Eules paradoja

March 14, 2019 | Author: joshiperez123 | Category: Equations, Leonhard Euler, Integral, Continuous Function, Calculus Of Variations

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Download Eules paradoja...

Description

LA PARA ARADOJ DOJA A DE EULER EULER ´ HECTOR LOMELÍ Y BEATRIZ RUMBOS† Resumen. En esta nota presentamos una semblanza general de la historia del cálculo en va-

riaciones as´ı como algunas dificultades que pueden surgir al utilizar las condiciones de EulerLagrange para resolver problemas de optimización on en espacios de funciones. Para este fin, proporcionamos porcionamos algunos ejemplos conocidos por Euler y Weierstrass eierstrass en los que surgen aparente aparentess contradicciones. Mostramos con esto que las ecuaciones de Euler-Lagrange no son suficientes para resolver de manera general los problemas del cálculo en variaciones.

1.

ń Intr Introd oduc ucci cion o

Con frecuencia, los problemas aplicados pueden plantearse en términos erminos matemáticos aticos modernos mediante el siguiente esquema general para encontrar valores extremos: Dado un conjunto Q y una función on J : Q → R, encontrar -si existen- aquellos elementos a en Q tales que J (a) es un m´ınimo o máximo aximo global. En general, este problema puede no tener solución on y la elección on del dominio Q se convierte en una dificultad esencial. El desarrollo histórico orico del cálculo, alculo, del análisis alisis matemático atico y gran parte de las teor´ teor´ıas matemáticas aticas modernas tocan, en cierto modo, esta problemática. atica. En 1684 el gran matemático atico alemán an Gottfried W. Leibniz (1646-1716) propuso una técnica ecnica (Nova methodus pro maximis et minimis ) minimis ) para resolver una extensa familia de problemas de este tipo. Se trataba, nada más as y nada menos, de uno de los or´ or´ıgenes ıgenes del cálculo alculo diferencial e integral integral.. Una limitant limitantee de este método etodo era que el conjunt conjuntoo Q estaba restringido a ser un subconjunto de algún un espacio vectorial real de dimensión on finita, por ejemplo Rn. En forma paralela en Inglaterra, Isaac Newton (1643-1727) desarrolló una teor´ıa ıa equivalente equi valente a la de Leibniz. En su excelsa obra Philosophia naturalis principia mathematica   mathematica   (1685) incursion´ o aún u n más as allá de la temática atica propia del cálculo alculo diferencial e integral, exponiendo y resolviendo correctamente una variante del siguiente problema: Encontrar la forma de un cuerpo sólido olido de revolución on de manera que al moverse a través es de un fluido su resistencia resisten cia sea m´ınima. Como ejemplo de lo anterior podemos imaginar que el propósito osito de este planteamiento era encontrar la forma óptima optima de un proyectil. Newton expuso [2] la solución on correcta; sin embargo, nunca especificó el método etodo que hab hab´´ıa utilizado utiliza do para encontrarla. encontrarla . El problema del proyectil de m´ınima resistencia pertenece, en esencia, al esquema general para encontrar valores extremos propuesto al principio de este texto. En este caso, el conjunto 1

LOMEL´ I, RUMBOS

2

o n y el númeumeQ consiste de todas las formas posibles que puede tener un sólido de revolución ro real asociado mediante la función on J   es la resistencia. Notemos que ahora el conjunto Q es un subconjunto de un espacio de funciones, mismo que constituye un espacio vectorial de dimensión on infinita. Aunque la estrucutra de espacio vectorial se conserva, estos conjuntos de funciones poseen una estrucutra mucho más as compleja que los subconjuntos de Rn . Los problemas en relación o n a la búsqueda usqueda de valores alores extremos extremos en espacios espacios de funciones funciones son denominados, denominados, en general, problemas variacionales. Si Q es un conjunto de funciones, a la función on J : Q → R se la llamará funcional. Es decir, los funcionales son funciones de valores reales cuyos dominios son, a su vez, conjuntos de funciones. 2.

