Esto No Es Real La Historia de i - Paul-J-Nahin

Esto no es real La historia de i Paul J. N a h in

Consejo Nacional para la Cultura y las Artes

Esto no es real. La historia de i Paul J. Nahin

Traducción de Juan Pablo Pinasco

A

Consejo Nacional para la Cultura y las Artes

Título original: An Imaginary Tale. The Story of \í—i [Un relato imaginario: la

historia de i] Primera edición, 2008 Primera edición en inglés, 1998 C oncepto de portada: Marina Garone D iseño de portada: Emilio R om ano D iseño de interiores: Marina Garone y Tomás Granados Salinas Composición: M ónica Huitrón Ilustraciones: Félix León isbn 978-968-5374-24-8 (Libraría, sa de cv)

970-35-1302-6 / 978-970-35-1302-4 (CNCA/Dirección General de Publicaciones) isbn

© 1998 by Princeton University Press © Juan Pablo Pinasco para la traducción del inglés

Calvin and Hobbes © 1988 Watterson. Reproducido con autorización de Universal Press Syndicate. Todos los derechos reservados. Coedición:

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Indice

N o ta del e d it o r ...................................................................................................... 9 N o ta al le c t o r ......................................................................................................... 13 Prefacio..................................................................................................................... 15 Prefacio a la ed ición en rústica........................................................................19 I n tr o d u c c ió n ........................................................................................................ 27 1. El enigm a de los números im a g in a rio s....................................................33 La ecuación cúbica 33 Actitudes negativas hacia los números negativos 37 Un desafío apresurado 39 El secreto se difunde 40 Cómo pueden los números complejos representarsoluciones reales 42 Cálculo de las raíces reales sin números imaginarios 45 Un curioso redescubrimiento 48 Cómo hallar raíces complejas con una regla 51 2. U n prim er intento de entender la geom etría de > / ^ i ........................ $5 Rene Descartes 55 John Wallis 63 3. El enigm a em pieza a aclararse................................................................... 69 Caspar Wessel descubre el camino 69 Derivación de identidades trigonométricas con el teorema de D e Moivre 80 Números complejos y exponenciales 85 Argand 92 Buée 94 Redescubrimiento recurrente 97 Gauss 101 4. U so de los números com plejos............................................................. 103 Números complejos como vectores 103 Hacer geometría con álgebra vectorial compleja 104 El problema de Gamow 108 Cómo resolver la recurrencia de Leonardo 110 Tiempo imaginario en la física del espacio-tiempo 113 5. Más usos de los números c o m p le j o s ................................................. 121 Un atajo con funciones complejas para recorrer elhiperespacio 121 Caminatas máximas en el plano complejo 123

Leyes de Kepler y órbitas satelitales 125 Cuándo y por qué los otros planetas a veces parecen moverse hacia atrás 136 Números complejos en ingeniería eléctrica 140 Un famoso circuito electrónico que funciona gracias a 152 6. Matemáticas h e c h ic e r a s..........................................................................157 Leonhard Euler 157 La identidad de Euler 158 Euler labra su fama 161 Un problema no resuelto 165 El producto infinito de Euler para el seno 171 El círculo de Bernoulli 173 El conde calcula i1 173 Roger Cotes y una oportunidad perdida 178 Funciones multivaluadas 181 Las funciones hiperbólicas 183 Cálculo de n a partir de V—1 187 Uso de los imaginarios para hacer cosas reales 190 Fórmula de reflexión de Euler para r ( n ) y la ecuación funcional para C(n) 197 7. El siglo x ix , Cauchy y los com ienzos de la teoría de funciones c o m p le j a s .................................................................................................. 201 Introducción 201 Augustin-Louis Cauchy 202 Funciones analíticas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann 205 El primer resultado de Cauchy 209 Primer teorema integral de Cauchy 215 El teorema de Green 217 El segundo teorema integral de Cauchy 221 Tercera ley de Kepler: los cálculos finales 231 Epílogo: qué viene después 234 A péndice a . El teorema fundamental del á lg e b r a .............................239 A péndice b. Las raíces complejas de una ecuación trascendente . 243 A péndice c. hasta 135 cifras decimales, y có m o fiie calculado...................................................................................................... 247 A péndice d. S olución del rompecabezas de C lausen.........................251 A péndice e. D erivación de la ecuación diferencial para el oscilador por desplazam iento de fase................................................. 253 A péndice f.Valor de la función gamma en lalínea crítica . . . . 257 B ib liografía...................................................................................................... 259 Agradecim ientos

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Nota del editor

Q u é ganas de cambiarle el nom bre a cada uno de los conjuntos que constituyen nuestro sistema num érico: sus m em bretes a veces son va­ gos y a m enudo introducen confusiones que una buena nomenclatura evitaría. Y es que los irracionales no se contraponen a la razón ni los reales tienen com o com p lem en to algo irreal, ni los trascendentes están más allá de cualquier con ocim ien to posible, y puede ser que ni siquiera los naturales provengan propiamente de la naturaleza — tal vez el i sí, el 2 y el 3 también, pero ¿podem os decir lo m ism o de 3 709 369 612?— . Así, los imaginarios no son un m ero producto de la fantasía ni los co m ­ plejos son tan com plicados com o sugiere su denom inación. Paul J. N ah in es un enamorado de estas dos últimas clases de números, a cuyo com ponente esencial — la raíz cuadrada de —1— está dedicado este libro. En las páginas que siguen se traza la historia no sólo del descubrimiento de i y sus secuaces, sino el desarrollo de algunas de las ideas asociadas con este peculiar número, y al hacerlo el autor hace relucir sus dotes de pres­ tidigitador, pues entretiene a la vez que ofrece resultados inesperados. N ahin no se propuso en ningún m om en to escribir un libro de tex­ to; cuando necesita mayor rigor que el esperable en una obra que as­ pira más a seducir que a entrenar, remite al lector a otro sitio, si bien no tem e hacer la tarea — calcular una integral de aspecto horrendo, resol­ ver un sistema de ecuaciones diferenciales— cuando de ello depende que el lector aprecie una idea matemática o la feliz inspiración de uno de los m uchos personajes que transitan por aquí. Este volum en pretende valerse de la historia para mostrar cóm o la intuición madura p oco a poco, cóm o la teoría avanza dando pasos discretos e incluso trastabi­ llando — si bien es cierto que en ocasiones da enorm es saltos— , có m o las ocurrentes aplicaciones justifican todo ese trabajo y sobre todo cóm o algunos seres hum anos han vislumbrado los cam inos por los que era posible hacer avanzar el con ocim ien to. Así, se da cuenta del tránsi­ to de los mal llamados núm eros imaginarios, desde que aparecieron rodeados por un aura de m isterio y fueron luego convirtiéndose en anomalías aceptables, siempre que fueran útiles, hasta llegar a ser parte del paisaje usual de las matemáticas, al alcance incluso de estudiantes preuniversitarios. Tal com o ocurrió con los enteros negativos o los irracionales — m áxima aberración para la escuela pitagórica— , los nú­ meros de la forma a + ib han colonizado el entendim iento humano: tras un largo periodo de algo parecido a la xenofobia, hoy todos esos números conviven en pie de igualdad en el m ism o territorio, com o amables vecinos con los m ism os derechos y las mismas obligaciones, aunque es cierto que algunos son más excéntricos que otros.

El espíritu ligero con que N ahin escribió esta obra, que co m o ya dijimos no supone un tratamiento liviano de los conceptos m atemáti­ cos — basta hojear el libro para atestiguar que aquí pululan las fórm u­ las— , se manifiesta en la sencillez y la precisión con que se presentan las ideas, y aun en el tono de camaradería en que está escrito el libro: por ello, decidim os que en español el autor tuteara al lector, distinción inexistente en el inglés, con lo que incluso la redacción se suaviza un p oco, haciéndose más coloquial. D igam os que así se refuerza el carácter de conversación que N ahin busca establecer, conversación erudita por m om entos y no exenta de dificultad pero siempre con la calidez de una espontánea charla al terminar la clase, cuando se ha expulsado la solem nidad y sólo queda lugar para las más auténticas ganas de saber más. N o nos queda más que sugerir a los lectores que acom pañen al autor incluso en los pasajes más escabrosos: com o toda pequeña proeza personal, la recom pensa será duradera. T o m á s G r a n a d o s S a l in a s

Dedicado a mi madre, Katherine Dorothy Markfelder, y a la memoria de mi padre, Paul Gilbert Nahin (1916-1990)

Calvin y Hobbes ia q u í h a y o t r o p r o b l e m a

QUE NO PUEDO RESOLVER úCUÁNTO ES

V

9+4?

AH. ÉSTE ES COMPLICADO TIENES QUE USAR CALCULO V HÚMEROS IMAGINARIOS

por Bill Watterson ¡¿HÚMEROS)

mimos?! 'T DIECIONCE. R E im iD O C E V TODOS ÉSOS ES UN POCO CONFUSO AL PRINCIPIO

¿CÓMO i I N S T IN T O APRENDISTE LOS T IG R E S TODO ESTO? NACEMOS COhl ÉL ¡SI NUNCA HAS IDO A X.A ESCUELAI

Nota al lector

Esto no es real tiene una fuerte com p onente histórica, aunque esto no significa que sea m atem áticam ente liviano. Pero tam poco te lo tom es al pie de la letra. Este no es un volum en académ ico que sólo puede ser leído por algún m ítico grupo de elite, com o el descrito en esa fábula de los años veinte del siglo pasado, según la cual sólo había doce per­ sonas en el m undo que realmente entendían a Einstein. En forma si­ milar, V—i se ha visto cubierto m ucho tiem po por la falsa historia de ser un m isterio inescrutable. El genial filósofo francés de la ilustración D enis D iderot pensaba que los m atemáticos “recuerdan a aquéllos que contem plan el horizonte desde lo más alto de las grandes montañas, cuyas cumbres están perdidas entre las nubes. Los objetos en el llano han desaparecido de la vista; ellos han quedado sólo con el espectáculo de sus propios pensam ientos y la conciencia de las alturas a las cuales se han elevado, y donde tal vez no cualquiera pueda seguirlos y respirar [el aire lim p io]” . B ueno, en este libro el aire está casi siempre a la pre­ sión del nivel del mar. D e hecho, extensas partes de este libro puede leerlas y entenderlas un estudiante de los últim os años de la escuela secundaria que haya prestado atención a sus profesores en los habitua­ les cursos preuniversitarios. Pese a todo, será perfectam ente accesible a aquéllos que ya han com pletado un curso universitario de cálculo. Este no es un libro de texto, pero pienso que será una lectura provechosa para los estudiantes com o com p lem en to a las presentaciones estándar de las matemáticas. Yo no soy m atemático, sino ingeniero electrónico, y el estilo del texto refleja esa diferencia. En realidad, aproveché m i independencia respecto de las usuales reglas pedagógicas para escribir un libro de texto — que en su peor forma pueden ser m uy pedantes— en un estilo despreocupado y, espero, entretenido. Pero cuando tengo que calcular una integral, te aseguro que no caigo de rodillas m uerto de m iedo.Y tam poco deberías hacerlo tú. La fuerza y la belleza de los nú­ meros y las funciones com plejos, y la sorprendente historia de su des­ cubrim iento, nos retribuirán am pliamente cualquier dosis de con cen ­ tración que puedan demandar las partes relativamente más difíciles.

Prefacio

H ace m ucho tiem po, en un año tan rem oto (1945) que m i vida de en­ tonces, la de un joven que empezaba la escuela secundaria, m e parece ahora un sueño, m i padre m e regaló una suscripción a una nueva revis­ ta llamada Popular Electronics. Lo hizo porque él era un científico, y su hijo mayor, que parecía tener talento para la ciencia y las matemáticas, estaba en peligro de ser abducido por los dem onios de la ciencia ficción. D e hecho, yo le había dado muchas razones para esta preocupación. En aquellos días devoraba ciencia ficción; muchas veces m e sentaba en la cocina a las on ce de la n och e y, mientras m e com ía un emparedado gigante, leía una novela situada en Marte un m illón de años en el fu­ turo. M i papá, por supuesto, habría preferido que leyera un libro de álgebra o física. C o m o era un h om bre inteligente, decidió no prohibirm e directa­ m ente la ciencia ficción, sino flanquear las historias de ese género ha­ cién dom e leer historias técnicas; com o los cuentos de “Cari y Jerry” que aparecían cada m es en Popular Electronics. Cari y Jerry eran dos estu­ diantes de escuela secundaria, niños prodigio de la electrónica — hoy los llamaríamos con los térm inos despectivos de geeks o nerds— que lograban involucrarse cada m es en alguna excitante aventura en la cual sus con ocim ien tos técnicos terminaban por salvar el día. En los años cincuenta, eran una amalgama de los Hardy Boys y Tom Swift. El plan de m i padre era que m e identificara con Cari y Jerry, en vez de con los neuróticos viajeros en el tiem po de R ob ert H einlein. Pues bien, los tortuosos planes de papá funcionaron (pero nunca abandoné del todo la ciencia ficción) y quedé enganchado no sólo con Cari y Jerry sino también con los proyectos de construcciones electró­ nicas que la revista presentaba en cada número. Aprendí cóm o leer esquemas electrónicos en la revista, cuyos editores utilizaban los mis­ m os diagramas eléctricos, vistosos y detallados, que resultan bien co n o ­ cidos a todo aquél que alguna vez haya construido un instrumento electrónico de los que se envían por correo. M e armé un taller casero en la cochera detrás de la casa, y construí un m ontón de sorprendentes juguetitos, aunque no todos funcionaron, al m enos no tal co m o lo pla­ neaban sus diseñadores. M i mayor logro fue un “aplausóm etro”, que alguna vez fue utiliza­ do por los jueces de la com petencia escolar de talentos; no era más que un m icrófono, un amplificador de audio y un m edidor de 500 m icroamperes conectado a la salida del amplificador. Pero lo que tuvo el mayor im pacto sobre m í no fue ese aparato, ni ninguno de los otros que construí durante mis años de escuela secundaria. Se trataba de uno

t El i de abril se hacen bromas similares a las del 28 de diciembre, día de los inocentes. [N. del t.]

que, en un exceso de entusiasmo juvenil superado sólo por m i enorm e ignorancia de la teoría, no supe que era imposible de construir. C uando el ejemplar de abril de 1955 de Popular Electronics llegó por correo, una de las fotografías interiores mostraba una im agen increíble: una lámpara de escritorio que arrojaba, en lugar de un co n o de luz, ¡un con o de sombras! M is ojos saltaron cuando vi eso. “ ¡Q ué maravillosa ciencia estaría actuando aquí!”, dije boquiabierto (hablando m etafóri­ cam ente, claro, porque ¿qué ch ico de catorce años que conozcas, salvo aquéllos de los programas de televisión, habla realmente de esa forma?). El secreto, de acuerdo con el artículo que acompañaba la fotografía, era que la lámpara no estaba conectada a un contacto norm al de corriente, sino a una con exión que distribuía energia contrapolar. Otra mostraba un soldador de acero conectado al tom acorrientes de energía contrapolar — ¡y por eso estaba cubierto de hielo!— .Y en otra aparecía una helada bandeja de hielo sobre un calentador, que ahora era un enfriador por­ que estaba enchufado a la energía contrapolar. M iré esas tres fotografías y recuerdo que m i pulso se aceleró, y que sentí un vahído de debilidad. Eso era sim plem ente maravilloso. Por supuesto, era sólo una gran broma editorial, ayudada por un m uy buen retoque fotográfico. Cuando le mostré el artículo a m i pa­ dre, le echó un vistazo y lu ego m e miró co n lo que ahora sé que era una m ezcla de pena y de diversión. M i padre no era un ingeniero eléc­ trico ni un físico, pero con un doctorado en quím ica n o era com p le­ tam ente ignorante de los asuntos técnicos que caían fiiera del d om inio de los anillos de b en cen o y las uniones moleculares. D e inm ediato es­ tim ó que probablem ente la “energía contrapolar” violaba unos siete principios fundamentales de la física. Sin embargo, en lugar de reírse de m í, sim plem ente dijo: “H ijo, mira la fecha en la portada.”Yo no había observado la referencia a abril, ni siquiera el subtítulo “D e con form i­ dad con el prim er día de abril”, pero rápidamente entendí el significa­ do.^ Todavía recuerdo m i enorm e vergüenza por haber caído por com pleto en la trampa. N i siquiera había reconocido lo “paródico” de la energía contrapolar cuando llegué al final del artículo y leí su nota 4. Esta daba una referencia falsa: “Actas de la C om isión para la Energía Contrapolar, vol. 45, pp. 1324-1346. [N ota del editor: separata de un d ocu m ento hallada en un plato volador]” . C o m o toda buena parodia, contenía un m on tón de verdades tenta­ doras, pero presentadas en una forma levem ente ridicula. Para darte una muestra del tono del artículo, éste es un fragmento típico: “C uan­ do la ‘energía contrapolar se aplica a una lámpara de luz com ún, no se produce sino que se absorbe luz, y el área afectada por la lámpara que­ da a oscuras. [Nota del editor: no debe confundirse este fenóm eno con la llamada ‘luz negra’, que en realidad es sim plem ente luz sin ningún ele­ m ento visible. En lo que concierne al ojo humano, la ‘luz negra’ es equi­ valente a cero luz; la luz producida por la energía contrapolar podría ser designada ‘luz negativa’, ya que sustrae luz de la que ya está presente.]”

Para preparar a los lectores para una “explicación” de las asombrosas propiedades de la energía contrapolar, la siguiente frase hacía la si­ guiente afirm ación, m uy divertida ahora que la leo varias décadas des­ pués, pero bastante lógica para m í en 1955: “U na de las razones por las cuales la energía atómica no se ha vuelto popular entre los aficionados a los experim entos caseros es que para com prender có m o se produce se requiere el con ocim ien to de matemáticas m uy avanzadas.” Sin em ­ bargo, el álgebra bastaría para develar la energía contrapolar, aseguraba el artículo. La fuerza contrapolar “funcionaba” sim plem ente utilizando la raíz cuadrada negativa (en vez de la raíz positiva) para calcular la fre­ cuencia de resonancia de un circuito tanto con inductancia co m o con capacidad. La idea de una frecuencia negativa m e intrigó (y de hech o tiene sentido para los ingenieros electrónicos cuando la com binan con V ^ i^ p e ro en ese entonces los editores hicieron unos inteligentes tru­ cos más y se aparecieron con una resistencia negativa^. C o m o saben todos los que por la n och e disfrutan de dar vueltas en una cama caliente bajo una frazada eléctrica, o quienes por la mañana gustan de una crujiente rebanada de pan tostado, las resistencias (las resistencias positivas) se calientan cuando conducen una corriente eléctrica.“O bviam ente”, entonces, una resistencia negativa debería en­ friarse al conducir una corriente — de ahí las fotografías del soldador y de la bandeja de cubos de hielo— . (N o obstante, sigo sin com prender la lógica, si puedes llamarla así, que había detrás del co n o de sombras de la lámpara de escritorio.) Ahora bien, realmente existe algo co m o la resistencia negativa, y desde hace m ucho tiem po los ingenieros elec­ trónicos saben que aparece, bajo ciertas condiciones específicas, duran­ te el m anejo de arcos voltaicos.Tales arcos eran utilizados, por ejem plo, en los primeros días de la radio preelectrónica para construir transmi­ sores extrem adam ente poderosos que eran capaces de transmitir m úsi­ ca y la voz hum ana m ejor que las señales telegráficas, que eran todo lo que podían em itir los transmisores a bobina de H ertz y M arconi. Lue­ go, en la universidad, aprendería que la operación de radios es im posi­ ble de entender, a un nivel teórico elevado, sin la cabal com prensión de Todo esto era más fascinante para m i joven m ente de lo que puedo contarte ahora, cuarenta años después, con un vocabulario bastante más amplio. Esto m e mostró que en el m undo de la electrónica había grandes y excitantes ideas, mayores que las que yo jamás m e había im a­ ginado mientras estaba en la cochera armando mis ju g u etito s.Y más tarde, cuando en las clases de álgebra de la escuela secundaria m e pre­ sentaron los núm eros com plejos com o soluciones de ciertas ecuacio­ nes cuadráticas, yo sabía (a diferencia de mis perplejos com pañeros de clase) que éstos no eran sólo parte de un ju eg o intelectual estéril. Ya entonces sabía que >/^i era im portante para los ingenieros electróni­ cos, y para su capacidad de construir instrumentos verdaderamente sorprendentes.

Tres años y m ed io después de leer sobre la energía contrapolar, m e encontré viajando en tren temprano una mañana, de la U n io n s Station de Los A ngeles hacia el norte, hacia Palo Alto, para unirm e a la g en e­ ración 1958 de la Universidad de Stanford. A lo largo de los años en que Cari y Jerry aparecieron en Popular Electronics, los relatos describie­ ron su progreso desde que eran estudiantes de escuela secundaria hasta ser jóvenes estudiantes de ingeniería electrónica en la ficticia “Parvoo U niversity” , y yo, co m o ellos, estaba dando m i prim er paso en la ruta de esa profesión, que he recorrido desde entonces co m o ingeniero electrónico. U na vez en Stanford tuve más que suficientes lecturas para ocupar mis días y así pronto m e alejé de Popular Electronics, pero estuvo ahí en el m om en to justo para mí; el plan de m i padre fun cion ó m ejor de lo que él había esperado. En cierto sentido, pues, toda m i vida pro­ fesional ha sido resultado de m i fascinación juvenil co n el m isterio de y por eso he escrito este libro.1 En una carta (fechada el 13 de enero de 1852) a su í.A u n sin sacarle raíz cuadrada,-i am igo inglés Augustus D e M organ, el m atem ático tuvo para mí un gancho desde la ciencia ficción. Antes de que Popular irlandés W illiam R ow a n H am ilton escribió: “M e pa­ rece que alguno de nosotros, usted o yo — pero espero Electronics entrara en escena, yo era un que sea usted— , debe escribir, tarde o temprano, la fanático del radiodrama semanal de los años cincuenta X Minus One. U na vez historia de \ f - 1 C in co días después D e M organ res­ por semana, a las 9:30 p m , escuchaba la pondió: “Sobre la historia de yf—1, éste no sería un apertura del programa con el trabajo fácil de hacer, desde los hindúes en adelante.” presentador que decía: “Desde los Pues bien, ni H am ilton ni D e M organ escribieron lejanos horizontes de lo desconocido, llegan transcripciones de historias de jamás esa historia y, hasta donde sé, nadie más la ha hecho. Y ésa es otra razón por la cual escribí este li­ nuevas dimensiones en el tiempo y el espacio. Éstas son historias del futuro, bro. Sim plem ente deseaba aprender más. aventuras que vivirás en un millón de M i única pena es que m i padre no esté aquí para posibles años y tal vez en miles de leerlo. Pero si estuviera, supongo que estaría satisfe­ mundos. La National Broadcasdng ch o con el resultado de haber invertido en la suscrip­ Company, en cooperación con la ción a una revista hace casi m edio siglo. revista Galaxy Science Fiction, presenta...”Y luego venían las palabras que me estremecían hasta la médula, palabras que reverberaban en mi oscuro dormitorio (cuando se suponía que debía estar dormido): “Equis, equis, equis, equis, menos, menos, menos, menos, uno, uno, uno, uno”, seguidas de una música espeluznante. ¡Ah, qué tiempos aquellos!

Prefacio a la edición en rústica

La primera edición de este libro, en pasta dura, apareció en 1998 y des­ de entonces he pasado och o años pensando, al irm e a la cama, en erra­ tas absurdas, estúpidos signos de m enos que faltaron y frases vergonzo­ samente retorcidas. Cada error lo he sentido co m o una astilla bajo la uña; si bien desde luego n inguno significaba una amenaza de muerte, juntos hacían que m i vida intelectual padeciera cierta incom odidad. Durante los primeros seis m eses después de la publicación del libro solía despertarme a mitad de la n och e murmurando, co m o hacía O liver Heaviside, el excéntrico físico eléctrico Victoriano, cuando él ron­ daba los sesenta años: “ ¡M e estoy volvien do tan estúpido co m o una lechuza!” T iem pos interesantes: la vejez de quien escribe matemáticas puede producir m ucho estrés. ¡Pero eso se acabó! A lo largo de los años los lectores han sido sufi­ cientem ente generosos com o para tomarse el tiem po de señalar mis distracciones y, con sus apuntes en una m ano y una pluma roja en la otra, gozosam ente he ido extirpando mis molestias hasta conform ar esta nueva edición. Probablem ente no desaparecieron todas, por des­ gracia, pero de cualquier manera m e siento m ejor (sensación que sin duda se desvanecerá una vez que reciba el próxim o correo electrónico o carta avisándome de u no o más errores que se m e escaparon). En 1999 recibí dos largas y detalladas cartas, de los profesores R o b ert Burckel (del departamento de matemáticas de la Kansas State U niversity) y D avid W unsch (ingeniero eléctrico del campus Lowell de la University o f Massachusetts), que m e resultaron particularmente útiles. Por si fiiera p oco, Princeton U niversity Press publicó recientem ente la secuela de este libro — Doctor Euler’s Fabulous Formula [La fabulosa fór­ mula del doctor Euler]— , por lo que la aparición tan próxima de una edición corregida y puesta al día de Esto no es real resulta particular­ m ente gratificante. A gradezco a m i editora en P rinceton,V ickie Kearn, por darme la oportunidad de revisar el libro. Ahora bien, ¿qué cambios se hicieron en el libro, además de la corrección de erratas? Tal vez peque de inconsistente, pero voy a empezar por m encionar ciertas cosas que no han cambiado. Si bien leí con atención todo lo que enviaron mis lectores y adm ito que la gran mayoría de sus com entarios tuvieron una repercusión significativa en las correcciones hechas al li­ bro, hubo algunas excepciones. Sólo daré dos ejemplos: para empezar, un lector m e acusó de ser demasiado severo al afirmar (véase el capítu­ lo 1) que la novedosísim a idea de D el Ferro que sirvió para resolver la cúbica reducida era “propia de un m ago”; hom bre, no, dijo el lector (quien afirmaba ser m atem ático profesional), fiie tan sólo una “buena

idea” que se le pudo haber ocurrido a cualquiera. A nte eso sólo puedo decir que no se le ocurrió a nadie antes que a D el Ferro: no im porta lo que se diga sobre lo que los m atemáticos quizás hicieron, pudieron ha­ ber h ech o o inclusive debieron haber h ech o en el pasado, lo cierto es que quien term inó resolviendo la cúbica reducida fiie Del Ferro. M e parece que a m i elaborado crítico ya se le olvidó lo m ucho que se im ­ presionó al descubrir có m o se resuelve una ecuación cúbica. La frase “la familiaridad es madre del desdén” es un cliché repetido hasta el cansancio, precisamente porque es cierta. Para ejemplificar aque­ llo a lo que quiero llegar, diré que cualquier alum no de preparatoria que se respete es capaz de comprobar que J 2 es irracional, pero eso no quiere decir que sea una dem ostración facilona. El descubrim iento, hace más o m enos 25 siglos, de los números irracionales representó una revolución en la historia de las matemáticas, y los buenos estudiantes todavía exclam an, literalmente, ¡oooh! y ¡aaaah! cuando ven por pri­ mera vez la dem ostración de la irracionalidad de V 2. D e igual manera, creo que m i crítico lector está equivocado de parte a parte sobre la cúbica reducida, y por ello no he cambiado una sola palabra de mi descripción del trabajo de D el Ferro. C o m o segundo ejem plo de “el error que no era tal”, contaré que un lector m e escribió para quejarse de que en la figura 37 (el diagrama del circuito de un oscilador por desplazamiento de fase) el voltaje u está a la derecha del voltaje vy si bien en el texto digo que el voltaje u está a la izquierda. Esta aseveración m e dejó estupefacto (¿había confundido derecha e izquierda?: dios m ío, ¡quizá yo era aún más estúpido que una lechuza!), hasta que com prendí que el lector estaba viend o la parte de las resistencias y los capacitores en el circuito, pasando por alto que en el texto digo específicam ente que m e refiero a los voltajes en las ter­ minales de entrada y salida del amplificador conectado a ese sistema. (Gracias a dios, \no soy más estúpido que una lechuza!; ése es el tipo de cosas que gratifican la m ente del viejo que escribe sobre matemáticas en mitad de la noche.) Diré más sobre el circuito en cuestión más ade­ lante. N o con ten to con esto, ese m ism o lector (quien, por cierto, es profesor de matemáticas) se declaraba horrorizado por m i uso esporá­ dico del sím bolo Z , com o cuando escribo rZ 6 en vez de ret$ para de­ notar el vector de longitud r que forma un ángulo 6 con el eje real positivo. D e acuerdo, Z n o es^un signo que se utilice com ú nm en te en la notación matemática (aunque los ingenieros eléctricos lo usan cons­ tantem ente), pero creo que los matemáticos deberían pensar seriam en­ te en adoptarlo: es una notación m uy natural, pues inclusive se asemeja al con cepto de ángulo que representa. Por m ucho, la sección del libro que generó más correspondencia de mis lectores fue el recuadro 5 (“Locura exponencial” , en el capítulo 3), que muestra una presunta “dem ostración” del resultado 1 = e~A7^n para todo entero n: el acertijo, desde luego, reside en que esta aseveración es cierta únicam ente para un caso, cuando « = o.A l escribir el recuadro

5 sólo buscaba inspirar cierta perplejidad inicial en el lector, misma que se calmaría una vez que hubiera reflexionado sobre la exposición de la página precedente (la del recuadro 4, “C ó m o elevar un núm ero co m ­ plejo a una potencia com pleja”); y si n o se despejaba con eso, entonces lo haría más adelante, con el material de la sección “Funciones m ultivaluadas”. La clave para entender la “dem ostración” del recuadro 5 está en la frase sobre las operaciones matemáticas “que siempre parecieron [el énfasis lo p on go ahora] ser válidas”, aunque ¿son todas las operaciones del recuadro 5 realmente válidas? Por ejemplo: en cualquier curso de álgebra preuniversitaria apren­ dem os que, si 2 es real, entonces a] ¿DZ= z

y b] ln(ét) = z. Si £ es un núm ero complejo, entonces el inciso a sigue siendo verdadero (de hecho, lo utilizo en el m ism o recuadro 4, al calcular (i + í) ^ ^ ) , pero el b puede no serlo. Para ilustrar los problemas que pueden g en e­ rarse a partir del inciso b, supongam os que em pezam os con la famosa identidad de Euler em+ 1 = 0 y asumimos que el7r = —í.A l elevar al cua­ drado ambos térm inos de la ecuación, queda el27r = i , y si hacem os caso del inciso b, que dice que \n(et27r) = ln ( i) , tenem os que í27r = o. ¡M e pa­ rece que todos estamos de acuerdo con que eso no es verdad! Por su­ puesto, se trata de un rompecabezas similar al que se presenta en el recuadro 5. La solución se obtiene cuando com prendem os que 1 no es únicam ente e,27r, sino que más bien se trata de una cantidad infinita de valores el27rn, donde n es cualquier entero positivo o negativo, entre ellos cero y uno. Lo que deberíamos escribir, entonces, no es e,27r= i , sino el27rn= 1, lo cual, al aplicar el inciso b, nos da com o resultado ln(et27rn) = ln (i) = í27Ttt. Es decir, lo que en realidad hem os demostrado aquí es que ln (i) es una cantidad compleja que, hablando con precisión, es un \imaginario puro o, lo que es lo m ism o, ln (i) tiene parte real igual a cero. El álgebra preuniversitaria también nos enseña otras cosas sobre la par­ te real igual a cero ( ln ( i) = o , decíam os entonces), pero la respuesta com pleta es que ln (i) tiene a su vez una parte imaginaria que, así com o puede ser cero, puede ser un núm ero diferente (cuando n —±1, ± 2 ,...) . La solución al acertijo del recuadro 5 se puede encontrar ahora en el nuevo apéndice d, al final del volum en, pero, si eres un lector recién llegado a esta obra, te aseguro que te divertirás m ucho más tratando de resolverlo por tu cuenta antes de recurrir al apéndice. También la presentación del problema de Kasner, al in icio del capí­ tulo 5, provocó numerosas com unicaciones de lectores incrédulos. U n o , profesor del m it, m e dijo que “el ejem plo de Kasner masacró m i intui­ ció n ” y que “he llegado a la conclusión de que el ejem plo de Kasner es falaz” . Ahora bien, Kasner era fam oso por su gran sentido del hum or

(por ejemplo, fue él quien acuñó, con ayuda de su sobrinito, los gracio­ sos nombres de googol y googolplex para io 100 y io 8°ogo1, respectivamen­ te), pero com o m atem ático era un hom bre m uy serio. Además de su artículo de 1914 que cito en el libro (véase la nota 2 del capítulo 5), puede encontrarse más inform ación sobre la longitud de una cuerda en com paración con la lon gitud de un arco en funciones de variable com pleja en un segundo artículo de Kasner (“C om p lex G eom etry and R elativity:T heory o f the ‘R a c ’ Curvature” [“G eom etría com pleja y relatividad: la teoría de la curvatura ‘R a e ’”], en Proceedings of the N a ­ tional Academy of Sciences of the United States of America, 15 de marzo de 1932, pp. 267-274) y en uno más, que apareció 10 años más tarde (George C om enetz, “T h e Limit o f the R atio o f Are to C hord”, en American Journal of Mathematics 64, núm . 1,1942, pp. 695-713). Más adelante, en el m ism o capítulo 5, establezco que el oscilador por desplazamiento de fase de la figura 37 sentó las bases para el prim er producto de la que hoy es una corporación gigantesca y m ultim illonaria: Hewlett-Packard. En 2004 m e escribió G ene Franklin, profesor de ingeniería eléctrica de la Universidad de Stanford, para corregirme: “por poquito habría sido cierto”, dijo. El circuito que inspiró el primer producto de hp (el oscilador de audio HP-200A) era lo que los in gen ie­ ros eléctricos llaman un oscilador W ien Bridge, sobre el cual puedes encontrar más inform ación, si es que te interesa, en cualquier libro de texto de electrónica. O, si prefieres inform ación de primera mano, puedes revisar la tesis con que en 1939 W illiam H ew lett (1913-2001) obtuvo el título de ingeniero, en la que describe su circuito. M i agra­ decim iento, pues, para el profesor Franklin — francamente, co m o yo también m e gradué com o ingeniero en Stanford, podía haber sido más cuidadoso con m i anécdota— . Pero lo que sí te puedo asegurar es que los cálculos de variable com pleja utilizados para analizar el oscilador son correctos y, com o ya dije arriba, la nomenclatura del voltaje de la figu­ ra 37 es correcta, sin duda. R ecib í asimismo gran cantidad de cartas de lectores que práctica­ m ente m e rogaban que incluyera una solución de la ecuación diferen­ cial de tercer grado que según yo (véase el final del capítulo 5) descri­ be el circuito del oscilador con resistencias y capacitores, por lo que puede encontrarse una solución en el nuevo apéndice e, al final del libro. H e de confesar que para lograr esto yo m ism o tuve que echar m ano de la poderosísima transformada de Laplace, pues de otro m od o m e habría perdido irrem ediablem ente en toda esa álgebra, y en el m ism o apéndice la explico brevem ente, así que incluso si no estás familiariza­ do con ella serás capaz de seguir el proceso; por otro lado, la inclusión en esta nueva edición de la transformada de Laplace resulta pertinente, ya que ésta se origina en la teoría de funciones complejas, aun cuando el uso que yo le doy en el apéndice e evita los detalles “com p lejos” . En el epílogo a la primera versión de esta obra debería haber hablado más sobre la transformada, debería haber dicho algo más sustancioso que la

m en ción superficial que hice entonces, así que ahora el apéndice E m e ayuda a corregir esa deficiencia.Tanto m atemáticos co m o ingenieros la utilizan continuam ente para resolver ecuaciones diferenciales. También olvidé m encionar en el capítulo 6 una obra im portante que apareció el año anterior a que se publicara la primera edición de este libro: el artículo de Mark M cK inzie y Chris Tuckey “H idden Lemmas in Euler s Sum m ation o f the R eciprocáis o f the Squares” [Le­ mas ocultos en la suma de Euler de los recíprocos de los cuadrados] (Archive for History ofExact Sciences 51, núm . 1,1997, pp. 29-57). La disquisición, una vez más en el capítulo 6, sobre la hipótesis de R iem ann, el más fam oso problema m atem ático no resuelto (y sin duda uno de los problemas más com plicados de toda la historia de las m ate­ máticas), necesita ser puesta al día. En la edición original escribí que se había verificado, m ediante cálculos inform áticos, que todos los prim e­ ros 1.5 x 1o9 ceros com plejos de la función zeta están, sin excepción, en la llamada línea crítica z —1 /2 + ib. En octubre de 2004 ese logro heroi­ co fiie superado por m ucho: ahora se sabe que los primeros 1o13 (sí, los primeros diez billones) ceros com plejos de C^(z) están en la línea crítica. El propio R iem an n calculó sólo los primeros tres (con un pequeño error en el valor de b para el tercero) antes de lanzar la hipótesis de que todos los ceros com plejos están en la línea crítica. Las computadoras actuales pueden procesar m illones de ceros en un día — para hacerse una idea de cuán explosivo ha sido el crecim iento de esta ocupación de buscar ceros en los últim os 50 años, diré que en 1958, el año en el que term iné la preparatoria, se había com probado que m enos de 36 mil ceros estaban en la línea crítica— ; vamos, hasta m i modesta, y no tan nueva, com putadora portátil puede resolver en m inutos lo que a R iem ann le habría im plicado un esfuerzo enorm e. La figura 1, por ejemplo, muestra el valor absoluto de (^(z) para z = 1 /2 + ib cuando b está entre o y 27; al verla se hace evidente que | C^(z) \ = o (y, por lo tanto, (,(z) = o) en tres puntos (b = 14.13, 21.02 y 25.01, que son las par­ tes imaginarias de los primeros tres ceros de R iem a n n ). D eb o admitir que para dibujar la figura 1 no tuve más que escribir un par de líneas de cód igo en Matlab; después, mientras m e fatigaba preparando una taza de café caliente (¡inclusive esa tarea elem ental ter­ m inó resolviéndola el microondasl), m i com putadora portátil evaluó C^(z) | para cada uno de los 2 m il valores de b, equidistantes entre sí, en el intervalo de o a 27 y produjo la gráfica más o m enos en un m inuto. ¡Imagínate qué habría h ech o R iem an n con semejante artefacto!) Por supuesto, los cálculos com putacionales no significan nada para el m ate­ mático puro: el descubrim iento de una sola raíz com pleja fuera de la línea crítica resultaría autom áticam ente fatal para la hipótesis de R ie m ann.Y no hay nada en la matemática m oderna que nos diga que ése no es el caso. C o m o escribió un estudioso de la función zeta (H. M . Edwards, Riemann’s Zeta Function [La función zeta de Riemann], A cademic Press, 1974, p. 166): “a m enos de que esté operando alguna causa

Parte imaginaria de 2 (o sea, b) en la línea crítica

Figura 1. Los primeros tres ceros no triviales de la función zeta de Riemann. elem ental que se les haya escapado a los m atemáticos durante 110 años [ahora 142], el h ech o de que existan ocasionalm ente raíces [complejas] fiiera de la línea [crítica] es enteram ente posible” . Es decir que, a pesar de la cadena conocida de billones de ceros consecutivos en la línea crítica, la conjetura de R iem an n puede estar equivocada: así de simple. C o m o afirma el m ism o Edwards más adelante, “la visión de R iem an n era genial, pero no sobrenatural, y lo que en 1859 parecía ‘probable’, en nuestros días no lo parece tanto” . Por cierto, ahora que m en cion o la línea crítica, he aquí otro lindo calculito para que vayas soltando la m ano (un lector escribió para que­ jarse de que el libro, a pesar de no ser ni un libro de ejercicios ni un libro de texto, no contenía suficientes problemas que le parecieran au­ ténticos desafíos): una vez que hayas leído el material sobre la función gamma y la famosa fórm ula de Euler para esa función (capítulo 6), in­ tenta comprobar que el valor absoluto de la función gamma en la línea crítica es

I Z \z=i/2+ib

^COsh(7rfe)’

La solución está en el nuevo apéndice f, pero no hagas trampa: n o es­ píes hasta que lo hayas intentado varias veces (te doy una pista: te ser­ virá tener presente el con cepto de conjugado de una cantidad com p le-

ja). Calcular el valor de C^(z) sobre la línea crítica, por otro lado, es m ucho más difícil; a lo más a lo que se ha llegado ha sido a encontrar cotas superiores para el valor de | 1 /2 + ib ) | com o función de b. Para mayor inform ación sobre esto, puedes consultar The Riemann ZetaFunction [La función zeta de Riemann], de Aleksandar Ivic (W iley-In terscience, 1985, particularmente la p. 197). Hasta ahora no he m encionado mis pequeños errores matemáticos: sigilosam ente he corregido cada signo o exp on en te equivocado y he pasado al siguiente con igual discreción. N o obstante, en el capítulo 6, las cartas de los profesores Burckel y W unsch m e hicieron ver que tal vez m e estaba pasando de listo en m i propio beneficio (y en el tuyo, de hecho). A nte eso, decidí dejar a un lado mis penosos gazapos y citar las cartas directamente, lo que te permitirá con ocer las correcciones y reírte un rato de m í, todo al m ism o tiem po (¡para que luego no digan que no vale la pena invertir en libros publicados por Princeton!). El asunto en cuestión surgió con algunas de mis m anipulaciones de , com o cuando en el capítulo 6 escribo: “aquí hay un error en el paso donde se reemplaza - 1 con /2”, y allí m ism o, donde digo: “nun­ ca hay que reemplazar —i/ i con —1 seguido del uso de i2 para —1” . Para el prim er caso, el profesor W unsch comenta: N o hay nada incorrecto en esto [reemplazar -1 con i2]. El error ocurre cuando

^ln(ía) = íln(i). El problema es que el conjunto de valores de l o g ^ ) no es idéntico al con­ junto de valores de zlo g z. Considere la ecuación

ln(ia) = 2ln(0. Suponiendo que tom e el lado izquierdo com o -ni, el conjunto de valores del lado derecho es 2[í(tt/2 + ikn)] = 1[7TH- 4/e7r]. N o hay ningún entero k que cumpla con esa igualdad.

Y, para el segundo caso, fue el profesor Burckel quien escribió: Creo que si -1 no puede reemplazar a —i/i y si i2 no puede reemplazar a -1, entonces es claro que hemos abandonado las matemáticas y nos hemos entregado al misticismo. La explicación de todo ello se encuentra más bien en el fracaso de la conocida propiedad homom órfica del logaritmo com ­ plejo [...] log(ab) no siempre es igual a logd + logfc.

B ueno, ¿qué puedo decir? Los dos profesores tienen razón; intenté de­ cir lo que quería decir sin utilizar palabras com o homomóifxca, y por ello term iné revolviéndolo todo. El autor agacha la cabeza con vergüenza contrita.

^He visto la gloria del diagrama de Argand,/las i y las thetas del grandioso plan de D e M oivre./Y ahora extraigo raíces complejas con garbo consumado, / con la raíz de menos u n o .//L o s números complejos son tan fáciles,/los números complejos son tan fáciles,/los números complejos son tan fáciles / con la raíz de menos u n o .//E l plano complejo no está mal en coordenadas cartesianas, / mas no puede compararse con la grandeza de la forma polar./Podrás elevar i + 40 a la potencia 9 9 , / con la raíz de menos uno.//Verás que los tuyos eran conocim ientos de segunda / cuando descubras el poder y la magia del complejo con ju gad o/y traces vectores correspondientes a la raíz de menos o c h o ,/c o n la raíz de menos uno.

En su carta, el profesor Burckel tam bién corrige m i afirm ación del capítulo 7, donde digo que antes del trabajo de Laurent “C auchy no estaba enterado de los desarrollos en series para funciones analíticas”, alegando que “Esto no es cierto. C auchy resolvió la representación de los desarrollos en series en un fam oso texto escrito en Turin en 1831. La contribución de Laurent fiie la representación bilateral en torno a una singularidad.” U n últim o com entario. U na vez que term ines este libro, por este conducto estás autorizado a cantar a todo pulm ón (de preferencia a solas, en la regadera, por ejem plo) el siguiente him no. Este perm iso es válido por todo el tiem po que quieras — o hasta que tu media naranja exija (com o hizo la mía) que, por lo que más quieras, te calles— . Has­ ta donde he podido averiguar, no se sabe quién es el autor, pero él o ella obviam ente tuvo — o tiene— un enorm e ingenio: La CANCIÓN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS (cántese con la tonada del Battle Hymn of the Republic) M ine They N ow W ith

eyes have seen the glory o f the Argand diagram, have seen the is and thetas o f D e M oivre’s mighty plan. I can find the com plex roots w ith consummate elan, the root o f minus one.

C om plex numbers are so easy; C om plex numbers are so easy; C om plex numbers are so easy, W ith the root o f minus one. In Cartesian co-ordinates the com plex plane is fine, But the grandeur o f the polar form this beauty doth outshine. You’ll be raising i + 40 to the power o f 99, W ith the root o f minus one. You’ll realize your understanding was just second rate, W hen you see the power and magic o f the com plex conjugate. Drawing vectors corresponding to the roots o f minus eight, W ith the root o f minus one.^

¡D e verdad espero que disfrutes este libro! P a u l J. N a h in

paul.nahin@ unh.edu Lee, N e w Hampshire, enero de 2006

Introducción

En 1878, un par de hermanos — que pronto adquirirían la mala fama de ser con ocidos com o los ladrones A hm ed y M oham m ed Abd er-R a ssul— tropezó con el cem enterio del antiguo Egipto en el valle de los R eyes en D eir el-Bahri. R ápidam ente m ontaron un próspero n egocio vendiendo las reliquias robadas, una de las cuales fiie un papiro m ate­ mático; uno de los herm anos lo vendió en 1893 al egiptólogo ruso V. S. Golenishchev, quien a su vez se lo dio al M useo de Bellas Artes de M oscú en 1912.1 Allí perm aneció com o un m isterio total hasta su com pleta traducción en 1930, m om en to cuando el m undo académ ico se enteró qué tan adelantados en matemáticas habían estado los anti­ guos egipcios. En particular, el decim ocuarto problema del “papiro m atem ático de M oscú ”, com o se llama ahora, es un ejem plo num érico específico de có m o calcular el volum en V de una pirámide trunca de base cuadrada, el llamado frustum o tronco de una pirámide. El ejem plo sugiere co n ­ tundentem ente que los antiguos egipcios conocían la fórmula

1. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, pp. 246-247.

