Estatistica I - Emerson

 

iências ontábeis

C  ADMINISTRAÇÃO

Caderno de Estatística I Dom Alberto

Prof: Emerson José Jung

 

Página 2 / 102

C122

JUNG, Emerson José

Caderno de de Estatística I Dom Alberto Alberto / Emerson José Jung.  –  Santa Cruz do Sul: Faculdade Dom Alberto, 2010. Inclui bibliografia. bibliografia. 1. Administração – Teoria 2. Ciências Contábeis  – Teoria 3. Estatística I  – Teoria I. JUNG, JUNG, Emerson José II. Faculdade Faculdade Dom Dom Alberto Alberto III. Coordenação de Administração Administr ação IV. Coordenação de Ciências Contábeis V. Título

CDU 658:657(072)

Catalogação na publicação: Roberto Carlos Cardoso  – Bibliotecário CRB10 010/10 

 

 

Página 3 / 102

 

Apresentação

O Curso de Administração da Faculdade Dom Alberto iniciou sua trajetória acadêmica em 2004, após a construção de um projeto pautado na importância de possibilitar acesso acesso ao ensino superior de de qualidade que, combinado à seriedade na execução de projeto pedagógico, propiciasse uma formação sólida e relacionada às demandas regionais. Considerando esses valores, atividades e ações voltadas ao ensino sólido viabilizaram a qualidade acadêmica e pedagógica das aulas, bem como o aprendizado efetivo dos alunos, o que permitiu o reconhecimento pelo MEC do Curso de Administração em 2008.  Passados seis anos, o curso mostra crescimento quantitativo e qualitativo, fortalecimento de sua proposta e de consolidação de resultados positivos, como a publicação deste Caderno Dom Alberto , que é o produto do trabalho intelectual, pedagógico e instrutivo desenvolvido pelos professores durante esse período. Este material servirá de guia e de apoio para o estudo atento e sério, para a organização da pesquisa e para o contato inicial de qualidade com as disciplinas que estruturam o curso.  A todos os professores que com competência fomentaram o Caderno Dom Alberto , veículo de publicação oficial da produção didáticopedagógica do corpo docente da Faculdade Dom Alberto, um agradecimento especial. 

Elvis Siqueira Martins   Diretor Acadêmico de Ensino 

 

Página 4 / 102

󰁐󰁒󰁅󰁆󰃁󰁃󰁉󰁏  A arte de ensinar e aprender pressupõe um diálogo entre aqueles que interagem no processo, como alunos e professores. A eles cabe a tarefa de formação, de construção de valores, habilidades, competências necessárias à superação dos desafios. Entre estes se encontra a necessidade de uma formação profissional sólida, capaz de suprir as demandas de mercado, de estabelecer elos entre diversas áreas do saber, de atender às exigências legais de cada área de atuação, etc.  Nesse contexto, um dos fatores mais importantes na formação de um profissional

é

saber

discutir

diversos

temas

aos

quais

se

aplicam

conhecimentos específicos de cada área, dispondo-se de uma variedade ampla e desafiadora de questões e problemas proporcionada pelas atuais conjunturas. Para que isso se torne possível, além da dedicação daqueles envolvidos no processo de ensino-aprendizagem, é preciso haver suporte pedagógico que dê subsídios ao aprender e ao ensinar. Um suporte que supere a tradicional metodologia expositiva e atenda aos objetivos expressos na proposta pedagógica do curso.  Considerando esses pressupostos, a produção desse  é Alberto  é

Caderno Dom

parte da proposta pedagógica do curso da Faculdade Dom Aberto.

Com este veículo, elaborado por docentes da instituição, a faculdade busca apresentar um instrumento de pesquisa, consulta e aprendizagem teóricoprática, reunindo materiais cuja diversidade de abordagens é atualizada e necessária para a formação profissional qualificada dos alunos do curso.  Ser um canal de divulgação do material didático produzido por professores da instituição é motivação para continuar investindo da formação qualificada e na produção e disseminação do que se discute, apresenta, reflete, propõe e analisa nas aulas do curso. Espera-se que os leitores apreciem o Caderno Dom Alberto

elaborar esta coletânea. 

com a mesma satisfação que a Faculdade tem em

 

Página 5 / 102

Sumário Apresentação.......................................................................................................... 3 Prefácio................................................................................................................... 4 Plano de Ensino...................................................................................................... 7 Aula 1

Estatística Básica................................................................................................... 11 Aula 2

Séries Estatística................................................................................................... 17 População e Amostra............................................................................................. 21 Aula 3

Distribuições de Freqüência .................................................................................. 26 Aula 4

Representação Gráfica........................................................................................... 32 Aula 5 

Medidas de Tendência Central............................................................................... 41 Aula 6

Medidas de Tendência Central Continuação.......................................................... 50 Aula 7

A Curva de Freqüência........................................................................................... 59 Aula 8

Separatrizes............................................................................................................ 68 Aula 9

Média Móvel........................................................................................................... 73 Aula 10

Atividades............................................................................................................... 83

Aula 11

Medidas de Assimetria............................................................................................87 Aula 12

Probabilidades......................................................................................................... 92

 

Página 6 / 102

Aula 13

Permutação Simples...............................................................................................98

 

Página 7 / 102

Centro de Ensino Superior Dom Alberto Plano de Ensino Identificação Curso: Administração/Ciências Contábeis 

Disciplina: Estatística I 

Carga Horária (horas): 60 

Créditos: 4 

Semestre: 2º 

Ementa População e Amostra. Séries Estatísticas. Gráficos Estatísticos. Distribuição de Freqüência. Tipos de Médias. Medidas de Variabilidade. Medidas de Dispersão. Probabilidade.  Probabilidade.  

Objetivos Geral:  Desenvolver processos cognitivos e a aquisição de atitudes possibilitando o aluno a criar hábito de investigação e confiança para enfrentar situações novas e formar uma visão ampla e científica da realidade. Específicos:  Compreender os conceitos de população, amostra e variável. Construir, ler, analisar e interpretar vários tipos de gráficos. Resolver problemas que envolvam os conceitos de estatística. Determinar a probabilidade de um evento num espaço amostra finito, independente da experimentação. Compreender e aplicar o conceito de distribuição binomial no cálculo de probabilidades.  probabilidades.  

Inter-relação da Disciplina Horizontal: As aplicações da disciplina são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma situação prática e interdisciplinar ajustada a realidade dos negócios na economia brasileira. Vertical: Despertar o interesse do aluno na interpretação de dados com vista na utilização de instrumentos capazes de fornecer um conhecimento científico, no que se refere ao pleno entendimento e leitura de dados. Competências Gerais Reconhecer e definir problemas, equacionar soluções, pensar estrategicamente, introduzir modificações no processo produtivo, atuar preventivamente, transferir e generalizar conhecimentos e exercer, em diferentes graus de complexidade, o processo da tomada de decisão; Desenvolver raciocínio lógico, crítico e analítico para operar com valores e formulações matemáticas presentes nas relações formais e causais entre fenômenos produtivos, administrativos e de controle, bem assim expressando-se de modo crítico e criativo diante dos diferentes contextos organizacionais e sociais;

Competências Específicas Identificar problemas específicos, da estatística descritiva, ler, compreender e interpretar dados. Coletar e organizar dados.

Habilidades Gerais Reconhecer e definir problemas, organizar, compreender e interpretar gráficos e demais dados estatísticos referentes a estatística descritiva.

Habilidades Específicas Conhecer métodos estatísticos para descrever, analisar e interpretar os dados referentes a estatística descritiva.

Conteúdo Programático PROGRAMA 1. Introdução a Estatística; 2. Natureza dos dados: variáveis quantitativas e qualitativas; variáveis discretas e contínuas; 3. População e Amostra; 4. Amostragem: conceitos e tipos; Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”. 

 

Página 8 / 102

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Dados absolutos e relativos; Tabelas: conceitos; ROL; elementos essenciais; construção; Séries estatísticas; Gráficos: principais tipos; análise; histogramas; Distribuição de freqüências: intervalos de classes; freqüências: absolutas, relativas e acumuladas; Medidas de de tendência central: -  Médias: aritmética, geométrica, ponderada e móvel -  Mediana -  Moda -  Ponto médio. 11. Medidas de posição:

-  Escore z -  Quartis, decis e percentis. 12. Medidas de variação: -  Amplitude -  Desvio-padrão -  Variância. 13. Medidas de Assimetria e Curtose.. 14. Probabilidade: -  Experimentos -  Espaço amostral -  Eventos -  Arranjos e Combinações. 15. Números índices

Estratégias de Ensino e Aprendizagem (metodologias de sala de aula) O planejamento do trabalho em sala de aula é à base da construção do processo de ensino e aprendizagem. Planejando a ação, o professor tem a possibilidade de saber exatamente qual o ponto de partida e o de chegada para cada tema abordado em seu curso. Um planejamento não é um esquema de trabalho rígido, inflexível. Pelo contrário, devem-se levar em conta as situações inesperadas que vão ocorrendo e adaptar ou modificar o que se havia inicialmente previsto, de acordo com suas observações de classe e necessidades dos alunos. Há metas que devem ser estabelecidas e alcançadas, sendo necessário que o professor disponha de um fio condutor para a ação que vai desenvolver e de uma previsão para os resultados dessa ação.

Avaliação do Processo de Ensino e Aprendizagem A avaliação do processo de ensino e aprendizagem deve ser realizada de forma contínua, cumulativa e sistemática com o objetivo de diagnosticar a situação da aprendizagem de cada aluno, em relação à programação curricular. Funções básicas: informar sobre o domínio da aprendizagem, indicar os efeitos da metodologia utilizada, revelar conseqüências da atuação docente, informar sobre a adequabilidade de currículos e programas, realizar feedback  dos  dos objetivos e planejamentos elaborados, etc. A forma de avaliação será da seguinte maneira: 1ª Avaliação  – Peso 8,0 (oito): Prova; a  – Peso 2,0 (dois): Trabalho referente ao conteúdo ministrado até a 1  avaliação. 2ª Avaliação -  Peso 8,0 (oito): Prova; Peso 2,0 (dois): referente ao Sistema de Provas Eletrônicas – SPE (maior nota das duas -  provas do SPE)

Avaliação Somativa A aferição do rendimento escolar de cada disciplina é feita através de notas inteiras de zero a dez, permitindo-se a fração de 5 décimos. O aproveitamento escolar é avaliado pelo acompanhamento contínuo do aluno e dos resultados por ele obtidos nas provas, trabalhos, exercícios escolares e outros, e caso necessário, nas provas substitutivas. Dentre os trabalhos escolares de aplicação, há pelo menos uma avaliação escrita em cada disciplina no Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,

comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional .   

Página 9 / 102

bimestre. O professor pode submeter os alunos a diversas formas de avaliações, tais como: projetos, seminários, pesquisas bibliográficas e de campo, relatórios, cujos resultados podem culminar com atribuição de uma nota representativa de cada avaliação bimestral. Em qualquer disciplina, os alunos que obtiverem média semestral de aprovação igual ou superior a sete (7,0) e freqüência igual ou superior a setenta e cinco por cento (75%) são considerados aprovados. Após cada semestre, e nos termos do calendário escolar, o aluno poderá requerer junto à Secretaria-Geral, no prazo fixado e a título de recuperação, a realização de uma prova substitutiva, por disciplina, a fim de substituir uma das médias mensais anteriores, ou a que não tenha sido avaliado, e no qual obtiverem como média final de aprovação igual ou superior a cinco (5,0).  (5,0).  

Sistema de Acompanhamento para a Recuperação da Aprendizagem Serão utilizados como Sistema de Acompanhamento e Nivelamento da turma os Plantões Tira-Dúvidas que são realizados sempre antes de iniciar a disciplina, das 18h30min às 18h50min, na sala de aula.  aula.  

Recursos Necessários Humanos Professor.

Físicos Laboratórios, visitas técnicas, etc.  etc. 

Materiais Recursos Multimídia.

Bibliografia Básica  CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Saraiva, 2002. SILVA, Ermes Medeiros da. et al. Estatística: para cursos de economia, administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1999. 1 e 2 v. MORETTIN, Pedro A; BUSSAB, Wilton de O. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva 2003. TOLEDO, Geraldo Luciano; OVALLE, Ivo Izidoro. Estatística básica. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1995. SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3. ed. São Paulo: Pearson Education, 1994.

Complementar   BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. 5. ed. Florianópolis: UFSC, 2002. MOORE, David. A Estatística básica e a sua prática . Rio de Janeiro: LTC, 2005. BUNCHAFT G.; KELLNER S. R. O. Estatística sem mistério. Petrópolis: Vozes; 1999. FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto. Curso de estatística. São Paulo: Atlas, 1996. MARTINS, Gilberto de Andrade; DONAIRE, Denis. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas, 1990.

Periódicos Jornais: Gazeta do Sul, Zero Hora. Revistas: Veja, Isto é.

Sites para Consulta http:// w ww.mec.gov.br  www.mec.gov.br  http:// www.ime.usp.br  www.ime.usp.br  http:// www.ibge.gov.br  www.ibge.gov.br 

Outras Informações Endereço eletrônico de acesso à página do PHL para consulta ao acervo da biblioteca: http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por  http://192.168.1.201/cgi-bin/wxis.exe?IsisScript=phl.xis&cipar=phl8.cip&lang=por   

Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,

comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional .   

