estatica

Colección Temas Selectos

anzado á

Niveles básico Física

A m o r a Sofí<

Jorge Espinoza Gómez

Lumbreras Editores

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

Estática l

Lumbreras Editores

ESTÁTICA Autor: Jorge César Espinoza Gómez © Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores © Asociación Fondo de Investigadores y Editores Av. Alfonso Ligarte N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786 Para su sello editorial Lumbreras Editores Página web: www.elum breras.com.pe Primera edición: mayo de 2013 Tiraje: 10 000 ejemplares ISBN: 978-612-307-284-1 Registro del proyecto editorial N.° 31501051300031 "Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú" N.° 2013-05192 Prohibida su reproducción total o parcial Derechos reservados D. LEG. N.° 822

“i Esta obra se terminó de imprimir en los talleres gráficos de la Asociación Fondo de Investigadores y Editores en el mes de mayo de 2013 Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Teléfono: 336-5889

*M PRESENTACIÓN *M in tr o d u c c ió n T i ESTÁTICA Conceptos previos.......... Equilibrio mecánico Fuerza........................ Interacción................ Fuerzas usuales...... Fuerza de gravedad ( f g) Fuerza de tensión ( t ) .... Fuerza elástica ( FE) ......... Diagrama de fuerzas Operaciones con fuerzas... Fuerza resultante (F r ) Descomposición rectangular de fuerzas Condiciones del equilibrio mecánico (CEM )....... Primera condición del equilibrio mecánico Caso de dos fuerzas...................................... Caso de tres fuerzas...................................... Segunda-condición del equilibrio mecánico Momento de una fuerza ( m o ) ............... C-— ¿

Momento resultante

....................

Fuerza de rozamiento.........................................................................................................................

31

Fuerza de rozamiento estático ( f s ) .....................................................................................

32

Fuerza de rozamiento cinético ( / k ) ....................................................................................

32

PROBLEMAS RESUELTOS Nivel básico.............................................................................................................................................

34

Nivel intermedio...................................................................................................................................

81

Nivel avanzado.......................................................................................................................................

105

PROBLEMAS PROPUESTOS Nivel básico............................................................................................................................................

133

Nivel intermedio...................................................................................................................................

142

Nivel avanzado.......................................................................................................................................

146

CLAVES......................................................................................................................................................

155

BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................................

157

? '■

P re s e n ta c ió n

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Estática, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva línea de publicaciones poniendo énfasis en el enfoque didác­ tico y cuidadoso en la relación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y análisis para la comprensión y resolución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu­ trida colección que permita mantener el reconocimiento y la confianza de los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig­ nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio­ nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Jorge Espinoza Gómez, de la plana de Física de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.

Asociación Fondo de Investigadores y Editores

En el estudio de la mecánica cobra mucha importancia el análisis de fuer­ zas, las cuales, dependiendo del estado del cuerpo o sistema (reposo o mo­ vimiento), responden a leyes (entre ellas, la tercera ley de Newton). Otro aspecto importante es el concepto de equilibrio mecánico y la aplicación de las condiciones para determinar, entre otras cosas, las fuerzas actuantes así como el análisis de los sistemas de cuerpos, ya que se presentan en numero­ sos exámenes de admisión. El presente material tiene como propósito ofrecer una explicación am­ plia y detallada sobre la estática, utilizando métodos didácticos para orien­ tar a estudiantes que buscan aclarar los aspectos básicos de la estática y así resolver problemas de mayor exigencia, teniendo como herramientas el diagrama de cuerpo libre, las condiciones para el equilibrio mecánico y la geometría para cada uno de los casos. Además, para poner en práctica lo aprendido, se han planteado ejerci­ cios aplicativos, así como problemas resueltos y propuestos graduados de lo simple a lo complejo. La selección de los ejercicios aplicativos está de acuer­ do a las dificultades que presentan los estudiantes, como por ejemplo la re­ presentación correcta de las fuerzas actuantes sobre un cuerpo y/o sistema. Finalmente agradezco a la Asociación Fondo de Investigadores y Edito­ res - Afined, a través de su sello editorial Lumbreras Editores, por el respaldo y las facilidades recibidas en la publicación de la presente obra, esperando colaborar con aquellos estudiantes que tienen como próxima meta el ingre­ so a la universidad.

jí-

ESTÁTICA

Cuando observamos los objetos en los diferentes lugares hay algo muy frecuente: el estado de reposo.

La madera sostiene el

La soga restringe el movi-

Los pernos fijan la piza-

vaso.

miento de la carreta.

rra, muy pesada, en la pared.

El cartel reposa en el pos­ te rígido con los pernos empotrados.

La varilla entre las esca­ leras evita que estas se abran.

Hay múltiples situaciones como estas, y debemos notar que los cuerpos que están alrededor son los que permiten el estado de reposo. •

Si el poste que sostiene el cartel fuera tan delgado como el lapicero, ¿se animaría a pararse debajo?

•

Con pernos del tamaño y de la resistencia de los chinches, ¿la pizarra se caería?

•

¿El dueño de la carreta podría usar una estaca de 5 cm en un suelo arenoso?

Es así que los cuerpos del entorno y su capacidad (resistencia) para evitar (restringir) el movimiento juegan un papel importante si buscamos mantener un cuerpo en reposo. Por ello revisaremos las condiciones que se cumplen en cada caso. 11

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

l!

CONCEPTOS PREVIOS

EQUILIBRIO MECANICO escalera eléctrica

Reposo

MRU

Rotación uniforme

En los tres casos, los cuerpos permanecen estables, es decir, no hay movimiento o cambio de mo­ vimiento de forma repentina; a diferencia de los cuerpos cuando están en un móvil con velocidad variable como las combis. ¿La persona B se animaría a reci­ bir una taza con café caliente? ¿La persona A al caminar hacia la puerta podría mantener sus ma­ nos en los bolsillos?

En ambos casos, probablemente, diríamos que no, ya que la combi “ nos sacude” al cambiar su velo­ cidad; pero si es un bus interprovincial con 110 km/h de velocidad constante, estaríamos estables, tomaríamos el café y caminaríamos tranquilos. Por lo tanto, no importa el módulo de la velocidad, sino que esta cambie o se mantenga constante.

E q u ilib rio ___ es mecánico

J

el estado mecánico

I

en el cual un cuerpo

y/o sistema

FUERZA Es un vector que representa la acción física de un cuerpo sobre otro: empujar, jalar, atraer, presionar, sostener, repeler, golpear, etc. Su unidad de medida es el newton, cuyo símbolo es N. '••v

r equivale a

wmm 12

Este vector representa lo que la mano hace con el bloque.

i

F= 20N

f

Es tá tic a

Ejemplo En el siguiente gráfico, ¿cuántos cuerpos hay?

- > La respuesta sería cuatro cuerpos: la canasta, la mano que aplica Fv el viento que aplica F2 y la Tierra que aplica F3.

INTERACCION Cuando un cuerpo actúa sobre otro se da una acción física mutua, recíproca; aunque nuestra aten­ ción, por lo general, se centra solo en una de estas acciones (fuerza).

La mano aplica una fuerza al balde para elevarlo, pero también el balde aplica una fuerza a la mano que tensa los músculos.

Para un análisis de estas fuerzas realizamos una separación imaginaria. Veamos a la esfera en el plano inclinado con la mano. separación imaginaria _____________________A_____________________

Entre los cuerpos que interactúan surgen dos fuerzas que tienen las siguientes características: •

Son colineales.

•

Son opuestas en dirección.

•

Tienen igual módulo. F(M/E) = F(E/M) f (m /e ):

f uerza de la mano sobre la esfera

F(E/m )' fuerza de la esfera sobre la mano •

Actúan en cuerpos diferentes, generando efectos diferentes.

Todo lo anterior se conoce como la tercera ley de Newton o ley de acción y reacción. 13

Lu m b r e r a s E d it o r e s

FUERZAS USUALES Entre los diferentes cuerpos se presentan múltiples fuerzas; cuando interactúan, de todas ellas hay algunas con nombre propio por ser frecuentes. Presentamos las siguientes: Fuerza de gravedad ( f g) Es el resultado de la interacción entre la Tierra y los cuerpos de su alrededor. Es de tipo atractiva, es decir, vertical hacia abajo. La Fg se grafica a partir del centro de gravedad (C.G.) del cuerpo. Su ubicación depende de la dis­

iM 9

tribución de la masa en la extensión del cuerpo. Su módulo viene dado por Fa=M g

unidades: F0 :N; /V7:kg; g\m /s¿

Ejemplo Si el módulo de la Fa para un cuerpo de 1 g es 10* N, calcule x. Resolución La masa debe estar en kilogramos, entonces debemos recordar que 1 3 1 kg = 1000g -> lg = ----- kg = 10 kg 1000 Ahora Fg=Mg

10x=10“ 3-10

10x=10~2 /.

x= -2

1; Observación Para cuerpos hom ogéneos, es decir, aquellos donde su masa se distribuye uniform em ente en toda la extensión del cuerpo, su centro de gravedad (C .G .) se ubica así:

14

Es tá tic a

Fuerza de tensión ( f ) Es el resultado del incremento de las interacciones internas en una cuerda cuando es estirada.

cuerda

En el corte imaginario hay fuerzas de cohe­ sión inicial, cuyo mó­ dulo es de 10 N.

Ahora que la cuerda está templada, la cohesión se incre­ mentó a 85 N.

A lo largo de toda la cuerda, la fuerza interna se incre­ mentó en 75 N, es decir, la fuerza de tensión es T= 75 N.

En el gráfico se representó la fuerza que la cuerda aplica a la persona para que esta no caiga.

Ejemplo En el gráfico, la cuerda cuelga del clavo y le aplica fuerza hacia abajo (jala). Además, la cuerda sostie­ ne el bloque y le aplica fuerza hacia arriba (jala).

¿Son fuerzas de acción y reacción?

Resolución No, ya que se trabajó con la fuerza que la cuerda aplica al clavo y al bloque, no se analizó fuerzas mutuas entre los dos cuerpos. Son fuerzas de igual módulo de direcciones opuestas pero son transmitidas a lo largo de la cuerda y no son de un cuerpo sobre otro.

