Etapa 1 Sistemas Dinamicos 201527 16

ETAPA 1 (SISTEMAS DINAMICOS 201527_16)

WILMER FABIAN SOSA ZEA 1.052.383.238

INGENIERO JUAN CARLOS AMAYA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” CEAD DUITAMA 2016 INGENIERIA ELECTRONICA “ECBTI”

INTRODUCCION

En muchos campos podemos encontrar la Ingeniería de Control. No podemos desconocer la importancia que tiene hoy en día el control automático en el mundo tecnológico, especialmente en el campo industrial. Una herramienta importantísima en este aspecto es la aplicación que las matemáticas tienen y la facilidad que produce su aplicación, como lo veremos en la solución del problema planteado en este Trabajo colaborativo. Sin embargo no podemos desconocer que ganar habilidad en la solución de problemas no es un campo fácil de asumir. Se requiere mucho estudio y habilidad para visualizar previamente los pasos que se deben seguir, de tal manera que la solución buscada sea coherente y sobre todo bien fundamentada. La solución de esta Actividad nos permitirá introducirnos en el campo de la solución de problemas, propiamente en el campo de la ingeniería de control. Es una oportunidad para aprender y ganar destrezas en el manejo de las técnicas y métodos utilizados por este campo de la ingeniería, y de esta manera proponer soluciones en casos prácticos.

OBJETIVOS GENERAL Presentar un informe donde se muestre el análisis de circuitos mediante un modelamiento matemático basándonos en el análisis de sistemas dinámicos. ESPECIFICOS 

Conocer los principales conceptos que actualmente dominan Los Sistemas de Control identificando sus elementos.

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Desarrollar destreza en el desarrollo de ejercicios donde pueda ejercitar la interpretación y análisis del diseño de los sistemas dinámicos.

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Resolver problemas que involucren el análisis y contextualización de sistemas de control.

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Adquirir una panorámica sobre la evolución histórica que han experimentado los sistemas de control y el uso apropiado de las herramientas que ofrece el mercado en las diferentes aplicaciones.

GLOSARIO DE CONCEPTOS CONOCIDOS 

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Frecuencia: es una magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico. Para calcular la frecuencia de un suceso, se contabilizan un número de ocurrencias de este teniendo en cuenta un intervalo temporal, luego estas repeticiones se dividen por el tiempo transcurrido. Según el Sistema Internacional (SI), la frecuencia se mide en hercios (Hz), en honor a Heinrich Rudolf Hertz. Espacio de estados: En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Estabilidad absoluta: la variable vuelve al punto de consigna a un valor estable después de una perturbación, sin importar el tiempo que esté oscilando hasta anularse. Es decir, los criterios correspondientes no indican lo próximo que esté el sistema de la inestabilidad. Modelamiento Matemático: En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad. Diagrama de Bloques: Es una representación gráfica utilizada para describir la manera como están interconectados e interactúan los diferentes elementos de un sistema. Sensor: Es un dispositivo capaz de transformar una magnitud física como presión, caudal, temperatura, etc. en una señal eléctrica. -ident (MATLAB): Sistema de identificación de la caja de herramientas, proporciona funciones de MATLAB, Simulink bloques, y una aplicación para la construcción de modelos matemáticos de sistemas dinámicos a partir de datos de entrada - salida medidos. Te permite crear y utilizar modelos de sistemas dinámicos no está modeladas fácilmente a partir de primeros principios o especificaciones. Puede utilizar los datos de dominio de tiempo y el dominio de la frecuencia de entrada-salida para identificar modelos de espacio de estado, funciones de transferencia de tiempo discreto, o de tiempo continuo y modelos de procesos. Sistema: Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico.

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Sistema de control: Es un conjunto de dispositivos encargados de implementar ciertas estrategias con el fin de lograr un resultado esperado.

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Sistema multivariable: Es un sistema que se caracteriza por poseer un gran número de entradas y de salidas.

