Estudo do Plano em R3

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O PLANO em R3 1.1. E Q U A Ç Ã O

GERAL DO PLANO

Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano π e →

→

→

→

→

n = a i + b  j + c k , n ≠ (0,0,0) um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano π pode ser 

definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor  →

→

→

→

 AP é ortogonal a n . O ponto P pertence a π se, e somente se : n . AP  = 0

A

B

Tendo em vista que: →

→

n = (a, b, c) e AP  = ( x − x1 , y −  y1 , z − z 1 ), a equação  fica : (a, b, c).( x − x1 , y −  y1 , z − z 1 ) = 0

Fazendo:

ou: a( x − x 1 ) + b( y − y 1 ) + c( z − z 1 ) = 0 ou, ainda: ax + by + cz − ax 1 − by 1 − cz 1 = 0 − ax 1 − by 1 − cz 1 = d , vem : ax + by + cz  + d  = 0 . Esta é a equação

 geral ou cartesiana do plano π    .   π

♦ Observações: a) Da forma com que definimos o plano π, vimos que ele fica

 perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal →

n = ( a , b, c ) a

, com a, b, c não simultaneamente nulos. Qualquer vetor 

π  

→

k  n , k  ≠

0, é também vetor normal ao plano. →

 b) Sendo n um vetor ortogonal ao plano π, ele será ortogonal a →

→

qualquer vetor representado no plano. Em particular, se v1 e v2 são vetores não →

colineares, e paralelos ao plano, em virtude de n ser ortogonal, ao mesmo tempo, a →

→

→

→

→

v1 e v2 , tem-se: n = v1 x v2 .

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c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral ax + by + cz  + d  = 0 representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano π é dado por: π   : 3 x + 2 y − 4 z + 5 = 0, um de seus vetores →

→

normais é: n = (3,2,−4). Este mesmo vetor  n é também normal a qualquer plano  paralelo a π. Assim, todos os infinitos planos paralelos a π têm equação geral do tipo: 3 x + 2 y − 4 z + d  = 0, na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor  de d está identificado quando se conhece um ponto do plano. geral do plano ⇒ Exemplos: 1º) Determinar a equação geral

π  

que passa pelo ponto

→

A(2,-1,3), sendo n = (3,2,−4) um vetor normal a π   . 2º) Escrever a equação cartesiana do plano π   que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano: π  1 : 2 x − 3 y + z − 6 = 0. 3º) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2,-1,4) e B(4,-3,-2). 4º) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1,-2)  x = −4 + 3t   e é perpendicular à reta r :  y = 1 + 2t  .  z  = t  

1.2. D E T E R M I N A Ç Ã O

DE UM PLANO

Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir  apresentadas. Assim, existe apenas um plano que: →

→

1.)  passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores v1 e v2 não colineares. →

→

→

 Neste caso: n = v1 x v2 .

→

→

2.)  passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor  v não colinear ao vetor   AB . UNIDADE VI – O PLANO EM

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→

→

→

Neste caso: n = v x AB

;

3.)  passa por três pontos A, B e C não em linha reta. →

→

→

 Neste caso: n =  AB x AC 

4.) contém duas retas r 1 e r 2 concorrentes. →

→

→

→

→

 Neste caso: n = v1 x v2 , sendo v1 e v2 vetores diretores de r 1 e r 2 ;

5.) contém duas retas r 1 e r 2  paralelas.  

→

→

→

→

= v1 x A1 A2 sendo, v 1 um vetor diretor de r 1 (ou r 2) e A1 ∈ r 1 e A2 ∈ r 2. Neste ncaso:

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6.) contém uma reta r e um ponto  B ∉ r . →

→

→

→

 Neste caso: n = v x AB, sen do v um vetor diretor de r e A∈ r.



Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor  →

normal n sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no  plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano. ⇒ Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto →

 A(1,−3,4) e é paralelo

→

aos vetores v1 = (3,1,−2) e v2 = (1,−1,1). 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos  A( 2,1,−1); B (0,−1,1) e C (1,2,1) . 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta  x = 4 r :  e o  ponto B ( −3,2,1) .  y 3 = 

1.3. P L A N O S P A R A L E L O S

EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares

AOS

A equação ax + by + cz + d  = 0 na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um →

 plano π  , sen do n = (a, b, c) um vetor normal a π   . Quando uma ou duas das componentes →

de n são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares.

1.3.1. Plano que passa pela origem Se o plano ax + by + cz + d  = 0 passa pela origem: a.0 + b.0 + c.0 + d  = 0, isto é d  = 0 Assim a equação: ax + by + cz  = 0 representa a equação de um plano que passa pela origem.

1.3.2. Planos Paralelos aos Eixos Coordenados →

Se apenas uma das componentes do vetor n = (a, b, c ) é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π   é paralelo ao mesmo eixo: I)

→

se a = 0, n = (0, b, c)⊥0 x ∴ π   // 0 x e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: by + cz + d  = 0.

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A figura mostra o plano de equação: 2 y + 3 z − 6 = 0 .

Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A1 (0,3,0) e A2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor  →

normal ao plano é n = (0,2,3), pois a equação de π   pode ser escrita na forma: 0 x + 2 y + 3 z − 6 = 0. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ax + cz + d  = 0; III) os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: ax + by + d  = 0 . Da análise feita sobre este caso particular, conclui-se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável. As figuras seguintes mostram os planos π  1 : x + z − 3 = 0 e π  2 : x + 2 y − 4 = 0,

♦ Observações: a) A equação  x + 2 y − 4 = 0 , como vimos, representa no espaço ℜ3

um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano ℜ 2 , representa uma reta. by + d  = 0  fizemos d  = 0, a equação ax + by =   b) Se ax na+equação representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z.

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1.3.3. Planos Paralelos aos Planos Coordenados →

→

Se duas das componentes do vetor normal n = (a, b, c ) são nulas, n é colinear a um →

→

→

dos vetores i = (1,0,0) ou  j = (0,1,0) ou k  = (0,0,1) ,e, portanto, o plano π   é paralelo ao  plano dos outros dois vetores: I)

→

→

se a = b = 0, n = (0,0, c) = c(0,0,1) = c k ∴ π   // x 0 y e a equação geral dos planos d 

 paralelos ao plano x0y é: cz + d  = 0, como c ≠ 0, vem :  z  = − . c

Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos p aralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

A equação z = 4 pode também ser apresentada apresentad a sob a forma 0 x + 0 y + z − 4 = 0 na →

qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e k  = (0,0,1) é um vetor normal ao plano. Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x 1,y1,z1) tem  por equação: z = z 1. Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A(-1,2,-3) e é paralelo ao plano x0y tem  por equação: z = -3. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III) os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos π  1 :  y = 3 ; π  2 : x = 2 respectivamente

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⇒ Exemplos: 1º) Determinar a equação equação cartesiana do plano plano que contém contém o ponto  x = 4 A(2,2,-1) e a reta r :  . = 3  y 

2º) Determinar a equação geral do plano que passa por A(2,3,4) e é →

→

→

→

→

→

 paralelo aos vetores v1 =  j + k  e v2 =  j − k .

1.4. Â N G U L O

ENTRE DOIS PLANOS

Sejam os planos π1 : a1 x  + b1 y  + c 1z  + d 1 = 0  e

π2  : a2  x  + b2 y  + c 2 z  + d 2  = 0 

Então, n1 = (a1, b1, c 1 ) e n2  = (a2 , b2 , c 2  ) são vetores normais a π1 e respectivamente (figura abaixo)

π2  ,

Chama-se ângulo de dois planos π1 e π2  o menor ângulo que um vetor normal de π1 forma com um vetor normal de π2  . Sendo θ este ângulo, tem-se: a1a2  + b1b2  + c 1c 2 

cos θ = 2 

2 

2 

2 

2 

2 

a1 + b1 + c 1 ⋅ a2  + b2  + c 2 

Exemplo:

Determinar o ângulo entre os planos: π1 : 2  x  − 3 y  + 5 z  − 8  = 0  e

π2  : 3 x  + 2 y  + 5 z  − 4 = 0 

 R: 48º51’ 

1.5. P O S I Ç Õ E S

DE

PARALELISMO

E

PERPENDICULARISMO

DE DOIS

PLANOS

Sejam os planos π1 : a1 x  + b1 y  + c 1z  + d 1 = 0  e

π2  : a2  x  + b2 y  + c 2 z  + d 2  = 0 

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Então, n1 = (a1, b1, c 1 ) ⊥ π1 e n2  = (a2 , b2 , c 2  ) ⊥ π2  As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é: I) Se π1 // π2 , n1 // n2  ∴ a1 = b1 = c 1 a2 

b2 

c 2 

Obs.: a) Se além das igualdades anteriores se tiver também a1 a2 

=

b1 b2 

=

c 1 c 2 

=

d 1 d 2 

os planos π1 e π2  serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de π2  é obtida de π1 mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de π1 .  b) Em particular, se são paralelos.

II)

Se

a1 = a2 , b1 = b2 , c 1 = c 2  e d 1 ≠ d 2  , os planos

π1 e

π2 

também

π1 ⊥ π2 , n1 ⊥ n2  ∴ a1a2  = b1b2  = c 1c 2  = 0 

Exemplos: 1) Calcular os valores de m e n para que o plano π1 : (2m − 1) x − 2 y + nz − 3 = 0 seja π2 : 4 x + 4 y − z  = . 0   paralelo ao plano 2) Calcular os valores de m e n para que o plano π1 : (2m − 1) x − 2 y + nz − 3 = 0 seja π2 : 4 x + 4 y − z  = . 0   perpendicular ao plano UNIDADE VI – O PLANO EM

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1.6. P OSIÇÕES DE P ARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Para a reta r e o plano π anteriores, temos:

I.

Se r // π, v⊥n O paralelismo de r e π implica a ortogonalidade dos vetores v e n

II.

Se r / ⊥π, v // n O perpendicularismo de r e π implica o  paralelismo dos vetores v e n .

Exemplo:

Verificar se a reta r :

π : 9 x − 6 y − 3 z + 5 = 0 .

1.7. C O N D I Ç Õ E S

 x − 2

3

=

 y + 1

−2

=

 z 

−1

é perpendicular ao plano

PARA QUE UMA RETA ESTEJA CONTIDA NUM PLANO

Uma reta r esta contida num plano π se:

I. II.

O vetor diretor  v de r é ortogonal ao vetor  n , normal ao plano π; Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano.

Obs.: uma reta r está também contida num plano π se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano.   x = 2 + t   Exemplo 1: Verificar se a reta r :   y = 1 + t   z = −3 − 2t   está contida no plano π : 3 x + y + 2 z − 1 = 0 . Solução:

(a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r , verificaremos se  A ∈ π :

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3 x + y + 2 z − 1 = 0 3.2 + 1 + 2.(− 3) − 1 = 0 6 + 1− 6 −1 = 0 0=0 Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano π. Mas só essa condição não é suficiente para garantir que r ∈ π .

(b) Verificar se o v r  = (1,1,−2) é ortogonal a n = (3,1,2) (vetor normal ao  plano π). v r  n = (1,1,−2 ) o

o

(3,1,2) = 3 + 1 − 4 = 0 . Logo,

v r 

é ortogonal a n ;

Conclusão: Como  A ∈ r  e  A ∈ π , e v r  é ortogonal a n , então podemos afirmar que a reta r pertence ao plano π.   x = 2 + t   Exemplo 2: Determinar os valores de m e n para que a reta r :   y = 1 + t   z = −3 − 2t   Esteja contida no plano π : mx + ny + 2 z − 1 = 0 . 1.8. I N T E R S E C Ç Ã O

DE DOIS

PLANOS

A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta. Sejam π1 e π 2 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de π1 e π 2 resolveremos o sistema composto por suas equações. Determinar a equação da Exemplo: π1 : 5 x − 2 y + z + 7 = 0 e π 2 : 3 x − 3 y + z + 4 = 0 .

