidad de Costos quien provee de más posibilidades, no obstante y sin perdida de generalidad, para efectos de evaluación de proyectos se emplean las tipologías de clasificación general y una clasificación más operativa para flujos de caja.

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A. Clasificación General: dice relación con la naturaleza de las acciones emprendidas, su dimensión temporal y el grado de manejo (capacidad de modificación) que ellas admiten, en esta tipología se disponen de cuatro grupos:

1. Costo Fijo y Variable: i) Costo Fijo : se considera que un costo es del tipo fijo, cuando su valor es independiente del nivel de producción (acepción más frecuente, pero puede ser empleada cualquier otra variable que tenga asociada escalas cuantitativas), ejemplo son los arriendos de local y maquinarias, sueldos, consumos por iluminación, etc. ii) Costo Variable: valores que están en directa relación al valor que adquiere la variable en la escala cuantitativa, como por ejemplo el nivel de producción, nivel de ventas, etc.

2. Costo Histórico y Futuro: i)

Costo Histórico: costos que ocurrieron en con anterioridad a la fecha focal hoy, que por ende es un referente inmodificable y no asociable al proyecto.

ii) Costo Futuro: valores que como su nombre lo señala, tendrán una ocurrencia el algún período de tiempo posterior al día de hoy (fecha focal), pero que pueden o no estar en relación con el proyecto. La ocurrencia en el futuro de un ítem de costo no necesariamente implica su relación con el proyecto, tal como lo es por ejemplo, el pago de cuotas en los siguientes períodos por concepto de créditos por la adquisición de equipos en el pasado.

3. Costo Evitable e Inevitable: i) Costo Evitable : son aquellos en los cuales se incurre o no dependiendo de cómo se actúe sobre alguna variable de decisión. El caso del costo de materias primas (costo variable) cuando la variable de decisión es nivel de producción. ii) Costo Inevitable: valores que son incurridos con independencia de cómo se actúe sobre alguna variable de decisión, como por ejemplo es el arriendo de local cuando la variable es el nivel de producción.

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4. Costo Explícito y de Oportunidad i)

Costo Explícito : costos que son incurridos en adición a lo actual, presentan la característica de ser increméntales per se, al ser valores que efectivamente serán incurridos (visibles).

ii) Costo de Oportunidad: valores que miden el sacrificio en el que se incurre por el hecho de actuar de una determinada manera en exclusión de otra (llevar a cabo una acción en omisión de otra), como ejemplo: se tiene el dejar un empleo actual para dar inicio a un nuevo negocio, en cuyo caso la remuneración que se está en estos momentos percibiendo no se obtendrá el iniciar el nuevo negocio, con lo cual ella es un costo de oportunidad del nuevo negocio.

B. Clasificación Operativa para Flujos de Caja: más que efectuar una definición, en este punto se procederá a llevar a cabo una descripción de los costos que forman parte de los flujos de caja. 1.

Costos de Ventas: Costos de comercialización de los productos y/o servicios producidos por el proyecto, incluye el costos de la fuerza de venta, publicidad, promociones, transporte de productos terminados a centros de distribución o cliente.

2.

Costos Operacionales: Costos que se incurren en pos de los objetivos del giro del negocio

3.

Costos de Producción: Costos asociados a la producción de los bienes y/o servicios, incluyen los directos de producción (equipos, consumos de energía, materias primas, etc.), como aquellos indirectos tales como bodegaje, control de calidad, etc.

4.

Costos de Administración: valores correspondientes al personal y consumos de la administración general del negocio, tales como consumos de oficina central, sueldos de secretarias, personal auxiliar, etc.

5.

Costos No Operacionales: ítem asociados a acciones que no comprenden el giro del negocio, por ejemplo perdidas financieras, etc.

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3.3

Inversiones

Clasificaciones de la Inversión Para efectos del Análisis Económico de Proyectos, la Inversión se pueden clasificar en 3 grupos: Activos Fijos Inversión

Activos Nominales Capital de Trabajo

3.3.1

Activos Fijos (ó Físicos)

Los activos Fijos o Físicos presentan la característica de ser visibles al observador, permaneciendo en el tiempo en la empresa y constituir el conjunto de elementos que junto al personal permiten transformar las materias primas en productos finales. A continuación se señalan algunos de los activos fijos más comunes: 1.

Terreno.

2.

Edificios.

3.

Galpones Industriales

4.

Maquinaria y Equipos (incluye valor de instalación).

5.

Matrices, Herramientas e instrumentos.

6.

Subestaciones Eléctricas.

7.

Instalaciones de Servicios (agua potable, alcantarillado, electricidad, gas, teléfono, satélites, etc.)

8.

Sistemas de Tratamiento (Agua contaminada que debe ser tratar antes de su disposición en las redes públicas o causes, situación similar ocurre con el tratamiento emisiones de gases en chimeneas, etc.).

9.

Vehículos y medios de transporte (automóviles, camiones, grúas horquillas, puentes grúas, cintas transportadoras aéreas o terrestres, etc.).

10.

Muebles y equipamiento de oficinas

11.

Obras Civiles (caminos, puentes etc.)

108

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3.3.2 Depreciación La totalidad de los Activos Fijos, está sujeto a pérdida de valor en el tiempo al ser usado, esta perdida de valor por el uso de los activos en el tiempo se denomina depreciado. La excepción a la regla la constituye el activo Terreno, él cual por sus cualidades no ve alterado su valor per se, lo que cambia de valor es aquello que esta sobre el terreno, con lo cual el terreno no se deprecia. Los métodos de depreciación son básicamente dos; el sistema Lineal y los Acelerados, a pesar de que el Servicio de Impuestos Internos en Chile admite sólo como sistemas validos el lineal simple y el lineal acelerado, se plantean en este punto algunos de los más usados en el ámbito mundial. El lector puede encontrar más antecedentes sobre los sistemas empleados en Chile en la resolución exenta 43 del Servicio de Impuestos Internos.

A.

Depreciación Lineal Simple En este sistema la perdida de valor que sufre un activo, se considera que es constante a lo largo de su vida útil, el activo inicia su vida con un valor inicial igual al valor de él instalado en la empresa, para que al finalizar su vida concluir con un valor de desecho o valor residual (valor que tiene un activo al termino de su vida útil, representado la capacidad residual de generar beneficios). DL =

VI − VR N

en donde: VI : Valor Inicial del Activo, incluyendo el costo de instalación VR : Valor Residual del Activo al termino de su vida útil N : Vida útil del Activo

B.

Depreciaciones Aceleradas Los sistemas de depreciación acelerados, consideran que la perdida de valor de un activo a lo largo de su vida útil no es constante, es más todos ellos establecen que la perdida es mayor en los primeros períodos y que luego va disminuyendo, difiriendo en la forma en que se produce la reducción:

Lineal (con menor vida útil) Depreciaciones Aceleradas

Suma de Dígitos Saldo de Doble Declinación 109

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i)

Depreciación Lineal Estipula que los activos estarán sometidos a un mayor desgaste durante una cantidad de períodos iniciales menor que la vida útil, para luego tener una perdida nula de valor. El activo en este caso, producto de un uso más intensivo (camiones en actividad minera) tiene una vida útil menor o reducida, incluyendo esta última para la determinación de la depreciación.

DL = ii)

VI − VR N1

con N1 < N

Depreciación Suma de Dígitos

Este sistema asume que la perdida no es igual a lo largo de la vida del activo y que la reducción en el monto de la depreciación tendrá un comportamiento lineal, resultado por ende un gradiente escalón inverso (decrece en lugar de incrementar en cada período)

VI

D SD t =

(VI − VR ) ∗ (N + 1 − t ) N

∑t t =1

VR t

iii)

Depreciación Saldo de Doble Declinación

Al igual que el anterior sistema de calculo de depreciación, se estipula que el comportamiento es de una mayor perdida los primeros períodos para luego ir decreciendo, considerando que la perdida de valor es determinada sobre el valor libro (valor inicial menos la suma de las depreciaciones al período anterior).

(

)

D SDD t = VLibro t − VR ∗

2 N

N -1

VLibro t = ∑ VI − D K t =1

Este método requiere un ajuste el último período ya que el ser de forma hiperbólica es tiende a ser paralelo al eje tiempo, luego para llegar el último período al valor residual se debe cargar como depreciación la diferencia entre el valor libro al (N-1) y el valor residual en el período N 110

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3.3.3

Activos Nominales o Intangibles

Los Activos Nominales, son aquellos gastos que fue necesario incurrir para dar origen al proyecto, pero que no quedan incorporados visiblemente en la empresa o negocio, siendo todos ellos de carácter absolutamente puntual, cubriendo el período desde el origen del proyecto hasta la puesta en marcha (proceso de calibración de los equipos y pruebas de operación de los sistemas), entre los cuales se tiene a los siguientes 1.

Gastos de constitución de la Sociedad.

2.

Estudios de Factibilidad y Asesorías.

3.

Proyectos de Ingeniería definitiva.

4.

Supervisión de la Construcción.

5.

Intereses durante la Construcción.

de Llave de Marca 6.

Derechos

de Patente (iniciales) de Seguros etc.

7.

Gastos de organización, antes de la puesta en marcha.

8.

Gastos de viajes de cotización y adquisiciones.

9.

Gastos de Publicidad inicial (Lanzamiento de un Producto).

10. Gastos de Capacitación inicial del Personal. 11. Gastos de Puesta en Marcha. Los Activos Nominales, al ser gastos (no son bienes o activos visibles que estén sujetos a desgaste por su uso) no es depreciable, es decir no están sujetos a perdida de valor en el tiempo, pero como forman parte de los costos en los cuales es necesario incurrir para dar origen al proyecto, el servicio de impuestos permite pasar a gasto esta inversión, mediante el concepto de amortización, en el cual durante una determinada cantidad de períodos la inversión en activo nominal proporcionalmente es descontada de los márgenes para efectos tributarios. Para efectos de imputar activos nominales a la inversión, se debe tener especial cuidado en diferencia entre aquellos que a la fecha de análisis se encuentran incurridos y aquellos que quedan por gastar. Sólo estos últimos forman parte de la inversión (son evitables). 111

Miguel Angel Mellado Espinoza

3.3.4

Capital de Trabajo

El Capital de Trabajo es el conjunto de activos requeridos para dar continuidad al proceso productivo y permitir financiar los desfases entre la adquisición de insumos o materias primas y las ventas de los productos. El capital de trabajo financia los desfases en el proceso productivo (costos directos), aportando dineros para materiales, consumos, personal, etc. y recuperando los montos utilizados en la medida que van ingresando los dineros provenientes de las ventas Al término del proyecto el Capital de Trabajo se recupera íntegramente, ya que no se continuara produciendo, como además es utilizado y recuperado continuamente, no está sujeto a pérdida de valor por uso o depreciación. El Capital de Trabajo puede ser determinado de dos formas: Máximo Déficit Acumulado Métodos Ciclo de Productividad

A. Método Máximo Déficit Acumulado

El método se basa en los resultados de flujos de caja proyectados, ya que será en los primeros períodos en donde los ingresos serían inferiores a los costos, generando con ello déficit de caja. Este método para determinar el capital de trabajo es usado sólo hasta el nivel de pre-factibilidad de un proyecto, debido a que no existencia de déficit implicaría en él que el capital de trabajo no es requerido, situación que dista de la realidad.

Período 1 Ingreso (M$) Costo (M$) Déficit (M$) Déficit Acumulado (M$)

2 500 700 200 200

3 800 900 100 300

4 1.200 1.000 (200) 100

1.500 1.100 (400) -

Capital de Trabajo = Máximo Déficit Acumulado

Capital de trabajo = M$ 300 Desventajas del método de Máximo Déficit Acumulado: • No considera el valor del dinero en el tiempo. • Establece que no requiere de capital de trabajo en el caso de que no haya déficit. 112

Evaluación de Proyectos de Inversión

B. Método Ciclo de Producción

El Método "Ciclo de Producción", coloca como foco del análisis los costos que será necesario financiar durante el proceso de producción. En este sentido considerar los valores monetarios y los períodos de tiempo que van desde la adquisición de los insumos o materias primas para transformarlos en productos terminados, hasta el instante que es recuperada la última unidad de dinero proveniente de la venta de los productos. Los valores a incluir sólo están en relación con la producción. Este método al ser independiente de la relación costos – ingresos y fijar su foco de análisis en el proceso productivo propiamente tal, se puede utilizar en cualquier nivel del estudio de factibilidad.

CICLO DE PRODUCCION Período de Materias Período de Producción o Primas Transformación

Período Inventario de Productos Terminados

Producción Tiempo de Materias Primas

Período de Cobranza

Venta

Tiempo de Transformación

Tiempo de Inventario

Tiempo de Cobranza

Costos Costo de Producción Mantiene el mismo costo, ya que no existe agregación de valor.

Costo de Materias Primas Período en el cual se van transformando las materias primas en un producto terminado y por ende agregando costo de producción

Las ventas permiten recuperar el capital de trabajo usado

Tiempo El dinero es detenido hasta las ventas.

Debe financiarse todo el ciclo de producción con el Capital de trabajo (KT).

113

Miguel Angel Mellado Espinoza

El capital de trabajo es entonces el área comprendida bajo la curva de costo en el tiempo, la cual en una primera aproximación puede ser estimada como el costo de producción promedio en el ciclo de producción. KT = CProducción ∗ (αMateriasPrimas ∗ TMateriasPrimas + αTransformación ∗ TTransformación + TInventario + αCobranza ∗ TCobranza)

En la anterior expresión se han considerado aproximaciones rectangulares en cada uno de los sectores rectangulares, los coeficientes alfa asociados a cada período representan la proporción del costo de producción que es incurrido en cada uno de los sectores, de forma que se tienen:

α MateriasPrimas =

Costo de Materias Primas Costo de Producción

α Transformación = Grado de terminación del Producto

α Cobranza =

∑ (Plazo de Pago

i

∗ % de Pago i )

Mayor Plazo de Pago

El costo de producción debe estar expresado en unidades monetarias por unidad de tiempo, dado que los valores del paréntesis de calculo del capital de trabajo son unidades de tiempo. La expresión antes desarrollada determina la necesidad de capital de trabajo para cada período en estudio, sin embargo la inversión en capital de trabajo va a corresponder a los requerimientos adicionales de capital de trabajo para el período en análisis, dado que los aportes permanecen en la empresa hasta el término del proyecto y deberá estar disponible el primer día del período en el cual fue determinado.

InvKTt = KTt +1 − KTt

La suma de los aportes en capital de trabajo, son recuperados a su mismo valor (íntegramente) al termino del período de estudio o termino del horizonte de análisis del proyecto. 114

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.3.5 Aplicación Capital de Trabajo

Una empresa que trabaja 6 días de cada una de las 52 semanas al año, tiene un plan de producción para los 4 primeros años de 100.000, 150.000, 250.000, 500.000 toneladas respectivamente. La estructura de costos considera que el costo del personal es de $10.000 por tonelada, el de equipos es de $15.000 por ton, los costos fijos de producción son de M$50.000 al mes y el costo de materia prima es de $10.000 por tonelada si la cantidad a comprar supera las 200.000 toneladas, en caso contrario el valor aumenta a $12.000 por tonelada. Las ventas se llevan a cabo con plan de venta de un 30% al contado, 10% a 20 días, 40% a 45 días y el 20% restante a 60 días. El tiempo de materias primas es de 5 días y el de inventario es de 8 días. Los 4 primeros días de transformación avanzan un 60%, a los 8 días alcanzan un 80%, a los 10 días un 90% para finalmente completar el producto a los 12 días. Con dichos antecedentes se solicita que determine la inversión en capital de trabajo.

Solución:

La estructura de costos presenta un quiebre en las 200.000 unidades, con lo cual el costo anual de producción expresado en miles de $ queda: Costo de Producción =

(10+15+12)*Q + 50.000*12 si Q ≤ 200.000 ton (10+15+10)*Q + 50.000*12 si Q > 200.000 ton

Los costos de producción deben ser transformados a costo diario, dado que los períodos de tiempo tienen esa dimensión, para estos efectos ha sido considerado 52 semanas al año y 6 días por año, lo cual da 312 días al año. Costo de Producción diario =

años 1 2 3 4

Volumen [Q ] toneladas 100.000 150.000 250.000 500.000

Costo de Producción 312

Costo de Mat. Primas M$ 1.200.000 1.800.000 2.500.000 5.000.000

115

Costo de Costo de Producción Producción M$ M$/día 4.300.000 13.782,05 6.150.000 19.711,54 9.350.000 29.967,95 18.100.000 58.012,82

Miguel Angel Mellado Espinoza

El coeficiente alfa de materias primas, debe ser determinado con el costos de materia primas y costos de producción expresados ambos en las mismas unidades monetarias.

α MateriasPrimas =

Costo de Materias Primas Costo de Producción

(α Mat + 60) ∗ 4 + (60 + 80) ∗ 4 + (80 + 90) ∗ 2 + (90 + 100) ∗ 2 2

α Transformación =

α Transformación =

α Cobranza =

5 5 5 5

2

2

12

α Mat + 63,33 6

30 ∗ 0 + 10 ∗ 20 + 40 ∗ 45 + 20 ∗ 60 = 53,33% 60

Años TMat 0 1 2 3 4

2

αMat

TTrans αrans

TInv

TCob

αob

27,9 29,3 26,7 27,6

12 12 12 12

8 8 8 8

60 60 60 60

53 53 53 53

68,0 68,2 67,8 67,9

KT M$ 0,00 682.672,53 987.258,83 1.481.963,54 2.872.427,17

Inversión Capital de Trab. 682.672,53 304.586,30 494.704,71 1.390.463,63

Una vez tabulados para cada uno de los años los coeficientes y costo de producción diario, se procede a determinar la necesidad de capital de trabajo (KT). El capital de trabajo debe estar disponible el primer día del período en el cual es requerido, por lo cual el aporte debe ser efectuado al termino del período inmediatamente anterior, los montos de los aportes o inversión en capital de trabajo es establecido como la diferencia entre la necesidad del período y lo que ya estaba disponible.

116

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.4

Flujos Netos de Caja

3.4.1

Formulación de Flujos Netos de Caja

Los flujos de caja corresponden a la variación que se produce período a período en “la caja del proyecto”, es decir comprende la corriente o flujo de dinero que ingresa y sale neto del negocio o empresa producto de un proyecto, vale decir, determina la diferencia de los ingresos y egresos o costos (gastos). Comprende los ingresos operacionales y no operacionales y los prestamos, los costos de Inversión, Costos de Operación y no operacionales, Impuestos y pago de créditos

A. Inversión: es el conjunto de activos necesarios para dar vida e implementar el proyecto.

A.1

Inversión Total

A.2

Préstamo

A.3

Inversión Neta = Inversión Total - Préstamo

Es un programa de inversión, que se ejecuta en el tiempo, dado que: •

La Inversión inicial puede comprender más de un período

•

Reposición de equipos por término de vida útil o reinversión

B. Operación o Explotación

B.1

Ingresos por ventas de productos y/o servicios generados por el proyecto

B.2

Costos de venta o costos de comercialización (c. fijo + c. unitario * Q vendida)

B.3

Ingresos Netos de Venta = (B.1) – (B.2)

B.4

Costo de Producción = C. Directo + C. Indirecto

B.5

Margen Bruto = (B.3) – (B.4)

B.6

Costo de Administración

B.7

Margen Neto = (B.5) – (B.6)

C. Ingresos y/o Costos Fuera de Explotación

C.1

Ingresos no operacionales (por venta de activos)

C.2

Costos no operacionales

117

Miguel Angel Mellado Espinoza

D. Impuestos

D.1

Impuestos operacionales = tax * (B.7 - Depreciación - Intereses pagados -Amortización de activos nominales o intangibles)

D.2

Impuestos no operacionales: se pagan por sobre la ganancia obtenida en los ingresos no operacionales. = tax * (valor venta activo - valor libro)

El servicio de impuestos internos permite para efectos tributarios pasar a gasto los montos invertidos y el costo financiero de adquisición de activos: −

Los activos depreciables, se pasan a gasto mediante la depreciación de cada período

−

Los activos nominales, a través de la amortización de activos nominales

−

El costo financiero corresponde a los intereses pagados por los créditos contratados.

E. Cuotas de Pago de Créditos Contratados

E.1

Intereses pagados

E.2

Amortización de Créditos

E.3

Cuotas de Pago

F. Flujo Neto de Caja (FNC)

FNC = B.7 + C.1 – A.3 – C.2 – D.1 – D.2 – E3

118

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.4.2

Aplicación de Flujos de Caja

La empresa Dormisuave, está interesada en llegar a establecer la viabilidad económica de un proyecto destinado a producir un nuevo tipo de colchón anatómico extra reforzado, producto de los cambios que se están produciendo en este tipo de mercado y la llegada de colchones inflables desde el extranjero, ellos estiman que el proyecto en si no debiera ser evaluado en un horizonte que vaya más allá de los 6 años. Determinando que la inversión inicial necesaria para su implementación estaría compuesta por: Item Terreno Construcciones Maquinarias tipo A Maquinarias tipo B Equipos de Oficina

V. Inicial M$ 8.000 M$ 18.000 M$ 8.000 M$ 10.000 M$ 5.000

V. Residual

V. útil

M$ 4.000 M$ 1.000 M$ 2.000 M$ 600

20 años 2 años 3 años 6 años

Los requerimientos de capital de trabajo para cada año se estiman proporcionales a los costos de producción, representando un 20 % de ellos. Las maquinarias al termino de su vida útil pueden ser vendidas en un 40 % de su valor inicial en el mercado secundario. A su vez en el sexto año, las construcciones tendrá un valor de venta de M$ 12.000 y los equipos de Oficina de M$ 1.200. El servicio de impuestos internos de la localidad establece que el sistema de depreciación admisible para las construcciones es lineal y para los equipos y maquinarias suma de dígitos. De igual forma, ha informado que aplica una tasa de impuestos es del 15 %. El estudio organizacional determinó que los costos de administración del negocio serán de M$ 5.000 y que el costo de venta sería de un 2 % de las ventas más un costo fijo de venta por M$ 3.000. La gerencia de la empresa está dispuesta a financiar todos los activos fijos con la excepción del terreno. El banco Hito le ofrece un crédito al 8 % anual efectivo pagadero en 3 cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto. El estudio de mercado establece que iniciara con una producción de 10 mil unidades al año, para incrementarla en un 25 % el segundo año y llegar al tercer año a una producción estable un 50 % superior a la del primer año. Los costos de los estudios, junto a la puesta en marcha suman 30 millones amortizables en tres años para efectos tributarios Debido a la competencia se adopta un precio de penetración del 80.000 $/unida, para incrementarlo un 12,5 % a partir del tercer año. Los costos variables de producción establecen un valor unitario de 8.000 $/unida para mano de obra, 20.000 $/unida para insumos y 7.000 $/unida para otros costos de producción. Los que se mantendrían invariables en el tiempo. El costo fijo será de M$ 80.000 en cada año.

119

Miguel Angel Mellado Espinoza

Solución:

El problema será resuelto considerando el una primera etapa los ingresos y costos de operación, lo cual permitirá además determinar la necesidad de capital de trabajo, dado que este está en función del costo de producción. La segunda etapa comprende el programa de inversiones y préstamo, la tercera fase incluye las rebajas al impuesto (depreciación, amortización de activos nominales e intereses pagados). Finalmente en una carta fase se une todos las factores dando origen a los flujos netos de caja. Producción: Año Producción Costo Var. Costo Fijo C. Produc. Unidades M$/unidad M$ M$

1 2 3 4 5 6

10.000 12.500 15.000 15.000 15.000 15.000

35 35 35 35 35 35

80.000 80.000 80.000 80.000 80.000 80.000

Precio M$/unida d

Ingresos M$

C. Venta M$

80 80 90 90 90 90

800.000 1.000.000 1.350.000 1.350.000 1.350.000 1.350.000

19.000 23.000 30.000 30.000 30.000 30.000

430.000 517.500 605.000 605.000 605.000 605.000

Capital de Trabajo: calculado como un 20% del Costo de Producción Año 0 1 2 3 4 5 6

Capital de Trab. M$ 0 86.000 103.500 121.000 121.000 121.000 121.000

Inversión en Capital de Trab M$ 86.000 17.500 17.500 0 0 0 0

Inversiones: Se considera la inversión inicial, las inversiones en los períodos siguientes en capital de trabajo y las reinversiones en maquinarias tipo A cada 2 años y maquinas tipo B cada 3 años.

