ESTUDO DOS LOGARITMOS

February 17, 2019 | Author: professor kaneko | Category: Logarithm, Decibel, Sound, Equations, Numbers
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1 Professor Cláudio Kaneko

LOGARITMOS

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ESTUDO DOS LOGARITMOS

LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal



x

que b = a. Ou seja:

d) Não existe log 2 (-8) , pois não existe x real para que x se tenha 2 = -8. e) Não existe log 5 0, pois não existe x real para que se x tenha 5 = 0.  Conclusão: o logaritmando não pode ser negativo e nem igual a zero. a > 0 C.E. :  0 < b ≠ 1

x

log b a = x ⇔ b = a Onde: a → logaritmando ou antilogaritmo b → base x → logaritmo Exemplo:

 Determine:

a) log 2 8

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Exemplo:



Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x x 3 log 2 8 = x ⇔ 2 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 3 Portanto, log 2 8 = 3

 Considerando a definição e as condições de existên -

cia de um logaritmo, calcule: a) log 5 1

Resolução:

b) log 3 9

Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x x 2 log 3 9 = x ⇔ 3 = 9 ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 2 Portanto, log 3 9 = 2 

Conclusão: a base de um logaritmo não pode ser  negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.



Representando por x o valor procurado, temos: x x 0 log 5 1 = x ⇔ 5 = 1 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 0 Ou seja: log 5 1 = 0 b) log 3 3

Resolução:

APLICAÇÕES

01. Calcule: a) log 2 16 b) log 3 243 c) log 7 (1/49) d) log 10 1000

e) log 2 2 f) log 17 1 g) log (5/3) 0,6

Representando por x o valor procurado, temos: x 1 log 3 3 = x ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 1 Ou seja: log 3 3 = 1 5

c) log 2 2

Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x 5 log 2 2 = x ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 5 5 Ou seja: log 2 2 = 5 5

02. Calcular o valor de x na igualdade: log 9 3 27 = x. 03. Determine o valor de: 3

a) log 5 5 5

c) log 4

d) 5 log5 25 2

Resolução:

2 d) log 0,04 0,2

b) log 0,2 0,04

2

5 log5 25 = 5 = 25

04. O valor de log 8 3 16 é: a) 4/9 

b) 4/3

c) 1/3

Analisando o expoente temos: 2 log 5 25 ⇔ log 5 5 ⇔ log 5 25 = 2 Substituindo o valor encontrado temos:

d) 3

Ou seja: 5 log5 25 = 25

e) 4

CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA

A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele cer alguns critérios para a existência de um logaritmo.

Exemplos:

a) Não existe log  –3 27, pois não existe x real para que x se tenha (-3) = 27. b) Não existe log 0 7, pois não existe x real para que se x tenha 0 = 7. c) Não existe log 1 3, pois não existe x real para que se x tenha 1 = 3.

A partir dos exemplos acima é possível observar  que: log b 1 = 0

n

log a a = n

log a a = 1

b logba = a

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APLICAÇÕES

Então:

05. Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo

log b a = log b c ⇔ a = c

de 1/8 na base 4? Exemplo:

06. Calcular com o auxílio da definição: a) log 1 27

b) log 3

 Sendo log

3

27

Resolução:

08. Calcule os seguintes logaritmos: f) log16 3 8

a) log 1 3 3 7 3



PROPRIEDADES OPERATÓRIAS

Os logaritmos apresentam algumas proprieda des que tornam fundamental a sua utilização, principal mente na simplificação de cálculos. Dentre elas teremos:

P1) Logaritmo de Um Produto

9

b) log 7

g) log

49

1

3

5

log a (M . N) = log a M + log a N

25

c) log 125 0,6

h) log 2 16 2

P2) Logaritmo de Um Quociente log a (M : N) = log a M - log a N

27

   

d) log1,4  2 + e) log 13 12

93    125 

i) log100 0,001

144 169

7

h) log 3 (1/81) i) log 0,01 1000 j) log 0,01 0,0001

d) log 4

k) log log 0,0625 (1/1024)

2

  12 2     3 2. 2 4     

l) log 5 

e) log 10 0,001 f) log 5 625 g) log 7 343 2

APLICAÇÕES

14. Se log a b = 1, então calcular log a (a . b).

 

c) 10

d) 1

e) 16

11. Calcule a soma S em cada caso: 1 a) S = log 2 8 + log 3 + log 5 5 9 b) S = log100 0,1 + log 25 3 5 - log 5



log 3 = b.