15

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Fuerza elástica ( fe ) Se presenta en cuerpos elásticos cuando se les deforma como resultado del incremento de las inte­ racciones internas.

Í q: longitud natural, cuando no hay deformación El resorte comprimido empuja buscando recuperar su d0; mientras que el resorte estirado jala buscan­ do recuperar su Q0.

Experimentalmente se obtiene Donde F e =K-x

x: deformación del resorte (cm; m) K\ constante de rigidez del resorte

_N__N Vcm ’ m )

Interpretación de la constante de rigidez Si K= 200 N/m, entonces significa que por cada 1 m que se le deforme al resorte, este aplica una FE de módulo de 200 N. N 200 N N , , , r , , Pero también K = 200— = ----------= 2— ; entonces por cada 1 cm de deformación, la FE generada m (100 cm) cm es de 2 N. Gráficamente

x= l m F f-2 0 0 N

16

Está tic a

DIAGRAMA DE FUERZAS También llamado diagrama de cuerpo libre (DCL). Consiste en representar todas las fuerzas sobre un cuerpo o sistema. Ejemplos

(1)

movimiento polea ideal

l T2 , (2 )

M PCL

9

fig. 1

fig. 2

I

fig. 3

En la figura 3, la cuerda (1) sostiene la polea y se representan dos fuer­ zas desde los extremos derecho e izquierdo; como cuando una per­ sona hace "patita de gallo": la fuerza se distribuye en ambos brazos. Por otro lado, sobre la polea ideal no dibujamos la Fg porque su masa es despreciable. F1 y F2 son las fuerzas en cada brazo y F sería la carga en nuestras manos.

"patita de gallo"

li Cuando una superficie es lisa, no se opone de forma alguna a que un cuer­ po resbale al estar apoyado en tal superficie.

Rp\ fuerza de reacción del plano inclinado; por ser superficie lisa se grafica perpendicularmente a ambas superficies en contacto.

Se debe tener en cuenta las superficies en contacto, más aún sin son puntas o esquinas como en los siguientes casos.

17

Lu m b r e r a s E d it o r e s

A continuación se muestran los diagramas de fuerzas respecto a cada caso. estirado a punto de volcar

superficie lisa

lisa

fig. a

fig. c

fig. b

La cuerda sostiene la barra, ya que por ser lisa podría resba­ lar y terminar sobre el piso.

Como está a punto de volcar, solo se apoya en la esquina. Además, R es perpendicular a la barra.

Hacemos la separación ima­ ginaria para analizar cada cuerpo.

OPERACIONES CON FUERZAS Luego de saber dibujar las fuerzas sobre un cuerpo, ahora veamos las operaciones más importantes. Fuerza resultante ( f r ) Es la fuerza que equivale a un grupo por producir igual efecto. Veamos lo que pasa con dos esferas sobre una superficie horizontal.

v=0 I#

El resultado de aplicar dos o más fuer­ zas sobre un cuerpo se puede lograr con una sola fuerza, a la que se le denomina fuerza resultante.

Es tá tic a

Matemáticamente

Fr - F 1 + F2 +...

¡Suma vectorial!

Forma geométrica Entonces se ordenan las fuerzas, una a continuación de otra, y la FR va del punto inicial al final.

Observación w La FR no es una fuerza adicional, sino es aquella que equivale al grupo de fuerzas actuantes.

Casos

,._£g

6N

4N

6N

4N

2i n

8N

21 N Fr 8 N 8N

Fr = 10 N

Fr = 13 N

f R=10 N

Se sumaron los mó­ dulos de las fuerzas.

Se restaron los mó­ dulos de las fuerzas.

Se aplicó el teorema de Pitágoras con el módu­ lo de las fuerzas.

19

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Descomposición rectangular de fuerzas Así como un grupo de fuerzas puede ser equivalente a una sola FRl también una fuerza se puede reemplazar por dos o más para un mejor análisis. Para un mayor análisis de F, realizamos la descomposición rectangular.

Por acción de F, el coche puede avanzar sobre el piso pero también po­ dría alzar vuelo.

• F1 y F2 son componentes de F. • F1 produce el desplazamiento del vehículo sobre el piso. • F2 tiende a producir que el vehículo se eleve.

Ejemplos 1.

Si sobre el costal la FR es vertical hacia arriba y de 20 N módulo, calcule el módulo de F y la medida del ángulo a . (g=10 m/s2)

Resolución Realizamos la descomposición de F .

ü# equivale a

20

f condición del -R < problema k (Fr = 20 N)

Está tic a

Resolución

En la horizontal, no hay FR Fx= 50 N

(O

En la vertical FR Fy Fg 20 = Fy -3 0 N Fy=50 N

(II)

De (I) y (II)

Cuando el collarín pasa por P, el resorte mide 50 cm; es decir, se encuentra estirado x= 20cm . Luego en el diagrama de fuerzas actúan tres fuerzas, de tal manera que su resulta­ do será horizontal, entonces en la vertical no hay resultante. Analizamos fuerzas realizando ei cálculo de Fg y Fe. Fg= M g -A • 10=40 N Fe =Kx = 150 0,2=30 N

F = 50a/2 N y cc=45°

Mientras el collarín de 4 kg se mueve sobre la varilla lisa, la FR sobre él es horizontal. Calcule el módulo de FR y la reacción de la varilla cuando el collarín pase por P. ÍK= 150 N/m; g=10 m/s2)

Como la F r sobre el collarín es horizon­ tal, entonces en la vertical las fuerzas dan como resultante nula. —> R = 22 N (para anular las fuerzas en la vertical)

Y en la horizontal F,= 2 4 N = 24 N y

|fí] = 22N

21

Lu m b r e r a s E d it o r e s

( Ü j CO N D ICIO N ES DEL EQ U ILIBRIO M ECÁN ICO (CEM ) PRIMERA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MECÁNICO

Referida al equilibrio mecánico de traslación, es decir, cuando un cuerpo o sistema no presenta aceleración (o).

No presenta a

MRU

i/=constante ---- >

Para lo cual se verifica

f

■ ....._ . Forma algebraica (luego de descom-

Forma geométrica (sin descomponer

poner fuerzas si es necesario)

ninguna fuerza)

...

Se formará un polí­ gono (por lo general será triángulo) con las fuerzas, una a conti­ nuación de otra. No importa el orden.

%i Nota El triángulo tam bién podría form arse con cuatro fuerzas para lo cual dos de estas deben ser paralelas.

Está tica

Caso de dos fuerzas

Inmediatamente hacemos el diagrama de

En el gráfico, sobre la placa actúan tres fuerzas,

fuerzas

pero si retiramos la mano, solo quedarían dos

T=F9 T=Mg

fuerzas.

7=3-10

‘ T

l Fs

-> 7 = 3 0 N En este caso, no importa resaltar que las dos fuerzas son colineales.

Así, la placa no se mantiene en reposo y se la­ dea, ya que las fuerzas están en líneas diferen­

2.

Para la placa homogénea, ¿qué distancia respecto de P puede sobresalir el punto B?

tes. El equilibrio se alcanza solo cuando las dos fuer­ zas están contenidas en la misma línea. Ahora sí hay reposo, además T=Fg para que la F r sea nula La placa apoyada en el piso estaría casi balaceándose pero aún en reposo, para lo cual encima de P deberá ubicarse al C.G.

En conclusión, si dos fuerzas garantizan el equi­ librio mecánico de un cuerpo o sistemas, estas son colineales, opuestas, de igual módulo. En los problemas se presentarán casos más fá­ ciles. Ejemplos 1.

Calcule la tensión en la cuerda para el blo­

Del gráfico 3d=15cm

que en reposo. —>

d= 5 m

Lo que más importó en este caso es que las 3 kg

fuerzas sean colineales. 23

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Caso de tres fuerzas

Para la barra realizamos el diagrama de

•

fuerzas

Fuerzas paralelas Para la barra en reposo

Actúan tres fuerzas y dos de estas son para­ lelas ( Fg y Rp). Con esto al aplicar la prime­ ra condición de equilibrio se define la ter­ cera fuerza (Fmano). Entonces la Fmano será paralela a las anteriores.

Primero graficamos la Fgi luego la reacción del techo RT, y notamos que son paralelas, entonces la reacción de la esquina RE tam­ bién será paralela a las anteriores.

tí Nota ,.....-.....-...... -.......... . Un erro r común es graficar a

RE de form a

perpendicular a la barra.

Luego aplicamos FR=0, entonces m \)= m u Rp~^Fmar)Q—Fg

Esto lo solem os hacer por pensar en sup erficies lisas y que siem pre la fuerza

Para resolver un problema, primero debe­

en el contacto debe se r perpendicular.

mos identificar si actúan tres fuerzas y di­

Recuerda que una fuerza entre dos su­

bujar dos de ellas para que la tercera enca­ je con las dos primeras y se verifique que

perficies en contacto siem pre será perpendicular cuando una de ellas o am bas sup erficies sean lisas.

7 R=o.

24

Es tá tic a

Para la placa triangular homogénea en re­ poso realicemos el diagrama de cuerpo libre (DCL).

Luego

Al dibujar el triángulo, apóyate de la línea que trazaste al final, ya que luego debes ubicar la geometría para comparar los mó­ dulos de las fuerzas formando un triángulo de fuerzas. Debemos notar que solo el piso horizontal es liso y allí RP es perpendicular, además resulta paralela con la Fg por lo que R¡ (re­ acción del plano inclinado) también es pa­ ralela. •

Un error común es pensar que a (en el trián­ gulo de fuerzas) es 37°, pero la fuerza R no está contenida ni es paralela a la barra. Observa el gráfico.

Fuerzas concurrentes

Luego, desarrollando el gráfico se tiene Para la barra homogénea en reposo actúan tres fuerzas, y al dibujar dos de estas, no son paralelas; por lo tanto, para el equili­ brio las tres fuerzas serán concurrentes. Con las dos primeras fuerzas se ubica el punto de concurrencia C. Entonces la re­ acción de la articulación que surge en P se orienta a lo largo de la línea, que une P y C. Luego, para resolver aplicamos la forma geométrica de la primera condición de equi­ librio formando el triángulo de fuerzas.

