estruturas algébricas

ÍNDICE CAPÍTULO 1 – RELAÇÕES

1.1 – PRODUTO CARTESIANO - 2 1.2 - RELAÇÕES - 2 1.3 – PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO - 3 1.4 – CLASSES DE EQUIVALÊNCIA – CONJUNTO QUOCIENTE QUOCIENTE - 3 EXERCÍCIOS 1 - 4

CAPÍTULO 2 – OPERAÇÕES INTERNAS E EXTERNAS

2.1 – INTRODUÇÃO -  2.2 – PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES -  2.3 – A DISTRI!UTIVIDADE - " EXERCÍCIOS 2 - " 2.4 – OPERANDO COM CLASSES DE EQUIVALÊNCIA M#DULO M#DULO $%& - ' EXERCÍCIOS 3 - 1(

CAPÍTULO 3 – ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

3.1 – INTRODUÇÃO - 11 3.2 – AS ESTRUTURAS AL)*!RICAS - 11 3.3 – PROPRIEDADES DE UM )RUP#IDE – 13 EXERCÍCIOS 4 - 14 3.4 – +OMOMOR,ISMO DE )RUP#IDES - 1

CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE GRUPO

4.1 – PRIMEIRAS PROPRIEDADES – 1 EXERCÍCIOS  - 1 4.2 - )RUPOS ,INITOS ,INITOS E TA!ELAS DE ENTRADAS ENTRADAS - 1 4.3 – AL)UNS )RUPOS ,INITOS - 1" EXERCÍCIOS  - 2( 4.4 – PROPRIEDADE ASSOCIATIVA ASSOCIATIVA )ENERALI/ADA - 21 4. - POTÊNCIAS EM UM )RUPO - 21 4. - CONJU)ADO E COMUTADOR - 22 EXERCÍCIOS  - 22 4. - SU!)RUPOS - 23 4." – CONDIÇÕES PARA QUE UM SU!CONJUNTO SEJA UM SU!-)RUPO - 24 4.' – UNIÃO E INTERSEÇÃO DE SU!)RUPOS - 2 4.1( - ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO DE SU!CONJUNTOS NÃO VA/IOS DE UM )RUPO - 2 EXERCÍCIOS " -2 4.11 - PRODUTO DIRETO DE )RUPOS - 2 4.12 - )RUPOS CÍCLICOS - 2 4.13 - CLASSES LATERAIS DE UM SU!)RUPO E O TEOREMA DE LA)RAN)E - 2' EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS (' - 31 CAPÍTULO 5 - ANEIS .1 – CONCEITOS INICIAIS – 33 .2 – EXEMPLOS DE AN*IS - 34 .3 – PROPRIEDADES ELEMENTARES - 34 .4 - DIVISORES DE /ERO EM UM ANEL – 3 . – DOMÍNIO DE INTE)RIDADE - 3 EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS 1( - 3 . - SU!AN*IS - 3 . - +OMOMOR,ISMOS DE AN*IS - 3 ." - IDEAIS DE UM ANEL - 3" EXERCÍCIOS 11 – 3' SÍM!OLOS USADOS – 41 ÍNDICE REMISSIVO - 42

1

CAPÍTULO 1 – RELAÇÕES 1.1 – PRODUTO CARTESIANO S0 A 0 ! 567 85%9%:57 %;5 6%0-70 5 pr!"# $%r#&'(%) A $%r#&'(%) A X ! 855 70%5 5 85%9%:5 57 ?@07 5@0%57B  B :67 F90  ∈ A 0  ∈ !. T5%5 ?5@ 00?G5 A H  0 6 0 ! H K 8 5 ?@59:5 A X ! 70@ 5 85%9%:5  KB  8B 0 KB 0 8B 6 KB 6 8B. P0G 0>6%6;5 68-70 68-70 F90 A X ! H ! X A  685 70 0 750%:0 70 A H !. 1.2 - RELAÇÕES S0 A 0 ! 567 85%9%:57 %;5 6%6 0 A. I%6857 9 @0G;5 K6%@6 0 A ?0G5 7K5G5 ℜ 078@06%6 0 A A @0G;5 ℜ  r&0*&(% 70 r&0*&(% 70 ?@ :55  ∈ A  ℜ . A @0G;5 ℜ  '(#r($% 70 '(#r($% 70 ?@ :55   ∈ A 70  ℜ  0%:;5  ℜ . A @0G;5 ℜ  #r%)'(#(% 70 #r%)'(#(% 70 ?@ :55   = ∈ A 70  ℜ  0  ℜ = 0%:;5  ℜ =. A @0G;5 ℜ  %)#(-'(#r($% 70 %)#(-'(#r($% 70 ?@ :55   ∈ A 70  ℜ  0  ℜ  0%:;5  H . E0?G5 1 C5%760@057 5 85%9%:5 A H 1 2 3 0 ℜ  @0G;5 0>6%6 0 A ?5@  ℜ  ⇔    H 4. O ?@59:5 A X A  5 85%9%:5 1 1B 1 2B 1 3B 2 1B 1 B 2 2B 2 3B 3 1B 3 2B 3 3B. A @0G;5 ℜ 0>6%0 5 79K85%9%:5 ℜ H 1 3B 2 2B 3 1B ?567 7;5 57 %6857 ?@07 89 75  69G  4. D6=-70 F90 ℜ  9 r&*%+, !& &"(%*6)$(% 70 &"(%*6)$(% 70 ℜ  @0>G06G06G066F90 7 ?@5?@6007 7 @0GZ07 K6%@67 R 0 S 0>6%67 K65. B C5%9%:5 Q 0 ℜ ⇔ __ \ __. KB C5%9%:5 / 0 ℜ ⇔ -  G:6?G5 0 3. 8B C5%9%:5 N 0 ℜ ⇔ .  ?@. 1(". D 9 85%:@ 00?G5 875 >G75 85%760@%5 R 0 S @0GZ07 K6%@67 0 9 85%9%:5 S. B S0 R 0 S >5@0 @0>G06G065@0 76:@687 0%:;5 R ∩ S 70@ 76:@68. 8B S0 R 0 S >5@0 %:6-76:@687 0%:;5 R ∪ S 70@ %:6-76:@68. B S0 R 0 S >5@0 :@%76:6B H K> – 08 8 – > 0 – KB %;5  859::6B ∧  K 8B H 08 – K> > – 8 K – 0B H - K> – 08 8 – > 0 – KB H -  K 8B ∧  0 >B. ?@  %''$(%#(% '& & '&)#& '&

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E0?G5 1 –  6;5 0  9G:6?G68;5 0 N 7;5 77586:6B H 2  1 B H 3 – 2 0 B H -4  2. E0?G5  – 7 5?0@Z07 9%6;5 0 6%:0@70;5 0 85%9%:57 7;5 859::69%;5 >  N → 2N :G F90 ?@ :55  ∈ N >B H 2  9 555@>675 0 @9?Y607. T057 >  B H 2.  B H 2  2 H >B  >B. T&r&% 1 S0 )1 ]B 0 )2 ⊕B 567 @9?Y607. S0 >  )1 → )2  9 555@>675 0%:@0 57 567 @9?Y607 0%:;5 >)1B  >085 ?@  5?0@;5 ⊕. D05%7:@;5. S0   ∈ >)1B. P5@ 0>6%6;5 0 >) 1B 067:0  K ∈ )1 :67 F90  H >B 0  H >KB. A776  ⊕  H >B ⊕ >KB H > ] KB ?567 >  9 555@>675 0 @9?Y607. N5:0-70 F90 855 )1 ]B  9 @9?Y60 ?50-70 85%8G96@ F90  ] K ∈ )1. D07:0 55 ∀   ∈ >)1B  ⊕  >)1B ⇒ >)1B  >085 ?@  5?0@;5 ⊕. T&r&% 2 S0 )1 ]B 0 )2 ⊕B 567 @9?Y607. S0 >  )1 → )2  9 555@>675 0%:@0 57 567 @9?Y607 0%:;5 B S0 ]  77586:6)1B ⊕BW B S0 0 )1 ]B a  5 6%aB  5 6%B 0 >)1B ⊕B. D05%7:@;5. S0   0 = 0G00%:57 0 )1. B T057 F90 >d ]  ] =Be H >B ⊕ > ] =B H >B ⊕ d>B ⊕ >=Be. 1B >d ] B ] =e H >]B ⊕ >=B H d>B ⊕ >Be ⊕ >=B. 2B C55 ]  77586:6d ]  ] =Be H >d ] B ] =e. D0 1B 0 2B 85%8G96-70 0%:;5 >B ⊕ d>B ⊕ >=Be H d>B ⊕ >Be ⊕ >=B 5 F90 85?@5 ] B H >B ⊕ >B 0 > ] B H >B ⊕ >B. C55 ]  859::6 ] B H > ] B ⇒ >B ⊕ >B H >B ⊕ >B ⇒ ⊕  859::6B 1B O@ >% ] B H >%B ⊕ >B 2B 6755@>675 0 ) 1 0 )2B. D0 1B 0 2B >%B ⊕ >B H >B ⇒ >%B  5 0G00%:5 %09:@5 0 ⊕. 15