´ crona La Bra Braquis quist tocrona o

Imaginemos que vamos a dise˜ nar nar un tramo para una monta˜ una monta˜ na rusa  en en la cual el carrito debe ir del punto A al B , como se muestra en la siguiente figura:

Para lograr que los usuarios generen la cantidad máxima axima de adrenalina, debemos elegir la trayectoria a seguir de tal forma que el carrito recorra este tramo en el menor tiempo posible. A manera de simplificación, on, suponemos que no existe fricción on alguna y que el veh´ veh´ıculo está unicamente u ´ nicamente sujeto a la fuerza de la gravedad. Orientamos al eje vertical hacia abajo y denotamos a la curva desconocida por y (x). Sin pérdida erdida de generalidad, podemos tomar el punto A en el origen, de manera que y(0) = 0, y el otro punto lo expresamos como B = (x , y (x )). La energ´ energ´ıa cinética etica del carrito en cada punto de la trayectoria, denotada por K , depende tanto de su masa m como de su velocidad v y está dada por la expresión: on: 1 K = mv 2 . 2 ∗

∗

LA PARADOJA DE EULER

3

Asimismo, Asimism o, su energ´ energ´ıa potencia p otencial, l, denotada deno tada por p or U , depende de su masa y de la altura y a la que se encuentre; en este caso, dado que la dirección on positiva es hacia abajo tenemos que U = −mgy,

donde g es la aceleración on de la gravedad 1. La ley de conservación on de la energ´ energ´ıa implica que K  + + U  = 0 de manera que, 1 2 mv = mg y 2 y por lo tanto, (2.1)

v =



yg . 2yg.

Deseamos encontrar la trayectoria que minimice el tiempo total de traslado, es decir, queremos resolver el siguiente problema: encontrar la curva y(x) que minimice el tiempo total T de recorrido. Las restricciones sobre la curva implican que y (0) = 0 y y = y (x ) son valores fijos. Adem´ as, as, si x(t) es la posición on horizontal del carrito al tiempo t, entonces la posición on vertical es y(x(t)). La velocidad en cada punto de la trayectoria es ∗

(2.2)

v =

∗

ds , dt

en donde s representa la longitud de arco de la curva que, en este caso, satisface la siguiente ecuación on (2.3)

ds = dt

      2

dx dt

+

dy dt

2

=

1 + ( y (x))2 

dx . dt

Utilizando (2.1), (2.2) y (2.3), se encuentra que el tiempo total de recorrido es una función J [y ] dependiente de la forma de la curva y (x). Para resolver el problema, empleamos a x como nueva variable independiente, con x (0) = 0 y x (T ) = x . Por lo tanto, si S  es la distancia total a lo largo de la curva que se recorre en el tiempo T   tenemos que: ∗

    T

T = J [y ] =

S

dt =

0

0

ds = v

x

∗

0

1 + ( y )2 dx. 2gy 

De este modo, el problema equivale a minimizar J [y ], en donde y pertenece al conjunto Q de todas las funciones de clase C 2 que satisfacen y(0) = 0 y y(x ) = y . El problema anterior fue planteado por primera vez durante el verano de 1696 y dado a conocer formalmente en enero de 1697 por Johann Bernoulli (1667-1748), como un reto a los grandes matemáticos aticos de la época epoca [9, 11, 14]. Dicho reto era parte del “acertijo del año”que no”que se acostumbraba a proporcionar prop orcionar en aquella época. epoca. El documento do cumento para iniciar aquel a˜ a no n ˜ o de 1697 comenz com enzab abaa as´ı: ı: ∗

1

∗

En realidad, la aceleración on de la gravedad no es una constante de la naturaleza. Su valor cambia según el lugar de la Tierra en donde se mida. Para efectos prácticos acticos se utiliza el valor g valor g = 9.81 81m/s m/s2 .

4

LOMEL´ I, RUMBOS

“A los matem´ matematicos a´ticos más as distinguidos que destacan alrededor del mundo, saludos de Johann Bernoulli, profesor de matemáticas...” aticas...” Posteriormente conminaba a los interesados a resolver el siguiente problema: “Determinar “Determinar la l´ınea curva curva que une dos puntos puntos dados, situados situados a distancias distancias diferen diferentes tes de la horizont horizontal al y no en la misma l´ l´ınea vertical, vertical, a lo largo de la cual un cuerpo móvil, ovil, cayendo por su propio peso y comenzando a moverse en el punto más as alto, descenderá de manera más as rápida apida al punto más as bajo.” Johann Johann Bernoulli Bernoulli bautiz´ bautizó a este acertijo como el problema problema de la braquist´ braquist´ ocrona, ocrona, por las palabras palabras griegas griegas   brachistos (más as corto) y chronos  (tiempo), chronos  (tiempo), ya que se requer´ requer´ıa encontrar la trayec trayectoria toria de tiempo de descenso descenso m´ınimo ınimo para un cuerpo sujeto a la fuerza fuerza de la graved gravedad. ad. Es evidente que nuestra pregunta acerca de la trayectoria a seguir por el carrito de montaña rusa es equivalente al reto matemático atico que presentó Johann Bernoulli siglos atrás. as. El problema de la braquistócrona ocrona hab hab´´ıa sido considerado anteriormente anteriormente por Galileo (15641642) en 1638 quien descubrió inicialmente, que la trayectoria trayectoria recta de tiempo tiemp o m´ınimo de un punto A a una recta L era la recta AB que formaba un ángulo angulo de 45 con la linea L. Posteriormente, riormente, encontr´ o que el tiempo de descenso era menor a lo largo del arco de circunferencia que se muestra en la figura 1, lo cual era correcto; sin embargo, se equivocó al aseverar que esta era la trayectoria trayectoria de tiempo de descenso m´ınimo. ınimo. ◦