Página 10 / 102

Cronograma de Atividades  Aula

Consolidação

Avaliação

Conteúdo

Procedimentos

Recursos

1ª

Apresentação do plano de ensino. Introdução a estatística. Natureza dos dados: tipos de variáveis; População e Amostra;

AE

QG, AP, DS

2ª

Amostragem: conceitos e tipos; Dados absolutos e relativos;

AE, TI

AP, QG, DS

3ª

Tabelas: conceitos; ROL; elementos essenciais; construção; Séries estatísticas;

AE

AP, QG, DS

4ª

Gráficos: principais tipos; análise; histogramas;

AE

AP, QG, DS

AE

AP, QG

AE, TI

AP, QG

PA, AE

AP, QG

AE

AP, QG

Distribuição de freqüências:interv freqüências:intervalos alos de classes;

5ª

freqüências: absolutas, relativas ealos acumuladas; Distribuição de freqüências:interv freqüências:intervalos de classes; freqüências: absolutas, relativas e acumuladas; Medidas de tendência central: Médias: aritmética, geométrica, ponderada e móvel

6ª 7ª

Consolidação 1.

1 1

1ª Avaliação.

8ª

Medidas de tendência central: Mediana; Moda; Ponto médio.

AE

AP, QG

9ª

Medidas de posição: Escore z; Quartis, decis e percentis.

AE

AP, QG

10ª

Medidas de variação: amplitude; desvio-padrão e variância.

AE

AP, QG

11ª

Medidas de Assimetria e Curtose. Números índices.

AE, TG

AP, QG, DS

12ª

Números índices. Probabilidade: Experimentos; Espaço amostral; Eventos;

AE

AP, QG, DS

13ª

Probabilidade: Arranjos e Combinações.

AE

AP, QG

Consolidação 2.

AE

AP, QG

2 2

2ª avaliação.

3

Avaliação substituta.

Legenda Código AE TG TI SE PA

Descrição Aula expositiva Trabalho em grupo Trabalho individual Seminário Palestra

Código QG RE VI DS FC

Descrição Quadro verde e giz Retroprojetor Videocassete Data Show Flipchart

Código LB PS AP OU

Descrição Laboratório de informática Projetor de slides Apostila Outros

Missão: "Oferecer oportunidades de educação, contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes,

comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento regional”.   

Página 11 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Aula 1 – Estatística I

Prof. Emerson José Jung 

ESTATÍSTICA BÁSICA

1. INTRODUÇÃO O que a Estatística significa para você? ESTATÍSTICA: é a ciência dos dado ESTATÍSTICA:  dados. s. Ela envolve coletar, co letar, classi classificar, ficar, resu resumir, mir, organiza organizar,r, analisar e interpretar informação numérica. ANTIGUIDADE:   ANTIGUIDADE:

os povos já registravam o número de habitantes, nascimentos, óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam terras ao povo, cobravam impostos.

IDADE MÉDIA:  MÉDIA: 

as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.

SEC. XVI: XVI:

surgem as primeiras análises sistemáticas, sistemática s, as primeiras tabelas e os números relativos.

SEC. XVIII:  XVIII: 

a estatística com feição científica é batizada por GODOFREDO ACHENWALL. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos de probabilidades. A estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar "O estudo de como se chegar a conclusão sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)".

MÉTODO ESTATÍSTICO  ESTATÍSTICO  MÉTODO:   MÉTODO:

é um meio mais eficaz para atingir determinada meta.

MÉTODOS CIENTÍFICOS: destacamos o método experimental e o método estatístico. MÉTODO EXPERIMENTAL: EXPERIMENTAL: consiste em manter constante todas as causas, causas, menos uma, que sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex: Estudos da Química, Física, etc. MÉTODO ESTATÍSTICO: ESTATÍSTICO: diante da impossibilidade de manter as causas constantes (nas constantes (nas ciências variações e procurando sociais), admitem todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e delas . Ex: Quais as causas que definem determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas. o preço de uma mercadoria quando a sua oferta diminui?

  Seria impossível, no momento da pesquisa, manter constantes a uniformidade dos salários, o gosto

•

dos consumidores, nível geral de preços de outros produtos, etc.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 12 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

A ESTATÍSTICA  ESTATÍSTICA   

 

É uma parte da matemática matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.  decisões.  A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes   DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, pertencem à ESTATÍSTICA DESCRITIVA, associado a uma margem de incerteza, incerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA  INDUTIVA  ou INFERENCIAL,, também chamada como a medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na INFERENCIAL teoria da probabilidad probabilidade. e.

2. ORGANIZAÇÃO DE DE DADOS ESTATÍSTICOS FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO  ESTATÍSTICO  1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA : :  2º - PLANEJAMENTO : : 

Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema.  problema. 

Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos ? Qual levantamento a ser utilizado? utilizado? Censitário? Por amostragem? E o cronogram cronogramaa de atividades ? Os custos envolvidos ? etc.

3º - COLETA DE DADOS:  DADOS: 

Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivo determinado.

Dados primários: 

quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido. Ex: tabelas do ccenso enso demográfi demográfico co do IBGE .

Dados secundários: 

quando são publicados por outra organização. Ex: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.

OBS:  OBS:  Coleta Direta: 

É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundári secundáriaa traz o grande risco de erros de transcrição. quando é obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa  para saber a preferência preferência dos consumidores pela sua m marca. arca.

Coleta  contínua: Coleta

registros de nascimento nascimento,, óbitos, casamentos casamentos;;

Coleta periódica:

recenseamento recenseamen to demográfico, censo industrial;

Coleta ocasional :

registro de casos de dengue.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 13 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

É feita por deduções a partir dos elementos conseguid conseguidos os pela coleta direta, por analogia, por avaliação,indícios ou proporcionalização. proporcionalização.

Coleta Indireta:

4º - APURAÇÃO DOS DADOS:  DADOS: 

Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É a condensação condensação e tabulação de dados.

5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS:  DADOS: 

Há duas formas de apresentação apresentação,, que não se excluem mutuamente. A apresentação tabular ,  ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. A apresentação gráfica  dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visão rápida e clara do fenômeno.

6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS:  DADOS: 

A última fase do trabalho estatístico é a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes,, cuja finalidade principal é coeficientes descrever o fenômeno (estatística descritiva).

A ESTATÍSTICA NA EMPRESA Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas de comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio e longo prazo. A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização de estratégia a ser adotada no empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da qualidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e/ou perdas.  perdas.  DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA  ESTATÍSTICA  FENÔMENO ESTATÍSTICO: ESTATÍSTICO: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível a aplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:

Fenômenos de massa ou coletivo:

são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. A estatística dedica-se ao estudo desses fenômenos. Ex: A natalidade na Grande Vitória, O preço médio da cerveja no Espírito Santo, etc.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 14 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Fenômenos individuais:

são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. Ex: cada nascimento na Grande Vitória, cada preço de cerveja no Espírito Santo, etc.

Fenômenos de multidão:

verificam para o particular. é um dado numérico e numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.  estatísticos. 

DADO ESTATÍSTICO:  ESTATÍSTICO:  POPULAÇÃO: POPULAÇÃO: AMOSTRA:  AMOSTRA:  PARÂMETROS:  PARÂMETROS: 

quando as características observadas para a massa não se

portadores  de, pelo menos, uma característica é o conjunto total de elementos portadores de, comum.. comum população  que É EXAMINADA  EXAMINADA  com o propósito de é uma parcela representativa da população  tirarmos conclusões sobre a essa população. população  e que servem para São valores singulares que existem na população  caracterizá-la.. Para definirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. caracterizá-la Ex: Os alunos do 2º ano da FACULDADE DOM ALBERTO têm em média 1,70 metros de estatura. 

ESTIMATIVA: ATRIBUTO:  ATRIBUTO: 

VARIÁVEL:  VARIÁVEL: 

parâmetro e é calculado com o uso da amostra. é um valor aproximado do parâmetro e quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo. atributo. fenômeno. É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

VARIÁVEL QUALITATIVA:  QUALITATIVA: 

atributos:: sexo, cor da Quando seus valores são expressos por atributos pele,etc.   pele,etc.

VARIÁVEL QUANTITATIVA:  QUANTITATIVA: 

Quando os são de caráter quantitativo quantitativo, ,eo conjunto dosdados resultados possui umanitidamente estrutura numérica, numérica , trata-se portanto da estatística de variável e se dividem em :

VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: DESCONTÍNUA: Seus valores são expressos geralmente através de números resentes às aula aulass de inteiros não não negativos negativos.. Resulta no normalmente rmalmente de contag contagens. ens. Ex: Nº de alunos ppresentes introdução à estatística econômica econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

VARIÁVEL CONTÍNUA: CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma mensuração mensuração,, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos R  dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 15 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Exemplos -   Exemplos -

 

qualitativa

. Cor dos olhos das alunas: . Índice de liquidez nas indústrias capixabas:

quantitativa contínua  contínua 

. Produção de café no Brasil:

quantitativa contínua  contínua 

. Número de defeitos em aparelhos de TV:

quantitativa discreta  discreta 

. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa:

quantitativa contínua  contínua 

. O ponto obtido em cada jogada de um dado:

quantitativa discreta

EXERCÍCIOS: 1. Uma concessionária de automóveis tem cadastrados 3500 clientes e fez uma pesquisa sobre a preferência de compra em relação a “cor”(branco, vermelho ou azul), “preço”, “número de portas”(duas ou quatro) e “estado de conservação” (novo ou usado). Foram consultados 210 clientes. Diante dessas informações, responda: a) Qual é o universo estatístico e qual é a amostra dessa pesquisa? b) Quais são as variáveis e qual é o tipo de cada uma? c) Quais os possíveis valores da variável “cor” nessa pesquisa? 2. A massa (em quilogramas) de 20 trabalhadores registrada a seguir: 65 52 73 50 70 75 70 77 82 52

68

86

de uma empresa com 100 funcionários está 80 80 91

65 65 75

70

80

Com base nos dados obtidos, responda: a) Qual a população dessa pesquisa? b) Qual é a sua amostra? c) Qual é a variável nessa pesquisa pesquisa?? Ela é discreta ou contínua? 3. Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas contínuas ou discretas: a) População: alunos de uma escola. Variável: cor dos cabelos. b) População: casais residentes em uma cidade. Variável: número de filhos. c) População: as jogadas de um dado. Variável: o ponto obtida em cada jogada. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 16 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

d) População: peças produzidas por certa máquina. Variável: número de peças produzidas por hora. e) População: peças produzidas por certa máquina. Variável: diâmetro externo. 4. Ao nascer, os bebês são pesados altura esperados. Estas duas variáveis são:e medidos, para se saber se estão dentro das tabelas de peso e a) Qualitativas b) Ambas discretas. c) Ambas contínuas. d) Contínua e discreta, respectivamente. e) Discreta e contínua, respectivamente. Justifique sua resposta. 5. Quais são as etapas básicas do método estatístico? 6. Dê o domínio de cada uma das seguintes variáveis e diga se são contínuas ou discretas: a) Número G de litros de água numa máquina de lavar roupas. b) Número B de livros em uma estante de biblioteca. c) Soma S de pontos obtidos ao lançar um par de dados. d) Diâmetro D de uma esfera. e) País C na Europa. 7. Escreva cada número empregando a notação científica: a) 24.380.000 b) 0,000009851 c) 7.300.000.000 d) 0,00018400 8. Construa o Rol para a seqüência de dados brutos: a) X: 2, 4, 12, 7, 8, 15, 21, 20 b) Y: 3, 5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18

c) Z: 12,2; 13,9; 14,7; 21,8; 12,2; 14,7 d) W: 8, 7, 8, 7, 8, 7, 9

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 17 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO pAula 2 – Estatística I Prof. Emerson Jung

 SÉRIES ESTATÍSTICAS  ESTATÍSTICAS 

.

TABELA:  

•

É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas linhas e  e colunas colunas de  de maneira sistemática.

De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar :   um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero zero;;   três pontos ( ... ) ... ) quando não temos os dados;   zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada;   um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor. 







Obs.: O Obs.:  O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto.

.

Elementos Essenciais e Facultativos de uma Tabela: Podemos determinar que uma tabela estatística é formada por elementos facultativos e por elementos essenciais, conforme quadro abaixo: ELEMENTOS ESSENCIAIS Título:: É a parte superior que procede a tabela Título e que contém a designação do fato observado, o local e a época em que foi registrado. Corpo:: Conjunto de linhas e colunas que Corpo contém informações sobre a variável em estudo. Cabeçalho:: É a parte da tabela que especifica Cabeçalho o conteúdo das colunas.

ELEMENTOS FACULTATIVOS Fonte:: É a indicação da entidade responsável Fonte pelo fornecimento dos dados. Notas: São as informações destinadas a esNotas: clarecer o conteúdo das tabelas.