V = ± h ( a 2 + ab + b2 ), donde a y b son las longitudes de los lados de los cuadrados inferior y superior, respectivamente, y h es la altura. U n historiador de la ciencia ha dicho que este con ocim ien to “corta la respiración” y que es “la obra cumbre de la geom etría egipcia”.2 La deducción de esta fórmula es un ejercicio de rutina para cualquiera que haya tom ado un curso elem en ­ tal de cálculo, pero es m ucho m enos obvio cóm o los egipcios pudieron descubrirla sin con ocer el cálculo integral.3 Si bien es correcto, este resultado tiene un yerro estilístico m uy su­ til. Los valores de a y b son lo que un físico o un ingeniero m oderno llamarían un “observable” , esto es, son longitudes que pueden deter­ minarse directamente haciendo una m ed ición de los lados de las caras superior e inferior del tronco de pirámide. El valor de h, sin embargo, no es directamente m edible, o al m enos no lo es para una pirámide sólida. Para una pirámide dada debe calcularse utilizando, por supuesto, herramientas de geom etría y trigonom etría; cuánto más sencillo sería expresar el volum en del tronco de pirámide en térm inos de c, la lo n g i­ tud de la arista inclinada, en lugar de h. Esa longitud es m edible direc­ tamente. Esto finalm ente fue hecho, aunque por lo que sabemos no antes del siglo 1 d. C., y lo hizo el gran ingeniero m atem ático H erón de Alejandría, quien en general es considerado griego si bien era egip­ cio. D e hecho, es un problema elem ental de geom etría mostrar que

2. Sarton, A History of Science, vol. 1, P· 39 · 3. Para interesantes especulaciones acerca de cóm o los egipcios pudieron haber razonado, véanse la obra de Gillings citada en la nota 1, pp. 187193, y Van der Waerden, Science Awakening, pp. 3435. Este último tiene una fotografía del fragmento del papiro matemático de M oscú sobre el tronco de la pirámide.

2

h=

Ahora m ovám onos en el tiem po hasta 1897, hasta una conferencia en un encuentro de la Am erican A ssociation for the A dvancem ent o f Science, impartida por W ooster W oodruff Bem an, profesor de m ate­ máticas de la Universidad de M ichigan y fam oso historiador del tema. C ito de su exposición:

4. Beman, “A Chapter in the History o f Mathematics”.

Encontramos que la raíz cuadrada de una cantidad negativa aparece por primera vez en la Estereometría de Herón de Alejandría [...] Tras dar una fórmula correcta para determinar el volum en de un tronco de pirámide de base cuadrada y tras aplicarla con éxito al caso en el que el lado de la base inferior es 10, el de la superior es 2 y la arista es 9, el autor intenta resolver el problema en el que el lado de la base inferior es 28, el de la superior es 4, y la arista es 15. En lugar de la raíz cuadrada de 81 —144 requerida por la fórmula, tom ó la raíz de 1 4 4 -8 1 ..., esto es, reemplazó V^i por 1, y no notó que el problema tal com o estaba planteado era imposible. N o pode­ mos determinar si este error se debe a Herón o a la ignorancia de algún copista.4

Esto es, utilizando a = 28, b = 4 y c—15 en esta fórm ula para h, H erón escribió:

= V 2 2 5 - 1 1 4 - 1 4 4 = V8 1 - 1 4 4 .

El siguiente y m agnífico paso habría sido, por supuesto, escribir h = yj 63, pero en la Estereometría aparece el resultado h = \fó3, y así H e ­ rón perdió la oportunidad de ser el prim er académ ico co n ocid o que hubiera derivado la raíz cuadrada de un núm ero negativo en el análisis m atem ático de un problema físico. Si H erón realmente falló en sus cuentas, entonces pagó un gran precio por ello en térm inos de fama. Pasarían unos m il años más antes de que un m atem ático siquiera se molestara en considerar una cosa así — y sólo para dejarla de lado com o algo sin sentido— y todavía pasarían otros quinientos años más antes de que la raíz cuadrada de un núm ero negativo fiiera tomada en serio (si bien todavía era considerada un m isterio). Mientras casi con seguridad H erón se dio cuenta de la aparición de la raíz cuadrada de un núm ero negativo en el problema del tronco de pirámide, su seguidor alejandrino de dos siglos después, D iofanto, pa­ rece haber perdido de vista por com pleto un caso similar. H oy en día D iofanto es honrado por haber tenido el m ism o rol en el álgebra que Euclides en la geom etría. Euclides nos dejó sus Elementos y D iofanto entró en la posteridad con la Aritmética. En ambos casos, es práctica­

m ente seguro que las obras contuvieran resultados de m uchos matemá­ ticos anónim os anteriores a ellos, cuyas identidades están ahora perdi­ das para siempre. Pero fueron Euclides y D iofanto quienes recolectaron y organizaron su herencia matemática en forma coherente en sus gran­ des trabajos. En m i op inión, Euclides hizo un trabajo m ejor porque los Elementos constituyen una teoría lógica de la geom etría plana. Por otro lado, la Aritmética, o al m enos los distintos capítulos o libros que sobrevivieron de los trece originales, es una colección de soluciones concretas de problemas num éricos, sin un desarrollo teórico de m étodos generales. Cada problema en la Aritmética es el único de su clase, m uy parecidos a aquellos del papiro m atem ático de M oscú. Pero esto no quiere decir que las soluciones dadas no sean ingeniosas y, en algunos casos, diabó­ licam ente astutas. La Aritmética es todavía un excelente coto de caza para un m oderno maestro de álgebra que busque problemas para desa­ fiar, e incluso dejar perplejos, a sus estudiantes más brillantes.5 En el libro 6, por ejem plo, encontram os el siguiente problema (nú­ mero 22): dado un triángulo rectángulo con área 7 y perímetro 12, hallar sus lados. A quí mostramos cóm o D iofanto derivó la ecuación cuadrá­ tica 1 7 2 * = 336x2 + 24 a partir del enunciado del problema. D enotando los lados del triángulo recto por Pt y P2, el problema presentado p or D iofanto equivale a resolver el sistema de ecuaciones simultáneas P iP 2 = i 4 . P ,+ P 2 +x/P t2 + P 22 = 1 2 .

Estas pueden resolverse con m anipulaciones algebraicas rutinarias, aunque bastante largas, pero la inteligente idea de D iofanto fue reducir de inm ediato el núm ero de variables de dos a una escribiendo p, = j¿ y P 2 = u x · Entonces, la primera ecuación se reduce a la identidad 14 = 14 y la segunda a

x+14X+Jxr +196x2 =12’ la cual fácilm ente se convierte en la fórmula dada arriba: 172 x = 3 3 óx2 + 24. Es un ejercicio útil resolver directamente las ecuaciones originales para P t y P2, y entonces mostrar que los resultados son consistentes con la solución de D iofanto. D iofanto escribió la ecuación de esa forma porque muestra todos los coeficientes com o números positivos, es decir, los antiguos rechaza­ ban los números negativos com o si no tuvieran sentido, pues no p o ­

5. El trabajo definitivo sobre D iofanto sigue siendo el Diophantus of Alexandria:A Study in the History of Greek Algebra, de sir Thomas L. Heath, publicado por primera vez en 1885 y revisado en 1910 (disponible hoy día reimpreso por Dover). Este trabajo clásico contiene completa la Aritmética tal com o Heath la conoció, junto con sus muy extensas y útiles notas. En tiempos más recientes han sido descubiertos libros adicionales; véase \Sesiáno, Books iv to vil of Diophantus * Arithmetica.

dían ver una interpretación física de un núm ero que era “m enos que nada” . Más aún, en alguna parte de su Aritmética (problema 2 del libro 5) escribió que la ecuación 4.x+ 20 = 4 era “absurda” porque llevaba a la solución “im posible” x = —4. D e acuerdo con esa postura, D iofanto utilizaba sólo la raíz positiva cuando resolvía una cuadrática. Tan tarde co m o el siglo x v i encontram os m atemáticos que se refieren a las raíces negativas de una ecuación com o ficticias, absurdas o falsas. Y, por supuesto, en ese entonces la raíz cuadrada de un núm ero n e­ gativo habría sido sencillam ente inaceptable. Es al m atem ático francés R e n é Descartes, que catorce siglos más tarde escribió La Geometrie [La Geometría] de 1637 y cuyo trabajo discutiremos con más detalle en el capítulo 2, a quien debem os el térm ino imaginarios para tales números. A ntes de la introducción de este térm ino por Descartes, las raíces cua­ dradas de los números negativos eran llamadas números sofisticados o sutiles. D e hecho, el resultado de la ecuación cuadrática de D iofanto para el problema del triángulo es justo una cosa así: la fórmula de la cuadrática rápidamente nos da las soluciones _ 43 ± V —167 168 · Pero no es esto lo que escribió D iofanto. Lo que él escribió fue sim plem ente que la ecuación cuadrática no era posible. C o n ello que­ ría decir que la ecuación no tenía soluciones racionales porque “la mitad del coeficiente de x m ultiplicado por sí m ism o, m enos el pro­ ducto del coeficiente de x 1 y las unidades” debía ser un cuadrado para que existiera una solución racional, mientras que

( ^ )

6. The Ganita-SaraSangraha of Mahaviracarya, p. 7.

Las cursivas son mías.

-(336X 24) = -6 6 8

claramente no es un cuadrado. Sobre la raíz cuadrada de este núm éro negativo, D iofanto no tenía nada que decir. Seiscientos años después (ca. 850 d. C .), el m atem ático indio Maha­ viracarya escribió sobre este tema, pero sólo para opinar lo m ism o que H erón y D iofanto habían h ech o tanto tiem po atrás: “El cuadrado de las [cantidades] positivas tanto com o de las negativas es positivo; y la raíz cuadrada de esas [cantidades cuadradas] son positivas y negativas. C o m o en la naturaleza de las cosas las [cantidades] negativas nunca son un cuadrado, resulta por lo tanto que no tienen raíces cuadradas ”6 Más siglos debían pasar antes de que cambiara esta opinión. En el com ien zo del herm oso librito de divulgación científica de G eorge Gamow, One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Sci­ ence [Uno dos tres... infinito: hechos y especulaciones de la ciencia] se en­ cuentra el siguiente limerick, o poem a absurdo y hum orístico, que le da al lector una idea de qué encontrará en este libro, y también del gran sentido del hum or de quien lo haya escrito:

There was a young fellow from Trinity* W ho took Joo . But the nunbers o f digits Gave him the fidgets; H e dropped Math and took up Divinity.*

Este libro no trata de la tarea verdaderamente m onu ­ m ental de calcular la raíz cuadrada de infinito, sino de otra tarea que a un gran núm ero de inteligentes m atemáticos del pasado (incluidos H erón y D iofan to) les pareció aún más absurda: la de entender el significado de la raíz cuadrada de m enos uno.

* Juego de palabras intraducibie: Trinity hace referencia aquí tanto a la trinidad cristiana com o al Trinity College, una de las más prestigiosas sedes de la Universidad de Cambridge. [N. del e.] * Había una vez un estudiante en Trinity / quien calculó \f&>. / pero el número de dígitos / lo puso nervioso; / abandonó las matemáticas y se pasó a la teología.

i. El enigma de los números imaginarios

La e c u a c ió n c ú b i c a Al final de su libro de 1494, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportio­ ni et Proportionalita [Compendio de aritmética, geometría, proporciones y pro­ porcionalidad], que resumía todo el con ocim ien to de la época sobre aritmética, álgebra (incluidas las ecuaciones cuadráticas) y trigon om e­ tría, el fraile franciscano Luca Pacioli (ca. 1445-1514) hizo una atrevida afirmación. Aseguró que la solución de la ecuación cúbica era “tan im ­ posible en el estado actual de la ciencia com o la cuadratura del círcu­ lo ” . Este últim o problema había estado dando vueltas en las matemáti­ cas desde la época del m atemático griego Hipócrates (ca. 440 a. C.). La cuadratura del círculo — la construcción utilizando solam ente regla y compás de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado— había demostrado ser m uy difícil, y cuando Pacioli escribió su libro, el pro­ blema de la cuadratura perm anecía sin solución. Claramente él lo uti­ lizó com o una m edida de la dificultad de resolver la cúbica, si bien en realidad el problema de la cuadratura es una m edida de las peores difi­ cultades, ya que en 1882 se demostró que realmente es im posible resol­ verlo. Empero, la afirmación de Pacioli estaba equivocada, porque m enos de diez años después el m atemático Scipione del Ferro (1465-1526), de la Universidad de Bolonia, descubrió cóm o resolver la llamada cúbica reducida, un caso de la cúbica general en el que no está presente el tér­ m ino de segundo grado. C om o su solución de la cúbica reducida es un paso clave para el primer avance en la com prensión de V ^ i, vale la pena esforzarse en entender qué hizo D el Ferro. La cúbica general contiene todas las potencias de la incógnita, esto es, x l + í?iX2 + a2x +

—o,

donde sin pérdida de generalidad tom am os el coeficien te del térm ino de tercer grado com o si friera igual a 1. Si este coeficien te no friera 1, entonces podríam os dividir toda la ecuación por ese coeficiente, lo cual se puede hacer siempre que no sea cero — en cuyo caso la ecua­ ción no sería en realidad una cúbica. La cúbica resuelta por D e l Ferro, por otra parte, tenía la forma g e­ neral x 3 + p x = q,

1. Esto no quiere decir que los matemáticos no supieran calcular, digamos, 7 - $ . La distinción está entre la utilización del signo menos para denotar una resta (que sí la comprendían) y para denotar un número menor que cero o nada (lo que resultaba misterioso). Así, 5 —7 debería ser un problema, ya que la respuesta - 2 no tuvo ningún sentido en la mente de un matemático sino hasta com ienzos del siglo xvi. M enos dos era llamado a veces el defecto de dos, y tal vez las implicaciones peyorativas de este término revelan qué tan incóm odos hacían sentir los números negativos a los matemáticos.

donde p y q son n o negativos. Igual que D iofanto, los matemáticos del siglo x v i, incluyendo a D el Ferro, evitaban los coeficientes negativos en sus ecuaciones.1 R esolver esta ecuación parece un paso insuficiente para resolver la cúbica general pero, con el descubrim iento de un in­ genioso truco, la solución de D el Ferro es general. C o n lo que D el Ferro se topó de alguna manera es que la solución de la cúbica redu­ cida puede escribirse com o la suma de dos térm inos, esto es, podem os expresar la incógnita x com o x = u + v. Sustituyendo esto en la cúbica reducida, desarrollando y agrupando térm inos resulta que w3 -1-1/3 + (3u v+ p)(u + v) = q. Esta única ecuación, que se ve bastante com plicada, puede reescribirse com o dos afirmaciones individualm ente m enos complicadas: 3«t>+p = o, que implica u3 + v3 = q.

j

2. Si te preguntas por qué estoy ignorando la raíz negativa, eso es bueno. Deberías preguntártelo. La raíz negativa es perfectamente válida pero, si la utilizas a partir de este punto en el análisis, encontrarás exactamente la misma respuesta que obtendrás con la raíz positiva. Inténtalo y verás.

¿C óm o supo todo esto D el Ferro? El m atem ático polaco-am erica­ no Mark Kac (1914-1984) respondió esta pregunta con su famosa dis­ tinción entre el gen io com ún y el gen io m ágico: “U n gen io com ún es alguien tan bueno com o podríam os serlo usted o yo si tan sólo fuéra­ m os muchas veces mejores. N o hay m isterio sobre có m o funciona su m ente. U na vez que entendem os qué hizo, nos sentim os seguros de que nosotros también podríam os haberlo hecho. Es diferente con los m agos... el trabajo de su m ente perm anece incom prensible a todos nuesjros intentos y propósitos. A un después de que entendem os lo que ha hecho, el proceso por el cual lo realizaron continúa com pletam ente a oscuras.” La idea de D el Ferro fue propia de un mago. R esolvien d o la prim er ecuación para v en térm inos de p y u, y sus­ tituyendo la solución en la segunda ecuación, obtenem os u6 —qu3 —— = o. * 27

D e entrada esta ecuación de grado 6 puede parecer un gran paso atrás, pero de h ech o no lo es. La ecuación es, sí, de sexto grado, pero también es· una cuadrática en «3. Entonces, usando la fórmula para resolver cua­ dráticas, bien conocida desde los tiem pos de los babilonios, tenem os

2

o, utilizando sólo la raíz positiva,2

\l 4

27

Ahora, co m o v3 = q—u3,

’- f & Ü · Así, una solución de la cúbica reducida x 3 + p x = q es la siguiente ex ­ presión, que acaso produzca un p oco de temor:

T+é +^"ÍT+| · Alternativamente, y com o \í—i = —i, en el segundo térm ino de esta expresión se puede sacar un factor - i de la raíz para producir la fór­ mula equivalente

Se pueden encontrar ambas fórmulas en distintos libros que analizan las cúbicas, pero no hay ninguna razón para preferir una a la otra. C o m o D el Ferro asumió que p y q eran positivos, es inm ediatam en­ te obvio que estas dos expresiones para x (equivalentes) siempre darán un resultado real. D e hecho, si bien hay tres soluciones o raíces de cual­ quier cúbica (véase el apéndice a), no es difícil demostrar que siempre R ecuadro 1. La única solución real y positiva de la ecuación cúbica de D el Ferro hay exactamente una raíz real positi­ va y por lo tanto dos raíces com ple­ Para ver que hay exactamente una solución real y jas de la cúbica de D el Ferro (véase positiva de la cúbica reducida x 3 + p x = q, donde p el recuadro i). y q son ambos no negativos, considera la función Ahora, antes de continuar con la f(x ) = x 3+ p x - q . cúbica, déjame decir algo acerca de El problema de D el Ferro es el de hallar las raíces de los números complejos. U n número f(x ) = o. Ahora, si calculas la derivada de f(x ) — de­ complejo no es exclusivam ente real notada por f ' { x )— y recuerdas que la derivada es la ni tam poco exclusivam ente im agi­ pendiente de la curva/(x), entonces obtendrás nario, sino una m ezcla de ambos. f'(x) = 3x2+P, Esto es, si a y b son ambos reales, entonces a + b\f—i es un com plejo. que siempre es no negativa, pues x2 nunca es nega­ La forma utilizada por los m atemá­ tivo y hemos asumido que p es no negativo. C on lo cual f(x ) siempre tiene una pendiente no negativa y ticos y por casi todo el m undo es por lo tanto nunca decrece cuando x crece. C om o a + ib (Leonhard Euler, el gran ma­ f ( o ) = - q , que nunca es positivo (porque asumimos tem ático suizo del siglo x v in , de que q no es negativo), entonces la gráfica de f(x ) quien diremos m ucho más en el debe parecerse a la figura 2. En esta gráfica es claro capítulo 6, introdujo el sím bolo i que la curva cruza el eje x sólo una vez, con lo cual para n/^i en 1777). Esto los in ge­ existe una solución real, y que el cruce es tal que la nieros eléctricos lo escriben com o raíz nunca es negativa (es cero sólo si q = ó). a + jb ; la razón por la cual optan g e-

neralmente por j es que V—1 o cu ­ rre con frecuencia en problemas que involucran corrientes eléctri­ cas y la letra i tradicionalmente se ha reservado para esa cantidad. Sin embargo, contra lo que dice un p o ­ pular m ito, te puedo asegurar que la mayoría de los ingenieros eléc­ tricos no se confunde cuando ve una ecuación que involucra núm eros com plejos escrita con í =>/—1 en lugar de j . D ich o lo cual, sin em ­ bargo, tengo que admitir que tam­ bién yo utilicé j en vez de i para V ~ i en el capítulo 5, donde m ues­ tro un lindo rompecabezas eléctri­ co del siglo x ix . Los números com plejos ob ed e­ cen varias reglas obvias, tales com o (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc -I- i2bd Figura 2. Gráfica de f ( x ) = x* + p x - q , con p y q ^ o . = ac—bd + i(ad + be). Pero tienes que tener cuidado. Por ejemplo, si a y b solam ente pueden ser números positivos, entonces Jab = \ía\íb. Pero si perm itim os que también sean números negativos, esta regla falla; por ejemplo, >/(-4) (-9 ) = 4 ^6 - 6 ^ [ ~ i 4 ~ 9 = (2 0 (3 0 = 6i2 = - 6 . Euler estu­ vo desorientado respecto a este punto en su Algebra de 1770. U n últim o com entario, y m uy im portante, sobre las diferencias en ­ tre los reales y los com plejos. Los núm eros com plejos no tienen la propiedad del buen orden de los reales. Buen orden quiere decir que podem os escribir expresiones com o x > o o bien x < o . A ún más', si x y y son núm eros reales, y si además x > o y tam bién y > o, entonces su producto satisface x y > o. Sin embargo, si tratamos de im poner este com portam iento a los núm eros com plejos, nos m etem os en proble­ mas. U na forma sencilla de com probarlo es por m ed io de un contrae­ jem plo. Para esto, suponem os que podemos ordenar los núm eros co m ­ plejos. Entonces, en particular, tiene que ser cierta una de estas dos posibilidades: / > 0 0 bien i < o . Supongam os que i > o . Entonces, - 1 = i x i > o, lo cual claramente es falso. Entonces debem os suponer que i < o, pero si m ultiplicam os por - 1 (lo que invierte el sentido de la desigualdad) tenem os que —i > o . Entonces, - 1 = (—¿) x (—0 > o, igual que antes, lo cual es com pletam ente falso. La conclusión es que nues­ tra suposición inicial de que podíam os ordenarlos nos lleva a una co n ­ tradicción, y por lo tanto esa suposición debe ser falsa. Volvamos aho­ ra a las cúbicas. U na vez que tenem os la raíz real de la cúbica de D el Ferro, en con ­ trar las dos raíces complejas n o es difícil. Supongam os que rt es la raíz

real obtenida por la ecuación de D el Ferro. Entonces, podem os factorizar la cúbica: ( x - r 1) ( x - r 2) ( x - r 3) = o = ( x - r 1)[x2- x ( r 2 + r3) + r2r3]. Para hallar las dos raíces adicionales, r2 y r3, aplicamos sim plem ente la fórmula de la cuadrática a x 2—x(r2 + r3) + r2r3 = o. Por ejemplo, considerem os el caso x 3 + 6x = 20, donde tenem os p —6 y 4 = 20. Sustituyendo estos valores en la segunda versión de la fórmula de D el Ferro, nos da x

= n/ io + V io 8 - V - 1 0 + V108.

Ahora, si observas la cúbica original, tal vez tengas la suerte de darte cuenta de que x —2 funciona (8-1-12 = 20). Entonces, ¿puede ser que esta cosa de aspecto tan com plicado sea en realidad 2? B ueno, sí, así es. Utiliza una calculadora y verás que x = ^/20.392305-^/0.392305 = 2 .7320508-0 .7 3 2 0 5 0 8 = 2. Entonces, para encontrar las otras dos raíces d e /( x ) = o = x 3 + 6 x - 2 0 , utilizamos el h ech o de que un factor de f ( x ) es (x —2) para hallar, tras algunas molestas divisiones, que (X-2)(X 2 + 2X + 10) = X 3 + Ó X -2 0 . Aplicando la fórmula de la cuadrática al factor de segundo grado, se obtienen las otras dos raíces complejas (soluciones de la cúbica original): r2 = —1 + 3%/—1

y r3= —1 —3>/—1.

A c t it u d e s

n e g a t iv a s h a c ia l o s n ú m e r o s n e g a t iv o s

Pero todo esto es adelantarnos en la historia. En realidad, D el Ferro y sus seguidores no hicieron cosas com o la factorización anterior para obtener las raíces complejas — obtener un único núm ero real positivo com o solución de la cúbica era todo lo que buscaban— .Y, por lo que a los matemáticos concernía respecto de la cúbica reducida de D el Fe­ rro, sólo había una única raíz real positiva, y eso era suficiente. ¿Pero qué ocurría con una cúbica com o x 3—6x = 20, donde ahora tenem os p = - 6 < o? D el Ferro nunca habría escrito tal cúbica, por supuesto, con un coeficiente negativo; en cam bio escribiría x 3 = 6x + 20 y lo consi­ deraría un problema com pletam ente nuevo. Esto es, com enzaría desde el principio para resolver

x 3 = p x + q, donde otra vez p y q son no negativos. Sin embargo, esto es com pleta­ m ente innecesario, ya que, en realidad, en ninguna parte de la resolu­ ción de x 3 + p x = q u tilizó la positividad de p y q. Es decir, esta supo­ sición inicial no tiene importancia, y se planteó explícitam ente sólo por una injustificada aversión de los m atemáticos de esa época hacia los números negativos. Esta desconfianza respecto de los números negativos parece extra­ ñísima a los matemáticos e ingenieros actuales gracias a que ya están acostumbrados a utilizarlos y han olvidado la confusión que les provo­ caron en sus primeros años escolares. D e hecho, aún hoy encontram os adultos inteligentes pero sin form ación técnica que siguen experim en­ tando estas confusiones, com o lo ilustra la siguiente copla frecuente­ m ente atribuida al poeta W. H . Auden:

* M enos por menos es m ás./ La razón de esto no debemos discutirla.

Minus times minus is plus. The reason for this we need not discuss.*

El gran m atem ático inglés John Wallis (1616-1703), por ejem plo, a quien conocerás con más detalle en el siguiente capítulo co m o el in­ dividuo que hizo el prim er intento racional de asignarle un significado físico a > /= í, hizo tam bién varias afirmaciones increíbles respecto de los números negativos. En su libro Arithmetica Infinitorum [Aritmética de lo infinito] de 1665, un libro que el joven Isaac N e w to n leyó con avidez, Wallis presentó el siguiente argumento: co m o a /o , con a > o, es +«> (infinito positivo), y com o a/b, con b < o, es un núm ero negativo, en­ tonces este núm ero negativo tiene que ser mayor que +00, porque el denom inador del segundo caso es m enor que el denom inador del pri­ mero (es decir, b < o). Esto llevó a Wallis a la sorprendente conclusión de que un núm ero negativo es sim ultáneam ente m enor que o pero mayor que +00, por lo que ¿quién puede culparlo de querer alejarse de los números negativos? Y, por supuesto, no era el único. Es más, el mis­ m o gran Euler consideró la preocupación de A uden lo suficientem en­ te m eritoria com o para incluir una dudosa “explicación” de por qué “m enos por m enos es más” en su fam oso libro de texto Algebra [Alge­ bra] (1770). H oy som os más intrépidos. Sim plem ente decimos: bueno, p es n e­ gativo, ¿y qué?, tras lo cual lo reemplazamos directamente en la fórm u­ la original de D el Ferro. Esto es, al reemplazar el valor negativo de p con —p (donde p es no negativo), tenem os

com o la solución de x l = p x + q, donde p y q son ambos no negativos. En particular, la fórmula nos dice que la solución de x3 = 6x + 20 es

x

=lJio+S2 - \ / - i o + V 92 =3-4377073,

que en realidad es una solución de la cúbica, co m o puede verificarse fácilm ente con una calculadora de mano.

U N DESAFÍO APRESURADO La historia de la cúbica sigue a partir de aquí un cam ino retorcido. C o m o era usual en aquellos días, D el Ferro m antuvo su solución en secreto. Lo hizo porque, a diferencia de los matemáticos actuales, que construyen su carrera académica publicando sus resultados para ob te­ ner un puesto inicial co m o profesores y luego algún cargo definitivo, D el Ferro y sus colegas se parecían más a profesionistas independientes. Ganaban su sustento desafiando a otros en com petencias públicas de resolución de problemas, y el ganador se llevaba todo: tal vez prem ios en m etálico, cierta “gloria” y con suerte el apoyo de un acaudalado patrocinador. Las oportunidades de ganar un concurso de ésos estaban claramente relacionadas al con ocim ien to de cóm o resolver problemas que otros no pudieran, por lo que m antener los resultados en secreto era el estilo de la época. D e hecho, D el Ferro casi se llevó a la tumba el secreto de có m o resolver ecuaciones cúbicas reducidas, pues lo com partió a lo sum o con un pequeño núm ero de amigos cercanos. C uando yacía m oribun­ do, se lo con tó a uno más, su alum no A ntonio Maria Fior. Si bien Fior no era un m atem ático especialm ente bueno, tal con ocim ien to era un arma formidable, por lo que, en 1535, desafió al m ucho más con ocid o e infinitam ente más hábil m atem ático N ic c o ló Fontana (1500-1577). Fontana despertó la atención de Fior porque p o co antes había anun­ ciado que podía resolver cúbicas de la forma general x 3 + p x 2 = q. Fior pensó que Fontana estaba alardeando y que no sabía có m o resolverlas, por lo que lo consideró com o la víctim a perfecta, lista para desplumar­ la en un concurso público. Fontana, quien es más con ocid o hoy com o Tartaglia (“el tartamu­ d o ”, debido a un im pedim ento para hablar causado por una terrible herida de espada en la mandíbula, que le infligió, cuando tenía doce años, un soldado invasor francés), sospechó que Fior había recibido el secreto de la cúbica reducida de D el Ferro.Temiendo ser desafiado con tales cúbicas, y sin saber cóm o resolverlas,Tartagha se em peñó terrible­ m ente en resolver la cúbica reducida; justo el día anterior al concurso, logró redescubrir la solución de D el Ferro para x 3 + p x = q. Este es un interesante ejem plo de cóm o, una vez que se sabe que un problema tiene solución, otros tam bién logran encontrarla rápidamente — un fen óm eno relacionado, creo yo, con la ob tención de récords deporti­ vos, com o ocurrió cuando R o g er Bannister logró correr la milla en m enos de cuatro minutos: p oco después parecía que todo buen corre­

3. Una informativa e interesante biografía de la sensacional vida de Cardano es el viejo pero aún recomendable libro de Oystein Ore, Cardano, the Gambling Scholar. Vale la pena leer sobre cualquier hombre que tenga un intelecto lo suficientemente m oderno com o para resolver la cúbica y todavía tan medieval com o para hacer el horóscopo de Cristo, por lo cual fiie llevado a prisión en 1570, acusado de herejía. 4. Una traducción al inglés del Ars Magna, a cargo de T. Richard Witmer, fue publicada en 1968 por The m it Press, y la siguiente cita (p. 8) es la primera de tres menciones de Cardano a Tartaglia: “En nuestros mismos días Scipione del Ferro de Bologna resolvió el caso del cubo y la primera potencia igual a una constante, un logro muy elegante y admirable. C om o este arte supera toda la sutileza y la perspicacia de un talento mortal y es un don

dor en el m undo era capaz de hacerlo— . C o m o quiera que sea, el des­ cubrim iento de Tartaglia, com binado con su habilidad para realmente resolver x 3 + p x 2 = q (él no había estado alardeando), le perm itió final­ m ente derrotar a Fior. Cada uno propuso al otro treinta problemas: mientas que Fior no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia, Tarta­ glia resolvió todos los de Fior.

E l SECRETO SE DIFUNDE Todo esto es bastante extraño, pero la historia se pondrá aún mejor. Igual que D el Ferro, Tartaglia m antuvo su nuevo co n ocim ien to para sí m ism o, tanto por las razones que m encionam os antes com o porque quería publicar las soluciones para ambos tipos de cúbicas en un libro que pensaba escribir algún día (nunca lo hizo). Cuando las noticias de su victoria sobre Fior se difundieron, pronto llegaron a oídos de Girolam o Cardano (1501-1576). A diferencia de Fior, Cardano era un intelec­ tual sobresaliente que, entre m uchos otros talentos, incluía el ser un m atem ático extrem adam ente b ueno.3 La curiosidad intelectual de Cardano se disparó al saber que Tartaglia conocía el secreto para la cú­ bica reducida, y le rogó a Tartaglia que se lo revelara. Tras varias nega­ tivas iniciales, Tartaglia finalm ente cedió y le dijo a Cardano la regla, pero no su derivación, para calcular soluciones — y esto sólo después de obligarlo a jurar que lo mantendría en secreto. Cardano no era un santo, pero tam poco un sinvergüenza. Casi con seguridad tuvo toda la intención de respetar su juram ento de silencio, pero entonces com en zó a escuchar versiones según las cuales Tartaglia no había sido el prim ero en resolver la cúbica reducida. Y cuando fi­ nalm ente vio los trabajos de D el Ferro que habían sobrevivido, Cardano no se sintió obligado a m antener su silencio. Cardano redescubrió la solución de Tartaglia por sí m ism o y luego la publicó en su Ars mag­ na (“El gran arte” del álgebra, en op osición al arte m enor de la aritm é­ tica) de 1545.4 En este libro les dio a Tartaglia y a D el Ferro el crédito específico que m erecían, pero incluso así Tartaglia se sintió defrauda­ do y lanzó en su contra una torm enta de reclamos, acusándolo de pla­ gio y aun de cosas peores. N o voy a continuar aquí con esta parte de la historia, porque no tiene ninguna relación con > /^ i, excepto para agregar que el tem or de Tartaglia de perderse la fama efectivam ente estaba justificado. Pese a que él y D el Ferro tenían prioridad co m o los verdaderos descubridores, en forma independiente, de la solución de la cúbica reducida, desde el Ars magna en adelante ésta se co n o ce com o “fórm ula de Cardano” . Cardano no era un ladrón intelectual (quienes plagian no recono­ cen el trabajo ajeno) y de h ech o m ostró có m o extender la solución de la cúbica reducida a todas las cúbicas. Este fue un logro mayor en sí m ism o, y se debe por com pleto a Cardano. La idea es tan original

co m o fiie la primera ocurrencia de D el Ferro. Cardano com en zó con la cúbica general: x 3 + ü\X2 + a2x + a} = o y luego utilizó el cam bio de variables x = y-± a v Sustituyendo esto en la cúbica general, desarrollando y agrupando los térm inos, obtuvo / \ 2 3 . 1 y* + « i-·? « ; V J Esto es, obtuvo la cúbica reducida y3 + p y = q, con

2 3 .I f ---- — d: +-aM^ —a ,. 27 3 La cúbica reducida obtenida así puede resolverse ahora con la fórmula de Cardano. Por ejemplo, si co ­ mienzas con x 3—15x2 + 8 i x —i75 = o y haces después el cam bio de variables x = y + 5, obtendrás

verdaderamente celestial y una muy clara muestra de la capacidad de la mente humana, quienes se dediquen por sí mismos a esto creerán que no hay nada que no puedan entender. Emulándolo, mi amigo N iccoló Tartaglia de Brescia, no deseando ser superado, resolvió el mismo caso cuando se involucró en un concurso con su alumno [de Scipione], Antonio Maria Fior, y, movido por mis muchas súplicas, me lo dio.” Difícilmente éstas son las palabras de un hombre que se roba el trabajo de otro, y debería mencionar que hay evidencia de que antes de 1390, en Florencia, al menos dos matemáticos italianos cuyas identidades no se conocen se acercaron a la resolución de la cúbica. En realidad, puede que alguien se haya anticipado a D el Ferro y a Cardano, si bien no está claro que alguno de ellos conociera los trabajos anteriores.Véase Franci y Toti Rigatelli, “Towards a History o f Algebra from Leonardo o f Pisa to Luca Pacioli”.

p = 8 i —-( 1 5 )2 = 6 ,

í = - ^ ( - 15)3 + j ( 8 i ) ( - 1 5 ) - ( - 1 7 5 ) = 20, con lo cual y3 + 6y = 20. Más arriba resolví esta ecuación, con lo que obtuve que y = 2. Así, x = 7 es la solución de la cúbica, com o un rápido cálculo manual lo confirm a. Por lo tanto, parece que el problema de la ecuación cúbica final­ m ente ha sido liquidado, y todo está en orden. Pero no es así, y Cardano lo sabía. R ecord em os la solución de x 3 = p x + q:

'3l2 + &

+I¿ ~ r2 +A

+ V·

¡Hay un dragón al acecho en esta versión de la fórmula de Cardano! Si q2/ 4 ~ p 3/2 7 < 0 , entonces la fórm ula involucra la raíz cuadrada de un núm ero negativo, y el mayor desafío no era el núm ero im aginario en sí, sino algo bastante distinto. El h ech o de que Cardano no tuviera m iedo de los imaginarios está claro por el fam oso problema que plan­ teó en su Ars magna: el de dividir 10 en dos partes cuyo producto fiiese 40. Llamó a este problema “m anifiestam ente im posible” porque co n ­ duce directamente a la ecuación cuadrática x 2—ío x + 40 = o, donde x y

10 - x eran las dos partes, ecuación que tiene las raíces complejas 5 + 7 - 1 5 y 5 - \l~ 15 — que Cardano llamó sofísticas porque no podía asig­ narles una interpretación física— . La suma es evidentem ente 10, por­ que las partes imaginarias se cancelan, pero ¿qué ocurre con el produc­ to? Cardano audazmente escribió “de todas maneras vamos a operar” y calculó form alm ente (5 +

- V-Ts) = ( s ) ( s ) - (5)%/— 1 5 + (5)n/=I15- n/3 !?V- 1 = 25 + 15 = 40.

5

C o m o dijo Cardano de este cálculo, “D ejando de lado la tortura mental im plicada” en hacer eso, es decir, en manipular \ ¡ - i s co m o si fuera cualquier otro número, todo lo demás funcionaba bien. Pese a todo, aunque no tenía m iedo de manejar estos números, está claro, a par­ tir de la lectura de sus siguientes palabras, que tenía algunas reticencias: “Así progresa con argucias la aritmética, cuyo fin, co m o ya se ha dicho, es tan refinado com o inútil.” Pero lo que realmente lo dejó perplejo fiie el caso en el que aparecían tales raíces cuadradas de números negativos en la fórm ula para ecuaciones cúbicas que sólo tenían raíces reales.

C Ó M O PUEDEN LOS NUMEROS COMPLEJOS REPRESENTAR SOLUCIONES REALES Para ver qué quiero decir con esto, considerem os el problema tratado por el ingeniero y arquitecto italiano Rafael B om belli (1526-1572), un continuador de los trabajos de Cardano. B om belli tenía fama entre sus contem poráneos de ser un hom bre práctico que sabía có m o secar te­ rrenos pantanosos, pero hoy es fam oso por haber sido un experto en álgebra que explicó qué era lo que estaba sucediendo en realidad con la fórm ula de Cardano. En su Algebra de 1572, presentó la cúbica x 3 = 15X + 4 y, con apenas pensarlo un poco, verás que x = 4 es una so­ lución. Entonces, dividiendo o factorizando el p olinom io, puedes ver fácilm ente que las otras soluciones son x = - 2 ± V3. Esto es, las tres so­ luciones de la cúbica son reales. Pero mira lo que nos da la fórmula de Cardano con p = 15 y q = 4. C o m o 4V 4 = 4 y p 3/ 2 j = 125, entonces

X = ^2 +7^121 — \/-2 + V — 121 = ^2 + 7-121 + ^2 — 7-121. La fórm ula de Cardano da una solución que es la suma de dos raíces cúbicas de dos núm eros com plejos conjugados (si este térm ino te re­ sulta extraño, deberías leer el apéndice a ), y puedes pensar que si algo no es real entonces será tan “com p lejo” com o eso, ¿verdad? Error. Car­ dano tam poco se dio cuenta, y con evidente frustración llamó “irredu­ cibles” a las cúbicas en las cuales aparecía un resultado tan extraño, y no

continuó con el asunto. Es instructivo, antes de seguir avanzando, ver por qué utilizó el térm ino “irreducible”. Cardano estaba com pletam ente desorientado sobre có m o calcular la suma de las raíces cúbicas de dos com plejos conjugados. Para obser­ var el círculo vicioso que causaba esta confusión en el álgebra, consi­ derem os la cúbica de B om belli. Supongam os que, cualquiera que sea la raíz cúbica dada por la fórmula de Cardano, podem os al m enos escri­ birla con más generalidad com o un núm ero com plejo. Por ejemplo, escribamos \l 2 + \[—l 2A = U+ 4 —V. D eseam os encontrar u y v (con v > o ) . Elevando al cubo ambos lados, nos da 2 + V—121 = M3 + 3 U2 n/—v —3UU —v 4 —V. Igualando las partes reales e imaginarias de ambos lados, llegam os a V

M3—3 U V — 2 , 3 u2 \[—v

—v 4 —v

= V —121.

Elevando cada una de las ecuaciones al cuadrado, obtenem os otro par: u6- 6u4v + 9wV = 4 y - 9 « 4t/ + 6 « V - i ^ = -1 2 1 , y restando la segunda ecuación a la primera resulta que u6 + 3 u4v + 3 u2!/2 + v3 = 125. A m bos lados son cubos perfectos, es decir, si tom am os raíces cúbicas nos da u2 + v = 5, o v = $ —u2. Sustituyendo esto en la ecuación u3—}u v = 2 que planteamos arriba, resulta 4«3 = i5 « + 2, otra ecuación cúbica en una sola variable. Y de hecho, dividiendo por 4 para dejarla en la forma u3 = p u + q, tenem os que p = 1 5/4 y q = 1 /2 y, por lo tanto, utili­ zando la fórmula de la página 40, 1z 4

P1 _ 1 27 16

3-375

(27) (64)’

que claramente es un núm ero negativo. Esto es, 4«3 = 15M + 2 es una cúbica irreducible y, cuando se la “re­ suelva” con la fórm ula de Cardano, habrá que calcular la raíz cúbica de números com plejos. Entonces estamos de regreso donde em pezam os, enfrentados a la cuestión de cóm o calcular tales cosas. El problema pa­ rece estar encerrado en un círculo vicioso. N o te asombres de que Cardano llamara a esta situación “irreducible” . Más adelante, en el ca­ pítulo 3, verás cóm o finalm ente los m atemáticos descubrieron el m odo de calcular cualquier raíz de un núm ero com plejo.

5. En nuestros días, un estudiante de matemáticas, ciencias o ingeniería podría encontrar obvia esta afirmación. Esto es, dado cualquier número complejo, su conjugado es el número donde todas las apariciones de 7 = i = i se cambian por - 7 = 1 = —i.

La gran revelación que tuvo Bom belli consistió en ver que esta ex ­ traña expresión que daba la fórmula de Cardano para x era real, pero estaba expresada en una forma p oco familiar (véase el recuadro 2 para entender geom étricam ente lo que ocurre con las cúbicas irreducibles). Esta revelación no vin o con facilidad. C o m o escribió B om belli en su Algebra, “Fue una idea alocada, según la opinión de muchos; y yo tam­ bién opiné eso durante m ucho tiempo. Todo el asunto parecía basarse más en sofismas que en la verdad. Pero busqué largo rato, hasta que fi­ nalmente demostré que era así.” Aquí está cóm o lo hizo, com enzando por la observación de que, si la fórmula de las soluciones de Cardano era real, entonces V2 + 7^121 y 7 2 - T ^ i^ T debían ser com plejos co n ­ jugados,5 es decir, si a y b son dos números reales a determinar, donde ^ 2 + 7-121 = d + feV-1,

'i2 —7 —121 = tf-feV-i, entonces tenem os x = 2a, que ciertam ente es un núm ero real. La pri­ mera de estas dos afirmaciones dice que 2 + 7-121 = (d + fe7 = l) 3 . D e la identidad (m + n)3 = m3 + n3 + 3mn(m + n ),con m = a y n = fe7 = i , tenem os (a + fe7 = i ) 3 —a1—fe37 = i + 3 abJ—í (a + fe7 = i ) = a3—b37 —1 + }>a2b'I—\ —T>ab2 = a(a2- 3 fe2) + fe(3 a2- fe2)7 = 1 . Si esta expresión com pleja es igual al núm ero com plejo 2 + 7 -1 2 1 , en­ tonces las partes reales e imaginarias por separado deben ser iguales, y por lo tanto llegam os al siguiente par de condiciones: a(a2~ 3b2) = 2 , b(3a2- b 2) = n . Si asumimos que tanto a com o fe son enteros (no existe ninguna justi­ ficación a priori para esto, pero siempre tenem os la libertad de probar algo y ver adonde nos conduce), entonces tal vez veas que a = 2 y fe = 1 funciona para ambas condiciones.T am bién hay otras maneras de ob te­ ner esta con d ición con más formalidad. Por ejem plo, nota que 2 y 11 son prim os, pregúntate qué enteros son factores de un núm ero prim o y observa que, si a y fe son enteros, entonces también lo son a2- 3 b 2 y 3a2—fe2. Sin embargo, para nuestros propósitos aquí, es suficiente co m ­ probar que

72 + 7=121 = 2 + 7 = 1, \/ 2 - 7 —121 = 2 - 7 = 1,

afirmaciones que son fácilm ente verificables elevando al cubo ambos lados de la ecuación. C on estos resultados, B om belli mostró que la misteriosa solución de Cardano es x = 4, y que ésta es correcta. C o m o se muestra en el recuadro 2, para el caso irreducible con las tres raíces reales existe una única raíz positiva; esto es, la raíz dada por la fórmula de Cardano (trata de probar esto y, si necesitas ayuda, lee la segunda mitad del apéndice a).