3 tan a = 2 El triángulo sombreado es semejante al de fuerzas, entonces Fg=3K - »

T=2K

En los problemas, primero identificamos que actúan tres fuerzas y dos de ellas (las que rápidamente se puedan dibujar) no son paralelas, así veremos que se trata de tres fuerzas concurrentes. 25

Lu m b r e r a s E d it o r e s

APLICACIÓN 1

APLICACIÓN 2

Para la barra en reposo, ¿a qué distancia de P se encuentra su C.G.?

Para la barra en reposo, determine el cociente que resulta de dividir el módulo de la Fg con el de la reacción de la articulación.

Resolución Actúan tres fuerzas donde las dos tensiones evi­ dentemente no son paralelas entre sí ni con la Fg. ¡Fuerzas concurrentes! Resolución Actúan tres fuerzas: T , Fg y R. Las dos primeras no son paralelas, por ello las tres serán concu­ rrentes.

Con la prolongación de T1 y T2 encontramos C (el punto de concurrencia) y así de la Fg su línea de acción vertical debe pasar por C. Con esto se define el C.G. Trabajando la geometría de los triángulos rec­ tángulos tenemos ¿ b a rra d 80 cm =4K

Al completar el triángulo de fuerzas utilizando la línea de acción de R , se forma el triángulo

K = 2 0 cm Por lo tanto, el C.G. de la barra está a 20 cm del punto P.

26

isósceles, entonces R=Fg.

Está tic a

SEGUNDA CONDICIÓN DEL EQUILIBRIO MECÁ­

El bloque estará propenso a rotar cuando apli­

NICO

camos la fuerza en A, esto por la mayor distan­

Referida al equilibrio mecánico de rotación, es

cia desde O a la línea horizontal que contiene a

decir, cuando un cuerpo o sistema está en repo­

cada fuerza.

so o presenta rotación uniforme.

Tienes que evitar decir o pensar que la distan­ cia da fuerza, lo que sucede es que la distancia juega un papel importante en la intensidad o magnitud del efecto de rotación que una fuerza produce o tiende a producir. Veamos también O

di

Para analizar las fuerzas bajo este enfoque, de­ bemos revisar los siguientes conceptos.

O

/_^p \ Momento de una fuerza [ M o l

m 45 N

Fg 'f io

N

¡¿.......

Es una magnitud física que mide la capacidad de una fuerza para producir rotación respecto

En ambos casos, el dedo mantiene en reposo a

a un punto.

la barra, evitando que gire en sentido O respec­

Veamos

to de O. En el segundo caso, la fuerza del dedo debe ser efecto de rotación respecto de O

mayor por tener menor distancia, entonces no por ser mayor fuerza podrá producir más fácil­ mente rotación, sino que influye la distancia. Para el cálculo, siempre habrá un punto de re­ ferencia O, de donde mediremos los momen­ tos de cada fuerza (centro de momentos). Tam­ bién debemos trazar la línea de acción de cada fuerza.

Al jalar horizontalmente con la cuerda, ya sea de A o B, hay la tendencia de producir efecto de rotación sobre el bloque. Si en diferentes casos aplicamos igual fuerza de tensión en A y B, ¿en qué caso el bloque estará más propenso a rotar? 27

Lu m b r e r a s E d it o r e s

La figura anterior es abstracta, pero puede ser

Gráficamente, observamos que la línea de ac­

un molde de cartulina en la pared de madera

ción de Fg pasa por O.

con un chinche alrededor del cual puede ser girada.

Entonces Mq = 0, es decir, ni O ni C siempre que la línea de acción de F pase por O.

En estos casos, la fuerza de gravedad sí presenta la capacidad de producir efecto de rotación. Momento resultante (M q S) Es la medida del efecto neto de la rotación que Unidades: N • m; N -cm

trata de producir fuerzas en conjunto.

Se usa (+): cuando la F busca producir rotación C (-): cuando la F busca producir rotación O Donde d es la distancia (brazo de palanca) des­ de O perpendicular a la línea de acción de F . Tener en cuenta que no todas las fuerzas pue­ den producir rotación, como por ejemplo

MT oe = l M h 0

Tenga en cuenta De algunas fuerzas su m om ento puede ser cero.

Mf0 = 0 lo cual no implica que la fuerza se anu la, sino que respecto de ese centro de m o m en ­

Así como está la barra, la Fg no trata de producir rotación alguna. 28

tos no puede producir efecto de rotación.

Está tic a

APLICACIÓN 3

Por ello, para el equilibrio de rotación se verifica

Para la placa, calcule el M q S.

que Mn = O

Resolución

R

' T 1=20 N

,0 r V

6 cm , 4 cm / ' . . ^'

T2=6 N

y ;.;

F2=5 N

2cm x

ción de equilibrio, sobre un cuerpo o sistema en equilibrio mecánico. Dicha ecuación equivale a

N^

F =25vN , 9

F1= l l N

Como O está ubicado en la articulación observa­ mos que las líneas de acción de Flt de T2 y de R pasan por O, por ello m

Esta corta ecuación nos permite completar el análisis de fuerzas, junto con la primera condi­

Z M 0 ) = Z M 0)

En este caso solo se toma el valor de los mo­ mentos sin su signo. Reflexiona antes de leer la respuesta, ¿en esta ecuación se vincularán a todas las fuerzas?

% = m } = m r0 = o

Como planteamos al analizar el momento, o

Luego M t¿ =+T1 ■d1 = + 206 =+120 N-cm i giro O M q = -Fg ■d =25-5 = -125 N-cm 1giro O

capacidad de una fuerza, no siempre la fuerza aplicada tiende o trata de producir rotación, por ello sin que las fuerzas sean nulas o se equili­ bren pueden tener un momento de fuerza cero y así no entrarían en la ecuación anterior. Esto dependerá de dónde ubiquemos a O (centro de

M o

= ~

fe

(2 )

•

d2 =

~ 5 -2

=

“ 1 0

N 'c m

-> M q S = Y M F0 = m } + M F09 +

momentos). Como en un problema hay incógnitas, algunas que se quieren calcular y otras no, y datos; si

= (+120)+ (-1 2 5 )+ (-1 0 ) M q S = - 1 5 N-cm

nos referimos a las fuerzas, nos conviene que el momento sea cero. ¿De quiénes? Indudable de las que no son datos y que no

De este resultado, lo que más nos importa es interpretar el signo. Si el momento resultante es negativo, implica que el conjunto de fuer­ zas, en ese instante, buscan producir rotación -oraria desde el reposo, lo cual no es equilibrio '■necánico.

queramos conocer, para quedarnos solo con la incógnita que deseamos calcular. Por lo tanto, el punto O se ubicará convenien­ temente por donde pasen o se intersecten el mayor número de líneas de acción de fuerzas desconocidas y que no se quieran conocer.

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

Tenemos de la segunda condición de equilibrio

Ejemplo Para la barra homogénea de 6 kg en reposo, de­ termine la tensión en la cuerda.

T M 0) = Z M 0) M T = M Fg T- 30 = 60-20 ->

f= 4 0 N

No fue necesario aplicar la ecuación (I) En el gráfico de fuerzas, sobre la barra tampoco Resolución

fue necesario la precisión de R , solo importó

De una inspección rápida se trata el caso de tres

que actúe pasando por O, es decir, podríamos

fuerzas paralelas.

haber hecho esto.

C.G.

Aplicamos la primera CEM

Los tres gráficos de R son incorrectos desde el punto de vista del correcto DCL, pero para

F r= 0

—^ R + 7~=Fg -» R + T= 60 N

el cálculo solo de T no genera problema, siem­ (I)

pre que apliquemos solo la segunda CEM, ya que en los tres casos M q = 0.

En esta ecuación tenemos dos incógnitas que

Al ubicar O en otro punto, el resultado será el

no permiten que la ecuación sea resuelta. De­

mismo.

bemos buscar otra ecuación que tenga las mis­ L 10 cm 10 cm

mas incógnitas, o que permita el cálculo directo de la fuerza de tensión. Para aplicar la segunda CEM, debemos escoger

20 cm O

el punto O y lo haremos por donde pase R, así M q =0, es decir, no es horario ni antihorario. Si O está en el C.G., entonces M Fg = 0 y

Es tá tic a

Reemplazamos en (I)

De (I) R= S0-T

- + 7 = 60 2

De (II) 7=40N

5(60-71 + 27=180 Si O está fuera de la barra

20 cm

10 cm 10 cm

-» 10 cm

---------- •

7=40N

Conclusiones

O •

Tomando momentos en un punto distinto al extremo izquierdo por donde pasa R sí importa el gráfico correcto de R.

->

M q + M o = M JF

•

/?-50+7-20=60-30 5/? + 27=180

Notamos que la respuesta es independien­ te de donde ubiquemos a O, pero en los dos últimos casos sí se usó la ecuación (I)

(II)

FUERZA DE ROZAMIENTO

En el gráfico, F presiona a la tabla contra la pa­ red y esta se mantiene en reposo.

Justamente por la presión entre las superficies, las rugosidades de la tabla encajan, empotran y engranan en las de la pared. En los microcontactos se genera resistencia u oposición al deslizamiento (una superficie res­ bale sobre otra). No olvides que primero debe haber presión entre las superficies y también

Ello debido a que la tabla está empotrada en la pared.

tendencia (intento) a resbalar.

Puede parecer extraño, pero es cierto y lo no­ taremos al hacer una ampliación de la zona de

Entonces la pared... •

soporta la presión del bloque.

•

se opone a que el bloque resbale hacia abajo.

contacto. °ara que la tabla no resbale hacia abajo sobre la oared, ambas deben ser rugosas, ásperas.

Lo anterior se da por la reacción de la pared.