Chamadas: São as informações utilizadas para Chamadas: esclarecer certas minúcias em relação as linhas e colunas. Obs. Todos  Todos os elementos facultativos de uma Coluna Indicadora: Indicadora: É a parte da tabela que Obs. especifica o conteúdo das colunas no sentido representação tabular estão situados no rodapé. vertical. Linhas: Retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas. Casa ou Cédula: Espaço destinado a um só número.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 18 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

SÉRIE ESTATÍSTICA:

SÉRIES HOMÓGRADAS: a) Série Temporal:

É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados época,, do local local ou espécie.. estatísticos em função da época  ou da espécie

são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica. cronológico. O local e a espécie Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. (fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.. evolutiva ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996

PERÍODO UNIDADES VENDIDAS JAN/96 FEV/96 TOTAL

20000 10000 30000

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 19 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO b) Série Geográfica:

geográfico. A época e o fato Apresenta como elemento variável o fator geográfico. (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização. ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996

FILIAIS

UNIDADES VENDIDAS

São Paulo Rio de Janeiro TOTAL

13000 17000 30000

espécie . Também é chamada de O caráter variável é apenas o fato ou espécie. categórica.. série categórica

c) Série Específica:

ABC VEÍCULOS LTDA. Vendas no 1º bimestre de 1996 MARCA FIAT GM TOTAL

SÉRIES CONJUGADAS:  

UNIDADES VENDIDAS * 18000 12000 30000

tabelas de dupla entrada Também chamadas . São apropriadas apresentação de duas de ou mais séries de maneira conjugada, havendo duasà ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de geográfica-temporal.. uma série geográfica-temporal ABC VEÍCULOS LTDA.Vendas no 1º bimestre de 1996

FILIAIS São Paulo Rio de Janeiro TOTAL

Janeiro/96 Fevereiro/96 10000 12000 22000

3000 5000 8000

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 20 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Exercícios: 1.  Classifique as seguintes séries: a) PRODUÇÃO DE BORRACHA NATURAL

ANOS 1991 1992 1993 Fonte: IBGE

TONELADAS 29.543 30.712 40.663

 VACINAÇÃO CONTRA A c) c) VACINAÇÃO POLIOMIELITE – 1993 REGIÕES QUANTIDADES Norte 211.209 Nordeste 631.040 Sudeste 1.119.708 Sul 418.785 Centro-Oeste 185.823 FONTE: Ministério da Saúde

b) AVICULTURA BRASILEIRA 1992 ESPÉCIE Galinhas Galos, frangos e pintos Codornas Fonte: IBGE

NÚMERO (1.000 cabeças) 204.160 435.465 2.488

 AQUECIMENTO DE UM MOTOR DE AVIÃO d) d) AQUECIMENTO DE MARCA X MINUTOS 0 1 2 3 4 5 6 Dados fictícios

TEMPERATURA ( °C ) 20 27 34 41 49 56 63

2.  Verificou-se, em 1993, o seguinte movimento de importação de mercadorias: 14.839.804 t, oriundas da Arábia Saudita, no valor de U$1.469.104.000; 10.547.889t, dos Estados Unidos, no valor de U$ 6.034.946.000; e 561.024t, do Japão, no valor U$ 1.0518.843.000. 1.0518.843.000. Confeccione a série correspondente e classifique-a, sabendo que os dados acima foram fornecidos pelo Ministério da Fazenda.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 21 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Aula 2 – Estatística Prof. Emerson José Jung POPULAÇÃO E AMOSTRA POPULAÇÃO ESTATÍSTICA OU UNIVERSO ESTATÍSTICO ESTATÍSTICO:: é o conjunto total de elementos portadores de, portadores de, pelo menos, uma característica comum. comum. Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam pelo menos uma característica em comum: são os que estudam. Muitas vezes, quando queremos realizar um estudo estatístico, não é possível analisar toda a população amostra da envolvida com o fato que pretendemos investigar. Quando isso ocorre utilizamos uma amostra  da população para conseguir os dados que desejamos. AMOSTRA:   AMOSTRA: população  que É EXAMINADA  EXAMINADA  com o propósito de tirarmos é uma parcela representativa da população  conclusões sobre a essa população. AMOSTRAGEM Existe uma técnica especial – amostragem - para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Dessa forma, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante à amostra o caráter de representatividade, e isto é muito importante, pois, como vimos, nossas conclusões relativas à população vão estar baseadas nos resultados obtidos nas amostras dessa população. população.   TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES  

É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a  n  e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x  números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra. Ex:  Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de uma escola: 1º - numeramos os alunos de 1 a 90. 2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e após mistura retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 22 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito OBS: quando trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. .AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA:  

Quando a população se divide em estratos (sub-populaç (sub-populações), ões), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos. Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratifi estratificada, cada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos 90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e sexo feminino). Logo, temos:

SEXO MASC. FEMIN. Total

POPULACÃO 54 36 90

10 % 5,4 3,6 9,0

AMOSTRA 5 4 9

Numeramos então os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteio casual com urna ou tabela de números aleatórios. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA:  

Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidad necessidadee de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. Ex: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas  para uma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18, escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que o número sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc. 

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS)  

Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente extremament e difícil que se identifiquem identifique m seus elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente relativamente fácil identificar alguns subgrupos da populaç população. ão. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias, organizações,, agências, edifícios etc. organizações Ex: Num levantamento da população de determina determinada da cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 23 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO MÉTODOS NÃO PROBABILÍSITCOS  

São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. amostra. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população.

AMOSTRAGEM ACIDENTAL  

aparecendo,, que são possíveis de Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo se obter até completar o número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião,, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos. opinião Ex: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades;

AMOSTRAGEM INTENCIONAL  

De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra. amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber a opinião. Ex: Numa pesquisa sobre prefer preferência ência por determina determinado do cosmético, o pesquisa pesquisador dor se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.

AMOSTRAGEM POR QUOTAS  

Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado  mercado  e em prévias eleitorais. eleitorais. Ele abrange três fases: 1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, serem relevantes para a característi característica ca a ser estudada; 2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada, da população; 3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de selecionar entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção e cada classe tal como determinada na 2ª fase. Ex: Numa pesquisa sobre o "tr "trabalho abalho das mulheres na at atualidade", ualidade", provav provavelmente elmente se terá interes interesse se em considerar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, as faixas etárias etc.  A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentag (porcentagens) ens) dessas características na população população.. Imaginase que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo, uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá   que atenda ao n determinado e às  proporções populacionais populacionais estipuladas estipuladas. .  uma composição amostral  que

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro Santa Cruz do Sul RS CEP 96810 050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 24 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Atividades 1. Explique uma forma de se obter uma amostra estratificada dos empregados de uma empresa em que existam funcionários de escritório, funcionários de produção e vendedores.

2. Numa pesquisa de opinião sobre a utilização de um canal de televisão pela igreja católica foram entrevistados 232 pessoas na entrada de uma igreja. Analise com seus colegas o processo de escolha da amostra, apontando possíveis falhas.

3. Numa escola com 1200 alunos, foi feito um recenseamento, recolhendo-se dados referentes às seguintes variáveis: Idade dos alunos; anos de escolaridade; meio de transporte utilizado para ir à escola; local de almoço; número de irmãos; local de trabalho; número de televisores em casa; local de moradia. a) Das variáveis observadas, observadas, quais são quantitativas e quais são qualitativas? b) Como organizar uma amostra simples e uma sistemática para fazer esse recenseamento?

4. Deseja-se fazer uma pesquisa em uma população constituída por um número maior de homens que de mulheres. Como você faria para selecion selecionar ar uma amostra: a) com o mesmo número de homens e de mulheres? b) Com mais mulheres que homens?

5. Suponha que 40% da população mencionada no problema anterior seja constituída por mulheres. Numa amostra estratificada proporcional formada por 50 indivíduos, qual seria o número de homens e o de mulheres? E numa amostra composta de 150 pessoas, quais seriam esses números?

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 25 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO 6. Uma empresa de publicidade quer fazer um estudo sobre o interesse despertado por certa propaganda entre os alunos de 10 anos de idade das escolas de Ensino Fundamental de uma cidade. Para isso, pretende estratificar uma amostra de 300 crianças. Como a empresa poderia fazer essa amostra a partir dos dados da tabela abaixo? Escola

População

A

400

B

300

C

350

D

450

E

520

F

300

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 26 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

Aula 3 – Estatística I Prof. Emerson Jung

DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS Os dados distribuições freqüências são uma apresentar informações agrupadas. Nesteemcaso a variáveldepode ser expressa pormaneira ponto de ( um único valor ) ou por intervalo ( dentro de um intervalo de valores ). Ao se constituir uma distribuição de freqüências (DF) precisam-se descrever alguns componentes da mesma. Tabela Primitiva Supondo uma coleta amostral de dados relativos aos salários semanais de quarenta funcionários que compõem uma amostra de uma Empresa Z. Os valores de cada um dos salários estão listados a seguir: SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z 166 162 155 154

160 161 152 161

161 168 163 156

150 163 160 172

162 156 155 153

160 173 155 157

165 160 169 156

167 155 151 158

164 164 170 158

160 168 164 161

A esse tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva ou dados brutos. O rol  é uma lista em que os valores estão dispostos em uma determinada ordem, crescente rol é ou decrescente. Veja a seguir: 150 151 152 153

154 155 155 155

155 156 156 156

157 158 158 160

160 160 160 160

161 161 161 161

162 162 163 163

164 164 164 165

166 167 168 168

169 170 172 173

Distribuição de Freqüência A freqüência é o número de repetições da observação no conjunto de observações. A distribuição de freqüência de uma série de observações é uma função que representa os pares de valores formados por cada observação e seu número de repetições.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 27 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Exemplo: SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA

AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z

Salários semanais (R$)  (R$)  150 ├   154  154  154 ├  158   158  158 ├  162   162  162 ├  166   166  166 ├  170   170  170 ├  174   174  Total   Total

Freqüências  Freqüências  4  9  11   11 8  5  3  40   40

FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL

Na construção de tabelas de freqüências, devemos observar as seguintes diretrizes: 1. As classes devem ser mutuamente excludentes, ou seja, cada valor original deve pertencer exatamente a uma e só uma classe. 2. Todas as classes devem ser incluídas, mesmo as de freqüência zero. 3. Procurar utilizar a mesma amplitude para todas as classes, embora eventualmente seja impossível evitar intervalos com extremidade aberta. 4. Escolher números convenientes para limites de classe. Arredondar para cima a fim de ter menos casas decimais, ou utilizar números adequados à situação. 5. Utilizar entre 5 e 20 classes. 6. As somas das freqüências das diversas classes deve ser igual ao número de observações originais. Elementos de uma Distribuição de Freqüência 1. Classe: Classes de freqüência ou, simplesmente, classe, são intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, . . ., k (onde k é o número total de classes da distribuição). Exemplo: O

intervalo 154 ├  158  158 define define a se segunda gunda classe (i = 2) A distribuição é formada por seis classes, podemos afirmar que i = 6.

2. Limites de Classe: Determinam-se limites de classes os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior da classe ( classe ( li ) e o maior número, o limite superior da classe ( ls ). Exemplo:  Na terceira classe do exemplo acima, temos: li3 = 158 Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

e Ls3= 162

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 28 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

3. Amplitude de um Intervalo de Classe (h): É a medida de intervalo que define a classe. Ela é obtida pela diferença entre os limites superior e inferior. Assim: h

= ls − li

 

Exemplo:  o  o intervalo de classe do exemplo acima é 4, pois 162

├  158  158 = 4

4. Amplitude Total ( AT) : É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. AT = Vmax - Vmin Exemplo:   A A amplitude amostral do exemplo acima é 24, pois 174

├ 150 150 = 24

5. Ponto Médio de uma Classe ( Xi) : É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais.

 Xi

=

  li + ls  

2 Exemplo: O ponto médio da

segunda classe, em nosso exemplo, é 156.

6. Freqüência Simples ou Absoluta (fi): É o número de observações correspondentes a uma classe. A soma de todas as freqüências é representada por:  N  = ∑   fi  ( população )

=∑   fi   ( amostra ) Exemplo:  Para  Para a distribuição em estudo, temos: n

n

= ∑  fi = 40  

7. Número de Classes: STURGES,, que fornece o número de classes em função do totalPode-se de casos:utilizar a regra de STURGES K 

=  1 + 3,33  log

n ( N  )

 

Onde: K é o número de classes; N ou n é o número total de observações. Para determinar a amplitude do intervalo de classe, temos: h= N . K Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 29 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

SIMBOLOGIA ENTRE OS VALORES DE CLASSE:    Inclui o valor da esquerda mas não o da direita.    Inclui o valor da direita mas não o da esquerda.

Não inclui o valor da direita, nem o da esquerda.       Inclui  tantonem o valor da direita quanto o da esquerda.  – Distribuição de Freqüência Freqüência sem Intervalos de Classe  Classe  Quando se trata de variáveis discretas de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe. Ex: Uma professora organizou os resultados obtidos em uma prova da seguinte forma: 4–5–7–9–9–4–5–7–9–9–4–5–7–9–9–4–6–8–9–9–4–6–8–9–9

Nota

Nº de alunos

Total

TIPOS DE FREQÜÊNCIAS  FREQÜÊNCIAS  Freqüências Relativas simples (fri) São os valores da razão entre as freqüências simples e a freqüência total.  fi  fri  =   n

Exemplo: Calcule a freqüência relativa simples da

terceira classe, em nosso exemplo:

Freqüência Acumulada ( Fi  )  É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior. do intervalo de uma dada classe. Fi

Exemplo:

=  f 1 +   f  2 + ... +  fi  

ou

Fi

=∑   fi  

Calcule a freqüência acumulada correspondente à terceira classe, em nosso

exemplo:

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 30 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

Freqüência Acumulada Relativa ( Fri  )  É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição. Fri  =

Fi n

 

Exemplo:  Para a terceira classe, qual é a freqüência f reqüência acumulada relativa?