Año 0 1 2 3 4

Activos 49.000

Act Nominal 30.000

8.000 10.000 8.000

120

KT 86.000 17.500 17.500

Monto M$ 165.000 17.500 25.500 10.000 8.000

Evaluación de Proyectos de Inversión

Préstamo: El banco Hito le ofrece un crédito al 8 % anual efectivo pagadero en 3 cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto, que será empleado para financiar la inversión en Terreno.

Año 0 1 2 3

Saldo M$ 8.000 5.535,7 2.874,3 0,0

Intereses M$

Amortización M$

640,0 442,9 229,9

2.464,3 2.661,4 2.874,3

Cuota de Pago M$ 3.104,3 3.104,3 3.104,3

Rebajas al impuesto: incluye la depreciación de las construcciones (lineal en 20 años), las tres maquinas A (suma de dígitos en 2 años, a partir de año 1, 3 y 5), las dos máquinas B (suma de dígitos en 3 años, a partir de año 1 y 4) y equipos de oficina (suma de dígitos en 6 años), la amortización de activos nominales en tres años y los intereses pagados.

Año 1 2 3 4 5 6

Construc. Maq. A 700,0 4.666,7 700,0 2.333,3 700,0 4.666,7 700,0 2.333,3 700,0 4.666,7 700,0 2.333,3

Valores Libros:

Maq B 4.000,0 2.666,7 1.333,3 4.000,0 2.666,7 1.333,3

Eq. Of. 1.257,1 1.047,6 838,1 628,6 419,0 209,5

Amort. 10.000,0 10.000,0 10.000,0

Intereses 640,0 442,9 229,9

Rebajas 21.264,8 17.190,5 17.768,0 7.661,9 8.452,4 4.576,2

corresponden a los valores iniciales descontando la depreciación acumulada

Año Construc. Maq. A VL año 2 1.000,0 VL año 3 VL año 4 1.000,0 VL año 6 13.800,0 1.000,0

Maq B

Eq. Of.

KT

Terreno

121.000,0

8.000,0

2.000,0 2.000,0

600,0

121

Total 1.000,0 2.000,0 1.000,0 146.400,0

Miguel Angel Mellado Espinoza

Ingresos No operacionales:

Incluyen los valores de venta de los maquinas en los años 2,3,4 y 6, en este último año se agrega la valorización de los activos no vendidos a valor libro y la recuperación del capital de trabajo

Año Construc. Maq. A VV año 2 3.200,0 VV año 3 VV año 4 3.200,0 VV año 6 12.000,0 3.200,0

Maq B

Eq. Of.

KT

Terreno

1.200,0

121.000,0

8.000,0

4.000,0 4.000,0

Total 3.200,0 4.000,0 3.200,0 149.400,0

Flujo Neto: se obtiene al integrar todos los valores anteriores en un único cuadro, el cual es desarrollado acorde a lo planteado en el numeral 3.4.1 de letras A a letra F.

Ítem Inversión Préstamo Inv. Neta Ing. opera. C. Venta C. produc. Margen B. C. Adm. Margen Neto

Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5 165.000,0 17.500,0 25.500,0 10.000,0 8.000,0 8.000,0 157.000,0 17.500,0 25.500,0 10.000,0 8.000,0

800.000,0 1.000.000, 1.350.000, 1.350.000, 1.350.000, 1.350.000, 0 0 0 0 0 19.000,0 23.000,0 30.000,0 30.000,0 30.000,0 30.000,0 430.000,0 517.500,0 605.000,0 605.000,0 605.000,0 605.000,0 351.000,0 459.500,0 715.000,0 715.000,0 715.000,0 715.000,0 5.000,0 5.000,0 5.000,0 5.000,0 5.000,0 5.000,0 346.000 454.500,0 710.000,0 710.000,0 710.000,0 710.000,0

Ing. No opera

3.200,0

Imp. Opera. Imp. No opera

48.710,4

Cuota de Pago

3.104,3

Flujo Neto

Año 6

4.000,0

3.200,0

149.400,0

65.596,4 103.834,8 105.350,7 105.232,1 105.813,6 330,0 300,0 330,0 450,0 3.104,3

3.104,3

-157.000,0 276.685,3 363.169,3 596.760,9 599.519,3 604.767,9 753.136,4

122

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.5

Proyecciones de Variables

Una vez que ha sido determinada la forma básica de los flujos de caja, se debe tener cuidado en el comportamiento de aquellas variables que pueden sufrir variaciones entre períodos, especial atención se debe poner sobre la evolución a lo largo del tiempo de: demanda, precios de productos y materias primas. En el tema de variaciones de precios, sólo deben ser consideradas cuando los cambios vayan más allá de los ajustes inflacionarios, ya que los flujos de caja deben ser confeccionados con valores monetarios de una misma fecha o libres de inflación. Los escalamientos de precios que se esperen por sobre la inflación, deberán ser cuantificados e incorporados en los flujos de caja, la cuantificación de los mismos es materia de la estadística aplicada a la economía o econometría, la cual emplea entre otros métodos: A. Series de Tiempo: corresponden a un conjunto de observaciones sucesiva en el tiempo de un fenómeno, el comportamiento de las observaciones puede ser descrito por diferentes expresiones matemáticas, entre las cuales se cuentan:

i)

Geométrico:

Yt = Y0 * (1 + r) t

En este caso “r” es la tasa a la cual va creciendo el valor de la variable “Y”, en cada período se produce un incremento de la misma proporción.

ii)

Aritmético:

Yt = Y0 + r * t

El comportamiento lineal o aritmético, se caracteriza por que entre períodos el crecimiento o variación es de igual valor.

iii)

Exponencial:

Yt = Y0 * exp

r*t

La velocidad de crecimiento en el valor de la variable observada es mucho más alto que el geométrico y el lineal. En el caso de precios sólo sería justificable en situaciones de escasez relativa del producto, para el caso de la demanda un crecimiento exponencial se puede producir en la segunda fase de comercialización y/o relanzamiento de un producto.

123

Miguel Angel Mellado Espinoza

B. Regresiones: las regresiones a diferencia de las series de tiempo, en las cuales la única variable que explica el fenómeno es el tiempo, admiten como variables explicativas una o más variables, incluyendo si es necesario al propio tiempo.

Los métodos para resolución de los parámetros de una regresión, pueden ser lineales o no lineales, entre los primeros se consideran a mínimos cuadrados ordinarios (comportamiento lineal y una sola variable explicativa) y a mínimos cuadrados generalizados (comportamiento lineal y más de una variable explicativa).

Y Y= α + βX

Y

X

X

La expresión típica de un modelo lineal, con Y variable dependiente y X un vector de variables explicativas representa la formulación matemática que debe estar fundada en la respectiva teoría en la cual coexisten X e Y: Y= α + βX +µ Donde:

α es el interceptor, parámetro que debe ser estimado β es la pendiente de la curva, parámetro que debe ser estimado µ termino en perturbación, con valor esperado nulo y varianza σ

La restricción de modelo lineal que aparentemente es muy exigente no lo es tal, ya que un número importante de modelos son transformables a lineal, aplicando inversión de variable (1/X), logaritmos (para modelos exponenciales y geométricos), etc.

124

Evaluación de Proyectos de Inversión

3.6

Punto de Equilibrio

Punto de equilibrio es aquella cantidad de productos o servicios que es necesario vender para cubrir justamente los costos de operación. Consecuentemente viene a constituir el primer indicador tendiente a establecer la factibilidad del proyecto, ya que solo si el proyecto es capaz de producir y vender más allá del punto de equilibrio, va a generar utilidades que le permitan cubrir los costos de inversión.

Ganancias

Ingresos (Y)

Costo Ingreso $ $

Costo Total (CT)

Perdidas Costo Variable

Costo Fijo

Volumen

Punto de Equilibrio

Si la curva Ingreso (Y), no sobrepasa a la curva de Costo Total (CT), significa que el Proyecto presentará Pérdidas y no será Rentable para loa Empresa, por lo que no se debe continuar su desarrollo. P * Q = CF + Cv * Q

⇒

125

Q=

CF P − Cv

Miguel Angel Mellado Espinoza

Aplicación: 1.

-

Para un determinado negocio de Fotocopias se solicita determinar el punto de equilibrio, dado que se tiene la estructura de Costos que a continuación se indica: Datos : Arriendo de Local:..............

200.000 [$/Mes]

-

Arriendo de Equipo de Fotocopias:............. 480.000 [$/Mes] (1 Equipo de Fotocopias Adicionales produce de 0 a 50.0000 Fotocopias)

-

Arriendo de Equipo de Fotocopias Adicionales: 1º Equipo de Fotocopias Adicionales 2º Equipo de Fotocopias Adicionales

350.000 [$/Mes] 260.000 [$/Mes]

−

El local tiene una Capacidad hasta 3 Máquinas de. Fotocopias

-

Insumos: Papel (hasta 25.000 Fotocopias) (Más de 25.000 Fotocopias.)

-

Toner:................................

-

Personal: 1 Operador: Sueldo...................... (Puede operar hasta 2 máq. Fotoc.)

-

4 [$/fotoc.] 3 [$/fotoc.] 2 [$/fotoc.]

280.000 [$/Mes]

Precio: Producción de 0 a 15.000:........ Producción de 15.001 ó más:..

38 [$/Mes] 35 [$/Mes]

Desarrollo : La aplicación de la expresión de punto de equilibrio: Q=

CF P − Cv

Presenta en este caso una triple complicación, ya que ella exige que los parámetros CF, P y Cv sean constantes en todo el tramo en estudio, situación que no se cumple en ninguno de ellos. Los antecedentes muestran que a lo más se produce la invariabilidad de los parámetros en ciertos tramos, razón por la cual se empleara un método alternativo denominado contribución al costo fijo. 126

Evaluación de Proyectos de Inversión

Contribución al Costo Fijo : Método alternativo que permite aprovechar que los parámetros (CF, P y Cv) son constantes a tramos:

a.

Se determinan los puntos de quiebres de Precio, CF. y CV.:

tramo causal

b.

1)

Capacidad de las Máquinas de Fotocopias: 50.000 Fotocopias, lo cual implica que cada 50.000 unidades de fotocopias se generará un incremento en los costos fijos

2)

Precio cambia a las 15.000 Fotoc.

3)

Insumos, sólo cambia el costo del Papel a las 25.000 Fotocopias

0 inicio

15000 25000 50000 100000 150000 precio insumos capacidad capacidad capacidad

Construcción del "Cuadro Contribución al Costo Fijo" Tramo Unidades

0-15000 15001-25000 25001-50000 50001-100000 100001-150000

Volumen del tramo unidades

15000 10000 25000 50000 50000

Precio $/und

Costo variable $/und

38 36 36 36 36

6 6 5 5 5

Costo Fijo Contribución $

$

960.000 480.000 180.000

480.000 300.000 775.000

Costo fijo por cubrir $

480.000 180.000 -

En el tercer tramo la totalidad de los costos son cubiertos, existiendo un excedente, lo que señala que en dicho tramo se produce el equilibrio, el cual se determina como la suma de lo producido al tramo inmediatamente anterior y el cuociente entre el costo fijo del tramo y el margen unitario del tramo (precio menos costo variable unitario). Q = Q al tramo anterior +

Q = 25.000 +

CF tramo P − Cv

180.000 36 − 5

127

= 30.807

Miguel Angel Mellado Espinoza

1) Tramo : Conforme a la cantidad consecutiva de Cortes o Quiebres conformados en el respectivo gráfico y de acuerdo a la Columna de Volumen. 2) Volumen : Conforme al siguiente análisis de las restricciones expresadas en el propio planteamiento del problema, como sigue : a) Capacidad 1 máquina Fotocopiadora 50.000 Fot.

− − −

Entonces, los cortes se van a producir a los siguiente volúmenes : 50.000 100.000 150.000

Posteriormente, se procede a marcar estos valores en la ordenada del gráfico. b) Precio de las Fotocopias producida, está delimitado con un valor hasta 15.000 Fotoc. Después de este volumen tiene un valor diferente. Por lo tanto, se procede a marcar este valor en la ordenada del gráfico. c) El costo de compra del Papel (Materia Prima), tiene un valor limitado hasta las primeras 25.000 fotocopias, luego cambia de valor. Por lo tanto, se procede a marcar este valor en la ordenada del gráfico. 3) Volumen Máximo por Tramo : En conformidad a los valores determinado en la ordenada del gráfico, se van determinando las diferencias de los volúmenes máximo a producir en cada uno de los tramos determinados en punto anterior. 4) Precio Unitario : Su valor está determinado en el planteamiento del problema, por lo que su valor es de $ 38 hasta las 15.0000 Fotocopias y para mayores cantidades es de $ 36. 5) Costo Variable Unitario : Al igual que el anterior, su valor está dado en los antecedentes, siendo de $ 6 hasta las 25.0000 Fotocopias y para volúmenes mayores es de $ 5. Valor Marginal Unitario : Es la diferencia entre el Precio Unitario y el Costo Variable Unitario.

128

Evaluación de Proyectos de Inversión

6)

Costo Fijo :

Es la suma de los costos fijos que se incurren en cada Tramo más el costo fijo no cubierto en el tramo anterior, los cuales serán determinados como: a)

1er. Tramo :

(1) (2) (3)

Arriendo Local Arriendo Maq. Fotoc. Sueldo Operador

= = = $

200.000 [$/Mes] 480.000 [$/Mes] 280.000 [$/Mes] 960.000 [$/Mes]

b)

2do. Tramo :

(1) (2) (3) (4)

Arriendo Local = Arriendo Maq. Fotoc. = Sueldo Operador = Costo fijo por cubrir anterior = $

0 [$/Mes] 0 [$/Mes] 0 [$/Mes] 480.000 [$/Mes] 480.000 [$/Mes]

c)

3er. Tramo :

(1) (2) (3) (4)

Arriendo Local = Arriendo Maq. Fotoc. = Sueldo Operador = Costo fijo por cubrir anterior = $

7)

Contribución al Costo Fijo :

0 [$/Mes] 0 [$/Mes] 0 [$/Mes] 180.000 [$/Mes] 180.000 [$/Mes]

Se obtiene este valor, con el producto entre el "Volumen Máximo a producir en el Tramo" y el "Margen Unitario"

8)

Costo Fijo por Cubrir :

Es la diferencia del Costo Fijo por Tramo y la Contribución al Costo Fijo por Tramo.

129

Miguel Angel Mellado Espinoza

3.7 1.

Ejercicios Propuestos Determine los flujos netos de caja de un proyecto de la empresa Ziplim industrial y comercial del rubro detergentes, que piensa ingresar al mercado nacional el próximo año, para lo cual ha estimado que las inversiones correspondientes son: • • • •

Terreno galpones y oficinas maquinarias vehículos

= 10.000 UF = 25.000 UF = 35.000 UF = 8.000 UF

Los costos de estudio, patentes internacionales, gastos de puesta en marcha y otros alcanzan a los 3.000 UF. Las necesidades de capital de trabajo anual han sido estimadas en un 10 % del costo de producción de cada año. Los niveles de producción se han considerado de 2.000 toneladas el primer año, incrementando en 500 toneladas anuales durante 4 años, alcanzando las 4.000 toneladas0 el año 5, último año de análisis. El precio de venta durante todo el período en estudio se ha estimado en 50 UF por tonelada. Los costos de producción consideran un costo unitario de 15 UF por tonelada y un costo fijo de 8.500 UF al año. Los costos de venta corresponderían a 1.000 UF más el 1 % da las ventas anuales, a su vez los costos de administración son de 2.000 UF al año. El régimen tributario del país estipula una tasa única de impuesto del 20 % como una forma de estimular la inversión. Los galpones y oficinas se deprecian en forma lineal con una vida útil de 40 años y valor residual del 10 % de valor inicial. Los vehículos y maquinarias se deprecian por suma de dígitos con una vida útil de 5 años y un valor residual del 5 % del valor inicial. Los activos nominales se pueden amortizar en tres años. A los 5 años fecha de término del proyecto, se ha considerado que todas las instalaciones incluyendo el terreno y vehículos pueden ser vendidos en 20.000 UF.

130

Evaluación de Proyectos de Inversión

2.

La empresa Ronca Fuerte está examinando la viabilidad económica de un proyecto destinado a producir un nuevo tipo de almohada anatómica; producto de los cambios que se están produciendo en este tipo de marcado y la fuerte competencia extranjera, ellos estiman que el proyecto en si no debiera ser evaluado en un horizonte que vaya más allá de los 6 años. Determinando que la inversión inicial necesaria para su implementación estaría compuesta por:

Item Terreno Construcciones Maquinarias Equipos de Oficina Capital de Trabajo Activos Nominales

Valor Inicial M$ 4.000 M$ 14.000 M$ 15.000 M$ 8.000 M$ 6.000 M$ 5.000

Valor Residual M$ 4.000 M$ 5.000 M$ 2.000

Vida Útil 20 años 10 años 6 años

Las maquinarias al término de su vida útil pueden ser vendidas en un 30 % de su valor inicial en el mercado secundario. A su vez, en el sexto año los valores de venta serán para las construcciones de M$ 12.000, en las maquinarias M$ 10.000 y los equipos de oficina de M$ 1.200. Del total de los activos, la empresa está en condiciones de financiar todo, excepto las construcciones y las maquinarias. En el caso de las construcciones, deben ser financiadas con un crédito bancario al 12 % anual con composición bimestral, pagadero en 4 cuotas de pagos anuales iguales con interés sobre saldo insoluto y dos años de gracia total. Para la situación de las maquinarias, el proveedor de ellas entrega un crédito al 12 % anual con composición mensual, pagadero en tres cuotas iguales de amortización anuales con interés sobre cada saldo insoluto y un año de gracia parcial. El servicio de impuestos internos de la localidad establece que el único sistema de depreciación que admite es el lineal simple y que aplica una tasa de impuestos del 15 %, ya que los activos nominales deben ser amortizados en 3 años. Si los ingresos anuales estimados son de M$ 35.000 para el primer año, creciendo anualmente en M$ 1.000, los costos de operación son de M$ 7.000 para el primer año creciendo en M$ 500, los costos de administración de M$ 8.000. Si el costo alternativo de uso del capital es de un 10 % anual; se solicita que establezca el valor presente de los flujos de caja de este proyecto, señalando los flujos de cada período.

131

Miguel Angel Mellado Espinoza

3.

Pedro Picapiedra ha tenido la genial idea de fabricar ruedas de piedra pome, las cuales mejoran sensiblemente la suspensión de los troncomóviles. Para llevar a cabo este proyecto, deberá dejar su actual trabajo en la cantera “Rajuela”, en la que recibe 500 piedrólares anuales (P$). El proyecto requiere de una inversión de P$ 10.000, pero como cuenta con sólo P$ 6.000, su amigo Pablo Mármol le prestará el saldo al 8 % de interés anual real, pagando anualmente los intereses y cancelando el capital al final de la vida útil, la que se estima en 5 años. En la composición de la inversión sólo existen dos activos depreciables: a. Dos mamuts, para ser utilizados en el transporte de piedras brutas, con una vida

útil de 50.000 kilos de piedra transportada cada uno. Cada uno de los mamuts los adquiere en P$ 1000 con valor residual de P$ 200. La depreciación será proporcional a la carga transportada, trabajando los dos animales en igual forma. b. Diez pajaros carpinteros, los que serán utilizados en esculpir las ruedas, las cuales

tienen una vida útil de 10 años, con un costo de adquisición de P$ 200 sin valor residual y depreciados linealmente Por acuerdo con el Museo de Piedradura, los animales mencionados podrán ser vendidos a esta institución en un precio 20 % superior al valor libro de ellos. Pedro Picapiedra requiere adicionalmente un capital de trabajo de P$ 1000, los cuales le serán prestados por Wilma, sin interés y pagaderos al termino del proyecto. Dado que el sistema de producción será por lotes sobre pedidos, no será necesario contar con stock de ruedas. Cada rueda terminada tiene un peso de 50 kilos y la materia prima (roca en bruto) que se pierde en el proceso productivo es de un 20 %. La estimación de las ventas efectuada por Pedro Picapiedra en términos nominales es: año 1 2 3 4 5

unidades para cada año 50 70 100 120 100

precio $P por unidad 30,50 47,50 50,50 65,50 70,50

Pedro Picapiedra considera que este proyecto estará afecto a un 30 % de impuesto a las utilidades. Determine los flujo de caja de este genial. 132

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.

En el estudio de vialidad de un nuevo proyecto, se estima posible vender 30.000 toneladas anuales de un producto a $1.000 la tonelada durante los dos primeros años y a $1.200 a partir del tercer, cuando el producto se haya consolidado en el mercado. Las proyecciones de venta muestran que en el tercer año éstas se incrementarían en un 40% manteniéndose hasta el año 10. En el estudio técnico definió que para un volumen de producción de 30.000 toneladas, se requeriría de inversiones en Terreno por $20.000.000, Obras Civiles por $50.000.000 y Maquinarias por $30.000.000. Sin embargo, el crecimiento de la producción necesario para satisfacer el incremento de las ventas, requeriría en el año cinco duplicar la inversión en maquinaría y efectuar obras civiles adicionales por $40.000.000. Los gastos de puesta en marcha ascenderán a $22.000.000. Los costos de fabricación unitarios, incluyen Mano de Obra por $150, Materiales por $200 y Costos indirectos por $ 80. Los costos fijos de fabricación se estiman en $5.000.000 anuales, sin incluir depreciación. La ampliación de la capacidad de un 40%, hará que estos costos se incrementen en $1.500.000. Los gastos de venta variable corresponden a una comisión de 3% sobre las ventas. Los fijos ascienden a $1.500.000 anuales, no viéndose afectados por cambios en el nivel de venta. Los gastos anuales de administración alcanzarían a $1.200.000 los primeros cinco años y a $1.500.000 cuando se incremente el nivel de operación. El capital de trabajo necesario corresponde a un 10% de los costos de producción. La normativa vigente permite depreciar los activos fijos linealmente con valor residual al termino de su vida útil de 20%, considerando una vida útil de 25 años y 15 años para Obras Civiles y Maquinarías respectivamente. Los activos nominales se amortizarán en un 20% anual. Y la tasa de impuestos es del 15% Al cabo de 7 años, se estima que las obras civiles y el terreno tendrá un valor de venta de $88.000.000. Se solicita confeccionar el flujo de caja y evaluar el proyecto.

5.

La empresa Muchotuto, está examinando la viabilidad económica de un proyecto, determinando que la inversión necesaria para su implementación estaría compuesta por los siguientes ítem Terreno Construcciones Equipos de planta A Equipos de planta B

M$ 14.000 M$ 16.000 M$ 10.000 M$ 8.000

Equipos de Oficina Capital de Trabajo Activos nominales

133

M$ 4.000 M$ 6.000 M$ 2.000

Miguel Angel Mellado Espinoza

Los activos fijos tienen una vida útil de 8 años con valor residual cero, a excepción del equipos de planta B que tiene una vida útil de 6 años con un valor residual de M$ 2.000 y de Venta de M$ 3.500 el año 6. Al octavo año, fecha fijada como periodo de evaluación. Las construcciones tendrá un valor de venta de M$ 15.000 sin contar el valor del terreno, el cual se valorizará a valor libro. En lo que respecta a los equipos de planta A y B tendrán un valor de venta de M$ 8.000 y de M$ 5.000 y los equipos de Oficina un valor de Venta de M$ 300 El servicio de impuestos internos de la localidad establece que la depreciación es lineal. Los activos nominales pueden ser amortizados en 5 años. La tasa de impuestos es del 10 %. Si los ingresos anuales estimados son de M$ 41.500 y los Costos de operación y de administración de M$ 11.500, se solicita que establezca la rentabilidad del proyecto, si la rentabilidad mínima exigida es del 11 % anual efectiva explicitando los flujos de caja de cada uno de los años. 6.

