Estructuras Discretas (Spanish - Gallego, Manuel Luque

ESTRUCTURAS DISCRETAS Manuel Luque Gallego

ESTRUCTURAS DISCRETAS ESTRUCTURAS DISCRETAS Agradecimientos Introducción 1 Sistema Siette 2 Teoría de Conjuntos Resumen 2.1 Conjuntos y operaciones 2.1.1 Conceptos básicos de conjuntos 2.1.2 Operaciones sobre conjuntos 2.1.3 Partición de un conjunto

2.2 Representación gráfica de conjuntos 2.3 Propiedades básicas y precedencia entre operadores 2.3.1 Propiedades básicas 2.3.2 Precedencia entre operadores: Eliminación de paréntesis 2.4 Tuplas y conjunto potencia 2.4.1 Tuplas y producto cartesiano 2.4.2 Conjunto potencia 2.4.3 Tipos y signatura 2.5 Conjuntos notables 3 Relaciones Resumen 3.1 Relaciones y operaciones

3.1.1 Conceptos básicos de relaciones 3.1.2 Operaciones sobre relaciones 3.2 Relaciones binarias 3.2.1 Dominio y rango 3.2.2 Operaciones especiales 3.3 Representación de relaciones 3.3.1 Matriz de una relación 3.3.2 Grafo de una relación 3.4 Propiedades de las relaciones 3.4.1 Propiedades más importantes de las relaciones

3.4.2 Cierres 3.4.3 Relaciones de equivalencia 3.5 Relaciones de orden 3.5.1 Conceptos asociados a orden parcial 3.5.2 Notación infija en el uso de algunas relaciones muy comunes 4 Funciones Resumen 4.1 Concepto de función 4.2 Funciones parciales y totales. Funciones especiales: identidad y constante 4.3 Representación formal y gráfica de funciones

4.3.1 Representación mediante tablas 4.3.2 Representación mediante curvas 4.3.3 Representación mediante grafos 4.4 Propiedades de funciones 4.5 Construcción de nuevas funciones 4.5.1 Clases especiales de funciones 4.6 Conceptos avanzados de cardinalidad de conjuntos 4.7 Homomorfismos 5 Combinatoria Resumen 5.1 Principios básicos de la

Combinatoria 5.2 Funciones importantes en Combinatoria 5.3 Formas de agrupamiento 5.3.1 Variaciones 5.3.2 Permutaciones 5.3.3 Combinaciones 6 Teoría de grafos Resumen 6.1 Conceptos básicos de teoría de grafos 6.2 Representación gráfica de los grafos 6.3 Conceptos avanzados sobre grafos 6.4 Caminos y conectividad 6.4.1 Conceptos básicos de

caminos 6.4.2 Tipos básicos de caminos 6.4.3 Relación de accesibilidad 6.4.4 Distancias en caminos 6.4.5 Conexión en grafos 6.5 Recorridos y tipos especiales de caminos 6.5.1 Recorridos 6.5.2 Tipos especiales de caminos 6.6 Árboles

ESTRUCTURAS DISCRETAS Dr. Manuel Luque Gallego Copyright ©2013. Manuel Luque Gallego. Todos los derechos reservados.

Todos los derechos reservados.

Este libro ha sido autopublicado por el autor Manuel Luque Gallego. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de Manuel Luque Gallego, titular del «Copyright», bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o distribución, total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento electrónico o mecánico, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante venta, alquiler o préstamo públicos. Si desea realizar cualquiera de las

acciones de arriba, por favor, pídame permiso contactando a través de la dirección de correo electrónico [email protected]. Versión 1.0.18. Actualizaciones de esta versión en el enlace: Actualizaciones.

Agradecimientos Quiero mostrar mi agradecimiento a todas las personas que me han ayudado a la elaboración de este libro. Quiero agradecer al profesor José Ramón Álvarez Sánchez toda la ayuda que me ha brindado para solucionar multitud de problemas técnicos relacionados con la maquetación y escritura de este libro. Agradezco al profesor José Luis Fernández Vindel sus consejos

acerca de cómo estructurar y presentar el contenido del libro para un aprendizaje más eficaz de los lectores. Quiero expresar mi agradecimiento al profesor Ricardo Conejo Muñoz, por el magnífico sistema Siette que ha desarrollado con su grupo de investigación, que tan útil es para los estudiantes y los profesores, y por el apoyo que me ha prestado para montar en Siette los tests que acompañan a este libro. También quiero mostrar mi gratitud a los usuarios de blogs y foros

cuyas aportaciones me han servido para resolver cuestiones del formato del texto. Agradezco a todos los desarrolladores de software libre por el trabajo que realizan continuamente para construir un conjunto de herramientas informáticas de gran utilidad para la sociedad moderna y en particular para la edición de este libro. En el plano personal quiero mostrar todo mi agradecimiento a Mariela. A la felicidad que ha aportado a mi vida se le unen la paciencia y

comprensión que me ha demostrado durante estos últimos meses mientras escribía el libro.

Introducción El objetivo de este libro es proporcionar los conocimientos básicos de Estructuras Discretas. El autor presenta los conceptos de una forma concisa, aportando ejemplos sencillos que ayuden a la asimilación de los conceptos. Este libro también incluye el acceso a tests informatizados autoevaluables y autodaptativos en el sistema Siette. Este sistema implementa la teoría clásica de los tests y la teoría de respuesta al ítem, de forma que los tests

preparados a medida para este libro ayudarán al lector a aprender los conceptos de una forma eficaz, totalmente gradual y autónoma. Se va a proporcionar posteriormente una introducción a Siette junto con breves instrucciones acerca de cómo acceder a los tests. Se recomienda encarecidamente al lector que alterne la lectura del texto con la realización de los tests para que así pueda obtener una mejor realimentación de Siette acerca de su aprendizaje. Más adelante se explicará cómo se puede escoger realizar un test de

una parte concreta del libro como un capítulo, sección o subsección. Los contenidos aprenderá son:

que

el

lector

Teoría de conjuntos. Relaciones. Funciones. Combinatoria. Teoría de grafos. Con el objetivo de facilitar la lectura, se han estructurado los

contenidos de cada sección utilizando distintos bloques de texto: definiciones, ejemplos, teoremas, proposiciones y corolarios. Se han omitido las demostraciones, pues se escapan a los objetivos básicos del libro. Espero que disfrute de la lectura del libro y que ésta le resulte provechosa. Manuel Luque Gallego Madrid, noviembre de 2013

1 Sistema Siette En la docencia actual es cada vez más importante que los estudiantes realicen la mayor cantidad de actividades posibles que le ayuden en el aprendizaje. Entre los distintos tipos de actividades destacan las que consisten en responder a tests, que suelen venir dados por un conjunto de preguntas, cada una con varias respuestas posibles, de las cuales una o varias pueden ser las correctas. Además, los tests son habituales en exámenes de Universidad con el objetivo de

evaluar de forma objetiva el nivel de conocimiento del estudiante en una materia. Hace unos años surgió un sistema para la creación y mantenimiento de preguntas y realización de tests, denominado Siette. Siette es un sistema web que permite al estudiante realizar tests de autoevaluación que se adaptan automáticamente a su nivel de conocimiento con el objetivo de mejorar eficazmente el aprendizaje. Siette implementa la teoría clásica de los tests y la teoría de respuesta al ítem, por lo que su

funcionamiento investigaciones muy sólidas.

se sustenta en psicopedagógicas

Adicionalmente a este libro se proporciona al lector un conjunto de tests autoevaluables en Siette que han sido elaborados a medida para los contenidos de este libro. El objetivo de estos tests es ayudar al lector a aprender de forma autónoma, eficaz y gradual los contenidos que aquí se explican. Antes de realizar su primer test, el lector deberá darse de alta en Siette. Para ello sólo tiene que

acceder a la página http://www.siette.org, pulsar en “Nuevo usuario” y rellenar el formulario con sus datos. Los tests que se han preparado para el lector están disponibles en el enlace: Test. Tras pinchar en él, tendrá que introducir su usuario y contraseña de Siette, y a continuación le aparecerá una pantalla como la de la siguiente figura.