CÁLCULO DE LAS RAICES REALES SIN NUMEROS IMAGINARIOS Si bien la fórmula de Cardano funciona en todos los casos, incluido el caso irreducible, tal vez todavía estés preguntándote por qué no hay una fórmula que produzca directamente una respuesta real para la raíz real positiva en esa situación. Y, de hecho, la hay. Descubierta por el

t Éste es un caso particular de la siguiente afirmación más general. Supongamos que se escribe la ecuación polinomial de grado n: x n+ an- xx n~x

+ a^2x"~2 R ecuadro 2. El caso irreducible significa que hay tres raíces reales Para estudiar la naturaleza de las raíces de x 3 = p x + q, donde p y q son ambas no negativas, consideremos la función f ( x ) = x 3- p x - q . Calculando f'(x ) = 3x1—p, vemos que la gráfica de f(x) tendrá tan­ gentes con pendiente cero en x = ± J p / 3, es decir, los máximos o míni­ mos locales de la cúbica reducida que puede llevarnos al caso irreducible se localizan simétricamente a ambos lados del eje vertical. Los valores de f(x ) en estos extremos locales son, si los denotamos por y M2,

Fíjate en que siempre el m ínim o local M t < o (ya que p y q son no negativos), mientras que el máximo local M 2 puede tener uno u otro signo, dependiendo de los valores de p y q. Ahora, si hemos de tener tres raíces reales,f(x ) debe cruzar el eje real tres veces, y esto ocurre sólo si M 2> o, com o se muestra en la figura 3. Esto es, la condición para que todas las raíces sean reales es

f

o ± p ) > q \ o sea

Pero ésta es precisamente la condición en la fórmula de Cardano que lleva a soluciones con números imaginarios. Así, el caso irreducible está asociado siempre con tres raíces reales de la cúbica f(x ) = o. C om o lo muestra claramente la figura, estas tres raíces son tales que dos son ne­ gativas y una es positiva.Trata de demostrar que la suma de las tres raíces debe ser cero.t

+ . . . + atx + ao = o, de forma factorizada. Esto es, si denotamos las n raíces de la ecuación por ru r2,...,r„, entonces podemos escribir el polinom io com o ( x - r , ) ( x - r 2)... (x-r„) = o. Multiplicando los factores entre sí, comenzando por la izquierda, puede mostrarse con facilidad que el coeficiente del término x"-1 es la suma de las raíces con signo negativo, es decir, = ~(h + r2 + ... + r„). En el caso de la cúbica reducida, o sea cuando no hay término con x2, tenemos a2 = o por definición, y la suma de las raíces de la ecuación cúbica reducida es igual a cero.

F ig u r a 3. Gráfica de f(x ) = x 3- p x - q , con p y q i o .

6.Viéte fue el primero en expresar 7T en términos de un producto infinito en lugar de una suma, con su conocida fórmula (1593): | = co{ f ) c o s [ f ] c o s ^ j c o s ^ j .

Luego, en el capítulo 3, voy a mostrarte cóm o puede derivarse este hermoso resultado, que es un caso especial de una fórmula trigonométrica más general, a partir de una identidad trigonométrica elemental que podemos encontrar fácilmente con cierto conocim iento de geometría compleja. El estudio de Viète de los triángulos rectángulos se ha conectado, en tiempos modernos, con el álgebra de números complejos, una conexión que él mismo nunca hizo.Voy a ocuparme, en el capítulo 3, del desarrollo histórico conocido de esa álgebra, pero puedes encontrar lo que se ha especulado al respecto en Glushkov, “An Interpretation ofV iéte s ‘Calculus ofTriangles’ as a Precursor o f the Algebra o f C om plex N um bers”.

gran m atemático francés Fran^oisViéte (1540-1603),6 da todas las raíces de la cúbica irreducible en térm i­ nos de las funciones trigonom étricas coseno y arcocoseno (o coseno inverso). Este descubrim iento es aún más destacable cuando u no considera que V iète no era un m atemático profesional, sino un abogado al servicio del estado, bajo los reinados de Enrique III y Enrique IV. Se dedicaba a las matemáticas cuan­ do podía robarle tiem po a sus tareas “más im portantes” , tales co m o descifrar las cartas encriptadas de la corte española que fueron interceptadas durante la guerra entre Francia y España. Si bien es m uy inteli­ gente, la solución de V iète (publicada en 1615, tras su m uerte) parece no ser m uy conocida, y por lo tanto aquí está lo que hizo. V iète com enzó su análisis con la ecuación cúbica x 3= p x + qy con p y q escritas co m o p = 3 a2 y q — a2b. Esto es, com enzó con la cúbica x 3 = 3a2x + a2b, con a =

y b= —.

]J 3 7

P

Luego, utilizó la identidad trigonom étrica eos3 9 = -COS0 + —cos( 3$). 4

4

Si no recuerdas esta identidad, acéptala por ahora, que voy a dem os­ trarla en el capítulo 3 utilizando números com plejos. El siguiente paso deV iéte fue suponer que u no siempre puede hallar 6 tal que x = 2acos0. Voy a mostrarte, calculando el valor buscado de 9, que esta suposición es cierta. A partir de la suposición tenem os cos6 = x /2 a y, si esto se sus­ tituye en la anterior identidad trigonom étrica, puede mostrarse rápida­ m ente que x 3 = 3 a2x + 2a3cos(30). Pero esto es justam ente la cúbica que estamos tratando de resolver si escribimos 2a3cos(3&) = a2‘b. Esto es,

R eem plazando este valor para 6 en x = 2acos0, llegam os inmediata­ m ente a la solución

o. en térm inos de p y q,

Para que x sea real, el argum ento de eos-1 no debe ser mayor que uno, es decir, 3y¡3q ^ 2 p3/2. (Más adelante, en el capítulo 6, discutiré qué ocurre cuando la m agnitud del argum ento en la función inversa del coseno es mayor que 1.) Pero fácilm ente se ve que esta con d ición es equivalente a q2/ 4 ~ p 3/ 2 j < o 9 que es precisamente la con d ición que define el caso irreducible. Observa que en la fórmula d eV iéte no apa­ recen cantidades imaginarias, a diferencia de lo que ocurre en la fór­ mula de Cardano. ¿Funciona la fórmula deV iéte? C om o prueba, recordem os la cúbica de Bom belli x 3 —15* + 4, con p = 15 y q = 4. La fórmula deV iéte nos da

Esta expresión de aspecto bastante aterrador puede evaluarse fácil­ m ente con una calculadora de m ano, lo que nos dará x = 4, que es co ­ rrecto. Esta raíz se encuentra tom ando eos-1 (i2y¡3 / 30 s/is) = 79.695o. Pero un rápido dibujo de la función coseno mostrará que los ángulos 2S0.3050 y 439.695o son igualm ente válidos. Evaluando x para estos dos ángulos obtendrem os las otras dos raíces reales: -0 .2 6 8 y —3.732, es decir,- 2 ± V3. Sin embargo, el propio V iète no les prestó atención a las raíces negativas. Y para otra com probación rápida, considerem os el caso especial cuando q = o. Entonces, x 3—p x —o, que por inspección nene las tres raíces reales x —o , x = ± J p . Esto es, x = J p es la única raíz positiva. La fórmula d eV iéte nos da, para q —o,

ya que cos-1(o) = 90o. Pero (2 / V3) cos(30°) = 1 y por lo tanto la fórm u­ la de V iète nos da x = J p . Y com o también eos-1 (o) = 270o (y 450o), puedes verificar fácilm ente que la fórmula nos da también las raíces x = o y x = —yfp. Tecnicam ente, ésta no es una cúbica irreducible, pero la fórmula de V iète aún funciona. N ótese que las raíces en estos dos casos específicos satisfacen la última afirmación hecha en el recuadro 2. V iète conocía m uy bien el nivel al que operaban sus dotes analíticas. C o m o él m ism o escribió respecto de sus matemáticas, no eran “el oro de los alquimistas, pronto a evaporarse en el hum o, sino el metal ver­ dadero, excavado en las minas donde hay dragones vigilando” .V iète no era un hom bre falsamente m odesto. Si su solución hubiera sido hallada un siglo antes, ¿se habría preocupado Cardano por los números im agi­ narios que aparecen en su fórmula? ¿Habría estado m otivado B o m b elli para hallar la “realidad”de las expresiones complejas que aparecían en la solución formal de la cúbica irreducible? Es interesante especular sobre qué tan diferente habría sido la historia de las matemáticas si al­ gún genio se hubiese anticipado al descubrim iento de Viète. Pero no hubo tal genio, y B om belli se llevó la gloria de haber descubierto el secreto final de la cúbica. La com prensión de B om belli de la naturaleza de la fórmula de Car­ dano, en el caso irreducible, rom pió el callejón sin salida m ental respec­ to a 7 = 1 . C on su trabajo quedó claro que manipular V =i utilizando las reglas ordinarias de la aritmética conducía a resultados perfectamente correctos. M u ch o del m isterio de V = i, de su aura casi mística, se aclaró con el análisis de B om belli. Sin embargo, quedaba una última valla in­ telectual por sortear, la de determinar el significado físico de V =i (y éste será el tema de los próxim os dos capítulos), pero el trabajo de B o m b e­ lli había desbloqueado la que parecía ser una barrera infranqueable.

U N CURIOSO REDESCUBRIMIENTO Q ueda todavía por contar un últim o episodio curioso respecto de la fórmula de Cardano. Casi cien años después de que B om belli explica­ ra cóm o funcionaba la fórm ula de Cardano para todos los casos, inclui­ do el caso irreducible con todas las raíces reales, el joven Gottfried Leibniz (1646-1716) de alguna manera se convenció de que el tema aún estaba abierto. Esto es todavía más destacable porque se sabe que Leibniz había estudiado el Algebra de B om belli, no obstante lo cual consideró que todavía quedaba algo por agregar a la fórmula de Car­ dano. Leibniz fue un genio, pero esto ocurrió cuando tenía 25 años de edad, m om ento en que, co m o lo dijo un historiador, “Leibniz tenía m uy poca, si alguna, preparación en lo que entonces era la matemática

moderna. Sus con ocim ien tos de primera m ano eran mayoritariamente griegos.”7 En ese tiem po, Leibniz acababa de con ocer al gran m atem ático y físico holandés Christiaan H uygens (1629-1695), con quien estableció una correspondencia que duraría por el resto de su vida. En una carta a H uygens escrita en algún m om en to entre 1673 y 1675,8 com en zó a rehacer lo que B om belli había h ech o m ucho tiem po atrás. En esa car­ ta, com u nicó su fam oso (aunque anticlimático) resultado Vi + V - 3 + n / i - V - 3 =n/ o y que f ( x ) £ aq2 si a < o. Esto es,/(x ) alcan­ za su m ínim o valor en x = /? si a > o (com o se muestra en la figura 4), o su m áxim o valor en x = p si a < o . Podem os, por lo tanto, calcular p a partir de la gráfica de /( x ) com o la coordenada x del extrem o local. Para calcular el valor de q 2l partir de la gráfica, em pieza por deter­ minar la coordenada y del m ínim o (asumiendo a > o; el caso a < o re­ quiere una adaptación trivial), es decir, determina aq2. Entonces, con x = p y m uévete hacia arriba 2aq2 unidades y luego hacia la derecha hasta intersecar la gráfica. La coordenada en x de ese punto de intersección (llam ém oslo x), cuando se p one com o argumento de la función, da

/(*) = 2aq2 = a[(x-p)2 + q2] = a(x-p)2 + aq2 O aq2 = a ( x - p ) 2 o q = x - p . Así, q puede obtenerse directamente de la gráfica d e /( x ), co m o m ues­ tra la figura 4. Pasando ahora a las cúbicas, observemos primero que tiene que ha­ ber (a) tres raíces reales o (b) una raíz real y dos raíces complejas conju­ gadas. D ebes tener claro por qué las tres raíces no pueden ser complejas y por qué no puede haber dos raíces reales y una raíz compleja. Si no lo tienes claro, consulta el apéndice a. El caso (b) es el que nos interesa. Llamemos x = k a la raíz real y al par de raíces conjugadas x = p ± i q . En­ tonces, podem os escribir/(x) en forma factorizada com o

y=f(x) = (x - k ) ( x - p + iq)(x-p~iq) f (x) = ax2 +fo)c + c, b2 —40c< o y a > o

o, desarrollando y agrupando tér­ m inos, co m o

f(x) = (x-k)(x2- 2 p x + p 2 + q2). La gráfica de una cúbica con una única raíz real, o sea con un solo cruce del eje x, tendrá en general la apariencia de la figura 5. C ons­ truye el triángulo AMTy donde A es el punto de intersección de y = f ( x ) con el eje x y T es el punto de tangencia a y = f (x ) de una recta que pasa por A, y M es el pie de la perpendicular al eje x que pasa por T. Por supuesto, la raíz real es

k=OA. Ahora, considerem os la recta y = A ( x —fe), que claramente pasa por A y ya que y = o cuando x —k.

Imagina que A, la pendiente de esta recta, se ajusta hasta que apenas toca la gráfica, es decir, hasta que es tangente a y = /( * ). Esto nos da entonces T} y co m o en ese punto la gráfica y la recta se intersecan te­ nem os que y = f ( x ) y y = A(x—fe); denotem os con x al valor de x que cum ple esa igualdad:

tener una cuadrática en x, A = x 2 —2 p x + p 2 + q2. D e hecho, com o T es un punto de tangencia, debe haber sólo un valor de x. Esto es, x2-2 p x + p2+q2- A= o debe tener dos raíces iguales, o sea una doble. Ahora, en general,

. _ 2p±s¡4p2 - 4 ( p 2 +2 + 42- A ) = o

o A = q2. Esto es, la recta tangente A T tiene pendiente q2 = T M /A M . El valor de x es entonces, a partir de su expresión general, x = p = O M . Así que, para hallar todas las raíces de la cúbica, necesitas dibujar >'=/(*) y entonces: y = /(* )

i] coloca una regla usando a A co m o pivote y acom ódala hasta que apenas toque la función graficada (“localizando” así a T); 3] calcula T M y A M , y calcula luego

4] calcula O M para obtener p; 5] las dos raíces imaginarias son p + iq y p -iq .

2. Un primer intento de entender la geometría de n/^ i

R e n e D escartes

Pese al éxito de B om b elli al darle un sentido formal a n/^i cuando aparecía en las soluciones dadas por la fórmula de Cardano, seguía sin haber una interpretación física. Los m atemáticos del siglo x v i estaban todavía m uy atados a la tradición griega de la geom etría, y no se sen­ tían cóm odos con conceptos a los cuales no podían darles un signifi­ cado geom étrico. Esto es por lo que, dos siglos después del Algebra de Bom belli, encontram os a Euler escribiendo en su Algebra de 1770: Todas esas expresiones com o %/^i, V-2, etcétera, son en consecuencia nú­ meros imposibles o imaginarios, ya que representan raíces de cantidades negativas; y de tales números podem os afirmar con certeza que no son nada, ni mayores que nada, ni menores que nada, lo cual necesariamente los convierte en imaginarios o imposibles.

Sin embargo, no había sentim ientos “negativos” respecto de las raíces cuadradas de los núm eros positivos, porque, al m enos en parte, se sabía cóm o hacer una construcción geom étrica de ellas. La siguiente con s­ trucción fue dada por R e n é Descartes (1596-1650) en La Géometrie,1 de 1637. Supongam os que G H es un segm ento de recta dado, tal co m o se m uestra en la figura 6; el problema es construir una longitud igual a G H . Descartes com en zó por extender G H hasta F, donde F G es de longitud unitaria. F G tiene que ser tam bién de una longitud dada, lo que establece la lon gitud o escala de la construcción. Así, F H = F G + G H = 1 + GH. L uego utilizó el bien .............. conocido m étod o de bisección de un segm ento para ubicar K , el pun­ ió m edio de FH. Entonces, utili­ zando K co m o centro, trazó el se­ micírculo FIH de radio K H —FK. Finalmente levantó una perpendi­ cular por G que interseca al sem i­ círculo en I (por lo que I K es tam ; bien un radio). Por todo eso, p q podem os escribir

1. La Géometrie no era un libro en sí mismo, sino que fue “solamente” el tercer apéndice ilustrativo del Discurso del método de Descartes. Fue considerado “el mayor paso individual hecho jamás en el progreso de las ciencias exactas” por John Stuart Mili, y es una obra maestra. Bien vale el tiempo y el esfuerzo invertidos, especialmente para los profesores de geometría de la escuela secundaria, en leer la excelente traducción al inglés de David E. Smith y Marcia L. Latham, The Geometry of René Descartes.

F ig u r a 6. Construcción de la raíz cuadrada de un segmento (I G —V G H ).

—é H

1 + G H = 2 lK , | ( i + G H ) = IK . También, F G + G K = IK , G K = I K - F G = I K - i = ± (i + G H ) - i , G K = ± ( G H - 1). Ahora, gracias al teorem a de Pitágoras tenem os que (IG)2 + (G K )2 = (IK)2, (/G )2 + 7 ( G H - i )2 = | ( i + G H )2 , 4

4

(IG )2 = i [(i + G H )2 - ( G H - i ) 2 ] = G H . 4

Por lo tanto, IG = \ÍG H . El propio Descartes no dijo nada de esto, pero sí escribió en la última línea de La Géometrie palabras que muestran que esa om isión no fue un descuido: “Espero que la posteridad m e juzgue benévolam ente, no sólo por las cosas que he explicado, sino también por aquellas que intencionalm ente he om itido para dejarles a otros el placer de descubrirlas.” U n hom bre con un fino sentido de la ironía. Es im portante distinguir entre la construcción de la raíz cuadrada de cualquier segm ento de recta dado, tal com o lo describe Descartes, y la construcción de un segm ento de recta igual a una determinada raíz cuadrada. El segundo caso, para la raíz cuadrada de longitudes enteras (asumiendo, una vez más, que uno sabe a priori cuál es la unidad de lon ­ gitud), tuvo una elegante solución geom étrica m ucho antes de D es­ cartes, debida al m atem ático del siglo iv a. C. Teodoro de Cirene. Teo­ doro, que le enseñó matemáticas a Platón, dem ostró que todas las raíces cuadradas de los enteros desde el 3 hasta el 17 que n o son cuadrados eran irracionales — su alum no Teeteto extendió este resultado a todos los enteros que no son cuadrados— . Todo el trabajo de Teodoro está perdido y n o se sabe cóm o llegó a su resultado, pero lo con ocem os porque Platón incluyó a ambos hombres en su diálogo Teeteto y nos habló de sus logros individuales. Se ha sugerido que tal vez la solución de Teodoro estaba basada en el siguiente m étod o para construir \íñ para cualquier entero positivo n > 1, com o se muestra en la figura 7. Esta nos muestra una espiral de triángulos rectángulos con un vértice com ún, en la que el lado opues­ to al vértice com ú n de cada triángulo tiene lon gitud 1. La hipotenusa

del H-ésimo triángulo tiene entonces longitud \ln + i. Platón se pre­ guntaba por qué Teodoro se había detenido en yfi7 en su análisis de la irracionaUdad (“de alguna manera, encontró dificultades”), pero la fi­ gura 7 puede darnos una pista. Si calculamos la suma de los ángulos en el vértice de los primeros n triángulos, tenem os que

Para n —16 (que nos da V17), esta suma es 351.15o, mientras que para * = 1 7 la suma es 364.78o. Esto es, Teodoro se detuvo en y jv j sim ple­ m ente porque para n > 16 su espiral com enzaba a superponerse y el dibujo se volvía “desordenado” . Estas construcciones se ocupan de raíces cuadradas de lon gitud es positivas. Pero, geom étricam ente, ¿qué podía significar la raíz cuadra­ da de una lon gitu d negativa? D e acuerdo con D escartes, esto signifi­ caba la total im posibilidad de realizar una con stru cción geom étrica. "¿Y quién era este Descartes?” , te estarás preguntando ahora. N a cid o en las capas bajas de la nobleza francesa, D escartes recibió una buena educación con los jesuítas, pasó dos años en París estudiando m ate­ máticas por su cuenta y term inó por aparecer en 1617 com o un aris­ tocrático oficial del ejército que a los 21 años servía a un príncipe. D os años después se retiró de la vida militar porque, com o relató más tarde, había tenido varios sue­ ños en los cuales se le revelaron seductoras ideas que habrían de conducirlo a sus trabajos en g e o ­ metría analítica. Esto tal vez haya sido una sensible pérdida para la hermandad de guerreros, pero fue una decisión con invaluables rédi­ tos para las matemáticas. En 1628 1 Descartes se trasladó a H olanda, donde llevó una vida de académ i­ co en extrem o solitaria. En 1637 utilizó sus con ocim ien tos de g e o ­ m etría para desarrollar la prim er explicación científica del arcoíris, basada en el trazo de rayos de luz a partir de una (o más) reflexiones de los rayos dentro de las gotas de agua. En 1649 se trasladó a E stocolm o, co m o instructor de la reina F i g u r a 7. Espiral de triángulos de Teodoro.

Cristina. Al año siguiente, el brutal invierno sueco pudo con él, y fa­ lleció de neum onía. Para ver cóm o entendía Descartes la asociación entre los números imaginarios y la im posibilidad geom étrica, considera su dem ostración sobre cóm o resolver ecuaciones cuadráticas con construcciones g eo m é­ tricas (lo que sigue está tom ado de La Géometrie). Él com en zó con la ecuación z 2 = a z + b2, donde a y b2 son ambos no negativos, y los co n ­ sideró com o las longitudes de dos segm entos de recta dados. En parti­ cular, supongam os que L M es igual a la raíz cuadrada del valor dado fe2, co m o se muestra en la figura 8. Supongam os, tam bién, que L N = (1 /2 )a, lo que se obtiene con una sencilla construcción para bisecar el valor dado a, y que L N se levanta perpendicular a LM . D espués, con strúyase el círculo de radio (1 /2 )ay centrado en N f trácese la línea N M y finalm ente extiéndase N M hasta intersecar el otro lado del círculo en O. Entonces, resulta inm ediatam ente obvio que

que es la solución algebraica positiva de la cuadrática z 2 = a z + b2. Así, Descartes construyó geom étricam ente una solución de la cuadrática. Esta construcción siempre funciona para cualquier par de valores p o ­ sitivos a y b2. N o ta que Descartes ignora la otra solución:

que siempre es negativa para a y b2 positivos. Su razón para hacerlo, com o antes puse de relieve, es que los m atemáticos de esa época no aceptaban tales raíces falsas, com o las llamaba Descartes. Después consideró la cuadrática z 2 = a z - b 2.L2L solución algebraica es

F ig u r a 8. Construcción geométrica de Descartes de la raíz positiva de z 2 = az + b2, con a y b2 positivos.

con lo cual ahora son posibles las raíces complejas, aun con la restricción de que a y b2 sean positivos. Descartes exploró así las im plicaciones geom étricas de esta posibilidad: com enzó, com o antes, con los m ism os segm entos de línea L N = (1 /2 )a y L M —b. Pero en lugar de unir N y Ai, levantó una recta perpendicular en M y después, con N co m o cen ­ tro (véase la figura 9), trazó un círculo de radio (1 /2 )a. Los dos puntos donde este círculo interseca a la recta perpendicular, si tales intersec­ ciones ocurren, definen los dos puntos Q y R. Descartes observó en­ tonces que los dos segm entos M Q y M R eran las dos soluciones de la cuadrática, si es que existían. Esta “ observación” es un lindo problema en álgebra y geom etría, y deberías probar por tu cuenta que M Q y M R son, en efecto, iguales a los dos valores de z dados arriba — pero inten­ ta antes de mirar la sugerencia que damos adelante— 2 N ota, además, que ahora Descartes está feliz de reconocer ambas soluciones dadas por su construcción geom étrica, ya que si los dos valores _ 1 2

.

z = —a ±

1 2

—a - b 2

V4

2. El propio Descartes no ofreció una demostración, pero Smith y Latham (véase la nota 1) esbozaron un posible acercamiento. Su sugerencia, me parece, es más complicada de lo necesario, pues existe una solución mucho más simple. Sugerencia: mira el triángulo N Q R en la figura 9 y utiliza el teorema de Pitágoras dos veces para hallar QR. Entonces, M Q = {i/2 )a -

son reales, entonces ambos tam bién son positivos. ¿Cuál fiie la conclusión de Descartes a partir de todo esto? C o m o escribió al final de su análisis: “Y si el círculo centrado en N y que pasa a través de L no corta ni toca a la recta M Q R , la ecuación no tiene raíces [raíces reales, debería haber dicho Descartes], y entonces debemos decir que la construcción del problema es imposible [las cursivas son mías].” Descartes excluyó así el caso de una raíz doble, ya que no perm itió que el círculo sólo tocara a la perpendicular, es decir, no perm itió que R y (1/2) Q R y Q fueran el m ism o punto. Fíjate en que, para que no haya intersección M R = M Q + QR. (o un “toqu e”), la condición geom étrica es b > ( i / 2 ) a , que es precisamente la con d ición algebraica que da raíces complejas para la cuadrática. Estoy ignorando adrede el tratamiento que dio Descartes al caso z 2 + az = b2 porque n o agrega nada a esta discusión. Esa cuadrática, y las dos que discutí antes, son las únicas que Descartes presentó, pues siempre tienen al m enos una raíz positiva. Ignoró por com pleto la cuarta posibilidad, z 2 + a z + b2 = o, por­ que no tiene raíces positivas si a y b2 son ambos p o­ sitivos, y esa clase de raíces es la única que tenía sen­ tido geom étrico para Descartes. Sin embargo, asociar la aparición de números im aginarios con algo física­ m ente im posible es un con cepto rutinario en la física o ingeniería m oderna, y no es difícil construir un sencillo ejem plo físico de esto. Figura 9. Construcción geométrica Imagina que un hom bre está corrien do a su v e­ de Descartes de las dos raíces positivas locidad m áxim a de v m etros por segundo para al­ de z 2 = a z —b2,c o n a y b2 positivos.

canzar un autobús que está d eten ido frente al semáforo. C uando to ­ davía está a una distancia de d m etros del autobús, la luz cambia y el autobús com ienza a m overse co n una aceleración constante de a m e­ tros por segundo por segundo, alejándose del hom bre que corre. ¿Cuándo alcanzará el hom bre al autobús? Para responder esta pre­ gunta, digam os que x = o representa la p osición del semáforo (que nos sirve co m o origen de coordenadas), x a denota la p osición del autobús y Xh denota la p osición del hom bre. E ntonces, al tiem po t = o, por ejem plo, x a = o y xh = —d, es decir, t = o es el instante en que la luz del semáforo cambia. Para un tiem po arbitrario t't o p odem os escribir

X h ~ —d + vt.

Si suponem os que el hom bre alcanza al autobús en el tiem po t = Tf entonces por el significado de alcanzar tenem os que x a(T ) = Xh(T), es decir j , a T 2= - d + v T , que es una ecuación cuadrática para T. La solución es

Si d > ( i / 2 ) v 2/a , entonces T es un tiem po com plejo, y éste se inter­ preta com o que en realidad el hom bre no puede alcanzar al autobús. Pero esto no quiere decir que no haya un significado físico asociado a T. Para ver esto, escribe s = x a-Xh, es decir, s es la separación entre el autobús y el hombre. Así, s = —at2 + d —vt. 2

Alcanzar el autobús en el tiem po T significa que en ese m om ento 5 = 0. Podem os hacernos una nueva pregunta, relacionada con el problema de alcanzar el autobús. Supongam os que no lo alcanza, y ahora nos preguntamos en qué tiem po estuvo más cerca del autobús. En otras pa­ labras, ¿en qué tiem po s resulta m ínim o? H aciendo que ds/dt = o, ob ­ tenem os t —v/a. Esto es, el hom bre está más cerca de alcanzar el autobús cuando el tiem po es igual a la parte real del tiem po com plejo T. La parte im agi­ naria de T tiene un significado físico también, si bien uno diferente. La distinción física entre alcanzar y no alcanzar el autobús es equivalente a que T sea real o com plejo. Esta última distinción es controlada por

la parte imaginaria de T, es decir, la transición entre alcanzar y no al­ canzar el autobús ocurre cuando se tiene la condición 2 d /a = ( v /a ) 2. D a­ dos los valores de cualesquiera dos de las tres variables d, a y vy p od e­ mos utilizar esa condición para es­ tablecer el valor crítico de la tercera que determina si el hombre alcanza o no el autobús. Por ejemplo, si nos dan tanto v com o a, entonces d no debe ser mayor que (i / 2 ) v 2/a para que el hom bre pueda alcanzar el autobús. Finalmente, aquí hay una cues­ tión más sobre la que puedes meditar. Supongam os que el hom bre al­ canza el autobús, lo cual significa que T es real. ¿Para qué T ocurre esto (después de todo, hay dos valores positivos para T, determ inados por los signos ±)? O sea, ¿cuál es el significado físico de las dos raíces positivas? Lee la respuesta sólo después de haber analizado este problema duran­ te un instante.3 N o es difícil construir un ejem plo más matemático. Imagina, com o se muestra en la figura 10, el círculo de radio unitario centrado en el origen, descrito por la ecuación x 2 + y 2 = i. Considera el punto (o, b) en el eje yy donde b > i, lo cual significa que el punto está fuera del círculo, tal com o se muestra. Ahora dibujamos una línea por ese punto que también sea tangente al círculo y que interseque la parte positiva del eje x , com o muestra la gráfica. ¿Cuál es la pendiente de esa recta tangente? Si llamamos m a la pendiente, entonces la ecuación de la recta tangente es un viejo caballito de batalla de la geometría: y = mx + b. Por inspección, descubrim os que m < o. En el punto de tangencia, la recta y el círculo com parten un punto y, por lo tanto, en ese punto x2 + (mx + b)2 = i. Esto es, si x es la coordenada x del punto de tangencia, entonces x = x es la solución de la cuadrática. Podem os desarrollar la cuadrática y escribir esta solución utilizando la fórmula de la cuadrática: —2mb ± ^ 4 tn 2b2 - 4 (m2 +1 )(b2 - 1 ) x = ----------------------- :------------------------ . 2 (m +1) C o m o debe haber una única solución — por definición, la línea tan­ gente sólo toca el círculo y no lo cruza a través de distintos puntos— , la expresión dentro del signo de la raíz cuadrada debe ser igual a cero. R esolvien do para m y recordando que debe ser negativa, tenem os m = -J b 2 - 1

3. Cuando la expresión para T es real, entonces el valor más pequeño de los dos posibles, el que viene dado por el signo menos, representa el tiempo en el cual el hombre alcanza el autobús. Pero si el hombre no sube al autobús, sino que decide seguir corriendo, lo rebasará. Puedes verificar fácilmente que en realidad el hombre está corriendo a una velocidad mayor que la del autobús — después de todo, por eso logró alcanzarlo— . Pero el vehículo está acelerando y más adelante, en el segundo valor T, el que es mayor, el autobús alcanza al hombre y de nuevo, para, ese segundo tiempo, se satisface la condición xh = xa.

-H ti·

4. Para m ucho más sobre este problema particular, véase Nathan Altshiller Court, “Imaginary Elements in Pure Geometry— What They Are and W hat They Are N o t”. Para más sobre este tema en general, véase J. L. S. Hatton, The

Theory of the Imaginary in Geometry, Together with the Trigonometry of the Imaginary.

Estas expresiones son reales para b > 1, co m o supusimos, pero ¿qué ocurre si o < b < i ? Es decir, ¿qué pasa si el punto en el eje y está dentro del círculo? En ese caso es físicamente obvio que ya no p ode­ m os dibujar una recta tangente al círculo, y que las expresiones para m y x nos dan ahora valores im agi­ narios. A quí vem os una co n exión directa entre los números com ple­ jos y nuestra im posibilidad de ha­ cer ciertas construcciones g eom é­ tricas.4 Finalmente, ahora que ha apare­ cido la idea de una recta con pen­ diente imaginaria, déjame señalar una propiedad curiosa que tales rec­ tas pueden tener. Supongam os que tenem os dos líneas rectas que form an los ángulos a y (3 con el eje x, com o se muestra en la figura 11. Las tangentes de esos ángulos son, por supuesto, las pendientes de las rectas. Esto es, si m —ta n a y n —tanf3, entonces las ecuaciones de las dos rectas son y = n x + bu y = mx + b2. Ahora, el ángulo entre las dos rectas es (¡>—/3 —a y, utilizando un resul­ tado trigonom étrico, tan (j) = tan(/ 3 —a ) =

tan ¡3 —tan a _ n —m 1+ tan /3 tan a \ + nm'

Por ejemplo, supongam os que las dos rectas son paralelas; entonces, m —n y tan(j) = o, lo cual nos dice que rma y = x n, y ahí está su famosa fórmula del producto para 7r: 7[ _ 2 2 4 4 6 6 8 8

2

1 3 3 5 5 7 7 9 '“ ’

ri cual alternativamente se aproxima por exceso y por defecto al valor i e t a medida que se incluyen más y más factores. En el capítulo 6 voy i mostrarte cóm o deducirla. Se sabe que el libro de Waüis fue de gran influencia para el joven Isaac N ew to n . El n exo entre N ew to n y Waüis se renovó m uchos años después, ruando, en la controversia entre N e w to n y Leibniz sobre quién tenía prioridad en el desarrollo del cálculo,Waüis se vio envuelto, co m o pre­ s ie n t e de la R oyal Society, en la m ediación por los conflictivos recla­ mos de ambos.Tras su muerte fiie enterrado en la iglesia de la U niverfidad de Oxford, y las siguientes palabras se labraron en una pared cercana: “A quí descansa John Waüis, doctor en teología, profesor saviia n de geom etría y guardián de los archivos de Oxford. D ejó trabajos

in m ortales...” N o es sorprendente, entonces, que cuando un hombre de semejante calibre dedicara su atención a \/= i resultara algo intere­ sante. Hay evidencia de que años antes de su Algebra de 1685, obra en la cual form alm ente presentó su análisis de los imaginarios, Wallis ya ha­ bía cavilado sobre el significado geom étrico de los números com plejos — y había quedado perplejo— . Por ejem plo, Wallis m antuvo corres­ pondencia sobre este tema con el m atem ático inglés John C ollins (1625-1683), y un ejem plo típico de los problemas de que se ocupaba es uno que Collins relaciona, en una carta fechada el 19 de octubre de 1675, con el m atem ático escocés James Gregory (1638-1675). C ollins escribió que en una de las primeras cartas, para mostrar cóm o puede 5. Cajori, confundirse un razonam iento,5 Wallis había analizado un triángulo de “Historical N ote lados 1 y 2 con una base de 4. Wallis mostró que, si uno sim plem ente on the Graphic avanza a través de los cálculos algebraicos formales, entonces los dos Representation o f segm entos de la base debajo de los lados de longitud 1 y 2 resultan Imaginaries before reales, aunque el triángulo sea im posible de construir (¡trata de dibu­ the Tim e o f jarlo!). A parentem ente en aquel tiem po Wallis no fiie más allá con su Wessel”. “paradoja” aunque, en una carta a Gregory, Collins escribió que “de haber continuado él habría encontrado que la perpendicular debía ser [imaginaria], lo cual habría revelado la im posibilidad”. Esto sugiere que Wallis, antes de 1675, aún estaba inseguro sobre la con exión preci­ sa entre los números imaginarios del álgebra y la geom etría. Sin em ­ bargo, para 1685 Wallis había logrado un gran progreso. C om o preludio a su análisis de la raíz cuadrada de un núm ero ne­ gativo, Wallis com en zó observando, en su Algebra, que los propios nú­ meros negativos, vistos con suspicacia por los matemáticos durante m ucho tiem po, tenían en cam bio una interpretación física com pleta­ m ente clara. D irigien d o la atención de sus lectores a una recta, con algún punto marcado co m o el origen o punto cero, Wallis escribió que un número positivo significaba la distancia m edida desde el punto cero hacia la derecha y que un núm ero negativo significaba la distancia m e­ dida desde el punto cero hacia la izquierda. En pala­ bras de Wallis: “Y si bien, co m o una pura notación algebraica, [un núm ero negativo] representa una can­ tidad m enor que nada; pero, si se trata de una aplica­ ción física, denota una cantidad tan real com o si el signo fiiese +; pero para ser interpretada en el senti­ do contrario.” Todo esto seguramente le resulte ob ­ vio a un lector m oderno, pero aun lo más obvio se obtiene com o fruto del trabajo duro de algún genio pionero. U na vez asentada la interpretación correcta de los números negativos, Wallis se dirigió al ju eg o real, o tal vez debería decir imaginario, en el que estaba an­ Figura 12. Construcción de Wallis de la tes. R ecord ó a sus lectores la llamada media proporciomedia proporcional [BP= J(A B )(B C )].

n¿l, es decir, si b y c son dos números positivos dados, entonces x es la media proporcional de b y c si satisface la siguiente afirmación: “fc es a x com o x es a c \ O, algebraicamente, £ c

■

que nos dice que x = 4 bc. Tam bién se dice que b , x y c están en progre­ sen armónica, porque tres cuerdas de longitudes b, x y c, co n la misma tensión, vibrarán y emitirán tonos audibles a frecuencias que difieren en intervalos iguales. H oy es m ucho más frecuente encontrar el térm i­ no media geométrica para x; la media aritmética es por supuesto (b + c)/2. En el espíritu de La Géometrie de Descartes, que Wa¡hs había estudiado y admirado profundam ente, este 6. Este hermoso resultado es un caso últim o mostró cóm o construir geom étricam ente la especial de un teorema más general media proporcional de dos segm entos de recta dados. respecto de los ángulos inscritos en círculos, pero, com o voy a utilizar sólo Así es cóm o lo hizo. ese caso en este capítulo, déjame C o m o se muestra en la figura i2,W allis ubicó el mostrarte una rápida demostración del origen en A y luego dibujó el segm ento A C . Enton­ caso especial. En la figura 13 tenemos ces, tras encontrar el punto m edio de A C , dibujó el que A C = B C = CD, porque los tres círculo con A C com o diámetro. D espués tom ó un segmentos son radios del mismo círculo. C om o A C = BC, entonces el punto arbitrario B en alguna parte del diámetro entre triángulo A B C es isósceles, es decir, .4 y C, y levantó la perpendicular a B que interseca al los ángulos /.B A C y / .A B C son circulo en P. Es claro que los dos triángulos A B P y iguales (digamos que son iguales a a ). P B C son rectángulos, por lo que podem os escribir B P 2 + A B 2 = A P 2. B P 2 + B C 2 = P C 2. También es cierto, aunque tal vez no resulte tan obvio, que A P C es un triángulo rectángulo.6 Luego, A P 2 + P C 2 = A C 2. Sustituyendo la primera expresión para A P 1 y P C 2 en la tercera expresión, y escribiendo A C = A B + BC, tenem os que B P 2 + A B 2 + B P 2 + B C 2 = (A B + B C ) 2. Desarrollando el lado derecho y agrupando los tér­ minos, esta última expresión se reduce a B P 2 = A B ) ( B C ) t es decir, a BP = J ( A B ) ( B C ), que nos dice que B P es la m edia proporcional de A B v BC. Después Wallis m odificó su construcción geo m é­ trica de la m edia proporcional de dos segm entos

Y com o B C = CD, entonces el triángulo B C D también es isósceles, es decir, los ángulos Z C B D y Z C D B son iguales (a f3 ). Luego, a + /3 + (a + /3 ) = 180o = 2 (a + /?), o a + ¡3 = 90o. Esto es, el ángulo inscrito en la circunferencia de un círculo que subtiende un diámetro del círculo, es un ángulo recto. Podemos utilizar este argumento para demostrar rápidamente la construcción de Descartes de la raíz cuadrada de una longitud positiva. Refiriéndonos a la figura 6, observa los dos triángulos rectángulos FIG e IGH, que comparten el lado común IG. Sabemos ahora que el ángulo ZFIH es de 90o, y de esto se sigue de inmediato que los triángulos FIG e IG H son similares. En particular, G H _ IG _ IG IG FG 1 y por lo tanto I G = y¡G H . La construcción y la demostración de esto ya eran conocidas por los griegos.

D

F igura 13. Un ángulo recto inscrito subtiende un semicírculo.

— positivos, porque A B se extien­ de a la derecha desde A hasta B, y B C se extiende tam bién a la dere­ cha desde B hasta C — para incluir el caso en que uno de los segm en­ tos representa un valor negativo. Para hacerlo dibujó otra vez la fi­ gura 12, hasta el paso en que loca­ lizamos B y la perpendicular en B que interseca al círculo en P, tal com o se muestra en la figura 14. Pero entonces, utilizando P com o punto de tangencia al círculo, W allis extendió la recta tangente, esto es, construyó la perpendicular al radio P R (el punto R es el centro del diámetro A C ) que pasa por P, hasta que intersecara a la extensión del diámetro A C en el punto B ' a la izquierda de A . Ahora, por construcción, el triángulo P R B ' es rectángulo, y entonces por el teorem a de Pitágoras tenem os que B ' P 2 + R P 2 = B ' R 2.

C om o

R P es un radio, R P = ( i / i ) A C . N ó tese también que B ' C = B ' A + A C , por lo que entonces

podem os escribir A C = B ' C —B 'A y por lo tanto R P = ± ( B 'C - B 'A) = j A C . Asim ism o, B ' R = B ' A + A R y, com o A R es un radio, B ' R = B ' A + (1/2) A C , o B ' R = B ' A + ( i / 2 ) ( B ' C - B ' A ) , o B ' R = ( í / 2 ) ( B ' A + B ' C ) . Ahora, sustituyendo esas expresiones para R P y B ' R en la ecuación “pitagórica” escrita para el triángulo P R B ', B 'P 2 + ^ [ B ' C —B ' A f = ± [ B ' A + B 'C ]2 o, tras desarrollar y agrupar los térm inos, B ' P 2 = (B ' A ) ( B ' C ). Si supo­ nem os que la dirección de la extensión del segm ento es irrelevante, entonces podem os también escribir este últim o resultado co m o B ' P 2 = ( A B ' ) ( B ' C ) , lo que nos da

B'P

=

j( A B ') ( B 'C ) ,

un resultado que, excepto por el sím bolo de prima, se parece al re­ sultado obtenido para la figura 10. Pero si utilizam os la idea de Wallis de que la dirección sí importa, en­ tonces tenem os B ' C > o y A B f < o, con lo cual B 'P es la raíz cuadrada de una cantidad negativa. B ien, ¿qué puede uno decir so­ Figura 15. D os triángulos que tienen dos lados bre esto? Es m uy inteligente, sí, especificados y un ángulo no comprendido entre los pero pareciera que tan sólo estamos lados dados. rizando el rizo de la geom etría. D a la im presión de que es improbable que uno realmente pueda decir algo, o m ucho, de cierta profundidad acerca de v/^i con esta clase de argumentos. C o m o un autor del siglo x x dijo respecto de otro de los tantos intentos de Wallis por explicar geom étricam ente, esto es “ingenioso pero p oco con vin cente” .7 D e hecho, y hem os de recono­ 7. C oolidge, The Geometry of the cérselo, tam poco el propio Wallis estaba terriblem ente feliz con esto, y Complex Domain, para él fiie sólo parte de su calentam iento. Fue con otra construcción p. 14. com pletam ente diferente que él se m ovió, literalmente, en la dirección correcta para descubrir el secreto geom étrico de . Wallis com enzó desde cero a estudiar un problema geom étrico clá­ sico, el de construir un triángulo cuando se dan dos lados y un ángulo que no es el que form an esos dos lados. A esto se lo considera a m enu­ do un problema am biguo porque, com o se muestra en la figura 15, hay por lo general dos posibles soluciones. En la figura, los dos lados dados son A P y PB (= PB') y el ángulo dado es Z P A D = a . Está claro que la altura P C del triángulo está determinada y, mientras P B = P B ' > PC, hay dos soluciones: los triángulos A P B y A P B '. Pero si P B = P B ' < PC, en­ tonces n o hay solución si insistimos en que la solución esté sobre la base A D (es decir, que B y B ' estén en A D ). Algebraicamente, lo que está ocurriendo puede expresarse co n las siguientes ecuaciones (recordando que B C = C B '):

AB = A C —BC

=

J A P 2 - P C 2 - JP B 1 - P C 2 ,

AB ' = A C + CB' = yjAP2 - P C 2 + s¡PB2 - P C 2 . Estas dos ecuaciones dicen que, si P C > PB, obtenem os raíces cuadra­ das de números negativos, lo cual habría sido interpretado por Descar­ tes co m o un signo de que la construcción geom étrica del triángulo deseado es imposible. Pero tal vez ése no sea el caso. La gran revelación de Wallis fue que, aun en el caso en que P C > PB, los datos dados determinan dos puntos B y B ' si les permitimos que estén en otro lugar que no sea la base A D . A quí está cóm o lo hizo (véase la fi­

gura 16). Construyó el círculo de diámetro P C y luego, utilizando P com o centro, Wallis trazó otro arco de radio PB hasta intersecar el pri­ m er círculo en B y B '. Sostuvo entonces que los triángulos PAB (mos­ trado en la figura) y P A B ' (no señalado) eran los triángulos solución, es decir, están determ inados por los lados dados A P y PB (= PB') y por el ángulo Z P A D = a . Ahora la diferencia es, por supuesto, que el ángu­ lo Z P A D no aparece en el triángulo solución; pero observa con cuida­ do que éste no fue un requerim iento en el enunciado original del problema de construcción: sólo se pedía que el triángulo estuviera de­ terminado por los dos lados dados y un ángulo. La gran diferencia ahora es que los puntos B y B ' no yacen sobre la base A D y sino por encim a de ella. Wallis se había topado con la idea de que, en algún sen­ tido, la representación de los números imaginarios es un m ovim iento vertical en el plano. Sin embargo, el propio Wallis n o hizo una afirma­ ción semejante, y es realmente un com entario en retrospectiva hecho con la ventaja de con ocer los tres siglos posteriores. Tendría que pasar otro siglo antes de que apareciera la representa­ ción de los números com plejos — que ahora nos parece “obvia”— com o puntos en el plano, con las direcciones horizontal y vertical re­ presentando las direcciones real e imaginaria, pero Wallis estuvo m uy cerca de descubrirla. Tan cerca que a principios del siglo x x encontra­ m os estas palabras del filósofo Ernst M ach — cuyas ideas se sabe que influyeron enorm em ente a Einstein— en su libro de 1906 Space and Geometry [Espacio y geometría], donde considera que V =i es co m o “una dirección media, en proporción entre +1 y —1” . A un así, fallar por p oco es todavía fallar, y el trabajo de Wallis en la geom etría de los nú­ m eros com plejos es recordado hoy sólo por los historiadores. P

Figura 16. Construcción de Wallis que sugiere la perpendicularidad com o el significado de un número imaginario.