B S0 a  5 6%a ] B H >%B. 1B P0G5 6755@>675 0 )1 75K@0 )2 >a ] B H >aB ⊕ >B 2B. D0 1B 0 2B >aB ⊕ >B H >%B. C5%>5@0 %B  5 0G00%:5 %09:@5  5?0@;5 ⊕. P5@:%:5 >aB  5 6%B. D0>6%6Z07 S0 ) 1 ]B 0 )2 ⊕B 567 @9?Y607 0 >  )1 → )2  9 555@>675 0%:@0 57 567 @9?Y607. D6=-70 F90 >  1. 9 5%55@>675 70 >  6%0:6675 70 >  75K@00:6675 70 >  K60:6675 70 )1 H )2W . 9 9:55@>675 70 > 0%55@>675 0 6755@>675. Q9%5 067:0 9 6755@>675 0%:@0 57 567 @9?Y607 078@057. CAPÍTULO 4 – ESTRUTURA DE GRUPO 4.1 – PRI8EIRAS PROPRIEDADES D&0()(+, 1 - U @9?5 ) ]B  9 85%9%:5 >085 ?@  5?0@;5 K6%@6 ] 0 F90 7:67>= 57 7096%:07 657 IB A 5?0@;5 ]  77586:66%6:5 + 9 79K@9?5 0 ) 0 )`+ 5 85%9%:5 7 8G7707 G:0@67 6@06:7 0 + 0 ). E%:;5 _+_ 66%6:5 :057 F90 067:0 9 %0@5 >6%6:5 0 8G7707 G:0@67 6@06:7 0 +  F90  9%6;5 0 :57 0G7  69G  ) 0 85@5 85 5 :05@0  %:0@65@. S9?5%57 0%:;5 F90 067:0 7 8G7707 G:0@67 6@06:7 0 + 7 [ 1 97  97 67:6%:7 59 70 )`+ H +]1 +]2 . . . +]7 ?@ 80@:57 0G00%:57 1 2 . . .   7 0 ) 70%5 7 8G7707 +]1 +]2 . . . +] 7 67:6%:7 0%:@0 76. C55 8G7707 G:0@67 67:6%:7 7;5 :K 679%:7 :0@057 ) H +]1 ∪ +]2 ∪ . . . ∪ +]7 0 G 6775 31

_)_ H _+]1_  _+]2 _  . . . _+] 7_ S0%5 ?5@ _+]_ H _+_ ?@ 8  1 \  \ 7 @079G: _)_ H _+_  _+_  ... _+_ H 7._+_ D07: >5@ _)_`_+_ H 7 H _)`+_. Cr*/r( 1 - T55 5 @9?5 ) 89 5@0  9 %0@5 ?@65 5@0 ?@6B  0@5 ?0%7 ?5@ 9 0G00%:5. D05%7:@;5. S0 _)_ H ? 5%0 ?  9 %0@5 ?@65. S0  ∈ )`0. C5%760@057 5 79K@9?5 0@5 ?5@  \  [ :G F90 _\[_ H . E7:0 79K@9?5 \[B:0 ?0G5 0%57 567 0G00%:57 % 0 . P0G5 T05@0 0 L@%0  5@0 0 \[ F90  0%:;5 65@ 59 69G  2 0