Solução:

reta

intersecção

dos

planos

Montamos o seguinte sistema:

5 x − 2 y + z + 7 = 0  3 x − 3 y + z + 4 = 0

O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre.

Como fazer então:

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5 x − 2 y + z + 7 = 0  3 x − 3 y + z + 4 = 0 eliminarem os a variável  z multiplica ndo uma das equações    por (- 1) e em seguida efetuamos a soma de ambos.  − 5 x + 2 y − z − 7 = 0 + 3 x − 3 y + z + 4 = 0 − 2 x − y − 3 = 0

→ isolamos uma das variáveis (no caso  y)

 y = −2 x − 3

Agora substituímos  y = −2 x − 3 na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema. Substituindo  y = −2 x − 3 na equação 5 x − 2 y + z + 7 = 0 , teremos: 5 x − 2 ⋅ (− 2 x − 3) + z + 7 = 0 5 x + 4 x + 6 + + 7 = 0 Agora isolando z , teremos:  z = −9 x − 13 As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos π1 e π 2 serão:  y = −2 x − 3 r :   z = −9 x − 13

1.9. I N T E R S E Ç Ã O

DE RETA E PLANO

A intersecção entre uma reta r  e um plano π é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano π.

Exemplo:  

Determinar o ponto de intersecção da reta r : x =

π : 3 x + 5 y − 2 z plano −9 = .

1º passo:

 y − 3

2

=

 z − 4

3

com o

0

obter as equações reduzidas da reta r .

 Neste exemplo faremos y e z em função de x.  y − 3  z + 4 =  x =  x e 2 3  y = 2 x + 3 = 3 x − 4 Logo as equações reduzidas de r são:  y = 2 x + 3 r :   z = 3 x − 4 Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e π, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de π: UNIDADE VI – O PLANO EM

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 y = 2 x + 3   z = 3 x − 4 3 x + 5 y − 2 z − 9 = 0 

Resolve-se este sistema substituindo  y = 2 x + 3 3 x + 5 y − 2 z − 9 = 0 .

e  z = 3 x − 4

na equação

3. x + 5.(2 x + 3) − 2.(3 x − 4 ) − 9 = 0 3 x + 10 x + 15 − 6 x + 8 − 9 = 0 7 x + 14 = 0  x = −2 Para  x = −2

 y = 2.(− 2) + 3

e

 y = −1

 z = 3.(− 2 ) − 4  z = −10

Logo I (-2, -1, -10)

1.9.1. Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados (a) Seja o plano π : 2 x + 3 y + z − 6 = 0 Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer  na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos. Assim:

I) II) III)

Se   y = z = 0, 2 x − 6 = 0 ∴ x = 3 e  A1 (3,0,0 ) é a interseção do plano π com o eixo dos x. Se  x = z = 0, 3 y − 6 = 0 ∴ y = 2 e  A1 (0,2,0) é a interseção do plano π com o eixo dos y. Se x = y = 0 ,  z − 6 = 0 ∴ z  = 6 e  A1 (0,0,6) é a interseção do plano π com o eixo dos z .  z 

 A3 (0,0,6)

 A2 (0,2,0 )

 x

 y

 A1 (3,0,0 )

(b) Como as equações dos planos coordenados são  x = 0, y= 0 e  z = 0, basta fazer, na equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas UNIDADE VI – O PLANO EM

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outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então:

I)

 x = 0 é a interseção de π com o plano = − + 3 6  z   y 

Se  x = 0, 3 y + z − 6 = 0 , a reta r 1 :  yOz.

II)

 y = 0 é a interseção de π com o = − + 2 6  z   x 

Se  y = 0, 2 x + z − 6 = 0 , a reta r 1 :   plano xOz.

III)

 z  = 0 Se  z  = 0, 2 x + 3 y − 6 = 0 , a reta r 1 :  y = − 2 x + 2 é a interseção de π com o  3

 plano xOy.

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