31

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Realizamos el DCL

A medida que F aumenta, se incrementa la tendencia a resbalar hasta que el bloque esté a punto de resbalar como en el tercer caso. Mientras el bloque no resbala, se mantiene en reposo y se cumple la primera CEM: FR=0 Eje /: f N=Fg Eje X : f s =F

Donde f n : fuerza normal; mide la intensidad de la pre­ sión entre las superficies y siempre es perpen­ dicular a las superficies en contacto. / : fuerza de rozamiento; mide la oposición de la pared a que la tabla resbale, se grafica en di­

caso l : / s =10 N caso 2 :/ 5=18 N caso 3: f s = 25 N Como en este caso el bloque está a punto de resbalar, la f s toma su máximo valor.

rección opuesta hacia donde el cuerpo trata de

La /s(máx.) depende de lo siguiente:

resbalar.

•

La presión entre las superficies f N.

•

El grado de rugosidad entre las superficies,

//v y / son componentes de la reacción de la

que se mide con el coeficiente de roza­ pared, por ello R =

f .

miento estático jiis.

7

/s(máx.)

FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICO ( .s) Actúa solo cuando entre las superficies no hay deslizamiento. Veamos el caso del bloque sobre el piso y la acción de una fuerza horizontal, cuyo módulo va aumentando.

Ms//V

Es decir, el cálculo de la f s será con las condicio­ nes de equilibrio, y si el cuerpo está a punto de resbalar, también se usará esta ecuación. FUERZA DE ROZAMIENTO CINÉTICO ( f K) Actúa solo cuando una superficie resbala sobre otra.

La f K se grafica en dirección opuesta hacia donde la superficie resbala. Cuando hay desli­ zamiento, las rugosidades disminuyen, se liman asperezas, por ello f

?

í coeficiente de rozamiento cinético

32

Está tic a

Í k ~ V-k Í n

En este caso no se habla del máximo valor.

Ejemplo En cada caso, determine el módulo de la / y el Considere j.is =0,75.

En los tres casos se cumple que fN = Fg ya que ambas fuerzas actúan verticalmente y la trayectoria es horizontal o no hay movimiento

Fi=

-> / w=20N no resbala

Caso 1 (equilibro estático) f s =F i -> /S=10N a punto de resbalar

Caso 2 (equilibro estático) fs = F 2 resbala con MRU

Pero no conocemos F2, por ello interpretamos que está a punto de resbalar y la f s toma su máximo valor, entonces aplicamos

Resolución fs~ /s(máx.) En los tres casos, el bloque está en equilibrio me­ cánico y podemos aplicar la primera CEM FR=0

fs - l-ls//v f s = 0,75-20 f s = 15 N Caso 3 (equilibrio cinético) f K=F2 -> f K= 12 N Luego aplicamos

1 2 = ^ -2 0

33

PROBLEMAS RESUELTOS

N iv el bá sic o

Aplicamos la geometría

P R O B LEM A N.° I Se muestra una placa triangular homogénea en reposo. Indique la alternativa que corresponde al correcto DCL de dicha placa.

_C LA V E ( 6 )

P R O B LEM A N.° 2 Para el sistema mostrado, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

I.

Sobre la esfera actúan dos cuerpos.

Resolución

II.

Sobre el coche actúan cuatro cuerpos.

Por estar el cuerpo en reposo y sometido a dos

III. Sobre el sistema coche-esfera actúan dos

fuerzas, estas deben ser colineales, opuestas y

fuerzas.

de igual módulo. La línea que las contiene debe pasar por el baricentro de la placa triangular por

A) VVV

ser homogénea.

D) FFV

34

B) VFV

C) FVV E) FVF

Está tic a

Resolución

Resolución

En el problema no debemos graficar las fuerzas sobre los cuerpos, sino que tenemos que ver con qué cuerpos ¡nteractúa cada cuerpo que se menciona. I.

Verdadera La esfera se apoya en el coche y es atraída por la Tierra. Actúan dos cuerpos.

II.

Falsa

Sobre la esfera actúan F g y R (perpendicular

El coche se apoya en el plano inclinado,

a la superficie).

tiene a la esfera encima y es atraído por la

Como el dato es que la FR es horizontal, enton­

Tierra. Actúan tres cuerpos.

ces al tener fuerzas sobre los ejes X e /, en / la resultante será nula.

lil. Verdadera El sistema se apoya en el plano inclinado y

Luego de descomponer R tenemos Ry —Fg —^ Ry= MQ

es atraído por la Tierra. Actúan dos cuerpos.

Ry =1,2-10 Ry=12 N _C LA V E (JB )

Por trigonometría Re os37° = 12

PR O BLEM A N.° 3

4 R • -= 1 2

Para la esfera de 1,2 kg, al pasar por P, la fuerza resultante es horizontal. Determine el módulo

5

.-.

R= 15 N

de la reacción de la superficie lisa en dicho pun­ Otra forma

to. ig - 1 0 m/s2)

A) 15 N D) 25 N

B) 20 N

punto inicial

C) 16 N E) ION

punto final

35

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

Como la F r de Fg y R es horizontal, podemos aplicar el método geométrico dibujando Fg a continuación de R para formar la FR; para ello

Al descomponer la reacción del muro que es perpendicular al bloque tenemos f R y = A0 N; Rx = 30 N y Fg = Mg = 70 N

nos apoyamos de la línea que contiene a R . De manera inmediata el ángulo 37° se traslada, entonces

40 N 30 N

30 N

Fg = 4k = Mg = 12 N

30 N

-> k =3 N

70 N

R = Sk R = 15 N Fr = 30>/2 N C la v e

(a ) Otra forma Ahora descomponemos la Fg de forma paralela

P R O B LEM A N.° 4

y perpendicular al bloque

Para el instante mostrado sobre el bloque liso de 7 kg, la reacción del muro es de 50 N. Calcule / F g=70 N= 5 x 1 4 N

el módulo de la fuerza resultante.

4x14 N En los nuevos ejes perpendiculares tenemos

R=50 N A) 20 N

B) 40 N

D) 50 N

c)

30V 2 N

E) ION Luego aplicamos el teorema de Pitágoras

Resolución

Fr =y¡62 +422 = >/36 + 1764 = V l8 00 Fr = 30V2 N

R=50 N 36

C la v e

(C

Es tá tic a

P R O BLEM A N.° 5

•

actúan en cuerpos diferentes produ­ ciendo efectos diferentes.

Indique verdadero (V) o falso (F) en las siguien­ tes proposiciones.

•

son opuestas.

I.

En las interacciones, las fuerzas de acción y

•

son de igual módulo.

de reacción se anulan.

•

son colineales.

II.

Cuando un cuerpo rugoso resbala sobre un

Falsa

piso rugoso, este le ejerce dos fuerzas. III.

El piso ejerce una sola fuerza, solo que esta

La fuerza de gravedad sobre una barra pue­

se descompone para un mejor análisis.

de actuar en un punto diferente a su punto medio.

equivalentes

/ A) FVF

B) FVV

C) VFV

D) VVF

ss

E) FFV

R

Resolución

Verdadera

I.

La Fg siempre actúa desde el centro de

Falsa

gravedad (C. G.) del cuerpo y si este es ho­ mogéneo y regular, el C. G. se ubica rápida­ mente por la simetría en su geometría; en el caso de una barra sería su punto medio; si no fuese homogénea, el C.G. puede ser cualquier otro punto.

Al referirnos que dos fuerzas se anulan, es­ tas deben... •

actuar sobre el mismo cuerpo.

• •

ser opuestas. ser de igual módulo.

•

ser colineales.

C la v e (

E

P R O B LEM A N.° 6 Se muestra un bloque liso de 3 kg en reposo. Determine los módulos de la reacción del piso y de la pared, respectivamente. (g=10 m/s2)

—

F*

vM M /“

separación imaginaria

A) 30 N; 20 N B) 10 N; 20 N C) 30 N; 30 N

En el caso de las fuerzas de acción y de re­

D) 20 N; 20 N

acción son fuerzas que...

LU

15 N; 10 N 37

RERAS EDí TORES

Resolución

PR O B LEM A N.° 7 Para la cuña lisa de 2,1 kg se cumple que la reac­ ción del piso y la pared son de igual módulo, con ello determine el módulo de F . A) 210 N B) 100 N C) 105 N D) 50 N E) 80 N

Luego de realizar e! diagrama de fuerzas para los bloques, aplicamos la primera CEM.

Resolución

Nota Para aplicar la prim era CEM de form a más ágil colocam os Eje X: Z F M = l F ( H Eje

lF (J ) =

S F(i) >

igual módulo por condición del problema

Si Ffí = 0 Bloque 2

Eje

y

Del DCL solo F es oblicua, por ello conviene que la descompongamos y apliquemos así la prime­ ra CEM.

T ~Fg( 2) -> r= 2 0 N

Fr = 0 Bloque 1 •

Eje Y =

•

R1 = 30 N

Eje Y: R = —f + f 5 g

De las ecuaciones anteriores

Eje X R2 = T

- F = - F + Fa -> F = SFa 5 5

/?2 = 2 0 n

F= 5 • 21 C la v e ( A )

38

5

f= io s n

Eje X

Es t á t ic a

Otra forma

Igualmente 4 R =- F 5

3 -> /? = - F + f 5 9

C la v e ( C

PR O B LEM A N.° 8

Ahora aplicaremos la primera CEM de manera geométrica, es decir, con las fuerzas sin des­ componer formaremos un polígono. Recuerda que con este método no importa el orden en que las fuerzas vayan dibujándose. Forma 1

Se muestra una esfera de 5 kg en reposo. Si se verifica que la relación entre la tensión en la cuerda y la reacción del plano inclinado es de 2 a 3, respectivamente, calcule el módulo de la fuerza de tensión. (gr=10 m/s2) A) 25 N B) 20 N

<

C) 30 N R

D) 18 N E) 19 N Resolución

Por geometría R = —F 5 -

Forma 2

En el problema, el ángulo del plano inclinado (19°) puede generar preocupación porque no es notable, pero lo primero es ver cuántas fuer­ zas actúan. Como son tres fuerzas, estas pue­ den ser paralelas o concurrentes.

¡Estamos con fuerzas paralelas!

39

TDHSS

- li Si la F r = 0, entonces formamos el triángulo de fuerzas guiándonos de la línea que contiene a R .

Fñ = O Fg = T + R

(I)

Pero por dato 7

2

3

/?