3. El enigma empieza a aclararse

C a spa r W

e s se l d e s c u b r e e l c a m in o

Más de cien años después del intento valiente pero fallido de Wallis por domar geom étricam ente los números com plejos, el problema fiie re­ pentinam ente resuelto por el noru ego1 Caspar Wessel (1745-1818). Esto es notable e, irónicam ente, entendible, si consideras que Wessel no era un m atem ático profesional sino agrimensor. El gran descubrim iento de W essel en un problema que había confundido a un m on tón de m entes brillantes fue motivado, de hecho, por los problemas prácticos que enfrentaba cada día haciendo planos, es decir, por los datos para el levantamiento topográfico con que se topaba regularm ente y que to ­ maban la forma de polígonos planos y esféricos. N o había tradición familiar en matemáticas que lo guiara, dado que su padre y el padre de su padre eran hombres del clero. Fue el trabajo de Wessel lo que lo ins­ piró para tener éxito donde todos los demás habían fallado. Si bien era uno de 13 hijos, y en consecuencia las finanzas de la fa­ milia deben haber sido limitadas, Wessel recibió una buena educación secundaria, seguida por un año en la Universidad de C openhague. Luego abandonó la vida académica y com en zó su trabajo com o agri­ m ensor cuando todavía era un adolescente (1764), com o asistente de la C om isión Danesa de Agrimensura, manejada por la R eal Academ ia Danesa de Ciencias. La topografía sería el trabajo de su vida — aunque por alguna razón en 1778 también presentó el exam en en derecho ro­ m ano de la Universidad de C openhague— y para 1798 había ascendi­ do al puesto de supervisor. Se “retiró” en 1805, pero siguió trabajando por varios años más antes de que el reumatismo, una enferm edad d o lorosa para cualquiera pero particularmente para un agrimensor, lo for­ zara a detenerse. Fue m uy apreciado com o cartógrafo, al punto de reci­ bir una medalla de plata de la R eal Academ ia Danesa de Ciencias por los mapas que hizo para el gobierno francés. Pese a todo, si bien era respetado com o cartógrafo, no era alguien de quien pudiera esperarse que presentara un artículo (el 10 de marzo de 1797, justo antes de su cumpleaños 52) a la R eal Academia Danesa de Ciencias titulado “Sobre la representación analítica de la dirección: un acercamiento”. Se sabe que Wessel fiie ayudado a escribir su artículo por el presidente de la sección de ciencias de la academia, cuyo apoyo cier­ tamente no lo lastimó, y que todo el contenido intelectual era de Wessel. Su m érito y su calidad fueron considerados tan altos que fiie el prim er artículo aceptado para su publicación — en las Memorias de la academia de 1799— escrito por un autor que no fuese m iem bro de la academia.

1. Es tradición considerar noruego a Wessel, pero en realidad cuando él nació N oruega era parte de Dinamarca, donde pasó la mayor parte de su vida y en cuya capital, Copenhague, falleció.

2. La obra de Wessel fue desenterrada en 1895 por un anticuario, y su importancia fue reconocida por el matemático danés Sophus Christian J u el (1855-1935)·

Para más sobre este descubrimiento, véase V iggo Brun, “Caspar Wessel et l’introduction géométrique des nombres complexes”.

Escrita en danés y publicada en una revista que no era leída por m uchos fuera de Dinamarca, la brillante obra de Wessel estaba destinada a no tener ningún impacto. Apenas en 1895 fue redescubierta y Wessel fue reconocido m ucho después co m o el pionero que había sido.2 Si bien hubo otros que, pocos años después de publicada aquella obra, recorrieron casi el m ism o cam ino y sí tuvieron la suerte de ser leídos, Wessel fue el prim ero que lo anduvo. Exam inem os lo que hizo. A diferencia de las retorcidas construcciones geom étricas de Wallis, la figura 17 nos muestra la simplicidad de la interpretación de Wessel de los números com plejos. Tanto para él co m o para nuestros contem ­ poráneos, un núm ero com plejo es el punto a + ib en el llamado plano complejo ( a y b son dos números reales) o el vector que va del origen a ese punto. Escrito de esa manera, el núm ero com plejo se dice que está en forma rectangular o cartesiana. U na alternativa en orm em ente útil es la forma polar, escrita en térm inos de la longitud del vector y del ángu­ lo polar, que es el ángulo m edido desde el eje x hasta el vector en sen­ tido contrario al de las manecillas del reloj. Esto es, si 6 = tan_1(fc/d), tud del vector, es llamado el módulo del núm ero com plejo a + ib. El valor del ángulo polar tan-1(fc/a) es llamado el argumento de a + ib y se escribe com o a.Tg(a + ib). D e manera más compacta, podem os escribir todo esto de la forma

La notación Z la utilizan con frecuencia los ingenieros eléctricos, pero a m enudo los matemáticos también la encuentran bastante útil. Haré un abundante uso de ella en las páginas que siguen. Sin embargo, hay una advertencia respecto de la forma polar de representar números com plejos que con viene tener en m ente. U n error com ún que co m e­ ten los estudiantes que manipulan por primera vez la forma polar es que no tienen presente que la función tangente es periódica con p eriodo de 180o, no de 360o. Esto es, la y (eje imaginario) función tangente recorre todo su intervalo de valores (de —00 a °°) cuando el ángulo polar O varía des­ de - 9 0 o hasta 90o. O, si expresamos b los ángulos en radianes (un radián = i 8o ° / 7T= 57.296o), la función tan­ gente recorre todo su intervalo de valores mientras el ángulo polar vax (eje real) ^ desde -7 r/2 hasta tt/ 2 radianes. a O Esto significa que reemplazar ciega­ m ente los valores de a y b en 6 = de tan 1(b/a) puede conducir a errores. Wessel. Así, para ser precisos, definamos

6 = tan 1 ^ J , cuando a > o, es decir, el núm ero com plejo está en el prim ero o en el cuarto cua­ drante, y 6 = 180o + tan

cuando a < o,

es decir, el núm ero com plejo está en el segundo o en el tercer cua­ drante. R ecord em os que los cuadrantes del plano están numerados en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, a partir del primero, que es donde a y b son ambos positivos. C uando presionas en una calcula­ dora manual la tecla de la arcotangente, o en realidad las teclas s h i f t o in v y luego la tecla ta n para calcular los ángulos, la máquina asume que a > o (si b/a < o, la máquina asume que es porque b es negativo) y por eso siempre devuelve un resultado entre —90o y 9 0 o. Éste se llama el valor principal de la arcotangente. Si, de hecho, a < o, entonces debes hacer el ajuste correcto al valor dado. ¿C óm o llegó W essel a la form a habitual en la que ahora represen­ tamos los núm eros com plejos? C om en zó su artículo describiendo lo que hoy llamamos suma de vectores. Esto es, si ten em os dos segm en ­ tos de recta dirigidos, ambos ubicados sobre el eje x (pero tal vez en direcciones opuestas), entonces los sum am os colocan do el punto in i­ cial de uno en el punto terminal del otro, y la suma es el segm ento neto resultante, desde el punto inicial del prim er segm ento hasta el punto final del segundo.W essel dijo que la suma de dos segm entos no paralelos debería obedecer la misma regla, y este procedim iento se muestra en la figura 18. Hasta ahora, n o hay nada nuevo aquí, dado que Wallis había expresado ideas bastante similares sobre có m o sumar segm entos dirigidos. La contribución de Wessel fue có m o multiplicar tales segm entos. D escubrió cóm o multiplicarlos haciendo una ingeniosa generali­ zación del com portam iento de los números reales. Se dio cuenta de ^ ------------- w ^ l c y* que el producto de dos números (digamos 3 y - 2 , cuyo producto es —6) tenía la misma razón a cada factor com o el otro factor lo tenía ^ con el 1. Esto e s ,—6 /3 = —2 = —2 /1 , y - 6 / —2 = 3 = 3 /1 . Por lo tanto, asu­ m iendo que existe un segm ento unitario dirigido,Wessel argumentó +_ que el producto de dos segm entos x y ~ dirigidos debía tener dos propieda­ des. Primero, y por analogía directa F igura 18. Suma de vectores.

con los números reales, la longitud del producto debía ser el producto de las longitudes de cada segm ento. ¿Pero qué ocurre con la dirección del producto? Esta segunda pro­ piedad es la contribución seminal de Wessel: por analogía con todo lo que había hecho, dijo que el segm ento producto debía diferir en la dirección de cada segm ento factor por la misma cantidad angular que el otro segm ento factor difería en dirección al compararlo con el seg­ m en to unidad. D e este m odo, supongam os que el segm ento unidad apunta de izquierda a derecha con un ángulo de o°, es decir, está sobre el eje x. Entonces, si querem os multiplicar dos segm entos, uno que forma un ángulo 6 y el otro un ángulo a con el eje x, el ángulo del producto debe ser la suma 0 + a , porque 0 + a difiere de 6 exactam en­ te en un ángulo a (el ángulo por el cual el segm ento correspondiente al ángulo a difiere del segm ento unidad) y 6 + a difiere de a exacta­ m ente en un ángulo 9 (el ángulo por el cual el segm ento correspon­ diente al ángulo 0 difiere del segm ento unidad). Hoy, esto tal vez nos parezca dolorosam ente elem ental, e incluso obvio, tanto que resulta un p o co infantil escribirlo co n todas estas pa­ labras, pero no te engañes. Si piensas que es “o b v io ”, estás confundien­ do algo que con oces desde hace m ucho tiem po, tal vez desde la escue­ la secundaria, con algo que todo el m undo nace sabiendo. Los bebés nacen sabiendo cóm o llorar, pero no nacen sabiendo có m o multiplicar segm entos dirigidos entre sí. Esto es algo que debe descubrirse o in­ ventarse, dependiendo de cóm o veas la evolución de las matemáticas, y Wessel fue el prim ero en ver cóm o hacerlo. C o n sólo estas pocas y brillantes ideas intuitivas podem os hacer va­ rios cálculos extraordinarios. D éjam e mostrarte sólo tres. Primero, ¿cuánto es (0.3 + 1'2.6)17? Esto parece bastante horroroso a primera vis­ ta, pero observem os que 0.3 + 12.6 = >/(°-3)2 + ( 2 -6)2 Z ta n -1

= 2.6172505 Z 83.418055o.

C o m o (0.3 + /2 .6 )17 significa 0.3 + 12.6 m ultiplicado por sí m ism o 17 veces, entonces la regla de Wessel nos dice que debem os elevar la m ag­ nitud o m ódulo a la decim oséptim a potencia, y lu ego multiplicar el ángulo polar o argum ento por 17. Esto es, 0.3 + 12.6 = (2.6i72505)17 Z (83.418055o X 17) = 12 687 322 Z 1 418.106935o. Éste es un núm ero com plejo en el cuarto cuadrante, lo cual puedes comprobar sim plem ente sustrayendo partes de 360o del ángulo polar — cada una de esas partes representa una vuelta com pleta alrededor del origen— hasta que obtengas un ángulo m enor a 360o. Así, (0.3 + 12.6)17 = 12 687 322 Z 338.106085o = 12 687 322 Z -2 1 .8 9 3 9 1 5 o

= 12 687 322[cOs(-21.893915o) + í‘sen(-21.893915o)] = 1 1 7 7 2 3 0 0 -1 4 7 3 0 8 0 0 . Antes de Wessel, este cálculo habría requerido multiplicar 0 .3 + /2.6 por sí m ism o 17 veces, y los detalles habrían vuelto loca a la mayoría de la gente. A quí hay otro cálculo aún más maravilloso basado en la idea de Wessel de sumar los ángulos. C onsiderem os el producto (2 + i)(3 + 0 = 5 + 15. U tilizando el radián com o nuestra unidad angular, el ángulo del producto es tan-1 (5/5) = tan_1(i) = 7r/4. Los ángulos de los dos fac­ tores de la izquierda son, de manera similar, tan-1 (1/2) y tan-1 (1 /3 ). Así, tenem os inm ediatam ente tan un resultado que puedes verificar con facilidad en una calculadora que esté operando con radianes en lugar de con grados. Te desafio a que ha­ lles una d educción más sim ple de esta fórmula. D e la misma manera, multiplica (5 + 1)4(—239 + i) y trata de demostrar que / \ . 7T 1. 4 tan —tan 239 4 ’ Ésta es una fórm ula famosa en la historia de 7T, una que verás de nuevo en el capítulo 6. D espués de que hagas la m ultiplicación, encontrarás que el producto es un núm ero del tercer cuadrante, co n un ángulo de S7r/4 radianes, no n/4. radianes. Esto puede intrigarte al principio pero, si te ocurre, probablem ente será antes de que te des cuenta de que el tactor (—239 + i) está en el segundo cuadrante y por lo tanto su ángulo es [7T— tan-1 (1/239)] radianes. Tras agrupar los térm inos verás que las dos tangentes inversas del lado izquierdo de la identidad suman 7r / 4 . ¿Puedes concebir una manera más sencilla, más directa, de obtener esta identidad? Yo no puedo. Y finalmente, si multiplicas (p + q + í)(p2 + p q + 1 + iq), donde p y q son dos núm eros reales cualesquiera, deberías ser capaz de deducir la siguiente identidad bien conocida: f tan

\ 1 + tan p+q

r \ = tan P +/>4 + 1

j_

yPy

Sin los números com plejos ni la idea de Wessel de sumar los ángulos, éste sería un problema m ucho más difícil. D esde Wessel en adelante, pues, multiplicar dos segm entos entre sí ha significado una operación en dos etapas: multiplicar las longitudes, considerando siempre que la longitud tom a valores positivos, y sumar sus dos ángulos. Estas dos operaciones determ inan la longitud y la di­ rección del ángulo del producto, y esta definición del producto explica

el significado geom étrico de V— i . Esto es, supongam os que existe un segm ento dirigido que represente a n/^i , cuya longitud es / y su ángu­ lo es 9 . M atem áticam ente, tenem os V—i = / Z 0 . M ultiplicando este segm ento por sí m ism o, es decir, elevando al cuadrado ambos m iem ­ bros, tenem os —i = /2Z 2 0 , lo cual, com o —i = i Z i 8 o ° , nos lleva a l2 Z i 9 = i Z 180o. Así, l2 = i y z 9 = 180o, y por lo tanto / = i y 0 = 90°. Esto nos dice que 7 —i es el segm ento dirigido de longitud unitaria que apunta directamente hacia arriba del eje x o, finalmente,

i = \ í - i = i Z 90o.

F igura 19. complejo.

Esta fórmula es tan im portante que es la única expresión matemática en todo el libro que he puesto en un recuadro. Los historiadores suelen atribuir a Wessel el haber sido el primero en asociar el eje de los imaginarios con el eje perpendicular al eje real. Sin embargo, existen indicios de que esta idea ya estaba madura p o co antes de que la planteara Wessel. Por ejem plo, existe un pasaje desecha­ do por el gran fisicom atem ático francés A ugustin-Louis C auchy de un libro suyo de 1847, según el cual en 1786 un tal H enri D om in iq u e Truel (“un m odesto académ ico”, escribió Cauchy) había representado los valores im aginarios con un eje perpendicular al eje real horizontal. Nada se sabe de Truel, sin embargo, y parece que nunca publicó sus resultados, cualesquiera que hayan sido. Y también hay señales en los escritos de Gauss de que tuvo la misma idea en tiem pos tan rem otos com o 1796, pero tam poco él las publicó en ese entonces. Fue Wessel el primero en exponer sus ideas en forma pública. La idea de Wessel es maravillo­ samente simple. G eom étricam ente, multiplicar por V—1 es sim plem en­ te una rotación de 9 0 o en el senti­ do contrario al de las manecillas del reloj. En la figura 19, por ejem ­ plo, el vector que representa al nú­ m ero com plejo a + ib aparece en el prim er cuadrante del plano co m ­ plejo (a > o, b > o ). M ultiplicar por i nos da una rotación del vector de 9 0 o en sentido contrario al de las manecillas del reloj, que lo hace rotar a i(a + ib) = —b + ia, en el se­ gundo cuadrante. A causa de esta propiedad, se suele decir que n/^i es un operador de rotación, además de ser un núm ero im aginario. C o m o observó un historiador como el operador de rotación en el plano de las matemáticas, la elegancia y la

maravillosamente depurada simplicidad de esta interpretación sugiere “que ya no hay oportunidad para que nadie se confunda entrando en un estado de éxtasis m ístico respecto de [...] los extrem adam ente mal llamados ‘im aginarios’” .3 Esto n o quiere decir, sin embargo, que esta interpretación geom étrica no fuera un gran salto hacia adelante para el con ocim ien to hum ano. En realidad, éste fue sólo el com ienzo de una oleada de cálculos elegantes. Por ejemplo, la figura 20 muestra el círculo unitario y dos vectores radiales arbitrarios, uno que form a un ángulo 9 con el eje x y el otro un ángulo a . C o m o cada vector tiene longitud unitaria, su producto será también de longitud unitaria y formará un ángulo a + 0 (tal co m o se muestra). Escribiendo todos estos vectores radiales m atem áticam en­ te, tenem os 1 Z 6 = eos 9 + i'sen0 , 1 Z a = c o s a + isen a, 1 Z (a + 9) = c o s(a + 9) + isen(a + 9), y co m o (1 Z 9)(i Z a ) = 1 Z (a + 9), debem os tener (eos 9 + isen9) (co sa + /sena) = co s(a + 9) + isen(a + 9).

3. Bell, Men of Mathematics, p. 234. Una broma sobre este asunto, que los ingenieros eléctricos encuentran divertida, es el siguiente falso mensaje de una compañía telefónica: “Usted ha marcado un número imaginario. Si desea un número real, por favor rote su teléfono 90o e inténtelo de nuevo.”

Desarrollando el lado izquierdo de esta igualdad, obtenem os [ c o s ic o s a —sen# sen a] + i[sen # co sa + eos# sen a ] = co s(a + #) + ¿sen(a + #). D o s números com plejos son iguales sólo si sus partes reales e im a­ ginarias por separado son iguales, con lo cual tenem os de inm ediato dos identidades trigonométricas: co s(a + #) = c o s i c o s a —se n # se n a , sen (a + #) = sen# c o s a + eos# se n a . En el caso especial a = 0, estas expresiones se reducen a eos(2a) = cos2a —sen2a y sen(2a) = 2 s e n a c o s a . Por supuesto, tales identidades eran conocidas desde m ucho tiem po antes de Wessel; por ejem plo, las encontram os en el Almagesto [“Lo más grande”], de P tolom eo de A le­ jandría, escrito en el siglo 11 d. C ., pero, hasta antes de la nueva g eo m e­ tría de Wessel de los números com plejos, nunca se había visto una de­ ducción tan sencilla. Para obtener tales identidades en esta forma, tuve que desviarme de la presentación original de Wessel. Él utilizó las iden­ tidades para hacer cosas en el sentido opuesto de m i presentación, pero creo que mostrar el desarrollo tal com o lo hice es m ucho más dramá­ tico. El con ten ido intelectual es el m ism o de todos m odos. Estas dos identidades son m uy útiles, por ejemplo, para deducir la expresión de t a n ( a - / 3) que utilizam os al principio del capítulo 2. Escribiendo di­ rectam ente tan ( a - / 3) = s e n ( a - / 3) / c o s ( a - / 3), utilizam os las dos identi­ dades anteriores para desarrollar el seno y el coseno, y lu ego dividim os ambos factores por cosacos/?. C o n su maravillosa deducción de la geom etría de V ^i no hubo nada que detuviera a Wessel, quien hizo cálculos aún más exóticos. Por ejem plo, si com ienzas con un vector radial unitario con un ángulo de dirección ff/tn, d ond e m es un entero, entonces se deduce inmediata­ m ente que

- *

= 1 Z # = cos# + tsen#.

O, invirtiendo esta expresión al tomar raíz m -ésima, [eos 6 + ¿en #]1

= eos ^ j + ¿en ^ j .

Este resultado de Wessel no es original (si bien esta deducción ele­ gantem ente sim ple sí lo es) y se co n o ce com únm ente co m o el “teore­ ma de D e M oivre”, en honor del m atem ático nacido en Francia Abra­ ham D e M oivre (1667-1754). D e M oivre, que era protestante, dejó la Francia católica a los 18 años buscando libertad religiosa en Londres, donde se hizo am igo de Isaac N ew to n . En un artículo publicado en 1698 en las Philosophical Transactions de la R oyal Society, m enciona que

N ew to n conocía una expresión equivalente del teorema de D e M oivre ya en 1676, que utilizó para calcular las raíces cúbicas de los números com plejos que aparecían en la fórm ula de Cardano para el caso irredu­ cible. Probablem ente D e M oivre aprendió esta técnica de N ew to n , y la utilizó para ganarse la vida co m o “solucionador de problemas m ate­ m áticos” . D e M oivre era un hom bre de gran talento: particularmente habilidoso para el cálculo de probabilidades en juegos y apuestas, escri­ bió The Doctrine of Chances [La doctrina de las probabilidades] en 1718 y descubrió la ubicua curva norm al, o curva “en forma de campana”, conocida hoy com o campana de Gauss. La tradición dice que el propio N ew to n respondía a m enudo ante una pregunta matemática diciendo: “Pregúntele al señor D e M oivre, él sabe más que yo sobre esto.” Está claro, a partir de los escritos de D e M oivre, que realmente conocía y utilizaba los resultados anteriores, si bien nunca los puso por escrito en forma explícita — lo cual fue h ech o por Euler en 1748, quien arribó a este asunto por una vía com pletam ente diferente, co m o se verá en el capítulo 6. El teorema de D e M oivre le perm itió a Wessel calcular cualquier raíz entera de un núm ero com plejo. En su artículo, por ejemplo,W essel indicó la potencia de sus resultados estableciendo que \j4yfi + 4 \[ ^ i - 2 Z 1 0 . Por supuesto, esto es correcto, pero n o dio ningún detalle sobre có m o llegó a este resultado. Probablemente razonó de la siguiente manera. En forma polar, el núm ero com plejo dentro del signo de la raíz cúbica es V(4V3)2 + 4 2 ^ tan-1

= V48 + 16 Z tan-1

j = 8 Z 30o.

Por lo tanto, VW s + 4 ^

= (8 Z 3o°)l/3 = 81/3 Z

= 2 Z 10o,

que, en forma cartesiana, es 2cos(io°) + t2sen(io°) = 1.969615506 + /0.347296355. Q u e este resultado es correcto puede verificarse elevándolo al cubo, una operación aburrida que puede hacerse fácilm ente con una calcu­ ladora manual capaz de hacer aritmética compleja, y observando que el resultado es, en efecto, 6.928203230 +14 = 4 V3 + /4. Wessel era cons­ ciente de que, así com o hay dos raíces cuadradas de cualquier número, existen m raíces m-ésimas. Por lo tanto, hay tres raíces cúbicas de 4V3 +14. Sabía también que esas raíces estaban separadas por ángulos iguales, es decir, si una raíz es 2 Z 10o, entonces las otras dos son 2 Z 130o y 2 Z 250o. Para ver esto, supongam os que el núm ero com plejo al cual le estamos calculando su raíz «-ésim a tiene un ángulo 9; entonces, cla­ ramente una de las raíces tendrá un ángulo 9/n porque, si elevamos la

raíz a la potencia w-ésima, debem os recuperar el núm ero original de ángulo 0 . Si otro ángulo posible para una raíz es a , entonces n a = 0 + k$6o°, donde k es algún entero — esto es: agregar a 6 un núm ero ente­ ro de rotaciones com pletas, o sea de 360o, no implica una diferencia, pues volvem os a 0— .A sí, a = 0/n + /0360°/«. C uando k = o tenem os a = 0 /n , la raíz “obvia” .Y para k = 1, 2 , . . . , n - i tenem os n—1 ángulos diferentes más, lo que produce un total de n ángulos uniform em ente espaciados. Si utilizáramos otros valores enteros de k, ya sea negativos o positivos mayores que n—1, sim plem ente repetiríamos las raíces que encontram os asignando a k los primeros n enteros no negativos; por ejem plo, k = n repite la raíz dada por k = o. C o m o otro ejem plo de esta clase de cálculos, recordem os del capí­ tulo 1 que la fórmula de Cardano para la solución de la cúbica irredu­ cible considerada por B om belli es X = 'J 2~\~ yf—121

+

2—

\/— T2T.

Allí seguim os un argum ento bastante com plicado para mostrar que '¡2 + %/—121 = 2 + V—1, 'i 2 ~ %/—T2T = 2 - V - l , y por lo tanto x = 4. U tilizando la fórmula de D e M oivre, sin embargo, estos resultados son m uy simples de calcular. Así, el núm ero com plejo 2 + V—121 = 2 + 111 se escribe en forma polar del m od o siguiente: s i l 2 + 1 12 Z tan-1 ^ j = V125 Z 79-69515353°·

Entonces,

= 2 .2 3 6 0 6 7 9 7 7 Z 2 6 .5 6 5 0 5 1 1 7 o = 2 . 2 3 6 0 6 7 9 7 7 ( 0 ) 8 ( 2 6 . 5 6 5 0 5 1 1 7 ° ) + í s e n ( 2 6 . 5 6 5 0 5 1 1 7 0 )]

= 2 + 1. D ado que existen otras dos raíces cúbicas de 2 + V—121 (y, en forma similar, de 2 - \l—121), hay en total tres valores de x que nos dan las tres raíces de la ecuación cúbica. Todos serán reales y, por supuesto, iguales a las raíces calculadas en el capítulo 1 utilizando la solución trigon o­ m étrica de Viète. C o m o ejem plo final, considerem os el problema de hallar las raíces H-ésimas de la unidad; esto es, de hallar todas las soluciones de z n = 1, el llamado p olin om io ciclotómico. El nom bre se refiere a la estrecha asocia­ ción que hay entre este p olin om io y la construcción de un p olígon o regular de n lados, o «-ágono, inscrito en un círculo, problema al que volveré en el próxim o capítulo. La ecuación puede reescribirse com o

z n- i = o, y puedes verificar, dividiendo los polinom ios, que el lado izquierdo se puede factorizar com o ( z - í ) ( z n- í + z n~2 + . . . + z + l ) = 0.

U na solución es la raíz obvia z = i , obtenida a partir del prim er factor del lado izquierdo, y por lo tanto las otras n—i raíces deben ser raíces del factor de la derecha. Esto es, las soluciones de esta ecuación de aspecto temible: z " -'+ z ^ 2+ . . . + Z + 1 = o

son sim plem ente aquellas dadas por la fórmula de D e M oivre, es decir, z = co sífe— ] + tsenífe — ], con fe = i, 2 ,..., w - i . El caso fe = o nos da,por supuesto,la solución z = i que venía del factor ( z - 1). Para el caso « = 5 , por ejem plo, las cuatro raíces (distintas de la obvia 2 = 1) de la ecuación ciclotóm ica de quinto grado z 5—1 = 0 están dadas por fe = 1; e o s j + i s e n ^ ^ j = 0.309017 + i0.9510565; / ( \ ATT . fe = 2; eos ± 1 + /sen — | = —0.809017+ /0.5877853; V 5 y

fe = 3; cos|

| + /sen

í . \ Ó7T

= -0 .8 0 9 0 i7 + /0.5877853;

V 5 /

\ L = 4; COSIi — 871” + /sen| fe

1= 0 .3 0 9 0 1 7 -/0 .9 5 1 0 5 6 5 .

Ahora, para que te sientas más cóm od o con este resultado, y también para demostrarte dramáticamente con qué facilidad el teorem a de D e M oivre genera las soluciones de la ecuación ciclotóm ica, voy a m os­ trarte una solución com pletam ente diferente, una solución algebraica para el caso « = 5 . C o m o h izo en 1771 el m atem ático francés nacido en Italia Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), primero eliminaré el factor obvio z - i para obtener la ecuación reducida de cuarto orden: z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = o. Esto puede escribirse com o (z2 + * -2) + (¿ + 0

+ 1=0,

que, definiendo u = z + z~' y observando que u2 = z 2 + z~2 + 2, se trans­ forma en

U2 + U -

1 = 0.

Esta cuadrática se resuelve rápidamente:

-i ± V5

,o

,0

u = — ^ —= 0.618034 y -1 .6 1 8 0 3 4 . Ahora, a partir de la definición de u tenem os que z 2- u z + 1 = 0 , otra cuadrática que tam bién se resuelve rápidamente:

Z

u ± yju 2 - 4 =---------. 2

Sustituyendo los valores anteriores para u nos quedan cuatro valores de z que son exactam ente los que da el teorem a de D e M oivre. La geom etría de los núm eros com plejos, el álgebra ordinaria y el teorema de D e M oivre están com pletam ente de acuerdo aquí, y esto debería aumentar tu confianza en la afirmación de que los núm eros com plejos n o tienen nada de imaginarios. El teorema de D e M oivre debería dar­ nos de hech o las soluciones de z 97—1 = o tan rápido co ih o lo hizo para n —5 (o para cualquier otro entero «), si bien la ingeniosa sustitución algebraica de Lagrange que fun cion ó tan bien para n —5 «o va a fun­ cionar en el caso general. U n análisis ligeram ente más sofisticado que el ofrecido aquí mostra­ ría que el teorem a de D e M oivre es verdadero aun cuando m no es un entero positivo. U n caso especial particularmente interesante, por ejem plo, es cuando m = - 1, que nos dice [cos0 + Ke n 0 r = co s^ . en0 = cos(—6) + ísen(—6) = eos 0 —¿sen# Esto es, en la circunferencia del círculo unitario, el recíproco de cual­ quier núm ero com plejo es igual al conjugado de ese número. Este re­ sultado se vuelve autoevidente, a posteriori, si m ultiplicamos para obtener la identidad m uy conocida 1 = (c o s0 + íse n 0 )(co s0 -i’sen0) = cos20 + sen20.

D

e r iv a c ió n d e id e n t id a d e s t r ig o n o m é t r ic a s c o n e l

TEOREMA DE D e MOIVRE El teorem a de D e M oivre es, de hecho, una máquina para generar identidades trigonom étricas. Si, por ejem plo, tom am os m = 3 en el teo ­ rema, obtenem os " ( eos _ l 3

( \ “ H-ísen \ 0 l 3 J J

\

= cos0 + ¿sen0.

Desarrollando el lado izquierdo, nos da \

(

/

f

\

-3 sen 2

eos v3 j

~

\

K33 * j

/

+ i 3 COS2

_

/

\ i 0

\

sen V3 ^ )

—sen3 - 9 V3 ) _

que, cuando igualamos las partes reales de esto y las del lado derecho de la identidad anterior, con 9 = 3 a , resulta cos(3a) = cos3a —3sen2a c o s a . Ahora, com o sen2a + eos2a = 1, identidad derivada al final de la última sección, podem os escribir cos(3a) = 4cos3a —3 co sa , o sea, 3 1 eos3 a = —eos a + —c o s h a ) . 4

4

Esta es la identidad trigonom étrica utilizada por V iète al resolver el caso irreducible de la fórmula de Cardano. U tilizando otros valores de m en el teorem a de D e M oivre, e igualando por separado las partes reales e imaginarias del resultado, pueden deducirse un sinfín de iden­ tidades trigonom étricas. Hay otra manera ingeniosa de utilizar el teorem a de D e M oivre para deducir identidades trigonom étricas. Si denotam os con z un pun­ to del círculo unitario, p odem os escribir a 2: en forma cartesiana co m o z = eos# + /sen#, donde 9 es el ángulo del vector radial dirigido desde el origen hasta z. C o m o mostramos en la sección anterior, i / z = z~1 = c o s # - í’sen#. D el teorema de D e M oivre obtenem os también z n = eos(nff) + ísen(«#), y z~n = eo s(n9) -is e n (n 9).T odos estos resultados ju n ­ tos nos perm iten escribir z + z~' = 2 cos9 y z n + z~n= 2cos(n9). Veamos ahora un ejem plo específico de qué podem os hacer con estos dos resultados. Supongam os que escribim os (z + z -1)6 = 26cos 69 . Podem os desarrollar tam bién ( z + z _1)6 para obtener z 6 + ó z 4 + 1 5 Z 2 + 20 + i 5z~2 + 6z~4 + = = ( z 6 + z^6) + 6{z* + z~4) + i5 (z 2 + z~2) + 20. En realidad, no tenem os que multiplicar esto térm ino por térm ino. Es m ucho más sencillo utilizar el teorema binom ial, que dice

donde el coeficien te binom ial es

k \(n -k )\ ’ (recuerda que o! = i, pero si lo has olvidado voy a derivarlo en el capí­ tulo 6). Se sobreentiende que

si fe > «.Ahora, haciendo x = z y z -1 = y} puedes escribir los térm inos de (z + z~1)6 tan rápido com o puedas evaluar los factoriales. El resultado anterior para (z + z~x)6 es igual a lo siguiente (donde he tom ado suce­ sivamente n = 6, 4 y 2 en la relación z n + z~n= 2co s(n6)): 2 cos( 60 ) + 12 COS(40 ) + 3ocos( 20 ) -I- 20.

Pero esto es igual a 2 6cos60 , y por lo tanto tenem os la exótica iden­ tidad COS/2 2 * 2 2

7T

Podem os utilizar los resultados de esta sección y de la anterior para resolver ecuaciones que de otra manera habrían sido difíciles de atacar. Por ejem plo, ¿cuáles son todas las soluciones de ( z + i ) n = z n, cuando n es un entero positivo? C o m o ésta es una ecuación polinom ial de grado n—i (observa que los térm inos correspondientes a z n se cancelan en ambos m iem bros), podem os esperar que haya n—i soluciones. C o m o z = o claramente no es una solución, podem os dividir todo por z n y decir que la ecuación original es equivalente a

y entonces por un resultado de la sección anterior tenem os de in m e­ diato

(*ír)+ísen(fe?) , fe = o, 1 ,2 ,..., n —1. Tras multiplicar y agrupar los térm inos con z , llegam os a

A partir de una de las fórmulas anteriores para el m edio ángulo, sabe­ m os que i —cos(fe27T/n) = 2 sen2(fe7r/«).Y por una de la sección anterior, sabemos tam bién que sen(fe27r/n) = 2sen(fe7r/n)cos(fe7r/«). Así,

C o m o - i 2 = 1, esta última expresión se puede escribir co m o

co{feí)+,'sen(fe?)_

-i2zsen^fe·^-

o, despejando 2, z = í2sen

+ /sen k

7T

Sin embargo, hay una im portante salvedad aquí: debem os excluir el caso k = o para evitar dividir por o, es decir, para evitar el caso en que sen(fe7r/«) = o. Esto entonces nos da n—1 soluciones, ya que ahora k = 1, 2 ,..., n—i. Podem os escribir las soluciones en forma m ucho más ele­ gante utilizando el últim o resultado de la sección previa, esto es,

eos

7r

Tj=co{fe5)-,sen(fe?)·

+,'sen(fej)

Así, 71^ —ísen ( fe — eos f kk — í2sen|

lo cual nos da el resultado bastante sorprendente (creo yo) de que todas las soluciones de ( z + 1)” = z n yacen en la recta vertical que interseca el eje real en x = 1 /2 . Sin el teorem a de D e M oivre esto habría sido un problema m ucho más difícil.

N

ú m e r o s c o m p l e jo s y e x p o n e n c ia l e s

La introducción de Wessel del plano complejo en las matemáticas expan­ dió notablem ente el con cepto de número. Antes de Wessel, todos los números con ocidos eran reales, confinados al eje x unidim ensional, el llamado eje real. D espués, el d om in io de todos los números posibles se amplió al plano com plejo, infinito en todas las direcciones, no sólo ha­ cia la izquierda y la derecha. El descubrim iento de los com plejos fiie el últim o en una sucesión de descubrim ientos que gradualmente llena­ ron el conjunto de todos los números, com enzando por los enteros positivos (que usamos para contar con los dedos) y luego, expandién­ dose hacia los racionales positivos y los irracionales reales, los negativos y por últim o los com plejos. Si bien no voy a demostrarlo aquí, los números com plejos son cerra­ dos para las operaciones aritméticas usuales. Esto quiere decir que

siempre obtenem os otro núm ero com plejo al sumar, restar, multiplicar, dividir, tomar raíces, etcétera, entre números com plejos. C uando trata­ m os de sacar la raíz de - i (un núm ero real), por ejem plo, repentina­ m ente dejamos los números reales, y por lo tanto los reales no son cerrados con respecto a la extracción de raíces cuadradas. Sin embargo, n o debem os preocuparnos por que puedan pasar cosas co m o éstas con los números com plejos, y no necesitam os inventar números aún más exóticos (¡los “realmente com plejos” !). Los números com plejos son todo lo que hay en el plano bidim ensional. Ahora, un últim o com entario sobre la obra de W essel antes de cam­ biar de tema. Tras el desarrollo de las brillantes ideas que hem os discu­ tido hasta ahora, Wessel hizo la afirm ación de que existe todavía una tercera forma de representar los números com plejos, aparte de las for­ mas cartesiana y polar, que involucra exponenciales. En este libro no entraré en los detalles de su argumento, por dos razones. Primero, la presentación que hizo Wessel de esta idea es m enos im presionante que la primera parte de su trabajo y depende de una amalgama bastante cuestionable del teorem a del b inom io y de series infinitas — y además luego no hizo nada con los resultados que obtuvo— . El m ism o sabía que estas cosas eran p o co claras y escribió: “En otro m om en to habré de proporcionar dem ostraciones completas [de mis afirmaciones], si tengo el privilegio de hacerlas.” N un ca lo hizo.Y segundo, la co n ex ió n de con la exponencial había sido descubierta varias décadas antes por otros investigadores de una manera m ucho más convincente. M e parece que es m ejor ver cóm o lo hicieron ellos, por lo que sus trabajos aparecen en el capítulo 6. Sin embargo, com o preludio de esa presen­ tación histórica m ucho más extensa, déjame mostrarte a continuación cóm o un m atem ático m oderno podría desarrollar la interpretación de los números com plejos con exponenciales. Considera dos números com plejos en el círculo unitario, uno a un ángulo a y el otro a un ángulo 0 . La definición de la m ultiplicación com pleja de Wessel nos dice que [co sa + isen a][cos0 + isen0] = co s(a + ff) + isen(a + 0), com o se muestra en la figura 19. El teorema de D e M oivre nos dice que [eos# + isen#]" = eos (nff) + isen(«0). Podem os escribir estas dos ecuaciones en forma más compacta con la notación f(Q) = co s 0 + isenO, y de manera similar para / ( a ) , co m o sigue:

f { a ] f m = f { a + e).

Ahora, trata de pensar en una función concreta,^ que tenga ambas propiedades. Tras un m om ento, podrías pensar en

m

= eKa,

m = eKe, donde K es una constante. Esto funciona porque eKaeKd = eK(a+0)^ ^ 9^n = enKe Así, podem os escribir /( # ) = cos# + isen0 = eKS, y para el caso especial de # = o (que se reduce a 1 = e°) esto es obviam ente cierto para cual­ quier valor de K . Pero para el caso general de una # arbitraria, K no puede tomar cualquier valor. Para hallar K , derivamos /( # ) con respec­ to a 9 para obtener - s e n # + icos# = K eKd = /[eos# + /sen#] = ieKB. Así, K = i y por lo tanto/( # ) = eos# + /sen# = 1 Z # = é e. Este resultado fam oso — llamado “identidad de Euler”— será abor­ dado co n m ucho más detalle en el capítulo 6. Sin embargo, sólo para mostrarte por ahora unas cuantas gemas de brillo sim bólico, suponga­ m os que 9 = 7r. Entonces, - 1 = et7r, o e™+ 1 = o, un sencillo enunciado que conecta cinco números centrales en las matemáticas. En la biografía del gran físico estadounidense Richard Feynman escrita por James G leick se reproduce este enunciado tal com o aparece en una de las páginas de los cuadernos de ejercicios juveniles de Feynman.4 Fechada en abril de 1933, un m es antes de que Feynman cumpliera 15 años, esa página muestra esa identidad subrayada con garabatos y titulada “ l a f ó r m u l a m á s n o t a b l e d e la s m a t e m á t ic a s .” Esta es a todas luces una exageración, pero es notable co m o caso especial de un resultado más general que nos perm ite calcular logaritm os de números negativos, y también de com plejos, algo que a los estudiantes de álgebra en las es­ cuelas secundarias se les dice que no es posible. C o m o ejem plo de cóm o puede hacerse, sim plem ente escribe et7r = —i, y por lo tanto ln(—1) = /7T. El logaritm o de un núm ero negativo es un núm ero imaginario. Si # = 7r/2 en la expresión para e,0f entonces i = em/2. Si calculamos el logaritm o natural en ambos lados (asumiendo que tal cosa puede hacerse, aunque no sepamos después de todo qué cosa puede ser ln /), entonces ln / = vk/ 2 o tt= (2 //)ln /. El m atem ático estadounidense B en ­ jam ín Peirce (1809-1880) llamó a este resultado formal una “fórmula misteriosa” . ¡Q ué descripción más pobre! Si, por otro lado, elevamos ambos m iem bros a la /-ésima potencia (lo que sea que eso signifique), entonces tenem os _ / \ '37^ —sen 3£ = 215n/2 2 COS

(V l

=

2 1S\Í2

2

4~2

= 2 ·* -3 = -9 8 0 3 4 . La fórmula funciona.

(, 4 J_ 1 4~2

v 4 yj

Si repites este análisis para la recurrencia general, conservando p y q com o letras, encontrarás que z es com plejo sólo si p 2 + 4 q < o . Luego, c o n p —q —1, com o en el problema de Leonardo, esta desigualdad no se satisface y en ese caso z será real. Sin embargo, la solución se obtiene con la misma facilidad (tal vez con mayor facilidad) si 2 fuera com p le­ jo, y si lo intentas por ti m ism o deberías poder mostrar que la solución de u„+2 —un+1 + Un con Uo = ut = i es

± £ T J '-= £ j

, con n = 0,1,2,.

Tales recurrencias ocurren a m enudo en ciencia e ingeniería (son m uy com unes en la teoría clásica de la probabilidad, cuando interviene la com binatoria), pero en la época de Leonardo eran un producto nue­ vo. En verdad, la recurrencia de Leonardo fue la primera de su tipo en ser encontrada, y m uchos de sus contem poráneos deben haberse pre­ guntado qué estaba haciendo. Tal vez esto explica el sobrenom bre con el que fue con ocid o en vida:B igollo (“Fibonacci” no fue utilizado sino sólo varios siglos después de su muerte). Esa palabra se deriva de bighellone, o sea chapucero o b ueno para nada. ¿Se deberá este térm ino p e­ yorativo a que los otros pensaban que Leonardo estaba estudiando ma­ temáticas — tales com o su recurrencia— que carecían de importancia? Si fuera así, a él no le im portó m ucho, pues también usaba ese apelati­ vo cuando se refería a sí m ism o.

T ie m p o

im a g in a r io e n la f ís ic a d e l e s p a c io - t ie m p o

En éste, el ejem plo final del capítulo, quiero mostrarte algo en lo que %—1 desempeña un papel central, en una aplicación bastante diferente de las matemáticas puras. Sin embargo, para leerlo tendrás que aceptar com o verdaderas un par de ecuaciones de la física, pero voy a citar una autoridad tan grande que te convencerás de seguir adelante. Bien, aquí está la autoridad. D e acuerdo con Einstein (¿y quién va a discutirle algo a él?), dos personas que están en m ovim iento relativo uniform e una respecto de la otra medirán el espacio y el tiem po en forma diferente. Esta afirm ación de la relatividad especial es cierta­ m ente misteriosa tal com o la he enunciado, así que perm ítem e poner­ la en una forma más específica. Supongam os que hay una persona acerca de la cual podem os decir que “no se está m o v ien d o ”, o al m enos que no está sometida a aceleración. D ecir que “no se está m o v ien d o ” es algo tramposo, porque debem os decir que no se está m oviendo con respecto a algo más. Pero si señalamos ese “algo más” que funciona com o nuestra referencia para decir que otra cosa “no se está m ovien ­ d o”, regresamos a nuestro punto partida, porque entonces alguien p o ­ dría preguntarnos “¿no m oviéndose con respecto a qué?” D ecir que

alguien no está som etido a aceleración, en cambio, no es tan problemá­ tico. En ese caso no hay fuerzas que actúen sobre la persona, y las fuer­ zas pueden ser medidas con instrumentos colocados directamente en esa persona — un físico diría que los instrumentos son locales— . Esto se sigue de la famosa segunda ley de N ew to n del m ovim ien to (y también es difícil discutir con N ew to n ). Ahora, coloqu em os a la persona que no está som etida a aceleración en el origen de un sistema de coordenadas x , y} z en el espacio tridi­ m ensional, y digamos que ella puede determinar la ubicación en el espacio de cualquier cosa observable, llamada un evento, con respecto a los tres ejes coordenados. Si la persona observa efectivam ente dos eventos en el espacio, en (xu y u z x) y (x2, y 2, z 2), entonces utilizando el teorem a de Pitágoras puede calcular el cuadrado de la distancia espacial entre los dos eventos com o 52 = (X1-X2)2 + (y i- y 2)2 + ( z x- z 2)2.

D e hecho, si los dos eventos están m uy próxim os entre sí, podem os escribir el diferencial del cuadrado de la distancia com o {ds)2 = (dx)2 + {dy)2 + (dz)2.

2.Véase, por ejemplo, Krause,

Taxicab Geometry, donde la función de la llamada distancia del taxista ds= \dx \ + \dy\ se explora con gran detalle. La interpretación geométrica de la relatividad especial se debe en realidad al matemático alemán H erm ann Minkowski (1864-1909), quien fiie profesor de Einstein. Sin embargo, toda la teoría es de Einstein.