EXERCÍCIO 1. Complete a seguinte tabela e responda as seguintes perguntas: SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z Salários semanais Freqüências Freqüências   Xi (R$)   (R$) 150 ├  154   154  4  154   162  158 158 ├  ├  158  162  162 ├  166   166  166 ├  170   170  170 ├  174   174  Total   Total

9   11 11  8  5  3  40   40

fri

% fri

1

100

Fi

Fri %

FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL a) b) c) d) 

Quantos empregados têm salário semanal eentre ntre R$ 154, inclusive, inclusive, e R$ 158? Qual a percentagem percentagem de empregados cujos cujos salários semanais semanais são in inferiores feriores a R$ 154? Quantos empregados empregados têm salário salário semanal abaixo abaixo de R$ 162? 162?   Quantos empregados empregados têm salário salário semanal não não inferior a R$ 158? 2. Conhecidas as notas notas ddee 50 alunos: 84

68

52

47

61

73

77

33

73

68

74

71

81

65

55

57

35

85

88

91

59

80

50

53

55

76

85

73

60

41

67

41

78

56

94

35

45

55

64

74

65

94

48

39

89

98

42

66

69

54

Obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para intervalo das classes. Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 31 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

3. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6

2

6

4

3

6

2

6

5

5

1

6

3

3

5

1

3

6

3

4

5 2

4 2

3 5

1 2

3 5

5 1

4 3

4 6

2 5

6 1

5

6

2

4

6

1

5

2

4

3

Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe. 4. Abaixo são mostrados os saldos médios amostrais de 48 contas de clientes do BB S.A. ( dados brutos em US$ 1,00). 450

500

150

1000

250

275

550

500

225 600 475 150 230

475 750 900 500 500

150 375 800 225 350

450 650 275 250 375

950 150 600 150 470

300 500 750 120 100

800 700 375 250 270

275 600 650 360 1000

Pede-se: a) Agrupar os dados numa distribuição de freqüências com intervalo de classes (use Teorema de STURGES); b) Determine as freqüências f reqüências simples e acumuladas (absolutas e relativas); c) Calcule e interprete: fr2, f3, Fr4 e Fr2. 

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 32 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

Aula 4- Estatística I Prof. Emerson Jung

Representação Gráfica Com as tabelas de freqüência, podemos identificar a natureza geral da distribuição dos dados, bem como construir gráficos que facilitem a visualização dessa distribuição. O gráfico

estatístico  é uma forma de apresentação dos dados, onde o objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e visual do fenômeno em estudo. Veja alguns exemplos de gráficos:

GRÁFICO CARTESIANO

POLIGONAL OU LINHA: São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 33 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS: Quando as legendas não são breves usam-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.

3. GRÁFICO DE SETORES: Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e

visando ao desenvolvimento Regional . Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 34 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Quantidade

7

17

Ciências Ciên cias Contáb Contábeis eis

Ad Admini ministraçã stração o de de Empre Empresas sas

 

representativas da intensidade do do 4.PICTOGRAMAS:  São construídos a partir de figuras representativas fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO COM INTERVALO DE CLASSE Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas Exemplo: Número de salários mensais recebidos pelos funcionários da Empresa Beta - POA - 1999.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e

visando ao desenvolvimento Regional . Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 35 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO 250 200 150 100 50 0 2

4

6

8

10

  Os dados deste histograma foram obtidos a partir part ir da seguinte tabela:

Salários Mensais

Número de funcionários

0   2 2   4

20 100

4   6

200

6  8  8

150

8 10 10

30

Total

500

Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantada pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior a primeira e da posterior à última, da distribuição. Com os dados do exemplo anterior: Número de salários mensais recebidos pelos funcionários da Empresa Beta - POA - 1999.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e

visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 36 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO 250 200 150 100 50 0 1

3

5

7

9

 

Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.

Assim, à distribuição da Tabela 5.8 corresponde o seguinte Polígono de Freqüência Acumulada:

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e

visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 37 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

Exercícios: 1. Abaixo são mostrados os saldos médios amostrais de 48 contas de clientes do BB S.A. (dados brutos em US$ 1,00).

450

500

150

1.000

250

275

550

500

225

475

450

1.000

950

300

800

275

600

750

375

650

150

500

700

600

475

900

800

275

600

750

375

650

150

500

225

250

150

120

250

360

230

500

350

375

470

270

150

1.000

Pede-se: a) Agrupar os dados numa distribuição de freqüências com intervalo de classes (use Teorema de STURGES).

b) Construa o correspondente histog histograma rama e polígono de freqüências. 2. Em uma eleição conc concorreram orreram os candidatos A, B e C e, apurad apurada a a primeira urna, o os s votos foram os seguintes: A: 50 votos; B: 80 votos; C: 60 votos; brancos e nulos: 10 votos.A partir desses dados construa: a) O gráfico de barras horizontal Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e

visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 38 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

3. Construa os grá gráficos ficos de barras verticais e de setores para a variável hobby.

Hobby

Freqüência

Esporte

8

Música Patinação

6 3

Dança

7

4. O gráfico a seguir foi construído de acordo com o tempo, ao longo de um dia, destinado às atividades de um estudante de Santa Cruz do Sul.

Em relação a esse gráfico, responda: correspondente e ao setor que representa a quantidade d de e horas q que ue •  Qual é o ângulo correspondent esse aluno estuda em casa? a) 13 graus a) 18 graus b) 26 graus c) 36 graus d) 40 graus

•  Quantas horas diárias esse aluno estuda em casa?

Missão:

Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 39 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

5. Observe o gráfico e responda: Preço ao produtor despenca- Preço médio do litro de leite em 2001

  e    t    i   e    l     o    d   o   ç   e   r   p

0,40

0,35

0,33

0,30

0,28

0,20

0,24

0,10 0,00

Maio

Junho

Julho

Agosto

 

Fonte: Folha de São Paulo, 2 de outubro de 2002.

a) Por que o título do gráfico é “Preço ao produtor produtor despenca?” Como o gráfico mostra tal situação? Com o preço do leite a R$ 0,24, quantos litros no mínimo o produtor precisa prec isa vender para conseguir um valor acima de R$ 300,00 pela sua produção?  produção?  b) Qual a porcentagem d de e desvalorização do preço do litro de leite no período mostrado pelo gráfico?

6. (FGV – SP) No grá gráfico fico abaixo está representado, no eixo das abscissas, o número de fitas de vídeo alugadas por semana numa vídeo-locadora, e no eixo das ordenadas a correspondente freqüência (isto é, a quantidade de pessoas que alugaram o correspondente número de fitas):

      a        i       c       n         ê         ü       q       e       r        f

25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

6

nº de fitas

  a) Qual a porcentag porcentagem em de pessoas que alugaram 4 ou m mais ais fitas?

Missão:

Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

 

Página 40 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO

b) Se cada fita é alugad alugada a por R$ 4,00, q qual ual a receita semanal da videolocadora?

7. O número de freqüentadores de u uma ma biblioteca foi anotado de segunda até sexta-feira: segunda, 55 pessoas; terça, 65 pessoas; quarta, 80 pessoas; quinta, 80 pessoas, sexta, 60 pessoas. a) Registre esses resultados n numa uma tabela e calcule a freqü freqüência ência relativa. b) Registre esses dados num gráfico de segme segmentos. ntos. c) Com base no gráfico, tire conclusões sobre a evolução do número de pessoas de segunda a sexta-feira. 8. Conhecidas às no notas tas de 50 alu alunos: nos: 33

40

41

50

55

65

68

74

84

94

35

40

42

52

59

65

69

76

85

97

35

40

45

53

60

66

71

77

88

97

39

41

47

54

61

66

73

77

89

100

39

41

48

55

64

67

74

80

94

100

a) Construa uma tabel tabela a de freqüênci freqüências as usando a regra de Sturges.

b) Construa o histograma e o polígono de freqüências.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a

formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”.

Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 41 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Aula 5 - Estatística I Prof. Emerson Jung

 

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Na maiorumparte das vezes em Este que os dados sãomelhor analisados, procuramos um valor para representar conjunto de dados. valor deveestatísticos sintetizar, da maneira possível, oobter comportamento do conjunto do qual ele é originário. Nem sempre os dados estudados têm um bom comportamento, isto pode fazer com que um único valor bem represente ou não o grupo. posição mais central, que recebem tal denominação As medidas de posição  mais importantes são as medidas de tendência central, pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacam-se as seguintes: Média aritmética, Moda e Mediana. Cada uma com um significado diferenciado, diferenciado, porém tendo como serventia representar um conjunto de dados. A maneira de se obter estas medidas é um pouco diferenciada dependendo de como os dados são apresentados. Eles podem vir de forma isolada (não grupados) ou ainda ponderada (grupados em intervalos ou sem intervalo de classe, por ponto). 1– Média Aritmética ( µ  ou     x    )  É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:  µ  =

∑ xi  ou  N 

  ∑ xi  

 X  =

n

Sendo: µ ou     x: média aritmética Xi: valores da variável n ou N: número de valores 1.1 – Dados não-agrupados  não-agrupados  Quando se deseja conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos à média aritmética simples. Exemplo: Sabendo-se que as vendas diárias da empresa A, durante uma semana, foram de 10, 14, 13, 15, 16, 18

e 12 unidades, tem-se, para produção média da semana: (R. 14 unidades ). 1.2 – Dados Agrupados 1.2.1 – Sem intervalos de classe: As freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que leva a calcular a média aritmética ponderada.

 µ  =

∑ xi. fi   ( população )  N 

  ∑ xi. fi  ( amostra )

 X  =

n

Missão: Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 42 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, adotando-se a variável “número de

filhos do sexo masculino”, determine a média. N.º de Meninos 0

f i  2

1

6

2

10

3

12

4

4

Σ  = 34 1.2.2 – Com intervalos de classe: Convenciona-se que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determina-se a média aritmética ponderada.

 µ  =

∑ xi. fi   ( população )  N 

  ∑ xi. fi   ( amostra )

 X  =

n

onde Xi é o ponto médio da classe.

Exemplo:

SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z   Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências  Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11  11  162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40  40  FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 43 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

EXERCÍCIOS

1 – Calcule a média aritmética das seguintes distribuições amostrais: a) Classes

30 |--- 50 |--- 70 |--- 90 |--- 110 |--- 130

fi

2

b) Consumo (kWh)

8

10

5

5 |--- 25 |--- 45 |--- 65 |--- 85 |--- 105 |--- 125 |--- 145 |--- 165

N.º de Usuários

c) Custos (R$)

12

4

6

14

26 26

14

8

6

2

450 |--|--- 550 |--- 650 |--- 750 |--- 850 |--- 950 |--- 1050 |-|----- 1150

f i 

8

10

11

16

13

5

1

2. Média Geométrica Simples Para uma seqüência numérica x: x1, x2, ......., xn, a média geométrica simples, que designaremos por  xg , é definida por:

Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, então:  x g =

4

2.4.6.9 =

4

432

= 4,559  

2.1 Média Geométrica Ponderada Para uma seqüência numérica x: x1, x2, ...., xn  afetados de pesos p1, p2, ..., pn respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremos por  x g é definida por:

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 44 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Se x: 1, 2, 5, com pesos 3, 3, 1 respectivamente então:  x g =

7

3

3

1

1 .2 .5

=

7

1.8.5 =

7

40 = 1,6938 

3– Moda (Mo) A moda de uma distribuição é o valor da variável que tem a maior freqüência absoluta simples, quer dizer aquele valor que aparece mais [mais se repete]. Existem algumas situações nas quais não existe moda, isto é, todos os valores da variável só aparecem uma vez, não se repetem. Em outras situações pode-se ter mais de uma moda, isto é, quando dois ou mais valores da variável têm maior freqüência [freqüências iguais], neste caso diz-se que o conjunto é bimodal. Podem-se ter três, quatro, etc. Nestes casos .é Para difícilque escolher a moda representante doiogrupo, vezestejam que teremos muitos representantes. representantes se possa obter ocomo valorum da moda é necessár necessário que osuma dados no mínim mínimo o em escala nominal, quer dizer, com qualquer nível de mensuração podemos obter o valor da moda, uma vez que ela é oriunda apenas de uma contagem. Portanto, a moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. - o dono do restaurante vai preparar mais o filé de maior saída; maioria tirou “C” numa turma; o proprietário da loja de sapato vai comprar mais os números de maior saída.

Exemplo:

3.1 – Dados não-agrupados  não-agrupados  A moda é facilmente reconhecida: reconhecida: basta procurar o valor que mais se repete. Exemplo: A série de dados: dados:

7, 8, 9, 10, 10, 110, 0, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 15 tem moda iigual gual a 12.

•  Amodal: são as séries nas quais nenhuma valor apareça mais vezes que outros. Exemplo: 3, 5, 8, 10, 13.

•  Multimodal: é uma série que possui dois ou mais valores modais. Exemplo:

Xi = 2 Mo1 = 4

3 4 4 4 5 6 Mo2 = 7

7 77

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 45 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

3.2 – Dados agrupados 3.2.1 – Sem intervalos de classe: É o valor da variável de maior freqüência. Exemplo: Considerand Considerandoo a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, indique a moda dessa distribuição.

3.2.2 – Com intervalos de classe: A classe que apresenta maior freqüência é denomi denominada nada classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. bruta. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Exemplo: Calcule a moda da seguinte distribuição: SALÁRIOS SEMANAISPELOS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS Z SALÁRIOS RECEBIDOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências   Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11  11  162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40  40  FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 4segundo – Mediana o número quepossa se encontra no centro de uma os série de números, estando dispostos uma(Md): ordem.É Para que se obter o valor da mediana dados têm que estar em estes uma escala de medida no mínimo ordinal, uma vez que se precisa ordená-los. A mediana é o valor que divide o conjunto ao meio, isto é, concentra antes e depois de si, 50% das observações ordenadas. Ao contrário da média aritmética a mediana não sofre influência quando temos no conjunto valores discrepantes [tanto para mais como para menos]. Neste caso a mediana pode melhor representar um conjunto do que a média aritmética, porém não tem o mesmo significa significado do que aquela. A mediana pode ou não pertencer ao conjunto conjunto do qual ela é originária, vai pertenc pertencer er sempre que o conjunto tiver um número ímpar de inf informações ormações e vai ou não pertenc pertencer er quando o conjunto conjunto tiver um número par de observações. Com isso já podemos ver que a quantidade de observações influi na maneira pela qual vamos encontrar o valor da mediana. 4.1. – Dados não-agrupados: Estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será, quando n for: n 1 •  impar : o termo de ordem + ; 2

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 46 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

•  par : a média aritmética dos termos de ordem

n 2

 e

n 2

+1.