3

2

- = ------ > « = - 7

Reemplazamos en (I) 50 = 7 + —7 2 T = 20 N

C la v e (

B F= 15 N

PR O B LEM A N.° 9 En el gráfico se muestra un coche de 3 kg que

C la v e (

B

realiza MRU. Determine el módulo de F . (g = 10 m/s2) PR O B LEM A N.° 10 A) ION

Se muestra una esfera de 9 kg en reposo. De­

B) 15 N

termine la mínima deformación del resorte que

C) 20 N

está en posición horizontal. ( k = 1500 N/m, g=10 m/s2)

D) 5 N E) 15,2 N

Resolución No debemos olvidar que el equilibrio mecánico engloba reposo, MRU y rotación uniforme para un cuerpo o un sistema en donde indistinta­ mente aplicamos la primera y/o segunda CEM. En consecuencia, el coche está en equilibrio ci­ nético de traslación.

40

A) 30 cm D) 10 cm

B) 80 cm

C) 6 cm E) 8 cm

Es tá tic a

Resolución Si contamos con cuántos cuerpos interactúa la esfera, sería plano inclinado, resorte comprimido, tierra y techo. Pero con este último, la interacción será nula si el resorte aplica una FE mínima, ya que a mayor F e la esfera presionaría más el techo. Entonces fttecho = 0' cuando la FE y x s o n mínimos, mantenién­ dose la esfera en reposo. Aplicamos la primera CEM del triángulo de fuerzas ^£(mín.)

*

4 ^(mín.) —^ ^ 9

4

C la v e

P R O B LEM A N.° I I

Resolución

Una barra reposa sobre la pared lisa sujetada de una cuerda. Determine la relación entre la 'eacción de la pared y la fuerza de gravedad, respectivamente.

A) 4/5 3) 3/4 :■) 2/3

La cuerda sostiene la barra de dos puntos y en cada uno aplica la misma fuerza de tensión,

I 5/3

en ocasiones confundimos el módulo de las fuerzas con la geometría del problema.

Lu m b r e r a s E d it o r e s

PR O BLEM A N.° 12 En el gráfico, una barra de 1,8 kg y poleas idea­ les reposan. Calcule la tensión en las cuerdas (1) y (2), respectivamente. (g=10 m/s2)

¡Error! El valor de la fuerza de tensión no de­ pende de la longitud de la cuerda. La geometría entra a tallar... •

cuando se descomponen fuerzas.

•

cuando se forma el triángulo de fuerzas.

•

al aplicar la segunda CEM y al calcular dis­ tancias (brazos de palanca).

Ahora en el DCL de barra 4

v

A) 9 N; 18 N C) 2 N; 4 N

B) 6 N; 3 N

D) 3 N; 6 N

E) 10 N; 5 N

Resolución

3 tv = - t

Aplicamos Fr = 0 Eje X:

R = —T 5

Eje V:

F= -T+ T

F„ = *-T Como se tratan de poleas ideales, entonces En consecuencia

^polea Analizamos el sistema conformado por la polea A, la polea B y la barra. Dicho sistema solo está

»J'

sostenido por la cuerda (2) de tres puntos.

-T 5

Fr = 0

R __1 ->

O

3 r2= 18 C la v e ( D

42

3 7 2 = Fg

r 2= 6 n

E stá tic a

Para la polea A

En el DCL, FE y /?¿ son paralelas; por ello, /?art se grafica también paralela. '

i i i

ii T-i i i

-> f r =0 27i = T2 27j = 6 /.

7^=3 N

C la v e (

D Luego aplicamos la primera CEM F„=o ->

PR O BLEM A N.° 13

I f ( \ ) =2 F (\ )

La barra lisa es de masa despreciable y reposa con el resorte estirado 10 cm. Determine el mó­

Ra - ^art. + F E

dulo de la reacción en A si en la articulación es

Ra = 20 + 180 • 0,1

de 20 N. (K=180 N/m)

Ra= 3 8 N

^A ~~^art.

C la v e

(D,

P R O BLEM A N.° 14 En el sistema, la esfera y la barra son de 4,8 kg. Determine la reacción del piso que es de doble módulo que la de la articulación. Considere su­ A) 2 N D) 38 N

B) ION

C) 28 N

perficies lisas. (g=10 m/s2)

E) 8N

Resolución Sobre la barra solo dibujaremos tres fuerzas: Fe, Ra y Rart .■No graficamos Fg porque la masa es despreciable. Entonces podemos tener fuerzas paralelas o fuerzas concurrentes.

A) 40 N D) 50 N

B) 48 N

C) 32 N E) 64 N 43

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

P R O B LEM A N.° 15

Al haber dos cuerpos una posibilidad de análi­

Del problema anterior, calcule la tensión en la

sis sería realizar una separación imaginaria para

cuerda.

dibujar y calcular la reacción entre la esfera y la barra o la tensión en la cuerda. Pero en el pro­

A) 25 N

blema piden la reacción del piso, por ello anali­

D) 50 N

B) 14 N

C) 48 N E) 7N

zaremos el sistema. Resolución Para cada cuerpo actúan los siguientes cuerpos: •

Esfera: cuerda, barra y tierra

•

Barra: piso, articulación, esfera, cuerda y tierra

Entonces más fácil es analizar a la esfera

En consecuencia tenemos sobre el sistema fuer­ zas paralelas, cumpliéndose Fr =0 —> Rp + Rar[ —Fg^s¡st )

(0

Condición del problema /?p=2/?art. n Rp ~ > R a rt.~ —

T \ Luego de graficar las tres fuerzas sobre la esfera

Reemplazamos en (I)

y formar el triángulo de fuerzas tenemos Rp + J L = M (s.st y g

cot74°= — *

—Rp = (2 •4,8)-10 2

7 __T _

24 ~ 48

Rp=6A N

T=14N C lav e ( E

44

Clave ( B

Es t á t ic a

PRO BLEM A N.° 16

Luego aplicamos

Se muestra una barra de 2 kg sobre superficies lisas. Si el módulo de F es igual que el de la re­ acción en B, calcule la reacción en A.

Fr = 0

Eje X AK=3K + Ra

ig = 10 m/s2)

Ra = K

4K=3K+Fn Fg=K Entonces RA~Fg Ra = 20 N A) ION

B) 15 N

D) 25 N

C) 20 N

_C LA V E ( C

E) 5 N

Resolución Sobre la barra actúan cuatro fuerzas y conviene aplicar la descomposición y tener solo fuerzas

PRO BLEM A N.° 17 Para la esfera de masa M en reposo, calcule el máximo valor de F . Considere superficies lisas.

horizontales y verticales. Como F=R b y ambas forman ángulos de 37° y 53° con la horizontal, entonces F=R b =5K

A) M gsena

B) Mg cosa

C) Mgtana D) Mgseca

E) Mg cota

Resolución Por acción de F , la esfera tiende a trepar la rampa y así perder contacto con el piso. Pero se debe asegurar el reposo, entonces no debe subir y F será máxima cuando la reacción del piso sea nula; por lo tanto, la esfera está a punto de subir. 45

Lu m b r e r a s E d it o r e s

•k Resolución

max.

Sobre la barra actúan tres fuerzas que concu­ rren en el C.G. ya que está apoyada justo desde tal punto en el muro A.

Al formar el triángulo de fuerzas tenemos ta n a = -— *■ h F m á x.= ^ 9

9 0 °-a

ta na __C l a v e ( c )

PR O BLEM A N.° 18

Del triángulo de fuerzas se tiene

Se muestra una barra en reposo, de tal modo

.-.

a= 4 5 °

que los módulos de las reacciones en A y en la

_C LA V E ( b )

articulación son iguales. Determine la medida del ángulo a. PR O B LEM A N.° 19

Para la barra de 1,6 kg en reposo, determine el módulo de la reacción en A. Considere que la tensión en la cuerda es de 29 N. (g = 10 m/s2)

A) 16 N B) 29 N C) 13 N

D) 37°

46

B) 45°

C) 60°

D) 12 N

E) 43°

LU

A) 30°

11 N

Es tá tic a

Resolución

Resolución

Sobre la barra actúan tres fuerzas paralelas por

Las cuerdas (1) y (3) sostienen al sistema forma­

estar la cuerda de forma vertical.

do por los bloques y las otras cuerdas. Por ello aplicaremos la primera CEM al sistema.

Fr =0 R+Fg=T

Del DCL, aplicamos de la primera CEM.

+ 16 = 29 R = 13 N _ C lav e ( C )

PR O BLEM A N.° 20 Para el sistema mostrado, calcule el módulo de la tensión en la cuerda (1). (g = 10 m/s2)

Entonces Fg{sist) = 4 K = 4 0 N 71= 3/C= 30 N __C la v e ( e )

PR O B LEM A N.° 21 Del problema anterior, calcule la tensión en la cuerda (2). A) 60 N A) 50 N D) ION

B) 20 N

C)' 40 N

C) 50 N

E) 30 N

D) 40 N

B) 30V2N

E) 30 N

47

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

li

Resolución

Resolución

Analizamos el nudo entre las cuerdas (1) y (2).

Por la diferencia de masas entre los bloques, es­ tos comprimen al resorte. Primero analizamos el sistema

Para las fuerzas que actúan en el nudo, tenemos Fr =0.

De Fr - 0 para el sistema 2(^l + ^2) = W C la v e (

B

)

2(71+ 72) = 90 N ->

r 1+r 2=45N

PR O BLEM A N.° 22 Para el sistema mostrado en reposo, determine la deformación del resorte K=125 N/m. ri

(g = 10 m/s2)

i F g(A)

T-,

Para A Fr =0

T l + T 2 + F E - F g(A)

45 A) estirado 20 cm B) comprimido 30 cm C) comprimido 20 cm

+ Kx= 70 125 x = 25

x = - m = 20 cm 5

D) estirado 30 cm E) estirado 10 cm

C la v e

(C

48 i

E stá tic a

P R O B LEM A N.° 23

PR O B LEM A N.° 24

Se muestra un bloque liso que realiza MRU. De­

Se muestra una barra de 3 kg en reposo sobre

termine el módulo de F si es de igual valor que

una superficie semiesférica. Indique verdadero

de la reacción de la superficie, además indique

(V) o falso (F) en las siguientes proposiciones. (A M = 30 cm, M 6= 20cm )

la medida del ángulo a. ( m =4 kg, g=10 m/s2) A) 30 N; 16° B) 50 N; 11° C) 40 N; 8° D) 20 N; 10° E) 25 N; 16°

Resolución

I.

