ESTUDO COMPLETO DUMA FUNÇÃO

João Raimundo Feniasse

ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNÇÃO

Licenciatura em ensino de Matemática – 4º ano

Universidade Pedagogica Quelimane 20!

"

João Raimundo Feniasse

ESTUDO COMPLETO DE UMA FUNÇÃO #idáctica de Matemática 4 Licenciatura em ensino de Matemática – 4º ano

$ tra%al&o 'es(uisa a ser entregue ao docente da cadeira com )ins avaliativos* #ocente+ #r ,ang

Universidade Pedag-gica Quelimane 20!

2

Índice .ntrodu/ão******************************************************************************************************************************************* ** #e)ini/ão dom1nio e contradom1nio***************************************************************************************************** eros e sinal de uma )un/ão****************************************************************************************************************** Monotonia de uma )un/ão********************************************************************************************************************* Periodicidade duma )un/ão******************************************************************************************************************* 3tremo duma )un/ão*************************************************************************************************************************** ,eorema + ,eorema do valor etremo************************************************************************************************** 3tremos locais 5Relativos 6**************************************************************************************************************** #etermina/ão dos etremos****************************************************************************************************************** ,eorema 2+ Primeiro teorema da derivada 'ara valores de etremos locais***************************************** ,este da #erivada 7egunda 'ara 3tremos Relativos+************************************************************************** #e)ini/ão+ Ponto critico************************************************************************************************************************ 8oncavidade****************************************************************************************************************************************** 8oncavidade e coe)iciente angular da tangente********************************************************************************** 7inal da #erivada 7egunda***************************************************************************************************************** Pontos de .n)leão******************************************************************************************************************************* 8onstru/ão de 9rá)icos*********************************************************************************************************************** 3em'los do estudo com'leto duma )un/ão*************************************************************************************** :ssim'totas***************************************************************************************************************************************** Pro%lemas de o'timi;a/ão so%re etremos máimos************************************************************************** Pro%lema de o'timi;a/ão 5m1nimos6************************************************************************************************** 8onclusão******************************************************************************************************************************************** 0

f  ( a ) ≥ 0

f  ( a )< 0

f  ( a ) ≤ 0

#i;Cse (ue a )un/ão f   ? 'ositiva num su%con@unto  A  de  D f  se f  ? 'ositiva em a  'ara cada a ∈

 A * #e igual modo se de)ine )un/ão não negativa negativa e não 'ositiva em

:*

 9rá)ico de uma )un/ão f   =a )igura encontraCse o grá)ico de uma )un/ão .

−2,11 / 2 ¿ $%serveCse (ue  D f =¿

f 

real de variável real com dom1nio





C2 e 2 são ;eros da )un/ão f 



f  ? 'ositiva em G2H2I



f  ? não negativa em I2H2I



f  ? negativa em GC22I



f  ? não 'ositiva em IC22G

Monotoni" de u" função 7e@a ) uma )un/ão real de variável real e se@a : um su%con@unto de #)  * #i;Cse (ue 

) ? uma )un/ão cre'cente em : se )5a6  )5%6 'ara cada a % : tal (ue a  %



) ? uma )un/ão cre'cente e 'entido ("to em : se )5a6 )5%6 'ara cada a % : tal (ue a  %



) ? uma )un/ão decre'cente em : se )5a6 K )5%6 'ara cada a % : tal (ue a  %



) ? uma )un/ão decre'cente e 'entido ("to em : se )5a6 )5%6 'ara cada a % : tal (ue a  %

#esignaCse tam%?m 'or e'trit"ente cre'cente e e'trit"ente decre'cente em : uma )un/ão crescente e decrescente em : res'ectivamente* : )un/ão ) di;Cse mon-tona em : se )or crescente em : ou se )or decrescente em :*



Quando :  #)    'ode omitirCse a re)erBncia a :* =este caso )alaCse então sim'lesmente de )un/ão crescente )un/ão decrescente )un/ão mon-tona etc*

9rá)ico de uma )un/ão )  ,

 =a )igura encontraCse o grá)ico de uma )un/ão ) real de variável real com dom1nio −2,11 / 2 ¿  D f =¿ decrescente em IC20G e em I4H2I e crescente em I04G*