Exemplo 1: Dada à série de valores: valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, identi identifique fique a mediana. Md= 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 Md = 10 Exemplo 2: Dada à série de valores:

2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, calcule a mediana. Md = 11

•  O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. 4.2. – Dados agrupados: Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:

n 2

 

4.2.1 – Sem intervalos de classe:  classe:  É o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino, determine a mediana: N.ºde Meninos

f i 

0

2

1

6

2

10

3 4

12 4

Σ  = 34 •  No caso de existir uma freqüência acumulada (Fi), tal que:  x +  x será a média aritmética entr entree o valor da a mediana será dada por:  Md  = i   i +1 isto é, a mediana será 2

variável correspondente a essa freqüência acumulada e a seguinte.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 47 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Determine a mediana da

distribuiçã distribuiçãoo abaixo:

Xi 

f i 

13 14

1 2

15

1

16

2

17

1

18

1

Fi 

4.2.2 – Com intervalos de classe: Classe mediana é aquela correspondente à freqüência acumulada imediatamente imediatamen te superior a

Σ f i

.

2

Em seguida analisa-se o ponto médio Exemplo: Calcule a mediana da seguinte distribuição:

SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências   Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11 11   162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40 40   FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a da classe correspondente. correspondente.

Σ f i 2

, a mediana será o limite superior

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 48 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: 

i

Classes

f i 

0 |--- 10 10 |--- 20

1 3

20 |--- 30

9

30 |--- 40

7

40 |--- 50

4

50 |--- 60

2

Fi 

26 EXERCÍCIOS 1 – Considerando os conjuntos de dados calcule a média, a mediana e a moda. a)  3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b)  20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 c)  51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 d)  15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 2 - Os dados abaixo representam todos a idade dos clientes que acessaram a página da internet da Empresa “X” no mês de julho de 1998. Faixa etária N° de casos

0 |-----10 27

10 |-----20 71

20 |----- 30 118

30 |----- 40 20

40 |-----50 50 |----- 60 18 10

Calcule as medidas de tendência central. 3 - O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos 120 funcionários de todo o setor de produção, obtendo os seguintes resultados: Salário (x sal. min.) Freqüência relativa 0,25 0 |----- 2 0,40 2 |----- 4 0,20 4 |----- 6 0,15 6 |----- 8 Pede-se: a) Calcule a média dos salários c) Se for concedido um aumento para esses funcionários funcionários de 100%, haverá alteraç alteração ão na média? Justifique. e) Se for concedido um abono de um salário mínimo para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? Justifique.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 49 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

4 - Considerando a tabela a seguir: a) Calcular e interpretar estas medidas a média , moda , e mediana da distribuição amostral amostral apresentada abaixo; b) Calcular e interpretar interpretar %fr 3,F4,f 2 e %Fr 3. Idade de uma amostra de candidatos programa de treinamento Nº. dea um Candidatos Idade (anos) 18 |-----20 20 |-----22 22 |-----24 24 |-----26 26 |-----28  |-----28 

5 18 10 6 5

5 - Para o seguinte conjunto de observações amostrais determine determine as medidas de tendência central ----------------------------------------------------------------Tempo de serviço Freqüência acumulada ----------------------------------------------------------------5 I---- 10 9 10 I---- 15 12 15 I---- 20 18 20 I----I 25 25 ----------------------------------------------------------------6 - Calcule a média geométric geométricaa para as séries: X : 1, 2, 4, 7, 16 Y : 81, 26, 10, 3, 1

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 50 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Aula 6 - Estatística I Prof. Emerson Jung

 

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Na maiorumparte das vezes em Este que os dados sãomelhor analisados, procuramos um valor para representar conjunto de dados. valor deveestatísticos sintetizar, da maneira possível, oobter comportamento do conjunto do qual ele é originário. Nem sempre os dados estudados têm um bom comportamento, isto pode fazer com que um único valor bem represente ou não o grupo. posição mais central, que recebem tal denominação As medidas de posição  mais importantes são as medidas de tendência central, pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacam-se as seguintes: Média aritmética, Moda e Mediana. Cada uma com um significado diferenciado, diferenciado, porém tendo como serventia representar um conjunto de dados. A maneira de se obter estas medidas é um pouco diferenciada dependendo de como os dados são apresentados. Eles podem vir de forma isolada (não grupados) ou ainda ponderada (grupados em intervalos ou sem intervalo de classe, por ponto). 1– Média Aritmética ( µ  ou     x    )  É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:  µ  =

∑ xi  ou  N 

  ∑ xi  

 X  =

n

Sendo: µ ou     x: média aritmética Xi: valores da variável n ou N: número de valores 1.1 – Dados não-agrupados  não-agrupados  Quando se deseja conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos à média aritmética simples. Exemplo: Sabendo-se que as vendas diárias da empresa A, durante uma semana, foram de 10, 14, 13, 15, 16, 18

e 12 unidades, tem-se, para produção média da semana: (R. 14 unidades ). 1.2 – Dados Agrupados 1.2.1 – Sem intervalos de classe: As freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que leva a calcular a média aritmética ponderada.

 µ  =

∑ xi. fi   ( população )  N 

  ∑ xi. fi  ( amostra )

 X  =

n

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 51 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, adotando-se a variável “número de

filhos do sexo masculino”, determine a média. N.º de Meninos 0

f i  2

1

6

2

10

3

12

4

4

Σ  = 34 1.2.2 – Com intervalos de classe: Convenciona-se que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determina-se a média aritmética ponderada.

 µ  =

∑ xi. fi   ( população )  N 

  ∑ xi. fi   ( amostra )

 X  =

n

onde Xi é o ponto médio da classe.

Exemplo:

SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências   Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11  11  162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40  40  FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 52 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

EXERCÍCIOS

1 – Calcule a média aritmética das seguintes distribuições amostrais: a) Classes

30 |--- 50 |--- 70 |--- 90 |--- 110 |--- 130

fi

2

b) Consumo (kWh)

8

10

5

5 |--- 25 |--- 45 |--- 65 |--- 85 |--- 105 |--- 125 |--- 145 |--- 165

N.º de Usuários

c) Custos (R$)

12

4

6

14

26 26

14

8

6

2

450 |--|--- 550 |--- 650 |--- 750 |--- 850 |--- 950 |--- 1050 |-|----- 1150

f i 

8

10

11

16

13

5

1

2. Média Geométrica Simples Para uma seqüência numérica x: x1, x2, ......., xn, a média geométrica simples, que designaremos por  xg , é definida por:

Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, então:  x g =

4

2.4.6.9 =

4

432

= 4,559  

2.1 Média Geométrica Ponderada Para uma seqüência numérica x: x1, x2, ...., xn  afetados de pesos p1, p2, ..., pn respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremos por  x g é definida por:

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 53 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Se x: 1, 2, 5, com pesos 3, 3, 1 respectivamente então:  x g =

7

3

3

1

1 .2 .5

=

7

1.8.5 =

7

40 = 1,6938 

3– Moda (Mo) A moda de uma distribuição é o valor da variável que tem a maior freqüência absoluta simples, quer dizer aquele valor que aparece mais [mais se repete]. Existem algumas situações nas quais não existe moda, isto é, todos os valores da variável só aparecem uma vez, não se repetem. Em outras situações pode-se ter mais de uma moda, isto é, quando dois ou mais valores da variável têm maior freqüência [freqüências iguais], neste caso diz-se que o conjunto é bimodal. Podem-se ter três, quatro, etc. Nestes casos é difícil escolher a moda como um representante do grupo, uma vez que teremos muitos representantes.. Para que se possa obter o valor da moda é necessár representantes necessário io que os dados estejam no mínim mínimoo em escala nominal, quer dizer, com qualquer nível de mensuração podemos obter o valor da moda, uma vez que ela é oriunda apenas de uma contagem. Portanto, a moda é o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. - o dono do restaurante vai preparar mais o filé de maior saída; maioria tirou “C” numa turma; o proprietário da loja de sapato vai comprar mais os números de maior saída.

Exemplo:

3.1 – Dados não-agrupados  não-agrupados 

A moda é facilmente reconhecida: reconhecida: basta procurar o valor que mais se repete. Exemplo: A série de dados: dados:

7, 8, 9, 10, 10, 110, 0, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 15 tem moda iigual gual a 12.

•  Amodal: são as séries nas quais nenhuma valor apareça mais vezes que outros. Exemplo: 3, 5, 8, 10, 13.

•  Multimodal: é uma série que possui dois ou mais valores modais. Exemplo:

Xi = 2

3 4 4 4 5 6

7 77

Mo1 = 4

Mo2 = 7

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 54 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

3.2 – Dados agrupados 3.2.1 – Sem intervalos de classe: É o valor da variável de maior freqüência. Exemplo: Considerand Considerandoo a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, indique a moda dessa distribuição.

3.2.2 – Com intervalos de classe: A classe que apresenta maior freqüência é denomi denominada nada classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. bruta. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. Exemplo: Calcule a moda da seguinte distribuição: SALÁRIOS SEMANAISPELOS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS Z SALÁRIOS RECEBIDOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências   Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11  11  162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40  40  FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL 4 – Mediana (Md): É o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. Para que se possa obter o valor da mediana os dados têm que estar em uma escala de medida no mínimo ordinal, uma vez que se precisa ordená-los. A mediana é o valor que divide o conjunto ao meio, isto é, concentra antes e depois de si, 50% das observações ordenadas. Ao contrário da média aritmética a mediana não sofre influência quando temos no conjunto valores discrepantes [tanto para mais como para menos]. Neste caso a mediana pode melhor representar um conjunto do que a média aritmética, porém não tem o mesmo significa significado do que aquela. A mediana pode ou não pertencer ao conjunto conjunto do qual ela é originária, vai pertenc pertencer er sempre que o conjunto tiver um número ímpar de inf informações ormações e vai ou não pertenc pertencer er quando o conjunto conjunto tiver um número par de observações. Com isso já podemos ver que a quantidade de observações influi na maneira pela qual vamos encontrar o valor da mediana. 4.1. – Dados não-agrupados: Estando ordenados os valores de uma série e sendo n o número de elementos da série, o valor mediano será, quando n for: n +1

  impar : o termo de ordem

2

;

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 55 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

•  par : a média aritmética dos termos de ordem

n 2

 e

n 2

+1.

Exemplo 1: Dada à série de valores: valores: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9, identi identifique fique a mediana. Md= 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 Md = 10 Exemplo 2: Dada à série de valores:

2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, calcule a mediana. Md = 11

•  O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série. 4.2. – Dados agrupados: Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:

n 2

 

4.2.1 – Sem intervalos de classe:  classe:  É o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Exemplo: Considerando a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino, determine a mediana: N.ºde Meninos

f i 

0

2

1

6

2

10

3 4

12 4

Σ  = 34 •  No caso de existir uma freqüência acumulada (Fi), tal que:  x +  x será a média aritmética entr entree o valor da a mediana será dada por:  Md  = i   i +1 isto é, a mediana será 2

variável correspondente a essa freqüência acumulada e a seguinte.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 56 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: Determine a mediana da

distribuiçã distribuiçãoo abaixo:

Xi 

f i 

13

1

14

2

15

1

16

2

17

1

18

1

Fi 

4.2.2 – Com intervalos de classe: Classe mediana é aquela correspondente à freqüência acumulada

Σ f i imediatamente superior a 2 . imediatamente Em seguida analisa-se o ponto médio Exemplo: Calcule a mediana da seguinte distribuição:

SALÁRIOS SEMANAIS EM REAIS DE UMA AMOSTRA DOS SALÁRIOS RECEBIDOS PELOS FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA Z Salários semanais (R$)  (R$)  Freqüências   Freqüências 150 |--- 154  154  4  154 |--- 158  158  9  158 |--- 162  162  11 11   162 |--- 166  166  8  166 |--- 170  170  5  170 |--- 174  174  3  Total   Total 40 40   FONTE: PESQUISA DO SETOR DE PESSOAL No caso de existir uma freqüência acumulada exatamente igual a da classe correspondente. correspondente.

Σ f i 2

, a mediana será o limite superior

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 57 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Exemplo: 

i

Classes

f i 

0 |--- 10

1

10 |--- 20

3

20 |--- 30

9

30 |--- 40

7

40 |--- 50

4

50 |--- 60

2

Fi 

26 EXERCÍCIOS 1 – Considerando os conjuntos de dados calcule a média, a mediana e a moda. a)  3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 b)  20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7 c)  51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 d)  15, 18, 20, 13, 10, 16, 14 2 - Os dados abaixo representam todos a idade dos clientes que acessaram a página da internet da Empresa “X” no mês de julho de 1998. Faixa etária N° de casos

0 |-----10 27

10 |-----20 71

20 |----- 30 118

30 |----- 40 20

40 |-----50 50 |----- 60 18 10

Calcule as medidas de tendência central. 3 - O Departamento Pessoal de certa firma fez um levantamento dos 120 funcionários de todo o setor de produção, obtendo os seguintes resultados: Salário (x sal. min.) Freqüência relativa 0,25 0 |----- 2 0,40 2 |----- 4 0,20 4 |----- 6 0,15 6 |----- 8 Pede-se: a) Calcule a média dos salários c) Se for concedido um aumento para esses funcionários funcionários de 100%, haverá alteraç alteração ão na média? Justifique. e) Se for concedido um abono de um salário mínimo para todos os 120 funcionários, haverá alteração na média? Justifique.