PINCO PALINO, exjugador de fútbol de dilatada trayectoria internacional tiene un negocio especializado en artículos deportivos y se le presenta la oportunidad de mejorar la ubicación comercial, comprando una tienda que posee el doble del espacio que actualmente utiliza y en el centro comercial de una populosa comuna en desarrollo. La adquisición del bien (tienda) cuesta $ 120.000, de los cuales el terreno tiene un valor de $ 80.000 y el edificio $ 40.000. Adicionalmente deberá gastar $ 10.000 en la remodelación del local. El contador de PINCO le indica que la depreciación debe ser lineal en 25 años y que la base es $ 50.000, que corresponde al edificio y la remodelación. Al final del período planteado, el edificio será demolido y se puede asumir que los costos de demolición serán nulos, pues un compadre de don PINCO, también exfutbolista, le explicó que la empresa de demolición se paga con los materiales que obtiene de la demolición. El valor del terreno, se incrementará en el plazo de 25 años en un 25%. Dada la amplitud del local, PINCO PALINO planea utilizar solamente una parte de él y otro exfutbolista podrá arrendarlo en un monto de $ 4.000 anuales, para instalar una pequeña tienda de electrodomésticos. PINCO PALINO tiene un contrato de arriendo, en el local que él ocupa actualmente por 30 años, de los cuales lleva 5 años, el contrato estipula mantener el mismo canon anual de $ 2.000, pero si quiere prescindir del contrato anticipadamente, puede hacerlo mediante el pago de una indemnización de $ 5.000. 134

Evaluación de Proyectos de Inversión

Las ventas anuales actuales son de $ 136.000 y su costo anual de compras es $ 70.000, situación que se mantendrá si continúa en el actual local, pero que si se traslada se incrementará en un 50%. Los gastos generales de su actual local ascienden a $ 6.000 anuales, incluyendo el arriendo, pero si se traslada al nuevo local, estos gastos llegarán a $ 5.000 anuales. PINCO PALINO está afecto a una tasa de impuesto del 30% de sus utilidades. Don PINCO PALINO que le tiene gran confianza, le solicita que genere los respectivos flujos de caja.

8.

La empresa australiana de productos lácteos “Sydney Co.”, sea ingresar al mercado latinoamericano, para lo cual utilizará a Chile como base centro de producción de sus líneas de productos “canguro “ y “Dingo”. El estudio de mercado encargado a la firma “Pepmarket s.a.” establece que iniciara sus actividades con una producción de 10 mil toneladas al año, para incrementar la producción un 25 % el segundo año y llegar al cuarto año a una producción un 50 % superior a la del primer año. Cubriendo de esta forma los mercados de Chile Argentina el primer año, Chile - Argentina - Perú - Paraguay el segundo y tercer año y finalmente Chile - Argentina - Perú - Paraguay - Brasil a partir del cuarto año. Debido a la competencia existente, deberá adoptar un precio de penetración (precio de ingreso al mercado) de 80.000 $/ton de producto, para incrementarlo un 12,5 % a partir del tercer año. Los costos variables de producción establecen un valor unitario de 8.000 $/ton para mano de obra, 20.000 $/ton para insumos y 7.000 $/ton para otros costos. Los que se mantendrían invariables en el tiempo. En lo referente a las inversiones, este estudio estableció que serían de:

Inversión

vida útil

Valor residual

Terreno

M$ 60.000

Edificios

M$ 40.000 15 años

25,00 %

lineal

M$ 32.000

Vehículos

M$ 24.000

6 años

12,50 %

suma de dígitos

M$ 2.000

Maquinaria M$ 12.000

6 años

12,00 %

saldo de doble declinación

M $ 8.000

135

Sistema depreciación

Valor de Venta año 6 M$ 56.000

Miguel Angel Mellado Espinoza

El estudio organizacional, determinó un costos de administración fijo anual de M$ 10.000 principalmente por el costo de las comunicaciones. También fue determinado un gasto de ventas de M$ 14.000 por año más comisiones de venta del 1 % de las ventas de cada año. El inicio de las actividades requiere de incurrir en gastos iniciales por: Patentes y otros M$ 20.000, Derechos de marca M$ 50.000, Estudios legales M$ 10.000 y Puesta en marcha M$ 30.000. Estos gastos para efectos tributarios se pueden amortizar linealmente en cuatro años. Los estándares de producción señalan que el ciclo de producción es tal que siempre es requerido como capital de trabajo un 20 % de costos de producción. La empresa estaría afecta a una tasa de impuesto del 25 %. El directorio de la empresa, ha solicitado un crédito al Banco Amigo, quien acepto financiar los edificios, vehículos y maquinarias, con un crédito al 12 % anual efectivo pagadero en 6 cuotas iguales de pago con interés sobre saldo insoluto. Se solicita que Determine los flujos de caja considerando la operación del proyecto por seis años y determinar el valor presente de los flujos de caja.

136

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.

INDICADORES DE RENTABILIDAD EN CERTIDUMBRE

La generación de indicadores de rentabilidad de los proyectos de inversión, surge como respuesta a la necesidad de disponer de elementos de juicio cuantificables, para analizar como contribuyen los proyectos a alcanzar uno de los objetivos más recurrentes de las empresas, como lo es maximizar las utilidades. Objetivo que se ve reflejado en el proceso de evaluación según lo expuesto en el capítulo anterior (ver figura Nº 3.1) en la incorporación de un criterio de rentabilidad, el cual consiste en un balance de los flujos de Ingresos y Costos de las respectivas iniciativas de inversión. Los indicadores en general pueden ser agrupados en dos grandes categorías: Indicadores de rentabilidad Determinísticos e Indicadores Estocásticos. En el primer grupo, se asume que los flujos de ingresos y egresos serán acordes a lo que hoy es posible predecir, es decir que las proyecciones se cumplirán absolutamente (existencia de certeza). Los indicadores Estocásticos, en cambio consideran que las proyecciones a cerca del futuro son sólo estimaciones de eventos que pueden ser distintos a lo que hoy se puede predecir.

137

Miguel Angel Mellado Espinoza

Los indicadores determinístico, son susceptibles de agrupar considerado las condiciones de la empresa (disponibilidad de recursos para efectuar los proyectos) y las características propias de los proyectos, es decir:

Proyectos sin restricción de recursos, considerando que se puede efectuar una sola vez y que la empresa dispone de todos los recursos necesarios para implementarlo.

Indicadores Determinísticos

Proyectos repetitivos, establece que los proyectos se pueden volver a realizar al termino de su vida útil. Proyectos con restricción o ranking de proyectos, la empresa dispone de una cantidad de recursos menor que los que son demandados por el conjunto de proyectos factibles. Optimización de proyectos

En materia de indicadores estocásticos, la diferenciación se sustenta en el grado de conocimiento que se tenga acerca del comportamiento de los flujos de cajas o las variables que los definen, diferenciando en este caso:

Riesgo, implica conocer la distribución de probabilidades de la(s) variable(s). Trabaja con estadígrafos Indicadores Estocásticos

Incertidumbre, sólo es posible establecer cuales serían los posibles valores, pero no cual es la probabilidad de ocurrencia de los mismos. El método emplea la teoría de juegos.

Con independencia de cual sea la clasificación de los indicadores a emplear, el primer paso en su proceso de cálculo es establecer cuanto serán el número de flujos de caja a incluir en su determinación.

4.1

Horizonte de Evaluación

Se define como Horizonte de Evaluación el período o longitud de tiempo durante el cual el proyecto será estudiado, lo cual puesto en otros términos sería la cantidad de Flujos de Caja a considerar del Proyecto. 138

Evaluación de Proyectos de Inversión

Para establecer el horizonte de evaluación se pueden aplicar diferentes criterios, entre los cuales se cuentan: •

Vida útil de los activos: en el caso de la mayoría de los proyectos de infraestructura (caminos, puentes, canales de regadío, embalses, etc., se acostumbra a establecer como horizonte de análisis del proyecto la vida útil del activo más longevo.

•

Políticas de la Empresa: las empresas suelen definir horizontes de análisis de sus proyectos, sobre la base de decisiones de corto o mediano plazo, no son pocas las empresas en las que los proyectos deben ser rentables en un período que no vaya más allá de los 7 años a los 15 años.

•

Contribución Marginal del último Flujo incluido: sobre la base de lo expuesto en el capítulo de matemáticas financieras, se puede comprender que los aportes que generan en términos de valor presente los flujos de caja son cada vez menores en la medida que se van alejando en el tiempo, lo que ha llevado a que los proyectos de carácter públicos se evalúan a horizonte de 30 años, ya que los flujos que van más allá no aportan significativamente al valor presente de ellos.

Contribución Marginal = VP =

4.2

FNC H ( 1 + r )H

Indicadores Determinísticos sin Restricción

4.2.1 Generalidades Los Indicadores Determinísticos sin restricción o Indicadores de Proyectos no repetitivos, corresponden a indicadores de proyectos que son efectuados por única vez y para los cuales la empresa dispone de los recursos necesarios que están asociados a su implantación. La rentabilidad de los proyectos es analizada considerando sólo los efectos que cada proyecto individualmente genera, sin incorporar posibles efectos sinérgicos y/o entrópicos, bajo estos supuestos, cuatro son los indicadores más usados: • • • •

Valor Actualizado Neto Tasa Interna de Retorno Razón Beneficio Costo Periodo de Recuperación.

(VAN). (TIR). (RB/C). (PR).

139

Miguel Angel Mellado Espinoza

4.2.2

Valor Actualizado Neto (VAN)

El valor actualizado neto, es el indicador que más directamente considera la aplicación del criterio Costo – Beneficio, ya que es determinado como el valor presente de los flujos netos de caja, y cada flujo neto de caja es en si mismo un balance entre ingresos (beneficios) y costos, su formula general es: t=H

VAN = ∑ t =0

FNC t

∏ (1 + r ) t

t

j

j= 0

Donde: FNCt es en flujo neto de caja de período t corresponde a: Costo Alternativo de Capital o rj Tasa de Descuento Tasa de Actualización Rentabilidad Mínima Exigida La tasa de actualización siempre es la misma para todos los proyectos de una misma empresa, pero puede ser absolutamente diferente de una empresa a otra, ya que dicha tasa refleja el costo que tiene para la empresa destinar los fondos al proyecto en lugar de la mejor alternativa.

i)

Si la tasa de descuento “rj“ es constante, la productoria de la formula anterior se transforma en una geométrica en el tiempo (t), de forma tal que: ∞

H ∞ FNCt FNCt FNCt = + ∑ ∑ t t t t = 0 (1 + r ) t = 0 (1 + r ) t = H +1 (1 + r )

VAN = ∑

∞ FNCt FNCK + H + ∑ t K+H t = 0 (1 + r ) K =1 (1 + r ) H

VAN = ∑

∞ FNCt 1 FNCK + H + ∗ ∑ t H (1 + r ) K =1 (1 + r )K t = 0 (1 + r ) H

VAN = ∑

140

Evaluación de Proyectos de Inversión

La última sumatoria representa los flujos del proyecto que van más allá del horizonte de análisis, recibiendo el nombre de Valor Residual (VR) o capacidad residual de generar beneficios, con lo cual el indicador VAN queda dado por: H

FNCt V.R. + t (1 + r )H t = 0 (1 + r )

VAN = ∑ Donde: ∞

FNCK + H = valor residual del proyecto K K =1 (1 + r )

V.R. = ∑

Aplicando los conceptos de flujos netos de caja, en los cuales se dan ingresos operacionales y no operacionales, se puede considerar el valor residual del proyecto como la valorización de activos al terminar la vida útil del proyecto (el valor residual del proyecto no debe ser confundido con el valor residual de los activos, ya que el primero de ellos está considerando al proyecto en su globalidad y su capacidad de generar rentabilidad más allá del horizonte de evaluación), y por lo tanto:

FNC' H = FNC H + V.R. Donde:

FNC H VR = Valor residual del proyecto = FNC No operacional H

Flujo de caja operacional del período H Flujo no operacional del período H

Consecuentemente la expresión del indicador de rentabilidad VAN será: t

FNCt t t = 0 (1 + r )

VAN = ∑ ii)

Si la Inversión del proyecto se encuentra concentrada en el período “0”, el flujo neto de caja de dicho período será la inversión neta con signo negativo: FNC 0 = −I 0

Suponiendo además, que la tasa rj constante y que en el último flujo se incluye el valor residual del proyecto, se obtiene la forma más usual del indicador VAN: H

FNCt t t =1 (1 + r )

VAN = − I0 + ∑

141

Miguel Angel Mellado Espinoza

Si bien se ha llegado a generar una expresión del indicador de rentabilidad VAN, la cual está sustentada en los flujos netos de caja y por tanto la calidad del indicador será tan buena como buenas hayan sido las estimaciones de los ingresos y los costos, se debe disponer de elementos de juicio o criterio en la aplicación del indicador

Criterio:

El indicador VAN exige que los proyectos a lo menos sean capaces de recuperar la inversión, ello implica que para ser elegible un proyectos debe generar suficientes ingresos (beneficios) netos positivos como para tener: VAN ≥ 0. Debido a que con: VAN < 0 no se recupera la inversión. VAN = 0 se recupera sólo la inversión.

4.2.3

Tasa Interna de Retorno (TIR)

La Tasa Interna de Retorno de un proyecto, es la máxima tasa de interés o de descuento que es capaz de soportar un proyecto sin dejar de ser rentable, ello implica que se estaría en la condición límite del indicador anterior, es decir:

VAN = 0 Luego, desarrollando la expresión, se tiene un polinomio de grado H

H

FNCt t t =1 (1 + ρ )

0 = −I0 + ∑

ecuación tiene H soluciones.

Donde: ρ es la TIR La expresión de equilibrio para determinar la TIR, implica establecer las raíces de un polinomio de grado H, el cual admite H posible soluciones (tantas como la función cambia de signo), las cuales no necesariamente serán iguales.

142

Evaluación de Proyectos de Inversión

VAN

+

+ ρ1

ρ2

ρ3

r

-

En casos como el de la figura, en el cual se da la existencia de más de una solución surge la pregunta de cual de los potenciales valores es o son la TIR, para resolver esta interrogante se emplea como elemento de juicio la propia definición de la TIR, es decir debe ser la máxima tasa que soporta el proyecto, lo cual implica que el VAN debe ser positivo para valores inferiores a la tasa TIR y negativo para valores superiores. Para valores de tasa de descuento inferiores a ρ1 el indicador VAN es positivo, al incrementar la tasa el indicador cambia de signo a negativo hasta alcanzar una cierta tasa (ρ2 ) a partir de la cual nuevamente el indicador cambia de signo, razón por la cual la tasa ρ1 no es la TIR, ya que hay valores de tasa de descuento superiores a ella para los cuales el VAN se torna positivo. Similares argumentos pueden ser esgrimidos para descartar todas la otras tasas. Lo anteriormente expuesto, lleva a plantear que para que la TIR exista, la solución debe ser real, única y positiva. Ello ocurre si los FNC son bien comportados, es decir, que tengan un sólo cambio de signo o pasada por cero y este debe ser de negativo a positivo, lo cual equivale a plantear que: • • •

La inversión debe estar concentrada inicialmente (flujo neto inicial negativo) Es admisible tener perdidas los primeros períodos (flujo netos negativos) En los períodos siguientes, al pasar los flujos netos de caja a positivos deben mantener dicho signo.

143

Miguel Angel Mellado Espinoza

FNC

tiempo

Criterio:

Al comparar proyectos se selecciona el de mayor TIR, ya que indica el proyecto que mayor tasa de descuento o mayor rentabilidad mínima exigida o mayor rentabilidad alternativa o costos del capital soporta.

4.2.4 Razón Beneficio Costo (RB/C)

El indicador razón Beneficio – Costo señala mediante un cuociente en cuanto exceden los beneficios (ingresos) a los costos, el indicador establece que para que un proyecto sea rentable sus ingresos deben superar a los costos. La anterior definición del indicador Beneficio – Costo, presenta una dificultad de indefinición en materia de beneficios y costos. En esta expresión no queda claramente establecido si en el numerado van los beneficios netos (Ingresos menos costos) o los beneficios brutos (sólo los ingresos). En el caso del denominador, la interrogante es: emplear la suma actualizada de los costos o sólo la inversión. Es evidente que cualquiera postura que se adopte debe incluir todos los beneficios y todos los costos, con independencia de la forma en que ellos se agrupen. Sobre la base de lo anterior, es posible plantear a lo menos dos posible expresiones para el indicador Razón Beneficio – Costo:

144

Evaluación de Proyectos de Inversión

H

R'B/C = R B/C

FNC t

∑ (1 + r )

t

t =0

Inversión

Beneficios = Costo H

R' ' B/C

Ingresos t

∑ (1 + r ) =

t

∑ (1 + r )

t

t =0

H

Costos t

t=0

Para un mismo proyecto las razones R’B/C y R’’B/C tienen distintos valores, ya que R’B/C mide el beneficio neto obtenido por peso invertido, en cambio R’’B/C mide el beneficio obtenido por costo incurrido.

Criterio: RB/C > 1

mientras mayor sea el valor del indicador más alta será la diferencia positiva entre beneficios y costos, luego por ende mejor será el proyecto.

Aplicación: Considere para un proyecto los siguientes flujos de costos e ingresos: Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ingresos 0 5.0000 7.000 10.000 14.000 16.000 16.000 16.000 16.000 16.000 16.000

FNC - 10.000 2.000 4.000 6.000 10.000 11.000 11.000 11.000 11.000 11.000 11.000

Costos 10.000 3.000 3.000 4.000 4.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

145

Miguel Angel Mellado Espinoza

Aplicado las dos expresiones para el cálculo de la razón Beneficio Costo con una tasa de actualización del 10% anual, se obtiene: R’B/C 4,918

R’’B/C 2,094

Este indicador debe ser usado con extrema prudencia y siempre debe ir acompañado de la forma explicita en que él fue calculado.

4.2.5 Periodo de Recuperación El período de recuperación, establece el número de flujos netos de caja será necesario aportar para que la inversión inicial sea recuperada. Los flujos netos de caja deben ser incluidos en términos actualizado, de forma de tener el mismo referente que la inversión inicial (período cero). Ejemplo: Para un cierto proyecto de inversión se ha estimado que la inversión inicial requerida suma diez mil unidades monetarias, con un horizonte de análisis de 10 años y un costo alternativo de usos del capital del 10 % anual. Los ingresos para el primer año suman cinco mil unidades, incrementando durante los primeros años en dos mil, tres mil, cuatro mil y tres mil unidades monetarias, permaneciendo en el último nivel el resto de los períodos hasta completar el horizonte. Los costos anuales se mantienen en tres mil los dos primeros años, pasando a cuatro mil en el tercer año y cuarto año, alcanzando finalmente el quinto año un valor de cinco mil unidades monetarias hasta el termino del horizonte de análisis Consecuentemente los flujos de caja del presente proyecto corresponden a: Año

Ingresos

Costos

FNC

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 5.0000 7.000 10.000 14.000 16.000 16.000 16.000 16.000 16.000 16.000

10.000 3.000 3.000 4.000 4.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000 5.000

- 10.000 2.000 4.000 6.000 10.000 11.000 11.000 11.000 11.000 11.000 11.000 146

Inversión por Recuperar 10.000,0 8.181,8 4.876,0 368,1 - 6.462,0

Evaluación de Proyectos de Inversión

Al pasar el valor de la inversión por recuperar de un valor positivo el año 3 a un valor negativo el año cuatro, implica que al término del año cuatro se ha recuperado totalmente la inversión y además se genera un excedente, razón por la cual no es necesario continuar determinando la inversión por recuperar. El punto de recuperación o período de recuperación se produce entre el tercer año y cuatro. Gráficamente

6462

Año 3 Año 4 368,1 Periodo de Recuperación

Al término del año 3 faltan por recuperar 368,1 y al termino del año 4 hay un exceso de recuperación de 6462,0, para determinar el Período de Recuperación se procede a interpolar linealmente.

Periodo de Recuperación = 3 +

368,1 = 3,054 (6.642 + 368,1)

Generalizando: Periodo de Recuperación = K +

Inversión por RecuperarK (Inversión por RecuperarK - Inversión por RecuperarK +1 )

Donde: K es el período inmediatamente anterior al cambio de signo en el la Inversión por recuperar El problema de este indicador e que sólo señala cuantos periodos se requieren para recuperar la inversión, con independencia de cual es el horizonte de análisis del proyecto y los valores que puedan adoptar los flujos de caja, el interés del indicador esta puesto en tener de regreso en caja lo antes posible el capital invertido, luego todo lo demás es bueno, razón por la cual se le asocia más que a un indicador de rentabilidad a un indicador financiero, cuyo uso pude ser para resolver el otorgamiento de créditos a una empresa. 147

Miguel Angel Mellado Espinoza

4.2.6

Aplicación

La empresa Ronca Fuerte está examinando la viabilidad económica de un proyecto, determinando que la inversión necesaria para su implementación estaría compuesta por los siguientes ítem:

Item

Terreno Construcciones Equipos de Planta Equipos de Oficina Capital de Trabajo Activos Nominales

Valor Inicial

M$ M$ M$ M$ M$ M$

40.000 12.000 35.000 4.000 6.000 2.000

Los equipos de planta incluyen una máquina especial, cuyo valor inicial es de M$ 15.000, la que debe ser remplazada al término del sexto año, con un valor residual de M$ 3.000 y valor de venta de M$ 5.000. Al décimo año, fecha fijada como periodo de evaluación los activos tendrán los siguientes valores de venta: el terreno M$ 42.000, las construcciones M$ 10.000, los equipos de planta sin la máquina especial M$ 6.000, la máquina especial M$ 9.000 y los equipos de oficina de M$ 300. El servicio de impuestos internos de la localidad establece que la depreciación es lineal, con vida útil de 50 años para construcciones, equipos 10 años y máquina especial 6 años. Los activos nominales pueden ser amortizados en 5 años. La tasa de impuestos es del 10%. Si los ingresos anuales estimados son de M$ 27.500 y los costos de operación y administración de M$ 8.500, se solicita que establezca la factibilidad económica del proyecto si la rentabilidad mínima exigida es del 12% anual efectiva, explicitando los flujos netos de caja de cada uno de los años. Además, obtenga el periodo de recuperación de la inversión y la razón beneficio costo.

148

Evaluación de Proyectos de Inversión

Solución: Inversiones Año

Const.

0 6

12.000 0

Equipos Planta 20.000 0

Equipos Oficina 4.000 0

Maquina Especial 15.000 15.000

Activos Capital de Terreno Nominales Trabajo 2.000 40.000 6.000 0 0

Ingreso no Operacional: Valorización de activos Año

Const.

6 10

0 10.000

Equipos Planta 0 6.000

Equipos Oficina 0 300

Maquina Especial 5.000 9.000

Activos Capital de Terreno Nominales Trabajo 0 0 0 0 42.000 6.000

Para los activos en los cuales no se señala su valor residual, se asume que dicho valor al termino de la vida útil es nulo. La excepción del terreno y capital de trabajo que conservan su valor, y de los activos nominales que tienen valor cero.