La estructura de temas y subtemas introducida en Siette se corresponde con la estructura de este libro. El lector puede elegir en todo momento el capítulo o la sección o subsección del libro sobre el que desea que traten las preguntas del test. Por ejemplo, en la figura aparece seleccionado el

tema de “Teoría de Conjuntos”; sin embargo, haciendo click, se podría elegir otro tema o subtema o incluso seleccionar todo el contenido del libro (Estructuras Discretas). El test puede ser realizado tranquilamente dedicándole el tiempo que estime oportuno, cuántas veces desee y a cualquier hora del día; el único requisito técnico es tener conexión a Internet y utilizar un navegador moderno, preferiblemente Firefox. Dado que Siette incorpora cierta aleatoriedad al escoger las preguntas del test que

presenta al usuario, es muy probable que en veces sucesivas que se realicen tests las preguntas que aparezcan sean distintas. Recomendamos que si tiene tiempo, tras realizar el test, trabaje viendo qué preguntas ha acertado, cuáles ha fallado, y trate de entender cuál es la respuesta correcta a cada pregunta. En ese caso, volver a releer algún punto concreto del libro puede resultarle de gran ayuda para afianzar los conceptos. Espero que disfrute realizando los tests de Siette y que éstos le sean

útiles para aprender Estructuras Discretas.

2 Teoría de Conjuntos Resumen Este capítulo trata los conceptos fundamentales de la Teoría de Conjuntos. Se presentan los conceptos básicos de conjuntos, las principales operaciones y las distintas formas de representación. Se explican las propiedades básicas de las operaciones de conjuntos y conceptos esenciales como las tuplas y el conjunto potencia. Finalmente se explican conjuntos notables, cuyo

conocimiento es fundamental para cualquier estudiante de Informática.

2.1 Conjuntos y operaciones 2.1.1 Conceptos básicos de conjuntos Definición (Conjunto). Un conjunto es una colección de objetos distintos en la cual el orden no tiene importancia. Un conjunto se suele especificar utilizando las llaves { y }. Ejemplo. Un ejemplo de conjunto es A = {1, 2, 3, 4}. Otro ejemplo de

conjunto es B = {c, d, e}. Definición (Elemento). Cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto se denomina elemento. Ejemplo. Dado el conjunto A = {1,  2}, tanto el 1 como el 2 son elementos de A. En cambio, el 3 y el 4 no son elementos de A. Podemos determinar un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión o intensión. Definición (Determinación por extensión). Se determina un conjunto S por extensión cuando se

proporciona una lista que contiene a todos los elementos de S y sólo a ellos. Ejemplo. Los siguientes conjuntos A y B están determinados por extensión: A = {c, d, e}, B = {1, 3, 5, 7}. Definición (Determinación por comprensión o intensión). Un conj unto S es determinado por comprensión o intensión— o de forma intensiva—, cuando se

indica una propiedad que cumplen todos los elementos de S y sólo ellos. Cuando se define un conjunto por intensión es frecuente utilizar la barra |, que se lee como “tal que”. Ejemplo. Los siguientes conjuntos A y B están determinados por comprensión: A = {x ∣ x es un número par} , B = {x ∣ x es un número primo de dos cifras}. Definición

(Pertenencia

a

un

conjunto). Sea un conjunto S y un objeto x. Se dice que x pertenece a S si x es un elemento de S. Se denota por x ∈ S. Si un objeto x no pertenece a un conjunto S se denota por x ∉ S. Ejemplo. Sea el conjunto A = {1,  2}. Se cumple que 1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∉ A y 4 ∉ A. Definición (Subconjunto). Sean S y T dos conjuntos. S es subconjunto de T si todo elemento que pertenece a S pertenece a T. Se denota por S  ⊂ T, ó S ⊆ T.

Ejemplo. Sean conjuntos:

los

siguientes

A = {2, 4}, B = {x ∣ x es un número par mayor que 1 y menor que 10}, C = {x ∣ x es un número primo mayor que 1 y menor que 10}. Se cumple que A ⊂ B, ya que los dos elementos de A pertenecen a B. En cambio, A no es subconjunto de C, ya que no todo elemento de A pertenece a C; en concreto, se tiene q ue 4 ∈ A, pero 4 ∉ C. También

se verifica que ni B subconjuntos de A.

ni C son

Definición (Superconjunto). Sean S y T dos conjuntos. T es un superconjunto de S si S es subconjunto de T. Se denota por T  ⊃ S, ó T ⊇ S. Ejemplo. Sean los conjuntos A y B del ejemplo anterior. Se cumple q ue B ⊃ A. En cambio, A no es superconjunto de B. Proposición. Sean S y T dos conjuntos. Se cumple que S ⊂ T si y sólo si T ⊃ S.

Definición (Conjuntos iguales y conjuntos distintos). Sean S y T dos conjuntos. Entonces: S y T son iguales si se cumple q u e S ⊂ T y T ⊂ S. Se denota por S = T. S y T son distintos si S y T no son iguales. Se denota como S  ≠ T. De la definición anterior se deduce que si S = T entonces T = S. Además, si S ≠ T entonces T ≠ S. Ejemplo. Sean los conjuntos:

A = {2, 4, 6, 8}, B = {8, 6, 4, 2}, C = {x ∣ x es un número par mayor que 1 y menor que 10}, D = {2, 4, 6}. Se tiene que A = B, B = C, A = C, A ≠ D, C ≠ D y B ≠ D. Definición (Subconjunto propio). Se dice que un conjunto S es un subconjunto propio de un conjunto T si S ⊂ T y S ≠ T. Ejemplo. El conjunto S = {1, 2, 3}

es un subconjunto propio del conjunto T = {1, 2, 3, 4}, ya que S es un subconjunto de T, pero S y T son distintos. Proposición. Sea S cualquier conjunto. Se cumple que S no es subconjunto propio de S. Definición (Conjunto finito y conjunto infinito). Un conjunto es finito si contiene un número finito de elementos. Un conjunto es infinito si no es finito. Ejemplo. Sean los conjuntos A =  {1, 2, 3} y B = {x ∣ x es una

provincia de España que tiene playa}. Tanto A como B son conjuntos finitos. Ejemplo. El conjunto C = {x ∣ x es un número natural mayor que 7000} es un conjunto infinito. En cambio, el conjunto D = {x ∣ x es un número natural menor que 10800} es un conjunto finito. Definición (Cardinalidad de un conjunto finito). Sea S un conjunto finito. La cardinalidad o cardinal de S es el número de elementos de S. Se denota por ∣S∣.

La cardinalidad de ciertos conjuntos infinitos se estudiará más adelante. Ejemplo. finitos:

Sean

los

conjuntos

A = {2, 4, 6, 8}, B = {3, 5, 7}, C = {x ∣ x es una provincia de España, exceptuando Ceuta y Melilla}. Se cumple que ∣A∣ = 4, ∣B∣ = 3 y ∣C∣ = 50.

Definición (Conjunto universal). En un determinado contexto o teoría, que puede ser un ejemplo o un ejercicio, el conjunto universal está formado por todos los posibles elementos que pueden pertenecer a cualquier otro conjunto. Ejemplo. Considérese que estamos trabajando con un ejemplo donde tenemos los siguientes conjuntos: A  = {2, 4, 6, 8} y B = {3, 5, 7}. Un conjunto universal para ese ejemplo s e r í a U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,  10}, ya que se puede comprobar que los conjuntos A y B son subconjuntos de U. No obstante, no

es el único conjunto universal posible para dicho ejemplo. Otro conjunto universal sería U = {x ∣ x es un número natural mayor que 1 y menor que 20}. En cambio, el c o nj unto S = {1, 2} no es un conjunto universal para dicho ejemplo, ya que uno de los dos conjuntos definidos arriba, el conjunto A, no es subconjunto de S. Definición (Conjunto vacío). Conjunto vacío es un conjunto que no contiene ningún elemento. Se representa por ∅. Ejemplo. Sea el conjunto A = {x 

∣ x es un equipo de fútbol de primera división de España cuya ciudad se encuentre ubicada geográficamente en el hemisferio Sur}. Se cumple que A = ∅, ya que no existe ninguna ciudad del hemisferio Sur con equipo de fútbol en primera división de España. Definición (Conjunto no vacío). Un conjunto es no vacío si es distinto de ∅. Ejemplo. El conjunto A = {3, 5, 7} es un conjunto no vacío. Proposición. Sea S un conjunto. Se

cumple que ∣S∣ = 0 si y sólo si S  = ∅.

