1 Professor Cláudio Kaneko
LOGARITMOS
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ESTUDO DOS LOGARITMOS
LOGARITMO DE UM NÚMERO REAL Sejam a e b números reais positivos e b ≠ 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal
x
que b = a. Ou seja:
d) Não existe log 2 (-8) , pois não existe x real para que x se tenha 2 = -8. e) Não existe log 5 0, pois não existe x real para que se x tenha 5 = 0. Conclusão: o logaritmando não pode ser negativo e nem igual a zero. a > 0 C.E. : 0 < b ≠ 1
x
log b a = x ⇔ b = a Onde: a → logaritmando ou antilogaritmo b → base x → logaritmo Exemplo:
Determine:
a) log 2 8
CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Exemplo:
Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x x 3 log 2 8 = x ⇔ 2 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 3 Portanto, log 2 8 = 3
Considerando a definição e as condições de existên -
cia de um logaritmo, calcule: a) log 5 1
Resolução:
b) log 3 9
Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x x 2 log 3 9 = x ⇔ 3 = 9 ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 2 Portanto, log 3 9 = 2
Conclusão: a base de um logaritmo não pode ser negativa, não pode ser igual a zero nem igual a um.
Representando por x o valor procurado, temos: x x 0 log 5 1 = x ⇔ 5 = 1 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 0 Ou seja: log 5 1 = 0 b) log 3 3
Resolução:
APLICAÇÕES
01. Calcule: a) log 2 16 b) log 3 243 c) log 7 (1/49) d) log 10 1000
e) log 2 2 f) log 17 1 g) log (5/3) 0,6
Representando por x o valor procurado, temos: x 1 log 3 3 = x ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 1 Ou seja: log 3 3 = 1 5
c) log 2 2
Resolução: Representando por x o valor procurado, temos: x 5 log 2 2 = x ⇔ 2 = 2 ⇔ x = 5 5 Ou seja: log 2 2 = 5 5
02. Calcular o valor de x na igualdade: log 9 3 27 = x. 03. Determine o valor de: 3
a) log 5 5 5
c) log 4
d) 5 log5 25 2
Resolução:
2 d) log 0,04 0,2
b) log 0,2 0,04
2
5 log5 25 = 5 = 25
04. O valor de log 8 3 16 é: a) 4/9
b) 4/3
c) 1/3
Analisando o expoente temos: 2 log 5 25 ⇔ log 5 5 ⇔ log 5 25 = 2 Substituindo o valor encontrado temos:
d) 3
Ou seja: 5 log5 25 = 25
e) 4
CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA
A partir dos exemplos abaixo, vamos estabele cer alguns critérios para a existência de um logaritmo.
Exemplos:
a) Não existe log –3 27, pois não existe x real para que x se tenha (-3) = 27. b) Não existe log 0 7, pois não existe x real para que se x tenha 0 = 7. c) Não existe log 1 3, pois não existe x real para que se x tenha 1 = 3.
A partir dos exemplos acima é possível observar que: log b 1 = 0
n
log a a = n
log a a = 1
b logba = a
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APLICAÇÕES
Então:
05. Qual é o logaritmo de 49 na base 7? E o logaritmo
log b a = log b c ⇔ a = c
de 1/8 na base 4? Exemplo:
06. Calcular com o auxílio da definição: a) log 1 27
b) log 3
Sendo log
3
27
Resolução:
08. Calcule os seguintes logaritmos: f) log16 3 8
a) log 1 3 3 7 3
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
Os logaritmos apresentam algumas proprieda des que tornam fundamental a sua utilização, principal mente na simplificação de cálculos. Dentre elas teremos:
P1) Logaritmo de Um Produto
9
b) log 7
g) log
49
1
3
5
log a (M . N) = log a M + log a N
25
c) log 125 0,6
h) log 2 16 2
P2) Logaritmo de Um Quociente log a (M : N) = log a M - log a N
27
d) log1,4 2 + e) log 13 12
93 125
i) log100 0,001
144 169
7
h) log 3 (1/81) i) log 0,01 1000 j) log 0,01 0,0001
d) log 4
k) log log 0,0625 (1/1024)
2
12 2 3 2. 2 4
l) log 5
e) log 10 0,001 f) log 5 625 g) log 7 343 2
APLICAÇÕES
14. Se log a b = 1, então calcular log a (a . b).
c) 10
d) 1
e) 16
11. Calcule a soma S em cada caso: 1 a) S = log 2 8 + log 3 + log 5 5 9 b) S = log100 0,1 + log 25 3 5 - log 5
log 3 = b.
c) S = log 3 0,6 - log
a) log 3 (4 . 5) = log 3 4 + log 3 5 b) log 2 3 + log 2 7 = log 2 (3 . 7) c) log 5 (10 : 5) = log 5 10 - log 5 5 d) log 3 27 - log 3 9 = log 3 (27 : 9) 3 e) log 2 8 = 3 . log 2 8 2 f) 2 . log 5 125 = log 5 125
13. Determinar o valor de log 6, sabendo que log 2 = a e
é: 10. O valor de log 4 log 4 16 b) 1/2
k
log a n = k . log a n Exemplos:
a) log 2 32 b) log 3 81 c) log 25 125
a) 4
P3) Logaritmo de Uma Potência
j) log 1 77 7
09. Calcule o valor dos logaritmos abaixo:
10
2
2
0,001 + log 1 2 8
12.(IME-RJ) Calcule o valor do logaritmo de 625 na base 53 5 .