Depreciaciones, Amortizaciones y Rebajas: Año

Const.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V.L.6 V.L.10

240 240 240 240 240 240 240 240 240 240 9.600

Equipos Planta 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 0

Equipos Oficina 400 400 400 400 400 400 400 400 400 400 0

Maquina Especial 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 3.000 7.000

Activos Nominales 400 400 400 400 400 -

Rebajas

5.040 5.040 5.040 5.040 5.040 4.640 4.640 4.640 4.640 4.640 -

En el cuadro de depreciaciones, ha sido marcada la diferencia entre la compra y uso de la primera máquina especial (hasta año 6) y su reemplazo por otra idéntica. A falta de mejor información la depreciación ha sido calculada con valor residual nulo, con la excepción de la máquina especial. 149

Miguel Angel Mellado Espinoza

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Inversión 99.000

15.000

Ingresos no op.

5.000

73.300

Flujo de Caja Ingresos Costos 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500 27.500

Margen

8.500 8.500 8.500 8.500 8.500 8.500 8.500 8.500 8.500 8.500

Continuación Flujo de Caja Impuesto op. Impuesto no op. 1.396 1.396 1.396 1.396 1.396 1.436 1.436 1.436 1.436 1.436

200

1.070

19.000 19.000 19.000 19.000 19.000 19.000 19.000 19.000 19.000 19.000

FNC -99.000 17.604 17.604 17.604 17.604 17.604 7.364 17.564 17.564 17.564 89.794

•

El flujo neto del año cero es la suma de las inversiones iniciales, incluyendo la inversión en activos nominales

•

los ingresos no operacionales del año 6 es el valor de venta de la maquina especial, con impuestos no operacionales del 10% de la diferencia entre el valor de venta y el valor residual.

•

Para el año diez, el ingreso no operacional corresponde a la valorización de activos físicos en su valor de venta (si no se vende a valor libro) y la recuperación integra de los aportes de capital de trabajo. Los impuestos no operacionales suman el 10% de la diferencia entre los valores de venta y los respectivos valores residuales.

150

Evaluación de Proyectos de Inversión

Con los valores de los flujos netos de caja, se general el indicador valor actualizado Neto VAN = M$ 18.473,20

 1,12 5 − 1  7.364 17.564  1,12 3 − 1  89.764 VAN = −99.000 + 17.604 ∗  + ∗ + + 5 6 1,12 6 1,12 3 ∗ 0,12  1,1210 1,12 ∗ 0,12  1,12

Período de Recuperación Año

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FNC

-99.000 17.604 17.604 17.604 17.604 17.604 7.364 17.564 17.564 17.564 89.794

Periodo de Recuperación = 9 +

VP de FNC

-99.000,00 15.717,86 14.033,80 12.530,18 11.187,66 9.988,98 3.730,83 7.945,06 7.093,81 6.333,75 28.911,27

Inversión por Recuperar 99.000,00 83.282,14 69.248,34 56.718,16 45.530,50 35.541,52 31.810,69 23.865,63 16.771,82 10.438,07 -18.473,20

10438,07 = 9,36 años (18473,20 + 10438,07)

Indicador Razón Beneficio – Costo, tomando los flujos netos como beneficios: H

R B/C =

FNC t

∑ (1 + r ) t =0

t

Inversión

=

117.473,20 = 1,1866 99.000,00

El indicador señala que por cada 1 peso invertido se tiene 1,1866 pesos de benéfico netos, con lo cual descontando la inversión, se tendrían 0,1866 pesos de ganancia neta por cada unidad invertida, lo que equivale a VAN = (RB/C –1) * INV = 18.473,20

151

Miguel Angel Mellado Espinoza

4.3

Análisis Comparativo TIR – VAN

Los indicadores de rentabilidad que normalmente son más empleados para el análisis de los proyectos de inversión son: el Valor Actualizado Neto y la Tasa Interna de Retorno. No obstante, los valores de dichos indicadores no siempre recomiendan el mismo proyecto. Esta situación se produce por la naturaleza de los indicadores, ya que si bien ambos tienen un origen común (la actualización de los flujos), cada indicador emplea criterios que visualizan diferentes aspectos del proyecto. Estas diferencias, se pueden apreciar de una mejor forma al efectuar un análisis en un diedro VAN versus tasa descuento. Para una mejor compresión de esta situación y determinar cual de los dos indicadores es el que entrega una mejor información para una decisión más confiable, se desarrolla el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Considere que se encuentra comparando dos proyectos (A y B), con identico horizonte de análisis y cuyos flujos de caja permiten establecer los siguientes indicadore: Proyecto A B

VAN (r = 0 %) 800 1.200

TIR

20 % 15 %

Para efectos de análisis veremos el gráfico siguiente, el que muestra ambos proyectos:

VAN 1200

Proyecto B

800 Proyecto A

r

rf

15

152

20

Evaluación de Proyectos de Inversión

Al analizar el gráfico anterior se puede observar que: •

El indicador TIR siempre prefiere al proyecto A

•

El indicador Van prefiere:

el proyecto B para tasas inferiores a rf el Proyecto A para tasas superiores a rf es indiferente para tasa de descuento igual a rf

La tasa rf corresponde a la tasa de Fischer, quien fue el primer analista que dio cuenta de esta problemática entre los indicadores de rentabilidad VAN y TIR, la tasa de Fischer muestra la tasa de interés en la cual se está indiferente entre los proyectos A y B.

VAN 1200

Preferible el proyecto B

Preferible el proyecto A

800

r

rf

15

20

Los resultados del análisis anterior, lleva a establecer que en algunos casos el indicador TIR no esta señalando el proyecto más rentable, sólo aquel que es soportar mayores variaciones en la tasa de descuento y por ende inducir una decisión errada, razón por la cual se prefiere emplear como criterio de rentabilidad el Valor Actualizado Neto, dejando la tasa TIR como un indicador del grado de fortaleza que presenta un proyecto frente a variaciones n el costo de capital.

153

Miguel Angel Mellado Espinoza

4.4

Indicadores de Proyectos Repetitivos

4.4.1 Generalidades

Los Proyectos repetitivos o proyectos que pueden realizarse una y otra vez, son aquellos en que la empresa que los llevara a cabo tienen como política su permanencia en el negocio en el tiempo y en que además, los proyectos puedan ser replicados una y otra vez en iguales condiciones. En este nuevo escenario, el horizonte de análisis ya no puede corresponder a la vida útil del activo más longevo, ya que la vida útil de los activos puede diferir de proyecto en proyecto, lo cual marcaría la inexistencia de un horizonte de análisis. Frente a esta situación, se plantea un método de análisis del Proyecto Repetitivo, que: • • •

Determine un horizonte de comparación común. Establezca el o los Indicadores de Rentabilidad a Horizonte común. Seleccione como mejor Proyecto a aquel de mayor Indicador de Rentabilidad.

Los indicadores para efectuar el análisis de estos proyectos se basan en el indicador de rentabilidad VAN, difiriendo en el horizonte de análisis considerado: •

VAN a horizonte mínimo común.

•

VAN a horizonte máximo común (VAN a infinito).

•

Flujo Uniforme Equivalente (FUE).

4.4.2 VAN a horizonte mínimo común

El indicador VAN a horizonte mínimo común considera en su determinación, el establecer un período común de análisis, para luego determinar el número de veces en que el proyecto es efectuado, evaluando en VAN de cada repetición y actualizando los respectivos valores. Lo anterior implica el siguiente proceso:

i) Determinar Horizonte de Comparación mínimo común, M, en donde M es determinado como el mínimo común múltiplo entre los Horizontes de los proyectos.

154

Evaluación de Proyectos de Inversión

ii) Calcular los Indicadores de Rentabilidad a un Horizonte común, para lo cual es necesario determinar el número de repeticiones, es decir, el número de veces que se puede efectuar cada proyecto en el horizonte mínimo común. Número de repeticiones del Proyecto, se determina como el cuociente entre el horizonte mínimo común y el horizonte del proyecto: M K= H

H

2H

3H

VAN 0

VAN

VAN

H

2H

Cada repetición del proyecto va dando origen a su propio indicador VAN, el cual se encuentra ubicado en el período cero de cada repetición (0, H, 2H, etc.) El indicador VAN a Horizonte Mínimo Común: corresponde a la actualización de un flujo que se repite cada H períodos:

 VAN VAN VAN  VAN rep = VAN + + + .......... +  H 2H (1 + r ) (1 + r ) (1 + r ) ( K −1) H  

155

Miguel Angel Mellado Espinoza

Luego empleando la expresión para un flujo constante, que se repite K-1 veces y usando una tasa equivalente cada H períodos:  (1 + rH )K −1 − 1  VANrep = VAN + VAN (1 + rH )K −1 ∗ rH  

Factorizando, se obtiene: K −1  ( 1 + rH ) − 1  VAN K = VAN ∗ 1 +  K −1  (1 + rH ) ∗ rH 

Donde:

rH = (1 + r ) − 1 H

r = tasa de actualización

4.4.3 VAN a horizonte máximo común o VAN a infinito

El mayor horizonte de comparación entre proyectos es infinito (∞), ya que él representa el máximo valor que puede ser común a cualquier horizonte o vida útil de proyecto. Para establecer los Indicadores de Rentabilidad, se emplean los resultados obtenidos para el caso de horizonte mínimo común K −1  ( 1 + rH ) − 1  VAN K = VAN ∗ 1 +  K −1  (1 + rH ) ∗ rH 

Donde:

rH = (1 + r ) − 1 H

Al tomar un horizonte infinito, se plantea que el número de repeticiones de cada proyecto (M/H) es infinito, ya que M será infinito. Consecuentemente, en la expresión VAN de K repeticiones, se debe tomar el límite cuando K tiende a infinito: 156

Evaluación de Proyectos de Inversión

Lim

K →∞









(VAN K ) = Lim VAN ∗ 1 + K →∞

(1 + rH )K −1 − 1    (1 + rH )K −1 ∗ rH  

Lo cual entrega como resultado para el indicador VAN a horizonte infinito:  VAN  VAN∞ = VAN +  rH  

Factorizando se tiene:

 1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH  Donde:

rH = (1 + r ) − 1 H

4.4.4 Flujo Uniforme Equivalente

El flujo uniforme equivalente es un indicador de rentabilidad que transforma los diferentes flujos netos de caja del proyecto, en un flujo que es constante a lo largo de la vida útil del proyecto. Para determinar el valor del flujo, se condicional a que conduzcan a idéntico valor del indicador de rentabilidad VAN.

VAN

0

H

0

Flujos originales del proyecto, con horizonte H

1

H

Flujos constante del período 1 al H

157

Miguel Angel Mellado Espinoza

El anterior esquema muestra que con los flujos del proyecto, se procede a calcular en primer lugar el indicador VAN, luego a partir del valor del indicador se determina el Flujo constante o equivalente.  (1 + r )H ∗ r  FUE = VAN ∗   H  (1 + r ) − 1

Se puede demostrar fácilmente que el indicador FUE de la primera y siguientes repeticiones, son idénticos a los valores calculados al efectuar el proyecto por una unica vez. Consecuentemente el indicador FUE, al efectuar el proyecto infinitas veces, corresponde a un flujo constante perpetuo, cuyo valor actualizado es igual al indicador VAN de infinitas repeticiones.

FUE

0

∞

1

Luego la expresión del VAN de las infinitas repeticiones usando el indicador FUE, queda:

VAN ∞ =

FUE r

Para establecer cual de los proyectos es el más, el análisis se puede efectuar basándose en cualquiera de los Métodos o Indicadores de rentabilidad antes expuestos, ya que ellos son consistentes entre sí.

158

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.4.5 Aplicación

Determinar cual de los proyectos que se indican a continuación, posee una más alta rentabilidad. Para cada uno de los proyectos se indica el monto de la inversión inicial y el valor del flujo neto de caja, este último se considera igual para cada uno de los años 1 al H del proyecto Suponga que para todos los efectos los proyectos son susceptibles de realizar una y otra vez, y que el costo del capital es de un 10% anual.

Proyecto 1 2 3 4 5 6

Flujo 100 150 50 10 200 70

Inversión 250 300 100 150 500 200

Horizonte 5 6 4 3 10 12

Los cálculos para la obtención del proyecto más rentable, se pueden realizar empleando sólo uno de los Indicadores de Rentabilidad de proyectos repetitivos. Sin embargo, sólo con fines didácticos, los cálculos se efectuarán determinando los tres Indicadores de Rentabilidad

a.-

Cálculo de la Tasa del Horizonte del proyecto (rH): Los dos indicadores de rentabilidad a horizonte común, requiere de conocer la tasa de actualización con período de definición igual al horizonte o vida útil de cada proyecto. rH = (1 + r ) − 1 H

Proyecto 1: r5 = (1 + 0,1 )5 − 1

=

61,05% cada cinco años

Proyecto 2: r6 = (1 + 0,1 )6 − 1

=

77,16% cada seis años

Proyecto 3: r4 = (1 + 0,1 )4 − 1

=

46,41% cada cuatro años

Proyecto 4: r3 = (1 + 0,1 )3 − 1

=

33,10% cada tres años

Proyecto 5: r10 = (1 + 0,1)10 − 1

= 159,37% cada diez años

Proyecto 6: r12 = (1 + 0,1)12 − 1

= 213,84% cada doce años

159

Miguel Angel Mellado Espinoza

b.-

Cálculo del Número de Repeticiones de cada uno de los Proyecto, considera en primera instancia determinar horizonte mínimo común, este procedimiento es sólo valido para el indicador VAN a horizonte mínimo común: •

M: mínimo común múltiplo entre las vida útiles de los proyectos que son de 3, 4, 5, 6, 10, 12. Años, luego: M = 60

•

Número de repeticiones, considera el número de veces que cada uno de los M proyecto puede llevarse a cabo en el horizonte común: K= H 60 = 12 5 60 K2 = = 10 6 60 K3 = = 15 4 60 K4 = = 20 3 60 =6 K5 = 10 60 K6 = =5 12 K1 =

c.-

Determinación del indicador VAN al efectuar por vez primera cada Proyecto: H

FNCt t t =1 (1 + r )

VAN = − I0 + ∑

como el flujo neto de caja es constante desde el año 1 al termino de la vida del proyecto, el indicador pasa a ser:  (1 + 0,1)H − 1  VAN = −Inversión + Flujo ∗   H  (1 + 0,1) ∗ 0,1 Proyecto 1:

 (1 + 0,1)5 − 1  VAN1 = 100 ∗   − 250 = 129,08 5  (1 + 0,1) ∗ 0,1

160

Evaluación de Proyectos de Inversión

Proyecto 2: Proyecto 3: Proyecto 4: Proyecto 5: Proyecto 6:

d.-

 (1 + 0,1)6 − 1  VAN2 = 150 ∗   − 300 = 353,29 6  (1 + 0,1) ∗ 0,1  (1 + 0,1)4 − 1  VAN 3 = 50 ∗   − 100 = 58,49 4 ( 1 + 0,1 ) ∗ 0,1   3  (1 + 0,1) − 1  VAN4 = 120 ∗   − 150 = 148,42 3  (1 + 0,1) ∗ 0,1  (1 + 0,1)10 − 1  VAN5 = 200 ∗   − 500 = 728,91 10  (1 + 0,1) ∗ 0,1  (1 + 0,1)12 − 1  VAN 6 = 70 ∗   − 200 = 276,96 12  (1 + 0,1) ∗ 0,1 

Indicador VAN a horizonte mínimo común. La expresión para calcular el indicador VAN de proyectos repetitivos a horizonte mínimo común, parte del indicador VAN de efectuar el proyecto por vez primera, el número de repeticiones y de la tasa de descuento al horizonte de cada proyecto o vida útil de ellos, de tal forma que: K −1  ( 1 + rH ) − 1  VANK = VAN ∗ 1 +  K −1  (1 + rH ) ∗ rH 

Proyecto 1: Proyecto 2: Proyecto 3: Proyecto 4: Proyecto 5: Proyecto 6:

12 -1  ( 1 + 0,6105) − 1  VAN12 = 129,08 ∗ 1 +  = 339,39 12 −1  (1 + 0,6105) ∗ 0,6105   (1 + 0,7716)10 −1 − 1  = 808,49 VAN10 = 353,29 ∗ 1 +  10 −1  (1 + 0,7716) ∗ 0,7716   (1 + 0,4641)15-1 − 1  = 183,91 VAN 15 = 58,49 ∗ 1 +  15 −1 ∗ 0,4641   (1 + 0,4641)  (1 + 0,3310)20 −1 − 1  = 594,86 VAN20 = 148,42 ∗ 1 +  20 −1  (1 + 0,3310) ∗ 0,3310   (1 + 1,5937 )6 −1 − 1  = 1.182,38 VAN 6 = 728,91 ∗ 1 +  6 −1  (1 + 1,5937 ) ∗ 1,5937  5 −1  ( 1 + 2,1384 ) − 1  VAN 5 = 276,96 ∗ 1 +  = 405,14 5 −1  (1 + 2,1384 ) ∗ 2,1384 

161

Miguel Angel Mellado Espinoza

e.-

VAN a horizonte máximo común (VAN a infinito). La expresión para calcular el indicador VAN de proyectos repetitivos a horizonte infinito, emplea el VAN de efectuar el proyecto por vez primera y de la tasa de descuento al horizonte de cada proyecto o vida útil de ellos, de tal forma que:  1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH  Proyecto 1: Proyecto 2: Proyecto 3: Proyecto 4: Proyecto 5: Proyecto 6:

f.-

1   VAN∞ = 129,08 ∗ 1 +  = 340,51  0,6105  1   VAN∞ = 353,29 ∗ 1 +  = 811,16  0,7716  1   VAN ∞ = 58,49 ∗ 1 +  = 184 ,52  0,4641  1   VAN∞ = 148,42 ∗ 1 +  = 596,82  0,3310  1   VAN∞ = 728,91 ∗ 1 +  = 1.186,28  1,5937  1   VAN∞ = 276,96 ∗ 1 +  = 406,48  2,1384 

Flujo Uniforme Equivalente (FUE). La expresión para calcular el indicador FUE proyectos repetitivos, considera el indicador VAN de efectuar el proyecto por vez primera, la tasa de descuento y la vida útil de ellos, de tal forma que:  (1 + r )H ∗ r  FUE = VAN ∗   H  (1 + r ) − 1

Proyecto 1:

 (1 + 0,1)5 ∗ 0,1 FUE = 129,08 ∗   = 34,05 5  (1 + 0,1) − 1 

Proyecto 2:

 (1 + 0,1)6 ∗ 0,1 FUE = 353,29 ∗   = 81,12 6  (1 + 0,1) − 1 

162

Evaluación de Proyectos de Inversión

Proyecto 3:

Proyecto 4:

Proyecto 5: Proyecto 6:

 (1 + 0,1)4 ∗ 0,1  FUE = 58,49 ∗   = 18,45 4  (1 + 0,1) − 1   (1 + 0,1)3 ∗ 0,1 FUE = 148,42 ∗   = 39,15 3  (1 + 0,1) − 1   (1 + 0,1)5 ∗ 0,1 FUE = 728,91 ∗   = 192,28 5  (1 + 0,1) − 1   (1 + 0,1)5 ∗ 0,1 FUE = 276,96 ∗   = 73,06 5 ( 1 + 0,1 ) − 1  

Tal como es posible apreciar de los valores obtenidos, el indicador VAN de infinitas repeticiones se puede también genera al dividir el indicador FUE por la tasa de actualización el horizonte del proyecto, por ejemplo para el proyecto Nº 1 se tiene:

Proyecto 1:

 (1 + 0,1)5 ∗ 0,1 FUE = 129,08 ∗   = 34,05 5  (1 + 0,1) − 1 

Proyecto 1:

VAN ∞ =

34,05 0,10

= 340,51

Tabla Resumen:

Proyecto 1 2 3 4 5 6

Flujo Neto 100 150 50 10 200 70

Proyecto 1 2 3 4 5 6

VAN 129,08 353,29 58,49 148,42 728,91 276,96

Inversión 250 300 100 150 500 200

VANK 339,39 808,49 183,91 594,86 1.182,38 405,14

163

H 5 6 4 3 10 12

rH (%) 61,05 77,16 46,41 33,10 159,37 213,84

VAN∞ 340,51 811,16 184,52 596,82 1.186,28 406,48

K 12 10 15 20 6 5

FUE 34,05 81,12 18,45 59,68 118,63 40,65

Miguel Angel Mellado Espinoza

En la determinación de cualquiera de los indicadores de comparación apropiados (VAN de la repeticiones, VAN de las oo Repeticiones y FUE), así como, en la tabla resumen se puede observar que el mejor proyecto es el “Proyecto 5”, ya que posee los más altos valores de los Indicadores de Rentabilidad. Empleando la misma información, sería posible ordenar o jerarquizar los proyecto de mayor a menor rentabilidad, logrando de esta forma el segundo lugar al “Proyecto 2”, luego el “Proyecto 6”, “Proyecto 4”, “Proyecto 1” y finalmente el “Proyecto 3”. Cualquiera de los Indicadores de Rentabilidad, VANK (VAN a horizonte mínimo común), VAN∞ (VAN de las infinitas repeticiones) o FUE (flujo uniforme equivalente), puede ser usado para comparar los proyectos, Conduciendo todos ellos al mismo orden de preferencia, siendo todos ellos consistentes.

4.5

Ranking de Proyectos

El problema económico general de recursos escasos y necesidades múltiples, no esta ajeno a la evaluación de las alternativas de inversión, ya que las personas, empresas o instituciones, disponen en la mayor parte de los casos de una cantidad de recursos inferior a la demandada los múltiples proyectos que deberían realizarse. Consecuente con lo anterior, se debe efectuar un proceso de asignación de los recursos entre los proyectos, de forma de maximizar los objetivos de la empresa. Bajo el objetivo de maximizar utilidades por parte de la empresa, el ordenamiento de proyectos debe ser realizado de modo de maximizar la rentabilidad e la empresa, es decir, maximizar la rentabilidad de los recursos disponibles.

4.5.1

Proceso de Análisis

Una de las situaciones más frecuentes en las empresas, es la existencia de un número importante de proyectos que buscan financiamiento. Al interior de este conjunto de proyectos, puede darse diversas circunstancias, como lo son; diferentes vidas útiles, relación de complementariedad y/o sustitución entre los proyectos. El análisis de los proyectos, destinado a establecer el conjunto de proyectos que más contribuyen al logro de los objetivos de la empresa, debe en primera instancia considerar sólo los proyectos rentables, luego seleccionar entre los sustitutos y complementarios, de forma de generar un subconjunto de proyectos rentables, pero que no tienen relación entre ellos. Consecuentemente, ello implica:

164

Evaluación de Proyectos de Inversión

Conjunto de Proyectos Rentables

Conjunto inicial de Proyectos

Conjunto de Proyectos Rentables no relacionados

Indicadores de Rentabilidad de proyectos repetitivos. Análisis de Rentabilidad individual

A.

Análisis de Relaciones entre proyectos

Jerarquizar los Proyectos

Análisis de rentabilidad individuales Se refiere a determinar los indicadores Determinísticos sin restricción vistos en el numeral 4.2, en especial lo que dice relación con el valor actualizado neto de efectuar el proyecto por única vez. El indicador a emplear es el VAN u otro consistente con el respectivo criterio de selección, asegura contar con un conjunto de proyectos rentables, después de su aplicación.

Conjunto de Proyectos Rentables individualmente

Conjunto de Proyectos que se deben analizar Flujos de Caja

Indicadores: VAN - RB/C TIR – IVAN, etc.

165

Miguel Angel Mellado Espinoza

B.

