Estimación Geoestadistica Gemcom

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Estimación Geoestadistica

Marzo 2009

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Objetivo y contenidos

muestra

El yacimiento se ve como una reunión de bloques, que serán estimados a partir de datos cercanos (muestras de sondajes o de pozos de tronadura). La estimación de recurso: A partir de valores puntuales (muestras) se debe estimar el valor de los bloques del modelo de bloques. Existen variados métodos, entre los cuales; Inverso a la distancia y Krigging. En las muestras han sido medidos los bloque atributos de interés: leyes (cobre, oro,), densidad de la roca, tipo de roca...

Limite zona mineralizada Marzo 2009

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Definiciones (1) Isotropía: El valor medido no depende de la dirección donde se mida. Tienen el mismo comportamiento espacial en todas las direcciones. Anisotropía: El valor medido depende de la dirección en la que se mida, es decir, existen direcciones preferenciales en las cuales el valor se comporta de manera diferente a las otras direcciones.

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Anisotropías (4) Estimación Geoestadistica usando Isotropía: 

En una estimación geoestadistica, uno o mas puntos ( muestras) son usadas para estimar el valor en un punto donde no existen muestras.



En la figura , las muestras son representadas por dos puntos que contienen los valores 10 y 20. El valor se desea estimar en el centro del bloque de dimensiones 1 x 1 x 1.



Estas dos muestras se utilizaran para estimar el bloque.



Ambas muestras están ubicada a 3 metros



Se asume condición de ISOTROPIA ( no existen direcciones de máx continuidad)

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Anisotropías (4) Estimación Geoestadistica usando Isotropía: . Valor del bloque = (valor muestra1 * peso1) + ( valor muestra2 * peso2) ( 10 * 0.5) + (20 * 0.5) = 15

Recordar  la suma de los pesos ( ponderadores ) debe ser igual a 1. Peso1 + peso2 = 0.5 + 0.5 = 1

 Cuando se dice que no existe una dirección de máxima continuidad o dirección preferencial, estamos diciendo que estamos en una condición isótropa.

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Anisotropías (5) Estimación Geoestadistica usando Anisotropía . 

Una condición de anisotropía se presenta cuando el valor de los datos cambia dependiendo de la dirección en la que se midan.



Cuando se utiliza Anisotropía durante la estimación, la dirección desde el centro del bloque a estimar a la muestra es importante. Distancia anisotrópica = Actual distancia x Radio anisotrópico

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Anisotropías (6)

Valor Muestra

Bearing

Distancia Actual

10

0

1

20

90

3

Distancia Anisotropica 3

3

Valor del bloque = (10 x 0.5) + (20 x 0.5)

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Peso

0.5

0.5

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Anisotropías (7) Elipse de Búsqueda Tiene 3 ejes  Eje Mayor ( Mas largo)  Eje semi mayor (segundo mas largo)

 Eje menor ( mas corto)  Los 3 ejes son perpendiculares entre si

El radio entre el largo del eje mayor y el largo del eje semi mayor es definido como MAJOR/SEMI-MAJOR ANISOTROPY RATIO. El radio entre el largo del eje mayor y el largo del eje menor es definido como MAJOR/MINOR ANISOTROPY RATIO.

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Anisotropías (8) Ejemplo:  Con los ejes orientados como se ve en la figura, el radio de anisotropía mayor/ semi mayor es 2, y el radio de anisotropía mayor/menor es 3.  Cada muestra esta ubicada a 3 metros del centroide del bloque.

valor del bloque : (5 x 0.5) + (10 x 0.333) + (25 x 0.1666) = 7.75 Marzo 2009

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Anisotropías (8) Elipse Termino

Min

Max

Descripción

Bearing Eje Mayor

0

360

Azimut eje mayor

Plunge de eje Mayor

-90

90

Dip sobre o bajo el eje horizontal

Dip de eje Semi-Menor

-90

90

Rotacion del eje semi mayor c/r al eje mayor

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Anisotropías (8) Elipse

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Bearing

90

Plunge

0

Dip

-90

Major/Semi-major

2

Major/Minor

3

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Objetivo del análisis variográfico (1) Pasos a seguir 1) Calcular un variograma experimental a partir de los datos disponibles 2) Modelar este variograma por una función teórica 3) Validar el modelo

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Variograma experimental

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Variograma experimental (1) El variograma es una herramienta que permite medir la regularidad espacial de una variable. Esto se representa graficando la correlación existente en promedio para pares de muestras distantes una cierta separación.

