EstimacionYPruebaHipotesis

Para uso exclusivo de los estudiantes del Prof. Víctor Gómez

ESTIMACIÓN Y PRUEBA DE HIPÓTESIS 1) Dada una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con la media conocida µ y la

1 n 2 varianza finita σ , demuestre que • ∑ ( x i − µ ) es un estimador insesgado de σ2. n i =1 2

Circulación restringida

Respuesta: El insesgamiento implica que el valor esperado del estimador es igual al parámetro a

⎡1

estimar, por tanto: E ⎢ • ⎣n

n

∑ (x i =1

i

1 n 1 2 2⎤ − µ ) ⎥ = • ∑ E ( x i − µ ) = • (nσ 2 ) = σ 2 n ⎦ n i =1

2) Si θ´ es un estimador de θ y su sesgo está dado por b = E(θ´)-θ. Demuestre que E((θ´θ)2) = Var(θ´) +b2. Respuesta:

E((θ´-θ)2) = E{((θ´- E(θ´)) + (E(θ´) -θ))2} = E{(θ´-E(θ´))2 –2(θ´-E(θ´))(E(θ´) -θ) + (E(θ´) -θ)2} = Var(θ´) +E{–2(θ´-E(θ´))(E(θ´) -θ) + (E(θ´) -θ)2} = Var(θ´) +E{–2(θ´E(θ´) - θ´θ - (E(θ´))2 + E(θ´) θ )+ (E(θ´))2 -2E(θ´)θ + θ2} = Var(θ´) +E{-2θ´E(θ´)+ 2θ´θ + 2(E(θ´))2 -2 E(θ´) θ +(E(θ´))2 -2E(θ´)θ + θ2 } = Var(θ´) +E{-2θ´E(θ´)+ 2θ´θ + 3(E(θ´))2 -4E(θ´) θ + θ2 } = Introducimos operador E. Var(θ´) +-2E(θ´)E(θ´)+ 2E(θ´)θ + 3(E(θ´))2 -4E(θ´) θ + θ2 } = Var(θ´) +-2(E(θ´))2 + 2E(θ´)θ + 3(E(θ´))2 -4E(θ´) θ + θ2 } = Var(θ´) +(E(θ´))2 -2E(θ´) θ + θ2 } = Var(θ´) +(E(θ´)- θ)2 = Var(θ´) +b2 3) Mediciones de la presión sanguínea de 25 mujeres de edad avanzada tienen una media de x =140 mm de mercurio. Si estos datos se pueden considerar como una muestra tomada al azar de una población normal con σ = 10 mm de mercurio, construya un intervalo de confianza del 95% de la media de la población µ.

Respuesta: El intervalo se construye de forma tal que: x - zα/2.

σ n

< µ< x + zα/2.

σ n

.

Si

observamos la tabla para un nivel de confianza del 95% para una prueba de dos colas, esto implica que la región de rechazo contendrá 2.5% del área a cada lado de la región de aceptación. Así que si P(Z