2.1.2 Operaciones sobre conjuntos Definición (Intersección, unión y diferencia de conjuntos). Sean S y T dos conjuntos. Entonces: La intersección de S y T es el conjunto de los elementos comunes a S y a T. Se denota por S ∩ T. L a unión de S y T es el conjunto que contiene a los

elementos de S y a los de T. Se denota por S ∪ T. La diferencia de S y T es el conjunto formado por los elementos de S que no pertenecen a T. Se denota como S \ T. Ejemplo. Sean conjuntos:

los

A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {2, 3, 4, 6}, C = {4, 6, 8}.

siguientes

Se verifica que A ∩ B = {2, 3}, ya que tanto 2 como 3 pertenecen a A y a B, y no hay ningún otro elemento que pertenezca a la vez a A y a B. Así, 5 ∉ A ∩ B, ya que 5 ∈ A pero 5 ∉ B. También se tiene que 6 ∉ A  ∩ B, ya que 6 ∈ A pero 6 ∉ B. Además, se cumple que A ∩ C = ∅, ya que no hay ningún elemento que pertenezca a la vez a A y a C. Se tiene que: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},

B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8}. Ejemplo. Sean S = {1, 2, 3, 4} y T  = {2, 4, 6}. Se tiene que S \ T = {1,  3}, y T \ S = {6}. Definición (Complemento de un conjunto). Dado un conjunto universal U y sea S un subconjunto de U, se denomina el complemento d e S, y se denota como  ∼ S, al conjunto formado por aquellos elementos de U que no pertenecen a S. Ejemplo. Sea el conjunto U = {1,  2, 3, 4, 5} y sea S = {2, 3, 5}.

Tenemos que  ∼ S = {1, 4}.

2.1.3 Partición de un conjunto Definición (Conjuntos disjuntos). Dos conjuntos S y T son disjuntos si S ∩ T = ∅. Ejemplo. Sean los conjuntos S =  {1, 2} y T = {3, 4, 5}.  S y T son disjuntos, ya que S ∩ T = ∅. Definición (Partición de un conjunto). Partición de un conjunto S es una colección de conjuntos S1, S2, …, Sn tales que:

ninguno es vacío, la unión de ellos es S y cada par de conjuntos Si y Sj , con i ≠ j, son disjuntos. Ejemplo. Sea el conjunto S = {1,  2, 3, 4, 5, 6, 7}. Sean los conjuntos S1 = {1, 2, 6}, S2 = {3, 4} y S3 =  {5, 7}. Se tiene que: S1, S2 y S3 son distintos de ∅. S1 ∪ S2 ∪ S3 = S. S1 ∩ S2 = ∅, S1 ∩ S3 = ∅ y S2 

∩ S3 = ∅. Por tanto, S1, S2 y S3 constituyen una partición de S.

2.2 Representación gráfica de conjuntos Definición (Diagrama de Venn). Un diagrama de Venn es una representación que sirve para visualizar varios conjuntos y sus interacciones relativas a inclusión e intersección. Cada conjunto S se representa mediante un recinto, que es una línea cerrada generalmente con forma de círculo. El recinto del conjunto universal se representar mediante un rectángulo. Cada región cerrada representa la intersección de los conjuntos cuyos

recintos la delimitan. Ejemplo. Sea el conjunto universal U, y sean los conjuntos S y T. Un diagrama de Venn para U, S y T aparece en la siguiente figura. El recinto relleno con color violeta corresponde a S ∩ T, ya que corresponde a una región encerrada por el recinto de S y el de T.

Ejemplo. Sean los mismos conjuntos del ejemplo anterior. El recinto coloreado del diagrama de Venn de la siguiente figura corresponde a S ∪ T, ya que abarca el recinto de S y el de T.

Ejemplo. Sea el conjunto universal U, y sea el conjunto S. El recinto coloreado de la siguiente figura corresponde a  ∼ S, ya que aparece coloreado todo el recinto de U excepto el recinto que abarca S.

En los ejemplos anteriores cada conjunto aparece indicado con su nombre (S,  T, etc.). No obstante, también es muy frecuente representar los elementos de cada conjunto ubicándolos en la región

correspondiente. Veamos ejemplo sobre esto.

un

Ejemplo. Sean los conjuntos S =  {1, 2, 3, 4} y T = {2, 4, 6}. Sea el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4,  5, 6, 7, 8, 9}. Un diagrama de Venn para representar S, T y U viene dado en la siguiente figura. Hemos representado con color violeta las letras de los conjuntos. Los elementos de cada conjunto aparecen en negro. Podemos comprobar en el diagrama de Venn que S ∩ T = {2, 4} y  ∼ (S ∪ T) =  {5, 7, 8, 9}. A la izquierda de S ∩ T tenemos un recinto con los

elementos 1 y 3 que corresponde a S \ T. De la misma forma, a la derecha de S ∩ T tenemos el recinto de T \ S = {6}.

2.3 Propiedades básicas y precedencia entre operadores 2.3.1 Propiedades básicas Las principales propiedades básicas que se deducen a partir de las definiciones de las operaciones sobre conjuntos se muestran a continuación. Las letras A, B y C indican conjuntos cualesquiera, y U representa el conjunto universal. 2.3.1.1 Asociativa

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 2.3.1.2 Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A 2.3.1.3 Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A  ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A  ∩ C)

2.3.1.4 Idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A 2.3.1.5 Absorción A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A 2.3.1.6 De De Morgan  ∼ (A ∪ B) =  ∼ A ∩  ∼ B  ∼ (A ∩ B) =  ∼ A ∪  ∼ B

2.3.1.7 Doble Complementación  ∼ ( ∼ A) = A 2.3.1.8 Identidad A ∪ ∅ = A A ∩ U = A 2.3.1.9 Complemento A ∪  ∼ A = U 2.3.1.10 Exclusión

A ∩  ∼ A = ∅ 2.3.1.11 Dominación A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅ 2.3.1.12 Complementación del conjunto universal y del conjunto vacío  ∼ U = ∅  ∼ ∅ = U Las

anteriores

propiedades

se

pueden aplicar en demostraciones para obtener otras igualdades que sean siempre verdaderas. Para ello, basta con sustituir A, B ó C en cualquier propiedad. Veamos esto con un ejemplo. Ejemplo. Sean S, T y V tres conjuntos. La propiedad conmutativa establece que A ∪ B  = B ∪ A. Podemos sustituir A por S \ T y B por V en dicha igualdad con lo que obtenemos que (S \ T)  ∪ V = V ∪ (S \ T). Las sustituciones que se realicen en las propiedades anteriores se deben

hacer de forma simultánea en todas las apariciones de las variables a sustituir. Veamos un ejemplo para entender qué sucede si no lo hacemos así. Ejemplo. Consideremos la propiedad conmutativa, que afirma q ue A ∪ B = B ∪ A. Supongamos que queremos sustituir en dicha igualdad la letra B por A ∩ C, y la letra A por D, para obtener otra igualdad que siempre sea verdadera. Si comenzamos sustituyendo la primera aparición de B en la igualdad tendríamos que: A ∪ (A ∩ C) = B ∪ A . 

Si ahora pasáramos a sustituir A por D en todas las apariciones tendríamos que D ∪ (D ∩ C) = B ∪ D .  Podríamos terminar sustituyendo B por A ∩ C en la única aparición que queda, por lo que obtendríamos D ∪ (D ∩ C) = (A ∩ C) ∪ D ,  que podríamos simplificar aplicando la propiedad de absorción en el lado izquierdo de la igualdad y nos quedaría D = (A  ∩ C) ∪ D, que no es una fórmula que sea siempre verdadera para cualesquier conjuntos A, C y D. El motivo de haber llegado a este punto es que no hemos aplicado

correctamente la sustitución, pues no la hemos realizado simultáneamente en la igualdad de partida. Si aplicamos correctamente la sustitución de partida entonces obtendríamos la siguiente igualdad: D ∪ (A ∩ C) = (A ∩ C) ∪ D ,  que sí es una fórmula verdadera para cualesquier conjuntos A, C y D.