El variograma Linear o direccional se calcula a lo largo de una línea de muestreo o a lo largo de la traza de un sondaje.

El variograma tridimensional se determina a partir de varios variogramas direccionales. Estos variogramas direccionales se calculan definiendo direcciones (determinados por su acimut o inclinación) y tolerancias de búsquedas para encontrar un numero suficiente de muestras

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Variograma experimental (2) Ilustración

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Variograma experimental (3) Los pasos para construir un variograma: 1. Seleccionar los pares de muestras que están separados por una distancia especifica (lag) en una dirección definida. 2. Calcular las diferencias y elevarlas al cuadrado.

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Variograma experimental (4) Componentes de un variograma: •Efecto Pepita (Nugget) •Meseta (Sill) •Alcance (Range)

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Variograma experimental (5) Efecto Pepita (Nugget) Este concepto proviene de los depósitos de lavaderos de oro, donde se encontraba una pepita de oro de muy alta ley, y a una distancia muy corta había cero ley de oro ( muy alta variabilidad). Esta diferencia entre pares de muestras ubicadas a una distancia muy cercana a cero puede deberse a la variabilidad del deposito o a errores en el muestreo, errores en el laboratorio o durante el ingreso de la información. Todos estos errores pueden contribuir al efecto pepita.

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Variograma experimental (6) Sill o Meseta: Generalmente, la meseta modelada es igual a la varianza de las muestras. El variograma experimental puede tener valores sobre la meseta, pero algunos de estos datos pueden ser considerados insignificantes pues ellos representan una situación donde algunos pares de muestras tienen una varianza mayor a la varianza de las muestras. Dos valores describen el punto al cual el variograma alcanza el máximo valor : El Sill (Meseta ) y el Range (Alcance).

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Variograma experimental (7) Rango o alcance Representa la distancia a la cual la curva del variograma se comienza a estabilizar

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Variograma experimental (8) Ejercicios

Consideremos las siguientes observaciones espaciadas cada 100 m 5

3

6

4

2

1

1

2

4

3

Calcular el variograma experimental para estos datos.

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Variograma experimental (9) El variograma experimental sólo puede calcularse para distancias múltiplos de 100m: 5

ˆ (100m)

ˆ (200m)

ˆ (300m) Marzo 2009

3

6

4

2

1 (22 32 22 2 10 1 2 9 1 2 8

1

1

2

4

3

2

22 12 02 12 22 12 12 ) 1.45

(12 12

42

32 12 12

32 12

(12 12

52

32

22

02

32

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02 )

22 )

2.39

3.06

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Variograma experimental (11) Variograma Omnidireccional En este tipo de Variogramas, los pares de muestras seleccionados se basan solo en la distancia de separación entre ellas y no en la orientación de los pares de muestras. Cuando se busca dimensionar se realiza un variograma omnidireccional , el cual busca en un radio de búsqueda comprendido entre el acimut 0 y 360, y entre un dip -90 y 90. es decir cubre todo el espectro de direcciones posibles.

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Variograma experimental (12) Linear Semi Variogramas Los variogramas semi lineales son calculados a lo largo de la traza del sondaje. La relación entre los pares de muestras es determinada directamente desde su posición secuencial a lo largo de la traza del sondaje. Los Variogramas linear a menudo son utilizados para determinar el efecto pepita o nugget.

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Variograma experimental (13) Variogramas Direccionales Un variograma direccional es aquel en el cual todos los pares de muestras están orientados en una dirección particular. Cuando se construye un variograma direccional, el software selecciona solo los pares de muestras que estén orientados en esa dirección particular, pero aplicando una cierta tolerancia angular ( Spreads angle ).

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Variograma experimental (14) Parámetros a definir para calcular un variograma experimental • dirección de interés: acimut, inclinación • distancias de interés: paso (lag distance), número de pasos (number of classes) • tolerancia en la dirección: tolerancia angular (en acimut y en inclinación), anchos de banda (horizontal y vertical) • tolerancia en las distancias

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Variograma experimental (15) Modelos para ajustar un variograma El modelo esférico es usado en la gran mayoría de los casos para modelar variogramas “mineros”. Los modelos exponenciales son utilizados principalmente en aplicaciones asociados a la química. El modelo gaussiano es utilizado para modelar superficies geológicas principalmente. Algunos Tips para modelar Variogramas 1. 2. 3. 4.