Análisis de relación entre proyectos Se incluye en la relación entre proyectos, al estudio del comportamiento de los proyectos para con los otros proyectos, este comportamiento puede obedecer a que, el proyecto constituye per se una de las posibles soluciones, dos o más proyectos aportan a la solución, o a que los proyectos pertenecen a áreas diferentes y por tanto no existe interferencia entre ellos ni sinergia. Las relaciones que se dan son de sustitución, complemento y no relacionada, las cuales se pueden caracterizar por:

VAN(A+B) < VAN(A) + VAN(B)

sustitutos

VAN(A+B) > VAN(A) + VAN(B)

complementarios

VAN(A+B) = VAN(A) + VAN(B)

no relacionados

Donde: VAN(A+B) = valor del indicador VAN de hacer en forma simultanea el proyecto A y el Proyecto B

Al determinar los VAN de los proyectos, se debe poner especial cuidado en que sean comparables con los indicadores de rentabilidad de los otros proyectos, en especial cuando los proyectos son susceptibles de efectuar una y otra vez. En esta fase, de los proyectos que sean mutuamente excluyentes o sustitutos se debe seleccionar uno, el de mayor rentabilidad. En el caso de los proyectos complementarios, se debe considerar un nuevo proyecto a jerarquizar, que corresponde al proyecto efectuar los complementarios en forma conjunta. En todo caso, en un mismo subconjunto no pueden encontrarse proyectos complementarios, en su reemplazo se introduce el nuevo proyecto que los agrupa.

Proyectos sustitutos

Proyectos sustitutos

Sólo uno Proyectos rentables y No relacionados Sólo uno

166

Evaluación de Proyectos de Inversión

C.

Indicadores de rentabilidad de proyectos repetitivos Para poder llevar a cabo la jerarquización de los proyectos, los indicadores de todos los proyectos que sean individualmente rentables y no relacionados con los otros, deben ser comparables, de forma de poder efectuar la comparación y selección de los proyectos. Para estos efectos, se debe determinar el indicador de rentabilidad VAN de las repeticiones (por su facilidad de uso se prefiere normalmente el VAN a horizonte infinito), para los proyectos que no se pueden volver a realizar, el VAN de las repeticiones corresponde al VAN de efectuar el proyecto una sola vez.

D.

Jerarquizar proyectos El ordenar proyectos o jerarquizar proyectos, se efectúa como parte de un proceso destinado a lograr la mayor rentabilidad del conjunto de proyectos, dado que existen restricciones. Lo anterior, normalmente para un ingeniero, sugiere la existencia de un problema de optimización o de investigación de operaciones. En términos de programación lineal se tendría: •

una función a maximizar: la suma de los indicadores Van de los proyectos a realizar un conjunto de restricciones, usualmente de disponibilidad de recursos

•

Máx :

∑ VANj ∗ Xj

sujeto a: Conjunto de restricciones

donde:

Xj = 1 0

si el proyecto se efectúa en otro caso

En muchas situaciones, la única restricción dice relación con la disponibilidad inicial de capital para cubrir las inversiones de los proyectos, en estos casos se puede emplear apropiadamente indicadores de rentabilidad que, consideren explícitamente el objetivo del capital disponible, es decir, lograr la mayor rentabilidad del capital, el indicador sería:

167

Miguel Angel Mellado Espinoza

IVAN =

VAN VAN = Inversión I

El indicador IVAN de un proyecto puede tener dos acepciones, dependiendo si el indicador es efectuado para analizar el proyecto individualmente o en forma conjunta:

IVAN Individual IVAN IVAN Conjunto

IVAN Individual IVAN =

VAN Proyecto I Proyecto

IVAN Conjunto IVAN =

∑

VAN Proyectos Alternativos K Disponible

En el caso de indicador IVAN individual, se interpreta como la rentabilidad del proyecto por unidad de inversión. En cambio en su uso conjunto, se interpreta como la rentabilidad del conjunto de proyectos por unidad de capital disponible. Las alternativas de proyectos se forman de tal manera que la suma de las inversiones da los proyectos que los componen sean igual a la disponibilidad de capital (o de inversión disponible).

∑

I Proyecto ≤ Capital disponible

Finalmente se selecciona la alternativa de mayor indicador IVAN conjunto, con lo cual automáticamente quedan seleccionados los proyectos que se llevaran a cabo.

168

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.5.2

Aplicación

Una cierta empresa, se enfrenta a seleccionar las iniciativas de inversión que serán presentadas para solicitar financiamiento. La empresa ha podido establecer a través de sus experiencias pasadas que, los financistas piden que los proyectos cumplan con las siguientes condiciones: a. b. c.

Rentabilidad neta por unidad de inversión superior a 0,15. Rentabilidad mínima del 12% anual. Ser capaz de soportar un incremento en la tasa de descuento de hasta un 25%.

Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Inversión 100 200 50 100 100 125 300 300 50

FNC constante 43 63 47 60 39 68 98 75 51

Valor Residual 0 0 0 100 100 100 0 100 0

Horizonte (años) 10 10 5 6 15 10 5 10 15

Solución: a.-

Determinar rentabilidad individual, calculando el VAN de cada proyecto usando como tasa de actualización la rentabilidad mínima del 12% anual, el valor residual corresponde al valor libro de los activos y en consecuencia al no disponer de valor venta se usa como ingreso no operacional en el período H de cada proyecto:  (1 + 0,12 )H − 1  ValorResidual VAN = F ∗  − Inversión + H H ( 1 + 0,12 ) ∗ 0,12 ( 1 + 0,15 )   Proyecto 1:

 (1 + 0,12 )10 − 1  VAN = 43 ∗   − 100 = 142,96 10  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12 

Proyecto 2:

 (1 + 0,12 )10 − 1  VAN = 63 ∗   − 200 = 155,96 10  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12 

169

Miguel Angel Mellado Espinoza

b.-

Proyecto 3:

 (1 + 0,12 )5 − 1  VAN = 47 ∗   − 50 = 119,42 5  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12 

Proyecto 4:

 (1 + 0,12 )6 − 1  100 VAN = 60 ∗  − 100 = 197,35 + 6 6  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12  (1 + 0,12 )

Proyecto 5:

 (1 + 0,12 )15 − 1  100 VAN = 39 ∗  − 100 = 183,89 + 15 15  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12  (1 + 0,12 )

Proyecto 6:

 (1 + 0,12 )10 − 1  100 VAN = 68 ∗  − 125 = 291,41 + 10 10  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12  (1 + 0,12 )

Proyecto 7:

 (1 + 0,12 )5 − 1  VAN = 98 ∗   − 300 = 53,27 5  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12 

Proyecto 8:

 (1 + 0,12 )10 − 1  100 VAN = 75 ∗  − 300 = 155,96 + 10 10  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12  (1 + 0,12 )

Proyecto 9:

 (1 + 0,12 )15 − 1  VAN = 51 ∗   − 50 = 297,35 15  (1 + 0,12 ) ∗ 0,12 

Determinar el indicador IVAN individual de cada proyecto, con el objetivo de verificar el cumplimiento de la condición, rentabilidad neta por unidad de inversión superior a 0,15:

IVANIndividual =

VAN Proyecto I Proyecto

Proyecto 1:

IVANIndividual =

142,96 = 1,4296 100

Proyecto 2:

IVANIndividual =

155,96 = 0,7798 200

Proyecto 3:

IVANIndividual =

119,42 = 2,3884 50

170

Evaluación de Proyectos de Inversión

Proyecto 4:

IVANIndividual =

197,35 = 1,9735 100

Proyecto 5:

IVANIndividual =

183,89 = 1,8389 100

Proyecto 6:

IVANIndividual =

291,41 = 2,3313 125

Proyecto 7:

IVANIndividual =

53,27 = 0,1776 300

Proyecto 8:

IVANIndividual =

155,96 = 0,5199 300

Proyecto 9:

IVANIndividual =

297,35 = 5,9470 50

Los valores del indicador IVAN individual, señalan que todos los proyectos tiene una Rentabilidad Neta por Unidad de Inversión superior a 0,15, por lo tanto cumplen con la primera exigencia.

c.-

Análisis de capacidad para soportan un incremento de la tasa de descuento de un 25%, ello implica volver a determinar el indicador VAN individual, pero con una tasa un 25% superior. r = 0,12 ∗ 1,25 = 0,15%

 (1 + 0,15)H − 1  ValorResidual VAN = F ∗  −I + H (1 + 0,15)H  (1 + 0,15) ∗ 0,15  Proyecto 1:

 (1 + 0,15)10 − 1  VAN = 43 ∗   − 100 = 115,81 10  (1 + 0,15) ∗ 0,15 

Proyecto 2:

 (1 + 0,15)10 − 1  VAN = 63 ∗   − 200 = 116,18 10  (1 + 0,15) ∗ 0,15 

171

Miguel Angel Mellado Espinoza

Proyecto 3:

 (1 + 0,15)5 − 1  VAN = 47 ∗   − 50 = 107,55 5  (1 + 0,15) ∗ 0,15 

Proyecto 4:

 (1 + 0,15)6 − 1  100 VAN = 60 ∗  − 100 = 170,30 + 6 6  (1 + 0,15) ∗ 0,15  (1 + 0,15)

Proyecto 5:

 (1 + 0,15)15 − 1  100 VAN = 39 ∗  − 100 = 140,34 + 15 15  (1 + 0,15) ∗ 0,15  (1 + 0,15)

Proyecto 6:

 (1 + 0,15)10 − 1  100 VAN = 68 ∗  − 125 = 240,99 + 10 10  (1 + 0,15) ∗ 0,15  (1 + 0,15)

Proyecto 7:

 (1 + 0,15)5 − 1  VAN = 98 ∗   − 300 = 28,51 5  (1 + 0,15) ∗ 0,15 

Proyecto 8:

 (1 + 0,15)10 − 1  100 VAN = 75 ∗  − 300 = 101,13 + 10 10  (1 + 0,15) ∗ 0,15  (1 + 0,15)

Proyecto 9:

 (1 + 0,15)15 − 1  VAN = 51 ∗   − 50 = 248,22 15  (1 + 0,15) ∗ 0,15 

Todos los proyectos son capaces de soportar un incremento del 25% en la tasa de descuento. Otra forma de verificar el cumplimiento de esta exigencia es, calcular el indicador TIR y compararlo con la tasa incrementada. Tabla resumen:

Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9

VAN (0,12) 142,96 155,96 119,42 197,35 183,89 291,41 53,27 155,96 297,35

IVAN (0,12) 1,4296 0,7798 2,3884 1,9735 1,8389 2,3313 0,1776 0,5199 5,9470

172

VAN (0,15) 115,81 116,18 107,55 170,30 140,34 240,99 28,51 101,13 248,22

Evaluación de Proyectos de Inversión

d.-

Para ordenar los proyectos que serán presentados para solicitar financiamiento, se utilizara el indicador VAN a horizonte infinito.  1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH  rH = (1 + r ) − 1 = 1,12 H − 1 H

Tabla Resumen:

Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4.6

H años 10 10 5 6 15 10 5 10 15

rH % 210,58 210,58 76,23 97,38 447,36 210,58 76,23 210,58 447,36

VAN (0,12) 142,96 155,96 119,42 197,35 183,89 291,41 53,27 155,96 297,35

VAN∞ 210,85 230,02 276,08 400,01 222,66 429,79 123,15 230,02 363,82

Orden 8 6 4 2 7 1 9 5 3

Tamaño Optimo

4.6.1 Generalidades El Indicador de rentabilidad VAN, resume en un único valor los diferentes elementos que componen el proyecto, como lo son la inversión, los ingresos y los costos, sin embargo, dichos componentes a su vez dependen de otros factores, como son; el tamaño o capacidad productiva, precios de los productos, precios de las materias primas, precio del capital, número de flujos a incluir, localización, etc. Consecuentemente se puede establecer: VAN = f{Tamaño, Precios, Tasa de actualización, Momento de Inicio, Momento de termino, Localización, otros} Los montos de la inversión aumentan, al incrementar la capacidad de producción o tamaño, al requerir mayores equipos, mayores espacios físicos, etc.. Sin embargo, el incremento de costos no es necesariamente lineal, al ir incrementando paulatinamente se dan economías de escalas hasta ciertos niveles, luego pueden ser des - economías de escalas, las que lleven a un incremente fuerte en el valor de la inversión.

173

Miguel Angel Mellado Espinoza

Los costos de operación unitarios pueden que disminuyan al incrementar de tamaño, debido a que el mayor volumen de productos fabricados requiere de una mayor cantidad de materias primas, en donde se pueden aprovechar descuentos por cantidad (Economía de Escala). En lo que respecta a los ingresos, inicialmente en tamaños pequeños todo lo que se produce se vende a precios de mercado, al incrementar a tamaños mayores para vender es necesario ofrecer descuentos y por último, al sobre pasar cierto límite, no se cumple que todo lo que se produce se venda, disminuyendo cada vez el ingreso neto.

VAN

VAN2

VAN1

T1

T2

Tamaño Optimo

Tamaño

Como el tamaño del proyecto afecta a los costos e ingresos acorde a lo señalado, se produce aumentos más que proporcionales en los ingresos netos hasta un cierto punto, en donde los incrementos de ingresos no son capaces de compensar los mayores costos. Lo cual lleva a pensar que el Indicador VAN tiene un comportamiento como el ilustrado en la figura, asegurando la existencia de una capacidad o Tamaño Optimo que, maximizar el indicador de Rentabilidad.

174

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.6.2

Métodos empleados para obtener el Tamaño Optimo

Los métodos para determinar el tamaño óptimo, parten de reconocer que el valor del indicador de rentabilidad VAN es una función del tamaño.

VAN = f tamaño

A.

Optimo Matemático La primera condición optimo o condición de primer orden, establece que los puntos singulares de la funsión se encuentran donde la derivada de ella con respecto a la variable es nula. La segunda condición de optimo o condición de segundo orden, indica que el máximo se encuentra en el punto donde la segunda derivda con respecto a la variable es menor que cero, en este caso la forma que tiene la función VAN asegura el cumplimiento de la segunda condición, bastando la primera.

∂VAN =0 ∂T Este procedimiento se puede emplear, siempre y cuando la función del VAN sea derivable con respecto a la variable (sea función continua en el tamaño), aspecto que frecuentemente no se cumple

B.

Variación del VAN nula En el caso que la función VAN no es continua en el tamaño (situación bastante común), se trabaja analizando los incrementos del indicador VAN. Si la variación del indicador es positiva al incrementar el tamaño, resulta ser conveniente pasar al tamaño superior. Si por el contrario la variación del Van es negativa, es preferible el tamaño menor. En el caso que la variación en el indicador VAN sea nula, se está indiferente entre uno u otro tamaño. ∆VAN = 0

La condición se debe aplicar con incremento pequeño en el tamaño (pasar de un tamaño al inmediatamente siguiente), dado que si los incrementos son muy grande, se puede dar que la variación del VAN entre dos tamaños se nula, pero que ambos se encuentren muy alejados del optimo (situación que ocurre entre el tamaño 2 y 5 de la figura).

∆VAN = VAN T +1 − VAN T 175

Miguel Angel Mellado Espinoza

VAN

VAN2 = VAN5

VAN1

T1

T2 Tamaño Optimo

T5

Tamaño

Al aplicar la condición, se puede producir una de tres posibles situaciones:

∆VAN

>0:

Tamaño T+1 mejor que Tamaño T, recomienda Capacidad.

=0:

Tamaño T es igualmente preferible que Tamaño T+1.

VAN t ⇒ período t + 1 preferible a período t VAN t +1 < VAN t ⇒ período t preferible a período t + 1

VAN t + 1 = VAN t ⇒ no tiene preferencia entre período t y t + 1

VAN ∆VAN 0

tiempo

∆VAN =0

VAN

tiempo

184

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.7.2

Momento Optimo de Término

Se analiza el Momento Optimo de Término para proyectos en los cuales el stock de capital es creciente en el tiempo. Lo que corresponde a proyectos en los cuales por la sola acción del paso del tiempo, se va aumentando el valor del bien producido por el proyecto, los ejemplos más clásicos son los proyectos de tipo ganadería y forestales. Esta acumulación de capital en los proyectos se produce en forme continua, ello obliga a trabajar con tasas de actualización que sean continuas y no discretas, lo cual significa que, cuando se actualiza un flujo al período cero se debe tener en consideración que la acumulación del valor del flujo es continua.

Recordando lo desarrollado en el capítulo dos, en el caso de capitalización continua, se tendrá:

r   lim 1 +  Nc →∞ Nc  

Nc

= er

Ft

VP 0

t

Luego el Valor actualizado de un flujo que ocurre en el período t será: VP = Ft ∗ e − r t

En los proyectos que hay acumulación de capital normalmente la valorización se produce en el instante de término del proyecto siendo despreciables los costos e ingresos que se producen en el ínter tanto. A partir de las características de estos proyectos se presentan tres posibilidades:

i)

Proyecto se efectúa una sola vez, en cuyo caso es de interés maximizar la rentabilidad del indicador VAN al efectuar el proyecto por primera vez:

VAN = − I + R t ∗ e − rt

185

Miguel Angel Mellado Espinoza

La condición de óptimo es: ∂VAN =0 ∂t Luego, se tiene: − r ∗ R t ∗ e − rt + e − rt

∂R t =0 ∂t

Finalmente se llega a: ∂R t = r ∗ Rt ∂t Costo marginal de Postergar = Ingreso marginal de Postergar

Retorno o Beneficio neto en el período t I

Rt 0

t

Inversión inicial

ii) Proyecto repetitivos, con reinversión exactamente igual a la primera vez, en este caso cada vez que el proyecto se efectúa, se tendrá una repetición idéntica a la anterior, con lo cual el foco del análisis es optimizar el VAN de las infinitas repeticiones.

186

Evaluación de Proyectos de Inversión

Rt I

t Rt I

2t Rt ........ I

3t

La expresión final del Van de las infinitas repeticiones, se obtiene al actualizar una serie perpetua de flujos de inversión que se inicia el año cero y que se repite cada t años, en el caso de los retornos o benéficos es una serie perpetua que se inicia el año t y que se repite cada t años, luego se tiene: ∞   ∞ VAN∞ = − I + ∑ I ∗ e- rt ∗k  + ∑ R t ∗ e- rt ∗k  k =1  k =1

Sea e-rt = ρ

reemplazando en la expresión anterior, se tiene:

∞ ∞   VAN ∞ = − I + I ∗ ∑ ρ k  + R t ∗ ∑ ρ k k =1 k =1  

  1  VAN ∞ = − I + I ∗  − 1 + R t 1− ρ     1 VAN ∞ = −I ∗ 1 + − 1 + R t  1− ρ 

desarrollando las series

 1  ∗  − 1 1− ρ 

 1  ∗  − 1 simplificando 1− ρ  187

Miguel Angel Mellado Espinoza

VAN ∞ = −

VAN∞ = −

ρ ∗Rt I + 1− ρ 1- ρ

reemplazando el valor de ρ

I e-rt ∗ R t + 1 − e − rt 1 - e- rt

Luego se procede a aplicar la condición de óptimo, en primera derivada ∂VAN =0 ∂t obteniendo como resultado ∂R t (R t − I ) ∗ r = ∂t 1 − e− rt iii) Proyectos repetitivos con reinversión total de los fondos. En este caso se desea optimizar la rentabilidad de los fondos invertidos en el proyecto y no el VAN de las repeticiones, ya que ellas diferirán en monto de inversión y retorno. Siendo el único caso en donde el indicador TIR refleja rentabilidad, al ser reinvertidos en el mismo proyecto todos los beneficios:

Rt I

t Gt Rt

.............................. 2t

188

Evaluación de Proyectos de Inversión

En este caso al reinvertir la totalidad de los fondos, se busca maximizar la rentabilidad interna de los retornos, con lo cual se debe maximizar la TIR. Entonces, primero se determina el indicador TIR de efectuar el proyecto por una sola vez, para posteriormente maximizar este indicador.

VAN = 0

TIR = ρ =

⇒

− I + R t ∗ e−ρ t = 0

Ln (R t ) − Ln (I ) t

Máxima TIR:

∂ρ =0 ∂t

∂R t = R t ∗ρ ∂t

∂R t  Ln (R t ) − Ln (I )  =R t ∗  ∂t t  

4.7.3

Aplicación

La Motor Vial SuK, deberá ingresar al negocio de las Carreteras en Chile, para lo cual esta diseñando un Proyecto de Vía Tarifada entre Valparaíso y Talca por la Costa. Los Estudios Técnicos señalan que el Proyecto tendrá una Vida Útil infinito y, requiere una Inversión de US M$ 4.200, lo cual es independiente de la Fecha de Inversión. Los Ingresos Netos Anuales crecen a una Tasa de 6 % anual, a partir de un Valor Inicial aproximado de US M$ 384 y la Rentabilidad Mínima Exigida es del 12 % anual. Determine el Momento Óptimo de construcción de la carretera.