2.3.2 Precedencia entre operadores: Eliminación de paréntesis Como

consecuencia

de

la

propiedad asociativa, se tiene que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) para 3 conjuntos cualesquiera A, B y C. En ese caso es frecuente escribir A ∪ B ∪ C pues no hay ambigüedad acerca de qué operación de unión se aplica primero ya que por la propiedad asociativa el resultado sería el mismo en cualquier caso. El mismo razonamiento se podría hacer para el caso de que se tuvieran más de 3 conjuntos; por ejemplo, tampoco habría ambigüedad en la expresión A ∪ B ∪ C ∪ D. De igual manera podríamos razonar si todos los operadores que interviniesen fueran

de intersección, pues aplicaríamos la propiedad asociativa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) y podríamos escribir simplemente A ∩ B ∩ C. Es frecuente suprimir paréntesis cuando se expresan operaciones entre conjuntos. Ello se puede hacer si no hay ambigüedad gracias a que: los dos paréntesis más exteriores de una fórmula se pueden suprimir siempre, por lo que si nuestra fórmula es (A  ∪ B) basta con que la

escribamos como A ∪ B; en cuanto a los paréntesis interiores de la fórmula, podremos suprimirlos si: estamos aplicando la propiedad asociativa tal y como hemos explicado más arriba, y/o hacemos uso de la precedencia entre los 4 operadores de conjuntos (unión, intersección, diferencia y complemento), como

vamos a continuación.

ver

a

El convenio de precedencia entre operadores que vamos a seguir establece que el operador con mayor orden de precedencia es el complemento ( ∼ ), y le siguen los otros tres operadores ( ∩ ,  ∪  y  \ ) con igual orden de precedencia. El operador de mayor precedencia se aplicará antes y por tanto colocará antes los paréntesis en presencia de otros operadores. Veamos un ejemplo sobre ello. Ejemplo. Sean A, B, C, D, E y F

seis conjuntos. Supongamos que tenemos la expresión ((A ∪ (( ∼ B) ∩ (C \ D))) ∪ E)  ∪ F .  Podemos suprimir paréntesis, y escribirla como A ∪ ( ∼ B ∩ (C \ D)) ∪ E ∪ F .  A pesar de haber eliminado paréntesis, no presenta ambigüedad y es equivalente a ((A ∪ (( ∼ B) ∩ (C \ D))) ∪ E)  ∪ F .  En cambio, veamos ahora un ejemplo donde tenemos una expresión que, por falta de paréntesis, presenta ambigüedad.

Ejemplo. Sean A, B y C tres conjuntos. Sea la expresión A ∪ B  ∩ C. Los operadores  ∪  y  ∩  tienen igual orden de precedencia, por lo que no podemos determinar si se trata de la expresión A ∪ (B  ∩ C) o de (A ∪ B) ∩ C. Dado que estas dos expresiones no son equivalentes para cualesquiera conj untos A, B y C entonces decimos que la expresión de partida presenta ambigüedad. A partir de ahora siempre que escribamos expresiones sobre conjuntos han de carecer de ambigüedad.

2.4 Tuplas y conjunto potencia 2.4.1 Tuplas y producto cartesiano Definición (Secuencia). Una secuencia es una lista de objetos en la que el orden tiene importancia. Una secuencia se suele especificar utilizando paréntesis ( y ), ó [ y ]. Ejemplo. La secuencia (1, a) es diferente de la secuencia (a, 1).

Definición (Tupla). Sea la secuencia de n conjuntos (S1, S2,  …, Sn). Una tupla, o n-tupla, es una secuencia (s1, s2, …, sn) donde cada si ∈ Si, siendo 1 ≤ i ≤ n. Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos S = (S1, S2) donde: S1 = {a, b, c}, S2 = {1, 2}. La secuencia (b, 1) es una 2-tupla de S. (a, 2) es otra 2-tupla de S. En cambio, (2, a) no es una 2-tupla de

S ya que 2 ∉ S1 (y a ∉ S2); se ve así cómo el orden de los conjuntos e n S tiene importancia. Tampoco serían 2-tuplas de S las secuencias (a, b) ó (a, 2, c). Definición (Producto cartesiano). E l producto cartesiano de los conjuntos de la secuencia S =  (S1, S2, …, Sn), con n > 1, es el conjunto de todas las posibles ntuplas de S. Se denota como S1  × S2 × … × Sn. Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos del ejemplo anterior. El

producto cartesiano de S1 y S2 es S1 × S2 = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b,  2), (c, 1), (c, 2)} .  El producto cartesiano de dos conjuntos se puede visualizar muy bien representando en una matriz todas las tuplas posibles. Así, en la siguiente figura se ve como, dentro del rectángulo, cada fila corresponde a un elemento de S1 y cada columna a un elemento de S2.

Ejemplo. Sea la secuencia de conjuntos (S1, S2, S3) donde S1 =  {1, 2}, S2 = {3, 4} y S3 = {a, b}. El

producto cartesiano de S1, S2 y S3 es S1 × S2 × S3 = {(1, 3, a), (1, 3, b),  (1, 4, a), (1, 4, b), (2, 3, a), (2, 3, b),  (2, 4, a), (2, 4, b)} .  Definición (Sucesión finita). Sea S un conjunto. Una sucesión finita de elementos en S es una secuencia (s1, s2, . . . , sn) en la que cada si pertenece a S. A n se le denomina longitud de la sucesión finita. Ejemplo. Sea el conjunto S = {1,  2, 3}. Un ejemplo de sucesión finita de elementos en S es (1, 3, 1, 2), y su longitud es 4.

Definición (Sucesión infinita). Sea S un conjunto. Una sucesión infinita de elementos en S es una secuencia infinita (que no termina) en la que cada elemento pertenece a S. Ejemplo. Sea S = {1, 2, 3}. Un ejemplo de sucesión infinita de elementos en S es (1, 2, 3, 3, 2, 1, 1,  …) en la que los puntos suspensivos indican que la secuencia no termina. Definición (Sucesión vacía). Una sucesión vacía es una sucesión de longitud 0. Se representa así: (),  ó

[]. Definición (Alfabeto). Un alfabeto es un conjunto cuyos elementos son símbolos (generalmente letras). Ejemplo. Algunos ejemplos de alfabetos son S = {a, b, c, d}, T =  {α, β, γ, δ} y V = {0, 1}. Definición (Palabra). Sea un alfabeto S. Una palabra (o cadena) es cualquier sucesión finita de elementos de S. Una palabra se puede representar eliminando los símbolos que la delimitan ((, ), [ y ]) y las comas

que separan los elementos. Además, en el caso de que el alfabeto esté formado por letras, se pueden usar como delimitadores los símbolos de comillas dobles (“ y ”). Ejemplo. Sea el alfabeto S =  {a, b, c, d}. Un ejemplo de palabra formada a partir de dicho alfabeto es acaba; o expresado con comillas dobles sería “acaba”. Otra ejemplo de palabra es acabada. Definición (Concatenación de palabras). Sean dos palabras w1 y w2 formadas a partir de un mismo

alfabeto. La concatenación de w1 y w2 es la palabra formada por todos los elementos de w1 seguidos de todos los elementos de w2. Se denota como w1 ⋅ w2. Ejemplo. Sean las palabras w1  = abda y w2 = cddbab. La concatenación de w1 y w2 es w1  ⋅ w2 = abdacddbab. Esperamos que el lector sepa distinguir a partir del contexto cuál es el significado del símbolo  ⋅ , que aquí representa la concatenación de palabras, pero

que también se puede usar para indicar el producto de números.

2.4.2 Conjunto potencia Definición (Conjunto potencia). Sea un conjunto S. El conjunto potencia o de las partes de S está formado por todos los subconjuntos de S. Se denota por P(S) ó 2S. Ejemplo. Sea el conjunto S = {1,  2, 3}. El conjunto potencia de S es P(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2},  {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} .  Proposición. Dado un conjunto S,

se tiene que ∅ ∈ P(S) y S ∈ P(S). Teorema. Sea un conjunto finito S. El cardinal de P(S) es 2∣S∣. Ejemplo. Considérese el conjunto S del ejemplo anterior. El cardinal de P(S) es ∣P(S)∣ = 2∣S∣ = 23 = 8.

2.4.3 Tipos y signatura Definición (Variable). Variable es un símbolo que puede tomar como valor cualquier elemento de un conjunto S. En este caso decimos que el tipo de la variable es S.

Ejemplo. Algunos ejemplos de variables son x, y y temperatura. Los tipos de cada variable podrían ser los conjuntos {1, 2}, {3, 4} y {Alta, Baja} respectivamente. Definición (Declaración). Sea una variable v y sea T su tipo. La cadena v: T es la declaración o signatura de v. Ejemplo. Sea x una variable y sea el conjunto {1, 2} el tipo de x. La declaración de x se expresa como x: {1, 2}. Las signaturas se suelen utilizar

mucho en cursos de fundamentos de programación, pues sirven para indicar qué valores posibles puede tomar una variable. También es muy frecuente construir tipos a partir de otros mediante la utilización de operaciones entre conjuntos; así, por ejemplo, es habitual que las estructuras de datos complejas tengan como tipo el producto cartesiano de varios conjuntos.