Esta última expresión se co n oce com o la métrica de la distancia de nues­ tro espacio tridim ensional. La distancia euclidiana o pitagórica es la métrica o función de dis­ tancia usual, a veces llamada la distancia de vu elo de pájaro, pero no es la única posible. Los matemáticos han definido las propiedades genera­ les de todas las “funciones de distancia” co m o sigue: si A y B son dos puntos, y si d(A, B) denota la distancia entre A y B, entonces: 1] d(A, B) = d(B, A); 2] d (A t B) = o si y sólo si A = B, y 3] si C es un tercer punto arbitrario, entonces d (A , B) o al m ism o tiem po to > o, entonces la persona en m ovim iento estará más cercana del evento por una distancia vto. En definitiva, estas consideraciones elem entales nos dan las ecua­ ciones

Y=Y> z' = z y

/» —(*’ / c f

tenem os que

dx' = ~r ■ = d x ---- , - dt. y ¡\-(v /c f y j\-(v /c f D e estos dos resultados se deduce inm ediatam ente que ^ { d x f ~ 2 ^ {d t)(d x ) + {d tf

----------(dty =±------- c i-(v /c )2 _ (dx)2 - 2 v ( d t) ( d x ) + v2(dt)2 i —( v / c)2 Ahora, supongam os (erróneam ente, co m o pronto verás) que (ds)2 = (cdt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (¿fe)2 es la métrica del espacio-tiem po. Para deter­ minar su invariancia, calculemos (ds')2 = (cdf)2 + (dx')2 + (dy')2 + (dz')2. Esto nos da ^ ( d x ? - 2 V(dt)(dx) + C2 { d t r (¿ y = -

1- ( v / c f

(dx)2 - 2v(dt)(dx) + v2 (dt) , , + (d y )2 + ( d z ) 2 . i-(t>/c)

4- En realidad, esto es cierto sólo para lo que se conoce como el espaciotiempo plano de la relatividad especial. U n espaciotiempo curvo como el que aparece en la teoría general de la relatividad (la teoría de la gravedad de Einstein) tiene métricas más complicadas. Puedes encontrar más sobre este tema en Time Machines, p. 314. 5. Sobre por qué Einstein hizo esta suposición, véase Time Machines, pp. 291 y 302-303.

Esta expresión para (ds')2 claramente no es igual a (ds)2. Entonces, ¿cóm o deberíamos definir (ds)2 para que haya esa inva­ riancia? Lo que descubrió Einstein es que en lugar de utilizar c(dt), deberíamos utilizar \f^ic(dt)2. Esto es, (ds)2 = - c 2(dt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 sí es invariante bajo la transformación de Lorentz.4 Esto significa que, si calculamos (ds*)2, obtendrem os precisamente el m ism o resultado, es de­ cir, que (ds)2 = (ds')2 = - c 2(dt')2 + ( d x ) 2 + (d y )2 + ( d z ) 2. ¿Por qué — podrías preguntarte— la expresión para (ds')2 tiene pri­ mas en todas partes excepto para c? Es decir, ¿por qué n o tenem os que escribir tam bién c com o la velocidad de la luz en el sistema de coor­ denadas en m ovim iento? La respuesta es que puedes hacerlo, pero c —c, o sea: igual que el intervalo, la velocidad de la luz es invariante bajo la transformación de Lorentz. D e hecho, la invariancia de la velo­ cidad de la luz es una de las suposiciones sobre las que Einstein cons­ truyó su teoría especial de la relatividad.5 Para ver que este (ds)2 es invariante, escribamos la última expresión com o sigue:

A

i x n ^ c n - ^ m

^ c n

1- { y / c f

1

= (d x f - c2 (dt)2 + ( dy)2 + {dz)\ que es igual a (ds)2. Esto es, para conseguir la invariancia en el espaciotiem po tetradimensional debem os utilizar ~(cdt)2 = (cV^iáí)2, no (cdt)2. Al hacer uso de %/^i c(dt) = c(y/^idt) — utilizando si quieres un “tiem po im aginario” (¡sombras de Buée!)— ,6 obtenem os el intervalo de inva­ riancia que deseábamos, pero tam bién resulta bastante claro que el tiem po es fundam entalm ente diferente del espacio, un asunto que m u­ chos divulgadores de la ciencia han oscurecido al simplificar demasia­ do la teoría de la relatividad. Term iné el capítulo 3 con la observación de que los matemáticos del siglo x ix a m enudo encontraban difícil de aceptar. En algunos casos, debo reconocer, algunos físicos del siglo x x lo encontraron aún más difícil. En un revelador artículo en el que se criticaba el c\f—1 de Einstein y M inkowski, un físico del National Bureau o f Standards de Es­ tados U nidos, adm itió que

6. En 1889 la matemática rusa Sophie Kowalevski (1850-1891) utilizó el tiempo complejo para estudiar la mecánica de una masa en rotación. Su trabajo se describe en Audin,

Spinning Tops.

yf—i tiene una aplicación legítima en las matemáticas puras, donde forma parte de distintas herramientas ingeniosas para manejar situaciones que de otra manera serían intratables. Tiene también un valor limitado en la física matemática, como en la teoría de mecánica de fluidos, pero incluso ahí es sólo un engranaje esencial de una maquinaria matemática. En estos casos legítimos, tras haber hecho su parte, se retira graciosamente de la escena. Pero este físico m ostró su verdadera opinión sobre 7^ 1 , al que consi­ deró co m o carente de significado físico, al concluir su ensayo con las siguientes, sarcásticas palabras: El criterio para distinguir lo sensato de lo insensato se ha perdido; nuestras mentes están listas para tolerar cualquier cosa, si viene de una persona repu­ tada y acompañada con un arreglo de símbolos en caracteres Clarendon. Y ni siquiera debemos ser muy duros con ; este número puede per­ durar en una buena posición en ocasiones, como lo ejemplifica una tradi­ ción del National Bureau o f Standards. En los primeros días de esta oficina, cuando el personal administrativo era menos abundante y no había guías oficiales, los empleados se turnaban para conducir los grupos de visitantes por los laboratorios. En una de esas ocasio­ nes, les mostraron aire líquido a los visitantes, y alguno preguntó: “¿Eso para qué se usa?” En esa época no se había encontrado ninguna aplicación prác­ tica para el aire líquido, y era solamente una curiosidad científica. El guía [...] quedó bastante perplejo por unos instantes, pero luego se recobró y respondió: “Se utiliza para lubricar la raíz cuadrada de menos uno.”7 Esta extraña anécdota se equivoca, ya que no tiene m enos sentido ñ aco que 0.107, 2 > 0 cualquier otro núm ero individual (sobre los

7. Heyl, “The Skeptical Physicist” .

cuales en general los físicos no escriben ensayos sarcásticos). A lgunos números, por supuesto, tienen con exiones físicas obvias; por ejemplo, 7r, que es la razón de la circunferencia al diámetro del círculo. Tal vez uno percibe tanto significado físico en V ^i com o en 7r cuando revisa la relación de V ^ i con las rotaciones discutidas en el capítulo 3.

5. Más usos de los números complejos

Un

RECORRER EL HIPERESPACIO

a t a jo c o n f u n c io n e s c o m p l e ja s pa r a

Terminé el últim o capítulo con el espacio-tiem po, y nuestro próxim o ejemplo del uso de los números com plejos sigue levem ente conectado con esa parte de la física matemática. Los aficionados a las películas de ciencia ficción están bien familiarizados con la idea de agujeros de gusa­ no en el hiperespacio, que funcionan com o atajos espacio temporales de un punto a otro, cam inos que pueden atravesarse en m enos tiem po de lo que le llevaría a la luz recorrerlos en línea recta; un ejem plo es la pelí­ cula Stargate, de 1994.1 C o m o prim er ejem plo de este capítulo, quiero mostrarte que los matemáticos tenían desde hace m ucho tiem po una indicación de cóm o podría ocurrir tal cosa, y que de h ech o lo hicieron intes de que Einstein publicara su teoría general de la relatividad, teo ­ ría de la cual viene la predicción física de los agujeros de gusano. C o m o se muestra en cualquier libro introductorio de cálculo, el diferencial de longitud de arco ds sobre la curva y = y(x) es

ds = \¡(dx)2 + ( d y ) 2 = d x ^ i + ' i L dx

v

1. Véase también mi Time Machines, pp. 341- 352.

/

La longitud de arco desde x = o hasta x = x, entonces, es sim plem ente 5 = ¡*'J1 + y ' 2dxEn 1914, el m atem ático norteam ericano Edward Kasner^ (1878-1955) mostró cóm o esta fórmula llevaba a un resultado com pletam ente ines­ perado y contrario a la intuición, algo en verdad bastante extraño, cuan­ do y(x) es una función com pleja en vez de una sim ple función real. Kasner com en zó su análisis2 cuando se dio cuenta de que si nos dan dos puntos P y Q sobre la cueva y = y(x), entonces hay dos formas o b ­ vias de viajar de P a Q. U na es sim plem ente moverse sobre la curva misma, recorriendo la distancia de arco s, para lo cual podem os asociar P con x = o y Q con x = x. La alternativa es conectar P y Q con una línea recta, la cuerda entre P y Q ,y luego recorrer una distancia c sobre el segm ento. Intuitivam ente está claro que c< s . U n p oco m enos intui­ tivo es el hech o de que

t Para conocer más sobre este matemático, véase en esta misma colección

Matemáticas e imaginación, del que Kasner es coautor (junto con James Newman). [N. del e.] 2. Edward Kasner, “T he R atio o f the Arc to the Chord o f an Analytic Curve N eed N ot Be U nity” .

lim | > i, X — >0

que hace que la mayoría de la gente se pregunte có m o es posible que este limite sea distinto de la unidad. Sin embargo, co m o escribió Kasner, “Es fácil [...] construir excepciones [al caso de una razón unitaria] en el d om inio de las funciones reales: haciendo la curva lo suficientem en­ te retorcida, el lím ite puede ser, digamos, dos o cualquier núm ero preasignado mayor que uno.” Luego, Kasner lanzó una bomba. Si uno perm ite que y(x) sea una función com pleja — escribió Kas­ ner— , entonces el lím ite del cocien te de la longitud de arco y la lon ­ gitud de la cuerda ¡puede ser menor a uno! El viejo dicho de que “el cam ino más corto entre dos puntos es una línea recta” n o es necesaria­ m ente cierto para curvas con valores com plejos. Por supuesto, no pue­ do dibujarte una curva con valores com plejos en una hoja de papel — ¿por ejem plo, có m o dibujarías tú x 2 + ix?— pero a cam bio podem os hacer los cálculos formales. Esto es análogo a lo que le ocurre a los fí­ sicos teóricos, que no pueden dibujar la forma en que un agujero de gusano del hiperespacio penetra en el espacio-tiem po desde la Tierra hasta Plutón de m od o que ese cam ino tenga unos cuantos metros de longitud, pero que consideran estas cosas seriamente, al m enos sobre el papel. N o confundas la naturaleza de y(x) = x 2 + ix con la de z = x + iy. En el segundo caso, e es un núm ero com plejo, por lo que el valor de y que se dibuja en el eje vertical es una m agnitud real, es decir, estamos utilizando el eje y sólo para registrar la parte imaginaria de 2. En cam­ bio, en y(x) = x2 + ix, la cantidad en el eje vertical es com pleja ¡y no tengo idea de có m o dibujar eso! H e aquí un ejem plo sencillo de lo que hizo Kasner. C om enzando con y(x) = x 2 + ix, la longitud de la cuerda desde (o, o) hasta (x,y) es C= \Jx2 + y 2

=\Jx2+ X * + Í 2 X 3 -

X2

=xyjx2+ ii x.

Entonces, cuando x —> o, podem os aproximar c co m o c = x 1'2 \¡Í2, con x ~ o, para lo cual tom é en cuenta el h ech o de que x 2 tiende a cero m ucho más rápido de lo que lo hace x. La longitud de arco entre (o, o) y ( x yy) es

5= JJ71+(y,(M))2d*4= JJV1+(2M+I)2 = JJV4w2 +14« du. D e nuevo, cuando x —>o, podem os aproximar s co m o

= yTzsfli J^n/í7 du —'J~2 —\fi2X3/2 , con X * o.

3

Estos dos resultados nos dicen que \Í2 ^ 4 i 2X3/2 lim - = x —>0

/2

= >/2^ = 0.9428.

y ¡ Í 2 X 3‘

Esto es, la distancia de lon gitud de arco es casi 6 por ciento más corta que la distancia en línea recta. En realidad, Kasner dem ostró un p oco más que esto; su resultado, m ucho más general, afirmaba que si y(x) = mkxk + ix, donde mk es cual­ quier valor (en el ejem plo que di, con fe = 2, utilicé m2 —1), entonces

11111 f = t + 7 ’ con fe = 1 ,2 ,3 ... JC—>0 L Ac I 1 Para fe = 1, el cocien te es la unidad pero, cuando fe crece, el cociente puede hacerse tan pequeño co m o lo deseem os. Este es un buen ejer­ a d o de entrenam iento, y realmente no es m uy difícil. Lo que sí es difícil, creo yo, es “ver” este asombroso resultado. Buena suerte con ello y. si llegas a una solución, ¡por favor házmela saber!

C a m in a t a s

m á x im a s e n e l p l a n o c o m p l e j o

En nuestro próxim o caso de estudio, voy dejar el espacio-tiem po y los atajos matemáticos por el hiperespacio para pasar al plano com plejo b idimensional usual, pero aun ahí podrás encontrar un m ontón de em o­ ciones. Para motivar el análisis, quiero pedirte que pienses en un clásico problema del álgebra de la escuela secundaria sobre cóm o sumar series geométricas, y en una forma divertida de plantearlo.Yo recuerdo haberlo «cuchado cuando en 1955 era un estudiante de la escuela secundaria. U n m uchacho y una m uchacha están parados uno frente al otro, separados por una distancia de dos metros. Ella no puede m overse y él, en cambio, da una serie de pasos hacia ella. El prim er paso es de un metro. El segundo es de m ed io metro. El tercero es de un cuarto de metro. Y así sucesivamente. C o m o explicó el profesor con una sonrisa en los labios a la clase de inocentes quinceañeros, el m uchacho nunca alcanza a la chica, pero después de un núm ero finito de pasos está lo suficientem ente cerca “para todos los fines prácticos” . Naturalmente, » d o s nosotros — o al m enos yo— nos sonrojamos con la idea del tí­ m ido y casto beso que im aginam os que ocurriría después.

Figura

Supongam os que ahora literal­ m ente le damos un giro a este v ie­ jo problema. C oloq uem os al joven en el origen del plano com plejo y hagámoslo caminar por el eje real una unidad de distancia. Entonces él gira sobre sus talones en un án­ gulo 9 en sentido contrario al de las manecillas del reloj y camina hacia adelante la mitad de una uni­ dad de distancia.Vuelve a girar 9 en la misma dirección y avanza un cuarto de la unidad de distancia. C ontinúa haciendo esto una infi­ nidad de veces, girando siempre igual y avanzando cada vez la m i­ 30. Una caminata en el plano complejo. tad de la distancia recorrida antes. ¿En qué parte del plano com plejo terminará, y para qué ángulo que­ dará más lejos del eje real? U n bosquejo de este proceso se muestra en la figura 30, donde he asumido un valor de 9 < 90 o sim plem ente para dibujar un diagrama que resulte claro. Esta “caminata en el plano com p lejo” puede describirse matemáti­ cam ente m ediante una suma de vectores, es decir, después del paso w+ 1 , el vector suma S(n + 1 ) apunta en la dirección en que se ubica el m uchacho en el plano:

La distancia desde el eje real es la parte imaginaria de S(n + 1), por lo que nos interesa calcular el valor de 9 que m axim ice la parte im agina­ ria de S(°°). Si vem os S ( n + 1) com o una serie geom étrica, en la que cada par de térm inos adyacentes tiene el factor com ú n (i/2 )e^ , p ode­ m os multiplicar la serie por este factor com ún, para obtener

Entonces, sustrayendo esta serie de la original, obtenem os

o sea, J _

y, haciendo que n tienda a «>,

l(rt+l)0

S(00)=^ Í7 =^+,S'·’ donde Sr y S, son las partes real e imaginaria de S(°°), respectivamente. N o es difícil manipular esto para obtener 1—^ eos 6

z: sen 6

S(°°) = Sr+¡S¡ = —--------- +/ - ------- . --c o s0 4

~— cosO 4

Ahora, para maximizar la distancia desde el eje real, hacem os lo de siempre y proponem os dS¡/dO = o. Si haces esto encontrarás que co s 0 = 0.8, o 9 = 36.87o , por lo que el valor m áxim o está en S¡ = 2 /3 , es decir, S(oo) = 4 / 3 + /( 2 / 3 ).

Supongam os ahora que no deseamos m aximizar la distancia del m uchacho desde el eje real, sino la distancia desde el origen. Tenem os que ser un p o co más precisos y especificar qué quiere decir distancia. Por ejemplo, ¿nos referimos a la distancia pitagórica o a la del taxista, presentada en el capítulo anterior? ¡N o da igual! (Para el problema que acabo de resolver, sin embargo, la respuesta es la misma para cualquiera de las funciones distancia; ¿te queda claro por qué?) Esto es, podem os buscar 0 que m axim ice la distancia pitagórica y j s f + s f o la del taxista iSrl + l &l y llegar a los resultados 0 = o ° y 6 = 15.72o , respectivamen­ te. Puedes realizar todos los cálculos y verificar estos valores, pero sin exponenciales com plejos creo que sería un problema bastante difícil de analizar. En el próxim o ejem plo voy a mostrarte un problema de ori­ gen antiguo y de importancia m oderna que es extrem adam ente difícil de estudiar sin las exponenciales complejas, pero que con ellas es ex ­ traordinariamente bello.

L eyes

de

K epler

y ó r b it a s sa t e l it a l e s

U n o de los problemas científicos más antiguos es el llamado problema de los n cuerpos, inspirado por la soledad que padecían, en las largas noches, los pastores que gustaban de mirar las estrellas y por el m isti­ cismo de los astrólogos que se ganaban la vida haciendo horóscopos. Al igual que estos dos grupos, los primeros astrónomos observaron que en el oscuro cielo nocturno ciertas motas de luz (los planetas) se m ovían en un fondo estacionario, tachonado con un núm ero m ucho mayor de motas luminosas (las estrellas), por lo que resultó natural que se plan­ tearan el problema de entender, y aun predecir; tales m ovim ientos. En tiem pos m odernos una justificación para el interés en la m ecánica ce­ leste es el problema práctico de predecir mareas y lanzar cohetes inter­ planetarios en el m om ento correcto. Las posiciones de la Luna y, en m enor medida, del Sol se han visto relacionadas desde hace m ucho

3. U na breve pero elegante derivación de la ley del cuadrado de los inversos exclusivamente geométrica se encuentra en Gamow, Gravity. Véase también Stein, “Exacdy H ow D id N ew ton Deal w ith His Planets?”.

tiem po con las variaciones de las mareas, y por lo tanto hay una co ­ n exión natural entre ambos fenóm enos, uno en la Tierra y el otro en los cielos. Los militares, por ejemplo, tuvieron m ucho interés en las mareas: cuando en 1772 Euler publicó su Theoria motuum lunae [Teoría del movimiento lunar], tanto los expertos de navegación rusos co m o los ingleses lo leyeron con m ucho cuidado. C om o se verá en este ejem plo con mayor detalle, el descubrim iento de N ew to n tanto del cálculo diferencial com o de la ley de gravitación universal — que establece que la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia— perm itió una explicación científica y racio­ nal del m ovim ien to de dos masas que interactúan. N ew to n com enzó a pensar sobre la gravedad al m enos desde 1665, cuando sólo tenía 22 años, en con exión con el m ovim ien to lunar. U tilizó únicam ente g eo ­ metría en su derivación de la ley para la gravedad inversamente pro­ porcional al cuadrado de la distancia (una ley discutida con detalle más adelante en este capítulo), y no el cálculo diferencial, cuya invención apenas estaba en marcha.3 Y más tarde, cuando en 1687 publicó sus investigaciones sobre la gravedad en Philosophiae naturalis principia mathematica (llamado sim plem ente los Principia, por lo general), él todavía se restringía a una presentación geom étrica. Lo hizo para evitar que los debates filosóficos sobre el cálculo, que ya habían com enzado, devalua­ ran su física. Existen, por supuesto, más de dos masas diferentes en el universo. Al problema de calcular el m ovim iento de n masas que interactúan gravitacionalm ente se lo ha co n ocid o co m o el problema de los n cuerpos de la m ecánica celeste, y el m ito que se ha desparramado entre los físicos es que perm anece sin resolver para n 'z3. Esto es cierto sólo si uno exige fórmulas cerradas y ecuaciones exactas. D e hecho, el m ate­ m ático y astrónom o finlandés Kai^l E Sundm an (1873-1949) resolvió el problema de los tres cuerpos entre 1907 y 1919, y en 1991 el estudian­ te chino Q u id o n g W a n g resolvió el problema de los n cuerpos para cualquier n. Estas soluciones vienen dadas co m o series infinitas con ­ vergentes, pero son de poca utilidad ya que la convergencia es dem a­ siado lenta para cualquier uso práctico. Por supuesto, con el desarrollo de las supercomputadoras los físicos pueden ahora calcular directa­ m ente los m ovim ientos futuros de cientos, e incluso miles, de masas que interactúan, tan distantes en el futuro com o uno desee, utilizando las ecuaciones de N e w to n del m ovim iento y la gravedad. R esolver analíticamente el problema de los n cuerpos no tiene ya ninguna im ­ portancia práctica. Para n = 2 masas, sin embargo, desde hace m ucho tiem po se co n o ­ cen fórmulas analíticas para el m ovim iento que sí son exactas. Su de­ ducción se simplifica enorm em ente haciendo un par de aproxim acio­ nes. Por ejem plo, para cualquier planeta particular en el sistema solar es una buena aproxim ación suponer que sólo existen él y el Sol.Y com o éste es m ucho más masivo que cualquiera de los planetas — incluso

Júpiter tiene m enos de 0.1 por cien to de la masa del Sol— , resulta una buena aproxim ación suponer que el m ovim ien to del Sol debido al planeta es despreciable comparado con el m ovim iento del planeta de­ bido al Sol. Para decir m ucho más que esto necesitam os bastantes más matemáticas, las cuales aprovechan enorm em ente el uso de números com plejos. Tras esta breve discusión histórica, voy a mostrarte cóm o N ew to n literalm ente explicó el m isterio de los cielos. Las primeras descripciones de la estructura del sistema solar eran geocéntricas, o sea con la Tierra fija en el centro del universo y todo lo demás que se moviera en el cielo girando en órbitas circulares alre­ dedor de nuestro planeta estacionario.^ D espués de todo, argumenta­ ban quienes sostenían esta cosm ovisión, ¿cóm o podría moverse la Tie­ rra? (todo sería barrido por un terrible ventarrón). Esta objeción n o es una de la que podam os burlarnos, ya que a primera vista las cosas pa­ recen ser así. Tal cosm ovisión fiie sostenida por el m uy influyente Aristóteles, quien, si bien fue un gran filósofo, tam bién fiie un cientí­ fico bastante malo. Aristóteles puede ser culpado, por ejem plo, por sos­ tener la errónea idea de que los objetos más pesados caen más rápido que los más livianos. El llegó a esta conclusión por pura reflexión, y parece que nunca se preocupó por ver cóm o caían realmente dos o b ­ jetos. M uchos estuvieron en desacuerdo con la perspectiva geocéntrica de Aristóteles, entre los que se destacó el astrónomo griego Aristarco, quien cerca de 260 a. C. afirmó que el Sol era el centro de todos los m ovim ientos celestes, pero su posición fue desechada co m o “obvia­ m en te” fantástica. La teoría con la Tierra com o centro fiie defendida por P tolom eo en el Almagesto y d om inó por más de un m ilenio. Su perm anencia en la m ente humana es un p oco difícil de entender hoy porque im plica m u­ chas dificultades observacioViales. El problema más obvio es que, de vez en cuando, parece que los planetas detienen sus suaves m ovim ientos hacia el este a través del cielo nocturno y retroceden en su cam ino, es decir,“giran hacia atrás”.Ya en el siglo iv a. C ., los astrónomos griegos fueron capaces de “explicar” estos desconcertantes m ovim ientos retró­ grados, con lo que a la vez conservaron la “perfección” de las trayecto­ rias circulares de Aristóteles, m ediante un m ecanism o de esferas anida­ das, hechas de cristal invisible y que rotaban en torno a la Tierra. Esto es, se supuso que cada uno de los cuerpos celestiales observados estaba fijado a una de las superficies interiores de cada una de estas esferas celestiales, que rotan alrededor de la Tierra con distintos ángulos de inclinación. Ajustando el núm ero de tales esferas, sus ángulos de incli­ nación y sus velocidades de rotación, y especificando qué cuerpo esta­ ba fijo en cada esfera, podían explicarse los m ovim ientos observados. Por supuesto, a m edida que más cuerpos podían observarse con mayor precisión, más esferas se necesitaban; en cierto m om ento se habían postulado al m enos 57 esferas anidadas. C ó m o explicaban los astróno­ m os griegos los com etas, que se precipitaban desde las profundidades

^Véase Los sonámbulos, de Arthur Koesder, en esta misma colección. [N. del e.]

del espacio y lu ego desaparecían otra vez en el cielo nocturno, es un misterio; no parecen haberse preocupado por la cuestión de có m o era que tales com etas no hicieran pedazos las esferas celestiales. Esta situación lentam ente fue pareciendo cada vez más ridicula — ¿podría un dios sensato haber h ech o tal universo de pesadilla?— y se desarrolló cierta resistencia a aceptar ciegam ente a P tolom eo co m o la última palabra. En 1543, justo antes de morir, el astrónomo polaco N icolás C opérn ico (1473-1543) publicó D e revolutionibus orbium coeles­ tium [Sobre las revoluciones de las esferas celestes], en el cual defendió el m odelo heliocéntrico, o sea, centrado en el Sol. La op inión tradicional es que se dem oró en publicar su libro porque temía la persecución re­ ligiosa por haberse alejado demasiado de la tradición. La Biblia, por ejem plo, dice que Josué (x, 12-13) rogó al Sol que se detuviera, y n o a la Tierra, un argum ento utilizado por Martín Lutero para refutar a C o ­ pérnico. El pensam iento m oderno tiene una visión m ucho más ben ig­ na de la posición de la iglesia sobre la astronomía en la época en que m urió C opérnico. Durante las primeras etapas de la reforma, la iglesia no se sentía suficientem ente amenazada com o para destruir todo aque­ llo que iba en contra de sus enseñanzas. D e hecho, probablemente C opérn ico estaba más preocupado por no hacer el ridículo frente sus colegas astrónomos (quienes todavía consideraban a Aristóteles co m o si fuera el evangelio) que tem eroso de la iglesia. Sin embargo, sin duda estuvo bien que mostrara cierta cautela respecto del fanatismo. Esta se ve reflejada en la presentación del libro, donde aclaró que las órbitas centradas en el Sol eran sim plem ente u n ifo r m a conveniente de calcu­ lar la posición futura de los planetas, y no una realidad física. Sin embargo, esta cucharadita de tim idez filosófica no fue agregada por C opérnico. El prefacio de su libro en realidad fiie escrito por otra persona, quien describió así el trabajo de C opérnico: “C o n seguridad, las hipótesis [del autor] no son necesariamente ciertas; ni siquiera ne­ cesitan ser probables. Es suficiente con que nos lleven a cálculos que concuerden con las observaciones astronómicas.” Los lectores de C o ­ pérnico creyeron estas palabras y hasta 1854 no se descubrió que ha­ bían sido escritas por alguien más — con quien C opérn ico había dis­ cutido sobre este tema en particular— cuando el gran astrónomo yacía m oribundo. Otra sutil muestra de esta tim idez, si es que se trata de eso, si puede atribuirse a C opérnico: el título de su libro. D e revolutionibus orbium coelestium puede interpretarse com o una alusión a que sólo los otros planetas dan vueltas, es decir, se m ueven. Podría pensarse que este título conserva la idea de una Tierra inm óvil. Sin duda C opérn ico m ism o no sostenía ese punto de vista, pero tal vez quería darse cierto margen de maniobra en caso de ser amenazado por la pandilla intelectual de la inquisición. Más allá de estos retorci­ m ientos filosóficos, y de la dedicatoria del tratado al papa Pablo III, cuando surgió la controversia sobre el apoyo de Galileo al m odelo c o pernicano, el libro fiie puesto en el Index, la lista de libros prohibidos

por la iglesia católica, donde estuvo entre 1616 y 1757. Para 1615 la re­ forma había avanzado hasta un punto de quiebre dentro de la iglesia (del que surgiría el protestantismo) y toda enseñanza no ortodoxa era vista com o una amenaza. El libro de C opérn ico no tuvo un efecto in­ m ediato en la ciencia, pero marcó el com ien zo del fin de la postura geocéntrica de P tolom eo. Justo tres años después de la m uerte de C opérnico, nació el astró­ n om o danés Tycho Brahe (1546-1601), que en el curso de su vida hizo observaciones extraordinariamente precisas de las órbitas planetarias sin más herramienta que sus ojos: el telescopio no sería inventado sino hasta seis años después de su m uerte. Tycho — a quien por alguna razón que desconozco, al igual que a Galileo, se lo co n o ce sólo por su n o m ­ bre de pila (pronunciado “T ic o ”)— dio un gigantesco paso atrás al preferir el m odelo geocéntrico. En los últim os años tuvo un asistente, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), quien heredó la masa de datos observacionales tan dolorosam ente obtenidos por Tycho. Fue Kepler quien descubrió finalm ente las reglas de có m o se m ueven los planetas, la Tierra incluida, alrededor del Sol, tras años de estudiar los números de Tycho. En 1609, en svisAstronomia nova [Nueva astronomía], Kepler anunció las dos primeras de sus leyes del m ovim iento planetario: la ley 1 sostie­ ne que cada planeta se m ueve sobre una órbita elíptica, no una órbita circular, con el Sol en uno de sus focos, mientras que la ley 2 afirma que la recta que une el Sol con cualquier planeta barre áreas iguales en intervalos iguales de tiem po. La segunda ley nos dice, por ejem plo, que cuando un planeta se aproxima al Sol — y, por lo tanto, la recta que los une es más corta— el planeta debe moverse más rápido. En 1619, en Harmonices Mundi [Armonía del mundo], Kepler dio su tercera ley: el co ­ ciente entre el cubo del sem ieje mayor de la órbita elíptica y el cuadra­ do del periodo orbital es el m ism o para todos los planetas. Si bien todas las órbitas planetarias son elipses, algunas son más elíp­ ticas que otras. R ecord em os que si 2d y 26 son los ejes mayor y m enor de una elipse, respectivamente, y si 2c = 2 \¡a2 —b2 es la separación de los dos focos, entonces E —c/a = / a)2 se co n o ce co m o la excen­ tricidad de la elipse. O bviam ente, si c—o entonces E = o, y los dos focos coexisten en el centro de un círculo de diámetro 2a = 2b. La excentri­ cidad de la órbita de la Tierra es 0.0167, lo cual significa que b/a = 0.99986. La órbita de M ercurio, por otra parte, tiene una excentrici­ dad de 0.2056, lo cual significa 6/^ = 0.9786. Estas órbitas “casi” son círculos copernicanos. N ew to n dedujo la ley del inverso del cuadrado de la distancia para la gravitación, y la dirección de esta fuerza, a partir de la segunda y tercera leyes de Kepler. Luego, utilizando esta deducción, mostró cóm o la primera ley de las órbitas elípticas no es una afirmación indepen­ diente sino una consecuencia necesaria. Derivar la ley de Kepler de las órbitas elípticas utilizando sólo la geom etría no es fácil. D e hecho,

cuando el prem io N o b e l R ichard Feynman intentó preparar una clase sobre las leyes de Kepler para sus estudiantes del California Institute o f Technology, encontró que no podía seguir los argum entos de N ew to n , pues están basados en extrañas proposicio­ nes acerca de las curvas de segundo grado. Entonces Feynman trabajó en su propia dem ostración, exclu­ sivamente geom étrica,4 pero no era fácil. C o m o Feyn­ man m ism o dijo, todo lo que necesitas para hacerlo es “inteligencia infinita”. Se puede decir que con es­ tas tres leyes había com enzado la ciencia de la astrono­ mía. Ahora déjame mostrarte que todo lo anterior puede explicarse utilizando la física de N e w to n y las exponenciales complejas (que no es co m o lo hizo N ew to n , que había nacido apenas 12 años después de la m uerte de Kepler).Tam bién voy a mostrarte en la siguiente sección, utilizando números com plejos, por qué los planetas parecen retroceder. En la figura 31, el núm ero com plejo z es el vector de posición, desde el origen, de la masa m óvil m, que x e n cada instante tiene longitud r y forma el ángulo 6 con el eje real. “En cada instante” es una forma indirecta de decir que r y 6 son funciones del tiem po, es decir, r = r(t) y 6 —6(t). Esto es,

4.Véase Goodstein y Goodstein, Feynman’s Lost Lecture. El libro viene con una grabación en disco compacto, en la que puedes escuchar a Feynman dando su clase al curso del Caltech el 13 de marzo de 1964. Al final de ésta, Feynman señala el punto muy importante de que exactamente la misma física está en el corazón del clásico experimento de 1910 de Ernest Rutherford de bombardear con partículas cargadas positivamente los núcleos atómicos, que también tienen cargas positivas. C om o se discutirá más adelante en este capítulo, la fuerza de interacción es repulsiva entre cargas del mismo signo, y no atractiva com o la fuerza gravitacional entre el Sol y los planetas que lo orbitan. Pero esto es, matemáticamente, un simple cambio de signo algebraico en la ecuación de la fuerza.

| 2: | = r y z = re10. Si con v = v(t) y a = a(t) denotam os la velocidad y la aceleración, res­ pectivam ente, de la masa m, entonces _ d z _ d / i$ \ _ dr

. d0

J t + ,r l i a=

< £ z. dv d e ’ d t'

é*

d2r ( dO} . dOdr . d26 - +dt * ■ d e dt2 - ' * 1 + » - dt

Fíjate en que z , v y a son todos vectores, es decir, que son todos com plejos y por lo tanto tienen componentes, es decir, proyecciones so­ bre los ejes real e im aginario. Observa, también, que no he tenido que definir e introducir los com plicados conceptos de vectores unitarios que acosan a los estudiantes de física novatos, porque la exponenciación com pleja autom áticam ente se ocupa de ese problema por noso­ tros, apuntando en la dirección correcta. Ahora, im agínate que hay dos masas, M y m, que interactúan gravitacionalm ente de acuerdo con la ley de N ew to n , o sea de manera in­ versamente proporcional a la distancia entre ambas. Esto es, cada masa experim enta la misma fuerza F cuya m agnitud está dada por

\F \ = G ^ - , donde G es la llamada constante de gravitación universal (medida por primera vez en 1798 por el fisicoquím ico inglés H enry Cavendish) y r es la distancia entre las masas. Si las masas ocupan p o co espacio en com paración con la distancia m íni­ ma que llegue a separarlas, entonces podem os asumir que son masas puntuales. Si A i y w son masas esféri­ cas con densidad radialmente sim é­ trica, co m o ocurre más o m enos con el Sol y los planetas, entonces podem os decir que r es la distancia entre los centros de M y m, incluso si r es pequeño. Q u e esto es así fue F igura 31. El vector posición de una masa móvil m. uno de los primeros resultados que obtuvo N ew to n utilizando su n ue­ vo cálculo. Pongamo^JVf en el origen de nuestro sistema de coordena­ das y asumamos que tal co m o ocurre, por ejem plo, con el Sol respecto de cualquiera de los planetas, o con la Tierra respecto de cual­ quier satélite artificial. Esta última suposición nos perm ite ignorar los m ovim ientos de A i comparados co n Jos de m. Finalmente, supongam os que tanto M com o m son esferas con uniform e densidad de masa. Ahora bien, la ley de gravitación de N ew to n en realidad nos dice algo además del valor absoluto de la fuerza F. También nos dice que es una fuerza radial o central, es decir, que actúa en la recta que une M y m. Además, es una fiierza atractiva y, por lo tanto, con M ubicada en el origen, la fiierza sobre m apunta siempre hacia el origen. Estos hechos nos perm iten escribir el vector de la fiierza F sobre m com o \F \ = - G ^ - e i0. r Insertar el factor - e 10, que tiene m agnitud unitaria, nos conduce al va­ lor correcto para \F \ así com o también a la dirección correcta,es decir, coloca a F sobre el vector p osición z pero con la dirección opuesta, que es lo que deseamos, ya que la gravedad es atractiva. La teoría de la gravitación de N e w to n nos dice cuál es la fuerza ejercida por M sobre m. Las leyes de N ew to n del m ovim iento nos di­ cen có m o responderá m a esta fuerza. En particular, F = ma, donde, com o definim os antes, a es el vector de aceleración de m. Esto es, _ d2z _ F _ a—

dt2

t»

r M ¡o Lr 7· e .

r2

La fórm ula F = ma es cierta sólo si m * m(t)1o sea si m no cambia con el tiem po. C o n más generalidad, y co m o el propio N e w to n lo esta­ b leció en los Principia, la fuerza es la derivada del momentum (tam bién co n o cid o co m o cantidad de m ovim ien to, m om en to lineal o ím petu) respecto del tiem po, lo cual se reduce a F —ma para el caso especial en que m es constante. N o es infrecuente hallar masas que varían con el tiem po; por ejem plo, un coh ete durante el lanzam iento pierde masa constantem ente. Para los planetas que orbitan en torn o al Sol, por supuesto, es una aproxim ación bastante buena suponer que m no cambia. Podem os simplificar muchas dificultades numéricas de los cálculos gravitatorios si p onem os todo en relación con la superficie de M. Ahí, la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa m en la superficie es precisamente lo que llamamos el peso de la masa m. Esta fuerza está dada por la ley de N ew to n com o mg, donde g es la aceleración de la gravedad; por ejem plo, de 9.8 m /s 2, si M es la Tierra. Pero la ley de N ew to n de la gravitación también nos dice qué es esta fuerza y, por lo tanto, si R es la distancia desd^ la superficie de M hasta su centro, por ejem plo, alrededor de 6391 km si hablamos de la Tierra, entonces

Así,

y por lo tanto g & 2 M ¡e _ a --------—— T-e — M r

R 2 ¿o e , &r

q —-r

donde, por supuesto, se sobreentiende que r> R , es decir, que la masa m no está “dentro” de la masa M. Si sim plem ente escribim os k = g R 2, tenem os que a = —^ e10, con k —g R 2. Pero por lo que hicim os antes sabemos cuánto vale a, el vector acele­ ración de la masa m, y de ahí obtenem os la ecuación diferencial del m ovim iento de la masa m: d2r

d O d r ^ . d20 _

j F - ' I t ) + '1 7 ¡ 7 t * l,W —

k 7

'

Tal vez esta ecuación diferencial parezca m uy intimidante, pero en realidad no es nada difícil de resolver. D e entrada, al igualar laspartes real e imaginaria de cada lado, se separa en dos ecuaciones diferenciales más simples:

d O d r^ d20 _

2T tJ t+ r ^ - °

411 de

f^ Y r{ dt )

* r2 '

C oncentrem os la atención en la primera de las dos ecuaciones. M ulti­ pliquem os prim ero por rf con lo que se obtiene dddr , 2 d20 _ 2 r-rr^ - + r —r r —o, dt dt dt2 y luego notem os que esto puede escribirse com o

d t { r dt Puedes verificar esta última afirm ación sim plem ente derivándola.) Por supuesto, esta ecuación es integrable por inspección, lo que nos co n ­ duce a X 2 de _ r dt c" donde ct es una constante arbitraria de integración. Este resultado es la segunda ley de Kepler y establece que la línea que une M con m barre áreas iguales en intervalos iguales de tiem po. Puedes ver que esto es así porque si la masa m recorre un ángulo d9 en un diferencial de tiem po dt, entonces la longitud recorrida por m es rdQ. El valor de r es prácti­ cam ente constante sobre el diferencial de tiem po dt y por lo tanto el diferencial de área dA barrida por la línea de longitud r desde M a m tiene la forma de un triángulo estrecho:

dA = h(rde)=-i^dO. 2

D ividiendo todo por dt nos da dA _ 1 2 dO _ 1 / ——r

„ _ \ una constante).

Por lo tanto, en intervalos de tiem pos iguales serán barridas áreas igua­ les. Si asumimos que la masa m recorre su órbita en sentido contrario al de las manecillas del reloj, entonces dO/dt > o y así cx > o. D e ahora en adelante vamos a asumir que ésa es la situación. Ahora, com binando esta última ecuación con la ecuación previa para la aceleración de una masa m, tenem os que

que puede integrarse una vez — de nuevo, por mera inspección— y nos da

donde C es una nueva constante arbitraria de integración. C o m o pronto podrás apreciar, será de gran ayuda escribir C co m o ic2et0o, don­ de c2 y 0Oson ambas constantes reales no negativas, es decir, d z _ . k iO , · *0 ~ r = i — e +tc0e °. dt cx 2 Si igualas esta expresión para d z / d t con la que escribí al principio de este análisis m atemático, entonces tenem os dr n

. d0^\ ¡o _ . k i$ n j" V

.

¡O ■

o, dividiendo tod o por el&, que nunca es igual a cero, dr . d6 _ .k \_ . -i{0-6 ) i r + iri — i — + ic^e °. dt dt cx 2 C o m o antes, observa que son en realidad dos ecuaciones diferencia­ les, es decir, si igualamos las partes real e imaginaria de cada lado, ob ­ tenem os J t = c 2s e n ( 0 - 0 o)

r T t = ^ c° s ( o - e 0 ). A partir del enunciado m atem ático de la ley de las áreas de Kepler que obtuvim os más arriba, tenem os d 6 /d t = o j ? y, por lo tanto, la se­ gunda de las dos últimas ecuaciones se transforma en J = ^ + C2 COS(0 - d o ),

y, por lo tanto, tenem os la ecuación orbital en form a polar para la masa m: cf/k i + Cj^ c o s ( 0 - 9o ) Esta ecuación representa una órbita cerrada, es decir, una órbita elíptica periódica con la masa M en el origen, el cual también es un foco. Esto es, tenem os la primera ley de Kepler si se satisfacen ciertas condiciones. Para averiguar cuáles son esas condiciones, déjame m os­

trarte el significado físico de 0O\ cuando 0 = 6Ot el cosen o está en su valor máximo y por lo tanto r está en su valor mínimo (suponiendo que CiC2/fe> o, lo cual significa que c2Zo), es decir, m está en el punto de mayor cercanía a M. Esta distancia, llamada perigeo si M es la Tierra y perihelio si M es el Sol, es c2 / k

rp=^ T 1+1r Cuando 0 = 0O+ 7r el coseno está en su mínimo valor y por lo tanto r está en su máximo valor, es decir, m está en el punto de máximo aleja­ m iento de M, distancia que llamamos apogeo si M es la Tierra y afelio si M es el Sol, y está dada por c2 / k

1_it Siempre podem os orientar nuestro sistema d e coordenadas para que el m áxim o acercam iento ocurra cuando la órbita cruza el eje real, es de­ cir, p odem os asumir sin pérdida de generalidad que 0o —o , y es lo que haremos ahora. Fíjate en que, para tener una órbita cerrada que se repita, r debe ser siempre finita y por lo tanto cxc2/ k < 1, pues de lo contrario r sería, para valores arbitrarios de 0, arbitrariamente grande o negativa. El valor cíc2/ k = E es llamado la excentricidad de la órbita elíptica, y obviam en­ te si E = o la elipse degenera en un círculo. Más precisamente, la órbita es una cónica con una excentricidad E: es una elipse si o < E < i , una parábola si E = 1 y una rama de la hipérbola si E > 1. Sabemos que cx > o, por lo cual debem os tener c2 = o si la excentricidad ha de ser cero. Para ver cóm o llegué a estos distintos casos, basta mirar las ecua­ ciones en las cuales aparecen por primera vez cu c2 y k, y hacer los ba­ lances de dim ensiones de cada lado de la igualdad. Esta idea, funda­ mental en el análisis dimensional, es una poderosa herramienta para científicos e ingenieros. P odem os com binar todas estas ideas y resumir lo que tenem os escribiendo

r = 1+ E co s0 ’ r° = t ’ ^ - ° Y °

=

Ahora podem os deducir la tercera ley de Kepler. Para m antener las cosas simples, supongam os que E —o y por lo tanto tenem os una órbi­ ta circular. Entonces, r = r 0 y d0_ _ £i_ _ £ l dt r2 r2 ' Si T es el periodo de la órbita de m, es decir, el tiem po requerido por 0 para variar desde o hasta 2ir, entonces

T = t Td t = ( ™ rl de = 2 n rl ' Jo

Jo

Cx

Ct

o sea

T 2 — 4,s7nT-2,'O _ . 2 'T4O _ 4An7r 2

l>— s,L>2 47T

yfeo*con ^·

Así, para una órbita circular, el cuadrado del periodo orbital es pro­ porcional al cubo del radio de la órbita. La constante de proporciona­ lidad k en la ecuación para T 2 depende sólo de la masa M (recuerda las definiciones de g y R) y por lo tanto cualquier masa m en una órbita circular con radio r0 tendrá el m ism o periodo orbital; por ejemplo, cuando un astronauta hace una caminata espacial mientras órbita la Tierra, se m ueve al unísono con la nave aun cuando su masa sea m u­ cho m enor que la de ésta. Este resultado es verdadero aun si E * o , pero la derivación más general requiere que evaluem os una integral más complicada: f2TT ^

dd

[ í+ E c o s # ]2 ’

En el capítulo 7 voy a mostrarte cóm o evaluar esta integral utilizando la teoría de Cauchy de las integrales de contorno en el plano com plejo. Sin embargo, si no puedes esperar hasta entonces para verificar la ter­ cera ley de Kepler para E * o, entonces aquí está el valor de la integral para que juegues con él:

27T ( i - E 2 )3/2*

C u á n d o y po r q u é los o t r o s planetas

A VECES PARECEN MOVERSE HACIA ATRAS

5. La presentación en esta sección está inspirada en Saari, “A Visit to the N ew tonian N Body Problem via Elementary Com plex Variables”.