x = log 3 9, encontre o valor de x.
log 3 x = log 3 9 ⇔ x = 9
9
07. Determinar o valor de base n que verifica a igualda de log n 16 = 4
3
IGUALDADE ENTRE LOGARITMOS
Dois logaritmos na mesma base serão iguais, se, e somente se seus logaritmandos também forem iguais.
15. Se log 2 b – log 2 a = 5, então determinar o quociente b / a.
16.(Fuvest-SP) Resolvendo-se 3 log x = 2 log 8, iremos obter: a) x = ± 4 b) x = ± 1/4
c) x = 4 d) x = 1/4
e) x = ( 8 )
2/3
17. Considerando log a 2 = 0,69 e log a 3 = 1,10, calcular log a 4 12 .
18. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcular: a) log 8 g) log 0,0001 b) log 12 h) log 200 c) log 72 i) log 3000 d) log 2
j) log 3 60
e) log 108 f) log 5
k) log 4 1,2 0,5 l) log (0,54)
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Matemática – Logaritmos – Professor Cláudio Kaneko 19. Calcule log 24, sabendo que log 2 = a e log 3 = b.
27. Considere log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 e mostre que colog 3 2 = log 1/3 2.
20.(FAAP-SP) Ache y real sabendo-se que:
28. Qual é a base de um sistema logarítmico, onde o
log 2 y = log 2 3 + log 2 6 – 3 log 2 4
logaritmo é 1/2 e o antilogaritmo é
21.(Objetivo-SP) Se log x y = 2, então log x (xy) é: a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
22.(FGV-SP) Considerando o valor de log
2 = 0,3010 e log 10 3 = 0,4771, então poderemos afirmar que o valor de log 10 0,6 será igual a: a) 1,7781 d) – 0,2219 b) – 0,7781 e) 0,2219 c) 0,7781 10
23.(PUC-SP) O valor de log 0,04 125 é igual a: a) –2/3
b) –4/3
c) –3/2
d) 2/3
log 5
ab
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS
São equações que apresentam a incógnita localizada no logaritmando e/ou na base do logaritmo.
Exemplos:
a) log 3 (log 2 x) = 2 b) log x (x + 6) = 2 As equações logarítmicas podem se apresentar em dois tipos básicos que são: Aquelas em que aplicaremos apenas a defini-
e) 4/3
24.(Fuvest-SP) Sabendo-se que a2 + b2 = 70ab, calcule
(a + b)2
2 . 2
em função de m = log 5 2 e n = log 5 3.
1º TIPO ção de logaritmo para sua resolução. Exemplos:
Determinar o conjunto solução das seguintes equa -
ções logarítmicas: a) log 5 (log 2 x) = 0
Resolução:
log 2 x + log 2 y = 1 tem so 4x - 3y = 5
25.(PUCCAMP-SP) O sistema lução, tal que x + y seja igual a: a) 3 b) 1 c) –11/7
d) 41/12
MUDANÇA DE BASE log a b
mudando para base “c”
Aplicando a definição, duas vezes, obtemos: log 5 (log 2 x) = 0
C.E: x > 0
0
log 2 x = 5 log 2 x =1 1 x = 2 ⇔ x =2 S={2}
log c b log c a
Exemplo:
b) log x (x + 6) = 2 Inicialmente aplicaremos a definição de logarit mo e, em seguida, resolveremos a equação do 2º grau.
Resolução:
Mudar para base “2” os logaritmos:
log x (x + 6) = 2
a) log 4 5
C.E: x + 6 > 0 ⇔ x > -6
Resolução: log 4 5 =
1≠x>0 log 2 5
2
x =x+6 2 x –x–6=0 a = 1; b = -1 e c = -6 2 ∆ = (-1) – 4 . 1 . (-6) = 25 1 ± 5 x' = - 2 (não convém, pois contraria a C.E.) x= 2 x" = 3
log 2 4
b) log 1/8 9
Resolução log 1 9 = 8
log 2 9 log2 (1/8)
S={3}
COLOGARITMO
colog a b = - log a b
29. Resolver as equações: a) log 1/2 (log 9 x) = 1 b) log 3 (2x – 1) = 4
Exemplo:
a) colog 2 8 = - log 2 8 = -3 b) colog 3 1/9 = - log 3 1/9 = -(-2) = 2
APLICAÇÕES
30. Resolver a equação log 2 [log x (x + 2)] = 1
APLICAÇÕES
26. Considerando log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule: a) log 6 4
c) log 3 12
e) colog 3 108
b) log 6
d) colog 72
f) colog 15
-1
31. Determine o conjunto verdade das seguintes equa ções logarítmicas: a) log 7 (log 2 x) = 0 b) log 3 (log 5 x) = 1 c) log 2 (x + 4) = 3
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Matemática – Logaritmos – Professor Cláudio Kaneko Aquelas em que aplicaremos as proprie -
QUESTÃO 25: A
2º TIPO dades do logaritmo para a resolução.