2.5 Conjuntos notables Vamos a ver varios conjuntos que son muy importantes por ser muy utilizados en la declaración de variables en programación, y en la construcción de otros tipos a partir de ellos. Definición (Conjunto booleano y valor booleano). El conjunto booleano está formado por dos elementos: Verdadero y Falso. Se denota como B. Cada elemento de B es un valor booleano. Se

pueden

encontrar

formas

alternativas de nombrar los elementos del conjunto booleano. En inglés, lo habitual es que B =  {True, False}. En un dominio donde se emplee terminología de la Lógica lo habitual es que los dos elementos B sean top, denotado por una letra similar a una ⊤, y bottom, denotado por el símbolo de top i nv e r ti d o ; top corresponde a Verdadero, y bottom a Falso. Definición (Conjunto de bits). Conjunto de bits es el conjunto formado por los elementos 0 y 1. Cada elemento de este conjunto es un bit.

El conjunto de bits tiene una gran importancia en computación. Se suele confundir a veces con el conjunto booleano, hasta el punto de que se suele asociar el valor 1 con Verdadero y el 0 con Falso. No obstante, el conjunto de bits se suele emplear en el campo de la Electrónica Digital, mientras que el conjunto booleano se utiliza generalmente en el área de Fundamentos de Programación y Lógica Computacional. Definición (Conjunto de caracteres). Un conjunto de caracteres o juego de caracteres

está formado por símbolos que pueden ser reconocidos por un programa informático u ordenador. Cada elemento de este conjunto es un carácter. Ejemplo. El lenguaje Java permite declarar variables cuyo tipo es un conjunto de caracteres que contiene símbolos utilizados en múltiples idiomas. Algunos de los elementos de ese conjunto son las letras del abecedario, los dígitos decimales y símbolos de puntuación. Ejemplo. Un conjunto de caracteres muy utilizado en Informática y

aceptado como estándar a nivel mundial es el Unicode. Definición (Conjunto de los números enteros). Un número entero es un elemento del conjunto infinito de números {…,  − 3,  − 2,   − 1, 0, 1, 2, 3, …}. El conjunto de todos los números enteros se denota por Z. Ejemplo. Los números 23478 y  −  102934 son números enteros. En cambio, los números 1. 5 y  − 2. 3 no son números enteros. Definición

(Conjunto

de

los

números naturales). Un número natural es un número entero positivo (mayor que cero). El conjunto de todos los números naturales se denota por N. A partir de la definición anterior es trivial ver que N es un subconjunto propio de Z. Ejemplo. Los números 940567 y 12 son números naturales. En cambio 17. 4 y  − 3 no son números naturales. No hay un acuerdo total en la comunidad matemática acerca de si

el número 0 debe considerarse o no un número natural. Sin embargo, en la definición anterior hemos establecido el criterio que se considera en esta asignatura: que el nú me r o 0 no es un número natural. Éste es el criterio más generalizado en la comunidad matemática hoy en día. Definición (Conjunto de los números racionales). Número racional es un número que puede expresarse de la forma p / q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. E l conjunto de todos los números racionales se denota por Q.

Ejemplo. Los números 0,  − 2 / 3 y 128 son números racionales. En cambio, 5 / 0 y la raíz cuadrada de 2 no son números racionales. No obstante, la raíz cuadrada de 9 sí es racional y su valor es 3. Ejemplo. Todos los números decimales periódicos (aquéllos cuya parte decimal se repite) son racionales. Por ejemplo, 4. 3333… es racional, ya que se puede expresar como 13 / 3. Proposición. El conjunto de los números enteros, Z, es un subconjunto del conjunto de los

números racionales, Q. Definición (Conjunto de los números reales). Número real es cualquier número que se puede representar en una recta en la que se ha establecido una escala y se ha marcado la posición del número 0. E l conjunto de todos los números reales se denota por R. Ejemplo. Los números 0,  − 2 / 3, 128, la raíz cuadrada de 2 y π son números reales. En cambio, no son números reales 5 / 0 ni la raíz cuadrada de  − 1.

Los números reales son usados habitualmente para expresar cantidades de nuestra vida diaria como por ejemplo temperatura, distancias, dinero, etc. Definición (Conjunto de los números irracionales). Número irracional es un número real que no es racional. El conjunto de todos los números irracionales se denota por I. Ejemplo. La raíz cuadrada de 2 y el número π son números irracionales. En cambio, 0,  − 2 / 3 y la raíz cuadrada de 9 no son números

irracionales. Los números que no son reales se utilizan en áreas específicas de las Matemáticas y su estudio se escapa a los objetivos de este libro. Ejemplo. Tanto N, Z,  Q, I como R son conjuntos infinitos y la cardinalidad de algunos de estos conjuntos se estudiará más adelante cuando se trate el tema de funciones.

3 Relaciones Resumen Este capítulo trata los conceptos esenciales de las relaciones. Se presentan los fundamentos básicos de las relaciones y sus operaciones. Se muestran las distintas formas de representación de relaciones. Se explican las propiedades más importantes que puede satisfacer una relación. Finalmente, se tratan las relaciones de orden.

3.1 Relaciones y operaciones 3.1.1 Conceptos básicos de relaciones Definición (Relación y aridad). Sea n un número natural. Una relación de—o definida en—los conjuntos S1, S2, …, Sn − 1 y Sn es un subconjunto de S1 × S2 × … × Sn −  1 × Sn . La aridad de la relación es n. Ejemplo. Sean los conjuntos A =  {1, 2, 3} y B = {a, b, c, d}. El

c o nj unto R = {(1, a), (2, c), (2, d)} es una relación de A y B; su aridad es 2. En cambio, {(b, 1)} no es una relación de A y B, ya que (b, 1) ∉ A  × B. Definición (Relación binaria). Sea R una relación de aridad 2 definida en la secuencia de conjuntos (A, B). Decimos que R es una relación binaria (de A en B), o simplemente R es una relación de A en B. Ejemplo. La relación R del ejemplo anterior es una relación binaria.

Definición (Relación ternaria). Una relación ternaria es una relación de aridad 3. Ejemplo. Sean los conjuntos A =  {1, 2}, B = {a, b, c} y C = {x, y}. El conjunto R = {(2, a, x), (2, b, x),  (1, a, y)} es una relación de A, B y C. Su aridad es 3; por tanto, R es una relación ternaria. En cambio {(2, a)} no es una relación de A, B y C, ya que se trata de un conjunto con una tupla de longitud 2. Tampoco lo es el conjunto {(b, a, x)}, ya que se tiene que el primer elemento de la tupla (b, a, x) (el elemento b) no pertenece a A.

Definición (Relación universal y relación vacía). Sea la secuencia de conjuntos (S1, S2, …, Sn). Entonces: l a relación universal en S1, S2, …, Sn − 1 y Sn contiene todas las tuplas de S1 × S2 ×  … × Sn. l a relación vacía en S1, S2,  …, Sn − 1 y Sn no contiene ninguna tupla. Ejemplo. Considérense siguientes conjuntos:

los

A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d} La relación universal en A y B es {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d), (2, a),  (2, b), (2, c), (2, d), (3, a), (3, b),  (3, c), (3, d)} .  La relación vacía de A y B es un conjunto que no contiene tuplas: el conjunto vacío (∅).