C uando los otros planetas (los antiguos astrónomos griegos sólo co n o ­ cían cinco: M ercurio,Venus, Marte, Júpiter y Saturno) son observados desde la Tierra, periódica y tem poralm ente parecen cambiar de direc­ ción en su m ovim ien to a lo largo del cielo nocturno. Los antiguos as­ trónom os podían “explicar” este m isterioso m ovim ien to retrógrado con las esferas de cristal de P tolom eo, pero en realidad tales m ovim ien ­ tos son sim plem ente “ilusiones ópticas” causadas al mirar un objeto en m ovim ien to (un planeta) desde otro objeto en m ovim ien to (laTierra). Kepler sabía esto y fue el prim ero en explicar la ilusión utilizando diagramas para ilustrar su razonam iento cualitativo. Sin embargo, las exponenciales complejas también simplifican las matemáticas de lo que está ocurriendo. A quí está có m o .5 Por definición, la Tierra tiene un periodo orbital de un año. Tam­ bién por definición, la distancia prom edio desde la Tierra hasta el Sol,

de 149.6 m illones de km , es una unidad astronómica ( u a ). Luego, con el Sol com o centro de nuestro siste­ ma de coordenadas, y haciendo una buena aproxim ación de una órbita circular, podem os escribir el vector de posición de la Tierra com o _

_

J27TÍ

ZST— €

Fíjate en que esta expresión invo­ lucra también la suposición que hem os hech o de tomar nuestro sis­ tema de coordenadas de m od o tal que el tiem po t = o define un ins­ tante en el que la órbita de la Tierra cruza el eje real positivo, com o se muestra en la figura 32. F ig u r a 32. Origen de un sistema de coordenadas Ahora, agreguem os un segundo estacionario (el Sol) y origen de uno en rotación (laTierra). planeta a nuestro problema, uno que esté a distancia a del Sol y que ten ­ ga periodo orbital 1 / a (a y 1 / a dadas en u a y años terrestres, respec­ tivamente). C uando a > 1, este segundo planeta tiene un periodo orbi­ tal m enor a un año, y por lo tanto debe ser uno de los planetas interiores (Venus o M ercurio); en este caso, obviam ente a < 1. Para los planetas exteriores, la situación es la igualm ente obvia a < i y a > 1. Estas afirmaciones se deducen todas m atem áticam ente de la tercera ley de Kepler, que dice i/a o a3a 2 = 1. D ate cuenta de que la figura 32 hace la suposición im plíci­ ta de que las órbitas de la Tierra y los otros planetas están en el m ism o plano. Esto no es estrictam ente cierto, pero casi lo es.Todos los planetas en el sistema solar tienen, de hecho, sus planos orbitales levem ente in­ clinados con respecto al terrestre. Salvo Plutón — al cual m uchos astró­ nom os no consideran un verdadero planeta, sino un antiguo satélite de N eptuno^— , las distintas inclinaciones orbitales no exced en en 7 °d e la de M ercurio. Ahora bien, de hecho habrá infinitos instantes del tiem po en los cua­ les una línea que una al Sol con la Tierra pasará también por un segun­ do planeta. Podem os tomar uno de estos instantes com o el tiem po t = o, es decir, siempre podem os elegir nuestro sistema de coordenadas tal que al tiem po t —o tanto la Tierra com o el segundo planeta crucen el eje real positivo. Así, el vector de posición del segundo planeta es zsp-ae

,

* En agosto de 2006, la U nión Astronómica Internacional acordó una definición de planeta que excluía a Plútón, al que ahora se considera un “planeta enano”. [N. del e.]

con el Sol com o origen del sistema de coordenadas.Tomando un valor de a negativo, podríamos modelar un planeta que orbitara en to m o al Sol en sentido opuesto al de la Tierra. Sin embargo, todos los planetas orbitan en el m ism o sentido, y por lo tanto en general es cierto que a > o. D esde la Tierra (la teoría geocéntrica), el vector de posición del otro planeta es —

ztp

—

—z s p -

-

_

12} + í 2 tt ¿ tp dt i+ íj 2 - 2 dcos[27r ( i - a ) í ] Si desarrollamos el lado derecho y nos quedam os sólo con la parte imaginaria, tenem os que dQ _ dt

i + ota2 - adcos[ 27r(i - a ) t] - dcos[27r(i - a )t] i + a2 - 2 ¿jcos[27r ( i - a ) f ]

Podem os hacer que esto se vea un p oco más “lim p io ” recordando el enunciado original de la tercera ley de Kepler, que nos dice que a(aa)2 = i, o que

Sustituyendo esto, llegam os a dO _ dt

1+ Va - (¿j +1 / \la)cos[27r (i- a )t] 1+ a2 - 2 íJCOs[27T ( l- a ) í]

Observa que el denom inador es siempre positivo para todo a * 1 (¿puedes demostrarlo?) y por lo tanto d 0 /d t cambia de signo si y sólo si el numerador cambia de signo. Esto ocurre en los instantes en que el numerador es igual a cero, esto es, dO/dt cambia de signo en las solu­ ciones de

1+ \fa — a + -j= j cos[27r(i - a ) t] = o, en otras palabras, en las soluciones de cos[ 27r(i - a ) t] = -a + ^ _ m i + a\la Para todo a > o, el lado | derecho es m enor o igual que uno (¿puedes demostrarlo?) y por lo tanto siempre existen soluciones para esta ecua­ ción, lo cual significa que todos los planetas presentarán m ovim ientos retrógrados cuando se los observa desde la Tierra. Esta última ecuación nos perm ite calcular cuándo ocurrirá esto y también durante cuánto tiem po. Por ejem plo, considerem os el caso de Marte. Marte tiene un perio­ do orbital de 687 días terrestres y una distancia prom edio al Sol de unos 228 m illones de km, y por lo tanto los valores de a y de a para este planeta son 0.53 y 1.52 respectivamente. La ecuación anterior se transforma entonces en cos[ 27r(o.47 )í] = 0 .9 5 8 , donde t —o significa, com o recordarás, que Marte y la Tierra están en una misma recta trazada desde el Sol. Esto es, cuando t = o la Tierra está entre el Sol y Marte, una situación llamada oposición porque el Sol y Marte están en lugares opuestos de la Tierra. La primera solución de la ecuación es t = 0.0985 años terrestres, o sea 36 días, lo cual dice que desde t = o días hasta t = 36 días parecerá que Marte se m ueve en una dirección, y tras esos 36 días lo hará en la dirección contraria. Marte continuará m oviéndose en esta nueva dirección hasta la próxima solu­ ción, cuando t = 2.0295 años terrestres, o sea 741 días, y entonces Mar­ te volverá a cambiar su dirección. N o es difícil confirm ar que durante el p eriodo de tiem po más corto se tiene dO/dt < o, es decir, es un pe­ riodo de m ovim iento retrógrado. Por la simetría de la función coseno, es claro que Marte debería haber estado en m ovim ien to retrógrado tam bién durante 36 días antes de t = o. Y así sucesivamente, es decir, a tiem pos separados por un p o co más de dos años, M arte exhibirá un m ovim iento retrógrado con una duración de 72 días, de acuerdo con los cálculos previos.

6. Kaufmann, Universe, p. 56.

¿Q ué tan bien coinciden los cálculos anteriores con el m ovim iento observado de Marte? En un texto universitario de astronomía que co n ­ sulté,6 tras preguntarme a m í m ism o sobre este tema, encontré una ilustración que muestra la órbita de Marte en el verano y el o to ñ o de 1988. Durante este periodo Marte presentaba un m ovim iento retró­ grado entre el 26 de agosto y el 30 de octubre, un total de 66 días comparados con los 72 calculados aquí. ¿C óm o podem os mejorar la precisión? La siguiente com plicación “obvia” que podem os introducir en el análisis es utilizar las órbitas elípticas reales, no meras aproxima­ ciones circulares, tanto para Marte com o para la Tierra. C o n un m o d e­ lo tan sofisticado com o ése, obtendrem os intervalos entre los episodios de m ovim iento retrógrado que no son constantes, y la duración del m ovim iento retrógrado m ism o tam poco será de igual duración. D e hecho, se ha observado que en efecto ocurren ambos com portam ien­ tos com plicados. Ahora echa una ojeada a las dos últimas secciones; creo que estarás asombrado, com o yo lo estoy continuam ente, de todo lo que puede obtenerse fácilm ente al utilizar las exponenciales complejas.

N ú m e r o s c o m p l e j o s e n i n g e n i e r í a e l é c t r ic a N o t a : en este ejem plo, y sólo en este ejemplo, no voy a utilizar i = \í—i . En su lugar, dado que voy a utilizar el sím bolo i (con distintos subín­ dices) para denotar varias corrientes eléctricas, voy a escribir j = V ^ i . Esto se corresponde con la práctica habitual en ingeniería eléctrica.

Ahora quiero presentarte un problema que fue un gran rompecabezas hasta casi el final del siglo x ix . Este interesó a un intelecto tan elevado com o el de lord R ayleigh, el ganador del prem io N o b e l de física de 1904. R ayleigh, cuyo nom bre era John W illiam Strutt (1842-1919), fue uno de los grandes hombres de la ciencia inglesa desde 1870 hasta su m uerte m edio siglo después, y su genio se expresó prácticamente en todos los cam pos de la física de su época.Y aun así, en los primeros días del estudio de la corriente eléctrica alterna — la bien conocida ca— cayó en una situación que, en sus propias palabras, era “peculiar”. Sin embargo, con exponenciales complejas el rompecabezas de R ayleigh no es difícil de resolver — y ésa fue exactam ente la forma en que el propio R ayleigh logró explicar el asunto. H e aquí un peq ueño resumen de lo que necesitas saber sobre elec­ tricidad. La visión popular de la electricidad de hace doscientos años, y no p oco com ún hoy en día, era la de un fluido de cierta naturaleza misteriosa, que se desplazaba a lo largo de una “tubería” de alambre. Oliver Lodge (1851-1940), uno de los contem poráneos ingleses de R ay­ leigh, burlonam ente la llamaba la “teoría del tubo de desagüe” , pero, de hecho, para la corriente eléctrica continua — la bien conocida c c — en

circuitos exclusivam ente resistivos (pronto voy a definir qué son) la teoría de un fluido es suficiente para com prenderlos. Para la corriente alterna, sin embargo, no lo es — y éste era el punto que señalaba Lodge. Para ciertos tipos de materiales, com o los metales y el carbono, se descubrió experim entalm ente que la velocidad a la cual las cargas eléc­ tricas se trasladan es directamente proporcional a la tensión aplicada. E^realidad, la velocidad es la corriente, com o pronto voy a explicar. Esta afirmación es llamada la ley de O h m , en honor del físico alemán G eorg O h m (1789-1854), quien la publicó por primera vez en 1827. O h m era un profesor de escuela secundaria que esperaba utilizar su descubrim iento para obtener un nom bram iento universitario, cosa que finalm ente ocurrió, pero n o antes de un gran debate sobre los m é­ ritos de su trabajo. Hoy, por supuesto, todo niño de nueve años que experim enta con la electricidad co n oce la ley de O h m y piensa que es obvia. Pues bien, no siempre fue así. En realidad ni siquiera es una ley, com o lo es la de la conservación de energía, por ejem plo, porque sólo se aplica a un núm ero lim itado de materiales. En este punto puedes estar pensando que todo esto es interesante pero todavía podría tener un p o co más de sentido con ocer exactam en­ te qué son carga y tensión (o voltaje). La carga es la más sencilla de las dos. Así com o la masa es la propiedad de la materia que consideramos com o la base de los efectos gravitacionales (tales co m o la caída de una manzana del árbol), la carga eléctrica es la propiedad de la materia que consideramos com o la base de los efectos eléctricos (tales co m o los rayos). La carga eléctrica es discreta: aparece siempre co m o un m últiplo entero de una tenue carga cuántica que es la carga del electrón; la car­ ga en un electrón es 1.6 x io -19 culom bios, llamados así en honor del físico francés C harles-Augustin de C oulom b (1736-1806), descubridor de la ley que lleva su nom bre (1785), la cual describe las fuerzas no gra­ vitacionales entre dos piezas de materia cargadas eléctricam ente. La ley de C oulom b es análoga a la ley de gravitación de N ew to n , según la cual la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. U n o sim plem ente sustituye q y Q en lugar de m y M, y uti­ liza una constante diferente en lugar de la constante de gravitación G. C om o con la ley de N ew to n , la fuerza actúa sobre la línea que une las dos cargas, pero la gran diferencia es que mientras las dos masas son siempre positivas (y la ley de gravedad es siempre atractiva), las cargas eléctricas pueden ser negativas o positivas, y por lo tanto la fuerza eléc­ trica puede ser atractiva (cuando q Q < o) o repulsiva (cuando q Q > o ) . Otra im plicación de que la carga eléctrica tenga uno de los dos signos es que incluso la materia eléctricam ente neutra está “rellena” de elec­ tricidad — en cantidades iguales de electricidad positiva y negativa, que cancelan m utuam ente sus efectos. El m ovim iento de cargas crea una corriente. Si hay cargas m ovién d o­ se en un conductor — en los metales, los electrones llevan la carga y están presentes en cantidades verdaderamente enorm es— , entonces se

dice que fluye una corriente de un am perio a través de una sección del conductor si una carga de un culom bio pasa a través de cada sección en un segundo. La unidad de corriente eléctrica es llamada así en h o ­ nor del físico m atem ático André-M arie Am père (1775-1836), quien es­ tudió los cam pos m agnéticos generados por corrientes eléctricas, los cuales desem peñan un im portante papel en este ejem plo, co m o m uy pronto verás. U n am perio no es una corriente grande, pero tam poco una pequeña. Las corrientes eléctricas en aparatos com unes co m o ra­ dios y computadoras personales en general son m enores a un amperio, mientras que la corriente que entrega la batería de un autom óvil al arrancar el m otor durante los p ocos segundos de la ign ición puede exceder los varios cientos de amperios. Ahora atendamos un asunto central. ¿Q ué hace que una carga se mueva? La respuesta es: un cam po eléctrico, con cepto en el que no voy a profundizar excep to para decir que estos cam pos son producidos en­ tre los terminales de una batería o un generador eléctrico. El voltaje o diferencia de potencial entre las terminales es lo que crea un cam po eléc­ trico en un conductor, y es el cam po el que hace que los electrones que portan cargas en el conductor se m uevan (voy a volver a este pun­ to en un par de párrafos), y las cargas en m ovim iento son la corriente. Si la corriente puede compararse con agua m oviéndose por una tube­ ría, entonces el voltaje corresponde a la presión. U na batería de linter­ na com ún produce una diferencia de potencial de 1.5 voltios, mientras que los generadores pueden producir un voltaje en un rango m uy am­ plio, desde unos pocos voltios hasta varios miles. Por ejem plo, cuando la presa H oover, en el río C olorado del estado de Nevada, cerca de Las Vegas, entró en funcionam iento en 1936, proveía energía eléctrica a Los A ngeles con un voltaje de 275 m il voltios. La unidad de voltaje es llamada así por el físico italiano Alessandro Volta (1745-1827), quien construyó la primera batería en 1800. El circuito eléctrico más simple contiene sólo resistencias, un com p o­ nente eléctrico h ech o por lo general de carbono, en forma de pequeño cilindro con un terminal de alambre en cada extrem o, que puede ser conectado a los otros com ponentes. Está definido m atemáticamente com o cualquier dispositivo que obedezca la relación v = iR f es decir, la ley de O h m , donde v es la diferencia instantánea de voltaje entre los dos terminales, i es la corriente instantánea en la resistencia y R es el valor de la resistencia. R se m ide en ohm ios si v e i se m iden en voltios y amperios, respectivamente. Hay otros dos com ponentes con dos terminales que suelen aparecer en los circuitos eléctricos: el capacitor y el inductor. Estos obedecen las relaciones mostradas en la figura 33, donde C y L denotan los valores de estos com ponentes en faradios y henrios, respectivamente; estas unidades se llaman así en honor del fisicoquím ico inglés M ichael Fa­ raday (1791-1867) y del físico estadounidense Joseph H enry (17971878). La figura nos muestra también los sím bolos utilizados por los

ingenieros cuando dibujan diagramas eléctricos. Los detalles sobre cóm o se construyen físicamente estos distintos com ponentes no son importantes en este ejem plo, pues estamos interesados sólo en sus de­ finiciones matemáticas. Las relaciones entre corriente y tensión para los distintos com ponentes nos dan una interpretación física de qué quiere decir que un capacitor tenga un valor de 20 microfaradios (20 x 1o-6 F), o que un inductor tenga un valor de 500 m ilihenrios (500 x 1o-3 H ). El prim er caso representa un dispositivo eléctrico con la propiedad de conducir 20 am perios de corriente en cada instante si, en ese instante, el salto de tensión entre las terminales del dispositivo está cambiando a una tasa de un m illón de voltios por segundo, y ve­ locidades de cam bio tan altas n o son del todo infrecuentes en ciertos circuitos eléctricos durante intervalos de tiem po m uy breves. El segun­ do caso representa un aparato eléctrico que tiene la propiedad de pro­ ducir una diferencia de potencial de un voltio entre sus terminales si la corriente que lo atraviesa está cam biando a una velocidad de dos am­ perios por segundo. Es im portante notar en la figura 33 que la corriente i fluye en la dirección de la caída del voltaje, es decir, en la dirección que va del ter­ minal + al terminal —. Los símbolos + y —pueden resultar confusos, ya que en realidad no significan más y menos. En realidad, el terminal + tiene sim plem ente un voltaje mayor que el del terminal —.A m bos terminales pueden ser positivos cuando se los compara con alguna referencia, usualmente llamada tierra, que puede ser la superficie terrestre; por ejemplo, si tenem os terminales con + 7 voltios y +3 voltios, marcare­ mos el prim ero com o terminal + y el segundo com o terminal - . La diferencia del voltaje es de - 4 voltios cuando nos m ovem os del + al (o un aum ento de + 4 voltios cuando nos m ovem os del - al + ). U n últim o com entario sobre los campos eléctricos y el m ovim ien ­ to de cargas. Los campos eléctricos y m agnéticos son campos vectoria­ les, ya que en cada punto del espacio tienen tanto una m agnitud com o una dirección. Los campos eléctricos apuntan en la dirección de la caí­ da de tensión, es decir, del terminal -I- al terminal - . U na masa m que lleva una carga positiva, cuando se la coloca en un cam po eléctrico, experimentará una fuerza en la di­ rección del cam po y así, de acuerdo con la fórm ula de N ew ton: F = ma, __ — ------- 11---— — se moverá en esa dirección. Esto es + ------------► + ------------ ► + ------------► i i i consistente con la ley de que “car­ V V V gas iguales se repelen”; una carga positiva en el terminal + se moverá v = iR i = C(dv / dt) v = L(di / dt ) hacia el terminal —porque está sien­ do repelida. Así, en los circuitos a b e eléctricos los electrones con sus cargas negativas se moverán en rea­ F ig u r a 33. Los tres componentes eléctricos habituales lidad en la dirección opuesta, del utilizados en circuitos.

X 'K = ° k

l'a

t'i

F ig u r a 34. Las dos leyes de circuitos de KirchhofF.

terminal - al terminal + . Esto es, las direcciones de las corrientes mostradas en la figura 33 son opuestas a la dirección de los m ovim ientos de transporte de las cargas físicas reales. Sin duda estarás pensando que esto fue obra de un lo co — y m uchos estudiantes prim erizos de ingeniería eléctrica estarían de acuer­ do con esa evaluación— , pero si piensas con cuidado en qué está sucediendo entonces todo funciona bien. Hay exactam ente dos cosas más que necesito de­ cirte sobre la electricidad y luego estarás listo para el rompecabezas de R ayleigh. En cualquier análisis de un circuito eléctrico, los físicos y los ingenieros uti­ lizan dos leyes debidas al físico alemán Gustav Kirch­ hofF (1824-1887). Sus dos leyes son en realidad las leyes fundamentales de conservación de la energía y de la carga eléctrica — la carga y la energía no pue­ den ser creadas ni destruidas— cuando se las aplica al caso especial de un circuito eléctrico. Estas leyes, ilustradas en la figura 34, son simples de enunciar: a] Ley de los voltajes: en cualquier circuito y en todo m om ento, la suma de todas las caídas de voltaje a lo largo de los com ponentes que forman un ciclo cerrado es cero. b] Ley de las corrientes: en cualquier circuito y en todo m om ento, la suma de todas las corrientes que pasan por un punto cualquiera es cero. En forma alternativa, la suma de todas las corrientes entrantes en cualquier punto es igual a la suma de las corrientes salientes del m ism o punto.

1.25 ohmios

1.75 ohmios

Las leyes de K irchhoff son m uy útiles y poderosas, y serán invaluables para resolver el problema de R ayleigh. En circuitos que sólo involu­ cran resistencias y baterías, las leyes coinciden con la intuición de la mayoría de la gente. Pero la intuición y las leyes no coinciden para cir­ cuitos de corriente alterna que presentan capacitores o inductores, y en esos casos las leyes son correctas ¡y la intuición tuvo mala suerte! Por ejemplo, considerem os el circuito mostrado en la figura 35. El vol­ taje de la batería de 1.5 voltios está presente en los dos lados de la bi­ furcación en el lado derecho del circuito. U tilizando la ley de Kirch­ h o ff para las corrientes, tenem os / = / t + /2. D e la ley de O h m para las cuatro resistencias, tenem os Vab = diferencia de voltaje de a z 6 = 0.25/1, Km = 1 .2 5 /1# 1 4 = 1.25/2 y ^ = 1 .7 5 / 2 . Y finalmente, por la ley de los voltajes de Kirchhoff, tenem os

1.5=

Vib+ Vbd=1.5J1 y

1.5 = 1 4 + V e d - 3^2· Por lo tanto, /1 = 1 e / 2 = 0.5 am perios, y por lo tanto la corriente es / = 1 . 5 am perios. Te puede parecer tonto que diga esto, pero fíjate en que tanto U com o / 2 son ambas m enores que /. B ueno, por supuesto podrías decir que eso debe ser así porque / se obtiene sumando / t e / 2. M anten esta opinión. Por fin, ya estás listo para el problema de R ayleigh. Involucra una extensión del circuito simple de la figura 35, con la que obtenem os el que se muestra en la figura 36, donde incluí los tres tipos de com p o ­ nentes eléctricos y reem placé la batería por un generador de corriente c a que opera con una pulsación de u) (cu tiene unidades de radianes/ segundo). Esto significa que si v(t) es una tensión sinusoidal co n ampli­ tud m áxima de V voltios, entonces podem os escribir v(t) = F eos(ut). La tensión v(t) varía a lo largo de un periodo com pleto, o ejecuta un ciclo de oscilación, cuando u t varía de o a 27T. Así, un ciclo de oscilación requiere un intervalo de tiem po de 27x/u) segundos. Lo que equivale a decir que en un segundo habrá t/( 2 ix / u ) = u /2 ix ciclos, una cantidad que los ingenieros eléctricos llaman la frecuencia y la denotan por f es decir, u = 27xf La unidad de frecuencia fiie por m uchos años el obvio ciclos/segundo, pero ahora es el hertzio, llamado así en m em oria del físico alemán H einrich H ertz (1857-1894), quien descubrió experi­ m entalm ente la radiación electrom agnética p ocos años antes de su prematuro fallecim iento. La frecuencia de las líneas de tensión que dis­ tribuyen la energía eléctrica para su utilización en los hogares es de 60

F ig u r a

36. El rompecabezas de Rayleigh.

hertzios, mientras que las radios de amplitud modulada, o a m , utilizan frecuencias entre 535 000 y 1 635 000 hertzios. Los tres círculos marcados com o M, M t y M 2 en la figura 36 repre­ sentan galvanómetros, o sea m edidores de corriente, con agujas indica­ doras que apuntan al valor correspondiente en una escala dibujada en la carátula del dispositivo.Tales galvanómetros fueron inventados en 1882 por el biofísico francés Jacques-Arsène d’Arsonval (1851-1940), quien necesitaba un instrum ento para m edir las débiles corrientes eléctricas en tejidos musculares de animales y seres hum anos. Llamado galvanó­ metro de cuadro móvil, utiliza el cam po m agnético generado por una I corriente en un alambre. En teoría la idea es bastante simple, si bien es delicado ponerla en práctica. U na bobina de alambre se suspende con soportes de m uy baja fricción en el cam po m agnético de un imán per­ m anente. La corriente a ser m edida pasa por el alambre enrollado y su cam po m agnético interactúa con ese imán produciendo una fuerza. El sistema entero está diseñado de tal manera que la fuerza genera a su vez un torque que hace rotar la bobina, que a su vez m ueve una aguja. Si la corriente es constante, o varía suavemente, los m ovim ientos de b o ­ bina y aguja varían con la corriente, pero si la corriente varía demasia­ do rápido, entonces la inercia de la bobina suaviza la variación y el galvanómetro responde al valor prom edio de la corriente. Por supues­ to, tal situación es inútil para m edir corrientes c a , ya que su valor pro­ m edio es cero. Sin embargo, un ingenioso cam bio en el diseño del m edidor resuel­ ve el problema. El imán perm anente es reemplazado por un electroimán,

es decir, una segunda bobina en torno de una barra de hierro, lo que concentra e intensifica el cam po m agnético creado por la corriente a medir. La corriente también circula por la bobina en rotación. Ahora los dos campos m agnéticos pulsan sim ultáneam ente en respuesta a la corriente c a . El torque instantáneo es proporcional, igual que antes, al producto de los campos, es decir, al cuadrado de la corriente c a , y por lo tanto a frecuencias “altas” la desviación de la aguja m edidora es pro­ porcional al prom edio de la corriente al cuadrado — que nunca es nula si se trata de c a . Lo que voy a hacer ahora es calcular, com o hice para el circuito simple de la figura 35, con una batería y una resistencia, las corrientes i’i e i2 para la figura 36. Lo que vamos a encontrar, y lo que R ayleigh n otó en 1869, es que si bien siempre i = i1 + i2, co m o lo demanda la ley de KirchhoíF para las corrientes, es posible que las corrientes indivi­ duales ii e i2 ¡sean ambas mayores que 1! Esto es, las agujas de los galva­ nómetros Mi y M 2 pueden apuntar a números en sus escalas mayores al de la aguja del galvanómetro M. R ayleigh m ism o entendió qué es­ taba ocurriendo (de hecho, utilizó exponenciales complejas casi del m ism o m od o en que yo voy a hacerlo), pero pasó un largo tiem po an­ tes de que el ingeniero eléctrico prom edio se sintiera a gusto con un fen óm eno tan contrario a la intuición. El circuito de la figura 36 no es exactam ente el que analizó R ayleigh, ni tam poco m i uso de las ex p o ­ nenciales complejas es idéntico al suyo, pero las diferencias están sólo en algunos detalles menores. Podem os escribir las siguientes expresiones para la figura 36 utili­ zando las leyes de KirchhoíF y definiendo relaciones para las resisten­ cias, los capacitores y los inductores: 1= 1,+I2 , di v = i R + L-p, 2 dt

v = itR + vbd.

D erivando la última de estas ecuaciones y despejando de la tercera, tenem os dv dt

t·» di. dt

1 .

c

1

Esto, jun to con la segunda ecuación, nos da dos ecuaciones diferencia­ les, una por cada una de las corrientes i'i e i2. Si asumimos que v es si­ nusoidal, entonces las exponenciales complejas perm iten resolver di­ rectamente estas ecuaciones diferenciales. Supongam os que, para cada una de las dos diferentes v (digamos vx y vY), con ocem os las soluciones para ix (digamos ilx e /*iy). Entonces, por

sustitución directa en la ecuación diferencial para i'i, es evidente que la solución para el caso de v = vx + vy es ix = iiX + ity. U na igualdad sem e­ jante es verdadera para i2. Esta observación es central para lo que sigue. En particular, escribamos v(t) = 2 F co sM ) = Vejut + Ve-**, donde he incluido el factor 2 para evitar un factor de 1 /2 en todas las ecuaciones que siguen. C o m o e?Q representa un vector en el plano com plejo que form a un ángulo 0 con el eje real, entonces eJUJt es un vector que form a un ángulo u t que crece continuam ente con t, es de­ cir, con el tiem po, ya que lü> o. Esto es, ejut es un vector en rotación, uno que de h ech o gira en el sentido contrario al de las manecillas del reloj con una frecuencia positiva de u j/iir hertz. En form a similar, e~JUJt es un vector que rota en el sentido de las manecillas del reloj a la misma fre­ cuencia. Los ingenieros eléctricos a m enudo escriben esto co m o = eJUJt, donde u = —lü< o, es decir, e~JlJt representa un vector que rota en el sentido contrario al de las manecillas del reloj con una frecuencia negativa. Lo que voy a hacer ahora es calcular it e i2 sólo para el prim er tér­ m ino de v(t), es decir, para el térm ino VeJu;tt y llamaremos a los resulta­ dos 1* e 1*. R epetirem os el análisis para el segundo térm ino, es decir, para el térm ino Ve~jut, y llamaremos a los resultados i~ e i~. Luego, por la observación al principio del párrafo anterior, las soluciones para v(t) = 2 Vcos(ut) serán ‘‘, = ? + ‘7 e ■ _ _ «o dt3 dt3 R C dt2

5 du i _-I 1,*. (R C ) 2 dt (R C ) 3 ’

Para ver qué puede decirnos esta ecuación diferencial de tercer gra­ do, utilizaremos nuestro viejo truco de escribir prim ero u+= U*e)Lút y v+= V +eJUJt. Si sustituyes estas expresiones en la ecuación diferencial, encontrarás que

u+

____________ - V _______ / ■2 í un núm ero real, en una forma bastante atrevida al asignar un valor im aginario a y. Estoy pasando por alto la cuestión de

en la Louisiana State University y en el Agricultural and Mechanical College, se afirma que entre sus muchos descubrimientos están las identidades

( - ,) * » + (-!)■ eos (j> = -0 /7 T

se n 0 = Por supuesto, esto es absurdo, ya que las identidades son simplemente casos particulares de la identidad de Euler, es decir, basta escribir -1 = e,7r. N o tengo explicación de cóm o una afirmación tan ridicula pudo llegar a imprimirse en caracteres de imprenta; al principio pensé que tenía que ser una parodia, pero pronto descubrí que N icholson era una persona real. Si deseas leer este ensayo por ti mismo (en el cual pueden hallarse más afirmaciones absurdas), echa un ojo a American Mathematical Monthly 1 (junio de 1894): 183-187.

la convergencia. Y lo estoy haciendo porque el tem a se aborda con gran detalle en cualquier buen libro de análisis, donde se muestra que la serie converge para todo incluyendo valores com plejos, y yo sim­ plem ente no deseo convertir este libro en uno de texto. Pero quédate tranquilo de que todas las series que he escrito y tratado co m o conver­ gentes en este libro realmente convergen. Si agrupamos las partes imaginaria y real, obtenem os

Pero las expresiones entre paréntesis corresponden a los desarrollos en serie de potencias de cosx y sen*, respectivam ente (conocidas por los m atemáticos al m enos desde la época de N ew to n ), y por lo tanto hem os derivado la identidad de Euler de otra forma. La serie del seno, de paso, nos da una dem ostración de la afirm ación que te pedí que aceptaras en la segunda sección del capítulo 3. Así, tenem os que sen* x 2 1. -------= i - — x + — x H ----* 3! 5! y por lo tanto, con x = ( i / 2 n)0,

senx _ ^ lim —~ lim

x— >0

senV2 í i 0)] _ ^

n— >00

(

'

/ \ “ 1>

Q

com o afirmamos. El desarrollo de eY en serie de potencias fiie utilizado por B ernoulli y Euler para hacer cálculos que cortan el aliento. Por ejem plo, en 1697 Jean Bernoulli las utilizó para evaluar esta integral de aspecto misterioso: Vxxdx. Jo ¿C óm o lo hizo? Primero, utilizando el m ism o truco que yo utilicé en el recuadro 4 para calcular (1 + iYí+t\ escribió

=eln(^) =exlnx y luego igualó y = x\nx. El desarrollo en serie de potencias, entonces, le dio

O

Vxxd x = Jo í1

J

“ (x ln x f

r k=o

kl

d x = ¿ ^ [ í o ( * ln * ) -

i - 6 t a n 20 + tan40 ’

, m 5 ta n 0 -io ta n 30 + tan50 t” ( í í ) = . - . W O + j o n « # ' expresiones que pueden encontrarse en cualquier manual de fórmulas y tablas matemáticas. El cuidado con la constante de integración K , co m o ya enfaticé, tiene una im portancia central en el análisis. A un el propio B ernoulli cayó en esa trampa. Por ejem plo, en su correspondencia con Leibniz durante 1712 y 1713, afirm ó que co m o dx _ —dx _ d(—x) X ~ ( - x ) ~ (-x ) lo que al integrar debe dar lo g x = lo g (-x ). Por lo tanto, co m o lo g (i) = o, se sigue que también lo g ( -i) = o.Y co m o lo g ( - i) = lo g ( '/- 7)2 = 2 log('v/~l) entonces lo g (> /-i) = o. El error de Bernoulli aquí, por supuesto, co m o ya puedes sospe­ charlo, es que se está olvidando de la constante de integración. Leibniz sentía que B ernoulli estaba equivocado, pero por diferentes m otivos. El argumentaba que lo g ( - i) no podía ser o porque si lo fuera en to n ­ ces log(\/= i) debería ser la mitad de eso, lo cual es correcto, pero en ­ tonces no tendría ningún valor — él llam ó “im aginario” a log (V ^ i), lo cual es correcto en la term inología de/ hoy, aunque con esa palabra Leibniz quería decir que era “inexistente” .

R o g e r C o t e s y u n a o p o r t u n id a d p e r d id a

D e todos los contem poráneos ingleses de N ew to n , uno de los m enos con ocidos por los ingenieros y científicos m odernos es R o g er Cotes (1682-1716), cuya m uerte a causa de una violenta fiebre un mes antes de cum plir 34 años frenó una vida corta y verdaderamente promisoria. Recordarás que lo con ocim os antes, o al m enos u no de sus teoremas (en el capítulo 4). Profesor en Cam bridge a los 26 años, tam bién fue editor de la segunda edición de la obra maestra de N ew to n , los Princi­ pia, una obra que revolucionó la física. Se dice que, tras su m uerte, el propio N e w to n dijo de Cotes: “Si hubiera vivido más tiem po, podría­ m os haber llegado a saber algo.” En realidad, N ew to n estaba equivocado. Antes de m orir C otes ya había publicado, en 1714, un resultado que le decía al m undo algo de gran im portancia y que debió haberle dado fama inmortal — si tan sólo lo hubiera escrito con un p o co más de claridad— . Este hallazgo, descubierto también por otro de los amigos de N ew to n , Abraham D e M oivre, quien, parece, co n o ció el resultado algunos años antes, y luego por Euler, es nada m enos que la llamada identidad de Euler presentada al principio de este capítulo. Si C otes hubiera puesto un p o co más de atención a su prosa, sin embargo, ésta podría conocerse hoy co m o la identidad de C otes, y sería un santo de la devoción de todos los inge­ nieros eléctricos, físicos y m atemáticos. En cam bio, la mayoría de ellos ha oíd o de él sólo una o dos veces, y lu ego rápidamente ha olvidado por qué lo oyó nombrar. C o m o casi todos los m atem áticos de su época, C otes era geóm etra por naturaleza y sus d ed uccion es aparecían entre dibujos de rectas, círculos y otras curvas m ucho más complicadas, con la verborrea de las construcciones geom étricas. Sin embargo, voy a mostrarte aquí una presentación analítica m oderna de có m o reconstruí lo hech o por C o ­ tes. Imagínate, pues, una elipse dada por la fórm ula habitual,

donde a y b son las longitudes de los semiejes. Si tomas la parte de la elipse en el prim er cuadrante y la haces girar alrededor del eje y, gen e­ rarás la superficie que rodea la mitad superior de un elipsoide. Lo que hizo C otes fiie derivar una fórmula para el área de esta “superficie de revolución” . En realidad, propuso dos fórmulas para ello. A partir de un com ien zo bastante ordinario se obtiene un resultado singularm ente asombroso. La superficie del área generada es, refiriéndonos a la notación de la figura 38, _ A = j m x d s , con ds = yj(dx)2 + (d y )2 ,

F ig u r a

38. Elipse de Cotes.

donde ds es el diferencial de longitud de arco de la elipse que se hace rotar en torno al eje y. H aciendo x = acosO y y = frsenfl, tenem os dx — -asenOdO y dy = bcos9d9, y por lo tanto ds = \la2sen 9 + b2eos29 dd. Luego, 7

A = pJo

27TdCOSl> 9 y/a2sen2# +

fe2eos 20 d9 .

Ahora, sea u = sen# y por lo tanto du = eo s9d9 . Entonces, A = J ^ t i W i - k 2 \¡a2u2 + b 2 ( i - u ) 2 0

— V I-«2

= 27Taj1Q yJu2(a2 —b2) + b2du. Fíjate en que hasta este m om ento nada se ha dicho sobre las mag­ nitudes relativas de a y b. D ibujé la figura 38 con a > b, pero pude di­ bujarla igualm ente con a < b. D e hecho, aquí tenem os dos elecciones disponibles. Por lo tanto, si expresamos A en térm inos de integrales reales, esto es todo lo que debem os escribir: A = 27Ta\Ja2- b 2 j' ¡u2 + —— tt du si a > b,

A = 27iWfc2 - d 2 P j —u2 du si a < b . J°]¡ b —a U tilizando una tabla de integrales, puedes verificar que

J\lx 2 +

c2 dx

=

x ^x^

rC

-+

£— i

n + yjx 2 + c 2 ) ,

,C

X

-1[ X

1 ------ + T sen

7

U tilizando la primera de estas fórmulas para el caso en que a > b (con c2 = b2/(a 2- b 2)), y aplicando un p oco de álgebra, es sim ple rutina m os­ trar que A

- t i a íJ + - r = = = ^ l n

a + \la2 —b2

con a > b.

4 a2- b 2 Y utilizando la segunda fórmula de integración para el caso a < b (ahora c2 = f c V ^ - a 2)), arribamos a . b2 A = 7ra a + ,

sen

\lb2 —a:

Es im portante entender por qué reescribí estas dos expresiones para A : el único m otivo es tener sólo cantidades reales en cada ecuación. Pero éste es sim plem ente un m otivo arbitrario, ya que ambas expresiones son correctas para a > b y a < b. Si uno perm ite que haya imaginarios en algún punto de la evaluación de una de las ecuaciones para A , entonces habrá otro im aginario en alguna parte que “elim inará” el primero. A , una cantidad física, debe ser real. Ahora, yendo más adelante, definam os la cantidad (f> tal que sen (j> =

Jb2 - a 2 _ . J a 2 - b 2 - =

l-

En ambos casos, eo s(j) = a/b. C o n esto podem os escribir nuestras dos expresiones para A co m o b2 i ( a , \la2- b 2 A = 7ra a + , :ln 7 + -----r----\¡a2 —b2 Vb b b2 = 7xa a + , -----ln[cos 0 - ísen 0] J a 2- b -

, con a > by

rsen ^sen^]

A - ix a a+ i\la2- b : = 7xa a +

b2 4 7 ^-b2

, con a > b. /

Al comparar estar dos expresiones, que representan la misma cantidad física, de inm ediato es obvio que —/0 = ln(cos—isen), o

e l= cos(/)—isen(f), o, equivalentem ente, = coscf) + isen. Por lo tanto, C otes pudo haber descubierto la identidad de Euler. Pero C otes no dio este últim o paso y su —ú/> = ln(cos—isen) sim ­ plem ente apareció inmerso, en un lenguaje casi increíblem ente oscuro, en el único trabajo que publicó en toda su vida (“Logom etria”, que apareció en el núm ero de marzo de 1714 de las Philosophical Transactions de la R oyal S o ciety).4 Ese artículo es notable, tam bién, por los cálcu­ los de C otes de e y de i / e (cada uno con 12 decimales) utilizando de­ sarrollos en serie de potencias. R ecuerda que esto ocurrió en 1714, décadas antes de que en 1748 Euler calculara e con 23 decimales. C otes tenía un intelecto enorm em ente privilegiado, pero incluso así, y lu ego de leer a C otes, pienso que estarás de acuerdo con que calificarlo de “oscuro” es un gesto generoso. A un cuando “Logom etria” se reunió con otros trabajos de C otes y se publicó postum am ente co m o Harmonía mensurarum (1722), eviden ­ tem ente su brillante contenido pasó inadvertido, o al m enos eso le ocurrió al cálculo para el elipsoide. C o m o un com entario final sobre m ultiplicar una cantidad por V—1, lo cual ciertam ente debe haber in ­ trigado a algunos lectores en 1714, C otes interrum pió su d educción con las siguientes, extrañas palabras:“pero dejo esto para ser exam inado por otros que piensen que vale la pena” . Por casi dos siglos nadie lo pensó. En realidad, perm aneció en las sombras durante 185 años, hasta que en 1899 un m atem ático ruso llam ó la atención mundial en un li­ bro de historia de las funciones. Las razones para un olvido tan m on u ­ m ental no están com pletam ente claras, pero C otes era bien co n ocid o por dar soluciones a problemas sin dar a sus lectores casi ninguna e x ­ plicación sobre su origen. Los lectores de esa época sim plem ente no entendieron qué quería decir C otes. ¡Q ue ésta sea una lección sobre el valor de las exposiciones claras!

F u n c i o n e s m u l t iv a l u a d a s

En este punto debería decirte que, si bien ahora es claro que no fiie Euler el prim ero en ocuparse de i1, sí fue el prim ero en darse cuenta de que í era real y de que tenía una infinidad de valores: e ^ /z es sólo uno de esos posibles valores. Esto es así por el hech o geom étrico de que, com enzando co n cualquier ángulo, al sumar o restar cualquier m últiplo de 27r sim plem ente estamos dando un núm ero entero de vueltas com pletas alrededor del origen, por lo que uno termina justo donde com enzó.V im os esta misma clase de com portam iento más arri­ ba, en el recuadro 4. Por lo tanto, si n es un entero cualquiera (positivo, negativo o cero),

4. Para una traducción completa al inglés de “Logometria”, véase Ronald Gowing, Roger Cotes— Natural Philosopher, Cambridge University Press, 1983.

Es habitual llamar al caso n = o el valor principal de i1, pero claramente no es el único valor. Para n = —i, i y 2, por ejem plo, obtenem os 111.3178, 3.882 x 1o-4 y 7.2495 x 1o-7, respectivamente. A ún más asombroso, tal vez, es que i n — un núm ero real elevado a una potencia real— tiene una infinidad de valores complejos distintos, es decir, i 7r= cos( 27T2«) + ísen(27r2«), con n —o, ± 1, ± 2 ,... Sólo para n —o, o sea, sólo para el valor principal, 1^ es real. Este sor­ prendente resultado se debe a que 7r es irracional, un resultado (de 1761) obtenido por el m atem ático alemán Johann Lambert (17281777). Esto se debe a que 27T2« = 7r(27r«) y a que, para n * o, 2irn nunca es un entero — si lo fuera, entonces 7r sería racional— . D ado que zirn nunca puede ser un entero, excep to para n = o, sen( 27r2n) n o puede anularse nunca, es decir, siempre tendrá una parte imaginaria no nula (excepto para n —o, por supuesto). Además, utilizando el m ism o argum ento general, es fácil mostrar que no hay valores enteros distintos de n tales que resulten en partes reales o imaginarias de i w repetidas. D e nuevo, si las hubiera, 7r tendría que ser racional. Finalm ente, desde que Euler mostró (en 1737) que e es irracional, entonces i e también tiene una infinidad de valores com plejos distintos, co m o los tiene 1^", donde n es cualquier entero positivo que no sea un cuadrado mayor a uno (recuerda el resultado de irracionalidad d eT eeteto del capítulo 2). Es im portante entender que el carácter com plejo de i lrracional es un resultado teórico, un resultado que ninguna com putadora “de carne y h ueso”, fabricada con una cantidad finita de materia, puede mostrar. En cualquier máquina que pueda construirse físicam ente, utilizando una cantidad finita de dígitos para representar núm eros, todos los nú­ meros son necesariam ente racionales. D e la misma forma que con 1irracionalj ahora es sim ple verificar que el logaritm o tam bién es una función multivaluada. Así, escribamos el núm ero com plejo arbitrario a + ib en forma polar co m o

Tenem os, con n un entero arbitrario, a + ib = sia2 + b 2é [tan" (í,/‘,)+27r"1. Así,

Igual que antes, el caso n = o da el llamado valor principal de la función logaritm o. Así, por ejem plo, el valor principal de ln (i + i) = (i/2 )ln (2 ) + /71-/4 = 0.346573 + /0.785398.

L as FUNCIONES HIPERBÓLICAS C on el descubrim iento de Euler de las fórmulas exponenciales para las funciones trigonom étricas seno y coseno, se le puede dar sentido a los ángulos com plejos aun cuando no podam os realm ente visualizarlos, ya no se diga dibujarlos. Esto es, si sim plem ente nos zam bullim os entre los sím bolos, obtenem os i(x+iy)

,

-¡(x+iy)

cos(x + iy) —----------------------_ e*vy+ g - y 2

_ e~Y(eos* + isenx) + eY(eos* —isenx) 2 ey - e~y —tsenx 2 \ y = eos* coshy + isenx senhy, donde el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico están definidos, respecti­ vam ente, por coshy = -^(ey + e~y), senh y = ^ ( e Y- e ~ Y). D e la misma forma, puedes verificar con facilidad que se n (x + iy) = sen* coshy + í'cosxsenhy. Fíjate en que, si x = o 9 entonces eos (iy) = coshy y sen(iy) = isenhy, es decir, el coseno de un ángulo im aginario es real, mientras que el seno de un ángulo im aginario tam bién es imaginario. Finalm ente, en form a análoga a las identidades trigonom étricas ordinarias de tan# = se n # / eos#, podem os definir la tangente hiperbólica co m o . L/ . . x _ se n h (x + iy) tanhíx + iy) —--------------- —-r r . / cosh(x + iy) Las funciones hiperbólicas son tan útiles en ciencia e ingeniería que han sido tabuladas en manuales m atem áticos y están disponibles co m o teclas de funciones especiales en cualquier calculadora científica elec­ trónica de bolsillo que cueste más de 15 dólares. Fueron introducidas en el uso general por el m atem ático italiano V in cen zo R iccati (17071775)» en su obra en dos volúm enes Opusculorum ad res physicas et ma-

thematicas pertinentium [Opúsculos de fisica y matemáticas] (1757-1762). El térm ino hiperbólicas vien e del h ech o de que, si definim os las coordena­ das cartesianas de un punto co m o x = cosh í y y = senhí, donde t es una variable paramètrica (por lo general, -«>< í< °°), entonces elim inando t se llega a la ecuación x 2- y 2 = 1, la ecuación de una hipérbola. El “seno” y el “co sen o ” vienen ambos de la sugerente semejanza de la definición de las funciones hiperbólicas, a partir de la función exponencial, con la d efinición de las funciones circulares seno y cosen o de la trigon om e­ tría, y de la semejanza superficial de la ecuación del círculo x 2 + y2 = 1 con la de la hipérbola. U na de las ventajas de las funciones hiperbólicas es que nos perm i­ ten rem over las restricciones usuales de | sen# | £ 1 y | eos# | < 1, res­ tricciones que recordarás de cuando discutim os las soluciones trigono­ métricas de V iète para las ecuaciones cúbicas en el capítulo 1. Estas restricciones valen sólo cuando # es real; si se perm ite que # sea com ­ plejo (cualquier cosa que eso signifique), ¡entonces las cosas se ponen interesantes! C o m o ejem plo, calculem os el ángulo cuyo coseno vale 2, es decir, el valor com plejo de 9 tal que eos# = 2. Tras revisar la expre­ sión para e o s(x + /y), podem os igualar su parte real a 2 y la parte im a­ ginaria a cero, es decir sen xsen h y = 0, co sx co sh y = 2. Estas dos condiciones se satisfacen tom ando x = 27vn (donde n es cual­ quier entero) y coshy = 2, lo que a su vez nos lleva de inm ediato a la ecuación e2y—4ey+ 1 = 0 , que es cuadrática en ey. Por lo tanto, y = ln(2 ± V3). U n sentim iento natural a estas alturas es que tal vez sólo estem os haciendo malabarismos con los sím bolos, co m o si estuviéram os escri­ bien do ecuaciones sin preocuparnos de que tengan sentido o no. U na form a de demostrar la utilidad de las funciones hiperbólicas es calcu­ lar concretam ente algo que podam os verificar por otros m edios. Así, con ese objetivo, voy a mostrarte de qué estoy hablando haciendo prim ero un cálculo auxiliar: supongam os que te piden que calcules el valor de ,

n=1

v

y

Este problema particular tiene una larga historia, desde su primera aparición en la literatura académica en 1878. A principios del siglo x x , el g en io in dio Srinivasa Ram anujan (1887-1920) se interesó en calcu­ lar el valor de S. H em os visto algo similar a esto en el capítulo 2, en co n ex ió n con la espiral de triángulos de Teodoro. H o y podem os escri­

bir un sencillo programa de com putación para evaluar S en un segun­ do (la respuesta de la com putadora es 2.356) pero ¿existe una solución analítica? Pues sí, existe. D efinam os los dos ángulos a y /3 tales que ta n a = n + 1 y tan/3 = n—1. Luego, utilizando la identidad trigonom étrica para tan ( a —/3 ), tenem os

,

o.

tana—tan/3 _ (H+ i) - (» -i) _ 2 i + ta n a ta n ¡3

i + (n + i ) ( n - i )

n2 '

Así, a —/3 = tan_1(rc + i) —tan_1(n —1) = tan-1 y por lo tanto S = X [ta n -1 (« + i ) - t a n -1 (« —1)]. «=1 Escribiendo esto térm ino a térm ino, puedes verificar con facilidad que la N -ésim a suma parcial es SN = tan-1 ( N + i) + ta n _1iV - tan-1 ( i ) - t a n -1 (o). Por lo tanto, s =

l i m ^ N = ^ 7r + ^ 7r— ^ 7 r = ^ 7 r = 2 . 3 5 6 1 9 . . . ,

N—>oo lo que coincide con la respuesta de la com putadora. El h ech o de que seamos capaces de calcular S utilizando las funciones tangente y tan­ gente inversa, con lo que obtenem os un resultado num érico que coin ­ cide con el cálculo com putacional directo, sin duda aumenta nuestra “sensación de confort” respecto de estas funciones trigonom étricas particulares. ¿N o sería lindo que fuéramos capaces de hacer algo sim i­ lar con las hiperbólicas? Supongam os, entonces, que se hace un cam bio aparentem ente in ­ significante del problema. Ahora tienes que calcular f T = X ta n -'

1

\

D e nuevo, esto es cosa de niños para una com putadora, y sim plem ente cambiar el cód igo del programa de 2 /n 2 a 1 /n 2 nos lleva a la respuesta de T —1.4245. Pero ahora el truquito algebraico que utilicé para expre­ sar tan-1(2 /« 2) en térm inos de tan-1(tt + i) y tan_1( n - i ) no funciona. ¿Q ué podem os hacer? U sando co m o referencia un triángulo rectángulo con base 1 y altu­ ra 1 /n 2, podem os escribir tan-1 (1 /n 2) co m o el ángulo polar del n úm e­ ro com plejo 1 + i i / n 2. Entonces,

T- t “ - ( * K 4 +'?)· Si bien puede no ser instantáneamente obvio por qué será útil lo si­ guiente, sin duda es verdad que 1 + /i =

1+W ! ± ' W l L

co m o puedes verificar rápidamente. Ahora, com o el ángulo del pro­ ducto de núm eros com plejos es la suma de los ángulos individuales de cada núm ero com plejo que se multiplica, entonces

r- í 4 ”* H i H l* * s í Esta última expresión puede parecerte familiar: tiene la misma for­ ma que el producto de Euler para seny si escribim os y2 = - [ n ( i + i ) / \ [ i ] 2. Así, T _

seny _ Y

sen{»[7r(i+1) / V 2 ]} l[7T(l + l ) / V 2 ]

El num erador de la últim a expresión es el seno de un argum ento com plejo, y por lo tanto esperamos que aparezcan las funciones hiper­ bólicas. D e hecho, co m o se n (x + iy) = s e n x c o s h y + icosxsenhy, en­ tonces

sen T = Z

___7T_

■ 7T

_,“n(-x)coAfe)+*°ife)senhfe) 7T . . 7T

- T z + 'T t El ángulo del cociente de dos núm eros com plejos es, por supuesto, la diferencia entre los ángulos del num erador y el denom inador. El ángulo del denom inador es claramente (3/4)71·, ya que el denom inador es un núm ero com plejo del segundo cuadrante.Y una cuidadosa eva­ luación del num erador muestra que es un núm ero com plejo del tercer cuadrante. Esto es,

T = ¿ ( -3 .7 1 1 5 3 6 8 7 4 -1 2 .7 5 9 6 1 7 0 0 6 )- - ^ 4

_ . t - x ( 2.759617006^ 3 ^ = 7T+ tan ------ 2o— — t 7T ^3.711536874j 4

=^+

0 .6 3 9 3 4 3 6 1 5

= 1 .4 2 4 7 4 1 7 7 8 . Este valor de T es m uy cercano al valor de T calculado con la com p u ­ tadora, y lo obtuvim os con funciones hiperbólicas y con el seno de un ángulo com plejo. Finalm ente, podem os escribir las funciones hiperbólicas co m o un producto infinito sustituyendo iy por y; por ejem plo, a partir de lo que presentamos arriba, en la sección sobre el producto infinito de Euler para el seno, tenem os

sen iy = ¿senhy = iy

r1+ —y2 _2

^ 7t n

2

o sea

_ / senhy = y [ ]

^

y2 7v n

Para com probarlo en una calculadora programable, com paré senh(2) = 3.62686 co n el resultado de utilizar los primeros diez facto­ res, y lu ego los primeros m il del producto: los resultados fueron 3.48972 y 3.62537, respectivamente. La convergencia es indudable, pero es lenta.

C á l c u l o d e 7r a p a r t i r d e V ^ i

Increíblem ente, la “fórm ula m isteriosa” y bastante formal de 7T= (2/i ) ln (i), com o la llam ó B en jlm in Peirce, puede usarse para calcular el valor num érico de 7T. Esto puede parecerse a sacar algo de la nada, pero este h ech o asombroso fiie señalado m ucho tiem po atrás, en 1832, por el m atem ático y profesor alemán Karl H einrich Schellbach (18091890), quien escribió Y = ln( 0 = ln

j = ln (i + í) - ln (i - i)

y lu ego desarrolló los dos logaritm os en serie de potencias. Esto es, aunque i no era real, Schellbach sencillam ente sustituyó z = i en la fór­ mula de M ercator que vim os un p oco más arriba:

ln(i + ¿r)= Z —— Z 2 + \ z l -7 z 4 H ---- , 2 3 4 que nos da

En forma similar, 1 / \ ln(i —1)

, i t i. 2

1 1. , 1 . 3* —4 ~ 56

Por otro lado, 7TI _

7T_

.

1 ,1

2 ., 2.

1 ,1

1 ,

un resultado descubierto por Leibniz en 1674 con m étodos com pleta­ m ente diferentes, y que por lo general se co n o ce con su nombre, si bien en realidad se conocía desde antes: el m atem ático escocés James Gregory (1638-1675), por ejem plo, lo descubrió por su cuenta en 1671. Si bien la serie de L eibniz-G regory parece tener una herm osa ele­ gancia, es com pletam ente inútil para cálculos num éricos, ya que co n ­ verge m uy lentam ente. Los primeros 53 térm inos, por ejem plo, no son suficientes para dar siquiera dos dígitos decimales correctos. Cuando corras un programa que continuam ente muestre las sumas parciales en la pantalla del m onitor a m edida que se suman los térm inos de una serie convergente, por supuesto verás al principio có m o todos los dí­ gitos parpadean sin ton ni son. Pero gradualmente los dígitos se calma­ rán desde la izquierda hacia la ¿trecha, y dejarán de cambiar sin im por­ tar cuántos térm inos más de la serie se incluyan a continuación. C uando los dígitos se frenan, es estable. N o confundas el error en el va­ lor de una suma parcial con el núm ero de dígitos correctos, pues son dos cosas bastante diferentes. U n resultado en la teoría de series co n ­ vergentes, co m o la serie de Leibniz-Gregory, dice que una suma par­ cial es correcta con un error m enor que el prim er térm ino om itido. Esto es, si m antenem os los primeros cinco térm inos de la serie de Leib­ niz-Gregory, entonces la suma parcial es 0 .8 3 4 9 2 0 6 ... Pero fíjate en que ninguno de los dígitos de la suma parcial, ni siquiera el primero, es correcto. Entonces Schellbach procedió a mostrar có m o su m étodo daba otra serie para 7r que converge m ucho más rápido que la serie de LeibnizGregory. Por ejem plo, escribió

70 - 1 / *\ "2"- (') ( 2

+

l')(3 +

l)

= ln . ( 2 - 0 (3 - 0 .

= ln

HOH'j. I11Í1 +

y luego, com o antes, desarrolló los logaritmos. Esto da ( / \ 1 ---, 1 +, -1 — 1 +, — = - + - - - ---4 23 3V2 3 333) 5 v 2

\ 1 — ós5J

\ 1- H,—— 1 — 7 \ 27 3 y 1

/

que claramente converge más rápido que la serie de Leibniz-Gregory. En realidad, fíjate en que esta nueva serie es la de Leibniz-Gregory, pero con los térm inos m ultiplicados por factores m enores que uno, los cua­ les, a su vez, se aproximan velozm ente a cero. Si nos quedáramos con los primeros cinco térm inos de esta serie, la suma parcial es 0.7854353, con lo que ya habríamos establecido tres dígitos correctos. Si te q ue­ das con cuatro térm inos más (0.7853983), entonces tendrás seis dígitos correctos. Sin embargo, no hay por qué conform arse con esta serie. U n o pue­ de generar indefinidam ente expresiones más complicadas para la i en el ln(í) en la “m isteriosa” fórmula original. Schellbach sugirió, por ejem plo, las dos expresiones

7r = 4 ln

( 5 + O4 (-2 3 9 + O (5 - O 4 ( - 2 3 9 - 0

=4 ln

(1 o +< )8 (—515 + °'

7T . .

p—>o

—— si a < o .

Finalmente, asum iendo que podem os intercambiar las operaciones de lím ite e integración, llegam os a 7T

.

^

— si a > o r°o sen(ax) Jo- i -

_

o si a = o

- f SÍíJcf (z)dz = =

y)+ fo(x>y ) ] ( d x + idY) (udx —vdy) + i(vdx + udy)

= j>c (udx —vdy) + ij>c (vdx + udy). Las dos últimas integrales de contorno se anulan por separado si se cum plen las ecuaciones de c r , lo cual en efecto ocurre pues asumimos q u e /(z ) es analítica. Para demostrar esta afirm ación, voy a invocar un resultado famoso, el teorema de Green, que dice que si P(x, y) y Q (x, y) son dos funciones reales de x y y} entonces

$c (P¿* + Q < /y)= JjR

dy

dxdy.

Ahora, tal com o h ice para el prim er teorem a integral de Cauchy, voy a pedirte que creas este resultado por un instante. Te prom eto que lo voy a demostrar m uy pronto (en la siguiente sección). En su artículo de 1814, C auchy no em pleó el teorem a de Green por la sim ple razón de que Green aún no lo había publicado. Cauchy uti­ lizó un enfoque del todo equivalente, pero com o el teorem a de Green es m ucho más transparente, es lo que utilizaré aquí. D esd e luego, Cau­ chy tenía la misma op inión, porque en una presentación posterior (1846) adoptó el teorem a. C uando veas en la siguiente sección la de­ m ostración del teorem a de Green verás precisam ente los detalles de la integración sobre la región R (sobre el interior de C ), tal com o apare­ ce arriba en la integral doble de la derecha, pero para nuestros propó­ sitos aquí tales detalles no entran en juego. Esto es porque para nuestra primera integral de con torn o en el teorem a de Cauchy, o sea para j>c (u d x -v d y ), tenem os P = u y Q = —v y entonces por el teorem a de Green

j c (u d x -v d y ) = ¡ j R

Pero las ecuaciones de

cr

dx

dy

dxdy.

nos dicen que dv dx

du _ dy

por lo que §c (u d x -v d y ) = o. En form a similar, para la segunda integral de con torn o en el teore­ ma de Cauchy, o sea para j*c (vdx + udy), tenem os P = v y Q = u y, por lo tanto, por el teorem a de Green,

dxdy.

Pero de nuevo las ecuaciones de

cr

du

dv

dx

dy

nos dicen que

por lo que j>c (vdx + udy) = o, lo cual com pleta la dem ostración del prim er teorem a integral de Cauchy. C uando leas en la sección siguiente la dem ostración del teorem a de Green, verás que asumo no sólo que f ' ( z ) existe, sino tam bién que es continua. N o fiie sino hasta 1900, m uchos años después de la m uerte de Cauchy, que el m atem ático francés Édouard Goursat (1858-1936) mostró que el prim er teorem a integral de Cauchy es verdadero aunque f ' ( z ) no sea continua. D os años después, el italiano G iacinto Morera (1856-1909) dem ostró que el recíproco del teorem a de C auchy tam ­ bién es verdadero; esto es, si f ( z ) es una fun ción continua en una re­ g ió n sim plem ente conexa, y si para toda curva simple C en esa región se tiene § c f ( z ) d z = o, entonces f ( z ) es analítica en la región.

El

teorem a de

G

reen

El teorem a utilizado en la última sección para demostrar el prim er teorem a integral de Cauchy, j c { Pdx + Q J y ) = H R

dx

dy

dxdy,

donde el con torn o C es el borde de la región bidim ensional R en el plano com plejo, es llamado así por el m atem ático inglés autodidacta G eorge Green (1793-1841). Por lo general, ése es el nom bre bajo el cual aparece, si bien en algunos libros de texto se lo llama teorem a de Gauss o teorem a de Stokes. Todos estos autores se refieren a la afirma­ ción anterior; entonces, ¿por qué esa m ultiplicidad de nombres? D e hecho, teoremas sobre integrales de contornos, superficies y v o ­ lúm enes eran pura lumbre en la primera m itad del siglo x ix . C o m o escribió el historiador de las matemáticas Jesper Lützen: “cualquier m atem ático que trabajara en eso [la teoría de la electricidad o de la gravitación] tropezó con algún teorem a que relacionara integrales de

6. Lützen,Joseph Uouville 1809-1882: Master of Pure and Applied Mathematics, p. 586.

Véase también el capítulo de J.J. Cross sobre teoremas integrales en Harman, comp., Wranglers and Physicists: Studies on Cambridge Mathematical Physics in the Nineteenth Century.

7. Grattan-Guiness, “W hy D id George Green W rite His Essay o f 1828 on Electricity and Magnetism?” .

volúm enes y superficies [Lützen también debería haber dicho líneas]. Por lo tanto, la historia de los teorem a de Gauss, Green y Stokes está llena de descubrim ientos independientes”.6 Probablem ente Gauss fue el prim ero en descubrir el teorem a, pero co m o era su costumbre, no lo publicó. Todo lo que Gauss no publicó le habría dado la reputación de diez m atem áticos. En 1828, Green publicó este teorema en un ensayo im preso por cuenta propia: “Essay on the A pplication o f M athem atical Analysis to the T heories o f Electricity and M agnetism ” [“Ensayo sobre la aplica­ ción del análisis m atem ático a las teorías de la electricidad y el m agne­ tism o”]. Por el m ism o hech o de que no apareció en una revista cien ­ tífica, su ensayo pronto se convirtió en algo raro, casi inconseguible.7 D espués de que en 1833 fiie admitido form alm ente en la Universidad de C am bridge co m o estudiante, y su talento fiie apreciado por los aca­ dém icos establecidos ahí, su trabajo devino un d ocu m ento sobre el que todo el m undo había escuchado pero que p ocos habían visto. En 1839 Green fue designado profesor de la misma universidad, pero su carrera term inó abruptamente dos años después con su inesperada m uerte, causada por el alcoholism o o por alguna enferm edad pulmonar. En 1845, justo después de graduarse en C am bridge, W illiam T h om son (más tarde con ocid o com o lord Kelvin) preguntó a su tutor de m ate­ máticas por el trabajo de Green y de inm ediato recibió tres ejemplares de éste. Claram ente T h om son sabía del teorem a de Green en 1845, pero en la posdata de una carta (fechada el 2 de ju lio de 1850) que le escribió a un colega de Cam bridge, G eorge Stokes (1819-1903), se refirió al teo ­ rema sin demostrarlo y sin m encionar a Green com o su autor. En fe­ brero de 1854, Stokes propuso com o ejercicio la prueba del teorem a en un torn eo en Cam bridge, en el cual, hem os de señalar, participó el j o ­ ven James C lerk M axw ell (1831-1879). Éste desarrolló después la teoría m atemática del electrom agnetism o en su obra maestra de 1873 Electri­ city and Magnetism [Electriadad y magnetismo], donde, en una nota al pie de página del artículo 24, atribuyó este teorem a a Stokes. Así, hoy día el teorem a a m enudo se co n o ce — faltaba más— co m o teorem a de Stokes. En fin, ¿de quién es ese teorema? Si publicarlo prim ero es el criterio para decidir, entonces la respuesta tiene que ser Green, y éste, de hecho, parece ser tam bién el nom bre elegid o m ayoritariamente por los auto­ res de libros de texto. Pero, ¿qué hay de Cauchy?, podrías preguntar. Luego de hacer mis mejores esfuerzos para desembrollar todo este asun­ to, llegué a la conclusión de que la idea fundamental del teorema de Green está en la m em oria de Cauchy de 1814, pero la aplicación que le dio queda sepultada en un artículo cuyo tema central es la integración compleja, mientras que Green hizo del teorema un tema explícito. A l fin y al cabo, Cauchy habría de utilizar el enfoque que estoy por presentar­ te para demostrar el primer teorema integral, pero, com o m encioné an-

tes, fiie después de que hubiera sido jL? publicado el texto de Green. Para agregar realmente un p o co de con d im ento a todo esto, recuer­ da que antes m en cion é que, en su Electricity and Magnetism, M axw ell atribuyó a Stokes el que estoy lla­ m ando teorem a de Green. Y aún más: en el artículo 96 de su libro, Yo M axw ell escribe un teorem a de Green y cita su ensayo. Y ahí está escribiendo un teorem a integral _______________ _________________________ que relaciona una integral doble % ^ (de superficie) n o con la integral de línea sobre el borde de la superficie, F ig u r a 42. La región prototípica para demostrar el sino con una integral triple (de v o teorema de Green. lum en) sobre el espacio encerrado por la superficie cerrada. Por lo general, este resultado se co n o ce hoy co m o el teorem a de Gauss.Y finalm ente, debo decirte que, en R usia, el teorem a de Gauss lleva el nom bre de teorem a de Ostrogradski, en h onor de Mijail Ostrogradski (1801-1862) — a quien C auchy co n o ció en París en la década de 1820— y que en 1831 lo descubrió por su cuenta. ¿Confundido? N o te preocupes: lo im portante es con ocer los teoremas, no sus nombres. D ich o todo esto, dem ostrem os el teorema. Voy a com enzar haciendo la suposición simplificadora de que R es un rectángulo orientado en form a paralela a los ejes x y y, tal com o se muestra en la figura 42, y que su borde es C = C i + C2 + C 3 + C 4 — lo cual sim plem ente nos dice que el borde con tien e cuatro lados— . Lue­ go, al final, trataré de convencerte de que la dem ostración es en reali­ dad m ucho más general que lo que esta suposición inicial perm ite suponer. Por lo tanto, com encem os considerando primero el térm ino del lado derecho del teorem a de Green:

i

l ¡ R - j ; dxdy· T enem os entonces que

o =

P(x>Y0 )dx+ J*° P(x,y, )dx

= ¡c P (x ,y )d x + ¡c P (x ,y)d x . Fíjate en que en las dos últimas integrales elim iné los subíndices y0 y yt que había incluido en las integrales previas. Puedo hacerlo porque

los subíndices estaban ahí para distinguir las integrales sobre el borde inferior (y0) o sobre el superior (yt) del rectángulo, y esa distinción se hace en las dos últimas integrales escribiendo Ci (borde inferior) y C 3 (borde superior) debajo de la integral apropiada. Fíjate, tam bién, en que si escribim os

\l%dy=p^ - p^y^ estamos haciendo la suposición im plícita de que dP / dy no tiene dis­ continuidades, es decir, que la derivada es continua. Esto es, de hecho, nada m enos que el teorem a fundam ental del cálculo integral. Tam bién se pueden escribir integrales semejantes con respecto a x para los otros dos bordes (C 2 y C4) y, com o son verticales, a lo largo de ellos tenem os que dx = o. Esas dos integrales, entonces, deben anularse y form alm ente podem os sumarlas a las integrales C t y C 3 sin cambiar nada. Por lo tanto,

- J JR dxdy= íc, p(x'y)dx+ íCj p(x'y)^+ JCl p(x’y)dx+ íc<

y^dx

= ¡c P (x ,y )d x . Si repites lo anterior para el térm ino

JJR| } dxdy en el teorem a de Green y observas que dy = o a lo largo de los ejes h o ­ rizontales Ci y C 3, puedes mostrar con facilidad que

Y eso com pleta la dem ostración del teorem a de G reen para nuestro rectángulo adecuadam ente orientado. D e hecho, la dem ostración an­ terior se extiende con facilidad a formas m ucho más complicadas. En la figura 43, por ejem plo, hay un disco semicircular que puede construirse con m uchísim os rectángulos m uy delgados: cuanto más delgados sean, más rectángulos habrá; pero eso está bien: hagámoslos tan delgados com o la capa más fina de una cebolla. Estos rectángulos aproximan m uy bien el sem idisco. Si denotam os por C el borde de éste, y los bordes de los rectángulos por C u C2, C 3, . .., entonces obvia­ m ente jc (Pdx + Q dy) = ¡c (Pdx + Q dy) + fc (Pdx + Qdy) + ¡

(Pdx + Q d y ) + ■ ■ ■,

porque todos los bordes de los rectángulos individuales que son para­ lelos al eje x se recorren dos veces, una en cada sentido (de las m ane­ cillas del reloj y al revés), y entonces sus contribuciones a las distintas

---------------------------------------------------------------------w -----------------------------A

---------------------------------------------------------------------------------------------------- ►

F ig u r a 43. Aproximación de una región simplemente conexa por un número arbitrario de rectángulos.

integrales del lado derecho se cancelan (verás este truco otra vez antes de que term ine este capítulo). La única excep ción es el borde inferior Ci. Sólo las integrales sobre los bordes rectangulares individuales, cuan­ do son verticales, se salvan de la cancelación. Si hacem os que los rec­ tángulos sean realm ente angostos, la u nión de los lados verticales es C. Las únicas formas que utilizaré en este capítulo son rectángulos, sem idiscos y discos, y con eso tenem os suficiente. Pero, de hecho, el teore­ ma de Green se aplica a formas m ucho más complicadas que las que podam os dibujar.

E l s e g u n d o t e o r e m a in t e g r a l d e C a u c h y

Ahora ya estás listo para el resultado realmente maravilloso del artículo de Cauchy. ¿Q ué ocurre — se preguntó— si integram os una función sobre un con torn o que contenga uno (o más) puntos donde la función no es analítica? Para ser precisos, supongam os que f ( z ) es analítica en todas partes de la región que está dentro de C y que incluye el punto z = z 0, tal que f ( z 0) * o . E ntonces f ( z ) / ( z —z 0) es tam bién analítica en todas partes dentro de la región excep to en z = z 0, donde f ( z ) / ( z —z 0) tiende a infinito; z 0 es lo que se llama una singularidad de prim er orden, o un polo simple. El térm ino “prim er orden” se explica por sí m ism o, creo yo, y por extensión f ( z ) / ( z - z 0)2 y f ( z ) / ( z - z 0)3 tienen singulari­ dades de segundo y tercer orden en ^ = ^0· Incluso puedes caer en sin­ gularidades de orden infinito; por ejem plo, el desarrollo en serie de potencias de la exponencial muestra que la función el/z tiene una sin­ gularidad de ese tipo en z —o. Sin embargo, llamar polo a z = z 0 tal vez necesite una explicación. La historia que oí cuando era estudiante de ingeniería es la que sigue:

t En inglés pole equivale a “poste” o a “p o lo” . [N. del t.] 8. El matemático de origen polaco Mark Kac cuenta la siguiente historia, maravillosamente divertida, en su autobiografía Enigmas of Chance, p. 126. Una vez, cuando era sinodal de doctorado en Cornell, Kac le preguntó a un candidato ciertas cuestiones matemáticas. Pero dejemos que Kac lo cuente: “El alumno no era terriblemente bueno — al menos no en matemáticas— . Después de fallar un par de preguntas, le pedí algo realmente simple: que describiera el comportamiento de la función 1 / z en el plano complejo. ‘La función es analítica, señor, en todo el plano excepto en = o, donde tiene una singularidad’, respondió, lo cual era completamente correcto. ‘¿Cómo se llama la singularidad?’, continué. El estudiante se detuvo.‘Mírame’, le dije. ‘¿Qué soy yo?’ Su cara se iluminó. ‘U n simple polaco, señor’, que era la respuesta correcta.” [En inglés pole significa también “polaco”. N . del t.] ¡Qué persona agradable debe haber sido Kac!

Imagina una gráfica tridim ensional, en la que los ejes real (x) e im aginario (y) ocupan dos dim ensiones para formar el plano com plejo, mientras que |f ( z ) | se di­ buja en un tercer eje. El dibujo de \f (z ) | formará una superficie en el espacio encim a del plano co m ­ plejo, ondulando hacia arriba y hacia abajo confor­ m e £ varía en el plano, co m o si fuera la carpa de un circo. Esta carpa queda especialm ente alta donde es­ tán los postes que la sostienen.^ ¿Y todavía hay quien dice que los técnicos no son poetas?8 La pregunta de Cauchy, entonces, fiie: ¿cuánto vale 6 dz? ? c z - z 0 a z-

La respuesta que obtuvo es su segundo teorem a in ­ tegral y, en m i op inión, es u no de los resultados más herm osos, profundos y realm ente m isteriosos de to ­ das las matemáticas. Es tam bién sencillo derivarlo, pero, claro, ¡todo es sencillo una vez que a un genio se le ocurrió cóm o hacerlo! En la figura 44 he dibujado C y, en su interior, el punto z = z 0. A dem ás, tenem os C*, un círculo cen ­ trado en e = z 0 y con radio p, que es suficientem en­ te pequeño com o para que C* esté por com pleto dentro de C. Ahora im agínate que com enzam os nuestro recorrido sobre C en algún punto A y nos m ovem os en sentido contrario al de las manecillas del reloj hasta que alcanzamos un punto a, desde el cual viajamos ha­ cia adentro hasta el punto b, que está en C*. U na vez en C*, reco­ rremos el círculo en sentido de las manecillas del reloj (es decir, en sentido negativo) hasta volver al punto b. Luego, viajamos de regre­ so hacia fiiera, hasta el punto a, y continuam os nuestro viaje original sobre C hasta regresar al punto de partida, A . Ahora, he aquí el prim er asunto im portante sobre lo que he­ m os hecho: en este recorrido, la región más o menos enforma de anillo entre C y C* se mantuvo siempre a la izquier­ da, es decir, este cam ino es el borde Figura 44. Una curva simple que encierra una de una región en la cual el punto singularidad de primer orden, conectada a un círculo interior con un corte. siempre está en el exterior.

En todas partes esta región anular, de la cual por construcción se ha excluido z = z 0 , f ( z ) / ( z - z 0) es analítica. Luego, por el prim er teorem a integral de Cauchy, co m o z = ^ 0 está fiiera de C,

$C,ab,-C\ba Z - Z n * Z

O.

Ahora hay que hacer una segunda observación im portante sobre el cam ino de integración. Los recorridos entre C y C * ,d e a hacia b y de regreso, tienen direcciones opuestas, p or lo que sus contribuciones a la integral total se cancelan — los m atem áticos suelen llamar c o r t e a este doble recorrido de C a C*, y viceversa— . Podem os simplificar la últi­ ma expresión: éJ C . --Cc *. zZ^-- zZd„ Q z = o,’ o, de una form a tal vez más reveladora, ii C C Z Z --ZZQ*

Y J Cc* zZ -- Z z Ln

La razón para el signo m enos delante de la integral de contorn o en C* es que el recorrido sobre C* se efectúa en el sentido negativo (por eso previam ente escribí -C * ),p e r o en la últim a expresión las dos integrales están en el sentido positivo. Esto es, sim plem ente puse delante de la propia integral el signo m enos de —C*. D éjam e recordarte que aquí C es una curva sim ple (que no se cor­ ta a sí misma) arbitraria, que encierra a 2r = z 0, mientras que C* es el círculo de radio p centrado en z —z 0. Luego, sobre C* podem os escri­ bir z = z 0 + p e ,e y entonces d z = i p e l0d 9 y por lo tanto, co m o 6 varía de o a 27T radianes en una vuelta sobre C*,

Si la integral de la izquierda, es decir, la integral que es nuestro objeti­ vo original, tiene un valor determ inado, éste debe ser independiente del valor de p . D espués de todo, ¡la integral de la izquierda no tiene ningún p! Por lo tanto, el valor de la integral del lado derecho también debe ser independiente de p , y podem os utilizar cualquier valor que deseem os — por ejem plo, uno que nos convenga— . D e hecho, utiliza­ remos un valor de p tan peq ueño para hacer que la diferencia entre f ( z ) y / ( ^ 0), para todo z en C*, sea tan pequeña com o queramos. Esto es así porque f ( z ) es analítica y entonces tiene derivadas en todas partes dentro de C (incluyendo z = z 0) y por lo tanto es continua. Entonces, cuando p — > o ,p o d em o s argumentar q u e f ( z ) = f ( z 0) a todo lo largo de C * ,co n lo cual podem os sacar la constante f ( z 0) de la integral y escri­ bir nuestra respuesta: si z = z 0 está dentro de C, entonces

í cc zT z^Q d z = ^ z o ) r d 0 = 2 ^ n z o). Alternativam ente, podem os escribir esto com o

27TIJC Z - Z Q que nos dice que el valor de una función an alíd ca/(z) en un punto in­ terior arbitrario z = z 0 está com pleta y únicam ente determ inado por los valores d e f ( z ) en la curva del borde C. Esta íntim a co n ex ió n entre los valores d e f ( z ) dentro de C y los valores d e /( z ) sobre C es otro ejem ­ plo del carácter especial de las funciones analíticas complejas, compara­ das con cualquier función com ún elegida al azar. D e hecho, es el alcan­ ce global de una función analítica, de una parte del plano com plejo a otra, lo que está detrás de la propiedad de continuidad analítica que dis­ cutí antes (en el capítulo 6). Ahora déjame mostrarte qué podem os hacer co n este resultado, llamado el segundo teorem a integral de Cauchy. Evaluem os la integral de con torn o

donde C es el contorn o m ostrado en la figura 45 con a y b constantes positivas, para el caso lím ite R —>«>. Verás que esto nos con d uce a un resultado interesante. En la parte del eje real que corresponde a valores de C tenem os e = x (d z = dx), y sobre el arco semicircular tenem os z = R et0(dz = iRe^dff), de manera que 9 = o cuando x = R y 0 = 7Tradia­ nes cuando x —- R . Entonces,

y

R

-R

-ib

x

r p** rR p** rn í 7^----- j d z — \ -ri----- 7 6 dz = f / 2 dx + j 7r- T --- :—^ iR e ie d6. 12b JC z - i b ¿ C z + ib J- * b + x 2 Jo b + R e C o m o el integrando de la segunda integral de contorno del lado izquierdo es analítica en todos lados dentro de C — el integrando tiene una singularidad, es cierto, pero está en z = -ib, que está fuera de C, co m o se muestra en la figura 45— , entonces sabemos por el prim er teorem a integral de C auchy que la integral de contorn o es cero. Por lo tanto, 4

-

. D

jüZ

m 'Tr

JA*

)

T -r é ----- lld z —\ „-¡2----- j d x + \ ------------ Γ T ,^ , d&·

i2b*Cz —ib

*-Rb + x

Job + R e

Y, cuando R > b (recuerda que en algún m om en to haré que R — «>), la singularidad para el otro integrando de la integral de con torn o estará dentro de C, en z = ib. Este integrando se ve exactam ente igual a f ( z ) / ( z - z 0), con f ( z ) = etaz y, por supuesto, z 0 = ib· El segundo teorem a integral de C auchy nos dice que, si R > b f el contorno de integración es igual a 27Tif(z 0), y en consecuencia el lado izquierdo de la úldm a ecuación es igual a ^ - r 27riek W = T e ~ úh· 12b b Esto es, fR

e

J

, fTi-

------- Tdx+\

S-R b2 + x 2

e (

^

.n / 0 j ú _ 7 T

—-------- -o i Re dv - - r e

0 b +R e

- ab

b

n ^ L

,conR>b.

Ahora, si finalm ente hacem os que R tienda a «>, entonces, utilizan­ do la misma clase de argum entos dados en el recuadro 6, tú puedes mostrar que la segunda integral de la izquierda se anula. Luego, r ]^ °b 2 + x 2

b

= r ]^ °b 2 + x 2

J^ ° b 2 + x -

Igualando las partes reales e imaginarias llegam os a

lo cual no es ninguna sorpresa dado que el integrando es una función impar de x, y tam bién, para a ,b > o,

lo cual es, creo yo, ¡muy sorprendente! D e hecho, Laplace lo había des­ cubierto por m étodos diferentes en 1810. Para el caso especial a = b = 1, esto se reduce a 9. Por favor no pienses que estoy siendo irrespetuoso al llamar ‘ m. La respuesta es herm osa y sorprendente a la vez. Lo que voy a mostrarte ahora es có m o utilizar el segundo teorem a integral de C auchy para calcular esto, utilizando el enfoque m oderno (puedes encontrar los detalles del análisis original y un p o co com plicado de C auchy en el artículo de Ettlinger;9 véase la nota 1). C om en cem os con la integral de con torn o

donde C es una curva que encierra algunas de las singularidades del integrando pero no todas. En un m om entito voy a ser más específico sobre la form a concreta de C. Ahora bien, las singularidades del in te­ grando son sim plem ente las soluciones de la ecuación ciclotóm ica 1 + z 2” = o, que ya con oces, pues nos topam os con ese problema al es­ tudiar la fórm ula de D e M oivre en el capítulo 3, y son exactam ente las 2n raíces 2«-ésim as de —1 = 1 Z 180o = 1 Z 7r radianes. Sabes, por aque­ lla discusión, que esas raíces están distribuidas de manera uniform e en el círculo unitario, la más obvia de las cuales es 1 Z 7 r /2 n radianes. Las otras están espaciadas a intervalos de 27r / 2 tt radianes, con lo cual las 2 n raíces son

_ y 2 Ífe+ l = í Z --------- 7r 2tí

= e ^ k+'y 2n, con fe = o, 1 ,2 , . . zn - 1. Esto debería sonarte familiar: es el m ism o argum ento que utilicé en el capítulo 3 cuando factoricé el p olin om io ciclotóm ico z 2n—i. C o m o argum enté entonces, por simetría es claro que la mitad de las raíces están en la m itad superior del plano com plejo (aquellas con fe = o, 1 ,2 ,..., « - 1 ) y la otra m itad en la m itad inferior del plano co m ­ plejo (aquellas con k —n, n + i , . . . , 2ti—i). D e hecho, el eje real separa claramente estas dos mitades — puedes convencerte con facilidad de que no hay raíces sobre el eje real si muestras que no hay un entero k que dé un ángulo igual a o o a 7r radianes— .Ahora elijamos un contorno de integración C co m o el de la figura 45, co n lo cual C encerrará sólo la m itad de las singularidades del integrando y excluirá la otra m itad (la que está en la m itad inferior del plano com plejo). Puedes pensar que al hacer esto no estamos aprovechando toda la inform ación contenida en el integrando, pero n o te olvides de que las raíces de 1 + z 2" = o son pares conjugados, es decir, si sabes dónde están los polos del sem iplano superior, entonces autom áticam ente tam bién sabrás dónde están los del sem iplano inferior. Así, 2

m

R

2m

2

m

í ------ 77Tdz ~ í ------ Iñ dx + L ------ ITTd z > 7C i + z 2n J- * i + x 2n Jc R \ + z 2n ' donde C r es un arco semicircular. Sobre el arco z = Re'6, con lo cual

*»■·“ 1+ Z

r>2 m i2m9

6 „ iR£i6dd. Jo; R T>2nA2nü

rd z = r

1

C o m o n > m , R 2n es al m enos un grado mayor que R 2m+1 y entonces, cuando R tiende a «>, el valor de la integral sobre C r tiende a cero al m enos tan rápido com o í / R . Por lo tanto, 2m „ 2tn § r \ -+ ^z ^ dz = \J- ~ -J L ^ r dx = 2 í 1 + X 2n

Jo1+ x 2 -dx.

Por lo tanto, si podem os calcular la integral de con torn o de la izquier­ da, entonces habremos resuelto la integral real de la derecha; pero p o ­ dem os calcular la integral de con torn o utilizando el segundo teorem a integral de Cauchy. Esto se hace así. C o m o el denom inador del integrando puede escribirse com o 2 M -1

1 + z 2" = Í I ( * - * * ) . k=o

en el cual cada factor del producto es de prim er grado, todas las singu­ laridades del integrando son polos simples. Ahora bien, afirm o que el integrando puede escribirse com o una descom posición en fracciones parciales, es decir:

N, 1

+ Z ¿"

Z - Z

o

N, *

“

N,

* 2

donde los coeficientes S k son constantes. Voy a demostrar esto calcu­ lando todos los coeficientes directamente. Pero antes de hacerlo, debes entender por qué lo haré. Supongam os, de hecho, que ya con o zco los valores de los N*. E ntonces podría escribir

*c& *-

j > _ - ^ - d z + ... + ¿ N,í- ' - d z ? c z-z0 JC z —z n_x í - ^ d z + ... + S N in -' JCZ —Z JCZ —Z . . .

.

dz

C o m o desde z 0 hasta Zn-X están dentro de C, y desde z n hasta z 2n- 1 están fuera de C, el prim er teorem a integral de Cauchy dice que todas las integrales del últim o corchete se anulan, y el segundo teorem a in ­ tegral de Cauchy dice que las integrales en el prim er corchete valen 27TíN0, 27T¿Ni,. .., 27ríX„_1, es decir,

f

"I? =

27r í 5 X

k=o

foo =

2 ío

Esto es consecuencia del hech o de que L — -— d z = 27ri si z 0 está dentro de C, y del segundo teorem a integral de Cauchy si asum im os f ( z ) = i y, por lo tanto, en particular f ( z 0) = i. La respuesta a nuestro problema es entonces sim plem ente 2m

n—i

r -1+h JC”r & = m', I N **· k=o Por eso los valores de Nk son im portantes para nosotros. H e aquí cóm o calcularlas. A puntem os a un valor específico, digam os Np, donde o ú p < n —i. M ultiplicando la expansión en fracciones parciales del integrando por (z - z p) , obtenem os

Podem os resolver esto para N p haciendo tender z a Zp, un proceso que hace que cada térm ino se anule, excepto el correspondiente a .Y*. que no tiene un factor (z —z p) que lo lleve a cero. Esto es,

N

( z - z ) z 2m z 2m+1- z 0z 2m = Hm ------- ^ r — = H m ------------------- ^ ----------- .

1Z

z —>zp

z-*zp

1+ Z

C o m o p es arbitrario, de hech o encontram os todos los valores de X*. Este lím ite tiene la form a indeterm inada 0 /0 , así que podem os utilizar la regla de L’H ôpital para evaluarlo. Esta regla, demostrada en todo li­ bro de texto de cálculo de nivel introductorio, dice que 0 entonces eli rlímite > es lim r si• rlim ——r = —, —- — . g (x ) o ^ Xo g (X) a m enos de que éste tam bién dé un resultado indeterm inado en cuyo caso uno debe aplicar la regla otra vez). La regla fiie publicada por pri­ mera vez en un libro de 1696: Analyse des infiniment petits [Análisis de lo infinitamente pequeño], cuyo autor era el marqués Guillaum e F. A. de L’H ôpital (1661-1704). Sin embargo, la regla fiie descubierta original­ m ente por el m entor de Euler, Johann B ernoulli, quien la com u nicó a L’H ôpital en una carta. E ntonces, continuando con lo que estábamos haciendo, tenem os que N = p

(2m +1 ) z 2m - 2 rnz2m- ' z D z 2m+'-2n lim --------------------------------------------------z->z 2 n z2n~x 2«

Esto es,

. 2P+1/

i7 r - j^ -(2 m + i-2 n )

N„ =P

2tt Í7 r ( 2 p + i ) ( 2 m + i ) 2

n

e —I7T(2/H-1)

2n (2 p + l)(2 m + l)

17r e

2 n Por lo tanto,

J°

------ — . —_ V *e , · V ' i + jc 2« "

p= o

La suma es una serie geom étrica con una razón com ún entre los térm inos consecutivos igual a e,7r2(2m+1)/2M# s í eres cuidadoso con tus cuentas (recuerda el truco del capítulo 5) y recuerdas la identidad de Euler, deberías poder demostrar que la suma es

1 ( 2m + i _ ì

Si m ultiplicam os esto por - n i/2 ti, finalm ente llegam os al resultado

Lo usual hoy es escribir 2w + 1 = a y 2n = /3, con lo cual la integral se transforma en

V un resultado al que llegó Euler (por otros m edios) en 1743. Recordarás que utilicé este resultado antes, al final del capítulo 6, al derivar la fór­ mula de reflexión para la función gamma de Euler. Fíjate en que, para el caso especial a = 1 (o sea, m = o) y (3 = 2 (o sea, n = 1), la integral se reduce a 7T

áx

2’

que coincid e con esta bien conocida integral definida: í ^*2 = tan lx\ = tan 1(0 27ríA z í c ( z - z 0 ) - A z — lim A z- >o

^

27T l A z

m

■A m 0 21TÍAz'Tc

= _ i _ ^ _ Z Í £ l_ dz. 2 n ¡" c(z - z oy

/( * ) dz z-z0

( z - z 0) - ( z - z 0) + A z ( z - z 0 )2 - A z ( z - z 0 )

______ A z______ ( z - z 0f - A z ( z - z 0 )

dz

dz

O, por últim o, tenem os

Ahora bien, nuestra integral original se parece a la de con torn o en el lado izquierdo de esta ecuación. Este truco para obtener el segundo teorem a integral de Cauchy, que se aplica a un p olo simple, en una forma que incluya una singularidad de segundo orden, puede genera­ lizarse obviam ente para una singularidad de cualquier orden. Es sólo cuestión de seguir derivando. El resultado general es que /W (¿ o) = - " U f { z l +, d z, J V ° ' 27n * C (z _ 2 o )«+i ' donde f^ n\ z 0) denota la derivada de «-ésim o orden d e /( z ) evaluada en el p olo del integrando z = z 0, el cual, por supuesto, está dentro de C. En su artículo de 1814, Cauchy consideró solam ente polos simples. Para nuestro problema tenem os

Si derivas la función

y lu ego evalúas el resultado en z = z 0, encontrarás que f27T

dd _ 87r E2 _ 27r [1 + ECOS0 ] 2 E 2 4 [ i - E 2 ]3/2 [1 —E 2 ]}/2 ’

la respuesta que te había dado en el capítulo 5.

Epílogo: qué viene después

10. U n libro así es el de Wunsch, Complex Variables with Applications. Profesor de ingeniería eléctrica del campus Lowell de la Universidad de Massachusetts, ha hecho un trabajo de primerísima clase presentando los detalles de la teoría de funciones complejas, incluyendo mapeo conforme, series de Laurent y estabilidad de sistemas. Está escrito en lenguaje ingenieril, si bien al mismo tiempo no atenta contra la integridad matemática del tema. Para quienes tienen inclinaciones más matemáticas pero con un pie en la realidad física, recomiendo fuertemente Needham, Visual Complex Analysis.

D espués de su artículo de 1814, Cauchy pasó las tres décadas y m edia siguientes estableciendo lentam ente las bases de la teoría de funciones complejas. Por supuesto, no lo hizo todo, pero casi. C auchy fue influ­ yente aun para el trabajo pionero de otros. Esto se ve en la im portante contribución de Pierre A lphonse Laurent (1813-1854). Al igual que Cauchy, Laurent se form ó originalm ente com o ingeniero civil y traba­ jó algunos años en provectos de construcciones hidráulicas com o ofi­ cial del cuerpo de ingeniería militar francés. Antes de que Laurent com enzara su segunda carrera com o m atem ático, Cauchy no estaba enterado de los desarrollos en series para funciones analíticas. En 1843, Laurent hizo un gran progreso en esa área (“series de Laurent” es un tema habitual de todo libro de variable com pleja), pero durante su vida su trabajo se co n o ció sólo porque C auchy habló de él en la academia y alentó su publicación. Sin embargo, por alguna razón eso no ocurrió sino hasta 1863, m ucho tiem po después de la m uerte de ambos. O tro trabajo d ecim on ónico en la teoría de funciones analíticas que estaba destinado a tener un enorm e im pacto en la tecnología del siglo x x incluye el mapeo conforme y la teoría de estabilidad de sistemas. D iré apenas unas cuantas palabras sobre ambos, pues cada uno m erecería un libro com pletam ente dedicado a él — y, en realidad, cada uno tiene varios libros— . Primero hablem os del m apeo conform e. Este es el m é­ todo general de tomar una form a com plicada en el plano com plejo y buscar una transformación que mapee (o dibuje) el borde de esa forma en otra form a m ucho más simple, por ejem plo, un círculo o un rectán­ gulo. U na razón por la cual esto es im portante es que a m enudo la ecuación de Laplace es más simple de resolver para tales formas sim ­ ples, donde las partes u y v de una función com pleja f ( z ) = u + iv están definidas en el borde. (Se puede mostrar, de hecho, que esto define también a u y v dentro del conjunto.) Luego, aplicando la ecuación de la transformación conform e, uno llega a la solución de la ecuación de Laplace para u y vy tanto sobre el borde com o dentro de la forma co m ­ plicada de la que partimos. Los nombres de los alemanes H erm án Amandus Schwarz (1843-1921) y Ehvin Bruno Christoffel (1829-1900), notable alum no de D irichlet, están asociados con esta técnica, la cual es abordada en detalle en cualquier buen libro de variable com pleja.10 Por otra parte, la teoría de estabilidad, tal com o la estudian físicos e ingenieros, nos conduce inevitablem ente a funciones del tiem po de la form a e(í7+,u;)/, donde tanto a com o ¿ son ambos reales. Esta expresión crece sin lím ite cuando t tiende a infinito si cr> o, y por lo tanto a < o es la con d ición para un com portam iento estable del sistema que este­ m os analizando. Ahora, muchas veces ocurre que s = a + íuj es una raíz com pleja de alguna ecuación f(s) = o. Si f(s) es un p olin om io, entonces /(5 ) es analítica. C on frecuencia la pregunta no es cuál o cuáles son los

valores de cr, sino sim plem ente si todos los valores satisfacen o < o. Esta con d ición garantiza la estabilidad del sistema. El problema de determ i­ nar si todas las soluciones d e / ( 5) = 0 tienen parte real no positiva fiie propuesto por M axw ell en 1868 (quien estaba interesado en problemas de estabilidad desde que estudió la dinám ica de los anillos de Saturno a m ediados de la década de 1850). Esto lo resolvió en 1877, con técnicas algebraicas, el rival de M axw ell en Cam bridge, Edward John R o u th (1831-1907). Más tarde, en 1895, el m atem ático alemán A d o lf H urw itz (1859-1919) resolvió el problema utilizando ideas de la teoría de fun­ ciones complejas. Todavía hoy se les enseña a los ingenieros el m étodo de R ou th -H u rw itz para la estabilidad de sistemas polinom iales. Incluso antes del artículo de Cauchy de 1814, en 1807 apareció un trabajo trascendental de Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), acerca del desarrollo en series de Fourier de señales periódicas, así co m o las integrales de Fourier para señales no periódicas. En libros más avanzados se muestra que la integral de Fourier es en realidad una integral de con torn o en el plano com plejo. Físicos e ingenieros eléc­ tricos en todo el m undo utilizan a diario ese resultado, así com o su pariente próxima, la transformada de Laplace. Sin embargo, no voy a m olestarte tratando siquiera de definir estos nuevos térm inos, porque aquí es en realidad donde term ina nuestro libro. Sim plem ente deseo concluir contándote que, para 1850, la teoría de funciones com plejas estaba m uy avanzada, al punto de que, en 1873, cuando M axw ell escribió Electricity and Magnetism, pudo com enzar el artículo 183 con el siguiente párrafo, bastante brusco, sm mayor expli­ cación: “Se dice que dos cantidades a y (3 son funciones conjugadas de x y y si a + V—1/3 es una función de x + \f^iy. Se sigue de esta defini­ ción que d a _ d_0_ d a . d(3 _ „ dx dy y dy dx °' Estas son, por supuesto, las ecuaciones de c r . Por cien o , no se deducen de la definición de función com pleja dada por M axw ell, si bien él p o ­ dría asumir con seguridad que todos sus lectores entendían la condición de que la derivada tenía que ser independiente de cóm o se anularan A x y A y .T o d o parece indicar que, en 1873, justo dos décadas después de que R iem an n hubiera presentado por primera vez este argum ento en su tesis doctoral, M axw ell podía haber hech o tal suposición. R iem an n, quien, tras el tem prano fallecim iento de D irichlet en 1859, lo sucedió com o profesor de matemáticas en G onnga, produjo en su tesis doctoral de 1851 otra explosión de con ocim ientos, en línea con la que había generado Cauchy, al descubrir la con exión entre fun­ ciones complejas multivaluadas (por ejem plo, la función logaritm o) y la topología. H em os visto apenas una idea de cóm o la topología entra en ju e g o con las funciones complejas en nuestra exposición, más arri­ ba, sobre regiones simples y m últiplem ente conexas. Era justam ente

11. Para una discusión sobre los detalles del cálculo de esta integral, es decir, para evaluar

r^ -^ d x "O _ 1 en el plano complejo, véase Titchmarsh, The Theory of the Riemann ZetaFunction, pp. 18-20. 12. Está incluido en The Early Asimov.

este avance de la teoría lo que se necesitaba para lograr la integral de R iem an n que aparece al generar la ecuación funcional para la función zeta de R iem ann (presentada en el capítulo 6) .Y, de paso, ahora puedes apreciar por qué se utiliza tradicionalm ente la letra s para la variable com pleja que aparece en esa integral. Para evaluar la integral utilizando el m étod o de los residuos debem os reemplazar la variable muda x por la variable muda z , esto es, hay dos variables com plejas involucradas en esta integral, y por eso necesitam os dos sím bolos (5 y z ) . 11 Pero todo esto es material para un libro aparte. En el núm ero de noviem bre de 1942 de la revista de ciencia ficción Super Science Stories, Isaac A sim ov publicó un relato llamado “T h e Im aginary” [“El núm ero im aginario”] .12 Esta historia fantástica trata de un psicólogo extraterrestre que descubrió cóm o m odelar los procesos mentales recurriendo a las matemáticas, matemáticas que involucraban a %/—1. Sin embargo, uno de sus colegas critica su trabajo, asegurando que tales ecuaciones no tenían ningún sentido. A esto, un defensor de la nueva teoría replica:“;Sentido! Escucha cóm o hablan los m atem áti­ cos. Por favor, am igo, ¡¿qué tienen que ver las matemáticas con el sen­ tido?! Las matemáticas son una herramienta, y en tanto puedan m ani­ pularse para dar respuestas adecuadas y hacer predicciones correctas, su significado no importa.” A lo que otro escéptico responde lo siguiente: “Supongo que sí, supongo que sí. Pero utilizar cantidades imaginarias en ecuaciones psicológicas violenta un p oco m i fe en la ciencia. ¡La raíz cuadrada de m enos u n o!” U n segundo partidario zanjó la discu­ sión con estas palabras: “¿Usted cree que a él le im porta con cuántos im aginarios se topa en los pasos interm edios si al final todos se anulan y llegam os a m enos uno en la solución final? Lo único que le interesa es que le den el signo correcto en la respuesta [...] Y respecto a su sig­ nificado físico, ¿qué importa? D e todos m odos las matemáticas son sólo una herramienta.” Tengo sentim ientos encontrados respecto de las opiniones en esta discusión ficticia. Las matemáticas son una herramienta para los in ge­ nieros prácticos y los científicos aplicados, por supuesto, pero sospecho que aun los m atem áticos más puros encuentran útil una im agen m en ­ tal de los sím bolos que manipulan. Fue el m ism ísim o Gauss, después de todo, quien finalm ente abogó por la interpretación geom étrica de V ^ i. Voy a dejarte co n esta cuestión metafísica, para que llegues a tus pro­ pias conclusiones. Para m í, sin embargo, la con ex ió n entre la rotación en el plano com plejo y m ultiplicar por v —1 es inseparable. La íntim a co n ex ió n de V—1 co n la realidad física todavía no es su­ ficien tem ente apreciada, sin embargo, ni siquiera por gente educada que afirma co n ocer un p o co de matemáticas. C onsiderem os, por ejem plo, las palabras — en las que resuenan los versos de A uden que citam os en el capítulo 1— de la “celebridad intelectual” M arilyn vos Savant:

La raíz cuadrada de +1 es un número real porque + i x + i = + i;s in em ­ bargo, la raíz cuadrada de -1 es imaginaria porque -1 x -1 es igual también a +1, en vez de —1. Esto parece ser una contradicción. Sin embargo, se acepta y los números imaginarios se utilizan rutinariamente. Pero, ¿cómo podemos justificar su utilización para demostrar una contradicción?13

Las palabras de Vos Savant revelan una curiosa falta de sofisticación en su com prensión del plano com plejo. Los números reales, a los cuales aparentem ente ella no les tiene m iedo, n o son más (ni m enos) confia­ bles que los com plejos. B ueno, tal vez sim plem ente estaba pasando por un mal rato cuando escribió esto (tal vez debería haberse tom ado un p oco más de tiem po para escribir su libro). Así, con una arrepentida risa por cóm o incluso aquellos bendecidos con un alto coeficien te intelectual pueden escri­ bir cosas sin sentido, éste es el final del libro. H em os cubierto, en reali­ dad, m uchísim o terreno desde H erón y su pirámide ‘‘im posible”, la fórm ula de Cardano para la cúbica y las integrales de con torn o de Cauchy.Y todo esto es resultado de la pregunta con que se inició este libro: ¿qué significado tiene 1? Espero que la lectura te haya conven­ cido de que significa m uchísim o. En mayo de 1799 Thom as Jefferson recibió una carta de un corresponsal que había estado estudiando a Euclides. Q u ien escribía deseaba aprender las matemáticas que un hom bre educado debía con ocer casi en el com ienzo del siglo x ix . En una larga y detallada carta, del 19 de ju n io de 1799, escrita desde su hogar en M onticello, Jefferson respondió que La trigonometría es muy valiosa para todo hombre [y] la extracción de raíces cuadradas y cúbicas, el álgebra hasta las ecuaciones cuadráticas, el uso de logaritmos es valioso... pero más allá de esto se trata de un lujo: un lujo delicioso, en verdad, pero del que no se puede exculpar a todo aquel que ejerce una profesión para su subsistencia.14

Jefferson escribió estas palabras justo dos años después de que Wessel escribió su gran artículo sobre V—1 y seguramente Jefferson habría considerado a ^ 1 un “lu jo” . U n o sólo puede preguntarse qué habría pensado Jefferson de nues­ tros tiem pos (¿qué habría pensado de la figura 46?), en los cuales m u­ chos utilizan \f^ 1 en el ejercicio de sus profesiones. Yo creo que él habría considerado esa clase de afirm aciones com o frutos de una m en ­ te afiebrada, y habría dicho que “esto no es real” . Pero ahora, cuando estás a punto de cerrar el libro, puedes apreciar la irónica verdad en el hech o de que no hay nada im aginario sobre %/^i.

13.Vos Savant, The World's Most Famous Math Problem (the Proof of Fermat's Last Theorem), del cual la autora nos dice muy feliz que lo escribió en apenas unas semanas; está lleno de otras afirmaciones similares mal comprendidas.

14. Una reproducción de esta carta holográfica está en Scripta Mathematica 1 (1932): 88-90.

F ig u r a 46. Una zambullida en el plano complejo. Las computadoras modernas han hecho posible la visualización de funciones de variables complejas. Por ejemplo, la imagen de arriba es la superficie tridimensional definida por f ( z ) = sen( 1z 1) / | ¿ |. Algunas veces se la llama “la salpicadura” o “la piedra en el lago”, por razones obvias. Fue creada en una computadora iMac (con un procesador Intel Core 2 D ú o de 1.83 GHz), usando el programa de graficación Maple. La construcción de la imagen requirió varios miles de operaciones en aritmética de punto flotante, que la computadora realizó en unos cuantos segundos. ¿Crees que Euler, Cauchy, y Riem ann se habrían divertido un poco con un aparato que hiciera cosas com o ésta?

Apéndice a . El teorema fundamental del álgebra El teorem a del que hablaremos en este apéndice es fácil de enunciar, creíble y nada sencillo de demostrar. En realidad, es tan difícil que fiie clave para la tesis doctoral de Gauss en 1799. La dem ostración de Gauss de ese año se considera inaceptable según las normas modernas porque hizo una suposición que él consideraba “obvia”, pero que no fue de­ mostrada sino hasta 1920. O bviam ente, tuvo algunas reseñas, ya que lu ego regresó al problema y para el final de su vida había logrado otras tres dem ostraciones.1 Lo que dice el teorem a es que toda ecuación polinom ial de grado n f ( z ) = anz n+ a„-1z n~1 + . . . + aíz + a0 = o. donde las a son núm eros arbitrarios — tal vez incluso com plejos, com o señaló por primera vez Argand, no Gauss— y n es cualquier entero positivo, siempre tiene exactam ente n raíces en el sistema de los núm e­ ros com plejos. U n detalle im portante es que, si hay raíces idénticas de m ultiplicidad m, hay que contarlas com o m raíces, no sólo com o una.2 M u ch o antes de Gauss, los m atem áticos habían creído que el teore­ ma era cierto. Por ejem plo, Descartes afirm ó en La Géotnétrie (1637): “Toda ecuación puede tener tantas raíces distintas (valores de la canti­ dad desconocida) com o el núm ero de dim ensiones de la cantidad des­ conocida en la ecuación.” La “dem ostración” de Descartes del teorema fundamental, bastante intuitiva, es fácil de comprender. Sim plem ente dice que toda raíz r de la ecuación polinom ial f(x ) = o debe aparecer co m o un factor (x —r) en la factorización de f ( x ) .Y si/(.v) ñeñe grado n, entonces se requerirán n factores de éstos (y por lo tanto ti raíces) para dar el térm ino requerido x n. Descartes sólo ilustró la idea en La Géométrie con varios ejem plos específicos, pero no ofreció una dem os­ tración general. A un antes, su joven com patriota Albert Girard (1590-1632) escribió, en Llnvention nouvelle en Valgebra [La nueva invención en el algebra] (1629): “Toda ecuación del álgebra tiene tantas soluciones com o índica el ex­ p onente del térm ino mayor.” En particular, Girard discutió las raíces de la ecuación x * - ^ x + 3 = o y observó que, ju n to con la raíz doble 1, hay dos raíces complejas adicionales: - i±i% /2, con lo que se obtienen las cuatro raíces requeridas. Antes de Gauss, algunos m atemáticos famosos habían intentado demostrar por sus propios m edios el teorema funda­ m ental, incluyendo a D ’Alem bert, Euler y Lagrange.Todos fallaron. Para resumir, el teorem a fundam ental es fácil de aceptar y de enten­ der, pero su dem ostración fiie un hueso duro de roer. En este libro lo aceptaremos com o una cuestión de fe. Hay otro resultado de gran va­ lor respecto de los números com plejos, sin embargo, que ni por asom o es tan difícil de demostrar. Es la afirm ación de que las raíces complejas que aparecen com o soluciones de una ecuación polinom ial f ( z ) = 0

1. Para más información sobre todo esto, véase Stillwell, Mathematics and Its History, pp. 195200. 2. Una temprana y no muy conocida disputa sobre las raíces complejas de una ecuación polinomial tuvo lugar entre el matemático escocés C olin MacLaurin (1698-1746) y su poco afamado compatriota George Campbell (?-i766). Hay una exposición detallada de este triste asunto en Mills, “The Controversy Between Colin MacLaurin and George Campbell over C om plex R oots, 1728-1729”. Para mucha más información sobre el conocim iento de la época respecto de las raíces de ecuaciones, véase Hamburg, “The Theory o f Equations in the 18th Century: The Work o f Joseph Lagrange”.

con coeficientes reales aparecen en pares conjugados. Es decir, que si z = x + iy es una raíz, también lo es z = x —iy. Esto fiie dem ostrado por primera vez por d ’A lem bert en 1746. Para demostrar esta afirm ación será de m ucha utilidad establecer el resultado preliminar de que el conjugado de una suma o de un producto de dos núm eros com plejos Z\ y z 2 es la suma o el producto de sus conjugados. Esto es

La form a más directa de demostrarlo es sim plem ente efectuar una sus­ titución algebraica directa. Es decir, escribir z t = ax + ibt y z 2 = a2 + ib2l evaluar ambos lados de la supuesta igualdad y observar que en efecto los resultados son iguales. Ahora, supongam os que todas las a en la ecuación polinom ial f ( z ) = o son reales. Por la propia estructura de f ( z ) , hecha sólo de pro­ ductos y sumas de núm eros com plejos, tenem os de inm ediato el resul­ tado f ( z ) = f ( z ) gracias a los dos resultados establecidos en el párrafo previo. Supongam os a continuación que z x es una solución de f ( z ) = 0. Entonces ~zx tam bién es una solución porque f ( z ¡ ) = f ( z 1) = ó = o, es decir, com o cualquier núm ero real, cero es su propio conjugado. ¿Ves ahora por qué las a tienen que ser reales para que las raíces aparezcan en pares conjugados? Es porque, cuando form am os / ( i ) , generam os tam bién los conjugados de las a, ju n to con los de z y sus potencias, y para evitar m ezclar las cosas, necesitam os que a = a, es decir, cada a debe ser real. Luego, las raíces com plejas de una ecuación polinom ial de cual­ quier grado con coeficientes reales (esta hipótesis es im portante)3 aparecen en pares conjugados. En particular, las tres raíces de un p olin om io cú­ bico deben ser todas reales, o debe haber una raíz real y un par conju­ gado. N o puede haber tres raíces complejas porque entonces debería­ m os tener una raíz com pleja sin su com pañera conjugada.

3. Por ejemplo, resuelve ix2—2 x + 1 = 0 y muestra que X= -|'±V -1 + Í. Después muestra que x = —í + 7 —1+7 y x = - i —V—í + i no son un par N O SE LEA ANTES DE HABER ESTUDIADO ACERCA conjugado. De DE LA OBRA DE WESSEL EN EL CAPÍTULO TRES hecho, el conjugado de C o m o un com entario final sobre los conjugados, fíjate en que tam bién x = - i + V -i + 1 es es cierto para cualquier núm ero com plejo z = x + i y que í + V—1+ 1* - ¿ - V - i + r. tyx + iy = \ x + iy.

Esto es, el conjugado de una raíz fe-ésima es la raíz k-ésim a del conju­ gado. Esto se muestra con más facilidad utilizando la form a polar. Así, podem os escribir, con n un entero cualquiera,

y entonces

k j x _|_ ¡ y = ( x 2 _|_ y

2

y / 2 k e i[(i/fe)tan 1( y / x ) +2 7 r n / k ] ^

Por lo tanto, kjx

+ iy = ( x 2 +y2 y /2k e— «[(i/fc)tan_l { y/x)+ 2 Trn/k]

Si escribes %Jx + iy en form a polar, encontrarás el m ism o resultado. Por ejem plo, com o 1+ V—3 y 1—%/—3 son conjugados, sus raíces cua­ dradas son tam bién conjugadas, con lo cual la conocida expresión de Leibniz (enunciada al final del capítulo 1) resulta obvia. Estaba tan fas­ cinado por este com portam iento, sin saber realm ente por qué era siem ­ pre así, que sus trabajos no publicados con tien en m uchos resultados similares. Sobre esto, el m atem ático del C altech e historiador de las matemáticas Eric Temple B ell escribió: “Leibniz quedó igualm ente asombrado al com probar de una manera análoga que un radical real especial se podía expresar co m o suma de com plejos conjugados. H is­ tóricam ente, lo más asombroso de las m anipulaciones de Leibniz con los núm eros com plejos es que hace m enos de tres siglos [Bell escribió estas palabras en 1940] uno de los más grandes m atem áticos de la his­ toria pensara que [esos] resultados eran más inesperados que el volver boca abajo dos veces en sucesión un cub ilete” .4 C o n estas palabras arrogantes, B ell está practicando el anacronismo histórico, burlándose de la ignorancia del pasado con la ventaja de con ocer los trescientos años de progreso que vinieron después de la m uerte de Leibniz.

4. Bell, The Development of Mathematics, p. 176 [Historia de las matemáticas, p. 186]

Apéndice a Las raíces complejas de una ecuación trascendente

En este apéndice voy a mostrarte cóm o pueden usarse los números com plejos para determ inar el tipo de las raíces de una ecuación sin resolverla realmente. El ejem plo que voy a utilizar está basado en el interés de un m atem ático de 1920 que leyó sobre un tema puramente técnico en la literatura física de su época. Voy a dedicarm e al aspecto exclusivam ente m atem ático del problema y dejar que busques en otro lado la inspiración de todo esto, si estás interesado.1 La lección que nos enseña este ejem plo no es cóm o resolver una ecuación particular para hallar sus raíces particulares. En cam bio, es para ver el tipo de razona­ m ientos y argum entos, basados en núm eros com plejos, que pueden llevarnos a obtener m ucha inform ación sobre las raíces de una ecua­ ción sin calcularlas para nada. La ecuación que estudiarem os es f ( z ) = ( i + 2 z ) e : - z = o. C o m o el desarrollo de ez en serie de potencias que presenté en el capítulo 6 tie­ ne todas las potencias de z , estamos ante una ecuación de grado infi­ nito y podem os esperar que haya una infinidad de raíces. Primero, es­ tablezcamos que en esta infinidad no hay raíces reales. Para hacer esto supongam os que z = x, donde x es algún real. Entonces.

1. Pierpont,“O n the C om plex R oots o f a Trascendental Equation Ocurring in the Electron T heory”. La inspiración para el profesor Pierpont fue Shott, “T he Theory o f the Linear Oscillator and Its Bearing on the Electron T heory”.

1 + 2.Y

y la figura 47 muestra una gráfica de los lados izquierdo y derecho de esta ecuación. C o m o se muestra en la figura, las curvas e* y x / { \ + 2 x) no se intersecan y por lo tanto no hay un x real. Esto puede parecerte o n o “o b v io ” . P ierpont escribió respecto de esas curvas: “vem os al instante [que] no se cruzan”, pero yo no lo veo en un instante y si tam bién tú necesitas un p o co de ayuda, tal vez lo siguiente te resulte útil. Las dos ramas de la hipérbola x / ( i + 2 x ) (A y C en la figura 48) tienen com o asíntotas las líneas punteadas. Es claro, creo yo, que la curva exponencial (B) no interseca a A . El caso de la curva exp on en ­ cial y la rama C es levem ente m e-

Figura 47. Enunciado geométrico de que f (z ) = (1 + 2z)ez—z = o no tiene raíces reales.

nos claro. C o m o ? es m enor que 1 /2 para x < - ln ( 2 ) - - 0 . 6 9 , entonces el único intervalo posible a priori para una intersección (es decir, para una raíz real) sería el intervalo —ln(2) < x < —0.5. C o m o la pendiente de la exponencial es ex%en x = -ln (2 ) la pendiente es 1 /2 . Por otro lado, la pendiente de la rama C es 1 /(1 + 2x)2, por lo que e n x = —ln(2) esa p en ­ diente es aproxim adam ente 1 /( 1 + 2 x —o.69)2 = i/(o .3 8 ) 2 > 1. D e he­ cho, la pendiente de la exponencial es siempre m enor que la de la rama C y, com o C está por encim a de la exponencial en x = —ln(2), entonces las dos curvas no se intersecarán. C o m o n o hay raíces reales, entonces todas las raíces deben ser co m ­ plejas. D e h echo, podem os decir algo aún más fuerte: todas las raíces están fuera del eje im aginario, es decir, no hay raíces imaginarias puras. Para ver esto, supongam os que hay raíces imaginarias de la form a 2: = iy, donde y es real. Entonces, (1 -l- 2 iy)ety= iy, y si tom am os valor absoluto de ambos lados obtenem os

| (í+i/y)^! =

| (1

+ 21'y) | \e,y\ = |íy|.

Pero, com o | eiy | = 1, esto nos dice que 1 + 4 y2 = y2 o ^y2 = - 1 . Por su­ puesto, esto n o es posible si y es real. Esta contradicción significa que debe ser falsa la suposición inicial de que e = /y, y por lo tanto todas las raíces de f ( z ) = o tienen parte real no nula. Luego, todas las raíces tienen la form a general z = x + iy con x * o . Pero, otra vez, podem os decir aún más. C om o voy a mostrarte aho­ ra, cada una de las raíces tiene una com pañera conjugada, esto es, si es una raíz, tam bién lo es z. Escribiendo z = x + iy y reem plazando ese valor en la ecuación original p a ra /(¿ ), obtenem os [1 + 2(x + iy )]e ^ iy- ( x + iy) = o. Si desarrollas todo esto utilizando la con exión entre la exponencial com pleja y las funciones trigonom étricas — la identidad de Euler del capítulo 3— y agrupas las partes real e imaginaria (por supuesto, cada una de las cuales por separado debe anularse), encontrarás que [(1 +2A*)cosy—2yseny]ex—x = o, [(1 + 2x)seny + 2ycosy]ex- y = o. Ahora, si cam biam os y por - y , dejando x sin cambio, lo cual claramen­ te representa un cam bio de ^ a z, verem os que las dos ecuaciones per­ m anecen sin cam bios. Esto es, si z es una raíz, z tam bién lo es. R esum am os lo que hem os aprendido hasta ahora: hay un núm ero infinito de raíces de f ( z ) = (1 + 2z)ez - z = o, todas son com plejas con partes reales n o nulas y cada una está en un par conjugado. Pero todavía queda m ucha más inform ación por averiguar. Por ejem plo, voy a de­ mostrarte a continuación que x < o para cada raíz. C o m o ya sabemos

que x = o es im posible, entonces debe ser cierto que x < o o . v > o . O b ­ servem os prim ero que, si z es una raíz,

y que el lado derecho está siempre definido porque z * o (porque siem ­ pre x * o ) para cada raíz. Por conveniencia de notación, escribam os T = é~z y t = 2 + 1/ z. Lue­ go, T = t y entonces, por supuesto, | T \ = 11 | . Ahora, = |I p-(x+iY) |I = | e" | T\ =

~'Y I =

Supongam os ahora que x > o . Entonces | T | < 1. Lo que haré ahora es mostrarte que esto conduce inm ediatam ente a una contradicción. Tenem os t = 2+

- —1-

x + iy

Así,

M 2=

x 2+ y 2

\2 ( +

V

que, para x > o , nos dice que 11 \ 2 > 4, o 11 \ > 2. Esto es. suponiendo que x > o, hem os con cluido que | T \ < 1 y 11 \ > 2, lo cual viola la co n ­ dición de que | T | = 11 \ . Por lo tanto, concluim os que debe ser falsa la premisa x > o . Y por lo tanto debe ser cierto que x < o. es decir, todas las raíces deben estar estrictam ente a la izquierda del eje im aginario. La misma clase de razonam ientos nos dirá, sin embargo, que las raí­ ces no pueden estar en cualquier parte del lado izquierdo del plano com plejo. Hay más restricciones sobre las raíces. Por ejem plo, escriba­ m os las raíces d e f ( z ) = o com o z = —x + iy} con x > o. Entonces. T \ = e x. Tam bién, t= 2+

x 2 +, y2

—x + iy

x 2 +, 2y

y por lo tanto \2

/

t

-

X

2

V

1

T1 * 2 ,2 x + y1 ) l * 2 + r 2)

O, desarrollando, l'l" = 4 - 4

(x + y )

(* 2 + r ) ;

C o m o el segundo térm ino es siempre positivo (ya que estamos asu­ m iendo que x > o ) , tenem os

l r |2 < y

4+,..2 1, debe ser cierto que

|í |<

\

4 + J í < V s < 2 .5 < e ( = 2.718...).

X

Pero, com o se mostró antes, | T \ = ex y por lo tanto, para x > i, tenem os | T | > e. Otra vez tenem os una violación de | T \ = \ t \ , y por lo tanto debe ser falsa la premisa de que x > t . Así, las raíces z = x + iy deben ser todas tales que - i < x < o, es decir, las infinitas raíces de f ( z ) = o yacen en la banda vertical definida por - i < x < o , paralela al eje im aginario. En realidad, puede decirse m ucho más sobre las raíces de f ( z ) = o, y el profesor Pierpont lo dice en su trabajo, pero esto es lo más lejos que iré en la discusión de este tema. Tendrás que leerlo para con ocer el res­ to. Pero ¿no crees que es absolutam ente asombroso cuánta inform a­ ción sobre las raíces desenredó el profesor Pierpont a partir de esta ecuación, sin acercarse siquiera a realizar algún cálculo?

Apéndice c. (\í—i

hasta 135 cifras decimales, y cómo fue calculado

¿ (—1)'~ l6j es un entero? N o seas demasiado im petuoso en rechazar esa posibilidad — después de todo, com o se m ostró en el capítulo 3. la ex­ presión e71^ , que tiene un aspecto quizás aún más com plicado, es un entero— . La respuesta se da al final de la nota 4 de este apéndice, pero no la veas antes de leer lo que sigue. Si esperas, tu valoración de la sor­ prendente respuesta será m ucho mayor que si la “espías**. Parece que es un rasgo com ún de las m entes curiosas e inventivas la fascinación por el cálculo de ciertos núm eros especiales. En este aspec­ to, los casos de 7r y e son bastante conocidos, en parti­ ~ En diciembre de 2 0 0 2 , los científicos cular el de 7r, del que se han calculado varios m illones japoneses Kanada, U shio y Kuroda de cifras decimales.* C uando Isaac N ew to n estaba calcularon 1.2411 x 1012 (más de un desarrollando su cálculo, lo utilizó para deducir una billón decimales de 7r, lo que requirió serie convergente para n que fue utilizada luego para m is de 6 0 0 horas en una calcular ese núm ero hasta el decim osexto decimal. supercomputadora Hitachi SR8000. [N. del e.] Luego escribió, com o una explicación de por qué hizo eso: “Estoy avergonzado de decirles hasta cuán­ 1. N ew ton (1642-1727) derivó su serie tos dígitos llevé estos cálculos, pero no tenía otras ac­ rápidamente convergente para 7T entre tividades que realizar en esa época.”1 El gran Gauss 1665 y 1666. cuando huyó de la plaga también fue atraído por cálculos igualm ente detalla­ que se desató en Londres y regresó a la casa de su familia en Woolsthorpe, dos, y tras su m uerte se encontraron manuscritos en en Lincolnshire. Así, su serie se los cuales había calculado números tales co m o en/1 y anticipa a la propuesta por Leibniz y 2é~9n con decenas de cifras decimales. Gregory (discutida en el capítulo 6), En 1921 se realizó un cálculo aún más largo que pero que no apareció impresa sino extend ió enorm em ente el maravilloso cálculo de hasta varios años después, en la (n/—i)^ “*; el método es al m enos tan interesante com o publicación postuma de una el propio resultado.2 Ese año, el físico de Yale H orace traducción al inglés ( The Method of Fluxicns Jtid Infinite Series) de su Scudder U hler (1872-1956) publicó el valor de i1con manuscrito original en latín. Fue más de 50 decim ales. A ntes de continuar con la for­ ma en que lo hizo, debo decirte que el profesor durante el mismo periodo en Woolsthorpe que N ew ton descubrió U hler no era un principiante en esto de “masticar* pero no publicó el desarrollo en serie núm eros. Fue una seria obsesión durante toda su de potencias para ln(i + x) antes que vida. En 1947, por ejem plo, v olcó su atención al ma­ Mercator (véase la discusión en el yor núm ero decim al que podía escribirse utilizando capítulo 6). Esta es la serie utilizada por Schellbach para calcular 7T a partir sólo tres dígitos (99 ),q u e se sabe que tiene 369 693 100 de %-1 — lo que, también, ya se dígitos. C alculó el logaritm o de este m onstruo con discutió en el capítulo 6— y que 250 decimales. ¿Por qué? U h ler dijo que le parecía N ew ton utilizó para calcular varios relajante hacer estas cosas, y creo que debem os creer números “interesantes” hasta 68 cifras en sus palabras. decimales. Pero volvam os a i1. El enfoque obvio, de fuerza bruta, es sim plem ente tomar una expansión decimal 2. Uhler, “O n the Numerical Valué o f m uy larga de 7r y utilizarla, con el auxilio de una ex -

tensa tabla de logaritm os, para calcular e~*/2 recurriendo al desarrollo de en serie de potencias . Sin embargo, para evitar cualquier depen­ dencia de tales valores decimales y el riesgo de equivocación por erro­ res desconocidos que pudieran esconderse en los valores tabulados, U h ler siguió un enfoque distinto e inesperado. Al m enos, él dijo que h izo esto “para evitar la utilización de cualquier tabla de constantes m atem áticas” , pero sospecho que lo hizo sólo para tener un p o co de diversión haciendo algo que no había sido h ech o antes. U h ler definió la función f (x ) = é~sen ^ y la desarrolló en serie de potencias. H izo esto porque se dio cuenta de que, para * = ± 1 / 2 , / ( ± 1 / 2 ) = e±n/6. Entonces, elevando esto al cubo, obtuvo e±7r/6 (y así obtuvo í = e™/2 sin con ocer 7r explícitam ente). En su artículo describe có m o determ inó prim ero que

/J (*) =1+X+-^X2+-^:X 3+^:X4+· 2! 3! 4! 2fe+2 , c o n |x |< 1,

fc+i k=1

y

fe=1

J

donde _ (°2 + l ) (- ~ + l)(4~ + l ) - - - [ ( 2 f e —l ) 2 + l ] x

2k+'

2k

(2k)l _ (i2 +1)(32 + i) (s 2 - n ) - - [ ( 2 f e - i ) 2 + i ] x 2fc+1

2k+2

3. Uhler, “Special Values o f eKn, cosh(Kn) and sinh(/C7r) to 136 Figures”.

(2fc + l ) !

U h ler em pleó estas fórmulas generales para calcular 85 térm inos, para cada una de las potencias pares e impares de x, con cada térm ino re­ dondeado a 54 decimales (5 x 1o-55 fiie redondeado a 1 x io -54). C o n ­ cluyó que este proceso le daría 52 decim ales correctos de e±7r/6. Su confianza en los cálculos aum entó cuando calculó por separado/( 1 /2 ) = é7r/6 y / ( - 1 / 2 ) = e-7r/6, y lu ego m ultiplicó los dos resultados entre sí: con 52 decim ales, el resultado era exactam ente la unidad. Sin embargo, años después U hler expresó ciertas dudas sobre la “convergencia prohibitivam ente lenta” de su serie de p otencias,3 al m enos com o para que fuese de utilidad para calcular dígitos adiciona­ les después de la quincuagésim a posición. Entonces, para un cálculo nuevo y aún más heroico, cam bió su enfoque al más “o b v io ” que m en ­ cio n é arriba, el de utilizar tablas de logaritm os con 137 decim ales para calcular e? a partir de su desarrollo en serie de potencias. En realidad, em p leó dos tablas diferentes y com paró los resultados de cada tabla con la otra con el objeto de descubrir errores de im presión en las tablas. A partir de una tabla calculó e77 2 y e~" 2, y com probó los resultados calculando su producto: obtuvo 150 nueves consecutivos después del p unto decimal. Luego, con la otra tabla, calculó e~^/xg2 y, elevando su­ cesivam ente al cuadrado, determ inó e-77 6 y e ^ / l . Finalm ente, m ultipli­

cando estos dos últim os núm eros entre sí obtuvo, una vez más, un valor para e ^ /2. En seguida com paró este valor con el que había obtenido con la otra tabla y encontró que ambas coincidían perfectam ente hasta el lugar 139, con la primera discrepancia en el 140. A causa de esto, U h ler escribió que él se “sentía justificado para garantizar la exactitud de 136” decim ales. M i op inión personal es que el profesor estuvo en lo correcto más allá de cualquier duda razonable.4 ¿Puedes imaginar el esfuerzo involucrado en reali­ zar todo esto? C ito a U hler: “La parte del trabajo más 4. C on el desarrollo de potentes lenguajes de programación sensible a error consistió, co m o es usual, en m ultipli­ matemáticos com o el Madab (véase la car m entalm ente [recuerda que en 1947 Bill Gates, figura 47), el cálculo de i1puede M icrosoft y las com putadoras personales por todas hacerse en un instante con una partes habitaban un futuro m uy lejano] entre sí los cantidad de dígitos superior a la de factores binom iales tal co m o se obtenían a partir de Uhler. Por ejemplo, la única línea de código los logaritm os. Por ello, este conjunto de operaciones se realizó tres veces.” La única explicación que en ­ vpa('iAi\ 140) cuentro es que, para U hler, jugar con los núm eros era invoca el comando aritmético de co m o jugar con lod o para un niño de preescolar. precisión variable que le dice a Madab Entonces, sin más discusión, he aquí el valor de t que imprima ¿' hasta 140 dígitos. M i con 135 cifras decimales, donde el 3 final es resultado pequeña computadora portátil lo hizo sim plem ente de truncar el dígito 136, que era 9. Segu­ en menos de un segundo; la respuesta ramente, el propio Euler habría estado impresionado. mostrada fue exactamente la de Uhler. = i1= 0 .2 0 7 8 7 95763 50761 90854 69556 1983 97877 OO338 77841 63176 96 0 8 0 75135 88305 54198 77285 48213 9 7 8 8 6 0 0 2 7 865426035340521 773307235021808 19061 97303 74663.

Y ahora puedes ver cóm o calcular la respuesta a la pregunta con que se inicia este apéndice. Para comenzar, fíjate en que hay dos valores para la expresión, es decir, com o -1 = e±m y com o yj—163 =±1^163, entonces (_i)V-ió3 = e±7r>/í63 Podemos concluir inmediatamente que e-7r>^ no es un entero, porque es a la vez mayor que cero pero menor que uno. Pero ¿qué ocurre con e7r>^ ? Obviamente, es bastante grande, pero ¿es un entero? Si escribimos el comando de Madab vpa('exp(pi*sqrt (163))',37), obtenemos el valor (_!)

= 262 537 4±2 640 7 se define co m o ¿ \ f ' t : = je ~ s f ( t ) d t = F (s),

(1)

donde 5 es la variable de tKxnsk*mj¿ión (s es una variable com pleja, que usualm ente se escribe co m o cr En realidad no im porta si f ( t) = o para t < o, pues la integral ignora lo que f (t) hace cuando t es negativo, pero esa restricción perm ite que haya una asociación única entre f ( t) y F(t). D esd e un punto de vista práctico, ingenieril, toda f (t) que repre­ sente un voltaje o una c o m e n te en un circuito real que efectivam ente podam os construir vale cero si nos vamos suficientem ente hacia atrás en el tiem po (por ejem p lo .;hasta antes de que el circuito se ensamble!) y ese instante define el n em p o que llamaríamos t = o. Lo que hace de la definición (1) algo m uy útil es la siguiente pro­ piedad: si /( o ) = o. entonces

A plicaciones más complicadas de la transformada de Laplace no n ece­ sitan la suposición de que /( o ) = 0, pero para nuestro problema del os­ cilador por desplazam iento de fase este supuesto ayuda a m antener el álgebra bajo control. Podem os llegar a la ecuación (2) m ediante in te­ gración por partes. Esto es, con la notación usual de los libros de texto de cálculo, 00

00

J udv = u v £ —J v du, o

o

donde escribim os d v = (df/d t)d t= df (y de ahí v = f ) y u = e st (y de ahí du = -sé~stdt). Entonces

¿ { ! } = /(0 e -sT - J / (0 (~se-*)át

O Esto es, ¿ { § } = / ( 0 ^ sT + ^ W ·

( 3)

Veamos ahora que el prim er térm ino de esta última ecuación es cero. Ese térm ino es igual, en el lím ite de integración inferior, a /(o ), que ya vim os que era cero. En el lím ite superior, form alm ente tenem os /(«>) m ultiplicado por lim e~5t. t-

>00

A sum irem os q ue/(«>) es finito, lo cual es siempre una suposición segu­ ra para el caso de voltajes y corrientes en cualquier circuito que poda­ m os construir. Y si asumimos que la parte real de s (es decir, o) es p o ­ sitiva, entonces también lo será lim e~5t. r—>o©

Así, co m o supusim os, tenem os la ecuación (2). Podem os repetir esta argum entación indefinidam ente para mostrar que la transformada de Laplace de la rc-ésima derivada d e /(f) es

¿ f e ] - i / ’f r - ™ . Otra propiedad de la transformada de Laplace que usaremos es la linealidad, es decir, si g(t) y /( f) son dos funciones del tiem po, entonces, con a y b constantes tenem os ¿ {< « (0 + kf( 0 í = j G (s) + bF(s)·

( 5)

Esto se sigue inm ediatam ente de la definición misma de la transformada — ecuación (1)— . Fíjate en que, por convención, usamos m inúscu­ las para denotar las funciones de t y mayúsculas para las transformadas asociadas a ellas. H e aquí có m o todo lo anterior está a nuestro servicio. Si aplicamos la transformada de Laplace a las o ch o funciones en el d om in io de t que aparecen en el capítulo 5, obtenem os las siguientes ecuaciones alge­ braicas en el dom in io de s:

(6 )

I = C sV -C sX ,

(7)

(8) / ; = / } + / 4, /. = c < x - c < y ,

(9)

(10) (11)

/ t = C sY —CsU ,

(12) (13)

C om binando (12) y (13 j. obtenem os ^ = C sY -C sU , que con un p o co de álgebra nos Deva a i^ R O RC s

(14)

Ahora, si com binam os las ecuaciones ^9j. (10), (11) y (13), llegam os a

que puede transformarse en x _i+RGy RCs

L R C s'

(15)

U sando la expresión para Y en (14). la ecuación (15) se transforma en

X =

(1 + R C s r (R C sf

1 U. RCs

Si com binam os (6) y (7), obtenem os Il + I 2 = C s V - C s X . que a su vez se transforma, valiéndonos de ■. S) y de (10), en X + C sX - C s Y = C s V - CsX, R la cual a su vez, con un p oco de álgebra, deviene en

(16)

v = t± R d T x ~ Y ·

(l7)

Así, usando la expresión para X en (16) y para Y en (14), la ecuación (17) se convierte en y _ 1+ 2 R C s (1 + 2 R C s)2 RCs (R C s)2

1 RCs

u _ t± R C s u RCs

la cual, co n unas cuantas m anipulaciones algebraicas, se vuelve _ (i + 2 R C s)(\ + R C s f + (1 + 2 R C s) R C s - ( \ + R C s) ( R C s )2 (R C s)3 (18) Tras desarrollar los térm inos en el num erador de (18), sim plificar todo lo que se pueda y multiplicar por s3, llegam os a

E ntonces, finalm ente, regresamos al d om in io de t usando (4) térm i­ no a térm ino, al igual que (5), en (19), con lo que p odem os escribir la ecuación diferencial de tercer orden que aparece en el capítulo 5:

Apéndice

Valor de lafundón gamma en la línea crítica

f.

C o m o se h izo en el capítulo 6, la fórmula de reflexión de la fun ción gamma es

donde la función gamma se define (al igual que en ese m ism o capítulo) com o ae r í n ) = j r xx n-'dx. En la presentación que hicimos en el texto, se asume que x es una can­ tidad real positiva, pero si ignoramos ese detalle y sólo form alm ente procedem os a escribir n = i 2 ^ ih, entonces = J ~ (i/2 + ífc)

y r i —n, = T ( i / 2 - i b ) . Puesto que la única diferencia en I\n ) y jT ( i - n) sobre la línea crítica es el signo de i, vem os que F \ 1 2 ^ ib) y I \ i / 2 —ib) son un par conjugado. Así, sobre la línea crínca. IX1 i ~ i b P i 2 —ib) = | I \ i /2 + ib) | 2 y esto con d uce a

____ X____

_______ 7T_____ |se n [(i / 2 + tfe)7r ] |‘

sen(fi

A partir de la identidad de Euler, tenem os v2+¡b)TT] _ p-i[ (i/2+ib)n]

sen[(i

=*

--------------

¿ ^ ' 2 ) - ! Tb _ e- i ( n / 2 ) enb

2i

~

_ ie~*b + ienb 21

_ e~nb+ e nh 2

= cosh( 7Tb). C o m o cosh(7rt) no es negativo para ningún real b, p odem os quitar los valores absolutos del seno y escribir

O

z = í/z + ib

que es lo que queríamos demostrar.

COsh(7T¿) ’

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