El C.G. de la barra está a 25 cm de A.

Como de las tres fuerzas dos de ellas son de

II.

El módulo de la reacción de la superficie es de 30csca.

igual módulo, entonces el triángulo de fuerzas será isósceles.

III.

La superficie es lisa.

A) FFF

B) FVF

D) FFV

C) FVV E) VFV

Resolución Inmediatamente sobre la barra en reposo ac­ túan dos fuerzas y estas serán colineales.

Del triángulo 0 = 37° —»

F= 25 N

Del gráfico 0 + a = 53°

37° + a = 53° I.

a = 16°

Falsa Justo el C.G. está encima del punto de apo­

C la v e ( E

yo y es a 30 cm de A. 49

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

De Fr =0

Falsa El módulo de ambas fuerzas es igual, en­

Eje X

tonces «=30 N.

R1- R 2

Falsa

Eje Y

La « no actúa perpendicular a las superfi­ R

cies, incluso si fuese perpendicular no po­

Fg[ sist.)

« = 80 N

dríamos afirmar que la superficie es lisa, ya que podría ser que/s =0; no hay tendencia

_ C lav e ( d )

a resbalar. Pero en este caso sí hay/s.

C lav e

PR O B LEM A N.° 26 Del problema anterior, calcule el módulo de la reacción entre las esferas.

PR O BLEM A N.° 25 Para el sistema mostrado, determine la reacción

A) 20 N

en el piso. Considere superficies lisas y esferas homogéneas de 4 kg cada una. (g=10 m/s2)

B)

— V3N 3

C)

40 _^ N 3

E) 15 N

D) ION Resolución

ro

A) 30 N

En el caso anterior no influyó la separación de

20 N

las paredes porque no era necesario definir nin­ gún ángulo. Ahora sí necesitamos tal ángulo.

C) 40 N D)

o oo

LU

50 N

N

g i

F„

Resolución Analizando el sistema tenemos que actúan cua­ tro fuerzas.

Para la esfera superior actúan solo tres fuerzas, y sobre la otra actúan cuatro fuerzas. De la primera CEM, formamos el triángulo de fuerzas. 50

Está tic a

\

En el triángulo de fuerzas

a\

Fg cosa = —

R

y[3

40

80 i—

= — V3N

Del gráfico a = 30c

C la v e ( b )

PRO BLEM A N.° 27 Para el sistema mostrado en reposo, calcule la medida del ángulo a si la reacción del piso y la pared son de igual módulo. Considere superficies lisas y cuerpos de igual masa.

A) 37° 3) 45° C) 30° D) 37°/2 E) 53°/2

Resolución La única fuerza que guarda relación con el ángulo a es la de mutua interacción entre la esfera y el triángulo. Por ello los analizamos por separado. Aplicamos FR= 0 Para el triángulo •

Eje X: RX=T

.

Eje /: Ry=Fg

Para la esfera •

Eje X: RX=R

•

Eje Y: Ry+Fg=R

De (II) R=2Fg Entonces en (III) * * = 2 Fg

Lu m b r e r a s E d i t o r e s

Para la esfera

Reconstruyamos R

T=Fg(2)=20N Para el bloque, formamos el triángulo de fuerzas

a = 53°/2

_ C la v e ( e ) Por teorema de Pitágoras « = ^Fg2(i ) + r 2 = V 3o2+ 2 °2 PR O B LEM A N.° 28 Para el bloque mostrado en reposo, calcule la

•••

R = 1 0 V l3 N

reacción del piso. (g = 10 m/s2) _C LA V E ( C )

PR O B LEM A N.° 29 Se muestra una placa triangular a punto de res­ balar. Determine el módulo de la fuerza de roza­ A) 20 N

B) 30 N

miento y el coeficiente de rozamiento estático. (g=10 m/s2)

C) 1 0V Í3N D) 50 N

E) ION

Resolución El bloque tiende a resbalar hacia la derecha.

A) 20 N; 0,2 CQ

30 N; 0,5

C) 30 N; 0,3 D) 20 N; 0,5 UJ

52

10 N; 0,1

Está tic a

Resolución

Resolución

A diferencia del problema anterior debemos

Realizamos el DCL del bloque.

dibujar la f s y la f N, y no la R. fs f,N Del reposo F r =03 Eje Y :fN=F, N~' g

4=100 N Eje X: FE=fs Luego de descomponer F , aplicamos la primera

K x = fs

CEM.

8-5 =fs

•

/S=40N

•

-Eje X : f s =30 N Eje Y :f N=A0 + Fg

C la v e i

A'

f N=60 N Por estar a punto de resbalar

PR O B LEM A N.° 31

/s=fi s/w

Se muestra un bloque de 4 kg en reposo. Indi­

30 = m 60

que verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

Ms=0,5 _ C la v e ( b )

PRO BLEM A N.° 30 En el gráfico, el bloque de 10 kg reposa con el re­ sorte comprimido 5 cm. Calcule el módulo de la fuerza de rozamiento. ( k = 8 N/cm, g = 10 m/s2)

El módulo de la reacción del plano inclina­ do es 40 N. Al reducir el valor del ángulo 0, la reacción disminuye. Si 0=37° y el bloque está a punto de resba­ lar, entonces el |lis =0,75.

A) 40 N O) 25 N

B) 50 N

C) 30 N

A) FVF

E) 28 N

D) VFV

B) FFF

C) FVF E) VVF 53

Lu m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

P R O BLEM A N.° 32

I.

En el sistema mostrado, los bloques son de igual masa y B está a punto de resbalar. Calcule el ¡is

Verdadera Sobre el bloque solo actúan dos fuerzas.

entre el bloque B y el piso. (g= 10 m/s2)

Del reposo Fr = 0 A) 1

-> R - F g

Falsa

E) 1,2

Resolución

Mientras el bloque reposa, R=Fg; esto in­ dependientemente del ángulo 0.

Cuando se indique que un cuerpo está a punto de resbalar y se encuentre en reposo, podemos

A menor valor de 0, menor tendencia a res­ balar y no resbalará el bloque. III.

C) 2

D) 0,8

R = 40 N II.

B) 0,5

aplicar FR=0 y calcular f s, pero también pode­ mos aplicar

Verdadera f s ~ /s(m áx.)~ M\s//V

Al estar a punto de resbalar, aún hay repo­ so, pero la fuerza de rozamiento estática toma su máximo valor. Descomponemos R, que continúa siendo vertical.

Para el bloque B Fr =0

_>

, ane = ^!¡HíO = H sí\l Ín

Ín

•

Eje X : f s = 8M

•

Eje /: f N + 6 M - 10M -> f N=AM

Luego

—> ¡as =tan0 = tan37°

fs = fs ( máx.)

|is =0,75

•••

C la v e 54

(D

SM = ns4M

Vs=2 _ C lave ( c )

Es t á t ic a

PR O BLEM A N.° 33

Otra forma

El sistema mostrado está en movimiento inmi­ nente. Calcule el (is entre el bloque A y el plano

Dos fuerzas de igual módulo se equilibran con una fuerza contenida en la bisectriz de dichas

inclinado. Considere que los bloques presentan

fuerzas.

igual masa.

A) 1 B) 0,5 F

C) 2 D) 0,8 E) 1,2

Entonces F1 equilibra a F y F. Cuando un cuerpo está a punto de resbalar, la reacción entre las superficies forma un ángulo

Resolución

con la normal, cuya tangente es el |as.

Cuando un cuerpo o sistema está en movimien­

/'normal /

to inminente, es equivalente (cuando hay ten­ dencia a deslizar) a que esté a punto de resbalar.

—» f.is =tan0 En el problema normal

Luego de descomponer la Fg, comparamos las fuerzas paralelas al plano y el bloque tiende a resbalar hacia arriba. Fr =0 •

Eje X: T=SM + fs -> f s =4M

•

Eje Y: f N=8M

Luego f s ~~/s(máx.)

4/V7=|is -8M •••

V s= °'S

0 + 3 7 °= -(1 8 0 °-5 3 °) 2 53° 0 = ---2

—> Li M-/c(2) = ^ 3

MK(2)

M-s(i) =tan(3 = tan37° 3

M-s(i) M-/c(2)

B)

4 _ V3 V3

4

_C LA V E

3

n/3

c|

(A

;

P R O BLEM A N.° 124 n

i

“ i

Resolución

Para la esfera homogénea y en reposo se cum­ ple que los módulos de la tensión y de la reac­ ción de la articulación son iguales. Determine a .

Tanto A como B están en equilibrio mecánico. Por ello actúan dos fuerzas verticales sobre A y sobre el sistema AB.

A) 40° D) 20°

B) 25c

C) 30° E) 10°

112

J

E s t á t ic a

Resolución Inmediatamente nos damos cuenta que sobre la esfera actúan tres fuerzas que no son para­ lelas por estar la cuerda oblicuamente, por ello las fuerzas serán concurrentes.

concurrencima de la

A) 0,5

B) 1/3

C) 0,2 E) 0,8

D) 1,5 Resolución

Tenemos tres fuerzas concurrentes en A.

Dentro de la esfera hay un triángulo isósceles 20=40° -> 0=20° Al formar el triángulo de fuerzas por ser R=Z el triángulo es isósceles —> a= 0

a = 20 ° C la v e (

D

Por estar la placa a punto de resbalar ,us =tana en el gráfico

PRO BLEM A N.° 125

15

Se muestra una placa triangular a punto de res­ balar. Determine el coeficiente de rozamiento estático entre la pared y la placa. Considere que el C.G. está en la misma vertical que A.