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 58 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

4 - Considerando a tabela a seguir: a) Calcular e interpretar estas medidas a média , moda , e mediana da distribuição amostral amostral apresentada abaixo; b) Calcular e interpretar interpretar %fr 3,F4,f 2 e %Fr 3. Idade de uma amostra de candidatos a um programa de treinamento Nº. de Candidatos Idade (anos) 18 |-----20 20 |-----22 22 |-----24 24 |-----26 26 |-----28  |-----28 

5 18 10 6 5

5 - Para o seguinte conjunto de observações amostrais determine determine as medidas de tendência central ----------------------------------------------------------------Tempo de serviço Freqüência acumulada ----------------------------------------------------------------5 I---- 10 9 10 I---- 15 12 15 I---- 20 18 20 I----I 25 25 ----------------------------------------------------------------6 - Calcule a média geométric geométricaa para as séries: X : 1, 2, 4, 7, 16 Y : 81, 26, 10, 3, 1

Missão: "Oferecer oportunidades de educação contribuindo para a formação de profissionais conscientes e competentes, comprometidos com o comportamento ético e visando ao a o desenvolvimento Regional”. Rua Ramiro Barcelos, 892, Centro - Santa Cruz do Sul – RS - CEP 96810-050

Site: www.domalberto.edu.br  

 

Página 59 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO Aula 7 - Estatística I Prof. Emerson Jung

 

A CURVA DE FREQUENCIA

A curva de freqüência. Curva polida

Como, em geral, os dados coletado pertencem a uma amostra extraída de uma população, podemos imaginar as amostras tornando-se cada vez mais amplas e a amplitude das classes ficando cada vez menor, o que nos permite concluir que a linha poligonal (contorno do polígono de freqüência) tende a se transformar numa curva – a curva de freqüência – , mostrando, de modo mais evidente, a verdadeira natureza da distribuição distribuição da população. Podemos dizer, então, que, enquanto o polígono de freqüência nos dá a imagem real  do fenômeno, a curva de freqüência nos dá a imagem tendencial. Assim, após o traçado de um polígono de freqüência, é desejável, muitas vezes, que se lhe faça um polimento, de modo a mostrar o que seria tal polígono com um número maior de dados. Esse procedimento, é claro, não nos dará uma certeza absoluta de que a curva obtida – curva polida – seja tal qual a curva resultante de um grande número de dados. Porém, podemos afirmar que

ela assemelha-se mais à curva de freqüência do que ao polígono de freqüência obtido de uma amostra limitada. O polimento, geometricamente, corresponde à eliminação dos vértices da linha poligonal. Consegue-se isso com o emprego de uma fórmula bastante simples, a qual, a partir das freqüências reais, nos fornece novas freqüências – freqüências calculadas – que se localizarão, como no polígono de freqüência, nos pontos médios. A fórmula que nos dá a freqüência calculada (fci) é:

 

Página 60 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

 

Página 61 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

 

Página 62 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

 

Página 63 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

 

Página 64 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO   Desvio em relação à média

Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. Designando o desvio por di, temos: di = xi  -      x    Exemplo: sabendo que a produção leiteira diária de uma vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros. Temos, para produção média semanal:     x    = Para o exemplo dado, temos: d1 = xi  -       x    ⇒ d1 = 10 – 14 = - 4 d2 = xi  -      x    ⇒ 

Exercício:

1)  Determine os desvios médios em relação à média dos seguintes dados: 6, 8, 5, 12, 11, 7, 4, 15. Qual a soma dos desvios? Propriedades da média

1ª propriedade A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. 2ª propriedade Somando-se (ou subtraindo-se) subtraindo-se) uma constante ( c ) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante. 3ª propriedade Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante ( c ), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Emprego da média:

A média é utilizada quando: a. desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade; estabilidade ; b. houver necessidade de um tratamento algébrico posterior.

 

Página 65 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

Emprego da moda

A moda é utilizada quando: a. desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; b. a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.

 

Página 66 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO   Emprego da mediana

Empregamos a mediana quando: a.  desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; b.  b. há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; c.  a variável em estudo é salário.

 

Página 67 / 102

CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DOM ALBERTO  

2)  Para cada uma das distribuições de freqüência abaixo, calcule a média, a moda e a mediana. a) NOTAS 0 |   22 2 |   44 4 |   66 6 |   88 8 |  10  10

f i  5 8 14 10 7 ∑ = 44

ESTATURAS (cm) 150 |  158  158 158 |  166  166

f i  5 12 18 27 8 ∑ = 70

b)

166 |   182 174 |  182 174   174 182 |  190  190

c) SALÁRIOS (R$) 500 |  700  700 700 |  900  900 900 |  1100  1100 1100 |  1300  1300 1300 |  1500  1500 1500   1900 1700 |  |  1700  1700 1900

f i  18 31 15 3 1 1 1 ∑ = 70

d) PESOS (kg) 145 |  151  151 151 |  157  157 157 |  163  163 163 |  169  169 169 |  175  175 175 |  181  181

f i  10 9 8 6 3 3

181 |  187  187

1

∑ = 40

 

Página 68 / 102

Aula 8 – Estatística I Prof. Emerson Jung 1. SEPARATRIZES

Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. No entanto, ela apresenta uma outra característica, tão importante quanto a primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.

Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas – os quartis, os percentis  e os decis – são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes . 1.1. OS QUARTIS 

Denominamos Quartis os valores de uma série s érie que a dividem em quatro partes iguai iguais. s. Há, portanto, três quartis:

•  O primeiro quartil (Q1)  – valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores. •  O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md)  •  O terceiro quartil (Q3)  – valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 0%

25%

50%

75%

Q1 

Q2 

Q3 

100%

Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, s ubstituir, na fórmula da mediana,

∑ fi 

2 k∑ fi  .

por:

4 sendo k o número de ordem do quartil.

 

 

Página 69 / 102

Eis as fórmulas para os cálculos de Q 1 e Q3 para o caso de variáveis contínuas. Determinação de Q 1 

- 1º Passo: Calcula-se n/4 - 2º Passo: Identifica-se a classe Q 1 pela Fac  - 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Q1 =

Determinação de Q 3  3  

- 1º Passo: Calcula-se 3n/4 - 2º Passo: Identifica-se a classe Q 3 pela Fac  - 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Q3 =

Exemplo: Estaturas (cm)

fi 

Fi

150    154          154

4

4

154        158     158

9

13

158   162          162

11

24

162        166     166

8

32

166   170          170

5

37

170        174     174

3

40

∑ = 40

 

 

Página 70 / 102

Exercício: Construa uma tabela de distribuição de freqüências freqü ências e calcule o primeiro e o terceiro quartis. Custos (R$) 450   550  550   650  650   750  750   850  850   950  950   1050  1050   1150  1150 fi 8 10 11 16 13 5 1

1.2. OS DECIS 

Continuando o estudo das medidas separatrizes mediana e quartis, tem-se os decis. São valores que dividem a série em 10 partes iguais. 0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

D1 

D2 

D3 

D4 

D5 

D6 

70% D7 

80%

90% D8 

100%

D9 

Como você já deve ter percebido, a fórmula neste caso também é semelhante às separatrizes anteriores. Ei-la: - 1º Passo: Calcula-se in/10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 - 2º Passo: Identifica-se a classe D i pela Fac  - 3º Passo: Aplica-se a fórmula: Di =

1.3. OS PERCENTIS 

Denominamos Percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ..., P50, ..., P99 

É evidente que P50 = MD, P25 = Q1 e P75 = Q3   

 

Página 71 / 102

O cálculo de um percentil é dado por: por: - 1º Passo: Calcula-se in/100, em que qu e i = 1, 2, 3, ..., 98 e 99 - 2º Passo: Identifica-se a classe P i pela Fac  - 3º Passo: Aplica-se a fórmula:

Pi =

Exemplo: Determinar o 4º Decil e o 72º Percentil da seguinte distribuição: Classes

fi 

Fac 

4 |   99

8

8

9 |  14  14 14 |  19  19

12 17 3

20 37 40

19 |  24  24

∑=

40

Exercício: 1. Complete o esquema para o cálculo do vigésimo percentil percentil da distribuição: Custos (R$) 450   550  550   650  650   750  750   850  850   950  950   1050  1050   1150  1150 fi

8

10

11

16

13

5

1

 

 

Página 72 / 102

2. Calcule a média aritmética, a mediana, a moda, o primeiro e o terceiro quartis das distribuições de freqüências abaixo: a) NOTAS

fi 

0           2  

5

2     4         4

8

4          6    6

14

6     8         8

10

8          10    10

7 ∑ = 44

b) Estaturas (cm)

fi 

150     158         158

5

158     166         166

12

166     174         174

18

174          182    182

27

182     190         190

8 ∑ = 70

3. Calcule o 10º, 23º, o 15º e o 90º percentis da distr distribuição ibuição “b” do exercício anterior anterior.. 4. Sendo: Idade (anos) 10| 14 14| 18 18 18| 22 22 22| 26 26| 30 30 30| 34 34| 38 38| 42 42 Nº de pessoas 15 28 40 30 20 15 10 5 a) determinar a média; b) calcular a medida que de deixa ixa 50% dos elementos; c) determinar a moda; d) calcular o 3º decil; e) determinar a medida que deixa ¼ dos element elementos; os; f) calcular o percentil 80;

g) qual a porcentagem das pessoas maiores de idade?  

 

Página 73 / 102

Aula 9– Estatística I Prof. Emerson Jung

Média Móvel Uma média, como o nome diz, mostra o valor médio de uma amostra de determinado dado. Uma média móvel aritmética  (MMA) é uma extensão desse conceito, representando o valor médio, normalmente dos preços de fechamento, em um período de tempo. Exemplo: A média móvel simples é calculada pela formação do preço médio por um número específico de períodos. Para o cálculo usamos o preço de fechamento. Por exemplo: Vamos utilizar a média dos últimos 10 dias. Devemos somar os preços finais durante os últimos 10 dias e dividir o total por 10. 10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=145 (145/10) = 14,50 Devemos repetir este cálculo conforme o passar dos dias, assim, as médias vão se juntando e formando uma linha. Se continuarmos com o nosso exemplo, o próximo preço final na média será 20, então teremos um novo período, somando o último dia (20) e removendo o primeiro da lista (10). Continuando com a média dos últimos 10 dias, a média móvel simples deverá ser calculada da seguinte maneira: 11+12+13+14+15+16+17+18+19+20=155 (155/10) = 15,50 Repare que removemos o primeiro dia da lista (10) para incluir o novo dia (20).

Durante os últimos dois dias, a média moveu-se de 14,50 para 15,50. Como são somados novos dias, os antigos serão removidos e a média permanece se movendo com o passar do tempo.  

 

Página 74 / 102

MEDIDAS DE DISPERSÃO 1. Dispersão ou Variabilidade A média, ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem o conjunto. Considerando os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X: 5, 5, 5, 5, 5. Y: 3, 4, 5, 6, 7. Z: 5, 0, 10, 8, 2. Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtém-se:  X  = Y   = Z  = 5.

Chamando de dispersão  ou variabilidade a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno do valor da média, pode-se dizer que o conjunto Xi apresenta dispersão ou variabilidade nula e que o conjunto yi apresenta uma dispersão ou variabilidade menor que o conjunto zi. Para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua média, é necessário recorrer às medidas de dispersão ou de variabilidade. Dessas medidas, estudaremos: desvio médio simples, a variância absoluta, o desvio padrão e o coeficiente de variação ou de variabilidade

Notações:

Quando a seqüência de dados representa uma População, a variância será denotada por σ  2 (x) e o desvio padrão correspondente por σ   (x)

 

 

Página 75 / 102

Quando a seqüência de dados representa uma amostra, a variância será denotada por s2(x) e o desvio padrão correspondente por s(x).

1. Desvio Médio Simples: O desvio médio simples que indicaremos por DMS é definido como sendo uma média aritmética do desvio de cada elemento da série para a média da série. Cálculo do Desvio Médio Simples:

1º) Caso: Dados Brutos ou Rol Calculamos inicialmente a média da seqüência. Em seguida identificamos a distância de cada elemento da seqüência para sua média. Finalmente, calculamos a média destas distâncias. Se a seqüência for representada por X: x1, x2, x3,... , xn, então DMS admite como fórmula de cálculo:

DMS =

∑ xi -

x 

n Exemplo: Calcule o DMS para a seqüência x : 2, 8, 5, 6. O DMS é a média aritmética simples destes valores.

2º) Caso: Variável Discreta

No caso da apresentação de uma variável discreta, lembramos que a freqüência simples de cada elemento representa o número de vezes que este  

 

Página 76 / 102

valor figura na série. Conseqüentemente, haverá repetições de distâncias iguais de cada elemento distinto da série para a média da série. Assim, a média indicada para estas distâncias é uma média aritmética ponderada. A fórmula para o cálculo do DMS é:

DMS =

∑| xi –

x | fi  .

∑ fi 

Exemplo: O quadro nos mostra a distribuição dos erros cometidos por 25 alunos numa prova de Estatística. Determinar o desvio médio dessa distribuição: Xi 0 1 2 3 4 5

fi 3 6 8 5 2 1

3º) Caso: Variável Contínua

Nesta situação, por desconhecer os valores individuais dos elementos componentes da série, substituiremos estes valores xi, pelos pontos médios da classe. Desta forma, o desvio médio simples tem por cálculo a fórmula:

DMS =

∑ xi – ∑ fi 

x  fi 

Onde x ii  é   o ponto médio da classe i.