 

c) S = log 3 0,6 - log

a) log 3 (4 . 5) = log 3 4 + log 3 5 b) log 2 3 + log 2 7 = log 2 (3 . 7) c) log 5 (10 : 5) = log 5 10 - log 5 5 d) log 3 27 - log 3 9 = log 3 (27 : 9) 3 e) log 2 8 = 3 . log 2 8 2 f) 2 . log 5 125 = log 5 125

13. Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e

 é: 10. O valor de log 4   log 4   16   b) 1/2

k

log a n = k . log a n Exemplos:

a) log 2 32 b) log 3 81 c) log 25 125

a) 4

P3) Logaritmo de Uma Potência

 j) log 1 77 7

09. Calcule o valor dos logaritmos abaixo:

10

2

2

0,001 + log 1 2 8

12.(IME-RJ) Calcule o valor do logaritmo de 625 na base 53 5 . 

x = log 3 9, encontre o valor de x.

log 3 x = log 3 9 ⇔ x = 9

9

07. Determinar o valor de base n que verifica a igualda de log n 16 = 4

3

IGUALDADE ENTRE LOGARITMOS

Dois logaritmos na mesma base serão iguais, se, e somente se seus logaritmandos também forem iguais.

15. Se log 2 b – log 2 a = 5, então determinar o quociente b / a.

16.(Fuvest-SP) Resolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremos obter: a) x = ± 4 b) x = ± 1/4

c) x = 4 d) x = 1/4

e) x = ( 8 )

2/3

17. Considerando log a 2 = 0,69 e log a 3 = 1,10, calcular  log a 4 12 .

18. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular: a) log 8 g) log 0,0001 b) log 12 h) log 200 c) log 72 i) log 3000 d) log 2

j) log 3 60

e) log 108 f) log 5

k) log 4 1,2 0,5 l) log (0,54)

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Matemática – Logaritmos – Professor Cláudio Kaneko 19. Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.

27. Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostre que colog 3 2 = log 1/3 2.

20.(FAAP-SP) Ache y real sabendo-se que:

28. Qual é a base de um sistema logarítmico, onde o

log 2 y = log 2 3 + log 2 6 – 3 log 2 4

logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é

21.(Objetivo-SP) Se log x y = 2, então log x (xy) é: a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

22.(FGV-SP) Considerando o valor de log

2 = 0,3010 e log 10 3 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor  de log 10 0,6 será igual a: a) 1,7781 d) – 0,2219 b) – 0,7781 e) 0,2219 c) 0,7781 10

23.(PUC-SP) O valor de log 0,04 125 é igual a: a) –2/3

b) –4/3

c) –3/2

d) 2/3

log 5

ab

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

São equações que apresentam a incógnita localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo.

Exemplos:

a) log 3 (log 2 x) = 2 b) log x (x + 6) = 2 As equações logarítmicas podem se apresentar  em dois tipos básicos que são: Aquelas em que aplicaremos apenas a defini-

e) 4/3

24.(Fuvest-SP) Sabendo-se que a2 + b2 = 70ab, calcule

(a + b)2



2 . 2

em função de m = log 5 2 e n = log 5 3.

1º TIPO ção de logaritmo para sua resolução. Exemplos:

 Determinar o conjunto solução das seguintes equa -

ções logarítmicas: a) log 5 (log 2 x) = 0

Resolução:

log 2 x + log 2 y = 1 tem so 4x - 3y = 5

25.(PUCCAMP-SP) O sistema  lução, tal que x + y seja igual a: a) 3 b) 1 c) –11/7 

d) 41/12

MUDANÇA DE BASE log a b

mudando para base “c”

Aplicando a definição, duas vezes, obtemos: log 5 (log 2 x) = 0

C.E: x > 0

0

log 2 x = 5 log 2 x =1 1 x = 2 ⇔ x =2 S={2}

log c b log c a

Exemplo:

b) log x (x + 6) = 2 Inicialmente aplicaremos a definição de logarit mo e, em seguida, resolveremos a equação do 2º grau.

Resolução:

 Mudar para base “2” os logaritmos:

log x (x + 6) = 2

a) log 4 5

C.E: x + 6 > 0 ⇔ x > -6

Resolução: log 4 5 =

1≠x>0 log 2 5

2

x =x+6 2 x –x–6=0 a = 1; b = -1 e c = -6 2 ∆ = (-1) – 4 . 1 . (-6) = 25 1 ± 5  x' = - 2 (não convém, pois contraria a C.E.) x=  2  x" = 3

log 2 4

b) log 1/8 9

Resolução log 1 9 = 8

log 2 9 log2 (1/8)

S={3} 

COLOGARITMO



colog a b = - log a b

29. Resolver as equações: a) log 1/2 (log 9 x) = 1 b) log 3 (2x – 1) = 4

Exemplo:

a) colog 2 8 = - log 2 8 = -3 b) colog 3 1/9 = - log 3 1/9 = -(-2) = 2 

APLICAÇÕES

30. Resolver a equação log 2 [log x (x + 2)] = 1

APLICAÇÕES

26. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule: a) log 6 4

c) log 3 12

e) colog 3 108

b) log 6

d) colog 72

f) colog 15

-1

31. Determine o conjunto verdade das seguintes equa ções logarítmicas: a) log 7 (log 2 x) = 0 b) log 3 (log 5 x) = 1 c) log 2 (x + 4) = 3

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Matemática – Logaritmos – Professor Cláudio Kaneko Aquelas em que aplicaremos as proprie -

QUESTÃO 25: A

2º TIPO dades do logaritmo para a resolução.

QUESTÃO 26: a) 0,7736

Exemplo:

e) –0,6777

 Determinar o conjunto solução da equação logarítmi ca: log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2

Resolução:

Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa ao logaritmo do produto, ou seja: log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2 log 3 [(x + 7) . (x – 1)] = 2 C.E: x + 7 > 0 ⇔ x > -7 x–1>0⇔x>1

b) 0,3890

c) 0,3597

d) –1,8572

f) 1,1761

QUESTÃO 27: -0,630

QUESTÃO 28: 1/2

QUESTÃO 29: a) 3 b) 41

QUESTÃO 30: 2

QUESTÃO 31: a) 2 QUESTÃO 33: 2

b) 125

QUESTÃO 32: 3

c) 4

QUESTÃO 34: 4

QUESTÃO 35: 1

 AS MARAVILHAS DA MATEMÁTICA!

2

(x + 7) . (x – 1) = 3 2 x – x + 7x – 7 – 9 = 0 2 x + 6x – 16 = 0 a = 1; b = 6 e c = -16 ∆ = 100 - 6 ± 10 x' = - 8 (não convém) x=  2 x" = 2

ACÚSTICA E LOGARITMO

S={2} 

APLICAÇÕES

32. Resolver a equação log 2 (x – 1) + log 2 (x – 2) = 1. 33. Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica a seguir log x (3x + 4) = log x (4x + 2)? 34. Resolver a equação log 4 x + log 4 (x + 12) = 3. 35. Encontre o conjunto solução da equação abaixo: log 3 (2x + 1) + log 3 (x + 8) = 3



GABARITO

QUESTÃO 01: a) 4

b) 5

c) –2

d) 3

e) 1

f) 0

g) -1

QUESTÃO 02: x = 5/4 QUESTÃO 03: a) 3/2

b) 2

c) –1/3

QUESTÃO 04: A

QUESTÃO 05: 2 e –3/2

QUESTÃO 06: a) –3/4

b) 2

QUESTÃO 07: n = 2

QUESTÃO 08: a) –3/4 g) –1/6

b) 1/3 c) –1/3 i) –3/4 j) –8/7

h) 9/2

QUESTÃO 09: a) 5 h) –4

i)-3/2

j) 2

b) 4 c) 3/2 k) 5/2 l) 0

d) 1/4

QUESTÃO 10: D QUESTÃO 11: a) 3/2 QUESTÃO 12: 3

QUESTÃO 13: a + b

QUESTÃO 15: 32

QUESTÃO 16: C

QUESTÃO 18: a) 0,9030 e) 1,0167 k) 0,0198

d) 1/2

d) 3

QUESTÃO 19: 3a + b

QUESTÃO 20: 9/32 QUESTÃO 23: C

N = 10 . log

e) –2

e) –3

b) –14/6

f) 1/4

f) 4

g) 3

c) 41/6

QUESTÃO 14: 2 QUESTÃO 17: 0,62

b) 1,0791 c) 1,8572 f) 0,6990 g) –4 h) 2,3010 i) 3,4771 l) –0,13385

QUESTÃO 22: D

  A ciência, nas suas várias ramificações, foi beneficiada pelo advento do logaritmo. A título de exemplo, descreveremos uma dessas aplicações.   Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som apresenta características como: altura, intensidade e timbre.  No caso da intensidade (I), que representa a potência de uma onda sonora por unidade de área (W/m 2 ), encontraremos detalhes interessantes como é o caso da limitação auditiva.  Para  perceber a on da sonora, o tímpano hu mano neces   sita que ela tenha, no mí  nimo, uma in tensidade I 0 = 10-12 (W/m2  ), chamado de limiar de audibilidade e, no máximo, de 1 (W/m 2  ), chamado de limiar  da dor. O nível sonoro (N) representa a comparação entre a intensidade sonora (I) e o limiar da audibilidade (I 0  ). A sua unidade usual chama-se decibel (dB).   A grandeza nível sonoro (N) obedece a uma escala logarítmica, sendo definida por: I I0

  É possível relacionar esses conceitos com diversas  situações do cotidiano. - O ouvido humano apresenta lesões irrecuperáveis  sempre que é exposto, por um determinado tempo, a níveis sonoros (N) superiores a 80 (dB).  As unidades bel (B) e decibel (dB) representam uma homenagem ao físico escocês Alexander Graham Bell  (1847 – 1922).

d) 0,1505 j) 0,5927

QUESTÃO 21: D QUESTÃO 24: 3m + 2n

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