QUESTÃO 26: a) 0,7736
Exemplo:
e) –0,6777
Determinar o conjunto solução da equação logarítmi ca: log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2
Resolução:
Inicialmente aplicaremos a propriedade relativa ao logaritmo do produto, ou seja: log 3 (x + 7) + log 3 (x – 1) = 2 log 3 [(x + 7) . (x – 1)] = 2 C.E: x + 7 > 0 ⇔ x > -7 x–1>0⇔x>1
b) 0,3890
c) 0,3597
d) –1,8572
f) 1,1761
QUESTÃO 27: -0,630
QUESTÃO 28: 1/2
QUESTÃO 29: a) 3 b) 41
QUESTÃO 30: 2
QUESTÃO 31: a) 2 QUESTÃO 33: 2
b) 125
QUESTÃO 32: 3
c) 4
QUESTÃO 34: 4
QUESTÃO 35: 1
AS MARAVILHAS DA MATEMÁTICA!
2
(x + 7) . (x – 1) = 3 2 x – x + 7x – 7 – 9 = 0 2 x + 6x – 16 = 0 a = 1; b = 6 e c = -16 ∆ = 100 - 6 ± 10 x' = - 8 (não convém) x= 2 x" = 2
ACÚSTICA E LOGARITMO
S={2}
APLICAÇÕES
32. Resolver a equação log 2 (x – 1) + log 2 (x – 2) = 1. 33. Qual é o conjunto verdade da equação logarítmica a seguir log x (3x + 4) = log x (4x + 2)? 34. Resolver a equação log 4 x + log 4 (x + 12) = 3. 35. Encontre o conjunto solução da equação abaixo: log 3 (2x + 1) + log 3 (x + 8) = 3
GABARITO
QUESTÃO 01: a) 4
b) 5
c) –2
d) 3
e) 1
f) 0
g) -1
QUESTÃO 02: x = 5/4 QUESTÃO 03: a) 3/2
b) 2
c) –1/3
QUESTÃO 04: A
QUESTÃO 05: 2 e –3/2
QUESTÃO 06: a) –3/4
b) 2
QUESTÃO 07: n = 2
QUESTÃO 08: a) –3/4 g) –1/6
b) 1/3 c) –1/3 i) –3/4 j) –8/7
h) 9/2
QUESTÃO 09: a) 5 h) –4
i)-3/2
j) 2
b) 4 c) 3/2 k) 5/2 l) 0
d) 1/4
QUESTÃO 10: D QUESTÃO 11: a) 3/2 QUESTÃO 12: 3
QUESTÃO 13: a + b
QUESTÃO 15: 32
QUESTÃO 16: C
QUESTÃO 18: a) 0,9030 e) 1,0167 k) 0,0198
d) 1/2
d) 3
QUESTÃO 19: 3a + b
QUESTÃO 20: 9/32 QUESTÃO 23: C
N = 10 . log
e) –2
e) –3
b) –14/6
f) 1/4
f) 4
g) 3
c) 41/6
QUESTÃO 14: 2 QUESTÃO 17: 0,62
b) 1,0791 c) 1,8572 f) 0,6990 g) –4 h) 2,3010 i) 3,4771 l) –0,13385
QUESTÃO 22: D
A ciência, nas suas várias ramificações, foi beneficiada pelo advento do logaritmo. A título de exemplo, descreveremos uma dessas aplicações. Ao estudar ondas sonoras, percebe-se que o som apresenta características como: altura, intensidade e timbre. No caso da intensidade (I), que representa a potência de uma onda sonora por unidade de área (W/m 2 ), encontraremos detalhes interessantes como é o caso da limitação auditiva. Para perceber a on da sonora, o tímpano hu mano neces sita que ela tenha, no mí nimo, uma in tensidade I 0 = 10-12 (W/m2 ), chamado de limiar de audibilidade e, no máximo, de 1 (W/m 2 ), chamado de limiar da dor. O nível sonoro (N) representa a comparação entre a intensidade sonora (I) e o limiar da audibilidade (I 0 ). A sua unidade usual chama-se decibel (dB). A grandeza nível sonoro (N) obedece a uma escala logarítmica, sendo definida por: I I0
É possível relacionar esses conceitos com diversas situações do cotidiano. - O ouvido humano apresenta lesões irrecuperáveis sempre que é exposto, por um determinado tempo, a níveis sonoros (N) superiores a 80 (dB). As unidades bel (B) e decibel (dB) representam uma homenagem ao físico escocês Alexander Graham Bell (1847 – 1922).
d) 0,1505 j) 0,5927
QUESTÃO 21: D QUESTÃO 24: 3m + 2n
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