3.1.2 Operaciones sobre relaciones Definición (Unión, conjunción o

intersección y diferencia de dos relaciones). Sean R1 y R2 dos relaciones definidas en los conj untos S1, S2, …, Sn − 1 y Sn. Entonces: l a relación unión de R1 y R2 es la unión de todas las tuplas de R1 y de R2. Se denota como R1 ∪ R2. l a relación conjunción o intersección de R1 y R2 está formada por las tuplas comunes a R1 y R2. Se denota como R1 ∩ R2.

la relación diferencia de R1 y R2 está formada por las tuplas de R1 que no pertenecen a R2. Se denota como R1 \ R2. Ejemplo. Sean conjuntos:

los

siguientes

A = {1, 2, 3} B = {a, b, c, d} Sean las siguientes relaciones en A y B: R1 = {(1, b), (2, c)}

R2 = {(1, c), (2, b), (2, c),  (3, a), (3, d)} Se tiene que la relación unión de R1 y R2 es: R1 ∪ R2 = {(1, b), (1, c), (2, b),  (2, c), (3, a), (3, d)} .  Se puede comprobar que, por tratarse de la unión de conjuntos, la tupla (2, c), que pertenece a R1 y a R2, sólo aparece una vez en R1  ∪ R2. La relación conjunción intersección de R1 y R2 es: R1 ∩ R2 = {(2, c)} . 

o

La relación diferencia de R1 y R2 es: R1 \ R2 = {(1, b)} .  Definición (Complemento de una relación). Sea una relación R definida en los conjuntos S1, S2,  …, Sn − 1 y Sn. La relación complemento o complementaria de R está formada por todas las tuplas d e S1 × S2 × … × Sn que no pertenecen a R. Se denota como   ∼ R. Ejemplo. Sean los conjuntos A =  {1, 2, 3} y B = {a, b}. Sea la

relación R de A en B dada por R =  {(1, a), (2, a), (2, b)}. Se tiene que: A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b),  (3, a), (3, b)} .  Entonces,  ∼ R es el conjunto de las tuplas de A × B que no pertenecen a R, esto es,  ∼ R = {(1, b), (3, a),  (3, b)}. Definición (Contener a una relación). Sean dos relaciones R y Rʹ definidas en los conjuntos S1, S2,  …, Sn − 1 y Sn. R contiene a Rʹ si todas las tuplas de Rʹ pertenecen a R. Ejemplo. Sean los conjuntos A y B

y la relación R del ejemplo anterior. Sea la relación Rʹ de A en B dada por Rʹ = {(1, a), (2, b)}. Se puede comprobar que las dos tuplas d e Rʹ pertenecen también a R. Por tanto, R contiene a Rʹ. Proposición. Sea R cualquier relación. Se cumple que: R contiene a la relación vacía y la relación universal contiene a R. Definición (Relaciones iguales). Sean R y S dos relaciones. R y S

son iguales si R contiene a S y S contiene a R. Se denota por R = S. Ejemplo. Sean R y S dos relaciones definidas en X = {1, 2} y {a, b, c} dadas por R = {(1, a), (2, b)} y S  = {(2, b), (1, a)}. R y S son iguales, denotado por R = S. Es trivial ver que, dadas dos relaciones R y S, si R = S entonces S = R.

3.2 Relaciones binarias 3.2.1 Dominio y rango Definición (Dominio de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y. El dominio d e R es el conjunto de todos los elementos x ∈ X tales que para algún y ∈ Y se cumple q u e (x, y) ∈ R. Se denota como dom(R). Ejemplo. Sean los conjuntos X =  {1, 2, 3} e Y = {a, b, c, d}. Sea la relación R de X en Y dada por R =  {(1, a), (1, b), (2, d)}. Para el

elemento 1 ∈ X se cumple que hay al menos una tupla (1, y) ∈ R, con y ∈ Y; en concreto tenemos dos tuplas: (1, a) y (1, b). Para 2 ∈ X tenemos una tupla (2, y) ∈ R; concretamente aparece la tupla (2, d). Por tanto, el dominio de la relación R es dom(R) = {1, 2}. Definición (Espacio de dominio de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y. El espacio de dominio d e R es el conjunto X. Es trivial ver que el dominio de una relación binaria es siempre un

subconjunto de su espacio de dominio. Ejemplo. Consideremos la relación del ejemplo anterior. El espacio de dominio de R es el conjunto X =  {1, 2, 3}. Se puede comprobar c o m o dom(R) = {1, 2} es un subconjunto del espacio de dominio. Definición (Rango de una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y. Se denomina rango de R al conjunto de todos los elementos y ∈ Y tales que para algún x ∈ X se cumple que (x, y) ∈ R. Se

denota como ran(R). Ejemplo. Sea la relación R del ejemplo visto al comienzo de esta sección. Para el elemento a ∈ Y se cumple que hay una tupla (x, a)  ∈ R, con x ∈ X; en concreto tenemos (1, a). Para el elemento b  ∈ Y existe una tupla (x, b); concretamente tenemos (1, b). Igualmente, para d ∈ Y tenemos (2, d). En cambio, para el elemento c no hay ninguna tupla (x, c). Por tanto, el rango de R es ran(R) =  {a, b, d}. Definición (Espacio de rango de

una relación binaria). Sea R una relación binaria de X en Y. El espacio de rango d e R es el conjunto Y. Es trivial ver que el rango de una relación binaria es siempre un subconjunto de su espacio de rango. Ejemplo. Sea la relación R del ejemplo visto al comienzo de esta sección. El espacio de rango de R es Y = {a, b, c, d}.

3.2.2 Operaciones especiales Definición (Relación inversa). Sea

una relación R de X en Y. La relación inversa de R, denotada por R − 1, es la relación de Y en X que para todo x ∈ X e y ∈ Y se cumple que (y, x) ∈ R − 1 si y sólo si (x, y) ∈ R. De manera muy informal podemos decir que la relación inversa básicamente toma cada tupla de la relación R y “da la vuelta” a sus dos elementos: el primer elemento de la tupla pasa a ser el segundo y viceversa. Veamos un ejemplo. Ejemplo. Sean los conjuntos X =  {1, 2, 3} e Y = {a, b, c, d}. Sea la

relación R de X en Y dada por R =  {(1, a), (1, b), (2, d)}. La relación inversa de R es R − 1 = {(a, 1), (b,  1), (d, 2)}. Definición (Composición de dos relaciones). Sea R una relación de X en Y y sea S una relación de Y en Z. La composición de R y S es la relación de X en Z formada por el conjunto de pares (x, z), siendo x  ∈ X y z ∈ Z, para los que existe algún y ∈ Y tal que (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ S. Ejemplo. Sean los conjuntos X =  {1, 2, 3}, Y = {a, b, c, d} y Z = 

{t, u, v, w}. Sea la relación de X en Y dada por R = {(1, a), (1, b),  (2, c), (3, a)}. Sea la relación de Y e n Z dada por S = {(b, t), (b, w),  (c, v), (d, u)}. La composición de R y S es la relación T = {(1, t),  (1, w), (2, v)}. Por ejemplo, dado q u e (1, b) ∈ R y (b, t) ∈ S, entonces se tiene que (1, t) ∈ T. Además, como (2, c) ∈ R y (c, v)  ∈ S, entonces (2, v) ∈ T. Igualmente, como (1, b) ∈ R y (b, w) ∈ S, entonces (1, w) ∈ T. Definición (Relación en un conjunto). Sea X un conjunto. Una relación (definida) en X es una

relación de X en X. Ejemplo. Sea X = {1, 2, 3}. Se tiene que R = {(1, 2), (3, 1), (3, 2)} es una relación en X. Definición (Relación identidad). La relación de identidad sobre X es la relación en X formada por todos los p a r e s (x, x), siendo x ∈ X. Se denota IX. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3}. La relación de identidad sobr e X es IX = {(1, 1), (2, 2), (3,  3)}.

3.3 Representación de relaciones Las relaciones se describen por intensión o por extensión, al igual que cualquier conjunto. En el caso de que sean descritas por extensión, constan de una lista de pares. Sin embargo, la descripción de una relación mediante una lista de tuplas no es muy visual ya que no ayuda a apreciar con facilidad algunas propiedades de las relaciones. Es por ello que existen dos tipos principales de formas de representación de relaciones

binarias que son muy utilizadas: las matrices y los grafos dirigidos. No obstante, sólo se utilizan si los espacios de dominio y de rango son finitos.

3.3.1 Matriz de una relación Definición (Matriz de una relación). Sean los conjuntos finitos X = {x1, x2, . . . , xm} e Y =  {y1, y2, . . . , yn}. Sea R una relación de X en Y. La matriz de R tiene m filas y n columnas y cumple que el elemento de la fila i y columna j es 1 si (xi, yj ) ∈ R, y es 0 en otro

caso. La matriz de R se denota por MR, Ejemplo. Sean los conjuntos X =  {3, 7, 9} e Y = {b, c, d, e}, y la r e l a c i ó n R = {(3, c), (7, b), (9, c),  (9, d)}. Siguiendo la notación de la definición anterior se tiene que: x1 = 3, x2 = 7, x3 = 9, y1 = b, y2 = c, y3 = d, y4 = e. La matriz MR de la relación R es la que aparece en la siguiente figura:

Cada fila de la matriz corresponde a un elemento de X, y cada columna corresponde a un elemento de Y. Considérese el elemento de la fila 3 y columna 2. Dado que x3 = 9 e y2  = c, dicha casilla corresponde al p a r (9, c). Como (9, c) ∈ R entonces el valor de dicha casilla en la matriz es 1. En cambio, el

elemento de la fila 2 y columna 4 toma el valor 0, ya que (x2, y4) =  (7, e) ∉ R.