 Periodicid"de du" função : )un/ão real de variável real ) di;Cse *eridic" se eiste um nAmero real P di)erente de 0 tal (ue  'ara todo o  x D f  

x + P D f e x − P D f 



f  ( x + P )= f  ( x )

3em'lo de )un/Nes 'eri-dicas são as )un/Nes trigonom?tricas seno coCseno e tangente*

O

E-treo du" função Definição+ Máimo a%soluto m1nimo a%soluto 7e@a f   uma )un/ão de dominino  D * 3ntão f   tem o valor máimo a%soluto em  D  em um 'onto c  se f  ( x ) ≤ f  ( c )  'ara (ual(uer  x em D *

$ valor !nio a%soluto em  D  em um 'onto c  se f  ( x ) ≥ f  ( c )  'ara (ual(uer  x em D * Máimo e m1nimos a%solutos são tam%?m c&amados de etremos a%solutos 'ara di)erenciar dos etremos locais* Por eem'lo no intervalo )ec&ado

[− π / 2 , π / 2 ]  a )un/ão

f  ( x )=cosx   assume o valor 

máimo  5uma ve;6 e o valor m1nimo 0 5duas ve;es6* =o mesmo intervalo a )un/ão g ( x ) =senx  assume o valor máimo  e o valor m1nimo C*

Por outro lado temos (ue )un/Nes de)inidas 'ela mesma regra 'odem ter etremos di)erentes de'endendo do dom1nio* 2 Por eem'lo a )un/ão  y = x *

Fun/ão  y = x

2

#om1nio  D ¿ ¿− ∞, + ∞ ¿

3tremos a%solutos em  D :usBncia de máimo a%soluto M1nimo

a%soluto

0

(uando

a%soluto

4

(uando

 x =0  y = x

2

[ 0,2 ]

Máimo  x =2



M1nimo

a%soluto

0

(uando

a%soluto

4

(uando

 x =0

 y = x

2

¿ 0,2 ¿

Máimo  x =2

 y = x

2

¿ ¿ 0,2 ¿

:usBncia de m1nimo a%soluto :usBncia de máimo a%soluto :usBncia de m1nimo a%soluto

Teore" ./ Teore" do +"(or e-treo 7e f   ? continua no intervalo )ec&ado então f   assume tanto o valor máimo  M   como o valor m1nimo m  em [ a ,b ] * $u se@a &á nAmeros  x 1 e x 2 em [ a , b ]  tais (ue f  ( x 1 )= me f  ( x 2) = M   e

m≤ f  ( x ) ≤ M   'ara (ual(uer  x em D *

0

E-treo' (oc"i' 01e("ti+o' 2 Definic"o3 Uma )un/ão f   tem um valor máimo local em um 'onto interior c  do seu dom1nio se f  ( x ) ≤ f  ( c )  'ara (ual(uer  x

em um intervalo a%erto (ue conten&a c *

Uma )un/ão f   tem um valor m1nimo local em um 'onto interior c  do seu dom1nio se f  ( x ) ≥ f  ( c )   'ara (ual(uer  x

em um intervalo a%erto (ue conten&a c *

Deterin"ção do' e-treo' Teore" 4/ Prieiro teore" d" deri+"d" *"r" +"(ore' de e-treo' (oc"i' 7e f   'ossui um valor máimo ou m1nimo local em um 'onto c  interior de seu dom1nio e se f '   ? de)inida em

f  ( c )=0 ' 

c  então



$ teorema di; (ue a 'rimeira derivada da )un/ão ? sem're ;ero em um 'onto interior onde a )un/ão ten&a um valor etremo local e a derivada se@a de)inida* #esta )orma os Anicos locais (ue a )un/ão 'ode ter os valores etremos 5relativos ou a%solutos6 são+ '  * Pontos interiores onde f  =0 

