ETF_Zbirka Zadaci OE2 2014
April 19, 2017 | Author: Маријан Николов | Category: N/A
Short Description
Download ETF_Zbirka Zadaci OE2 2014...
Description
Универзитет ,,Св. Кирил и Методиј” - Скопје Факултет за електротехника и информациски технологии
Д-р Марија Кацарска
ОДБРАНИ РЕШЕНИ ЗАДАЧИ ОД ОСНОВИ НА ЕЛЕКТРОТЕХНИКА 2 Електромагнетизам и Електрични кола со простопериодични напони и струи
Скопје, 2014
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
1
1. Био-Саваров закон Заклучоците до кои дошле Био-Савар и Лаплас се следните: - ако повеќе струјни кола истовремено создаваат магнетно поле, магнетната индукција во некоја точка е векторски збир на магнетните индукции од секое коло поединечно, - секој елемент од едно струјно коло создава свое магнетно поле, така што магнетната индукција е векторски збир од сите елементарни индукции, - елементарната магнетна индукција во точката P која ја создава елементот на колото dl со струја I (како на сликата) може да се одреди како: I
dl
0 I [dl r0 ] dB 4πr 2
r0 P
(1)
•
• dB
Релацијата (1) ја дава магнетната индукција одредена со правец и насока (векторот dl да се поклопи со векторот r0 по правило на десната рака) и со интензитет одреден како:
dB
0 I dl sin θ 4πr 2
T
(2)
Релацијата (2) може да се напише и во друг облик ако се спореди должината на отсечката AC од следната слика:
A
P
d
π AC dl cos( θ) dl sin θ 2
r
AC r dα
dl
C
r dα dl sin θ
(3)
Ако релацијата (3) се замени во релацијата (2) ќе се добие уште еден израз за интензитетот на магнетната индукција:
dB
0 I dα 4πr
T
(4)
Релацијата (2) најчесто се применува за решавање на проблеми со кружна симетрија (кружни кола), додека релацијата (4) се применува за проблеми со праволиниски кола. Сите проблеми ги разгледуваме во линеарни, хомогени магнетни средини со констанатна магнетна пермеабилност, најчесто во воздух.
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
2
Задача 1.1. Да се одреди векторот на магнетна индукција која што постои околу праволиниски неограничено долг спроводник низ кој што тече временски константна струја со јачина I, на растојание a од него. Средината е воздух.
0=410-7 H/m
I
;
a=10 cm
;
I=500 A Решение:
dl
r
d
P
X B
Целиот спроводник се дели на бесконечно многу мали делови со должина dl. Бидејќи низ секој од нив тече струја тие претставуваат елементарни струјни елементи. Секој од тие струјни елементи во точката P создава вектор на магнетна индукција со интензитет:
dB
a
0 I dα 4πr
.
(1.1.1)
Ако во претходната релација се замени за:
r
a , cos α
dB
за интензитетот на векторот ќе се добие:
0 I dα 4πa
(1.1.2)
cos α .
(1.1.3)
Бидејќи правците и насоките на сите елементарни индукции dB кои ги создаваат сите струјни елементи dl се поклопуваат, резултантната магнетна индукција во точката P ќе има ист правец и насока како векторот dB и интензитет: 2
I I B 0 cos d 0 sin 4 a 4 a 2 B
2
2
0 I I 2 0 . 4 a 2 a
(1.1.4)
0 I T 2 a B 103
(1.1.5)
T
Максималните вредности кои што може да ги достигне магнетната индукција (со електромагнети) е од редот на десетина тесли. Задача 1.2. Дадено е коло во вид на квадрат. Низ него тече струја I во дадената насока. Да се одреди векторот на магнетна индукција во средината на квадратното коло, ако околната средина е воздух.
0=410-7 H/m
I
0
X B
a=10 cm I=50 A Решение:
a
Секоја страна од квадратот во точката О создава вектор на магнетна индукција со ист интензитет, правец и насока. Резултантниот вектор на магнетна индукција во точката О ќе биде збир од четири исти вектори (по еден за секоја страна). Значи, доволно е да се одреди магнетната индукција само од една страна на квадратот. За таа цел страната на квадратот со должина a замислено ја делиме на бесконечно многу струјни
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
3
елементи со должина dl. Секој од нив во центарот на квдратот ќе создава вектор на магнетна индукција dB1 со интензитет:
I
dB1
dl
r
r
d
a
a/2
/4
0
μ0 I dα , 4πr
(1.2.1)
a . 2 cos α
(1.2.2)
Со замена на равенката (1.2.2) во (1.2.1) се добива:
X B1
dB1
μ0 I dα μ I cos α dα 2 cos α 0 4πa 2πa (1.2.3)
Со собирање на сите овие вектори се добива резултантниот вектор на магнетна индукција во центарот на квадратот само од едната страна B1: 4
I I B1 0 cos d 0 sin 2 a 2 a 4 I 2 . B1 0 a 2 B 4 B1 ,
Вкупната магнетна индукција во точката О е:
B 4 B1 2 2
со интензитет:
0 I a
4 4
(1.2.4) (1.2.5)
T
(1.2.6)
За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција во точката О е:
B 564 106
T
Задача 1.3. Да се одреди векторот на магнетна индукција која што ја создава кружен спроводник со радиус R ако низ него тече струја I, во центарот на спроводникот. Средината е воздух.
I
0=410 H/m -7
;
I=50 A
;
R=2 cm
O
R
Решение:
I
O
R
• B
dl
Ако замислиме дека спроводникот е составен од бесконечно многу струјни елементи со должина dl и дека низ секој од нив тече струја I, магнетната индукција што секој струен елемент ја создава во центарот на кружниот спроводник ќе е:
dB
0 I dl sin θ
=/2 ;
4πr 2
.
r=R=const
(1.3.1)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
4
dB
μ0 I dl . 4πR 2
(1.3.2)
Резултантната магнетна индукција во центарот на кружниот спроводник се добива со собирање на сите овие бесконечно многу вектори:
B
2 R
0 I 4 R 2
dl
0
0 I l 4 R 2
2 R
0
0 I 2R
0 I d
.
(1.3.3)
Па интензитетот на векторот на магнетна индукција во центарот на кружниот спроводник е:
B
0 I 2R
.
(1.3.4)
За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција во точката О е:
B 15.7 104
T
Задача 1.4. Околу квадратно коло со страна a низ кое тече струја I1 во дадена насока, опишано е кружно струјно коло со радиус R. Колкава струја и во која насока треба да тече во кружното коло, за резултантната магнетна индукција во центарот на системот да биде нула. Струјата I1 на квадратното коло е со јачина од 3.14 A. Средината е воздух. Решение:
a
B1 X
R O
• B2
Резултантната магнетна индукција во центарот на системот е збир од два вектора, векторот на магнетната индукција од квадратното коло - B1 и векторот на магнетната индукција од кружното коло - B2. Од условот на задачата истата треба да биде еднаква на нула.
За резултантниот вектор да биде нула треба магнетните индукции кои што ги создаваат двата извора да бидат еднакви I1 меѓу себе по правец и интензитет, но спротивни по насока. Од тука заклучуваме дека струјата I2 низ кружното коло треба да има I2 спротивна насока од струјата I1 низ квадратното коло, а интензитетите на векторите на магнетна индукција од двете кола треба да се еднакви.
B B1 B2 0
B2 B1 .
Квадратното коло во центарот на системот создава магнетната индукција со интензитет:
B1
2 2 0 I1 , a
(1.4.1)
додека кружното коло во центарот на системот создава магнетна индукција со интензитет:
B2 За системот е исполнето дека R
0 I 2 2R
.
(1.4.2)
2 a , па магнетната индукција од кружното коло во 2
центарот на системот ќе биде:
B2
0 I 2 a 2
.
(1.4.3)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
5
Со изедначување на равенките (1.4.1) и (1.4.3) се добива решението за јачината на струјата I2 која што тече низ каружното коло:
B1 B2
2 2 0 I1 0 I 2 a a 2
I2
4 I1
4 A
Задача 1.5. Неограничен праволиниски спроводник и кружен спроводник лежат во иста рамнина. Низ праволинискиот спроводник тече струја I2 во дадената насока, а низ кружниот струја I1. Да се одреди насоката на струјата I1 и растојанието x така што магнетната индукција во центарот на кружниот спроводник ќе биде нула. Средината е воздух.
0=410-7 H/m ;
I1=1.5 A
;
I2=10 A
;
R=4.5 cm
Решение:
I2
Резултантната магнетна индукција во центарот на кругот е збир од два вектора, векторот на магнетната индукција од кружниот спроводник - B1 и векторот на магнетната индукција од праволинискиот спроводник B2. Од условот на задачата истата треба да биде еднаква на нула.
I1
B1 •
R O
X B2
За резултантниот вектор да биде нула треба магнетните индукции кои ги создаваат двата извора да бидат еднакви меѓу себе по правец и интензитет, но спротивни по насока. Од тука заклучуваме дека струјата I1 низ кружниот спроводник треба да има спротивна насока од струјата I2 низ праволинискиот спроводник.
x
B B1 B2 0
B2 B1 .
Кружниот спроводник во центарот на кругот создава магнетна индукција со интензитет:
B1
0 I1 2R
,
(1.5.1)
додека праволинискиот спроводник во центарот на кругот создава магнетната индукција:
B2
0 I 2 . 2 x
(1.5.2)
Со изедначување на равенките (1.5.1) и (1.5.2) се добива решението за растојанието x на центарот на кругот од праволинискиот спроводник:
B1 B2
0 I1 2R
0 I 2 2 x
x
RI 2 9.56 cm I1
Задача 1.6. Да се одреди векторот на магнетна индукција во точките на осовината на кружен прстен ако низ него тече струја I. Радиусот на кружниот прстен е R, а околната средината е воздух.
I
P
R
Решение: Ако замислиме дека кружниот прстен е составен од бесконечно многу струјни елементи со должина dl и дека низ секој од нив тече струја I, магнетната индукција што секој струен елемент ја создава во точката P која што лежи на оската на кружниот прстен ќе е:
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
6
0 I dl sin θ
dB1
=/2 ;
I
O
r=R=const
dl1
dl1 R
(1.6.1)
4πr 2
dBy
d
I
P
dl2
dB1
dBy
x
μ0 I dl 4πR 2
dB1 dBx
B
dB2
.
(1.6.2)
Бидејќи сите вектори од сите бесконечно многу струјни елементи ќе се вектори со различен правец и со ист интензитет, ќе се разложат на проекции во xOy координатниот систем. При тоа ќе се добие дека збирот од сите компоненти по y оската ќе е еднаков на нула, а резултантниот вектор ќе е векторот добиен како збир на сите проекции по x оската.
By dBy 0 ,
dBy dB cos
I sin dBx dB sin Bx dBx 0 4 d 2 B Bx
0 IR 2d 2
2 R
dl
0
(1.6.3)
0 I sin 2 R , 4 d 2
sin .
(1.6.4)
(1.6.5)
За интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P да се изрази со зададените величини во горната равенка ќе се замени за:
sin
R d
d x2 R2 ,
(1.6.6)
по што конечниот израз за интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P ќе е:
B
0 IR sin
2 x2 R2
2
0 IR 2 x R 2
2
3
0 IR 2
2 x2 R2
3/ 2
T .
(1.6.7)
Задача 1.7. Две кружни намотки со исти радиуси R и со иста струја I во иста насока, поставени се на меѓусебно растојание a, така што нивните рамнини се паралелни. Секоја од нив има по N навивки. Да се одреди векторот на магнетната индукција во средината на било која од нив ако системот се наоѓа во воздух.
0=410-7 H/m
;
I=20 A
N=200 навивки
;
R=10 cm
а=5 cm
X I
a
X I
R
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
7
Решение: Магнетната индукција која што една кружна контура ја создава во нејзиниот центар, според (1.5.1) е: 1 X
x
B1
B
2
B2 x
I
X
I
0 I
,
2R
(1.7.1)
така што кружната намотка со N навивки во нејзиниот центар ќе создава вектор на магнетна индукција со правец и насока по x оската и интензитет:
R
B1
a
0 NI1 2R
.
(1.7.2)
Векторот на магнетна индукција која што намотката 2 го создава во центарот на намотката 1 е со правец и насока на x оската, според (1.6.7), и со интензитет:
B2 x
0 IR 2
2 a2 R2
3/ 2
.
(1.7.3)
Векторот на резултантната магнетна индукција во центарот на намотката 1 е со правец и насока на x оската и со интензитет:
B B1 B2 x
. R a 2 R 2 3/ 2
0 NI 1 2
R2
(1.7.4)
За конкретните вредности интензитетот на магнетната индукција ќе е:
B 0, 427 T Задача 1.8. Да се определи векторот на магнетна индукција во точката P по оската на соленоидот со N рамномерно намотани навивки низ кои тече струја со јачина I. Соленоидот е со кружен напречен пресек со радиус a, должината му е b а целиот систем се наоѓа во воздух.
N
0=410-7 H/m
;
I=50 A
N=1000 навивки ;
a=2 cm
I a
b=20 cm
b Решение:
a
I
1
r
2
3 P
x
dx
b
c
dB
B
x
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
8
Одбираме точка P која што лежи на оската на соленоидот, но е надвор од него. Ако навивките низ кои што тече струјата рамномерно се намотани по должината на соленоидот, тогаш на должината b постои т.н. "струен плашт" со струја NI , а на елементот dx струен плашт
NI dx . Целиот соленоид, по должината b, ќе се замисли дека е составен од бесконечно многу b елементарни струјни плаштови со должина dx. Од решението на задачата 1.6 (релација 1.6.5) следи дека струјата која што тече низ една кружна навивка во точката P создава вектор на магнетната индукција со интензитет:
B
0 I
a sin ,
2r 2
(1.8.1)
а елементарниот струен плашт со должина dx во истата точка ќе создава вектор на магнетна индукција со правец и насока по x оската и интензитет:
dB
0 a 2r
2
sin
NI dx . b
(1.8.2)
За интензитетот на векторот на магнетната индукција во точката P да се изрази со зададените величини во горниот израз ќе се замени за:
a2 r , sin 2
a sin r
2
(1.8.3)
по што ќе се добие:
dB
0 aNI 2b
sin
NI sin 2 dx 0 sin 3 dx . 2 a 2ab
(1.8.4)
cx ќе се диференцира и a a . dx d sin 2
За изразот да биде само со една променлива во релацијата ctg левата и десната страна и ќе се добие дека:
dx d 2 sin a
Кога тој резултат ќе се замени во изразот (1.8.4) ќе се добие:
dB
0 NI 2b
sin d .
(1.8.5)
Конечниот израз за интензитетот на векторот на магнетна индукција во избраната точка ќе се добие со собирање на сите бесконечно многу вектори dB и за интензитетот ќе следи:
B dB
0 NI 2b
2
sin d 1
0 NI 2b
cos 1 cos 2 ,
(1.8.6)
Бидејќи е 2=–3 и cos2= – cos3 изразот (1.8.6) ќе ја добие следната форма:
B
0 NI 2b
cos 1 cos 3 .
(1.8.7)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
9
Важни се следните два посебни случаи на точки по оската на соленоидот: 1. Ако точката се наоѓа во средината на соленоидот кога е исполнето 1=3 и кога важи:
cos 1 cos 3
b 2 b a 4 2
2
b 4a 2 b 2
,
(1.8.8)
за интензитетот на векторот на магнетната индукција ќе се добие:
B
0 NI 2b
2b
4a 2 b 2
0 NI 4a 2 b 2
.
(1.8.9)
2. Ако точката се наоѓа во центарот на соленоидот за кој е исполнето дека ba тогаш тој е долг и тенок соленоид и магнетната индукција во најголемиот дел од неговата внатрешност ќе биде со интензитет:
B
0 NI b
.
(1.8.10)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
10
2. Електромагнетна сила и момент Кога спроводник низ којшто тече струја се наоѓа во туѓо магнетно поле врз него дејствува механичка сила којашто зависи од интензитетот и насоката на струјата, должината на спроводникот и векторот на магнетна индукција на туѓото магнетно поле. Силата се пресметува како:
F I l B N , (1) каде што I и l се на спроводникот, а B се однесува на туѓото магнетно поле. Правецот и насоката на силата се добива кога векторот на должината на спроводникот l (којшто секогаш е насочен во насоката на течење на струјата низ спроводникот) според правилото на десна рака се
врти така што ќе се поклопи со векторот на магнетна индукција B на туѓото магнетно поле по покусиот пат (или помалиот агол меѓу нив). На спроводник со елементарна должина dl низ којшто тече струја I ќе дејствува
елементарна сила dF којашто се пресметува како:
dF I dl B .
(2)
Ако во простор со магнетно поле се донесе спроводник којшто образува рамно коло низ коешто тече електрична струја, врз колото ќе дејствува момент којшто ќе тежнее да го заврти колото како резултат на спрег од сили:
M m B Nm ,
(3)
M е аксијален вектор и тежнее да го заврти колото сè додека векторот на магнетниот момент на колото m не се поклопи со векторот на магнетна индукција B на туѓото магнетно поле. Магнетниот момент за едно електрично коло има правец нормален на рамнината во којашто лежи колото, а насоката му се одредува според правилото на десната рака во насока на струјата којашто тече низ него:
m I S Am 2 .
(4)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
11
Задача 2.1. Спроводник со облик и димензии претставени на сликата се наоѓа во хомогено магнетно поле со магнетна индукција B. Магнетните силови линии се нормални на рамнината во која лежи спроводникот. Низ спроводникот тече струја I. Да се одреди силата , која тежи да го помести спроводникот, ако тој е изработен од крута жица. c B = 1.2 T c = 20cm
a
I
c 3
I = 25 A
B
Fb
Fb I b B Fb I b B Fb Fb
Fb'
b
Fh
Fh Fv
Fv
F
F a
a F
Двете сили Fb се поништуваат бидејќи колото е круто. Силите Fa ги разложуваме на две компоненти. Јасно дека Fh – компонентите се поништуваат.
Fa I a B IaB
Fv Fa cos
F 2Fa cos 2Fv
3 c 3IaB 3I B IcB 2 3 F I c B 25 20 102 1, 2 6N F 2IBa
F 2IaBcos cos
c c 3 2a 2 c 2 3
Задача 2.2. Даден е многу долг праволиниски спроводник со струја I и правоаголна контура со струја I1. Положбата на колото и димензиите се дадени на сликата. Средината е воздух. Да се определи силата која дејствува на правоаголникот, по интензитет, правец и насока, ако истиот е направен од крут материјал. dF3
F3
I I1
I = 20 A I1 = 4 A a = 50cm b = 9cm c = 1cm
F1
dF4 c
F4 b
x
a
B2
B1
dx
F2
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
12
Заради симетрија јасно е дека резултантните сили F3 и F4 се еднакви и со спротивен смер па се поништуваат.
dF3 I1 dx Bx ; dF4 I1 dx Bx
dF3 dF4
F1 I1 a B1
;
B1
0 I 2c
F1 I1 a
F2 I1 a B2
;
B2
oI 2 c b
F2
F F1 F2 Резултантната сила е:
oI I Ia o 1 2c 2c
o I I1 a 2 c b
o I I1 a 1 1 2 c cb
o I I1 a b 7.2 104 N , и има насока на F1 . 2 c c b
F
Задача 2.3. Струјна контура во вид на рамностран трапез со струја I2 чија насока е дадена, лежи во иста рамнина со неограничен праволиниски спроводник со струја I1 со дадена насока. Да се определи резултантната сила која дејствува на контурата. F3
I1
F3v
F1 I 2 l1 B1
F3h
l1
B
F
F2
F1
F4
a
dl4 F4v
o I1 2a
F1
o I1I 2l1 2a
F2 I 2 l2 B2 l2
F4h
B1
I2
dF4
B2
o I1 2 a b
F2
o I1I 2 l2 2 a b
b
Поради симетрија на спроводниците со должини l3 и l4, врз кои што ќе дејствуваат силите F3 и F4, вертикалните компоненти на dF4 ќе се поништат со соодветните вертикални компоненти од dF3.
I dF4 I 2 dl4 Bx ; Bx o 1 2x
dF4 I 2 dl4 Bx
dF4h dF4 sin ; dF4v dF4 cos dF4h
o I1I 2 dl4 2x
o I1I 2 sin dl4 2x
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
13
dx cos I I sin dx dF4h o 1 2 2x cos a b II dx o I1I 2 ab F4h o 1 2 tg tg ln 2 x 2 a a dl4
I1
dl4 I2 x a
F3h F4h
dx
F F1 F2 F3h F4h
b
F
o I1I 2 l1 l a b 2 2tg ln 2 a a b a
Задача 2.4. Паралелно со долг полуцилиндричен спроводник чиј напречен пресек е во облик на половина тело и кружен прстен се наоѓа тенок спроводник. Попречниот пресек на системот и неговите димензии се дадени на сликата. Дебелината на цилиндричниот спроводник е знатно помала од неговиот радиус. Ако низ спроводниците тече иста струја I, но со спротивен смер, да се одреди силата која дејствува на на полуцилиндерот по единица должина. Средината е воздух. Силата која дејствува на спроводникот 2, што се наоѓа во магнетното поле создадено од спроводникот по закон за акција и реакција, е иста со силата која што дејствува на спроводникот 1, кој се наоѓа во магнетно поле од спроводникот 2. Тоа значи дека F1=F2=F. Ние ја бараме силата која што дејствува на спроводникот 1. Елементот dl може да се смета како бесконачно долг тенок спроводник со струја dI. Силата која дејствува на тој спроводник по единица должина е:
I
dF’
dF dI l B
(1) dF
dL=ad
B
dF dl 1 B I I I dI dL ad d a a I B o 2a I I dF d o 2a I dF o 2 d 2 a
d
I F2 (2)
a
I2 I2 2 I2 I2 dF dF cos o 2 cos d ; F dF o 2 cos d o 2 2 o2 2 a 2 a 2 a a 2
N m
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
14
Задача 2.5. Доводникот и одводникот до рачката на раставувачот за големи струи, го сочинуваат доста долгиот праволиниски двожичен вод, во кој растојанието меѓу спроводниците е d. Да се пресмета силата која дејствува на рачката од раставувачот кога низ неа тече струја I. Посебно да се пресмета таа сила за струја на куса врста. 2a
Iks = 10000 A d = 15 cm a = 1 cm
x
I d-x dx
d
B dF x
I
И доводниот и одводниот спроводник во точките од рачката создаваат магнетно поле. Доводниот вод (истото важи и за одводот), создава во точките од рачката магнетно поле, кое што е еднакво на 1
2
од магнетното поле кое што го создава бесконечен долг праволиниски
спроводник (ова не е тешко да се докаже).
o I o I o I 2 dx dx Bx ; dFx Idx Bx 4x 4 d x 4 x d x F dFx F
d a
a
o I2 1 o I2 o I2 1 d a dx ln x ln d x | a 4 x d x 4 4
a da ln a ln d a
o I da 52.7 N ln 2 a 2
Задача 2.6. Паралелно со долга метална лента 1 се протега тенок спроводник 2. Попречниот пресек на системот и димензиите се дадени на сликата. Дебелината на лентата е занемарливо мала во однос на нејзината широчина “2b” и нормалното растојание “a” од спроводникот до лентата. Ако низ лентата и спроводникот течат исти струи но со спротивен смер, да се одреди силата која дејствува на спроводникот со единица должина. y B dy dBy
dB’
y φ
φ
dB’x
dy’ a
dB F
dBx
x
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
15
Елементот dy може да се смета како бесконечно долг праволиниски спроводник со струја.
I dy тогаш магнетната индукција која потекнува од овој елемент е: 2b
Ако
dI
dB
o dI ; r a 2 y2 2r
dB
o I dy o I dy . 2r 2b 4b a 2 y 2
Елементот dy’ кој е симетричен на dy во однос на x – оската , создава магнетна индукција dB’, јасно е дека dBx и dB’x компонентите се поништуваат, а dBy и dB’y компонентите алгебарски се собираат
dBy dBcos dB
b
a
By
b
2
o Ia
dB cos 4b a
a b b I I y b I b B B y o arctg | bb o 2 arctg o arctg 4b a 4b a 2b a 2 I b N F' I 1 B o arctg 2b a m 2
b
2
dy b2
2 V sek H A2 A A V sek Wsek N A Проверка за единиците: F 2 2 2 m m m m m m Задача 2.7. Соленоид на кој се намотани N навивки, се наоѓа во хомогено магнетно поле
со индукција B. Оската на соленоидот и правецот на полето зафаќаат агол . Напречниот
6
пресек на соленоидот е S, а струјата низ него I. Соленоидот може да се врти околу оската ОО1. Да се одреди моментот кој тежи да го заврти соленоидот околу оската. B = 0.6 T N = 250 S = 5cm2 I=4A
B
6 m
M m B m I N S M NI S B M NISBsin 0.15 Nm
• ОО1
I
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
16
Задача 2.8. Струјно коло со облик на рамностран триаголник со страна “a”, може да се врти околу оската ОО1 во хомогено магнетно поле со индукција B. Струјата во колото е I . Положбата на колото и магнетното поле се дадени на сликата. Да се најде моментот кој дејствува на ова коло.
B
O
I = 10 A B=1T a = 8 cm
O1 I
m
a •m
3 M m B M m B sin
M
3
; m S I
a2 3 3 3 2 M IB a I B 24 103 4 2 8
Nm
a2 3 I 4
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
17
3. Амперов закон
Циркулацијата по затворена крива линија на векторот на магнетната индукција B кој потекнува од кола со струја I е еднаква на o I ако затворената крива линија и колата се
зафаќаат како соседните карики од еден ланец.
Bdl I o
l
dl Bdl cos B, l
o
I
Усвојуваме произволна насока на обиколување на линијата “l” и во таа насока ја
претпоставуваме и насоката на векторот на магнетната индукција "B" . Струите ги земаме со знак “+” ако нивната насока се поклопува со насоката на напредување на десната завојница вртена во насока на циркулацијата по затворената крива “l”. Ако “B” го добиеме со “+” добро сме ја претпоставиле насоката на “B”, ако пак е со знак “-“ тогаш B е во спротивна насока. Задача 3.1. Да се определи интезитетот на магнетната индукција внатре и надвор од бесконечно долг праволиниски спроводник со кружен пресек и радиус R=1cm ако низ него тече струја I=50A. Да се нацрта график на зависноста на магнетната индукција во функција од растојанието r. Усвојуваме произволна насока на обиколување на “l” и во таа насока го претпоставуваме и B.
r R1 B2 dl o I
B2
•
I
R
dl
l
2 r
dl I
B2
o
0
r
B2
0 r R1 I l B1 dl o I ; J R12
B1dl
0
B1
B1 o 0,8 105 r
r
R1
T
o I 2r
T
•
o Ir 2 R12
o Ir 2R12
o 8 r
I
Ir 2 I J r R2 1 2
2 r
B2
B1 dl
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
18
Задача 3.2. Два долги праволиниски спроводници со струи I1 и I2 во спротивни насоки, поставени се многу блиску паралелно еден до друг. Да се определи векторот на магнетната индукција во точката А на големо растојание r од спроводниците.
B A
Bdl o I
dl
l
r
2 r
Bdl I o
• I 1
0
dl
I2
B2r o I 2 I1
B
B o
I2 I1 2r
Со позитивна насока е струјата чија насока се поклопува со насоката нанапредување на десната завојница, ако истата ја вртиме по произволно избрана насока на циркулација по кривата “l”. Задача 3.3. Да се определи магнетната индукција во било која точка во торусот околу кој густо се намотани N навивки низ кои тече струја I.
a r b
Bdl I o
l
Bdl NI o
r a
l
2 r
Bdl NI
B
o
0
I
B 2r o NI
b I
B
o NI 2r
(3.3.1)
Ако напречниот пресек на торусот е занемарливо мал во однос на должината на неговата средна линија, тогаш е исполнето 2a2b2r=l и е: B
o NI l
(3.3.2)
Задача 3.4. Даден е шуплив спроводник со радиуси R1 и R2. Низ него тече струја I. Да се определи распределбата на магнетната индукција во сите точки внатре и надвор од спроводникот, ако тој е многу долг.
0 r R1 B 0 dl 0
I
l
B0 0 R2
R1 I
.
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
19
R1 r R 2 B 1 dl o I
dl B1
l
2 r
I
R1
•.
B dl I
o r ;
1
0
B1 2r o
r R2
J
B1
I R R12 2 2
I r 2 R 12 2 R R1
2 2
2 2 o I r R 1 2r R 22 R12
r R2 B 2 dl o I l
B2 2r o I B2
o I 2r
Задача 3.5. Даден е коаксијален кабел со радиус R1 на внатрешен спроводник, а R2 и R3 на надворешниот спроводник. Низ него тече струја I. Да се определи распределбата на магнетната индукција во сите точки внатре и надвор од кабелот, ако тој е многу долг.
I
• I
R1
l
r
B1 2r o
R2 R3
r
B1
r
R1 r R 2 B 2 dl o I
I r 2 R 22 l B3 dl o R 32 R 22 I
B2 2r o I o I 2r
r R3 B 4 dl o I 0 l
B4 0
I r 2 R 12
o Ir 2R12
R2 r R3
l
B2
r R1 B 1 dl o I
2 2 o I o I r R 2 B3 2r 2r R 32 R 22
I 0
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
20
Задача 3.6. Даден е долг ексцентрично шуплив спроводник со радиус R1 и радиус на шуплината R2. Низ него тече струја со густина Ј. Да се определи магнетната индукција во точките P, M и N во спроводникот кои што лежат на линијата која што поминува низ оските на спроводникот О и на шуплината О1. Точката Р се наоѓа во спроводникот, додека точките М и N се наоѓаат во шуплината. J
.
R1 P
.
R M.
O R
.N
O
d
а) Решавањето на проблемот е со примена на методата на суперпозиција на магнетни полиња од два извори – спроводникот со центар во точката О и спроводникот со центар во точката О1 низ кои што течат струи со иста густина но со спротивни насоки. На тој начин на местото на шуплината во спроводникот се добива дека нема да тече струја. За точката P со примена на методата на суперпозиција се добива: J
B 1 dl o I ;
.
I J R
l
2 R 3
P R1 O R B1 3
B1dl o JR 32
0
B1 2R 3 o JR 32
B1
B 2 dl o I l
I J R
J
B2 P
2 3
O
R
2 2
2 R 3 d
O
R2
J
B2 dl o JR 22
0
B2 2 R 3 d o JR 22 d
B2 B B1 B2
Bp B1 B2
o JR 22
2R3 d
o J R 22 R 3 2 R3 d
Магнетното поле во спроводникот е нехомогено. б) за точките M и N со примена на методата на суперпозиција се добива:
J
B2
R2
N a O b
B 2 dl o I
M
B2
M:
l
B2 2b o Jb 2
B2
o Jb 2
o JR 3 2
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
21
B 2 dl o I l
N:
B2 2a o Ja 2
B2
B 1 dl o I R
J •
M:
B1
N. d-
O
.
O
B1
o Ja 2
l
B1 2 d b o J d b B1 2
M
B dl 1
d+b
o
I
l
N:
B1 2 d a o J d a
2
B1
B B1 B2 M:
BM B1 B2
oJ Jd b d b o 2 2
N:
BN B1 B2
oJ Jd a d a o 2 2
o J d b 2
o J d a 2
Магнетното поле во шуплината е хомогено. Задача 3.7. Околу неограничен спроводник со струја I во означената насока, замислена е контура како на сликата. Да се определи циркулацијата на векторот на магнетната индукција во произволна насока по замислената контура. Циркулацијата на векторот на магнетната индукција се определува со примена на Амперовиот закон, со тоа што се забележува дека замислената линија е составена од 6 дела од кои деловите 1, 3 и 5 се одбрани така да се совпаѓаат со делови од линии на магнетното поле по чија што должина векторите на магнетната индукција и векторот d l ќе се во ист правец и со иста насока (покажано на делот 3), додека деловите 2, 4 и 6 се одбрани така да по целата должина векторите на магнетната индукција и векторот d l ќе се нормални меѓу себе (покажано на делот 6).
6
+
dl
B6
3a
5
a
4
I 2a
dl
1
B dl o I
2
B3
3
l
B1
oI 2 3a
B3
;
o I 2 2a
B5
;
o I 2a
Bdl B dl B dl B dl B dl B dl B dl 1
l
l1
2
l2
3
l3
4
l4
5
l5
6
l6
B1 dl cos 00 B2 dl cos 900 B3 dl cos 00 B4 dl cos 900 B5 dl cos 00 B6 dl cos 900 l1
l2
B1l1 B3l3 B5l5
l3
l4
l5
o I 2 3a o I 2 2a o I 2a o I o I o I o I 6a 2 4a 4 2a 4 2 4 4
l6
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
22
Задача 3.8. Низ голема, тенка, бакарна плоча тече струја со подолжна густина Ј1. Плочата се наоѓа во воздух. Да се определи магнетната индукција во просторот околу плочата. Струјата во ваков бакарен спроводник практично формира голем рамен струен ремен. Линиите на магнетната индукција се прави паралелни со рамнината на плочата, нормални на правецот на векторот на подолжната густина на струјата Ј1. Ако го примениме Амперовиот закон за правоаголна контура P1 P2 P3 P4 P1 која што лежи во рамнина нормална на плочата, се добива :
J1
B B dl o I
B P4
P3
l
P2
P1
Bdlcos 0 Bdlcos 2 Bdlcos 0 Bdlcos 2 I o
P1P2
P2P3
P3P4
P4P1
B P1P2 B P3P4 o J1 P1P2
/ P1P2 P3P4
2BP1P2 o J1 P1P2 B
o J1 2
Магнетното поле околу плочата е хомогено. Задача 3.9. На сликата се прикажани две тенки паралелни бакарни плочи во воздух со струи со иста подолжна густина Јl , а со спротивни насоки. Да се определи магнетната индукција во околината на овие плочи, ако површината им е многу поголема во однос на нивнато растојание.
Jl
M B1 • B2
Jl B B1 B2
Jl
Jl
; B1
N
P B1 • B2
B1 • B2
o J l B2 2
Bp B1 B2 o J l BM BN B1 B2 0
1
2
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
23
4. Магнетен флукс Ако рамна површина со површина S, ограничена со некоја крива линија, се наоѓа во магнено поле со магнетна индукција B, тогаш флуксот на векторот на магнетната индукција низ површината S е наречен магнетен флукс или флукс на вектори на магнетна индукција:
BdS Wb .
(1)
s
Oдбираме произволно насока на обиколување по кривата линија и нормалата на површината ја одредуваме според правилото на десната рака (ако прстите од десната рака се поставени во насоката на обиколување тогаш палецот ги дава правецот и насоката на нормалата на површината). Магнетниот флукс е скаларна величина.
На елементарна површина одговара елементарен флукс d B dS . Ако под симболот S подразбираме елементарна површина која што ја пребришал некој спроводник при своето движење, тогаш под симболот Ф ќе подразбираме флукс низ пребришаната површина. Доколку во спроводникот тече струја тогаш насоката на обиколување по S ја одбираме во насоката на течење на струјата низ спроводникот кога тој се наоѓа во крајната положба т.е одкога ја пребришал површината. Законот за конзервација на флуксот гласи: флуксот на векторот на магнетната индукција низ било која просторно затворена површина е нула, т.е. магнетното поле е безизворно.
s
BdS 0 .
(2)
Од овa следува дека флуксот низ некоја површина не зависи од обликот на површината, туку од контурата на која што се наслонува таа површина. Работата која што ја вршат електромагнетните сили при движењето на еден спроводник или на струјно коло може да се изрази и преку магнетниот флукс:
dAF I d I dAF F dl I I d
dAM M d I d
(3)
d FI I dl dl
M I
d d
N
(4)
Nm (5)
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
24
Задача 4.1. За следните положби на кружното коло кое се наоѓа во хомогено магнетно поле со индукција B , да се одреди магнетниот флукс низ површината на тоа коло ако системот се наоѓа во воздух. Решение:
+
R
B
n
B BdS B dS cos 00 B S B R 2 .
а)
s
B
б)
s
n
B
BdS B dS cos B S cos . s
B
s
n
B
в)
BdS B dS cos 0 . s s 2
Задача 4.2. Да се одреди магнетниот флукс низ правоаголна контура со положба и димензии дадени на сликата, кој што потекнува од неограничен праволиниски спроводник низ којшто тече струја I. Системот се наоѓа во воздух. Решение: I
n
dS
+
c
Bx x 0
a
dx x
b
Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини. Флуксот низ елементарната dS површина (одбрана паралелна со неограничениот спроводник бидејќи само во точки на исто растојание од спроводникот векторот на магнетна индукција којшто го создава струјата I е константен по правец, насока и интензитет) ќе е:
d Bx dS Bx dS cos Bx dS .
(4.2.1)
Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на елементарна површина е ист и се менува според функцијата Bx
o I , а елементарната површина е 2 x
dS c dx , тогаш вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура е: a b Ic dx Ic a b . BdS o o ln 2 x 2 a S a
o Ic a b ln Wb . a 2
(4.2.2)
(4.2.3)
Задача 4.3. Двоспроводна линија составена од два паралелно поставени многу долги спроводници обележени како 1 и 2 и правоаголна контура лежат во иста рамнина во меѓусебна положба дадена на сликата. Да се оодреди магнетниот флукс низ контурата, ако низ линијата тече струја I и системот се наоѓа во воздух.
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
0=410-7 H/m
I
a=20 cm l
b=10 cm c=20 cm
25
I
B1x B2 x
n
+
dS
l=1 m I=50 A
1
2 dx
x a
b
c
x
Решение: Секој од спроводниците во двоспроводната линија создава свое магнетно поле во просторот со соодветни вектори на магнетна индукција B1x и B2 x . Решението на проблемот ќе го добиеме со примена на суперпозицијата на магнетните флуксеви коишто ги создаваат секој од спроводниците во двоспроводната линија поединечно.
1 2 .
(4.3.1)
Правоаголната контура ја замислуваме составена од елементарни површини. Флуксот низ елементарната површина dS l dx од секој од спроводниците ќе е:
I d 1 B1x dS B1x dS cos 00 o l dx . 2 x o I d 2 B2 x dS B2 x dS cos 00 l dx . 2 a b c x
(4.3.2) (4.3.3)
Вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура ќе е:
d 1 d 2 S
S
a b
a
o Il dx a b o Il d a b c x , 2 x 2 a b c x a
o Il a b a b c a b . ln ln 2 a a b c a
o Il a b b c 81107 ln ac 2
Wb .
(4.3.4)
(4.3.5)
Задача 4.4. Правоаголна контура со страни a и b лежи во иста рамнина со неограничено долг праволиниски спроводник, како што е покажано на сликата. Да се одреди флуксот на векторот на магнетната индукција низ контурата, ако низ спроводникот тече струја I во означената насока и I системот се наоѓа во воздух. Решение: Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини. Ако интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка на елементарна површина е ист и се менува според
b m
a
функцијата Bx
o I , а елементарната површина е 2 x
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
26
dS b dx тогаш флуксот низ елементарната површина поставена од десната страна на спроводникот ќе е:
I d Bx dS Bx dS cos 00 o b dx . 2 x
(4.4.1)
I
b
Bx n
Bx n
m
m 0
dS
x
+
dx x
a
Вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура ќе е составен од магнентниот флукс низ делот од правоаголникот од левата страна со страници m и b, флуксот низ делот на правоаголникот од десната страна со страници m и b (тие два флукса се еднакви но со спротивен знак и ќе дадат резултантен флукс еднаков на нула) и од флуксот низ преостанатиот дел од правоаголникот од десната страна кој што е обоен портокалово и ќе го претставува вкупниот флукс низ правоаголната површина: m
m
am
0
0
m
d Bx dS cos Bx dS cos 0 S
0
m o Ib o Ib o Ib a m dx Bx dS cos 0 dx dx 2 x 2 x 2 m x 0 0 m
o Ib a m dx o Ib a m ln Wb m 2 m x 2
(4.4.2)
Задача 4.5. Да се одреди магнетниот флукс низ правоаголна контура ABCD со страни a и b кој потекнува од магнетното поле што го создава неограничен праволиниски спроводник низ кој тече струја I во означената насока. Meѓусебната положба на спроводникот и контурата е дадена на сликата. Праволинискиот спроводник е паралелен со рамнината во која што лежи правоаголната контура. Средината е воздух. Решение:
I
Замислуваме дека правоаголната контура е составена од елементарни површини dS b dx . Интензитетот на векторот на магнетната индукција во секоја точка од просторот се менува според функцијата y I Bx o . Векторот на магнетната индукција d1 2 x •C и нормалата на елементарната површина по a должината на целата правоаголна површина d D • b C’ меѓу себе зафаќаат различен агол, а и • интензитетот на векторот на магнетната •B индукција се менува за секоја елементарна површина. Заради математичката сложеност A • Bx на решавањето на ваквиот проблем ќе го • искористиме сознанието од законот за B’ x конзервација на флуксот дека магнетниот флукс е ист низ површини наслонети на иста
Одбрани решени задачи од Основи на електротехника 2
27
контура, па на контурата ABCD покрај правоаголната површина S1 ќе наслониме уште една површина S2 = AB’C’D+CC’B’B’+CDC’+BAB’ и ќе го одредиме магнетниот флукс низ просторно затворената површина S= S1+S2 (која што по дефиниција има нормали насочени нанадвор од неа). Поврѓината AB’C’D лежи во иста рамнина со праволинискиот спроводник.
B dS x
s
S1
Bx dS Bx dS 1 2 0
1 2 .
S2
(4.5.1)
Значи ако го одредиме флуксот низ површината S2 всушност сме го одредиле магнетниот флукс низ бараната површина S1. Магнетниот флукс низ површината S2 е:
2 Bx dS s2
'
'
Bx dS cos 00 '
'
AB C D
'
AB C D d1
Bx dS d
Bx dS cos '
CC B B
2
Bx dS cos
CDC
'
2
BAB
Bx dS cos '
o I Ib d b dx o ln 1 , каде d1 a 2 d 2 2ad cos . 2 x 2 d
2
(4.5.2)
Вкупниот магнетен флукс низ површината на правоаголната контура ќе е:
1 2
o I1b d1 ln 2 d
Wb .
(4.5.3)
Задача 4.6. Правоаголна контура со страни a и b и неограничено долг праволиниски спроводник се наоѓаат во положба дадена на сликата. Праволинискиот спроводник е паралелен со рамнината во која што лежи правоаголната контура. Страните со должина b на правоаголната контура се на растојанија c и d (c
View more...
Comments