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Sistema no lineal: Es cualquier sistema físico que no pueda ser representado mediante ecuaciones diferenciales o de diferencias de primer orden. Constante de tiempo: Es el valor de tiempo propio de un sistema, el cual representa la rapidez con la cual este puede responder ante cambios en su entrada.

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Ecuaciones diferenciales: Son ecuaciones que contienen las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes. Estas ecuaciones son utilizadas para representar sistemas en tiempo continuo.

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Estabilidad: Es una noción que describe si un sistema es capaz de seguir un comando de entrada, o en general, si dicho sistema es útil.

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Linealización: Es el proceso mediante el cual, los sistemas no lineales, se llevan a un punto de operación en el cual las características de este sean más o menos lineales, con el fin de encontrar un modelo de representación más sencillo.

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Matriz: Es una colección de elementos arreglados en forma rectangular o cuadrada.

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Observabilidad: Es una condición que expresa el hecho de que las variables de un sistema afectan a alguna de las salidas del mismo.

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Periodo de muestreo: Es el intervalo de tiempo que existe entre cada una de las muestras tomadas de una señal continua.

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Perturbación: Es cualquier tipo de señal que causa una alteración en las señales propias del sistema.

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Señal: Es un ente físico, a través del cual un dispositivo interactúa con su entorno. GLOSARIO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS

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Modelo Box Jenkins: Este método de predicción se basa en el análisis de las propiedades probabilísticas o estocásticas de las series de tiempo económicas en sí mismas, pues una variable Yt puede ser expresada como una función de sus valores pasados, razón por la que algunas veces se les denomina modelos a teóricos, donde no existe relación causal alguna a diferencia de los modelos clásicos de regresión. Modelo Output: En el modelo Input-Output de Leontief se supone que en un sistema económico existen industrias, que proveen a las restantes y además a una demanda externa. Se trata de determinar el nivel correcto de producción. Retardo: Es el intervalo de tiempo que existe entre la aplicación de una entrada a un sistema y la aparición de la salida. Transformada de Laplace: Es una herramienta matemática utilizada para convertir una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el dominio complejo s.

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Diagrama de Bode: Es una gráfica de la magnitud y fase de la función de transferencia de un sistema, en función de la frecuencia, la cual permite determinar la estabilidad del mismo.

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Diagrama de estado: Es una representación gráfica que se construye a partir de las ecuaciones diferenciales de un sistema, con el fin de determinar las variables y las ecuaciones de estado de este.

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Ecuaciones en diferencias: Son ecuaciones utilizadas para representar sistemas en tiempo discreto. Debido a que son más fáciles de programar en un computador que las ecuaciones diferenciales, son empleadas también en la aproximación de estas últimas.

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Error en estado estacionario: Es la diferencia que existe entre la respuesta deseada del sistema y la respuesta obtenida, cuando este ya se ha estabilizado.

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Función de transferencia: Es la transformada de Laplace de la respuesta impulso, cuando las condiciones iniciales son cero. También, se puede expresar como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la entrada, con condiciones iniciales iguales a cero.

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Gráfica de flujo de señal: Es, al igual que los diagramas de bloques, una representación de las relaciones entrada-salida entre las variables de un sistema lineal e invariante en el tiempo. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA

La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. A continuación se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada la corriente aplicada 𝑖𝑖(𝑡) y como variable de salida el voltaje en el condensador 𝑒𝑜(𝑡):

1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial. Datos: El condensador posee una capacitancia C = 1F (faradio) La resistencia es no lineal por lo que su corriente (𝑡) depende de la raíz cuadrada del voltaje, esto es: 𝑖𝑅 (𝑡)=√𝑒0 (𝑡)/𝑅 Donde 𝑅=10 √𝑉/𝐴 Usted y sus compañeros de grupo son designados para encontrar el modelo matemático más preciso posible. Para encontrarlo se ha dividido el problema en tres etapas: Etapa 1: se deberá encontrar el modelo matemático en el dominio del tiempo y analizar la controlabilidad y la observabilidad del proceso. Se deben realizar 5 tareas teóricas y 1 tarea práctica. Teóricas: 1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial. ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN Lluvia de ideas Teniendo en cuenta que el diagrama que describe la máquina es un circuito RC y se hallará su modelo matemático a través de ecuaciones diferenciales es importante definir desde el comienzo las variables que posee el circuito siendo:

(𝑡)= Corriente de entrada del circuito en el dominio del tiempo. 𝑖𝑟 (𝑡)=Corriente en la resistencia en el dominio del tiempo. (𝑡)= Corriente en el capacitor en el dominio del tiempo  Por ley de ohm los voltajes en paralelo son iguales, siendo 𝑒0 (𝑡) = Voltaje de salida que es el mismo voltaje en el capacitor 𝑒𝑐 (𝑡) Entonces 𝑒0 (𝑡)= 𝑣𝑐 (𝑡) Donde 𝑅=10 √𝑉/𝐴 resistencia no lineal C=1 Faradio 

Como se debe representar el circuito con ecuaciones diferenciales es necesario conocer como es el comportamiento de la corriente y/o del voltaje en los elementos del circuito.

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La corriente en el capacitor en el tiempo está definido como el valor del capacitor por la rata de cambio del voltaje en el capacitor.

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Y la corriente en la resistencia por definición del ejercicio es la raíz cuadrada del voltaje de salida sobre R.

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Teniendo definido las variables del circuito examinamos si es mejor usar el sistema de mallas o nodos.

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Usaremos la ley de nodos que está definida así: 𝛴 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝛴 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎.

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Una vez definido esto se hacen los reemplazos pertinentes hasta llegar a una ecuación diferentes donde el coeficiente del término de primer orden sea 1, con esta ecuación diferencial se puede expresar en espacio de estados definiendo x(t) la salida del sistema y en u(t) la entrada del sistema.

Luego 

Aplicando la teoría de espacios de estados se obtendrá el sistema.

DESARROLLO DEL ACTIVIDAD

1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial.

Siendo

𝐶=1𝐹

𝑅=10 √𝑉/𝐴

Definiendo 𝑣𝑅 (𝑡) = 𝑅 ∗ 𝑖𝑅 (𝑡) 𝑖𝑐 (𝑡) = 𝐶 𝑑 𝑣𝑐(𝑡) / 𝑑𝑡 𝑖𝑅 (𝑡) = √𝑒0/𝑅 Siendo 𝑣𝑖 (𝑡) = 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒0 (𝑡) = 𝑣𝑐 (𝑡) 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑜𝑟 Aplicando ley de nodos 𝑖𝑖(𝑡)− 𝑖𝑟(𝑡)=𝑖𝑐(𝑡) 𝑖𝑖(𝑡)= 𝑖𝑐(𝑡)+ 𝑖𝑟(𝑡) La corriente en el capacitor en el tiempo está definida como el valor del capacitor por la rata de cambio del voltaje en el capacitor. 𝑖𝑖(𝑡)= 𝐶𝑑 𝑣𝑐 (𝑡) / 𝑑𝑡+ 𝑖𝑟 (𝑡) Y la corriente en la resistencia por definición del ejercicio es la raíz cuadrada del voltaje de salida sobre R.

𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐶 𝑑 𝑣𝑐 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √𝑒0/𝑅 𝑅 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝑅𝐶 𝑑 𝑣𝑐 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √𝑒0 (𝑡) 𝑑 𝑣𝑐 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √𝑒0 (𝑡) / 𝑅𝐶= 𝑖𝑖 (𝑡) / 𝐶

Ecuación diferencial 𝑑 𝑣 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √𝑒0 (𝑡) /10 ∗ 𝐶 = 𝑖𝑖 (𝑡) / 𝐶 𝐸𝑐 (1) 2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. a. (𝑡)= 𝑣𝑐 (𝑡) 𝑥̇= 𝐴𝑥+ 𝐵𝑢 b. (𝑡)= 𝑖𝑖 (𝑡) 𝑦=𝐶𝑥+𝐷𝑢 c. (𝑡)= 𝑣𝑐 (𝑡)  Usando la ecuación Ecuación (1) 𝑥̇ (𝑡) + √𝑥 (𝑡)/10 ∗ 𝐶 = 1/𝐶 (𝑡) SIENDO √ (𝑡) = 𝑥 (𝑡)/√𝑥 (𝑡) = 𝑥 (𝑡)/𝑥 (𝑡)1/2 √ (𝑡) = 𝑥 (𝑡) 1−1/2 = 𝑥 (𝑡)1/2 𝑥̇ (𝑡) + 𝑥 (𝑡) / 10 𝐶 ∗ √𝑥 (𝑡) = 1 / 𝐶 𝑢 (𝑡) Si C =1 Entonces 𝑥̇ (𝑡) = −𝑥 (𝑡) / 10√𝑥 (𝑡) = 1 / 𝐶 (𝑡) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Por las ecuaciones (a) y (c) 𝑥 (𝑡) = 𝑦 (𝑡) 𝑠𝑖𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

3. Cuando la entrada al sistema es constante 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐼𝑖 = 10𝐴

El sistema se estabiliza en un punto de operación 𝑒0 (𝑡) = 𝑉0 (𝑡) = 𝑒0 = 1𝑣 Exprese el modelo matemático linealizado mediante una ecuación diferencial. Desarrollo Usando la ecuación. 𝑑 𝑣𝑐 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √𝑒0 (𝑡) / 10 ∗ 𝐶 = 𝑖𝑖 (𝑡) 𝐶 Por ley de OHM los voltajes en paralelo son iguales 𝑣 (𝑡)= 𝑉0 (𝑡) Si 𝑉0 (𝑡) = 1𝑉 𝑖𝑖 (𝑡) = 10𝐴 Remplazando en la ecuación 𝑑 𝑉0 (𝑡) / 𝑑𝑡 + √1/10 = 𝑖𝑖 (𝑡) 𝑑 𝑉0 (𝑡) / 𝑑𝑡 + 0,1 = 𝑖𝑖 (𝑡) 𝐸𝑐 (2) 4. Exprese el modelo matemático linealizado en el espacio de estados mediante variables de estados. Usando la ecuación Ecuación (2) 𝑑 𝑉0 (𝑡) / 𝑑𝑡 + 0,1 = 𝑖𝑖 (𝑡) 𝐸𝑐 (2) (𝑡) = 𝑉0 (𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑖𝑖(𝑡) 𝑦 (𝑡) = 1 (Por que 𝑉0 (𝑡) = 𝑦 (𝑡) = 1) 𝑥̇= 𝐴𝑥+𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥+ 𝐷𝑢 Despejando 𝑑 𝑉0 (𝑡) / 𝑑𝑡 = −0,1 + 𝑖𝑖 (𝑡) 𝑥̇ (𝑡) = −0,1 𝑥 (𝑡) /𝑥 (𝑡) ̇+ 𝑢 (𝑡) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 Usando la simplificación común de eliminar 0 y elegir C = 1 reduce las ecuaciones a:

𝑦 (𝑡) = 1𝑥 (𝑡) / 𝑥 (𝑡) 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠

5. Determine la controlabilidad y la observabilidad del sistema lineal. 𝑥̇= 𝐴𝑥+ 𝐵𝑢 Analizando la controlabilidad 𝑥̇ (𝑡) = −0,1 𝑥 (𝑡) ∗ (𝑡) 𝑦 (𝑡) = 𝑥 (𝑡) Constantes A = -1

B=1

C=1

D=0

Modelo de espacio de estados 𝑥̇ (𝑡) = 𝐴𝑥 (𝑡) + 𝐵𝑢 (𝑡) 𝑦 (𝑡) = 𝐶𝑥 (𝑡) La matriz de controlabilidad está dada por: 𝑅= [𝐵 𝐴𝐵 𝐴2𝐵……𝐴𝑛−1] 𝐴= [−0,1] 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑛𝑥𝑛) 𝐵= [1] 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 (𝑛𝑥1) 𝐶= [1] 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 (1𝑥𝑛) 𝐷= [0] n= orden El sistema es controlable si la matriz de controlabilidad tiene un rango máximo Siendo n orden de la ecuación diferencial (para este caso es 1) R=1 (Usando Matlab)

Ctrb (A, B) = 1

Observabilidad

O = 1 (Usando Matlab

Obsv (A, C) = 1

“EL SISTEMA ES CONTROLABLE Y OBSERBABLE”

6. Prácticas Utilice MATLAB® para simular el sistema no lineal y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑖𝑖 (𝑡) = 𝐼𝑖 = 10A, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 10 a 11A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos. Solución practica En primer lugar abrimos Matlab y el archivo .m cargamos los valores de controlabilidad y observabilidad del sistema y corremos el programa.

Nos aparecen los valores en Matlab.

Abrimos el entorno de simulink de matlab y abrimos nuestro archivo .mdl. Nos aparee la representación de la ecuación diferencial obtenida en el punto del trabajo se diseña e ingresan los parámetros de la ecuación diferencial.

Obtenemos la gráfica de la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑖 (𝑡)=𝐼𝑖= 10A, durante los primeros 2 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario, esto es, la corriente de entrada cambia de 10 a 11A durante 3 segundos más. De manera que la simulación dura 5 segundos. Se puede observar la gráfica en el Scope 1 donde se encuentra en primer lugar la gráfica del comportamiento de entrada y en segundo lugar el comportamiento de salida del sistema no lineal.

Scope 2

Scope 3

CONCLUSIONES 

El anterior trabajo nos mostró de una forma analítica como resolver circuitos basándonos en modelamiento matemático, y otras herramientas de análisis matemático como las ecuaciones diferenciales y el diagrama de bloques, los cuales nos permiten diferenciar y resolver los distintos problemas que se plantean como los sistemas de control.

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Este taller nos permite visualizar la importancia que tienen las herramientas matemáticas en la solución de problemas que de otra manera serían muy difíciles.

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Fue muy importante ya que se pudo observar como los sistemas de control aportan al desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver problemas en todas las disciplinas que está involucrado el hombre.

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El manejo las técnicas ingenieriles para comprender y determinar la relación existente entre una variable de entrada, como en este caso el voltaje aplicado por la fuente eléctrica, sobre una variable de salida, es un aspecto vital que facilita mucho la solución de un problema y nos garantiza obtener un resultado altamente confiable.

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La aplicación de cualquier método para resolver este tipo de problemas nos lleva siempre a la misma solución, pero dependiendo de las habilidades matemáticas que el ingeniero posea, la elección de uno de ellos puede facilitar o complicar su trabajo.

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Es importante para nosotros ver como los sistemas de control aportan al desarrollo de las ciencias y contribuye a resolver problemas en todas las disciplinas que está involucrado el hombre.

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Los sistemas dinámicos están regidos por características en su diseño mediante bloques funcionales de integración media y el análisis con características reales de dichos bloques.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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MÓDULO SISTEMAS DINÁMICOS Diego Fernando Sendoya Losada Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD.

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http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/

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http://www.prometeo.unicauca.edu.co/manzamb/Teoria%20y%20Dinamica %20de%20Sistemas/Archivos/Materiales/REE-SIMUIS.htm.

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http://lc.fie.umich.mx/~jrincon/curlineales2.pdf

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http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_de_estados.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_bloques_de_modelo_matem%C3 %A1tico

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http://upcommons.upc.edu/pfc/bitstream/2099.1/3330/5/34059-5.pdf