2* Pontos interiores onde f '   não eiste "* 3tremidades do dom1nio de f  *

Te'te d" Deri+"d" Se#und" *"r" E-treo' 1e("ti+o'/ 7e@a

f  derivável em

. ¿ a ;b ¿

7e

 x 0

∈

] aQ b [

 ? tal (ue f  ( x )  eiste e ? cont1nua em 50-2

então+

"2 7e 62 7e

f ” 0

 x0



 ? o 'onto máimo relativo*  ? o 'onto m1nimo relativo*

Definição/ Ponto critico Um 'onto interior do dom1nio de uma )un/ão f   onde f '   ? ;ero ou inde)inida ? um *onto critico de f  * :ssim os Anicos 'ontos do dom1nio (ue uma )un/ão 'ode tomar os valores etremos são os  'ontos cr1ticos e as etremidades* Para determinar os 'ontos etremos a%soluto de uma )un/ão continua em intervalo )inito 'rocede o seguinte+ * 8alcular f   em todos 'ontos cr1ticos e etremidades 2* ,omaCse o maior e o menor valor o%tido*

Conc"+id"de #i;Cse (ue uma curva tem concavidade 'ara %aio (uando sua tangente se move no sentido dos  'onteiros do rel-gio ao 'ercorre a curva da es(uerda 'ara a direita* #i;Cse (ue uma curva tem concavidade 'ara cima (uando sua tangente se move no sentido contrário ao dos 'onteiros do rel-gio ao 'ercorre a curva da es(uerda 'ara a direita*

2

Conc"+id"de e coeficiente "n#u("r d" t"n#ente Quando a curva tem concavidade 'ara cima o coe)iciente angular de sua tangente cresce (uando  x aumenta de valor* Quando a curva tem concavidade 'ara %aio o coe)iciente angular da sua

tangente decresce (uando  x  aumenta de valor*

Sin"( d" Deri+"d" Se#und" : rela/ão entre concavidade e coe)iciente angular da tangente determina uma caracteri;a/ão sim'les de concavidade em termos de sinal da derivada segunda* 7u'on&a (ue a derivada 7egunda f “  se@a 'ositiva num intervalo* Logo a derivada 'rimeira  f ‘  ? crescente no intervalo* Mas f ‘  ? o coe)iciente angular da tangente 'ortanto ? crescente e a curva do grá)ico de f  tem concavidade 'ara cima no intervalo* Por outro lado se f “  ? negativo no intervalo então f ‘ ? decrescente e a curva do grá)ico de f  tem concavidade 'ara %aio no intervalo* 7igni)icado geom?trico do sinal da derivada 7egunda+ a6 se  f “ (x) > 0  (uando a < x < b então  f  tem concavidade 'ara cima em a < x < b*  %6 se  f “ (x) < 0  (uando a < x < b então  f  tem concavidade 'ara %aio em a < x < b*

Ponto' de Inf(e-ão $ 'onto no (ual ocorre a varia/ão de concavidade da )un/ão denominaCse 'onto de in)leão* 7e a derivada segunda ? de)inida no 'onto de in)leão seu valor tem (ue ser ;ero* $s 'ontos de in)leão 'odem ocorrer onde a derivada segunda ? inde)inida* $s 'ontos nos (uais a derivada segunda da )un/ão ? nula ou inde)inida denominamCse 'ontos cr1ticos de segunda ordem*

Con'trução de 7r8fico' #evemos seguir os seguintes 'assos 'ara o%ter o grá)ico da )un/ão f  ( x ) : a6 3'licite o dom1nio  %6 8alcule a derivada 'rimeira e em seguida as coordenadas  x

dos 'ontos cr1ticos de

 'rimeira ordem igualando f ' ( x ) a ;ero e resolvendo a e(ua/ão em  x * =ão es(ue/a

"

de incluir tam%?m valores de -  'ara os (uais a derivada ? inde)inida* 7u%stitua estes valores de  x  na )un/ão f  ( x ) ,  o%tendo as coordenadas y dos 'ontos cr1ticos* c6 8alcule a derivada segunda f ' ' ( x ) . ProcedeCse como no 'asso anterior* d6 3stude o sinal da 'rimeira derivada e determine onde f  ( x )  ? crescente ou decrescente* #esta(ue os 'ontos Máimo e M1nimo* e6 3stude a concavidade de f  ( x ) ,  veri)icando o sinal da segunda derivada* #esta(ue os  'ontos de in)leão* )6 #etermine as e(ua/Nes das ass1ntotas verticais e o%li(uas e as interse/Nes com os eios coordenados* g6 8onstrua o grá)ico*

Inter+"(o'