3.3.2 Grafo de una relación Los grafos constituyen una forma muy visual de representar una relación binaria. El tema de “Teoría de grafos” se explicará más adelante en el libro, y en él se verá cómo representar una relación binaria en un conjunto X mediante un grafo. No obstante, también es frecuente tener una relación binaria R de un

conjunto X en otro conjunto Y. En ese caso se suele utilizar una representación gráfica que consiste en: dibujar cada elemento de X rodeado con un círculo y ubicado a un lado en la figura, por ejemplo a la izquierda, dibujar los elementos de Y al otro lado, por ejemplo a la derecha, y trazar una flecha desde un elemento x ∈ X a un elemento y ∈ Y si y sólo si (x, y) ∈ R.

Ejemplo. Sean X = {1, 2, 3, 4} e Y  = {a, b, c, d}. La siguiente figura muestra la relación de X en Y dada por R = {(1, b), (1, c), (2, a), (4, b)}.

Además, existen distintas modalidades de la anterior representación gráfica. Por ejemplo, se pueden rodear los elementos de cada conjunto con una línea curva cerrada, con lo que no sería necesario dibujar el círculo pequeño de cada nodo, sino simplemente el nombre del elemento. Cuando se vea la sección de conceptos avanzados de conjuntos se verá un ejemplo de esta representación.

3.4 Propiedades de las relaciones 3.4.1 Propiedades más importantes de las relaciones Vamos a centrarnos ahora en las relaciones sobre un conjunto y vamos a estudiar las distintas propiedades que pueden verificar. Definición (Propiedad reflexiva). Sea R una relación en X. R cumple la propiedad (o es) reflexiva, si para todo x ∈ X se cumple que

(x, x) ∈ R. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3}. La relación R en X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3,  3)} es reflexiva, ya que se tiene que los pares (1, 1), (2, 2) y (3, 3) pertenecen a R. En cambio, la r e l a c i ó n S = {(1, 2), (2, 2), (3, 1),  (3, 3)} no es reflexiva, ya que el par (1, 1) ∉ S. Definición (Propiedad simétrica). Sea R una relación en X. R cumple la propiedad (o es) simétrica, si para todo par (u, v) ∈ R se cumple que (v, u) ∈ R.

Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3,  2), (3, 3)} .  R es simétrica. Así, por ejemplo, si tomamos el par (1, 2) ∈ R, entonces podemos comprobar que (2, 1) ∈ R; de la misma forma podríamos realizar la comprobación para cualquier otro par de R. En cambio, la relación S  = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3)} no es simétrica, ya que el par (2, 3) ∈ S, pero (3, 2) ∉ S. Definición (Propiedad transitiva). Sea R una relación en X. R cumple

la propiedad (o es) transitiva si siempre que (u, v) ∈ R y (v, w)  ∈ R se cumple que (u, w) ∈ R. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3, 4}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 4), (3,  2), (3, 4), (4, 4)} .  R es transitiva. Se puede ver, por ejemplo, que (1, 2) ∈ R, (2, 4)  ∈ R y (1, 4) ∈ R. En cambio, la relación S = {(3, 2), (2, 4)} no es transitiva, ya que (3, 2) ∈ S y (2,  4) ∈ S, pero (3, 4) ∉ S. Definición (Propiedad antisimétrica). Sea R una relación

en X. R cumple la propiedad (o es) antisimétrica si siempre que (u, v)  ∈ R y (v, u) ∈ R se cumple que u  = v. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3, 4}. Sea la siguiente relación: R = {(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (4,  4)} .  R es antisimétrica. En cambio, la r e l a c i ó n S = {(1, 1), (1, 3), (1, 4),  (3, 1), (3, 4), (4, 4)} no es antisimétrica, pues se tiene que (1,  3) y (3, 1) pertenecen a R, pero 1 ≠  3. Definición (Propiedad irreflexiva).

Sea R una relación en X. R cumple l a propiedad (o es) irreflexiva si no existe ningún x ∈ X tal que (x, x) ∈ R. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3, 4}. La relación R = {(1, 3), (1,  4), (2, 4)} es irreflexiva. En cambio, la relación S = R ∪ {(1,  1)} no es irreflexiva. Además, S tampoco es reflexiva.

3.4.2 Cierres Definición (Cierre de una relación respecto a una propiedad). Sea R una relación en X y sea P una

propiedad de las relaciones binarias. El cierre de R respecto a P es una relación Rʹ tal que: 1. Rʹ contiene a R, 2. Rʹ satisface la propiedad P, 3. si otra relación Rʺ cumple los puntos 1 y 2 anteriores entonces Rʺ contiene a Rʹ. De una manera informal la definición anterior expresa el hecho de que el cierre de una relación R respecto a una propiedad P es la relación “más pequeña” que contiene a R y que satisface P.

Teorema. Sea R una relación en X que satisface una propiedad P. Sea Rʹ el cierre de R respecto a P. Entonces R = Rʹ. Definición (Cierre reflexivo de una relación). Sea R una relación en X. El cierre reflexivo de R es el cierre d e R respecto a la propiedad reflexiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3),  (3, 2)}. Se puede comprobar que R no es reflexiva. En cambio, la relación Rʹ = R ∪ {(2, 2), (3, 3)} sí

es reflexiva. Además, para cualquier relación Rʺ que contenga a R y sea reflexiva se cumple que Rʺ contiene a Rʹ. Por tanto, Rʹ es el cierre reflexivo de R. Definición (Cierre simétrico de una relación). Sea R una relación en X. E l cierre simétrico de R es el cierre de R respecto a la propiedad simétrica. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3),  (3, 3)}. Se puede comprobar que R no es simétrica. En cambio, la relación Rʹ = R ∪ {(2, 1), (3, 2)} sí

es simétrica. Además, para cualquier relación Rʺ que contenga a R y sea simétrica se cumple que Rʺ contiene a Rʹ. Por tanto, Rʹes el cierre simétrico de R. Definición (Cierre transitivo de una relación). Sea R una relación en X. E l cierre transitivo de R es el cierre de R respecto a la propiedad transitiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3} y sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3),  (3, 3)}. Se puede comprobar que R no es transitiva. El cierre transitivo de R es Rʹ = R ∪ {(1, 3)}.

3.4.3 Relaciones de equivalencia Definición (Relación de equivalencia). Sea R una relación e n X. R es una relación de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3, 4}. Sea la relación R en X dada por: R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3,  1), (3, 3), (4, 2), (4, 4)} .  R cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Por

t a nt o , R es equivalencia.

una

relación de

Ejemplo. Sea Y = {1, 2}. Sea la relación S definida en Y dada por S  = {(1, 2)}. S no es relación de equivalencia ya que no es reflexiva ni simétrica. Definición (Cierre de equivalencia de una relación). Sea R una relación en X. El cierre de equivalencia de R es el cierre de R respecto a la propiedad “ser relación de equivalencia”. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 

2, 3}. Sea la relación R = {(1, 1),  (2, 1), (3, 3)}. R no es una relación de equivalencia. Su cierre de equivalencia es Rʹ = R ∪ {(2, 2),  (1, 2)}. Definición (Clase de equivalencia). Sea R una relación de equivalencia sobre X. Sea x ∈ X. La clase de equivalencia asociada a x en R es el conjunto de los elementos y ∈ X tales que (x, y) ∈ R. Se denota por [x]. Ejemplo. Sea el conjunto X y la relación R del primer ejemplo de esta subsección. Se vio que R es

una relación de equivalencia. La clase de equivalencia asociada al elemento 1 en R es [1] = {1, 3}. Teorema. Se a R una relación de equivalencia en X. Sean y ∈ X y z ∈ X. Si (y, z) ∈ R entonces [y]  = [z]. Ejemplo. Sea el conjunto X y la relación R del primer ejemplo de esta subsección. Se cumple que [1]  = [3], y que [2] = [4]. Proposición. Sea R una relación de equivalencia sobre X. La colección formada por todas las clases de

equivalencia en R constituye una partición de X. Ejemplo. En el ejemplo anterior se vio que [1] = [3] y [2] = [4]. Por tanto, hay dos clases de equivalencia en X, que son [1] = [3] = {1, 3} y [2] = [4] = {2, 4}. Se puede comprobar que dichos dos conjuntos, {1, 3} y {2, 4}, constituyen una partición de X. Definición (Conjunto cociente). Sea R una relación de equivalencia

sobre X. El conjunto cociente de X según R está formado por todas las clases de equivalencia en R. Ejemplo. Sean el conjunto X y la relación R del ejemplo anterior. El conjunto cociente de X según R es {{1, 3}, {2, 4}}.

