Estudio de La Clotoide o Espiral de Euler

Estudio de la Clotoide o Espiral de Euler. Su expresión más simple es

A2 = R x L

Corresponde a la espiral con más uso en el diseño de carreteras, sus bondades bondades con respecto a otros elementos geométricos curvos, permiten obtener carreteras cómodas, seguras  estéticas! Las principales venta"as de las espirales en alineamientos #ori$ontales son las siguientes% &na &na curva curva espir espiral al diseñ diseñada ada apro apropia piada damen mente te prop propor orcio ciona na una una traectoria natural  'ácil de seguir por los conductores, de tal manera (ue la 'uer$a centr)'uga crece o decrece gradualmente, a medida (ue el ve#)culo entra o sale de una curva #ori$ontal! La longitud de la espiral se emplea para reali$ar la transición del peralte  la del sobreanc#o entre la sección transversal en l)nea recta recta  la secció sección n trans transver versal sal comple completam tamen ente te peralt peraltad ada a  con sobreanc#o de la curva! *l desarrollo del peralte se #ace en 'orma progresiva, con lo (ue se consigue (ue la pendiente transversal de la cal$ada sea, en cada punto, la (ue corresponde al respectivo radio de curvatura! La +exibilidad +exibilidad de la clotoide  las muc#as combinaciones combinaciones del radio con la longitud, permiten la adaptación a la topogra')a,  en la maor)a de los casos la disminución del movimiento de tierras, para obtener tra$ados más económicos! Con el empleo de las espirales en autopistas  carreteras, se me"ora consid considera erable blemen mente te la apari aparienc encia ia en rela relació ción n con con curva curvas s circul circular ares es nicamente! nicamente! *n e'ecto, mediante mediante la aplicación aplicación de espirales se suprimen suprimen las discontinuidades notorias al comien$o  al -nal de la curva circular .téngase en cuenta (ue sólo se utili$a la parte inicial de la espiral/, la cual cual se disto distorsi rsion ona a por el desar desarro rollo llo del pera peralte lte,, lo (ue (ue es de gran gran venta"a también en el me"oramiento de carreteras existentes! Ecuaciones Paramétricas La clot clotoi oide de se pued puede e de-n de-nir ir como como una una curv curva a tal tal (ue (ue su radi radio o es inversamente proporcional a su longitud! Su ecuación intr)nseca es%

Donde: L

%

Longitud desde el origen a los puntos indicados, .m/

R

%

Radios en los puntos indicados, .m/

A

%

0arámetro de la clotoide, .m/

Parámetro A a.

Consideraciones generales 0or de-nición, en las clotoides la curvatura var)a gradualmente desde cero .1/ en la tangente, #asta un valor máximo correspondiente al de la curva circular espirali$ada, a (ue el radio de la curva, en cual(uier punto de la espiral, var)a con la distancia desarrollada a lo largo de la misma, manteniendo su parámetro A constante! *s decir, an cuando el radio  la longitud de los distintos puntos de la clotoide tienen di'erentes valores, estos están ligados entre s), de modo (ue su producto es un valor constante, pudiéndose 'ácilmente calcular uno de ellos cuando se conoce el valor del otro Las clotoides de parámetro A grande, aumentan lentamente su curvatura , por consiguiente, son aptas para la marc#a rápida de los ve#)culos! Las espirales de parámetro A pe(ueño aumentan rápidamente su curvatura , por consiguiente, se utili$an para velocidades de marc#a reducida *l parámetro A, al -"ar el tamaño de la clotoide, -"a la relación entre R .radio/, L .longitud/  ( .ángulo central de la espiral/!

b.

Cálculo

Si en la 'órmula A 2=R x L #acemos R=L, entonces% A = R = L,  el punto en (ue tal cosa ocurre es el punto paramétrico de la clotoide, punto en el cual el radio de curvatura  la longitud del arco desde el origen son iguales! *n el punto paramétrico corresponde un arco entre las tangentes de 234536728! Elementos de la Clotoide

R x L = A2  < = 2e > 0/.sec