Solución:

i)

Se de definir el VAN en función del tiempo, dado que según los antecedentes se trata de un proyecto en el cual los flujos netos son crecientes en el tiempo y la inversión constante, con lo cual se tiene:

189

Miguel Angel Mellado Espinoza

VAN t = −

It

(1 + r )t

+

∞

∑

FNC 0 * (1 + a) k

k = t +1

(1 + r )k

En donde: •

FNC 0 =

•

It

• •

ii)

a r

384

= 4.200 = =

6% anual 12% anual

Determinación del tiempo, aplicando la condición de ∆VAN. FNC t + H +1 + I t ∗ r = FNC t +1 + ∆I (1 + r )H 0 + I ∗r

= FNC t +1 + 0

al ser la Inversión constante y el horizonte de estudio infinito

4200 ∗ 0,12

= 384 * (1 + 0,06) t +1

despejando

(1+0,06)t

= 1,2382

aplicando logaritmo natural

t

= 3,67 años

se debe analizar año 3 y año 4, ya que se considera tiempo discreto

VAN3 = 2761,60 VAN4 = 2773,81

Luego momento óptimo de inicio año 4

190

Evaluación de Proyectos de Inversión

4.8

Ejercicios Propuestos

1. Hancok y Lubicz asesores internacionales de proyectos de inversión se encuentran estudiando la factibilidad de dos proyectos de inversión con los siguientes antecedentes de ingresos y costos:

Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Proyecto A Ingresos Costo 0 3.500 1.200 700 1.500 800 1.800 900 2.200 1.100 2.200 1.100 2.200 1.100 2.300 1.100 2.300 1.100 2.300 1.100 2.300 1.100

Proyecto B Ingresos Costos 0 2.200 900 600 1.400 800 1.850 800 1.850 800 1.850 850 1.850 850 1.960 870 1.960 870

En cada uno de los proyectos la inversión (costo del año 0) está formada por un 10% de activos nominales no amortizables, 20% de capital de trabajo y 70% de activos fijos. El activo fijo en su totalidad se deprecia linealmente con un valor residual del 10% al término de horizonte de cada proyecto. La tasa de impuesto a la que está afecta es del 10% y el costo alternativo del capital es del 9% anual capitalizable bimestralmente. Determine los indicadores periodo de recuperación, rentabilidad por unidad de inversión y VAN. Seleccione uno de los proyectos dado que ellos son repetitivos. 2. La empresa embotelladora Alpina S.A., ha decidido incorporar a sus proyectos productivos una máquina extrusora cuya finalidad es la conformación de envases plásticos. Actualmente la empresa compra los envases a sus proveedores, no obstante ya decidió la incorporación de la máquina extrusora y rompió el contrato con los proveedores a partir del próximo año. Para este tipo de máquina en el mercado existen 5 tamaños posibles: Tamaño A B C D E

Capacidad Millones / botellas 15 35 65 100 125

Costos de Operación MUS$ 1.125 1.880 2.625 3.600 4.725

191

Ingresos MUS$ 1.485 2.880 4.125 5.400 6.825

Miguel Angel Mellado Espinoza

Los Costos de Operación e Ingresos son por periodos trienales y se contabilizan al final de cada tres años, creciendo ambos al 3% anual real. La inversión es proporcional a la capacidad y corresponde a US$0,16 por unidad de capacidad, expresada esta última en botellas. Si la tasa de descuento es de un 14% anual con composición trimestral y las máquinas tienen una vida útil infinita, sin valor residual. Se pide que determine cual es el tamaño más apropiado y para este tamaño cuándo debe iniciar el proyecto. 3. Banctar y CIA. empresa líder en el mercado de las tarjetas de crédito, se encuentra analizando la factibilidad de lanzar al mercado un proyecto para la comercialización de un nuevo producto de tarjetas SC, cuya duración se estima en diez años. El valor económico de la inversión es de M$1.000.000, y el valor libro de ella al año diez coincide con el valor de venta que es igual a cero. Los estudios de marketing señalan que la demanda por este tipo de tarjeta de crédito a nivel de todo el mercado será de 400.000 unidades para el próximo año y que se espera que aumente en un 2% anual cada año. El ingreso por cada tarjeta será de M$15, costo de mantenimiento y operación de M$5 por tarjeta. Determine cuando realizar el proyecto, si el costo del capital es del 8% anual, la participación en el mercado o porcentaje en el mercado que será capturado por el nuevo proyecto es de un 40% y la inversión es constante en el tiempo. 4. La empresa Alfa_Metal le ha contratado para que evalúe reemplazar sus actuales equipos de manejo de materiales. Para estos efectos Ud., se ha contactado con la gerencia de producción que le ha hecho llegar la siguiente información: Es posible instalar un sistema LINK semiautomático, un sistema LINE y por último un sistema PROLINE, los sistemas son incompatibles entre sí. El sistema LINK tiene asociada una inversión de M$ 350.000, generando ahorros anuales de M$ 75.500 hasta terminar su vida útil de 10 años, el sistema tiene un valor residual de M$ 10.000, pero puede ser vendido al termino de su vida en M$ 35.000. Sistema LINE con una inversión asociada M$ 850.000, es capaz de generar ahorros anuales de M$ 140.500 hasta terminar su vida útil de 15 años, con un valor residual de M$ 100.000, pero puede ser vendido en M$ 150.000. El sistema PROLINE tiene asociada una inversión de M$ 250.000, generando ahorros anuales de M$ 105.500 durante su vida útil de 5 años, un valor residual de M$ 50.000, el sistema puede ser vendido al termino de su vida en M$ 40.000. La empresa Alfa_Metal es una empresa que espera permanecer en el negocio en el tiempo, exige una rentabilidad a sus inversiones del 14 % anual y esta afecta a un impuesto del 10 %. Para la decisión señale, el indicador VAN correspondiente, IVAN y FUE. 192

Evaluación de Proyectos de Inversión

5. El Gerente de producción de La compañía Pirulos S.A., ha recibido un conjunto de propuestas que provienen de tres áreas de producción. Las propuestas que pertenecen a una misma área de producción (con una misma letra) son mutuamente excluyentes (sólo se puede hacer una de ellas). Si las vidas de las propuestas de inversión son de H años, los valores residuales son nulos y la tasa de descuento es de 12 % anual Además se sabe que la inversión está compuesta por un 10% de Capital de trabajo, 20% de Terreno y 80% de activo fijo depreciable. El activo fijo depreciable tiene un 20% de Valor residual y se deprecia linealmente en los H años de cada proyecto. Finalmente al terminar del proyecto los activos se valoran a Valor Libro. ¿ Qué propuestas deben seleccionarse?, si la cantidad de dinero disponible para nuevas inversiones es: M$ 500 000 Área A

B

C

Proyecto A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3

Inversión M$ 100 200 300 50 100 250 150 200 250

Margen Neto anual M$ 50 65 95 26 45 68 65 75 85

H años 6 8 10 5 6 9 7 8 9

6. La compañía “Plazco and co.” Se encuentra analizado su programa de expansión de operaciones futuras, para lo cual se desea determinar la conveniencia de instalar una nueva planta procesadora de artículos de plástico en Yucatán , ellos han estimado que la demanda por sus productos es tal que generaría ingresos anuales de 240 MUS$ de hoy en día los que crecerían al 5 % anual. La construcción, equipamiento y puesta en marcha de la planta significa una inversión de 1.200 MUS$, la cual crecería en un 2,11 % anual al no efectuarla inmediatamente. Si la rentabilidad mínima exigida es de un 11,3 % anual, determine la conveniencia de invertir y cuando se debe efectuar la inversión.

7. Un proyecto que considera la fabricación de martillos de goma, tiene una inversión inicial de $ 800, vida útil de 5 años y valor residual cero. La demanda de esta clase de martillo actualmente se estima en 300 unidades al año y se piensa que crecerá al 6,5 % anual. Por la gran utilidad de los martillos se cree que la demanda crecerá independientemente del momento en que se realice el proyecto. 193

Miguel Angel Mellado Espinoza

El precio de venta de cada martillo es de $ 6 con costos variables de $ 4. La totalidad de los activos son depreciables linealmente en la vida útil del proyecto, ya que este tipo de negocio esta afecto al 30 % de impuesto a las utilidades y la tasa de descuento es del 14 % anual. Determine cuando es el momento más apropiado para iniciar este proyecto.

8. Para un proyecto de Producción de semiconductores, se han planteado cinco posibles tamaños, los cuales tienen inversiones, ingresos y costos acorde a la tabla que se adjunta. La inversión se deprecia totalmente en los 10 años de vida útil de proyecto. Si la tasa de impuesto es del 15% y el costo alternativo del capital es de 10 % anual, se solicita que determine el tamaño más apropiado para este proyecto.

tamaño capacidad Inversión $ ingreso 1-3 $

ingreso 4-10 $

Costos 1-10 $

1

10.000

1.000.000

300.000

360.000

120.000

2

15.000

1.575.000

450.000

540.000

177.000

3

20.000

2.200.000

580.000

696.000

230.000

4

25.000

3.000.000

700.000

840.000

285.000

5

30.000

3.900.000

810.000

972.000

342.000

9. Un proyecto que considera la fabricación de tarjetas electrónicas para su uso en el Transantiago, que tiene una inversión inicial de 300 millones de pesos, un horizonte de evaluación de 5 años y valor residual cero. La demanda de esta clase de tarjeta se estima que sería de 5 millones de unidades para el primer año y se piensa que crecerá al 6,5 % anual. El precio de venta de cada tarjeta es de $ 50 con costos variables de $ 25. La totalidad de los activos son depreciables linealmente en la vida útil del proyecto, ya que este tipo de negocio esta afecto al 30 % de impuesto a las utilidades y la tasa de descuento es del 14 % anual. Determine cual es la rentabilidad del proyecto, verificando que tenga una rentabilidad por unidad de inversión superior al 25% y que tenga un flujo equivalente anual de a lo menos 25 millones de pesos 10. Mi suerte es grande, empresa que aporta capital de riesgo (financia proyectos), se encuentra estudiando su plan de inversiones para el próximo año, contando con la siguiente cartera de proyectos.

194

Evaluación de Proyectos de Inversión

Proyecto

Inversión

Margen

450 506 350 401 150 200 600 100

130 110 85 90 40 55 120 50

A B C D E F G H

Ingresos No Operacional en H 0 100 50 50 0 50 150 10

Vida útil H 8 7 6 9 4 6 9 3

La empresa ha estimado que todos los proyectos son no relacionados, que ellos serían susceptibles de efectuar una y otra vez. Mi suerte es grande, ha considerado que la selección de proyectos debe ser tal que se cumplan las siguientes condiciones: • • • • • •

Rentabilidad mínima por unidad de inversión del 15 % Rentabilidad mínima exigida del 10 % anual Soportar incrementos en la tasa de interés de hasta el 25 % Capital disponible para inversiones de 855 unidades Cada proyecto seleccionado de generar a lo menos 12 unidades equivalentes anuales Procedimiento habitual de selección de proyectos.

11. La compañía de utensilios de plástico La Gomita S.A., está considerando ampliar sus actuales líneas de producción, aprovechando que sus productos están bien posesionados en el Mercado. Para estos efectos ha recibido 6 propuestas de inversión, las que corresponden a dos propuestas por cada una de tres líneas de productos. Línea

Marca

Inversión M$ Juguetes Bélicos 48.650 Muñecas 42.000 Casa Vajilla 39.500 Basureros 34.000 Industrial Mangueras 46.500 Cañerías 32.000

Flujo anual Valor recuperación M$ M$ 10.100 8.000 9.750 4.000 10.750 4.500 12.250 5.000 11.500 7.000 9.750 10.000

vida útil 8 10 6 5 5 7

Por algunas dificultades financieras la empresa dispone para este año sólo de M$ 100.000, dinero que puede ser invertido en sus actuales líneas de producción, en las cual obtendría una rentabilidad del 7,5 % anual 195

Miguel Angel Mellado Espinoza

Se solicita que mediante la aplicación del indicador de rentabilidad apropiados, determine en que propuestas debe invertir, considerando que ellas se pueden volver a hacer al termino de su vida útil y que sólo puede efectuar un proyecto por línea de producto

12. Una empresa de transporte aéreo está decidiendo iniciar sus actividades en el país, para lo cual debe establecer cual de los siguientes modelos de avión adquirir:

Modelo ml-7 Inversión vida útil valor residual Costo de operación

M US$ 1700 10 años 0 M US$ 300/año

Modelo ml-8 Inversión vida útil valor residual Costo de operación

M US$ 650 5 años 0 M US$ 500/año

La tasa de rentabilidad exigida es de 25% anual. Suponga los Ingresos Netos esperados que se podrían obtener son de MUS$ 1000, MUS$ 1400 y MUS$ 2000 al año idénticos para cada uno de los modelos, con probabilidades de 0,3 ; 0,4 y 0,3 respectivamente. La empresa esta interesada en permanecer en el negocio del transporte. a. cual de los proyectos selecciona b. Suponiendo una situación determínistica, cual es el ingreso anual mínimo necesario para que el proyecto sea conveniente. c. Si la empresa esta efectúa a un 40% de impuesto, como cambian sus respuestas a, b.

196

Evaluación de Proyectos de Inversión

5.

ANÁLISIS DE RIESGO E INCERTIDUMBRE

El estudio de los proyectos bajo condiciones de riesgo e incertidumbre, implica reconocer explícitamente que al interior de un proyecto existen innumerables situaciones que no son factibles de controlar con certeza. Hoy por hoy, variables macroeconómicas tales como; nivel del gasto público, nivel de inversión, nivel de empleo, tasa de interés, entre otras variables, están sujetas a factores externos que dificultan fuertemente la predicción de sus verdaderos valores. A su vez, el nivel de ventas y producción, así como los precios de los productos y factores de producción, depende en gran medida del comportamiento de dichas variables, con lo cual al ser usadas, se debe tener clara conciencia que sólo son estimaciones y como tales factibles de sufrir cambios. Una situación análoga ocurre con variables demográficas, en la cual las tasas de crecimiento de población, son estimaciones. Los flujos de caja de un proyecto (ingresos y costos), están ciertamente influenciados por variables macroeconómicas y demográficas, ya que un grado importante del comportamiento de los flujos se ve explicado por este tipo de variables, por ejemplo:

197

Miguel Angel Mellado Espinoza

El nivel de ingresos de un proyecto depende básicamente de la cantidad de bienes producidos y vendidos y el precio al cual son comercializados. A su vez, el nivel de venta depende de la demanda, la cual esta asociada a la población y el nivel de ingresos de los consumidores.

Consecuentemente, los flujos netos de caja que son usados en la determinación de los indicadores de rentabilidad de un proyecto, son sólo estimadores de los verdaderos valores. El grado de conocimiento que se tenga acerca del comportamiento de las variables, así como también, de la distribución de probabilidades que sea posible asociar al comportamiento de la variable, hace que sea necesario emplear métodos diferentes que se basen en dicho conocimiento, de tal forma que se tiene:


Riesgo

:

Son conocidas las distribuciones de probabilidades de las variables y por ende la de los flujos de caja.




Incertidumbre

:

Sólo son conocidos diferentes valores que puede adoptar la variable, pero no cual probabilidad de ocurrencia de estos valores.

Frente a estas dos grandes posibles situaciones, existen cuatro grandes instrumentos de análisis, dos de ellos orientados a estudio del riesgo y dos más asociados a la incertidumbre, correspondiendo a:




Estimadores de Riesgo: Tratamiento analítico de la variabilidad de los flujos y las probabilidades de ocurrencia de los mismos, calculando estimadores de los indicadores de rentabilidad.




Simulación: Modelación de los Flujos de Caja a través de combinación de variables determinísticas y estocásticas. El comportamiento de las variables se simula empleando números aleatorios que describen la distribución de probabilidades.




Teoría de Juegos: Tratamiento de la incertidumbre, mediante la técnica de teoría de juegos, que presupone la existencia de diferentes escenarios y decisiones que toma el evaluador. Se trata de llegar a establecer cual es la mejor decisión que puede llegar a adoptar el inversionista




Análisis de Sensibilidad: Establecer la variabilidad o sensibilidad de los indicadores de rentabilidad de un proyecto, frente a cambios en los valores de las variables que pueden estar sujetas a variabilidad. Este análisis es efectuado para un amplio rango de variabilidad y bajo el supuesto de efectuar un cambio a la vez.

198

Evaluación de Proyectos de Inversión

5.1

Estimadores de Riesgo

El estudio de proyecto bajo condiciones riesgosas (flujos sujetos a variaciones), implica incorporar al análisis indicadores que midan el riego o variabilidad de los flujos y por ende de la rentabilidad, los cuales junto a indicadores de rentabilidad permitirán tomar una decisión adecuada. En este proceso, el primer paso es explicitar el comportamiento de los flujos, o de las variables que definen su comportamiento.

Valor del flujo

Período

N

t

1 0 Posibilidad de flujo

Para incorporar indicadores de riesgo, se hace uso del estadigrafo varianza de una distribución de probabilidades o su segundo momento. Lo anterior, requiere de explicitar en primer lugar los potenciales valores (en caso de distribución discreta) o los parámetros de la distribución (para distribuciones continuas). Una muy buena herramienta para explicitar; sucesos, posibles valores, decisiones y cursos de acción, son los arboles de decisión

199

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.1.1 Árbol de Decisión Los árboles de decisión son estructuras que a través de teoría de grafos, permiten explicitar los sucesos, valores posibles, cursos de acción y decisiones, empleando para estos efectos “ramas” que muestran cursos de acción u opciones y “nodos” que señalan decisiones o eventos probabilísticos. El procedimiento para generar un árbol de decisión es relativamente sencillo, simplemente, se inicia desde un nodo de decisión (normalmente del tipo todo o nada, es decir se hace o no el proyecto), a partir del cual se da origen a los cursos de acción (por ejemplo efectuar el proyecto o no hacerlo) y se avanza por cada una de las ramas. En cada una de ellas pueden existir nuevas decisiones (por ejemplo el tamaño del proyecto) o eventos de carácter probabilísticos (tamaño de la demanda por ejemplo) del cual surgen los posibles valores, hasta llegar al último valor posible. Los elementos constituyentes de un árbol de decisiones corresponden a: •

Nodo de decisión:

•

Nodo Probabilístico

•

Cursos de acción: desde un nodo de decisión siempre surgen las acciones que es posible llevar a cabo

•

Relación curso de acción – nodos: de los cursos de acción pueden surgir nodos de probabilidad o nodos de decisión

•

Rama de opción: desde un nodo de probabilidad siempre surgen los valores posibles que puede tomar la variable en análisis

200

Evaluación de Proyectos de Inversión

Si bien un árbol de decisión se plantea desde el primer nodo de decisión, hasta cubrir todas las alternativas y cursos de acción, incorporando los diferentes valores de las variables, su resolución, se lleva a cabo desde la(s) últimas ramas hacia el primer nodo, es decir recorriendo el árbol en forma inversa. Al ir resolviendo el árbol y llegar a un nodo de probabilidad, el valor que toma la rama desde la cual surge el nodo, corresponde al valor esperado de las ramas que salen del nodo. Al llegar a un nodo de decisión, se opta por aquel curso de acción que mejor contribuya al cumplimiento de los objetivos (mayor rentabilidad, menor costo, etc.), es decir por la rama que llega al nodo de decisión con un mayor valor del respectivo indicador. Para efectos del árbol de decisión, la resolución de él siempre emplea el estadígrafo valor esperado, considerando una distribución discreta, con lo cual el valor de la rama de la cual surge el nodo de probabilidad será: N

E(rama) = ∑ ValorK ∗ Probabilidad K K =1

1200 0,35 1

1510

1600 0,40 1800 0,25 2

En la figura se puede apreciar, que desde un nodo de decisión surgen tres posibles valores para una variable, a saber: 1200, 1600 y 1800 con probabilidades de ocurrencia 0,35; 0,40 y 0,25 respectivamente, lo cuan conduce a un valor esperado de 1510, el cual será el valor representativo de la rama desde la cual surge el nodo de probabilidad Al emplear el árbol de decisión como herramienta de análisis del riesgo, se debe tener muy en claro que ella sólo trabaja con una dimensión de las variables estocásticas, ya sólo emplea el estadígrafo valor esperado. En virtud de ello, el árbol de decisión debe ser usado en el sentido de explicitar los valores posibles y no como instrumento de análisis para la toma de decisiones.

201

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.1.2 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad de los Flujos

El análisis de riesgo es efectuado en proyectos en los cuales es posible llegar a establecer alguna distribución de probabilidad de los flujos netos de caja (FNC). Esta situación que se compadece en mejor medida con la realidad, ya que en muy pocas ocasiones las proyecciones de los flujos netos de caja se llegan a cumplir con certeza, es más, lo más probable es que exista un no despreciable grado de desviación de los flujos entorno a los valores proyectados. El estudio de proyectos bajo condiciones de riesgo, puede emplear para la toma de decisiones variados indicadores, entre los que se cuentan: Maximizar Rentabilidad (seleccionar el proyecto de mayor rentabilidad esperada), Mínimo Riesgo (selecciona el proyecto de menor variabilidad en la rentabilidad) y la mezcla de los dos indicadores. No obstante, cualquiera que sea el indicador a emplear, se requiere transformar la distribución de valores de los FNC en cada período a los respectivos estadígrafos valor esperado y varianza de los flujos. En el siguinete grafico tridimencional, se muestran los valores posibles que pueden tomar los flujos netos de caja “FNCtk“ en los diferentes períodos “t” de tiempo. Proyección de flujos tridimencional

H FNCt1

FNCt2 FNCt3 FNCt4

t

FNCt5 FNCt6 FNCt7 FNCt8

1 0 0

1

t

202

H

período

Evaluación de Proyectos de Inversión

En el caso que la distribución de probabilidades sea una función discreta, los estadígrafos se calculan como:

E(FNC)t =

N

∑ FNCt ∗ ProbabilidadK

K=1

2

N

σ (FNC)t = ∑ [FNCt − E(FNC)t ] ∗ ProbabilidadK 2

K=1

Si la distribución de probabilidades fuese una función continua, los estadígrafos se calculan haciendo uso de la función densidad de probabilidad, como el primer y segundo momento respectivamente. Al aplicar las expresiones de valor esperado del flujo y desvición estnadar, se generan dos series de valores, una correspondiente a cada estadígrafo. Proyección de Estadígrafos E(FNC) y σ(FNC)

σ(FNC)1

σ(FNC)0

0

E(FNC)0

…………….

σ(FNC)t

1

……….

E(FNC)1

•

H período

E(FNC)t

E(FNC)H

..................

0

σ(FNC)H

t

..............

1

t

H período

Maximizar la Rentabilidad:

Al emplear un indicador para maximizar la rentabilidad, se ha supuesto implícitamente que la variable varianza de los flujos netos de caja es idéntica en los proyectos que se encuentren en análisis, es decir asume implícitamente que todos los proyectos tienen el mismo riesgo. Consecuentemente, en este caso el indicador de decisión corresponde al estadígrafo Valor Esperado del Van. 203

Miguel Angel Mellado Espinoza

 H FNC t E(VAN) = E ∑  (1 + r )t  t =0

  =  

H

E(FNC)

∑ (1 + r )t t t =0

En la anterior expresión como producto de las propiedades del operador valor esperado, se puede apreciar el valor esperado del indicador VAN viene a calcularse como el VAN de los valores esperados. Luego, el criterio es similar al usado por el indicador VAN, es decir seleccionar aquel proyecto de mayor VAN, que cumpla con:

E(VAN) > 0

Si los proyectos son repetitivos, se deberá emplear el indicador valor esperado del VAN de las repeticiones con horizonte mínimo común o con horizonte infinito, según mejor acomode al analista. E(VAN) oo = E(VAN) * (1 +

1 ) Valor esperado del proyecto con infinitas repeticiones rH

 (1 + rH ) K -1 - 1  E(VAN)REP = E(VAN) *   K −1  (1 + rH ) * rH 

Valor esperado del proyecto a horizonte mínimo común o con repeticiones

•

Minimizar el Riesgo: Al tomar decisiones que estén basadas sólo en seleccionar proyectos sobre la base de minimizar el riesgo, es decir sobre la variabilidad de los flujos, se asume que todos los proyectos en comparación ofrecen idéntica rentabilidad o lo menos similar. Una vez determinada la variabilidad de los flujos en cada uno de los periodos (desviación estándar), resta por calcular el efecto del proyecto completo, para ellos se procede a actualizar las variabilidades. En esta última fase del proceso surgen dos pequeños inconvenientes, el primero de ellos guarda relación con la correlación de los flujos en el tiempo, si los flujos presentan dependencia entre ellos en el tiempo (por ejemplo: los flujos de un período dependen de lo acontecido en el período anterior), se deberá incorporar explícitamente la correlación al actualizar los flujos.

204

Evaluación de Proyectos de Inversión

Sin embargo, en la mayor parte de los casos los flujos netos de caja no presentan correlación temporal, es decir, que los flujos netos de caja son temporalmente independientes unos de otros (por ejemplo las ventas de este año no depende de las ventas de los años anteriores). El segundo inconveniente es de origen estadístico ya que las desviaciones estándar son variables que no se pueden no sumar, este segundo problema se soluciona actualizando las desviaciones para tenerlas referidas a una misma fecha y luego de actualizadas se obtienen las varianzas (cuadrados de las desviaciones), las cuales si pueden ser sumadas. Bajo los anteriores supuestos, se seleccionara el proyecto que presente una menor σ(VAN), la cual se determina como:

 σ(FNC)t σ(VAN ) = ∑  t t =1  (1 + r ) H

   

2

Desarrollando un poco la expresión interior, se llega a:

 σ 2 (FNC)t  ∑ t  t =1  (1 + r2 ) H

σ(VAN ) =

   

Donde (1+r2) corresponde a (1+r)2 Al igual que en caso anterior, si los proyectos son repetitivos se debe emplear la desviación estándar del van considerando horizonte infinito o en su defecto horizonte mínimo común. σ(VAN )oo

 1 = σ(VAN ) * (1 + r2 H 

σ(VAN )REP

 ) 

1/ 2

Desviación estándar a horizonte infinito

 (1 + r2H ) K -1 - 1  = σ(VAN ) *   K −1  (1 + r2H ) * r2H 

1/ 2

Desviación estándar a horizonte mínimo común o con repeticiones

En ambos casos r2H corresponde a (1+r)2H

205

Miguel Angel Mellado Espinoza

•

Rentabilidad por Unidad de Riesgo: En la practica, lo más común es encontrar que los proyectos presentan diferentes rentabilidades esperadas y a la vez valores muy distintos de nivel de riesgo. Es más proyectos de una alta rentabilidad tienen asociados grandes niveles de riesgo, con lo cual al aplicar los anteriores criterios se llegará a decisiones diametralmente opuestas. Este inconveniente, hace que sea necesario complementar los indicadores, generando un nuevo indicador, que permita tomar una decisión en base la mayor rentabilidad y a disminuir el riesgo, dicho indicador proviene del estadígrafo coeficiente de variación, el cual combina la desviación estándar con el valor esperado, la única diferencia es que para una mejor interpretación económica se trabajo con el inverso, dando origen al indicador de rentabilidad por unidad de riesgo:

1 E(VAN) = Cv σ(VAN)

Se selecciona aquel proyecto que entregue el mayor indicador de rentabilidad por unidad de riesgo. Siendo condición necesaria que dicho indicador sea no negativo. Si los proyectos son repetitivos, se debe emplear un indicador que registre dicho hecho, para lo cual, se puede usar el mismo indicador de rentabilidad por unidad de riesgo, pero con infinitas repeticiones:

 1     Cv  ∞

=

E(VAN) ∞ σ (VAN) ∞

en donde:  1 E(VAN)∞ = E(VAN) ∗ 1 +   rH 

σ(VAN )∞

 1 = σ(VAN) ∗ 1 +  r2H

  

1/ 2

206

Evaluación de Proyectos de Inversión

además: H

E(FNC) t

∑ (1 + r )

E(VAN) =

t =0

t

 σ 2 (FNC)t σ(VAN ) = ∑  t t =1  (1 + r2 ) H

   

N

E(FNC)t = ∑ FNCKt ∗ Probabilidad Kt K =1

2

N

σ (FNC)t = ∑[FNCKt − E(FNC)t ] ∗ ProbabilidadK 2

K =1

rH = (1 + r ) − 1 H

r2H = (1 + r ) − 1 2H

r2 = (1 + r ) − 1 2

5.1.3 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad del Horizonte

Existe una cierta cantidad de proyectos, en los cuales la variabilidad se encuentra asociada a la vida útil del proyecto, más que en los flujos de él. Esta situación se produce especialmente en proyectos en los cuales la innovación es uno de sus principales componentes, la permanencia en el mercado de este tipo de negocios, depende en gran medida del tiempo que demore la competencia en adoptar el cambio en la tecnología o que sean capaces de generar una tecnología más novedosa. El procedimiento de análisis, en este caso es bastante sencillo y se inicia con establecer los diferentes valores posibles de la vida del proyecto y las correspondientes probabilidades de ocurrencia. Luego, se toma cada vida útil como cierta y para cada una de ellas se procede a calcular el indicador correspondiente (normalmente el VAN), este indicador tendrá una probabilidad de ocurrencia igual a la de la vida útil a la cual está asociado.

207

Miguel Angel Mellado Espinoza

VANH1 H1

VANH2 H2

. . . . VANHN HN

Una vez completado el análisis para cada una de las opciones de vida útil, se dispone de una distribución de probabilidades para el indicador VAN. Finalmente, se procede a determinar el valor esperado del Van del proyecto y su respectiva desviación estándar.

N

E(FNC) = ∑ VANHK ∗ Probabilidad HK K =1

N

2

σ (FNC) = ∑[VANHK − E(FNC)] ∗ ProbabilidadHK 2

K =1

Luego, se procede a calcular el indicador 1/cv:

1 E(VAN) = Cv σ(VAN)

208

Evaluación de Proyectos de Inversión

5.1.4 Indicador de Riesgo Proyecto con Variabilidad de la Tasa de Descuento

La tasa de descuento es una de las variables más significativas en el calculo de los indicadores de rentabilidad, si bien ella representa el costo alternativo de capital, el cual es propio de cada empresa, no menos cierto que éste refleja la rentabilidad de las alternativas que tiene el inversionista, la cual puede estar sujeta a cambio en tiempo. En el caso de conocer la probabilidad de ocurrencia de los diferentes valores, se procede a un análisis de riesgo similar al del horizonte del proyecto. El procedimiento consiste en establecer en primer lugar los valores de las posibles tasa de descuento y sus respectivas probabilidades de ocurrencia. Luego se procede a calcular el indicador de rentabilidad VAN, tomando como cierta cada una de las tasas de descuento. Esto nos lleva a tener tantos indicadores como tasas existen, la probabilidad de cada uno de los indicadores corresponderá a la de ocurrencia de la tasa con la cual fue calculado.

H

FNCt t t =0 (1 + rK )

VANK = ∑

rK

Una vez completado el análisis para cada una de las posibles tasas de descuento, se cuenta con una distribución de probabilidades para el indicador VAN. Finalmente, se procede a determinar los respectivos estadígrafos: valor esperado del Van del proyecto, desviación estándar e inverso del coeficiente de variación.

N

E(FNC) = ∑ VANHK ∗ Probabilidad HK K =1

N

2

σ (FNC) = ∑[VANHK − E(FNC)] ∗ ProbabilidadHK 2

K =1

1 E(VAN) = Cv σ(VAN)

209

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.1.5 Aplicación

Analice la rentabilidad por unidad de riesgo de un proyecto, cuyo horizonte de análisis o duración puede tomar valores entre tres y seis años. La inversión inicial es de M$100 y los flujos netos de caja que se obtendrían en cada uno de los años de vida del proyecto se acompañan en tabla adjunta. Si la tasa de descuento es de un 5% anual, se solicita determinar tres indicadores de análisis que permitan tomar una decisión.

Año FNC [M$]

1 30

2 20

3 30

4 40

5 40

6 50

La vida útil de proyecto y su probabilidad de ocurrencia se muestra en la siguiente tabla: Horizonte [años] Probabilidad [%]

3 10

4 30

5 40

6 20

Solución:

a.

Árbol de decisión:

Para el proyecto en cuestión se dispone inicialmente de la decisión de efectuar o no el proyecto, en el caso que la decisión sea realizar el proyecto, se tiene que el horizonte del proyecto es una variable aleatoria. Para cada uno de los posible horizontes el número de flujos de caja involucrados es H+1, ya que se debe contar el año cero de inversión. Con estos antecedentes de construye el respectivo árbol de decisión:

No efectuar Proyecto H=3 10% 1 Efectuar Proyecto

H=4 30% H=5 40% H=6 20%

210

Flujos año: 0, 1, 2 y 3 Flujos año: 0, 1, 2, 3 y 4 Flujos año: 0, 1, 2, 3,4 y 5 Flujos año: 0, 1, 2, 3,4, 5 y 6

Evaluación de Proyectos de Inversión

b.

Indicadores de Riesgo

Se procede en primera instancia a determinar el valor del indicador VAN dando como cierta la ocurrencia de cada una de las vidas útiles del proyecto: VAN3 = −100 +

30 20 30 + + = −27,37 2 1,05 1,05 1,053

VAN 4 = −100 +

30 20 30 40 + + + = 5,53 2 3 1,05 1,05 1,05 1,05 4

VAN 5 = −100 +

30 20 30 40 40 + + + + = 36,87 2 3 4 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 5

VAN 6 = −100 +

30 20 30 40 40 50 + + + + + = 74,19 2 3 4 5 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 6

Una vez concluido el cálculo de los VAN, se procede a determinar los estadigrafos valor esperado del VAN y desviación estándar del VAN, lo cual permite generar los indicadores rentabilidad esperada, riesgo y rentabilidad por unidad de riesgo. E(VAN) = −27,37 ∗ 0,1 + 5,53 ∗ 0,3 + 36,87 ∗ 0,4 + 74,19 ∗ 0,2 = 28,50 E(VAN) = 28,50

σ (VAN) = (28,50+ 27,37)2 *0,1+ (28,50− 5,53)2 *0,3 + (28,50− 36,87)2 *0,4 + (28,50− 74,19)2 ∗ 0,2 σ (VAN) = 30,26

1 28,5 = = 0,94 Cv 30,26

Por cada unidad de riesgo se obtiene 0,94 unidades de ganancia.

211

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.2

Simulación de Variables

La simulación es una herramienta que permite resolver problemas complejos, a partir de la creación de un modelo que representa un sistema en análisis, las relaciones que se producen entre los diferentes eventos y la generación de observaciones aleatorias. El procedimiento consta de cinco pasos básicos: Identificar las variables aleatorias, Modelación del problema, análisis de relaciones, generación de observaciones y análisis de resultados.

Sistema Real

Se extraen los elementos claves: Variables de decisión, Variables exógenas, variables intermedias o instrumentales, relaciones entre variables y medidas de rendimientos

Modelo

Por ejemplo: Ventas Variable aleatoria, con distribución uniforme entre 100 y 500

Var. de Decisión

Medida de rendimiento Var. intermedia s

Indicador de Rentabilidad, calculado por la interacción de las variables en los flujos de caja y la actualización de ellos.

Variables deterministicas: Precios, Tasa de impuesto, horizonte, etc.

Var. de exogenas

212

Evaluación de Proyectos de Inversión

En el caso de la rentabilidad, el modelo y las relaciones entre las variables, provienen de las expresiones analíticas, las que se sustentan en la expresión del indicador VAN y en los flujos de caja. Luego la segunda fase será la generación de observaciones aleatorias de las variables, para estos efectos se emplean las distribuciones de probabilidades de las variables y la generación de números aleatorios decimales entre 0 y 1. Estos últimos van a representar la probabilidad de ocurrencia, los que junto a la inversa de la función probabilidad permitirá generar una observación de la variable.

Ejemplo:

considere que las ventas de un proyecto son una variable aleatoria que fluctúa entre 400, 500 y 700 con probabilidad de 30%, 50% y 20 % respectivamente. Las probabilidades representan el número de casos favorables del total de casos, con lo cual al generar números aleatorios decimales entre 0 y 1,0 se tendrá: 0 ≤ r < 0,3 ⇒ Demanda = 400 0,3 ≤ r < 0,8 ⇒ Demanda = 500 0,8 ≤ r < 1,0 ⇒ Demanda = 700 En este marco los rangos para el número aleatorio fueron construidos de forma que ellos representen las probabilidades. Para ello al rango inferior se toma entre cero y la probabilidad, para los rangos siguientes se toma como límite inferior el rango superior del tramo inmediatamente anterior y como límite superior el inferior del tramo más la probabilidad de ocurrencia.

En el caso que la función de probabilidad sea continua, para la generación de las observaciones aleatorias, se debe tener en consideración que los números aleatorios distribuyen uniformemente entre 0 y 1 y por tanto para generar observaciones de variables que tengan una distribución distinta a la uniforme se debe tener en consideración este hecho, de forma tal que:

Distribución Exponencial: Para este tipo de variables, la probabilidad acumulada corresponde a : P(t ≤ x) = 1 − e − βx Es posible encontrar una observación de la variable x, al igualar la función probabilidad acumulada a un número aleatorio entre 0 y 1 (la probabilidad varia entre 0 y 1), luego se aplica la transformada

213

Miguel Angel Mellado Espinoza

P (t ≤ x) = 1 − e − βx

r = 1 − e−β x ln(1 − r ) = Ln(e − β x ) ⇒ − β x = ln(1 − r ) x=−

ln(1 − r ) t

β x

Distribución Normal: Para la generación de una observación de una variable (x) que obedece a una distribución normal, se parte desde observaciones de observaciones de una variable que distribuye uniforme, los números aleatorios contribuyen en este sentido, siendo variables que distribuyen uniforme con media ½ y desviación estándar 1 . 12

Por otra parte, la suma de números aleatorio distribuye normal con media desviación estándar

N 12

N 2

y

, pero también esta suma cuando el numero de elementos es

grande tiende a distribuir normal, luego es posible normalizar(0, 1) la suma de números aleatorios (con N > 30) queda

z=

x − E ( x) ≈ N (0,1) σ ( x)

Luego al sustituir y corregir por la media y desviación estándar de la suma de números aleatorios, es posible generar una observación de la variable (x) que distribuye normal. x=

σ ( x) N 12

N σ ( x) ) N 12

∑ ri + ( µ ( x) − 2 *

Donde:

σ ( x), µ ( x) son la media y desviación verdaderas de x

214

Evaluación de Proyectos de Inversión

Una vez generadas las observaciones, se procede a calcular los flujos e indicador de rentabilidad (variables intermedias y medidas de rendimientos), generando con ello una serie de observaciones aleatorias del indicador. Los resultados de estas corridas (número aleatorio, observación de la variable y cálculo del indicador), son analizados para obtener los estimadores de las variables, en todo caso se recomienda tener más de 30 observaciones del indicador, con el objetivo de aplicar inferencia estadística y que sea aplicable a los resultados la distribución normal. (en el caso de disponer de 30 o más observaciones aleatorias, la suma de estas observaciones tiende a distribuir normal). Para mejorar la calidad de los estimadores, se pueden aplicar diferentes técnicas de Montecarlo, de las cuales la más fácil de implementar es la de los números aleatorios complementarios. Esta técnica consiste en:

i.

Generar números aleatorios, para obtener observaciones de las variables, dejando registrados los números aleatorios.

ii.

Generar variables intermedias (flujos de caja).

iii.

Calcular las medidas de rendimiento (indicador de rentabilidad)

iv.

Reiniciar pasos i a iii hasta completar el número de observaciones requerido.

v.

Determinar el Valor esperado como la media de las diferentes observaciones de las medidas de rendimientos

vi.

Generar los números aleatorios complementarios, r´ = 1 – r

vii.

Generar observaciones de las variables con esta nueva serie de números aleatorios.

viii.

Repetir los pasos ii a v

ix.

Calcular el estimador del valor esperado como la media entre los valores esperados de amabas series de observaciones.

Este procedimiento permite tener observaciones mucho más homogéneas, evitando la posible concentración de valores y rellenar los sectores en los cuales no existan observaciones. La calidad de los estimadores obtenidos con este procedimiento mejora sustantivamente con respecto a los que se obtiene si se emplea una sola serie de números.

215

Miguel Angel Mellado Espinoza

Por ejemplo, suponga que ud quiere determinar mediante simulación el valor esperado de una avariable aletoria que distribuye exponencial con media 1. Para estos efectos ha generado una serie de 10 números aleatorios:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r 0,495 0,335 0,791 0,469 0,279 0,698 0,013 0,761 0,290 0,693

No existen observaciones entre 0,013 y 0.327 No incluye observaciones mayores a 1,565

X = -ln(1-r) 0,683 0,408 1,565 0,633 0,327 1,197 0,013 1,431 0,342 1,181

Valor esperado: 7,780/10 = 0,778

Con los mismos numeros aleatorios, se generar una segunda serie de observaciones, pero empleando los números aletorios complementarios:

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

r 0,505 0,665 0,209 0,531 0,721 0,302 0,987 0,239 0,710 0,307

X = -ln(1-r) 0,703 1,094 0,234 0,757 1,277 0,360 4,343 0,273 1,238 0,367

Valor esperado: 10,646/10 = 1,065

Estimador del valor esperado: (0,778 + 1,065)/2 = 0.921 Notablemente mejor que 0,778 y más cercano al valor verdadero que es: 1,000

216

Evaluación de Proyectos de Inversión

5.3

Análisis de Incertidumbre

Se usa el análisis de incertidumbre en aquellos casos en los cuales la rentabilidad de un determinado proyecto depende de variables externas (ver diagrama), que están fuera del control del analista o del evaluador, cuyo comportamiento no es susceptible de predecir a través una distribución de probabilidades, pero que no obstante presenta variadas posibilidades de ocurrencia, que al darse en el futuro cambian el valor de los indicadores de rentabilidad.

Diagrama de Variables Internas y Externas de un proyecto Variables Externas: Al estar fuera de control del evaluador, se convierten en eventos factibles, denominados Escenarios o Estados de la Naturaleza:

Variables Internas Control sobre variables del proyecto: • • • • •

Tamaño Momento de Inicio Momento de Término Localización Etc.

• • • •

Nivel de actividad económica Nivel de demanda Condición climática etc.

Flujos Netos de Caja del Proyecto

Indicador de Rentabilidad del Proyecto

Resulta ser bastante dificultoso tomar una decisión a cerca del riesgo de los proyectos bajo circunstancias de información incompleta, como es la presente, para poder salvar este inconveniente, se procede a recurrir a los conceptos de teoría de juegos, ya que de una u otra forma se estará enfrentando lo desconocido (Escenario que realmente se presentará) con el analista que busca la mejor alternativa. 217

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.3.1 Teoría de Juegos Básicamente la teoría e juegos es un instrumento analítico que permite tomar decisiones en base a la ocurrencia o no de ciertos potenciales sucesos, planeando de antemano los cursos de acción a seguir en dichas circunstancias. Se plantea entonces la existencia de dos jugadores, quienes plantean sus argumentos generándose un resultado para cada posible combinación. •

•

Jugadores:

Resultado el juego:

1.- Evaluador:

plantea estrategias.

2.- Naturaleza:

estados de la naturaleza o escenarios (año seco, lluvioso, normal, etc.)

cruce de una estrategia planteada por el evaluador con un escenario o estado de la naturaleza, el cual se expresa a través del indicador VAN.

Escenarios o Estados de la Naturaleza Escenario 1

Escenario 2

Escenario 3

Estrategia 1

VAN1,1

VAN1,2

VAN1,3

Estrategia 2

VAN2,1

VAN2,2

VAN2,3

Estrategia 3

VAN3,1

VAN3,2

VAN3,3

La problemática se reduce entonces a establecer cual es la mejor estrategia, la que entre otras puede ser el tamaño del proyecto, la localización, el tipo de maquinaria, etc.. Para determinar la mejor estrategia, teoría de juegos dispone de varios métodos, entre los cuales se cuenta: •

Maximin: el máximo entre los mínimos

•

Maximax: el máximo entre los máximos

•

Minimax: el mínimo entre los máximo

218

Evaluación de Proyectos de Inversión

No obstante cada uno de estos métodos tiene implícitamente un comportamiento frente al riesgo, el cual en el caso de las personas, cambia entre personas frente a una misma situación y en diferentes circunstancias una misma persona puede actuar de diferente forma. Ser extremadamente precavido al determinar en que tipo de acciones invertir en la bolsa, pero ser extremadamente aventurero al jugar en el casino.

E(VAN) Comportamiento neutro frente al riesgo

Comportamiento propenso al riesgo

Comportamiento adverso

σ(VAN)

•

MAXIMIN Método adverso al riesgo, se coloca siempre en la peor situación que pueda ocurrir, determinado la mejor estrategia en dos pasos, una vez que previamente haya sido determinada la matriz de indicadores VAN

•

i)

Determinar el peor escenario.

ii)

En el peor escenario seleccionar como mejor estrategia aquella que conduce a los resultados más favorables.

MAXIMAX Método propenso al riesgo, se coloca siempre en la situación más favorable entre las que puedan ocurrir, determinado la mejor estrategia en dos pasos, una vez que previamente haya sido determinada la matriz de indicadores VAN

i)

Determinar el escenario más favorable.

ii)

En el mejor escenario seleccionar la estrategia que tiene el más alto resultado. 219

Miguel Angel Mellado Espinoza

•

MINIMAX Método neutro frente al riesgo, no adopta una situación en particular previamente, más bien estudia los efectos de cada acción, midiendo el arrepentimiento de tomar un curso de acción en omisión de otro (el mejor). Determina la mejor estrategia en cuatro pasos, una vez que previamente haya sido determinada la matriz de indicadores VAN

i)

Para cada uno de los escenarios determina la mayor estrategia.

ii)

Determina el arrepentimiento de optar por otra estrategia en lugar de la mejor en cada escenario(representa un costo de oportunidad), generando de paso una matriz de arrepentimiento.

iii)

Para cada estrategia determina el máximo arrepentimiento en que incurre entre los diversos estados de la naturaleza o escenarios.

iv)

La mejor estrategia es aquella que conducente al mínimo entre los máximos arrepentimientos.

5.3.2

Aplicación

Suponga que usted está planeando la construcción y explotación de cabañas de veraneo, las cuales puede instalarlas en cuatro diferentes lagos del sur de Chile (Lago 1, 2, 3, 4). La inversión necesaria correspondientes a cada una de las localizaciones es M$ 200.000, M$ 350.000, M$ 280.000 y M$ 8.000.000 respectivamente. La capacidad de hospedaje en cada una de las localidades es de 70, 100, 80 y150 camas. Los precios cobrados por día por cama son de $ 50.000, $ 70.000, $ 65.000 y $ 110.000, valores que incluyan el alojamiento, desayuno y comida. Los costos de operación anuales son de M$ 500.000 en cada una de las localidades, dado los estándares de clase mundial que quiere instalar. Las condiciones económicas para los próximos años pueden ser agrupadas en buenas, normales y no tan buenas. Si las condiciones económicas son buenas las cabañas llenarían su capacidad los 365 días del año, si son normales tendría llena la capacidad cuatro meses al año y los ocho meses restantes al 50% de su capacidad. Por último si las condiciones no son tan buenas las cabañas llenarían su capacidad sólo en enero y febrero y a un 50% de su capacidad dos meses más al año, permaneciendo el resto del año desocupado.

220

Evaluación de Proyectos de Inversión

Considere un horizonte de análisis para los lagos 2 y 4 de 15 años, para el lago 3 de 10 años y para el lago 1 de 8 años, al término de los cuales dadas las condiciones adversas del sur de Chile tendrían un valor de desecho de cero. No obstante usted podría volver a construir en el mismo lugar una y otra vez. Si la tasa de interés es del 8% anual determine cuál es la mejor estrategia si usted es neutro frente al riego.

Solución: a.-

tasas de descuento: como los proyectos tienen diferente vida útil y son repetitivos, se deberá proceder a emplear indicadores de proyectos con repetición, como es el VAN a horizonte máximo común o infinito, para lo cual requiere las tasas equivalentes de período de definición igual a la vida útil de cada proyecto.

R = 8,00% anual H rH = (1 + 0,08) − 1

r8 = (1 + 0,08) − 1 = 85,09% 8

r15 = (1 + 0,08)15 − 1 = 217,22% r10 = (1 + 0,08) − 1 = 115,89% 10

b.-

Rentabilidad:

i) Condiciones Buenas  (1 + 0,08)H − 1  VAN = −I + (capacidad ∗ 365 ∗ precio − costos) ∗   H  (1 + 0,08) ∗ 0,08   1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH 

VAN1,1

 (1 + 0,08)8 − 1  = −200 + (70 ∗ 365 ∗ 0,05 − 500) ∗   = 4.268,01 8  (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1   VAN∞ = 4.268,01 ∗ 1 +  = 9.283,89  0,8509  221

Miguel Angel Mellado Espinoza

 (1 + 0,08)15 − 1  VAN 2,1 = −350 + (100 ∗ 365 ∗ 0,07 − 500) ∗   = 17.239,73 15  (1 + 0,08) ∗ 0,08  1   VAN∞ = 17.239,73 ∗ 1 +  = 25.176,26  2,1722 

VAN3,1

 (1 + 0,08)10 − 1  = −280 + (80 ∗ 365 ∗ 0,065 − 500) ∗   = 9.100,69 10  (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1   VAN ∞ = 9.100,69 ∗ 1 +  = 16.953,56  1,1589   (1 + 0,08)15 − 1  VAN 4,1 = −8.000 + (150 ∗ 365 ∗ 0,110 − 500) ∗   = 39.269,72 15  (1 + 0,08) ∗ 0,08  1   VAN∞ = 39.269,72 ∗ 1 +  = 57.348,04  2,1722 

ii) Condiciones Normales  (1 + 0,08)H − 1  VAN = −I + [(4 ∗ 30 + 0,5 * (365 − 4 ∗ 30)) ∗ capacidad ∗ precio − costos ] ∗   H  (1 + 0,08) ∗ 0,08   (1 + 0,08)H − 1  VAN = −I + (242,5 ∗ capacidad ∗ precio − costos ) ∗   H  (1 + 0,08) ∗ 0,08   1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH 

VAN1,2

 (1 + 0,08)8 − 1  = −200 + (242,5 ∗ 70 ∗ 0,05 − 500) ∗   = 1.804,14 8  (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1   VAN∞ = 1.804,14 ∗ 1 +  = 3.924,41  0,8509  222

Evaluación de Proyectos de Inversión

 (1 + 0,08)15 − 1  VAN 2,2 = −350 + (242,5 ∗ 100 ∗ 0,07 − 500 ) ∗   = 9.899,98 15  (1 + 0,08) ∗ 0,08  1   VAN∞ = 9.899,98 ∗ 1 +  = 14.457,56  2,1722 

 (1 + 0,08)10 − 1  VAN 2,3 = −280 + (242,5 ∗ 80 ∗ 0,065 − 500 ) ∗   = 4.826,37 10  (1 + 0,08) ∗ 0,08  1   VAN∞ = 4.826,37 ∗ 1 +  = 8.990,98  1,1589 

VAN 2,4

 (1 + 0,08)15 − 1  = −8.000 + (242,5 ∗ 150 ∗ 0,110 − 500 ) ∗   = 21.968,87 15  (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1   VAN∞ = 21.968,37 ∗ 1 +  = 32.082,52  2,1722 

iii) Condiciones no tan Buenas  (1 + 0,08)H − 1  VAN = −I + [(2 ∗ 30 + 0,5 ∗ 2 ∗ 30) ∗ capacidad ∗ precio - costo ] ∗   H  (1 + 0,08) ∗ 0,08   (1 + 0,08)H − 1  VAN = −I + [90 ∗ capacidad ∗ precio - costo ] ∗   H  (1 + 0,08) ∗ 0,08   1 VAN∞ = VAN ∗ 1 +   rH 

 (1 + 0,08)H − 1  VAN3,1 = −200 + [90 ∗ 70 ∗ 0,05 − 500] ∗   = −1.263,13 H  (1 + 0,08) ∗ 0,08  223

Miguel Angel Mellado Espinoza

1   VAN∞ = -1.263,13 ∗ 1 +  = −2.747,59  0,8509   (1 + 0,08)15 − 1  VAN3,2 = −350 + [90 ∗ 100 ∗ 0,07 − 500] ∗   = 762,73 15  (1 + 0,08) ∗ 0,08  1   VAN∞ = 762,73 ∗ 1 +  = 1.113,86  2,1722 

VAN3,3

 (1 + 0,08)10 − 1  = −280 + [90 ∗ 80 ∗ 0,065 − 500] ∗   = −494,72 10  (1 + 0,08) ∗ 0,08 

1   VAN∞ = -494,72 ∗ 1 +  = −921,61  1,1589   (1 + 0,08)15 − 1  VAN3,4 = −8.000 + [90 ∗ 150 ∗ 0,110 − 500] ∗   = 431,09 15 ( 1 + 0,08 ) ∗ 0,08   1   VAN ∞ = 431,09 ∗ 1 +  = 629,55  2,1722 

Matriz de Indicadores de Rentabilidad VAN [M$] Estrategias Lago 1

Buenas 9.283,89

Escenarios Normales 3.924,41

2

25.176,26

14.457,56

1.113,86

3

16.953,56

8.990,98

-921,61

4

57.348,04

32.082,52

629,55

224

No Tan Buenas -2.747,59

Evaluación de Proyectos de Inversión

Dado que el comportamiento frente al riesgo es de neutralidad, el método de análisis debe corresponder al Mínimo de los Máximos Arrepentimientos. Con lo cual, se debe proceder en primera instancia a establecer la mejor estrategia para cada uno de los estados y luego proceder a calcular los arrepentimientos. En este caso en particular, los antecedentes de la matriz de rentabilidad señalan que: Escenario:

Buena

Lago 4

Normal

Lago 4

No tan Buena

Lago 2

El arrepentimiento es calculado en cada escenario, como la diferencia entre el VAN de la mejor estrategia y el VAN de a estrategia en análisis, de esta forma se llega a:

Matriz de Arrepentimiento VAN [M$] Estrategias Lago 1

Buena 48.064,15

Escenarios Normal 28.158,11

No Tan Buena 3.861,45

Máximo Arrepentimiento 48.064,15

2

32.171,78

17.624,96

0

32.171,78

3

40.394,48

23.091,54

2.035,47

40,394,48

4

0

0

484,31

484,31

La mejor estrategia sería la localización en el Lago 4, ya que corresponde a aquella que tiene el mínimo dentro de los máximos arrepentimientos.

225

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.4

Análisis de Sensibilidad

El análisis de sensibilidad es una herramienta que permite conocer la sensibilidad que presenta la rentabilidad de un proyecto frente a cambios en las principales variables. El procedimiento de análisis, se sustenta en efectuar los cambios en los valores de las variables de uno en uno, considerando un amplio espectro, en donde el punto medio del rango es el valor original de la variable. Las variables que normalmente son consideradas para efectuar el análisis de sensibilidad, son aquellas donde es posible que se produzcan cambios, pero es difícil predecir la cuantía de la variación y la probabilidad que ella ocurra, entre estas variables se cuentan:




Monto de la inversión inicial




Valor de la tasa de descuento




Precio de comercialización de los productos o servicios que genere el proyecto




Costo unitario de producción




Costo fijo de producción




Volumen producido

Los rangos de variación para dichas variables normalmente empleados fluctúan entre un 20% a 30% a –20% a –30% del valor original, con variaciones de 5% cada vez. Lo anterior implica que para una tasa de descuento del 10% anual, los valores de las nuevas tasas a emplear para sensibilizar los resultados serían:

Variación Valor tasa VAN

-20% -15% -10% -5% 0% 8% 8.5% 9% 9.5% 10%

5% 10% 10.5% 11%

15% 20% 11.5% 12%

En la práctica se contaran con tantos valores del indicador de rentabilidad como numero de variaciones más uno se desee efectuar, lo cual permite calcular la elasticidad o sensibilidad del indicador frente a cambios en la variable.

226

Evaluación de Proyectos de Inversión

VAN

Elasticidad (VAN1-VAN2) Valor 1 – Valor 2

VAN1 VAN2

Valor1 Valor2

Variable

La sensibilidad permite determinar además el punto de quiebre del proyecto, el cual es la variación en la variable que lleva el indicador de rentabilidad VAN a un valor igual a cero, a partir de dicho valor el indicador se vuelve negativo. Este ultimo aspecto permite establecer el grado de robustez del proyecto frente a las variables críticas.

-20%

-15%

-10%

-5%

Variación 0% 5%

10%

15%

20%

Pto. quiebre

Tasa VAN

0

Inversión VAN

0

Precios VAN

0

Costos VAN

0

227

Miguel Angel Mellado Espinoza

5.5

Indicadores de Riesgo Conjunto

5.5.1 Análisis de Porfolio o Cartera de Proyectos

El análisis de porfolio de cartera de proyectos, está orientado a examinar el efecto que se genera en la rentabilidad y en el riesgo de la empresa al introducir nuevas iniciativas de inversión.

Proyecto Nuevo

Indicadores: Inversión E(VAN) σ(VAN)

Conjunto de Actuales Proyecto o Cartera de Proyectos

Indicadores: Inversión E(VAN) σ(VAN)

para cada uno de los actuales proyectos

Se producen cambios en la rentabilidad y en el riesgo: ∆ E(VAN) ∆ σ(VAN)

El anterior esquema muestra que al introducir un nuevo proyecto en un conjunto de proyectos ya existente de proyectos o cartera actual de proyectos, se generan dos grandes efectos: •

Incremento en la rentabilidad, al aumentar el E(VAN), al sumarse al E(VAN) de los actuales proyectos el valor esperado del VAN de nuevo proyecto, el cual al cumplir la condición individual (VAN ≥ 0) siempre contribuye positivamente.

•

Variación en el riesgo del conjunto de proyectos que va más allá de del riego del proyecto, el efecto va ha depender del tipo de relación que se producen entre los proyectos que actualmente forman la cartera y el nuevo proyecto. Esta relación, se traduce en la correlación entre los proyectos, la cual puede ser positiva o negativa. Con lo cual el riesgo conjunto puede ser expresado como:

σ (VAN) = σ (VAN )2 actual + σ (VAN )2 proyecto + 2 ρ ∗ σ (VAN )actual ∗ σ (VAN ) proyecto 228

Evaluación de Proyectos de Inversión

En la anterior expresión ρ representa el coeficiente de correlación entre los actuales proyecto y el nuevo proyecto que se incorpora. Si los proyectos corresponden a áreas económicas diferentes, normalmente el coeficiente será negativo disminuyendo el riego conjunto, esto equivale a “colocar los huevos en diferentes canastas”.

5.5.2 Procedimiento de Análisis de riesgo conjunto

En el caso que sean más proyectos nuevos y que la cartera actual de proyectos este compuesta por más de un proyecto, la expresión se ve incrementada en el número de combinaciones, por ejemplo ¿Conviene incorporar los proyectos A, B y/o C a la Cartera Actual?

A B C

Cartera Actual I, II y III

La cartera actual está formada por los proyectos I, II y III

Es posible incorporar 3 proyectos: A, B y C

En primer lugar se procede a definir las Alternativas de que se dispone y a la vez explicitar el indicador de decisión a usar, en este caso al estar involucrado riesgo y rentabilidad, se emplea el inverso del coeficiente de variabilidad, es decir, la rentabilidad por unidad de riesgo: i) Cartera Actual:

 1  constituye el umbral mínimo que deben    Cv  Actual vencer las otras alternativas.

ii) Cartera Actual + A:

 1     Cv  Actual+ A

Cartera Actual + B:

 1     Cv  Actual+ B

229

Miguel Angel Mellado Espinoza

Cartera Actual + C:

 1     Cv  Actual+ C

Cartera Actual + A+B:

 1     Cv  Actual+ A + B

Cartera Actual + A+C:

 1     Cv  Actual + A + C

Cartera Actual + B+C:

 1     Cv  Actual + B + C

Cartera Actual + A+B+C:

 1     Cv Actual + A + B + C

Los indicadores de rentabilidad y riesgo para la Cartera Actual serían: E(VAN) = E(VAN) I + E(VAN)

σ (VAN

act

)=

II

+ E(VAN)

III

σ 2 Ι + σ 2 ΙΙ + σ 2 ΙΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙ σ Ι σ ΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙΙ σ Ι σ ΙΙΙ + 2ρ ΙΙ , ΙΙΙ σ ΙΙ σ ΙΙΙ

Luego se determina:

 1     Cv  Actual

Para la primera de estas alternativas, es decir incorporar a la cartera actual el proyecto A, Los indicadores estarían dados por: E(VAN) = E(VAN)I + E(VAN)II + E(VAN)III + E(VAN)A

σ (VAN act + A ) =

σ 2 Ι + σ 2 ΙΙ + σ 2 ΙΙΙ + σ 2 Α + 2ρ Ι , ΙΙ σ Ι σ ΙΙ + 2ρ Ι , ΙΙΙ σ Ι σ ΙΙΙ + 2ρ ΙΙ , ΙΙΙ σ ΙΙ σ ΙΙΙ + 2ρ Ι , Α σ Ι σ Α + 2ρ ΙΙ , Α σ ΙΙ σ Α + 2ρ ΙΙΙ , Α σ ΙΙΙ σ Α

230

Evaluación de Proyectos de Inversión

luego se determina:

 1     Cv  Actual+ A

Una vez aplicado un procedimiento similar a las otras alternativas, se procede a comparar el indicador de decisión, optando por aquel de más alto valor.

5.6

Ejercicios Propuestos

1. Suponga que para la próxima temporada de invierno usted ha deseado ingresar al negocio de venta de calefactores. El precio de compra de cada equipo es de $10.000, los cuales se pueden vender de puerta a puerta en $15.000 cada uno. Los equipos que no se vendan son recibidos por la fabrica con un castigo del 30%. Usted está pensando en comprar lotes de 5, 10, 15 o más de 20 equipos. Si usted tiene un comportamiento neutro frente al riesgo, se le solicita que determine el tamaño óptimo de compra.

2. La empresa trasnacional Trucos S.A. se encuentra analizando la composición de la cartera de sus inversiones para los próximos periodos. Actualmente la empresa mantiene en cartera los activos A, B, C y D. Activo A B C D

IVAN 0,12 0,14 0,15 0,10

Inversión 1.000 3.000 4.000 2.000

La gerencia de estudios ha planteado como inversiones factibles los proyectos designados por los números 1 al 9. De estos, los proyectos 1, 3 y 7 son mutuamente excluyentes, lo mismo ocurre con los proyectos 2, 6 y 9. La empresa tiene como política mantener una cartera de inversiones de 16.000, por lo cual le han contratado a usted para que determine que proyectos deben ser incorporados a la cartera si : Proyecto 1 2 3 4 5 6 7 8 9

IVAN 0,18 0,17 0,16 0,16 0,15 0,14 0,14 0,13 0,12

Inversión 2.000 2.000 2.000 4.000 4.000 2.000 2.000 4.000 2.000 231

Miguel Angel Mellado Espinoza

Matriz de Varianza y Covarianza:

A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A B C D 1 2 125 100 200 100 -50 50 200 100 150 50 -50 15 100 -100 100 100 100 -100 150 150 250

3 -100 100 -50 50 ∞ -100 100

4 100 -100 50 -50 -100 -100 100 300

5 -50 50 -100 100 -50 -50 150 450 150

6 50 -50 100 -100 50 ∞ 50 100 50 250

7 -100 100 -50 50 ∞ -100

-100 100 100 200

8 50 -50 100 -100 -50 -50 150 150 150 150 150 50

9 100 100 50 -50 100 ∞ 100 100 100 ∞ 100 100 100

3. Sea Free S.A. está analizando la posibilidad de ingresar al negocio del ecoturismo, para lo cual ha estudiado la factibilidad técnica de instalarse en cuatro localidades distintas del sur de Chile, en cada una de las cuales debe pagar a la respectiva municipalidad derechos de concesión por X años, con la posibilidad cierta de renovarlos al término de su vigencia. Las localidades se encuentran todas en la alta cordillera, por lo cual pueden ser explotadas para los deportes invernales. La concurrencia de personas y por tanto los ingresos dependen de la nieve caída en el año, en la cual cada año puede ser calificado como Bajo, Normal o Alta. Ingresos Anuales MM$ Localidad Puyehue Panguipulli Cochamó Huailahue

Años Concesión 4 5 6 10

Derechos Concesión 50 MM$ 70 MM$ 75 MM$ 60 MM$

Baja

Normal

Alta

17 20 21 14

22 24 25 15

25 30 28 17

Si la tasa de descuento es del 10% anual real, señale en cual de las cuatro localidades es recomendable efectuar el proyecto si la empresa es neutra frente al riesgo.

232

Evaluación de Proyectos de Inversión

4. Forestal Santa Clara, esta pensando arrendar una parcela de terreno y dedicarla a la producción de Pinos, para ello desean analizar tres alternativas de proceso productivo. La primera de ellas implica plantar pinos y venderlos después de 5 años, la segunda venderlos cada 10 años y la tercera cada 15 años, en cada caso la inversión inicial sería por una sola vez y de 100 millones. Obteniendo beneficios de 250 millones, 500 millones y 920 millones cada vez que vende para los años 5, 10 y 15, si los siguientes años son climáticamente normales. En cambio si los siguientes años son secos los beneficios serían de 150 millones, 400 millones y 650 millones respectivamente cada vez que venden a los 5, 10 y 15 años. Si los siguientes años son lluviosos se lograrían beneficios de 300 millones, 750 millones y 1450 millones, para los años 5, 10 y 15 cada vez que vende. Si el proyecto tiene duración perpetua y la rentabilidad mínima exigida es de un 8 % anual. Le conviene realizar el proyecto y que tipo de proceso productivo empleará si la probabilidad de año climáticamente normal, seco y lluvioso son de 65%, 15% y 20%.

5. Esta Frito S.A. esta analizando la posibilidad de ingresar al negocio de comidas, para lo cual ha estudiado la factibilidad técnica de instalarse en cuatro distintas localidades del litoral central de Chile, en cada una de las cuales debe pagar a la respectiva municipalidad derechos de concesión por H años, con la posibilidad cierta de renovarlos al termino de su vigencia. La concurrencia de personas y por tanto los ingresos dependen del nivel de la economía para los próximos años, en la cual cada año puede ser clasificado como Baja, Normal y Alta.

Localidad Quisco Reñaca Algarrobo El tabo

H Años Concesión 4 6 7 9

Pago Derechos Concesión 50 MM$ 70 MM$ 75 MM$ 60 MM$

Margen Neto anual MM$ Baja Normal Alta 17 20 21 14

22 24 25 15

25 30 28 17

Si la tasa de descuento en cada localidad de invertir adicionalmente 20MM$ depreciados totalmente en la vida útil, con una tasa de impuesto del 10 % y el costo alternativo del capital es del 8,2 % anual real, donde instalaría el negocio si el comportamiento frente al riesgo es neutro.

233

Miguel Angel Mellado Espinoza

6. La sociedad Pesquera Gran Colososur S.A., esta planeando incrementar sus inversiones de en naves de captura de Sardina Española, encontrando que es posible adquirir una de dos naves. La Gran Piraña M$ Estado Probabilidad 1 2 3 4 5

0,25 0,10 0,30 0,25 0,10

El Cangrejo Azul M$ Estado Probabilidad

Flujo anual 75.000 50.000 95.000 80.000 65.000

1 2 3 4 5 6

0,10 0,25 0,25 0,10 0,15 0,15

Flujo anual 45.000 70.000 85.000 50.000 60.000 65.000

Por otra parte los estudios técnicos, señalan que la inversión para el barco La Gran Piraña sería de M$ 380.000, en cambio la inversión en El Cangrejo Azul de M$ 394.000, con vidas útiles de 8 y nueve años respectivamente. Si el estudio financiero, legal y tributario señala que la rentabilidad mínima para este tipo de proyectos es del 8,5 %, en tanto que como están exentas de impuestos las inversiones no se debe esperar valor de recuperación alguno al termino del horizonte de evaluación, se pide que determine si es aconsejable invertir y en que tipo de nave. Asuma que al termino de la vida de un barco es posible comprar otro idéntico.

7. Una empresa de Turismo ha estado operando el área de viajes turísticos en los mares del Sur de Chile desde hace más de 20 años, obteniendo una rentabilidad anual por sus operaciones no inferior al 12.5% anual. Hoy día se encuentra analizando la posibilidad de adquisición de Catamaranes, para lo cual esta evaluando dos opciones El Poseidón y La Sirenita, los cuales tiene vida útil de 10 y 8 años respectivamente, al cabo del cual no tienen valor residual. Las inversiones y flujos anuales de operación para cada uno de los años del horizonte de evaluación serían de: Poseidón Inversión Flujo MS$ $ 3,000 $ 3,500 $ 4,000 $ 4,500 $ 5,000

Sirenita Inversión Flujo MS$ $ 3,500 $ 4,000 $ 4,500 $ 5,000 $ 5,500

15000 Prob 10% 20% 40% 20% 10%

1000 Prob 15% 15% 30% 30% 10%

Las proyecciones de esta empresa son permanecer por muchos años en el negocio. Determine cuál es el mejor proyecto de inversión para la empresa de turismo 234

Evaluación de Proyectos de Inversión

8. La sociedad de inversiones Británica “LONDON S.A”, desea ingresar al mercado del turismo en chile, para lo cual planea ingresar capitales a nuestro país con la finalidad de fomentar el turismo desde Inglaterra hasta las Torres del Paine o hasta las Termas de Puyuhuapi, para lo cual ha tomado contacto con SERNATUR, para que le proporcionen información, ya que su intención es construir un Hotel en alguno de estos dos lugares. Según los estudios de Marketing que posee y considerando que los europeos están proclives a todo lo que sea natural o ecológico, los flujos anuales para cada uno de los años de operación de los hoteles son :

Hotel Torres del Paine M$ Estado Probabilidad Ingreso anual 1 0,20 80.000 2 0,15 85.000 3 0,10 110.000 4 0,20 115.000 5 0,15 105.000 6 0,10 100.000 7 0,10 95.000

Hotel Puyuhuapi Estado Probabilidad 1 0,10 2 0,25 3 0,25 4 0,10 5 0,15 6 0,15

M$ Ingreso anual 75.000 95.000 105.000 90.000 80.000 85.000

La inversión para el proyecto de Hotel Torres del Paine sería de M$ 460.000,con una vida útil de 10 años. En cambio la inversión en el Hotel Puyuhuapi sería de M$ 250.000, pero con una vida útil de 5 años. No obstante, que en los costos de operación se estiman en M$ 20.000 cada año en cualquiera de los hoteles. El estudio financiero, legal y tributario señalo que la rentabilidad mínima para este tipo de proyectos es del 8,5 %, en tanto que están afectas a una tasa del 10 % de impuestos y la inversiones serían depreciadas linealmente, no esperando valor de recuperación alguno al termino de la vida útil. Determine en que hotel es aconsejable invertir, si las características de la área geográfica y tipo de construcción señalan que se puede construir en el mismo lugar un hotel idéntico al anterior al termino de su vida útil.

235

Miguel Angel Mellado Espinoza

9. La compañía “Homero Limitada.” desea entrar en un nuevo negocio, el cual demanda de una inversión inicial de $100.000 , con una vida útil estimada de 5 años, al cabo de los cuales tiene un valor residual del 25% del valor inicial. Para los años de operación tiene flujo anuales esperados según la siguiente distribución: Flujo Neto Posible para cada uno de años 1 al 5 3000 3500 4000 4500 5000

Probabilida d del Flujo Neto % 10 20 40 20 10

Por ello los dueños de la compañía le solicitan, determine si el negocio sea aceptable, considerando una tasa de descuento es de un 15%

10. La compañía PC. New, desea ingresar a un nuevo tipo de negocio informático, para lo cual dispone de dos alternativas, en el que las inversiones iniciales son de $ 120.000 y $ 180.000 para los negocios tipo A y B respectivamente. En cada caso se generará ingresos netos anuales operacionales según lo indicado en la tabla, en la cual se puede observar que las características del mercado informático hacen que el valor de los ingresos sea variable. Las características del negocio hacen que los proyectos se puedan efectuar una y otra vez al termino de su vida útil, al termino de la vida útil de cada negocio el valor residual es de un 10 % y el valor de venta es de 25 % del valor inicial de la inversión. Si la tasa mínima de rentabilidad exigida es del 12 % anual y la tasa de impuestos es de un 15 %, se pide que determine la rentabilidad esperada por unidad de inversión e indicador de decisión correspondiente.: Negocio A año 1 a 4 Probabilidad. 0,2 0,3 0,4 0,1

H= 4 años

Negocio B H= 6 años año 1 a 6 Probabilidad Margen Bruto . M$ 0,1 23.000 0,3 33.000 0,4 48.000 0,2 65.000

Margen Bruto M$ 25.000 38.000 45.000 63.000

La tabla señala los valores posibles para el Margen Bruto que se tendrían en un año típico, siendo exactamente el mismo comportamiento en cada uno de los años del horizonte del proyecto

236

Evaluación de Proyectos de Inversión La ingeniería es una de las más fascinantes profesiones, en donde el ingenio, la creatividad, la innovación y la adaptación, son puestos al servicio del desarrollo de las empresas, instituciones y de la sociedad en su conjunto. Las acciones e iniciativas del ingeniero, deben estar sustentadas en el análisis racional del medio, planificadas y evaluadas en sus diversos alcances. El uso óptimo de los recursos físicos, humanos y financieros, para alcanzar las metas de desarrollo, debe constituir parte esencial de las estrategias y alternativas diseñadas por el ingeniero. El presente libro viene a contribuir a la toma racional de decisiones por parte de los ingenieros, ofreciendo un proceso metodológico a los estudiantes, desde la teoría de decisiones, les introduce al campo de las matemáticas financieras como paso elemental para formular y preparar los flujos de caja de las diferentes iniciativas de inversión, finalizando con la determinación y optimización de los indicadores de rentabilidad en situaciones de certeza, riesgo e incertidumbre. El desarrollo de los diferentes capítulos va acompañado de ejercicios, que paso a paso muestran al estudiante la aplicación de los conceptos.