Sin"( de

Sin"( de

Cre'cente ou

Conc"+id"de For"to de

f ' ( x )

f ' ' ( x )

Decre'cente





8rescente

Para cima

C  C

 C C

#ecrescente 8rescente #ecrescente

Para cima Para %aio Para %aio

Cur+"

E-e*(o' do e'tudo co*(eto du" função 8onsideremos as seguintes )un/Nes+ *

3

2

y =− x + 6 x + x −6  em todo o seu dom1nio

Fa/amos o estudo com'leto* 3 2 8ome/ando 'ela )un/ão  y =− x + 6 x + x −6

¿  #om1nio+ ? o con@unto dos nAmeros reais ou se@a  D= x ∈ R=¿− ∞; + ∞ ¿ ¿ '   8ontradom1nio+ ? o con@unto dos nAmeros reais ou se@a  D = y ∈ R=¿− ∞; + ∞ ¿

4

 eros da )un/ão+ − x 3 + 6 x 2+ x −6 =0 − x 3 + 6 x 2+ x −6 =0 3ncontramos uma das ra1;es  x =1  a'licamos de seguida a regra de Ru)in e teremos o seguinte+ −1 6 1 −6 1

−1

−1

5

6

5

6

0

( x −1 ) ( − x 2 +5 x +6 )= 0

∆ =b −4 ac =25 + 24 =49

− x 2 + 5 x + 6=0

 x =

 x =

2

−5 ± √ 49 −5 ± 7 = −2 −2

−b ± √ ∆ 2a

 x 1=−1 ∨ x 2=6 $s ;eros da )un/ão são neste caso  x =−1 ; x =1 e x = 6

5"ri"ção do 'in"( ¿  x ¿− ∞ ; −1 ¿ f  ( x ) −¿

¿

−1

¿−1 ; 1 ¿

+¿

0

Monotoni", conc"+id"de, 8-io e !nio 3 2  y =− x + 6 x + x −6 ' 

 y =(− x + 6 x + x −6 ) =−3 x + 12 x + 1 ' 

3

2

1 0

¿

¿ 1; 6 ¿

−¿

 x =

6

¿ ¿ 6 ;+∞ ¿

0

+¿

−12 ± √ 156 −6

2

 x 1=−0.082 ∨ x 2= 4.082

2

' 

 y =0 ⟺− 3 x + 12 x + 1 =0  x =

−b ± √ ∆ 2a

O' *onto' cr!tico' 'ão/ f  ( −0,082 )=−6,041  m1nimo

2

∆ =b −4 ac =144 + 12

f  ( 4,082 ) =30,041 máimo

!

' 

' ' 

 y = (−3 x + 12 x + 1 ) =−6 x + 12 2

'' 

y = 0 ⟺−6 x + 12=0 ⟹ x =2 f  ( 2 )=12  'onto de in)leão

E'tudo d" onotoni" 0teore" d" deri+"d" *rieir"2 ¿ ¿  x −0.082 ¿− ∞ ; −0.25 ¿ ¿− 0,082 ; 4,082 ¿ f ' ( x

−¿

+¿

0

¿

¿ 4,082 ; + ∞ ¿ −¿

0

−6.041 8rescente

f  ( x ) #ecrescente

4,082

"004

#ecrescente

E'tudo d" conc"+id"de 0teore" d" deri+"d" 'e#und"2 ¿ ¿  x 2 ¿− ∞ ; 2 ¿ ¿ 2 ; +∞ ¿ +¿ −¿ 0 f ' ' ( f  ( x ) 8oncavidade virada 'ara cima

2

8oncavidade virada 'ara %aio

A''i*tot"' #i;Cse (ue a recta  x =a  onde a∈R ? uma assíntota vertical  do grá)ico de uma )un/ão f  56 −¿