3.5 Relaciones de orden Definición (Orden parcial u orden parcial débil). Sea R una relación sobre X. R es un orden parcial débil, o simplemente orden parcial, si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Definición (Conjunto parcialmente ordenado). Sea X un conjunto. X es u n conjunto parcialmente ordenado si existe un orden parcial débil para X. Las siglas para denotarlo son cpo. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1, 

2, 3}. La relación sobre X dada por R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2,  3), (3, 3)} es un orden parcial. Por tanto, X es un cpo. Ejemplo. Sea la relación R “ser menor o igual que” definida sobre el conjunto de los números enteros. Es decir, dados x e y dos números enteros, (x, y) ∈ R si y sólo si x es menor o igual que y. Por ejemplo, (2, 5) ∈ R ya que 2 es menor o igual que 5. También se tiene que (  − 4,  − 4) ∈ R. En cambio (3,  −  2) ∉ R. Se puede comprobar que R reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por tanto, R es un orden parcial

para el conjunto de los números enteros, y éste es un cpo. Definición (Orden estricto). Sea R una relación sobre X. R es un orden estricto si es irreflexiva y transitiva. Teorema. Todo orden estricto cumple la propiedad antisimétrica. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3}. La relación sobre X dada por R = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} es un orden estricto, ya que es irreflexiva y transitiva (y antisimétrica). Ejemplo. Sea la relación R “ser

menor que” definida sobre el conjunto de los números enteros. Es decir, dados x e y dos números enteros, (x, y) ∈ R si y sólo si x es menor que y. Por ejemplo, (2, 5)  ∈ R ya que 2 es menor 5. En cambio, ( − 4,  − 4) ∉ R y (3,  − 2)  ∉ R. Se puede comprobar que R irreflexiva y transitiva (y también antisimétrica). Por tanto, R es un orden estricto para el conjunto de los números enteros. Definición (Orden estricto inducido por un orden parcial). Sea el orden parcial R para el conjunto X. Orden estricto inducido por R sobre X es

la relación Rʹ = R \ IX. Se puede ver fácilmente la prueba de que, de acuerdo a la definición anterior, Rʹ = R \ IX es una relación de orden estricto. Así, si R es una relación de orden parcial sobre X entonces verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Por tanto, al hacer la diferencia de R con la relación identidad sobre X, IX,  la relación obtenida es irreflexiva, antisimétrica y transitiva, y por tanto cumple las propiedades de orden estricto. Ejemplo. Sea el conjunto de los

números naturales con la relación de orden parcial R ”ser menor o igual que”. El orden estricto inducido por R es la relación Rʹ  = R \ IX,  que corresponde a la relación “ser menor que”. Se puede comprobar que cumple las propiedades de un orden estricto. Definición (Orden total o lineal). Sea R un orden parcial sobre X. R es un orden total u orden lineal si para cualesquiera dos elementos y y z de X se cumple que (y, z) ∈ R ó (z, y) ∈ R. Definición (Conjunto

totalmente

ordenado). Sea un orden total R para X. Entonces se dice que X es un conjunto totalmente ordenado o linealmente ordenado. Ejemplo. Anteriormente vimos que la relación R “ser menor o igual que” definida sobre el conjunto de los números enteros es un orden parcial. Dado que para cualesquiera x e y números enteros se cumple que x es menor o igual que y o viceversa, entonces R es un orden total. Por tanto, el conjunto de los números enteros es un conjunto totalmente ordenado.

Ejemplo. Sea X = {1, 2, 3, 4}. La relación R sobre X dada por R =  {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4,  4)} es un orden parcial, pero no es un orden total, ya que, por ejemplo, ni (1, 3) ni (3, 1) pertenecen a R.

3.5.1 Conceptos asociados a orden parcial Definición (Cota superior y cota inferior). Sea el orden parcial R p a r a X. Sean y ∈ X y z ∈ X. Entonces: z es una cota superior de y si (y, z) ∈ R.

z es una cota inferior d e y si (z, y) ∈ R. Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,  2, 3}. Sea la relación de orden parcial sobre X dada por R = {(1,  1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. El elemento 1 es una cota inferior del elemento 3; el 2 y el 3 también son cotas inferiores de 3. El elemento 3 es una cota superior de 1; el 1 el 2 también son cotas superiores de 1. Definición (Elemento maximal y elemento minimal). Sea el orden parcial R para X. Sea Rʹ el orden

estricto inducido por R sobre X. Sea z ∈ X. Entonces z es un elemento maximal si no existe ningún y ∈ X tal que (z, y) ∈ Rʹ. z es un elemento minimal si no existe ningún y ∈ X tal que (y, z) ∈ Rʹ. Ejemplo. Sean el conjunto X y la relación R de orden parcial del ejercicio anterior. El 1 es un elemento minimal y el 3 es un elemento maximal. Ejemplo. Sea el conjunto de los

números naturales con la relación de orden parcial R ”ser menor o igual que”. El orden estricto inducido por R es Rʹ = R \ IX, que es la relación “ser menor que”. El elemento 1 es un elemento minimal, ya que no hay ningún número natural que sea menor que 1. Definición (Conjunto parcialmente ordenado bien fundado). Sea R un orden parcial para X. X es un cpo bien fundado si todo subconjunto de X distinto de ∅ tiene un elemento minimal. Teorema. Sea el orden parcial R

para el conjunto finito X. X tiene un elemento maximal y un elemento minimal. Proposición. Sea el orden parcial R para el conjunto finito X. X es un cpo bien fundado. Ejemplo. Cualquier orden parcial de los vistos en este tema que se hayan basado en un conjunto finito es un ejemplo de cpo bien fundado. Ejemplo. El conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial ”ser menor o igual que” es un cpo bien fundado.

Ejemplo. El conjunto de los números enteros con la relación de orden parcial “ser menor o igual que” no es un cpo bien fundado, ya que existe algún subconjunto de Z que no tiene elemento minimal. Por ejemplo, si tomamos el conjunto formado por los enteros pares (múltiplos de 2) con la relación de orden parcial “ser menor o igual que” podemos comprobar que dicho conjunto no tiene elemento minimal. Definición (Elemento máximo y elemento mínimo). Sea el orden par ci al R para X. Sea z ∈ X.

Entonces: z es un elemento máximo de X según R si para todo y ∈ X se cumple que (y, z) ∈ R. z es un elemento mínimo de X según R si para todo y ∈ X se cumple que (z, y) ∈ R. Es trivial comprobar que todo elemento máximo es maximal, y que todo elemento mínimo es minimal. Teorema. Sea el orden parcial R para el conjunto X. Entonces: Si existe un elemento máximo

d e X según R entonces es único. Si existe un elemento mínimo d e X según R entonces es único. Ejemplo. El conjunto de los números naturales con la relación de orden parcial ”ser menor o igual que” es un orden parcial cuyo elemento mínimo es el 1. Ejemplo. Sea el conjunto de los números naturales. Sea la relación R tal que, dados dos números naturales x e y, (x, y) ∈ R si y sólo

si x es menor o igual que y e (y − x) es múltiplo de 2. R es una relación de orden parcial. Existen dos elementos minimales: el 1 y el 2. Sin embargo, no existe ningún elemento mínimo, ya que (1, 2) ∉ R y (2, 1) ∉ R. Definición (Orden lexicográfico). Sea la secuencia de conjuntos (S1, S2, …, Sn), tal que cada Si es un cpo con relación de orden parcial Ri.  Orden lexicográfico es la relación de orden parcial R en S  = S1 × S2 × … × Sn tal que, dados cualesquiera dos elementos x = 

(x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de S, (x, y) ∈ R si y sólo si: ∃ i ∣ 1 ≤ i ≤ n, (∀ j ∣ 1 ≤ j