10

í-is— C la v e

(D 113

L u m b r e r a s E d it o r e s

PR O B LEM A N.° 126

Fg(i) ’ 5¿

Si en el sistema se desprecia todo rozamiento, calcule la masa de la esfera (2) si de la esfera (1)

20-5 = 10 M 2

es 2 kg.

Fg(2)' L

M 2 - 10 kg

_ C lave ( ¥ )

PR O B LEM A N.° 127 Se muestra una placa cuadrada y homogénea. Determine el valor del ángulo a , que define el equilibrio. A) 2 kg

B) 4 kg

D) 8 kg

C) 6 kg E) 10 kg

A) 10° B) 17°

Resolución Realizamos el DCL para el sistema

C) 26,5° D) 14° E) 18,5°

Resolución Desarrollamos el DCL de la placa

En el DCL del sistema debemos aplicar la segun­ da CEM respecto al punto O donde concurren «i y •

R2. Mq1 = M o2 = 0 Mq9(1) = m f¿ (2)

114

E s t á t ic a

2.

Trabajamos la geometría 0=

igual masa, ambos en equilibrio, el borde

53°

(3+0=45°

Ahora con la cuña encima del bloque de del muro debe estar en el punto medio de

-> P =

los dos centros de gravedad, tal que la cuña

37°

sobresalga lo máximo respecto del tablón

a= 4 5 °-{3

(como en el gráfico anterior cuando reposa sobre el muro).

53° a =—

PR O BLEM A NL° 128 Se muestran un tablón y una placa triangular, ambos homogéneos. Determine qué distancia horizontal, como máximo, puede sobresalir el punto P del punto B. A) 15 cm

d máx.(BP) ~ 12 Cm

B) 8 cm C) 12 cm

_C LA V E

(C

D) 9 cm B

E) 7,5 cm

PR O B LEM A N.° 129 Resolución

Se muestran tres barras homogéneas e idénticas.

1.

Determine el cociente de — . Considere que RB Ra: reacción en A y RB: reacción en B.

Si los analizamos individualmente

6 cm

1C.G.

6 cm

Estas distancias son siempre que los cuer­ pos estén solos o haya otro u otros cuerpos

A) 2

con C.G. justo encima (en la misma vertical

D)

B) 1/5

que del primero). 115

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución Hacemos una separación imaginaria y aplicamos la simetría

Fg=2F

B

Prim era barra

Aplicamos la segunda CEM a la segunda barra MR A* = 0 y M 3 / =0 M2 0f + M h 0 =MR 0* 2 F d + F -2 d = R x -2d RX=2F RA = F y fl3 • ■'

a

RB = Fyl5

ÍH V5 _ C la v e ( C )

PR O B LEM A N.° 130 El bloque mostrado de 5 kg desciende realizando MRU. ¿Qué módulo debe tener una fuerza hori­ zontal hacia la izquierda para que al actuar sobre el bloque, este ascienda con velocidad constante? (g = 10 m/s2)

A) 100 N 116

B) 120 N

C) 80 N

D) 75 N

E) 60 N

E s t á t ic a

Resolución F-F, 9’l - \ i

Caso 1: FR=0 (MRU)

F=

50 2U/ 1 -! ^

F = 120 N C la v e

(B

Sabemos P R O B LEM A N.° 131

H it a r ía ■ >

a : ángulo de la flicon la normal

Se muestra una barra homogénea doblada y en reposo. Determine la menor masa del bloque. (Mbarra^5 kg)

Caso 2: FR=0 (MRU)

A) 2\[s kg

B)

D) 2,4 kg

3>/3 kg

C)

1,5^5 kg

E)

1,33^5 kg

Formando el triángulo de fuerzas Resolución Realizamos el DCL de la barra doblada

F=Fgtan2a

F = F„

2 ta n a 1 1 -ta n 2

a)

Se tiene 3M =S kg 117

LUMBRERAS EDITORES Resolución

De la segunda CEM respecto de O

Para el sistema actúan tres fuerzas que son pa­ ralelas

M¡¡, = m “ 9 + M 2 0Mg t (í

^5

•se n a ) = M g •2L + 2MgL

M b]oque-g -^¡5-sena = AMg

'bloque

4M

sena

Buscando la menor masa del bloque tenemos s e n a = l (máximo) _4 M *

'^'bloque

Entonces al colocar x y 2x estamos aplicando la segunda CEM. Luego 3x= r C la v e

(E

x= 4cm ^ -a rticu la c ió n ) =

2r+X= 28 cm

PR O B LEM A N.° 132

C la v e

En el gráfico se muestra una barra de doble masa que la esfera, ambas homogéneas. Deter­ mine a qué distancia de A está ubicada la arti­ culación si el sistema está en equilibrio; además r - 1 2 cm.

P R O B LEM A N.° 133 El bloque que se muestra está en reposo; ade­ más, F mantiene su dirección. Determine el co­ ciente entre el mínimo y el máximo valor de F para el reposo.

A) 22 cm D) 28 cm 118

B) 26 cm

C) 12 cm

A) 7/24

E) 24 cm

D) 2/5

B) 2/3

C) 4/13 E) 4/3

E s t á t ic a

Resolución

Sabemos que cos37°=senl27°

Debemos analizar cuando está a punto de res­ balar tanto hacia abajo (Fmín ) como hacia arriba

Ín íik = se n l6 0= — Fmáx.

24

(^máx.)-

_C LA V E

Por estar a punto de resbalar

(A)

tan a = |.i5 tanoc=0,75

P R O B LEM A N.° 134

a=37°

Se muestra una barra en equilibrio. Determine la medida del ángulo a si su centro de gravedad está en el punto medio de AB. R2 (caso 2)

/?! (caso 1)

Notamos que /?2 y Fson perpendiculares

A) arcsen

íl) v3y

B) arcsen

3 y

v5, D) arcsen

( £] V 5 )

E) arcsen

Resolución Hay tres fuerzas concurrentes.

Del triángulo de fuerzas •

F'm in - . —Fr g •cos37° F'max. -

Fn Q

_

sen(2a+53°)

sen l6 °

se n (l270) 'máx. — g

y senl6°

__.

F'min. ■ _ _ Fncos 37° 2 ___________ F . senl27° f max.

F ------------

g sen l6°

119

%

L u m b r e r a s E d it o r e s

Tenemos que ABP es triángulo rectángulo

Resolución

-> OA = OP=OB=L

En los apoyos A y B no hay tendencia a resbalar,

Luego

por lo tanto, RA y RB son perpendiculares a la superficie de la esfera.

OQ=Lc os2a OR=Lser\a OQ=ORser\a —» /.cos2a=/.sen2a cos2a - s e n 2a = sen 2a cos2a= 2 sen 2a l - s e n 2a= 2 sen 2a sen a = V3 a = arcsen

Vb

3; _ C la v e

P R O B LEM A N.° 135

Entonces del equilibrio

RBser\$=RA -sena

Para la esfera homogénea y en reposo, calcuR

~~*

le HA, donde RA y RB son las reacciones en rb

A y en B.

A)

B)

C)

D)

a +b

Esta misma relación se encuentra formando el triángulo de fuerzas y aplicando la ley de senos. Ra _ sen|3 Re

o— r r-b r-o

sena

Calculamos los senos del gráfico Ra _ ( r ~ b ) / r rb

(r ~ o ) / r

r +o

RA _ r ~b

r +b

Rt

r-o

r-o

E)

b+r

CLAVE

(C

120 j

Es t á t ic a

P R O B LEM A N.° 136

Como

En el gráfico, los discos concéntricos están a

Ra +Rb= 100 N

punto de resbalary se verifica que |li5(i)‘M-5(2) ~ 1-

Ra = 50 N

Calcule el módulo de RA, si RA+RB=100 N.

A) 60 N

_C LA V E ( C )

B) 40 N C) 50 N

PR O B LEM A N.° 137

D) 25 N

En el gráfico, el C.G. de la esfera de 8 kg está en

E) 80 N

un punto de la línea SB. Si las fuerzas de roza­ miento estático tanto en la pared como en el piso son iguales, calcule la reacción del piso.

Resolución

(g =10 m/s2)

Tanto en la pared como en el piso, el disco está a punto de resbalar.

A)

2 0 V Í0 N

D) 3-s/lO N

B)

10V5N

C)

5V3 N

E) 12 N -T

Resolución La esfera tiende a girar en sentido horario. Del dato lAS (l)'l1S(2) = 1

tana • tan(3=l —» a+ P = 9 0 ° (a y P son agudos)

—> ra= rb

121

L u m b r e r a s E d it o r e s

Respecto de O M f0N(1) = M f0N{2) = 0 M qS + M f0s = M F0g f s •2d+fs •2d=S0 ■d f s = 20 N Luego Fr =0

eje Y: Fg=fs +fN{1)

80=20 +/W(1) / W(1) = 6 0 N

—> /?p¡so =y¡fs +//V( 1)

/?p¡so=20VÍÓN

Del DCL de la placa _ C la v e

Mgx = Mgy = 0

(a )

M t = M Fg PR O B LEM A N.° 138

T -L = Fn

Se muestra una placa rectangular homogénea de 3V2kg, considerando reposo para el siste­

L ^ \ 2 y

sena

10M = 3 0 V 2 — --t L 2 VlO

ma. Calcule la masa del bloque. /.

M =1,S kg

C la v e (

E

P R O BLEM A N.° 139 En el gráfico, la varilla de longitud de 2 cm es de masa despreciable. Calcule la tana que define el equilibrio del sistema sabiendo que r = V2 cm.

A) 2 kg D) 2 kg

B) 5 kg

C) 1 kg E) 1,5 kg

A) 2/5 B) 3/5 C) 2/3

Resolución

D) 1/4

Desarrollamos el DCL de la placa

E) 2/7

122

E s t á t ic a

Resolución

A) 20 N

Operamos el DCL del sistema

C) 25 eos 2 8 ° N

B) 20 sen 80° N

40 ¡— D) — V3N 3 Resolución Actúan tres fuerzas, donde dos de ellas (las ten­ siones) son de igual valor y serán simétricas res­ pecto a la Fg.