 

 

Página 77 / 102

Exemplo: Determinar o DMS para a série:

Classe

Intervalo de classe 0  4 8 12  16 

1 2 3 4 5

 4  8  12  16  20

fi 2 6 8 3 1

Exercícios: 1. As alturas dos jogadores de um time de basquete são, em centímetros: 195, 198, 201, 192 e 204. Nessas condições determine: a)

a média das alturas;

b)

o desvio médio.

2. Calcule o DMS da série X : 3, 8, 12, 12, 3, 9, 7.

3. Calcule o DMS da série Y: 2; 2,5; 3,5; 7; 10; 14,5; 20. 4. Calcule o DMS da série: Xi 2 3 4 5

fi 5 10 15 12

6 7

5 3

 

 

Página 78 / 102

5. Calcule o DMS da série:

Classe

Salários US$

1 2 3 4 5 6

70   120 120   170  170 170   220  220 220   270  270 270   320  320 320   370  370

Nº de vendedores 8 28 54 32 12 6

2. Cálculo da Variância e Desvio Padrão O valor que corresponde à média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média recebe o nome de variância. A raiz quadrada da variância chama-se desvio padrão  do conjunto de dados.

1º caso – DADOS BRUTOS OU ROL a) Se a seqüência representa uma População, a variância é calculada pela formula:

2

 i − x) ∑   ( x

2

σ  

( x) =

 

n

 

 

Página 79 / 102

Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão da seqüência: X: 4, 5, 8, 5. A seqüência contém n= 4 elementos e tem por média: Os quadrados das diferenças (xi - x )2 valem: b) Se a seqüência anterior representasse apenas uma amostra, a variância seria denotada por s2(x) e o desvio padrão por s(x). Neste caso: ( x −  x )   S (x)= ∑ i 2

2

n −1

e s(x)=

s ( x)   2

Note que a única diferença entre a fórmula de

σ  

2

( x ) (indicado

para

Populações) e s2(x) (indicado para amostras) é o denominador. Assim, 2

S (x) =

∑ ( xi −  x) n −1

2

9

= 3 = 3  e o desvio padrão s(x) =

3  = 1,73 .

2º caso – VARIÁVEL DISCRETA Como há repetições de elementos na série, definimos a variância como sendo uma média aritmética ponderada dos quadrados dos desvios dos

elementos da série para a média da série. a) Se a variável discreta é representativa de uma População, então a variância é dada por:  

 

Página 80 / 102

σ  

2

∑ ( x  i −  x) ( x ) = ∑  f i

2

 f i

 

e o desvio padrão é: ( x  )

σ  

= 

σ  

2

( x )  

b) Se a variável discreta é representativa de uma amostra, então a variância é: ( x −  x )  f i   s (x)= ∑ i  f  − 1 ∑ i 2

2

e o desvio padrão é: s(x) =

2

s ( x)

 

Exemplo 1: Calcule a variância da séria abaixo, representativa de uma população.

xi

fi 

2 3 4 5

3 5 8 4

 

 

Página 81 / 102

Exemplo 2: Se a variável discreta fosse representativa de uma amostra, a variância seria indicada por s2(x) e seria calculada por:

3º caso – VARIÁVEL CONTÍNUA Novamente, por desconhecer os particulares valores xi  da série, substituiremos nas fórmulas anteriores estes valores pelos pontos médios de classe. A fórmula da variância para uma variável contínua representativa de uma população é:

σ  

2

∑ ( x  i −  x) ( x) = ∑  f i

2

 f i

 

Onde xi é o ponto médio da classe i .

Se a variável continua uma amostra então a variância é denotada por s 2(x) e sua fórmula de cálculo é: ( x −  x )  f i   s (x) = ∑ i ∑  f i − 1 2

2

 

 

Página 82 / 102

Exemplo 1: Calcule a variância e o desvio padrão para a série representativa de uma População:

Classe

Int. cl.

fi 

1

0 ├   4

2

2

4 ├   8

6

3

8 ├  12

8

4

12 ├  16

3

5

16 ├  20

1

Exemplo 2: Se a variável contínua fosse representativa de uma amostra, a variância seria indicada por s2(x) e sua fórmula de cálculo seria: ( x −  x )  f i   s (x) = ∑ i − 1  f  ∑ i 2

2

 

 

Página 83 / 102

Estatística I Prof. Emerson Jung Aula 10 ATIVIDADES 1. Considere a distribuição de freqüências relativas aos salários quinzenais da Empresa Yasmin Ltda:

Salários Quinzenais Número de (em US$) Funcionários 10 185    195  195 15 195   205 12 205   215 19 215    225  225 21 225   235 35 235    245  245 ∑   112 Pede-se: a) O salário médio, me mediano diano e modal dos funcionários b) O histograma e o polígono de freqüências da distribu distribuição. ição. c) Suponha que o presidente da empresa tenha dado um reajuste de 15% aos funcionários. Qual o novo salário médio? 2. Os dados a seguir referem-se à per permanência manência média, em dias, de turistas nos países do continente europeu no período compreendido entre 1983 e 1986:

a. Organize esses dados numa distribuição de freqüências de intervalos de classes; b. Construa o histograma e o polígono de freqüências; c. Calcular a média, a moda e a mediana da distribuição. 3. Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes for foram am os seguintes: 6 1

5 6

2 3

6 3

4 5

3 1

6 3

2 6

6 3

5 4

5

4

3

1

3

5

4

4

2

6

2 5

2 6

5 2

2 4

5 6

1 1

3 5

6 2

5 4

1 3

 

 

Página 84 / 102

a) Forme a distr distribuição ibuição de freqüências. b) Calcule a média, a moda e a mediana. c) Calcule o desvio médio simples 4. Calcule a variância e o desvio padrão das populações: X: 2, 3, 7, 9, 11, 13. Y: 5, 12, 4, 20, 13, 17. 5. Calcule a variância e o desvio padrão das amostras: Z: 15, 16, 17, 20, 21. W: 6, 5, 10, 12, 19. 6. Calcule a variância e o desvio padrão da população: Idade (anos) Nº. de alunos 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4 7. Calcule a variância e o des desvio vio padrão para o número de acidentes diários, diários, observados em um cruzamento, durante 40 dias. (Amostra) Nº. de acidentes por dia 0 1 2 3 4

Nº. de dias 30 5 3 1 1

8. Considerando as no notas tas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos: 64

78

66

82

74

103

78

86

103

87

73 78 86 76 82 68 71 95 94

95 86 84 80 90 96 73 94 75

82 78 86 92 83 86 63 88 67

89 101 76 102 81 70 105 62 95

73 85 76 73 85 72 74 91 108

92 98 83 87 72 74 98 83 98

85 75 103 70 81 84 78 98 71

80 73 86 85 96 99 78 93 92

81 90 84 79 81 81 83 83 72

90 86 85 93 85 89 96 76 73

a) Forme a distribuição de freqüências utlizando Sturges. b) Calcule a média, a moda e a mediana.

c) Calcule a Var Variância iância e o desvio padrão 9. Calcule a variância e o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. (Amostra)

 

 

Página 85 / 102

Classe 1 2 3 4 5

Consumo por nota US$ 0 ├   50 50 ├   100 100 ├   150 150 ├   200 200 ├   250

6

250

├   300

Nº.de notas 10 28 12 2 1 1

12. Calcule a variância e o desvio padrão para as alturas de 70 alunos de uma classe (Amostra). Classe Alturas (cm) Nº. de alunos 1 150 ├   160 2 2 160 ├   170 15 3 170 ├   180 18 4 180 ├   190 18 5 190 ├   200 16 6 200 ├   210 1

Coeficiente de Variação Se uma série X apresenta média = 10 e desvio padrão = 2 e uma série Y apresenta média 100 e desvio padrão = 5, do ponto de vista da dispersão absoluta, a série Y apresenta maior dispersão que a série X. No entanto, se levarmos em consideração as médias das séries, o desvio padrão de Y que é 5 em relação a 100 é um valor menos significativo que o desvio padrão de X que é 2 em relação a 10. Isto nos leva a definir as medidas de dispersão relativas: coeficiente de variação e variância relativa. O coeficiente de variação de uma série X é indicado por CV(x) definido por: CV(x) = σ(x) x A variância relativa de uma série X é indicada indic ada por V(x) e definida por: V(x) = = σ2(x)

x2 Note que o coeficiente de variação, como é uma divisão de elementos de mesma unidade, é um número puro. Portanto, pode ser expresso ex presso em percentual.

 

 

Página 86 / 102

Deste modo, se calcularmos o coeficiente de variação da série X citada no início obteremos: CV (x) = 2/10 = 0,2 ou 20% CV(y) = 5/100 = 0,05 ou 5% Comparando os valores destes dois coeficientes concluímos que a série X admite maior dispersão relativa. A medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida de dispersão absoluta. Podemos afirmar que uma série que tem a maior dispersão relativa, tem de modo m odo geral a maior dispersão. Concluindo: a série Y apresenta maior dispersão absoluta. A série X apresenta maior dispersão relativa. Portanto, a série X apresenta maior dispersão. Responda, justificando em cada caso, as questões abaixo: 1- Qual das séries apresenta maior dispersão absoluta? 2- Qual das séries apresenta maior dispersão relativa? 3- Qual das séries apresenta maior dispersão?  _ a) A XA = 20

_ B

σ (A) = 2

σ (B) = 5  5 

 _

_

b) A: XA = 50

B

σ (A) = 2 XA = 20

σ2 (A) = 9

XB = 100

σ (B) = 3

 __ c) A

XB = 20

_ B

XB = 30

σ2 (B) = 16

 

 

Página 87 / 102

Estatística I Prof. Emerson Jung Aula 11

Medidas de Assimetria

Denomina-se assimetria o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria. Em uma distribuição simétrica tem-se igualdade dos valores da média, mediana e moda. Exemplos:

Simetria

 X 

 Mo

=  

=

 Md 

Toda distribuição deformada é sempre assimétrica. Entretanto, a assimetria pode dar-se na cauda esquerda ou na direita da curva de freqüências.  

Em uma distribuição assimétrica positiva, ou assimetria à direita, tem-se :

Assimetria à direita (ou positiva)  Mo Md    X 

 Mo <  Md    <  X 

 

Em uma distribuição assimétrica negativa, ou assimetria à esquerda, predominam valores inferiores inferiore s à Moda.

Assimetria à esquerda ou ne ativa

 X   Md Mo

  <  Mo  X  <  Md 

Fórmulas para o cálculo do coeficiente de assimetria: Coeficiente de Pearson

 

 

Página 88 / 102

1º Coeficiente de Pearson AS = 0 diz-se que a distribuição é simétrica

AS  =

 

x  − Mo 

AS > 0 diz-se que a distribuição é assimétrica positiva (à direita)  

S 

AS < 0 diz-se que a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda) 

Segundo este critério, as distribuições são classificadas da seguinte forma: - Se AS ≤ - 1: assimétrica negativa forte - Se – 1 < AS < 0: assimétrica negativa fraca - Se AS = 0: simétrica - Se 0 < AS < 1: assimétrica positiva fraca - Se AS ≥1 : assimétrica positiva forte

Exercícios de Aplicação

1. Classifique, quanto à assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson.

i X 1  2 3 4 5 6

fi 2 10 6 4 2 1

 

 

Página 89 / 102

2. Classifique, quanto à assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson. População Xi 2 3 4 5 6 7 8

fi 2 4 6 10 6 4 2

Medida de curtose Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica de probabilidade). Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais fechada que a normal (ou mais aguda em sua parte superior), ela recebe o nome de Leptocúrtica.  Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta que a normal (ou mais aguda em sua parte superior), ela recebe o nome de Platicúrtica.  A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica. 

Coeficiente de Curtose Uma fórmula para medida de curtose é:

4

K  =

∑ ( X  I  −  X )   ∑  fi o'4 ( x )

 fi −

3 

Se K = 0 : a distribuição é mesocúrtica Se K > 0 : a distribuição é leptocúrtica Se K < 0 : a distribuição é platicúrtica.

 

 

Página 90 / 102

3. Classifique, quanto à curtose, a distribuição abaixo:

Classe 1 2

Int. Cl. 3 ├  5  5 5 ├  7  7

fi 1 2

3 4 5

7 ├  9 9 ├  11 11 ├  13

13 3 1

4. Classifique, quanto à assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente de Pearson. Amostra

Classe 1 2 3 4 5

Int. C. 0 ├  4 4 ├  8 8 ├  12 12 ├  16 16 ├  20

fi 10 15 6 2 1

5. Uma empresa produz caixas de papelão para embalagens e afirma que o número de defeitos por caixa se distribui conforme a tabela: Nº Defeitos 0 1 2 3 4 5 Pede-se:

Nº Caixas 32 28 11 4 3 1

a) o número médio de defeitos por caixa; b) a distribuição de freqüências; c) a porcentagem de caixas com 2 defeitos; d) a porcentagem de caixas com mais de 3 defeitos;  

 

Página 91 / 102

e) o histograma; f) o número mediano de defeitos por caixa; g) a moda; h) a amplitude total da série; i) o desvio médio simples;  j) a variânc variância; ia; k) o desvio padrão; l) classifique, quanto à assimetria, a distribuição segundo o coeficiente de Pearson; m) classifique, quanto à curtose, a distribuição.