Figura 1. Soluci´ on on de Galileo que utiliza un arco de c´ırculo.

Adem´ as del mismo Johann Bernoulli, otros cuatro matemáticos as aticos encontraron una solución on ´ correcta al problema de la braquistócrona ocrona en 1697. Estos fueron: Jacob Bernoulli –hermano de Johann–, Leibniz, Newton y L’Hôpital. opital. Todos ellos descubrieron que la curva curva de descenso m´ınimo es una cicloide, conocida cono cida desde entonces como la braquistócrona. ocrona. Un aspecto asp ecto fundamental que queremos recalcar, es el hecho de que impl´ impl´ıcitamente el problema anterior asume que las curvas a considerar (o el conjunto Q del dominio del funcional

LA PARADOJA DE EULER

5

J ) son continuamente diferenciables dos veces - equivalentemente, de clase C 2 en su dominio-.

En el caso de la braquistócrona, ocrona, el m´ınimo del funcional satisface esta suposición. on. Pero, como se verá posteriormen posteriormente, te, un funcional funcional puede no tener tener un m´ınimo sobre un conjunto conjunto previamente especificado. Como consecuencia, es frecuente que los extremos de los funcionales sean funciones que no son suaves o, peor aún, un, ni siquiera continuas. 3.

´lculo en variaciones Calculo a

El alumno m´ as as destacado de Johann Johann Bernoulli Bernoulli fue el gran matem´ atico Leonard Euler (1667atico 1748) quien en 1744 escribió Methodus Methodus Inveniendi , considerado el primer tratado sobre el cálculo alculo en variaciones. variacion es. En él el se expone expo ne una metodolog´ meto dolog´ıa ıa para pa ra resolver res olver problemas pro blemas variacionales variacionale s similares al de la braquistócrona. ocrona. Hasta este punto en la historia, histori a, no exist´ exist´ıa una técnica ecnica general para resolver este tipo de cuestiones y la solución depend depen d´ıa de las caracter´ısticas ısticas de cada problema variacional a considerar. Como base de su método, etodo, Euler postuló un principio de eficiencia en la naturaleza, mismo que tuvo enormes repercusiones en el desarrollo posterior de las ciencias. La esencia de dicho concepto aparece por primera vez en la siguiente frase célebre: elebre: “En efecto, efecto, puesto puesto que la arquitect arquitectura ura del mundo mundo universo universo es perfect perfect´ısima, y adem´ as as hecha por el más as sabio Creador, nada en verdad ocurrirá en el mundo en donde alguna regla de máximo aximo o m´ m´ınimo no salga sal ga a relucir de alguna alg una forma.” for ma.”2 En otras palabras, de acuerdo con Euler, la naturaleza hab´ hab´ıa sido creada de tal manera que ésta esta siempre buscase ser lo más as eficaz posible –la distancia más as corta, cort a, la energ ener g´ıa m´ınima, ıni ma, el punto más as estable– y las leyes de la f´ısica ısica resultasen ser simples formulaciones de este principio. El primero en darse cuenta de este fenómeno omeno fue Herón on de Alejandr´ Alejandr´ıa, quien postuló la ley de reflexión on de los rayos de luz haciendo notar que la luz siempre sigue el camino más as corto. Mencionaremos más as detalles de las ideas de Herón on en la sección on 4. De acuerdo a este tipo de principio de eficiencia, la naturaleza resuelve incesansemente problemas variacionales. Euler comenzó a emplear consideraciones geométricas, etricas, similares a las del cálculo alculo diferencial e integral, para encontrar un método etodo general de solución; on; sin embargo, su razonamiento se fundamentaba más as en la intuición on que en la formalidad como se muestra a continuación. on. Dada alguna función on “suave” L , deseamos encontrar la trayectoria y(x) que minimiza, o alternativamente maximiza, la siguiente integral: b



L(y  (x), y (x), x) dx,

a

con (a) y(b) dados. 2

En el original [3] de 1744: “Cum enim Mundi universi fabrica sit perfectissima atque a Creatore sapientissimo absoluta, nihil omnino in mundo contingit, in quo non maximi minimive ratio quaepiam eluceat ”. Traducci´ on on de Mauricio López opez Noriega.