−¿

 x ⟶ a f  ( x )= ∞

 se e s- se

lim ¿

 ou

¿

+¿

 x ⟶ a f  ( x )=−∞ lim ¿ ¿

 x ⟶ a f  ( x )= ∞

ou

lim ¿ ¿

+¿

 x ⟶ a f  ( x )=−∞

ou

lim ¿ ¿

 *

3stas (uatro situa/Nes 'oss1veis 'ara uma mesma ass1ntota vertical )icam %em identi)icadas num (uadro de varia/ão da )un/ão* #i;Cse (ue a recta  y =b  onde b ∈ R  ? uma ass1m'tota &ori;ontal do grá)ico de uma )un/ão ) 56 se e s- se

lim f  ( x )= b

 x ⟶−∞

 ou

lim f  ( x )= b  x ⟶ ∞

*

3m termos geom?tricos a a'roima/ão do grá)ico S ass1ntota 'ode )a;erCse 'or cima da ass1ntota  'or %aio da ass1ntota ou nem uma coisa nem outra* Pelo menos nos dois 'rimeiros casos um



registo ade(uado num (uadro de varia/ão 'ermite identi)icar ra'idamente em (ual das situa/Nes se está*

E-e*(o/ #etermine as ass1ntotas verticais e &ori;ontais 5se eistirem6* f  ( x )=

 x + 3 2− x

:ntes de come/ar a calcular os limites de uma )un/ão com a )inalidade de encontrar as ass1ntotas verticais e &ori;ontais ? im'ortante calcular o dom1nio D da )un/ão 'ois isto nos dará in)orma/Nes im'ortantes so%re as ass1ntotas verticais*

3ncontrando o dom1nio D da )un/ão f 5 x6 + $ denominador da )rac/ão

 x + 3 2 − x

deve ser di)erente de ;ero logo temos+

2− x ≠ 0 ⟹ x ≠ 2

¿ Logo o dom1nio da )un/ão será  D= R 7a%endo (ue x2 não 'ertence ao dom1nio da )un/ão 'odemos calcular o limite da )un/ão f 5 x6 (uando x se a'roima de 2 com a )inalidade de veri)icar se eiste uma ass1ntota vertical neste 'onto*  x ⟶ 2

+3 =+ ∞ 2 − x  'ois lim ¿

+¿  x

¿

2  x < 0

 (uando  x ⟶ 2  'ela direita e



 x ⟶ 2

+3 =+ ∞ 2 − x  'ois lim ¿

+¿  x

2  x > 0

(uando  x ⟶ 2  'ela es(uerda*

¿

8omo conse(uBncia temos (ue a recta x 2 ? uma ass1ntota vertical da )un/ão f 56 * :gora 'ara tentar encontrar ass1ntotas &ori;ontas devemos calcular o limite da )un/ão f 5 x6 (uando x tende a ± ∞ *

lim  x ⟶ ±∞

 x + 3  =−1 2− x

Logo eiste uma ass1ntota &ori;ontal de e(ua/ão  y =−1 * Portanto as ass1ntotas são  x =2 e y =−1 * 3m termos do grá)ico teremos+

O

Pro6(e"' de o*tii)"ção 'o6re e-treo' 8-io' * Um 'ro@?ctil ? arremessado verticalmente de uma altura s 0   dada em metros sua altura s em )un/ão do tem'o t  segundos a'-s o lan/amento ? dada 'or  s ( ! )=−5 !  + 10 !  2

 Qual a altura máima (ue o 'ro@?ctil atingeT Usando o teorema da derivada 'rimeira tem se+ 2 '  Primeiro ac&ar a derivada 'rimeira " ( ! )= (−5 !  + 10 ! )

' 

⟹

' 

" ( ! )=−10 ! + 10

:nulamos a derivada 'rimeira+ −10 ! +10= 0 ⟺ ! =1  'onto critico* 8alculamos o valor da altura 'ara tem'o ! =1 s : s ( 1 )=5 m $ (ue 'ermite concluir (ue a altura máima atingida 'elo 'ro@?ctil ? de

5m

*

2* Uma %ola atirada de %aio 'ara cima na vertical atinge a altura & em metros dada 'or  & 5 t 6 !t =

−

!t 2

ao )im de t segundos* Qual ? a altura máima atingida 'ela %ola e o tem'o gasto nesse 'ercursoT "* Um vendedor com'ra cal/as directamente da )á%rica ao 're/o de 2000 Mts a caia com 2 cal/as* $ valor de revenda sugerido 'ela )á%rica e de 000 Mts a cal/a* : esse 're/o o vendedor costuma vender "0 caias 'or mBs* =o entanto a e'eriBncia do vendedor mostra (ue 'ara cada !00Mts (ue o)erece de desconto no 're/o sugerido da )á%rica ele consegue vender " caias a mais* Por (uanto deve vender cada cal/a 'ara (ue seu lucro mensal se@a o máimo 'oss1velT