Tratar de modelar la tendencia del variograma experimental. Considerar la existencia de dominios geológicos. El variograma es válido hasta la mitad del dominio (en cada dirección) Es necesario tener al menos 50 pares de puntos para el cálculo de cada paso, de manera que la estimación del variograma sea confiable

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Modelos elementales (1) Efecto pepita:

(h)

0 si h 0 C en caso contrario

Este modelo se traduce en una ausencia total de correlación en el espacio: dos datos distintos tienen valores independientes. Marzo 2009

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Modelos elementales (2) Modelo esférico:

(h)

|h| 1 |h| 3 C 2 a 2 a

3

si | h | a

C en caso contrario

alcance Marzo 2009

a, meseta

C

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Modelos elementales (3) Modelo exponencial:

(h) C 1 exp

3 |h| a

El parámetro a es el alcance práctico: corresponde a la distancia para la cual el variograma llega al 95% de su meseta C. Marzo 2009

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Modelos elementales (4) Modelo Gaussiano:

(h) C 1 exp

alcance práctico Marzo 2009

3 | h |2 a2

a, meseta

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C

Mapa variográfico (1)

Visualiza el variograma experimental en todas las direcciones del espacio, bajo la forma de un mapa con escala de color. Ayuda a distinguir si existe anisotropía, para luego calcular el variograma experimental a lo largo de las direcciones principales de anisotropía.

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Mapa variográfico (2) Ilustración Mapa Variografico Primario Mapa Variografico Secundario

No Olvidar :

El eje mayor debe ser el variograma en el cual tengamos la menor varianza y el mayor alcance. El radio de anisotropía es el (rango eje mayor/rango eje semi mayor) para una Sill constante. Los radios anisotropicos se calculan a Sill Constante ( Muy importante) Marzo 2009

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Variograma Experimental El variograma teórico es la forma ideal de la curva ilustrando la relación teórica existente entre pares de muestra a incrementos en la distancia.

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Métodos Geoestadisticos Los métodos geoestadisticos mas utilizados para realizar una estimación de recursos son : • Inverso a la distancia • Kriging Ordinario

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Métodos Geoestadisticos Inverso a la Distancia Estimación de recursos

muestras

Modelo de bloques

El metodo del Inverso a la distancia, asigna ponderadores a las muestras que estimaran un bloque en particular. Estos ponderadores son inversamente proporcional a la distancia entre el bloque que se desea estimar y las muestras que seran usadas para tal estimacion. Es decir, asigna un ponderador (peso) alto, a aquellas muestras que se encuentren cerca del bloque, y asigna peso bajo a aquellas muestras que se encuetren a una distancia lejana al bloque.

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Métodos Geoestadisticos Kriging En la regresión de D. Krige, todas las muestras dentro del panel tienen el mismo peso; asimismo las muestras fuera del panel también tienen un peso igual entre sí, se sitúen o no próximos a él.

G. Matheron mejoró la ponderación al atribuir a cada dato el ponderador que se merece realmente, según su alejamiento al centro del panel y la continuidad espacial de los valores; así formalizó el método llamado “kriging” (1963).

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Métodos Geoestadisticos Kriging El kriging busca mejorar la ponderación de los datos al tomar en cuenta:

1.

sus distancias al sitio a estimar

2.

la continuidad de la variable regionalizada (variograma) privilegia los datos cercanos si el variograma es muy

regular

reparte la ponderación entre los datos si existe un efecto pepita en caso de anisotropía, privilegia los datos ubicados a lo largo de las direcciones de mayor alcance

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Métodos Geoestadisticos Kriging Consideraciones: • Al realizar una estimación de la ley de un bloque, en general no se utiliza toda la información disponible, sino que se restringe a una vecindad en torno a la posición del bloque que se esta estimando. • Se considera un máximo numero de muestras

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Métodos Geoestadisticos Kriging • Al realizar una estimación de la ley de un bloque, en general no se utiliza toda la información disponible, sino que se restringe a una vecindad en torno a la posición del bloque que se esta estimando. • Se considera un maximo numero de muestras

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