LOMEL´ I, RUMBOS

6

Inveniendi  de 1744. Figura 2. Portada original del Methodus Inveniendi  de Para resolver este problema, Euler supon´ supon´ıa que si exist´ exist´ıa una función on solución on y(x), ésta podr po dr´´ıa graficarse. graficars e. Posteriormente, Posteriorm ente, part´ part´ıa el dominio en n + 1 subintervalos de longitud ∆x. Esto es, si el dominio de y era [a, b], entonces la partición on resultante estaba dada por: a = x 0 < x1 < · · · < xn < xn+1 = b.

La idea era elegir, de la mejor manera posible, el valor de y en los elementos x i de la partición. on. Si para cada i, yi ≡ y (xi ), los valores y0 y yn+1 están an fijos desde un principio y, por tanto, deben ajustarse los valores y1 , . . . , yn . Para este efecto, Euler aproximaba a la derivada y en cada uno de los subintervalos por la pendiente de la secante correpondiente; es decir, 

y  ( xi ) 

y (xi) − y (xi−1 ) yi − yi−1 = = y i . ∆x ∆x

As´ As´ı, la integral original se estimaba con la suma n+1

(3.1)

S (y1 , . . . , yn ) =

 L

i=1

yi − yi−1 , yi , xi ∆x

cuyo valor extremo se obtien´ıa ıa resolviendo: resolvie ndo:

∇S (y1 , . . . , yn ) = 0.



∆x,

LA PARADOJA DE EULER

7

Derivando en (3.1), (3 .1), se cumpl cu mpl´´ıa la condición on de optimalidad ∂S ∂L ∂L ∂L  =  (yi , yi , xi ) −  (yi+1 , yi+1 , xi+1 ) + (y , yi+1 , xi+1 )∆x = 0. ∂y i ∂y ∂y ∂y i+1

Esto implicaba que 1 ∆x



∂L  ∂L  ( ) ( y , yi , xi ) y , y , x − +1 +1 i i ∂ y  i+1 ∂ y i



=

∂L  (y , yi+1 , xi+1 ). ∂y i+1

Haciendo cada vez más as pequeños nos los subintervalos de manera que ∆ x → 0, esta sucesión on de ecuaciones se transformaba en la ecuación on diferencial parcial dada por: (3.2)

∂L d = ∂y dx

  ∂L ∂y 

,

misma que hoy en d´ıa se conoce cono ce como la ecuación on de Euler-Lagrange. Para el caso particular en el cual 

L(y , y , x) ≡



1 + ( y )2 , 2gy 

obtendr´ıamos, ıamos, al resolver (3.2) que y(x) es la curva braquistócrona. ocrona. La forma expl´ expl´ıcita de esta curva puede encontrarse en cualquier texto de cálculo en variaciones. Ver por ejemplo [1]. Esta forma geométrica etrica de obtener la solución on a los problemas variacionales funcionaba en muchas muchas instancias pero carec´ carec´ıa de formalidad; sin embargo, esta situaci´ on on cambió cuando en el mes de agosto de 1755, Euler recibió una carta [13] de un joven de 19 años. n os. En ella se mostraba cómo omo derivar de manera simple y formal la ecuación (3.2) que hasta ese momento hab´´ıa utilizado hab ut ilizado Euler. El joven era e ra Giusepp Gi useppee Ludovico Lu dovico Lagrang L agrangia, ia, originario origin ario de Tur´ Tur´ın, y que más as tarde en su vida se establecer´ establecer´ıa en Francia pasando a la historia como Joseph-Louis Lagrange, uno de los más as grandes gra ndes cient´ıficos ıfic os del pa´ pa´ıs Galo. Gal o. Aparentemente [13], Euler siempre dió crédito edito a Lagrange Lagran ge y utilizó, o, a partir de aquel entonces, el método etodo y la terminolog terminol og´´ıa que éste este hab hab´´ıa propuesto. propues to. Frecuentemente se dice que Euler dió el nombre a la disciplina en su obra Elementa Calculi Variationum  (1766). Variationum  (1766). Sin embargo, fue Lagrange el que acuño no el término ermino de “variaciones”, “variaciones”, aunque Euler haya sido el encargado de difundirlo. Desde esta época epo ca la ecuación on de Euler-Lagrange se estudia y enseña na como herramienta para encontrar extremos de funcionales. En realidad, el método etodo ideado por Euler y Lagrange ten´ ten´ıa un transfondo idealista y utópico: opico: pretender que el cálculo alculo en variaciones pose´ pose´ıa la misma estructura que el cálculo alculo diferencial e integral. La ecuación on de Euler-Lagrange era, en todo caso, una condición on de primer orden que equival equival´´ıa a encontrar puntos extremos. En el cálculo alculo diferencial e integral obtenemos información on acerca de la función on mediante pequeñas nas variaciones en la variable independiente. En forma análoga, aloga, Lagrange utilizó pequeñas nas variaciones en las trayectorias del dominio de la funcional para conocer las propiedades de la misma. Desafortun Desafortunadamen adamente, te, no obstante obstante la elegancia elegancia del método, etodo, la realidad realidad pronto pronto se

8

LOMEL´ I, RUMBOS

encarg´ o de mostrar que las cosas no eran tan simples. Más as adelante, se mostrará, a, con un par de ejemplos, sus limitaciones fundamentales. Las distintas ecuaciones y leyes de movimiento derivadas por Newton tratan con cantidades vectoriales y, por lo tanto, son sensibles al sistema de coordenadas elegido. El vertiginoso desarrollo de la f´ısica a partir del siglo XVII requer´ requer´ıa del análisis alisis de problemas cada vez más as complejos, mismos que presentaban enormes dificultades técnicas. ecnicas. La belleza del método etodo de Euler y Lagrange es su independencia de la elección de coordenadas coord enadas.. As´ As´ı, no solamente solame nte aportaba apo rtaba una marco elegante para formular la mecánica anica Newtoniana, sino que facilitaba enormemente los cálculos alculos al utilizar cantidades escalares. En 1788 Lagrange publicó Mechanique Mechanique analitique   analitique   en donde expon expo n´ıa los nuevos métodos etodo s variacionales o anal´ anal´ıticos para la mec´ anica. anica. La idea principal, principal, a semejanza semejanza de lo que hab hab´´ıa sugerido Euler anteriormente, anteriormente, part´ıa ıa de un principio fundamental de eficiencia: minimizar la llamada llamada integral integral de acci´ on on dada por t1

= S  =



L(y˙ , y , t)dt.

t0

La contribución on principal principal consisit consisit´´ıa en considerar considerar a la variable ariable temporal temporal como la variable ariable independiente y suponer que las trayectorias y(t) surgen de un principio de m´ınima acción. on. De este modo, el principio de eficienia de la naturaleza planteado por Euler se aplicaba al caso concreto de la mecánica anica de Newton. Como resultado de este planteamiento, se lograron unificar diversos puntos de vista en la modelación on de fenómenos omenos dinámicos. amicos. Desde entonces, en honor a esta aportación on fundamental, a L(y˙ , y , t) se conoce como la función on lagrangiana. Dicha función, on, para el caso de sistemas conservativos, está dada por la diferenc dife rencia ia de energ ener g´ıa cinética etic a y poten p otencia cial: l: L = K − U.

La ecuación on a resolver, por lo tanto, sigue siendo la ecuación de Euler-Lagrange (3.2), que en este caso adquiere la forma d ∂L ∂L = . dt ∂  ˙ ∂y y˙

Este método etodo variacional variacional puede extenderse [6] redefiniendo adecuadamente a la función on lagragiana, para utilizarse fuera del ámbito ambito de la mecánica anica clásica asica como en teor´ teor´ıa de campos, relatividad general y mecánica anica cuántica. antica. Por ejemplo, en relatividad general la función lagranlagrangiana está dada por L = −mc2



1−

v2 . c2

A partir del siglo XX, el uso de los principios variacionales se extendió más as allá de la f´ısica ısi ca y la matemática atica a disciplinas disciplinas sociales como la econom econom´ıa [10]. A pesar de todo el éxito exito del planteamiento planteamiento variacional y sus innumerables aplicaciones, es necesario tambi´ también en estar concientes de sus limitaciones. Como veremos a continuación, on, existen graves problemas que surgieron

LA PARADOJA DE EULER

9

incluso antes de la publicación on de Mechanique de Mechanique analitique . El mismo Euler ya era conciente de ello. 4.

Comi Comien enza zan n los los prob proble lema mass

En 1779 Euler [8] observó que el problema esencial a resolver de cálculo en variaciones era mucho más as complejo que su análogo alogo del cálculo alculo diferencial, el cual encontraba valores extremos en el espacio euclideano. Concretamente, se dio cuenta de que las soluciones a un problema dado no eran necesariamente “suaves”; es decir, las trayectorias óptimas pod po d´ıan, potencialmente, poten cialmente, no ser continuamente diferenciables. El asombro de Euler fue tal, que constantemente hablaba de este fenómeno omeno como la paradoja del cálculo alculo en variaciones.

on. Figura 3. Principio de Herón. En realidad esta observación on no deber´ deber´ıa sorprendernos pues es común un que la naturaleza se comporte en forma “no suave”. Un ejemplo trivial de esto es la observación on de Herón on quien señal´ naló -sin demostracióno n- que la luz que se refleja en un espejo sigue una trayectoria que minimiza el tiempo de traslado. La idea de Herón on consiste en lo siguiente. El camino más as corto que une dos puntos es el segmento de recta entre ellos. Siguiendo a [8] podemos formular una pregunta un poco más as dif´ dif´ıcil: encontrar el camino más as corto desde un punto P   a un unaa l´ınea ın ea G y de ah´ ah´ı a un punto Q, donde P y Q est´ an an en el mismo lado de G. Resulta que sólo olo hay un camino más as corto y consiste de dos segmentos. De hecho, éstos estos se determinan con el criterio de ángulos de reflexión on e incidencia iguales, conocido como ley de la reflexión. Esta ley es la misma que obedece, por

LOMEL´ I, RUMBOS

10

ejemplo, un rayo de luz que incide sobre un espejo plano o la que sigue una bola de billar que golpea una pared elástica astica de una mesa. De este modo, se determina un camino por medio de un principio variacional. La idea de Herón on consist´ consist´ıa en introducir un punto virtual P y considerar todas las trayectorias de Q a P . La recta que une a estos puntos es la trayectoria más corta y consiste de dos segmentos: de Q a la recta G y de G a P . El segundo segmento puede reflejarse utilizando la recta G para obtener un segmento correspondiente de G a P . De este modo obtenemos la trayectoria real y óptima optima de Q a P  pasando por G. 





Figura 4. Principio de Fermat.

La observaci´ observación on de Herón on en relación on a que la luz sigue trayectorias “eficientes” fue retomada siglos después es por un jurista francés es aficionado a las matem´ aticas, el gran Pierre de Fermat aticas, (1601-1665). Fermat estudió la refracción on de la luz, es decir, cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro con distinta densidad, digamos del aire al agua. La primera observación on que hizo fue que la luz viajaba más as lentamente en medios más as densos; de esta forma, para ir de un punto A a un punto B en un medio más as denso un rayo de luz elige la trayectoria que minimiza el tiempo de traslado. En la figura 4 mostramos como se ver´ ver´ıa esta trayectoria trayectoria [14]. 5.

La parad aradoj oja a

En esta sección, on, describimos el fenómeno omeno “parad´ ojico” ojico” que descubrió Euler en 1779 y que public´ o bajo el nombre: De nombre: De insigni paradoxo quod in analysi maximorum el minimorum occurit. Como hemos visto, los problemas de optimización on en espacios de funciones, con frecuencia pueden resolverse utilizando la condición on necesaria  de necesaria  de Euler-Lagrange. En algunos casos, esta condición on también en puede convertirse en suficiente  si suficiente  si se cumplen ciertas caracter´ caracter´ısticas

LA PARADOJA DE EULER

11

de convexidad. Desafortunadamente, y tal como mostraremos a continuación, es com´ un un que la ecuación on de Euler-Lagrange diste de ser tambi´ en en una condición suficiente on suficiente . De esta forma, pueden pueden tenerse tenerse soluciones soluciones que satisfagan satisfagan las condicione condicioness de Euler-Lagr Euler-Lagrange ange que, sin embargo, embargo, no correspondan a valores extremos. Asimismo, el “óptimo” optimo” obtenido puede no ser el que es m´ as as util u ´til o bien ni siquiera pertenecer al espacio original de funciones. Consideremos el siguiente problema de minimización. on. 1

(5.1)

m´ın y

L(y˙ (t), y (t)) dt

0

sujeto a (5.2)



y (0) = 0,

y (1) = 0,

donde L es la llamada función on lagrangiana, que en este caso está dada por (5.3)



2



˙ y ) = (y˙ ) − 1 L(y,

2

.

Esta función on depende únicamen unicamente te de la derivada derivada y˙ y se ilustra el la figura 5.

afica afica de la función on lagrangiana L dependien dependiendo do de y˙ . Figura 5. Se ilustra una gr´ El funcional a considerar en este problema es 1

(5.4)

J [y ] =

  0

(y˙ )2 − 1

2



dt,

LOMEL´ I, RUMBOS

12

cuyo dominio es un espacio de funciones que discutiremos a continuación. on. Tal y como está planteado el problema original, el dominio de J  es el espacio de las funciones de clase C 2 en [0, 1] que se anulan en los extremos. Esto es, puede considerarse a J  como una función on J : D 2 [0, 1] → R, en donde D2 [0, 1] = {y ∈ C 2 [0, 1] : y (0) = y (1) = 0}. En este caso, la ecuación on de Euler-Lagrange está dada como d ∂L ∂L = . y˙ dt ∂  ˙ ∂y

De esta forma, para la función on lagrangiana (5.3), se obtiene d 4 (y˙ )2 − 1 y˙ = 0. dt

 

 

Esta ecuación on implica que la expresión on (y˙ )2 − 1 y˙ es una constante pero esto sólo olo puede sucede sucederr si y˙ es una constante. Por lo tanto, existen números umeros A y B tales que y (t) = At + B. B .

Utilizando las condiciones (5.2), obtenemos que A = B = 0 con lo cual y(t) ≡ 0. Sin embargo, al calcular el valor del funcional, obtenemos que J [0] = 1. Como veremos en la siguiente sección, on, esta solución on no es, e s, ni n i remotamente, r emotamente, un m´ınimo. 6.

Distin Dis tintos tos domini dominios os del del funci funcional onal

En lugar de D2 [0, 1] podemos considerar dominios más as amplios. Por ejemplo, podr´ıamos ıamos considerar un dominio mucho más as amplio: D1 [0, 1] = {y ∈ C 1 [0, 1] : y (0) = y (1) = 0};

esto es, el espacio de las funciones de clase C 1 en [0, 1] que se anulan en los extremos. De igual forma, se puede considerar al espacio V [0, 1] de funciones continuas que son continuamente diferenciables por pedazos y que se anulan en los extremos 0 , 1. Es decir, funciones continuas cuya derivada es continua en [0 , 1] excepto, posiblemente, en un subconjunto finito de [0 , 1]. De manera equivalente, diremos que f ∈ V [0, 1] si es continua y además as existen números umeros a0 = 0 < a1 < · · · < an = 1

tales que la función on f   es continuamente diferenciable en cada subintervalo ( ak 1 , ak ) para k = 1, . . . , n. Notemos que D2 [0, 1] ⊂ D1 [0, 1] ⊂ V [0, 1]. −

Proposici´ on on 6.1. Sea J  el funcional definido en (5.4). Entonces, on (yn ) en D2 [0, 1] tal 1] tal que J (yn) → 0. a) Existe una sucesi´ 2 E l ´ınfimo ınfi mo de J en D [0, 1] es 1] es 0. b) El n o tiene un m´ınimo en D1 [0, 1]. 1]. c) El funcional J  no

LA PARADOJA DE EULER

13

1 2

1

0

1

2

on (yn ) para n = 2, . . . , 10. Figura 6. Elementos de la sucesión umero infinito de soluciones del problema de minimizaci´ on en V [0, 1]. 1]. Es d) Existe un n´ decir, existe una infinidad de funciones y ∈ V [0, 1] tales 1] tales que J [y ] = 0. Demostraci´ on. Sea

1 4 3 2 3 u − u − . 8 4 8 Notemos que esta función on satisface satisface φ(±1) = −1, φ (±1) = ∓1 y φ (±1) = 0. Lo anterior nos permite definir una familia de funciones de clase C 2 del siguiente modo. Para cada n ≥ 3, sea on on dada por yn : [0, 1] → R la funci´ φ(u) =



yn (t) =

 

1 2

+ n1 φ n t −

1 2

− |t − 21 |,

1 2

  



, |t − 21 | ≤ n1 ,

|t − 21 | ≥ n1 .