Variável reduzida - Escore z Sua altura é de 1,56 m. Você é alta? Sua nota na FUVEST foi 60. Sua nota foi alta? O escore z permite que comparemos um valor específico com a população levando-se em conta o valor típico e a dispersão. Ex: Um estudante recebeu grau 84 em um exame final de Matemática, para qual o grau médio foi 76 e o desvio padrão 10. No exame final de Física, para o qual o grau médio foi 82 e o desvio padrão 16, ele recebeu o grau 90. Em que matéria sua posição relativa foi mais elevada? A variável reduzida z =  z

=

 

( xi   −  x ) s

  mede o desvio de Xi em relação a média, em termos de

desvio padrão s. Para Matemática,  z

Para Física,  z

=

=

(84 − 76 ) = 0,8  

(90 − 82) 16

10

=

0,5  

Dessa forma, o estudante teve grau correspondente a 0,8 do desvio padrão acima da média, em Matemática, mas apenas o correspondente a 0,5 do desvio padrão acima da média, em Física. Assim, sua posição relativa foi mais alta em Matemática.

 

 

Página 92 / 102

Aula 12 – Estatística I Prof. Emerson Jung PROBABILIDADES Quando solicitados a estudar um fenômeno f enômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever tal fenômeno por um modelo matemático que permita explicar da melhor forma possível este fenômeno. A teoria das probabilidades permite construir modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos e fornece estratégias para tomadas de decisões.

EXPERIMENTO ALEATÓRIO Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim, da afirmação “é provávell que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar: a.  Que, apesar do favoritismo, ele perca; b.  Que, como pensamos, ele ganhe; c.  Que empate; Como vimos, o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esses são chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.

Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes,, apresentam resultados imprevisíveis. Ex: Lançamento de um dado. semelhantes

Experimentos ou fenômenos determinísticos  são aqueles que, repetidos sob mesmas condições iniciais, conduzem sempre sempre a um só resultado. As condições condições iniciais determinam o ún único ico resultado possível possível do fenômeno. Ex: Massa caindo em queda livre.

ESPAÇO AMOSTRAL Seja S um espaço amostral e A um evento qualquer desse espaço amostral, com  A ⊂    S (isto é, A é um subconjunto de S), então, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada por: P(A) = n(A) , ou seja, a probabilidade de que um evento evento qualquer “A” ocorra é dada pelo quo quociente ciente entre n(S) o número de casos favoráveis ao evento e o número de casos possíveis. Onde: n(A) é o número de elementos do conjunto A e n(S) é o número de elementos de S.

Esta defeinição é conhecida como definição clássica de probabilidade e supõe que todos os elementos do espaço amostral sejam equiprováveis, ou seja, todos têm a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de um evento qualquer “A” ocorrer estará sempre entre zero e um, ou seja: 0 ≤ P(A) ≤ 1 (entre 0 e 100%)  

 

Página 93 / 102

Quando P(A) = 0, temos um evento impossível Quando P(A) = 1, temos um evento certo

Exemplos: 1)  Numa urna há 12 bolas brancas e 18 bolas pretas. Qual é a probabilidade de sortearmos uma bola preta? Solução: Tem-se 18 casos favoráveis ao evento “bola preta” em 12 + 18 (=30) casos possíveis. Então: P(A) = 18/30 = 3/5 = 0,6 = 60% 2)  Um casal pretende ter três filhos. Qual é a probabilidade de serem duas menina meninass e um menino? Solução: O número de casos possíveis n(S) é: 2 . 2 . 2 = 8 (princípio fundamental da contagem!). O número de casos favoráveis ao evento será n(A) = 3. Com efeito, teremos: {(m, m, h), (m, h, m), (h, m, m)} onde “h” significa “menino” e “m” significa “menina”. P(A) = 3/8 = 0,375 = 37,5% 3)  Num baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de retirarmos uma carta de copas?

TIPOS DE EVENTOS 1.  EVENTOS COMPLEMENTARES Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo “p” a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e “q” a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p+q=1→q=1–p Assim, se a probabilidade probabil idade de se realizar realiza r um evento é p = 1 , a probabilidade probabili dade de que ele não ocorra é: 5 q=1–p→q=1- 1 = 4 . 5  5 Sabemos que a probabilidade de tirar o 4 no lançamento de um dado é p = 1 . Logo, a probabilidade de não tirar o 4 no lançamento de um dado é: 6

q=1- 1 = 5 . 6

6

 

 

Página 94 / 102

2.  EVENTOS INDEPENDENTES Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro. Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos. Assim, sendo p1  a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por:

P(p1 ∩ p2) = p1 x p2  Exemplo:

Lançamos dois dados. A probabilidade probabili dade de obtermos 1 no primeiro dado é: A probabilidade probabili dade de obtermos obtermo s 5 no segundo dado é :

p 1 = 1 . 6

p2 = 1 . 6

Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:

p= 1 x 1 = 1 . 6 6 36

3.  EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos  quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). P(A ∩ B) = 0 Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos,  já que, ao se realizar realizar um deles, o outro outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidadess de que cada um deles se realize: probabilidade r ealize:

p = p1 + p2 Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:  

 

Página 95 / 102

p = 1 + 1 = 2 = 1 , pois, como vimos, os dois eventos são mutuamente exclusivos. 6 6 6 3

EXERCÍCIOS: 1.  Maria tem quatro calças, três blusas blusas e quatro pares de tênis. De quantas mane maneiras iras diferentes ela pode combinar as três peças? 2.  Nas placas de automóveis são três letras (entre 26) e quatro algarismos. Quantas placas diferentes podem ser formadas? 3.  Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 4.  No lançamento de dois dados, determine a probabilidade de: a)  a soma ser menor que 4; b)  a soma ser 9; c)  o primeiro resultado ser maior que o segundo; d)  a soma ser menor ou igual a 5. 5.  De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 6.  Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? 7.  De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a

primeira carta ser o às de paus e a segunda ser o rei de paus?

8.  Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?  

 

Página 96 / 102

9.  Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos: a)  os três são do sexo feminino; b)  pelo menos um é do sexo masculino; c)  os três do mesmo sexo. 10.  Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos: a)  o número escolhido é ímpar; b)  o número escolhido é maior que 15; c)  o número escolhido é múltiplo de 5; d)  o número escolhido é divisível por 6; e)  o número escolhido é primo. 11.  O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 deputados presente em uma reunião.

SEXO HOMEM

MULHER

Casado

10

8

Solteiro

5

3

Desquitado

7

5

Divorciado

8

4

ESTADO CIVIL

Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos:

a)  A – Ser um homem b)  B – Ser uma mulher c)  C – Ser uma pessoa casada d)  D – Ser uma pessoa solteira  

 

Página 97 / 102

e)  E – Ser uma pessoa desquitada f)  F – Ser uma pessoa divorciada 12. Utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20  jovens entre entre 14 e 20 anos. anos. Idades (anos) 14 15 16 17 18 19 20

Freqüência Acumulada 2 4 9 12 15 18 20

Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais?

 

 

Página 98 / 102

Aula 13 – Estatística I Prof. Emerson Jung Permutação Simples

Uma permutação simples de “n” elementos de um conjunto dado é uma seqüência desses “n” elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos determina uma permutação diferente. Fórmula: Pn = n! ( Leitura: Permutação de “n” elementos distintos ) O símbolo “!” ao lado de um número significa “fatorial” deste e indica que se deve efetuar o produto de TODOS os números naturais consecutivos, desde “n” até 1. Exemplo: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 2244 Por definição: definição: 1! 1! = 1 e 0! = 1

Arranjo Simples

Um arranjo simples de “p” elementos , extraídos extraídos de um conjunto com “n” elem elementos entos ( com p ≤ n ), é qualquer subconjunto de “p” elementos , nos quais a MUDANÇA DE ORDEM determina arranjos diferentes. Fórmula:

( Leitura: Arranjos de “n” elementos p a p )

Exemplo: Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com o conjunto c onjunto {2, 3, 5, 7}? Solução: Há elementos no conjunto dado, logo, n = 4. Queremos arranjá-los 2 a 2. Então, p = 2. Com a fórmula acima, teremos:

Raciocinando pelo princípio fundamental da contagem: temos 4 algarismos. Para cada um escolhido, restam outros 3 para formarmos os arranjos. Assim: 4 . 3 = 12.

 

 

Página 99 / 102

Combinação Simples

Uma combinação simples de “p” elementos, extraídos de um conjunto com ‘n” elementos ( com p ≤ n ), é qualquer subconjunto de “p” elementos , nos quais a MUDANÇA DE ORDEM de tais elementos determina a MESMA COMBINAÇÃO. Fórmula:

( Leitura: Combinações de “n” elementos p a p )

Exemplo: Quantas Quantas comissões de três alunos podemos formar com cinco estudantes: A, B, C, D, E? Solução: Aqui, a ORDEM dos “p” elementos em cada subconjunto irá determinar a MESMA COMBINAÇÃO, logo trata-se de um problema de Combinação Simples, no qual: n = 5 e p = 3 Usando a fórmula acima,temos:

EXERCÍCIOS 1.  Quantos anagramas tem a palavra MITO? 2.  Quantos anagramas da palavra EDITORA: a.  começam com A? b.  começam com D e terminam com E? 3.  Quantos números de 5 algarismos distintos formamos com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 4.  Quantos números de 3 algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?

5.  Dentre todos os números de 4 algarismos distintos formados com algarismos pertencentes ao conjunto {3, 4, 5, 6, 7, 8,9}, quantos são divisíveis por 2? 6.  Quantos números pares de 4 algarismos obtemos obtemos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sem repeti-los?  

 

Página 100 / 102

7.  Cinco homens e uma mulher estão em uma sala de espera, onde há apenas um banco de 5 lugares. De quantas maneiras diferentes os homens podem se sentar, nunca deixando em pé a mulher? 8.  Quantas comissões de 3 participantes podem ser formadas com c om 5 pessoas? 9.  triângulos Sobre umaobteremos reta marcam-se sobre outra à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos unindo83pontos pontosequaisquer doreta, total paralela desses pontos? 10.  De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores? 11.  Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos formar? 12.  (UFSC) Um campeonato de futebol de salão é disputado por várias equipes, jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que forma jogadas 272 partidas, determine o número de equipes participantes. 13.  (UFAL) João e Maria fazem parte de um grupo de 15 pessoas, 5 das quais serão escolhidas para formar uma comissão. Do total de comissões que podem ser formadas, de quantas fazem parte João e Maria? 14.  Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1, 2, 3, ..., 49, 50. Determine a probabilidade de: ser divisível por 5. a)  o número b)  O número terminar em 3; c)  O número ser divisível por 6. d)  O número ser divisível por 4. 15.  Em uma caixa há 5 papeletas, numeradas de 1 a 5. Retiram-se duas delas ao acaso e calcula-se a soma dos números escritos. Determine os eventos: a)  Obter soma par e múltipla de 3. b)  Obter uma soma ímpar ou múltipla de 3. c)  Obter uma soma múltipla de 7. 16.  (FAURGS) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números de 1 à 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou 10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa rif a é de: a.  12% c. 20% e. 30% b.  18% d. 22% 17.  Desejando limpar uma prateleira, a arrumadeira arrumadeira retirou de lá uma coleção de livros numeradas numeradas de 1 a 9. Depois, ela recolocou aleatoriamente os livros na prateleira. É claro que ela pode tê-los colocado na ordem normal, ou seja, 1, 2, 3, ..., 9. No entanto, a chance de isso ocorrer é apenas uma em a.  16.660 d. 406.036 b.  368.040 e. 362.880 c.  40.320

18.  A soma do número de anagramas que se pode fazer com as letras da palavra AMOR com o número de anagramas que se pode fazer com as letras l etras da palavra PAZ, é um número a.  divisível pelo mínimo múltiplo comum en entre tre 2 e 15 b.  ímpar c.  múltiplo de 4 d.  primo e.  divisível por 9  

 

Página 101 / 102

19. Levando em consideração os 180 alunos das turmas de Estatística I da Faculdade Dom Alberto, foi realizado um levantamento das notas de duas turmas obtidas na 1ª avaliação, totalizando 92 observações, conforme quadro abaixo: 0,5 5,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 9,5 10,0

1,0 6,0 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,0

2,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

2,0 6,5 7,0 8,0 8,0 8,5 9,0 9,5 10 10,0 ,0

2,0 6,5 7,0 8,0 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

4,0 6,5 7,0 8,0 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0

5,0 6,5 7,0 8,0 8,5 8,5 9,0 9,5 10 10,0 ,0

5,5 6,5 7,5 8,0 8,5 9,0 9,0 9,5 10,0

5,5 6,5 7,5 8,0 8,5 9,0 9,0 9,5 10,0

5,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 9,5 10,0 10,0

 Analisando  Analisan do o quadro, quadro, solicitamos que que seja aplic aplicado: ado:  a)  A distribuição de freqüências, com amplitude 2, tendo como limite inferior da 1ª classe 0;

b)  c)  d)  e)  f) 

O gráfico que melhor representa a distribuição; As medidas de tendência central; As medidas de separatrizes ( Q3 e P10); As medidas de dispersão; As medidas de assimetria;

20. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para a média aritmética e para desvio padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. v ariação. 21. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo?

22 Calcule a média, o desvio padrão e classifique cl assifique quanto à assimetria o seguinte conjunto de dados (Amostra) Idade 14 15

Nº de alunos 7 6

16 17 18

1 2 1

19 20

04

 

 

Página 102 / 102

23. Em uma classe as notas obtidas pelos alunos foram agrupada agrupadass da seguinte maneira: (População) Nota Nº alunos 0├2 1 2├4 6 4├6 9 6├8 8 8 ├ 10 6 A partir desses dados calcule: a) medidas de posição b) medidas de variabilidade c) Classifique, quanto à assimetria, segundo o coeficiente de Pearson.

24. Utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20  jovens entre entre 14 e 20 anos. anos. Idades (anos) 14 15 16 17 18 19 20

Freqüência Acumulada 2 4 9 12 15 18 20

Qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens?