Euklid i Apolonije

6. ЕУКЛИД И АПОЛОНИЈЕ ( око 330. – 275. г. п.н.е. у Александрији) – аутор је дјела „Елементи“ ( ) што значи азбука Елементи су постојали у неколико верзија и прије Еуклида. Његови су сардржавали основе елементарне геометрије, теорије бројева, теорије поређења величина, методе за одређивање површине и запремине тијела као и елементе теорије граничних процеса. Најстарији сачуван рукопис Еуклидових „Елемената“ је из 888. године. Састоји се из 13 књига ( прва, друга, трећа, четврта, шеста, једанаеста, дванаеста, тринаеста су геометријске а остале су алгебарске). I ( 23 дефиниције, 9 аксиома, 5 постулата, 48 теорема) Теореме 1-26 : основне особине троугла ( не користи се 5. постулат). Теорема 5 је магарећи мост ( бијег очајника) ( у једнакокраком троуглу насупрот једнаких страница су једнаки углови). 27-32: Особине паралелних линија, једнакост трансверзалних углова. Т32: Збир углова у троуглу је два права угла. Остале теореме се односе на површину. Основно је наћи квадрат чија је површина једнака збиру површина датих полигона. 47Питагорина теорема ( вјетрењачасти доказ) а 48. обрнута Питагорина теорема. II ( 2 дефиниције и 14 теорема) – у геометријском облику се излаже низ алгебарских једнакости. 12 – одговара косинусној теореми за тупоугли троугао, 13. за оштроугли,а 14. је конструкција геометријске средине. III ( 11 дефиниција и 37 теорема) 1-15: особине центра круга и сјечице. Т14: једнаке тетиве су на једнаком растојању од центра; 16-19: Особине тангенти ( права нормална на полупречнику у крајњој тачки); 2034: особине централног и периферијског угла; 35-37: потенција тачке ( у кругу, ван кругадвије сјечице и ван круга и сјечица и тангента) IV ( 7 дефиниција и 16 теорема) – однос круга и полигона V ( 18 дефиниција и 25 теорема) – општа теорија пропорција Еудокса Книдског. Деф. пропорције: Каже се да су двије величине у истом односу, прва према другој као трећа према четвртој ако су било који једнаки умношци прве и треће у исто вријеме већи или једнаки или мањи од било којих једнаких умножака друге и четврте, сваки према сваком узети у одговарајућем поретку. Т16: a:b=c:d тада a:c=b:d ( комутативност) VI ( 5 дефиниција и 33 теореме) – примјена пропорција на изучавање сличности. VII (23 дефиниције и 39 теорема) – прве три теореме односе се на проналажење највеће заједничке мјере. Т2: Еуклидов алгоритам, 14-19: описују особине пропорција, 20-39: о простим и сложеним бројевима VIII ( 27 теорема) – посвећена је непрекидној пропорцији. Изучавају се особине пропорција облика Одавде се добијају особине квадрата и кубова, нпр. ако имамо и ставимо имамо и . IX (36 теорема) – користи резултате претходне књиге и испитује квадрате и кубове у геометријској прогресији. 14 – одговара једнозначној факторизацији сложеног броја; 20 – простих бројева има бесконачно много; 35 – збир геометријске прогресије; 36 – Ако је савршен број.

X ( 16 дефиниција и 105 теорема) – теорија ирационалних бројева који се добијају геометријским конструкцијама ( потиче од Тетета). Изучавају се бројеви облика √ √ √ √ √√ √ √ √ XI ( 28 дефиниција и 39 теорема) – основне особине правих и равни у простору XII (18 теорема) – изучавање површине и запремине пирамиде, купе и цилиндра. Користи се метод ексхаустије XIII ( 18 теорема) – конструкција правилних тијела. Ефективно се израчунава ивица правилног тијела уписаног у лопту. Елементима се приписују још двије књиге XIV ( Хипискл, 2. вијек н.е. ) – одност површине и запремине правилних тијела уписаних у исту сферу. XV ( Исидор, 5. вијек н.е.) – испитују се диедарски углови у правилним тијелима и правилна тијела се уписују једна у друго. Еуклид је написао и: О дијељењу фигура, Конусни пресјеци, Поризми, Површи, Књига података, О подјели, Феномена, Дата, О лажним доказима Аполоније из Перге у Турској ( 260. – 190. г. п.н.е.) – његово најважније дјело је „Коника“ или „О конусним пресјецима“. Састоји се од 8 књига. Прве четири садрже оно што је и раније било познато. Хипократ је дупликацију коцке све на Аполоније умјесто правог конуса користи кружни. Има три врсте пресјека: раван сијечче све изводнице, паралелна је једној, паралелна је двјема. Користећи геометријску алгебру доказује да парабола има особину , елипса хипербола , одакле им изводи имена: налијегање ( параболис), недостатак ( елипсис), вишак ( хиперболис). У I књизи још доказује да ова особина не зависи од правца у коме се бира осе дате криве и да се једначина хиперболе увијек може писати као . II књига је посвећена основним особинама конусних пресјека и конструкција тангенти III се бави проблемом 3 и 4 праве. У оба случаја рјешења су конусни пресјеци. Он први посматра обје гране хиперболе као једну криву IV – испитује се број пресјека два конусна пресјека и услови под којима се сијеку V – конструкција нормала на конусне пресјеке ( нормала се дефинише преко најкраћег растојања) VII – особине коњугованих пречника конусних пресјека VIII књига је изгубљена Још је написао: „Одсјецање у датом односу“ 2 књиге, сачувана у арапском преводу; „Одсјецање дате површине“, „Одређени пресјек“ „О додирима“ – конструкција круга који додирује 3 круга ( сваки од њих може имати пречник једнак нули или бесконачно, тј. може бити тачка или права). Састоји се из двије књиге. „О уметањима“, „О равним мјестима“ – наводи низ геометријских мјеста тачака која се своде на праву или кружницу, „О рачунању са великим бројевима“, „О израчунавању броја “. Писао је и књиге из примјењене математике, углавном из оптике и астрономије. Имао је идеју за кретање епицикла. Центар епицикла се налази на диференту.

'постулат: Сваки пут када права у пресјеку са двије друге праве образује са њима са исте своје стране углове чији је збир мањи од два права угла, те праве се сијеку са те стране праве.