Es un ejercicio rutinario el verificar que cada función yn es de clase C 2 . Adem´ Adem ás, as, puede pued e comc omprobrarse directamente que se cumple la siguiente igualdad J [yn ] =

1 n

1

 

φ (u)2 − 1

−1



2

du,

de manera que J [yn] → 0 cuando n → ∞. Claramente, 0 es una cota inferior del conjunto de todos los números reales J [y ] con y ∈ on yn es un elemento de D2 [0, 1], tenemos D2 [0, 1]. Asimismo, como cada elemento de la sucesión

LOMEL´ I, RUMBOS

14

que ´ınf {J [y ] : y ∈ D2 [0, 1]} = 0. Dado que D2 [0, 1] ⊂ D1 [0, 1] y 0 es una cota inferior de J , también en se cumple cump le que el ´ınfimo ınfi mo de 1 J en D [0, 1] es es 0; es es decir decir,, ´ınf {J [y ] : y ∈ D1 [0, 1]} = 0. Supongamos que y ∈ D1 [0, 1], entonces entonces y es una función on contin continuamen uamente te diferenc diferenciable iable y cumple y(0) = y (1) = 0. Por el teorema del valor intermedio, existe un número umero c ∈ (0 , 1) tal que y˙ (c) = 0. Por lo tanto, 2



2



L(y˙ (c), y (c)) = (y˙ (c)) − 1

= 1 > 0 .

Dado que Dado que y˙ es una función on continua, existe un intervalo de la forma ( c − ε, c + ε ) tal que L(y˙ (t), y (t)) > 0, para todo t ∈ (c − ε, c + ε). Esto implica que J [y ] > 0. Para finalizar, notemos que existen mucho ejemplos de funciones en V [0, 1] que resuelven el problema. Basta tomar funciones continuas y lineales por pedazos de tal forma que en cada subintervalo de definición on se tenga que la pendiente es ±1. En la figura 6 mostramos algunas posibilidades.  La proposici´ proposici´ on on anterior nos ilustra que el ´ınfimo ınfimo de nuestra funcional es 0; sin embargo, no existen funciones continuamente diferenciables, y por lo tanto tampoco funciones en D2 [0, 1], para las cuales se alcance este ´ınfimo. No obstante, existen múltiples ultiples (¡a saber, una cantidad no numerable!) funciones en V [0, 1] para las cuales el funcional alcanza su ´ınfimo. ınfimo.

0 1

1

2

0 1

1

2

0 1

1

2

0 1

1

2

Algunos ejemplos de funciones en el espacio espacio V [0, 1] que son solucioFigura 7. Algunos nes del problema de minimización on de la paradoja de Euler.

LA PARADOJA DE EULER

7.

15

Un eje ejemp mplo lo de de Weie Weiers rstra trass ss

Durante el siglo XIX, quizás as quien más as aportó a la teor teo r´ıa del cálculo alculo en variaciones fue el gran matem´ atico atico alemán an Karl Theodor Wilhem Weierstrass (1815-1897), no obstante, Weirerstrass publicó muy pocos de sus resultados y simplemente los divulgaba como parte de sus cursos. Oskar Oskar Bolza (1857-1942) fue alumno de Weierstrass en la universidad de Berl´ Berl´ın y en el prefacio de su libro clásico asico Lectur Lectures es on the Calculus Calculus of Variations ariations 3, publicado por primera vez en 1904, aclara que utilizar´ a las cátedras atedras que tomó con Weierstrass, eierstra ss, “como “ como si éstas estas hubiesen sido publicadas formalmente”, dándole andole todo el crédito edito debido. De acuerdo con Gianquinta y Hildebrandt [4], para Weierstrass no estaba claro que un funcional debiese tener un m´ınimo dentro de un espacio de funciones determinado, a´ a ún un si el dominio del funcional se extendiera y consistiera de todas las funciones continuas. En el siguiente ejemplo, hemos adaptado las ideas de Weierstrass para mostrar un funcional relativamente sencillo definido en el espacio de funciones V [−1, 1], 1

J [y ] =



2

t2 (y˙ (t) − 1) dt.

−1

Claramente, 0 es una cota inferior del conjunto de valores de J en V [−1, 1]. Para cada n ∈ N, definimos, arctan(n t) yn (t) = t + . arctan n Es fácil acil ver que se cumple 1

−2

J [yn] = (arctan n)

n2 t2 dt, (1 + (nt)2 )2



−1

de manera que, efectuando el cambio de variable τ = nt , obtenemos J [yn ] = ∞

1 n

n

−2

(arctan n)

   n

−

τ 1 + τ 2

2

dτ.

2

τ Notemos que la integral es convergente. Por lo tanto, J [yn ] → 0 cuando n → ∞. dτ  es 1+τ Notemos que, puntualmente yn converge a y donde y está dada por

   −∞

2

y ∗ (t) =

∗

  

∗

t + 1,

si − 1 ≤ t

Eules paradoja

Short Description

Description

Comments

We need your help!