Estimación de La Proporción de La Población

 

El problema de la estimación de la proporción de la población Es frecuente, en los sondeos de opinión, investigar las preferencias de la  población por una determinada determinada opción A  A, frente a otra opción B  B. Por ejemplo : ¿qué proporción de posibles votantes optan por un candidato A  A frente a otro B  B?. Otras veces interesa saber, qué proporción de individuos de una población,  A, frente a los que no la presentan.  presentan una caracterstica A En cualquier caso, como normalmente no podemos estudiar a todos los individuos de una población porque, o es mu! caro o sencillamente es imposible, tenemos que tomar una muestra Estudiamos proporción individuos que la caracterstica, de estudio, en lalamuestra que de "emos tomado, aspresentan tenemos la proporción de objeto la muestra, que representaremos por  P   P  # p ma!$scula% & en general, no coinciden la  p ! la proporción de la muestra  P   P   proporción de la población, población, p 'ea la muestra que "emos tomado, de  n individuos, si al individuo que presenta la caracterstica objeto de estudio, le asignamos el valor  1 ! al que no la presenta le asignamos el valor  0, tenemos el par(metro de la muestra S  j , que representa el j  de individuos de la muestra, que presentan la propiedad objeto de n$mero  j  estudio. )a proporción de la muestra, P   P , es:

'i tomamos aleatoriamente muestras de tama*o  n, el par(metro S   S  j  de las muestras sigue, una distribución binomial b(n,p), donde p  p es la proporción de la población. + podemos definir la variable x   x  j  :

 

ue también sigue una distribución binomial ! que bajo ciertas condiciones, se  puede apro-imar por una distribución normal est(ndar . omo :

+ x   x  j  se ajusta a una distribución normal est(ndar, la proporción de las muestras de tama*o n, P   P  sigue una distribución normal, de media p  p #proporción de la  población% ! desviación tpica tpica :

/011 p0112 3s pues, el valor m(s esperado #la media% de las proporciones de las muestras , P   P , es la proporción de la población p  p ! adem(s cuando aumenta el tama*o de las muestras, P   P  se apro-ima a p  p.

Estimación puntual de la proporción de la población )a proporción de la muestra, P , es un buen estimador para la proporción de la población, p. En los p(rrafos anteriores "emos visto, como, bajo ciertas condiciones, la distribución de P  ,  , cuando n aumenta, tiende a una distribución normal de media p ! desviación tpica :

En la pr(ctica, las concidiones que qu e se consideran suficientes para que la estima sea aceptable, son :

'abemos como se distribu!en las proporciones muestrales, sólo desconocemos la  proporción de la población. población. 'i supiéramos la pro proporción porción de la población,  podramos calcular un intervalo, intervalo, alrededor de la media de las proporciones de las muestras #proporción de la población% , tal que con una probabilidad dada, las  proporciones de las muestras muestras estuvieran dentro de ese intervalo. intervalo.

 

Por ejemplo, supongamos que queremos que la probabilidad de que la proporción de una muestra esté dentro de un intervalo a calcular, sea de 4,56& sólo tenemos que tipificar P ! mediante la tabla de la distribución normal est(ndar, calcular  t α para  para 7 0 894,5604,46.

omo no conocemos la proporción de la población,  p  p, la sustituimos por la  P , con lo cual el intervalo ser( diferente para cada  proporción de la muestra, P  muestra, pero, con probabilidad 1-α , la proporción de la población, estar( dentro del intervalo as calculado ! tendremos una estimación de la proporción de la  población por un intervalo. intervalo.

Estimación de la proporción de la población por un intervalo El intervalo de confiana, para la proporción de una población, con un nivel de confiana de 1-α, teniendo la proporción, P , de una muestra de tama*o n, es :

;onde t α queda determinado en la tabla de la distribución normal est(ndar en función de α.

Error máximo con una confianza de 1-α

 

Tamaño de la muestra