Pro6(e" de o*tii)"ção 0!nio'2 * #urante várias semanas o de'artamento de trVnsito da cidade de Quelimane vem registrando a velocidade dos ve1culos (ue 'assam 'or um certo cru;amento* $s resultados mostram (ue entre " e O &oras a velocidade m?dia neste cru;amento ? dada a'roimadamente 'or  # ( ! )=!  −10,5 !  + 30 ! + 20 $m / %   onde t ? o nAmero de &oras a'-s o meioCdia* Qual o 3

2

instante entre " e O (ue o trVnsito ? mais lentoT

So(ução/ $ o%@ectivo ? determinar o m1nimo a%soluto da )un/ão v5t6 no intervalo

1≤ ! ≤ 6

* Para isso

inicialmente calculamos a 'rimeira derivada e igualamosCna a ;ero 'ara encontrar os 'ontos cr1ticos+ 2

# & (! )=3 !    21 ! + 30= 0 ⟺ ! =2 o ! =5 .

Portanto estes são os 'ontos cr1ticos de #  am%os 'ertencentes ao intervalo 56* Para veri)icar se são 'ontos de máimo ou m1nimo locais usamos o teste da segunda derivada+ # & & ( ! )= 6 !  21 ⟹

# & & ( 5 )=9 > 0

# & & ( 2 )=  9 < 0

⟹ ! = 2

 ? 'onto de máimo local de # 

= 5  ? 'onto de m1nimo local de v*

⟹ ! 

Para determinar os 'ontos de máimo e m1nimo glo%ais 5a%solutos6 de #  em IG 'recisamos com'arar os valores (ue # assume nos 'ontos cr1ticos com os res'ectivos valores nos etremos do intervalo 'ois como #  ? uma )un/ão cont1nua de)inida em um intervalo )ec&ado 'ode assumir seus valores máimo e m1nimo glo%ais ou nos 'ontos cr1ticos ou nos etremos do intervalo* :ssim temos+ # ( 1 )= 40,5 # ( 2 )= 46 # ( 5 )=32,5 # ( 6 )=38.

20

8om isso conclu1mos (ue t  2 ? 'onto de máimo glo%al e t  ! ? 'onto de m1nimo glo%al de v no intervalo de interesse IG* .sso signi)ica (ue o trVnsito ? mais lento as & (uando os carros 'assam 'elo cru;amento a uma velocidade m?dia de "2! WmH&* 2* Uma esta/ão de rádio )e; um levantamento dos &á%itos dos ouvintes entre & e meiaCnoite* :  'es(uisa mostra (ue a 'ercentagem de adultos sintoni;ados na esta/ão  x  &oras a'-s as & 1

3 2 ? f  ( x )= 8 (−2 x + 27 x −108 x + 240 )

 3m (ue instante entre & e meiaCnoite eistem menos ouvintes sintoni;ados na esta/ãoT "* Um de'artamento de estradas de rodagem está 'lane@ando )a;er uma área de descanso 'ara motoristas S %eira de uma rodovia movimentada* $ terreno deve ser rectangular com uma área de !*000 m2 e deve ser cercado nos trBs lados (ue não dão 'ara a rodovia* Qual o menor  com'rimento da cerca necessária 'ara a o%raT

Conc(u'ão #este tra%al&o 'odeCse tirar as seguintes conclusNes no (ue di; res'eito a uma )un/ão e suas caracter1sticas )oi 'oss1vel notar ? 'oss1vel de%ru/ar se dos valores etremos máimos ou m1nimos monotonia e concavidade a 'artir dos testes da 'rimeira e da segunda derivada o (ue torna muito mais )ácil e e)ica; a inter'reta/ão das tais caracter1sticas* ,am%?m a'roveita do teste da derivada segunda 'ara o%ten/ão do 'onto de in)leão e 'or )im reunidos todas as caracter1sticas @á 'ode se ideali;ar a 'oss1vel imagem da )un/ão no sistema cartesiano ortogonal*

2

9i6(io#r"fi" * ,X$M:7 9eorge