Para el sistema Mq1 = M o 2 = 0 = m f09(2) Fg(i)'

" Fg(2)' d2

2Mg ■rco sa = SM g ■r sena 2 tan a = 5 C la v e ( A ,

PR O B LEM A N.° 140

Formamos el triángulo de fuerzas (a= 30°)

Se muestra una barra en reposo. Si su masa es de 4 kg, calcule la tensión en la cuerda. (g = 10 m/s2)

-> - V 3 = 2 0 2 40 r~ T = — v3 N 3 C la v e (

D

123

L u m b r e r a s E d it o r e s

PR O BLEM A N.° 141

Fg - d ^ F E -d2

La barra mostrada es homogénea y de 7 kg. Si el resorte es de 150 N/m, calcule cuánto está deCor formado. Considere superficies lisas.

7

( 1^3

[ 2j

Kx 25 L

(g=10 m/s2) -»

3 7 7-10 — = 150x— 10 25 x=0,5 m=50 cm

C la v e ( E

PRO BLEM A N.° 142 A) 18 cm

B) 15 cm

D) 20 cm

C) 30 cm E) 50 cm

Se muestra una barra homogénea doblada y en reposo. Determine el ángulo 0 que define el equilibrio.

Resolución Realizando el DCL de la barra

arctan(9) arctan(3)

C)

arctan

L: longitud de la barra y del segmento OP Del DCL respecto de O •

M q1 = Mo2 = 0

•

M f§ ~ M q

124

/3 5

, 7 D) arctan — 10 E)

arctan

6 ' 7

E s t á t ic a

Resolución

Resolución

La masa se distribuye en igual proporción que

Por estar a punto de resbalar

la longitud. /s=M-s/ a/

/ = ~ ' 3/

Para el bloque

De la segunda CEM respecto de O

M 3 0M g = M % g Luego de aplicar la primera CEM, aplicamos la segunda CEM respecto de P (punto donde se concentra la fuerza del piso).

3Mg ■d ^ M g ■d2 3

• 15cos0 = 5sen0

Mp = Mpg

tan0 = 9

F-L=FgX

/. 0 = arctan(9)

/• 12 = 3/-x C la v e i

A,

x= 4 cm Nota En este caso actúan dos pares de fuerzas y,

P R O B LEM A N.° 143

en cada par, las fuerzas son p aralelas y de

Si el bloque cúbico homogéneo de 12 cm de

igual valor.

lado está a punto de resbalar, calcule la distancia

l . er par: F y f s de valor igual a f y distan L - 3x.

que separa las líneas de acción de Fg y de f

2 o par: Fg y f N de valo r 3 / y distan x.

n.

Tenem os que el p rim er par genera m om ento horario y el segundo par, m om ento a ntih o ­ rario. Si nos dam os cuenta, en este razona­ m iento no necesitam os especificar el centro de m om entos, por ello se les denom ina m o­ m entos libres.

A) 3 cm D) 2 cm

B) 4 cm

C) 5 cm E) 1 cm

_ ^ LAVE .C® 125 /

L u m b r e r a s E d it o r e s

PRO BLEM A N.° 144 En el gráfico, lentamente aumenta F y va cam­

Para a — 90°, tana se va al infinito. Por ello en el gráfico

biando la medida del ángulo a . Determineel móQ dulo de la tensión en la cuerda (1) cuando a = —. 2 Considere que la cuerda (2) siempre está en po­ sición horizontal.

0 = 90°

0

Cuando a = — = 45° 2 -» F=20tan45° F= 20 N

C la v e

(C

PRO BLEM A N.° 145 A) 14 N

B) ION

D) 16 N

C) 20 N E) 9N

Para la barra homogénea en reposo, calcule donde

M1 M-,

masa de la barra y M 2: masa del blo­

que. Desprecie todo rozamiento, /.barra=40 cm. Resolución Realizamos el DCL del nudo P.

Tenemos T3= 20 N (siempre)

126

F=T3tana

A) 3/5

F= 20tana

D) 3/4

B) 2/3

C) 4/5 E) 4/3

E s t á t ic a

Resolución

PR O BLEM A N.° 146

Realizamos el DCL de la barra

Para la barra homogénea en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes pro­ posiciones. Considere que AC=CB.

Las f N en A y en B son iguales. Si la barra está a punto de resbalar, necesa­ riamente M-S(>4) > M-S(8)Si las/w en A y en B son iguales, el C.G. de la barra está a LsecQ del extremo A.

Del DCL hay dos pares de fuerzas paralelas \T con F e y R con Fg), por lo cual aplicamos la

A) FFV

primera CEM

D) VFF

B) FVV

C) VFV E) VVF

T= Fe Resolución

R=F„

I.

Falsa

Luego aplicamos la segunda CEM tomando en cuenta que actúan dos momentos libres. MO=MU T-8 = Fg -12 M 2g ■2=M1g -3 M1 _ 2 M->~ 3 C la v e

127

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Respecto de O

. •

M f05(A) = M f05(B]

=0

Podríamos probar que esté a punto de resbalar.

M ÍN(B) + M Fg = M f0N{A)

fN=Fg

fN (B)' L + Fg ' x=z fN ( A ) '1-

f N= 70 N (I)

fN {A ) = f N ( B ) + ~ Fg

fs

f s =fs~A. ■ ’max. //v

-» F= 0,6-70 ~> Í

n [a

F= 42 N

) > Í n (b )

Falsa

Si está a punto de volcar, la Rp\So se concentra

Respecto de O'

en P. F =70 N

M f0sS A) + M f0sSB) = M q ,

\ s

fs(Ayd + fs(BVd = Fg(L - X )

*"

i:

r L-X

fs(A) + fs(B) ~ Fg

\ u /

\ V \

L

F

\

2L P

’' \

R-

No podemos afirmar que f 5 es mayor. . » »• . 1*3.' % •* I. Verdadera En la ecuación (I), si f N(A) = f N(B)

x =0

d(A->c.G.)=LsecQ

Respecto de P Mp

=M p g

F2L= 70l F= 35 N

_C LA V E

(A

F - 35 N (como máximo) Nota

P R O B LEM A N.° 147 Para la placa cuadrada y homogénea de 7 kg,

Si F supera a 35 N, el bloque volcaría antes de resbalar.

determine el máximo valor de F para el equi­ librio. C lav e ( A ,

F PR O B LEM A N.° 148

Para la barra homogénea en reposo, calcule el coeficiente de rozamiento estático con el piso si A) 35 N D) 21 N 128

B) 20 N

C) 42 N

la barra está a punto de resbalar. Considere que

E) 31 N

la barra y el bloque tienen igual masa.

Es t á t ic a

PR O B LEM A N.° 149 En el gráfico se muestran dos barras homogéneas e idénticas y con resorte ideal de 240 N/m. Indi­ que verdadero (V) o falso (F) en las siguientes pro­ posiciones. Dato: /Wbarra=8 kg

A) 1/3

B) 3/4

D) 5/6

I.

La reacción en A es mayor que en B.

II.

La reacción en Cforma 30° con la horizontal.

III.

El resorte está estirado 20 cm.

C) 2/3 E) 2/5

Resolución Por ser cuerpos de igual masa, el centro de gra­ vedad del sistema estará en el punto medio de ambos centros de gravedad.

punto de concurrencia

A) FVV D) VVF

B) VFF

C) VFV E) FVF

Resolución I.

Falsa Realizamos el DCL del sistema

Luego de aplicar la concurrencia por estar a punto de resbalar 5d

Li

RA = Fg

RA ~ R B

II.

Verdadera Para una de las barras

A) 2 kg

B) 2,3 kg

D) 3,2 kg

C) 1,1 kg E) 0,9 kg

Resolución Para el sistema de las cuatro esferas

La F e y la R entre las barras son paralelas y de igual valor, ya que Ra = f q y son paralelas. oc=30° III.

Falsa Aplicamos la segunda CEM tomando en cuenta que actúan dos momentos libres

Respecto de O

MÜ=/WO 3 M g —L = KxL 4 8-10- —= 240x 4

M qA = M qB = M qC = M qD = Me? ==0

•

Mq9 + M F0g = M f0g Fg-4rsen4a + Fg4rsen 2 a = Fg4rsen2oí /V7(2sen2a-cos2a + sen2cc) = M 'sen2a

1 m = oc .*. x = — 25 cm 4

M '= M { 2cos2oc + l) C la v e CE )

130

•

= m [ 2 Íl- 2 s e n 2a ) + l ]

Es t á t ic a

Resolución

Del gráfico

Analizamos la estructura ABCD respecto al pun­ to D.

f ( l') 2 1 -2 +1 l V4 ) y M' = l,lk g

C la v e ( c ) M fce = m w " PR O BLEM A N.° 151 Se muestra una estructura con varillas de masa despreciable en reposo. Determine las fuerzas in­

Fce'4= 10-3 FCf=7(5N

ternas en la varilla CE y en la articulación E. Para el sistema

A) 7,5 N; 2>/265N B) 8 N; 14 N C) 7,5N; 2>/l31 N D) 8,6 N; 23 N E) 6,2 N; 12 N

Primera condición de equilibrio Rx= 22 N R=R

L u m b r e r a s E d it o r e s

Resolución

Segunda condición de equilibrio

Por la simetría del gráfico M1 0° " + M 1 02" = M r0

AB = BC = CA = 1 2 0 ° —> 71= r 2= r 3 = 7(cuerdas con igual tensión)

1 0 - 6 + 1 2 - 3 = /?-4

R= 2 ->

4 N

r =2 4 N i

••

^articulación ~

yjRx ^ Ry ~ 2 > / 2 6 5

N

_ C la v e

(a )

PR O BLEM A N.° 152 Se muestra un disco homogéneo de radio r y de 6V3kg en reposo. Si las cuerdas son de igual longitud (2r), calcule la tensión de la cuerda (1). {g= 1 0 m/s2, AB = BC = CA )

La descomposición de T1 es similar a T2 solo que Tix = - T 2x De Fr =0 •

Ej e Z: T3z+ I 2z+ Tlz=Fg 3Tcosa=M g 3 7 —

= 6 ^ 3

10

2 r = 4 0 ^ A)

I O N

D)

4 0 N

132

B)

2 0 N

C)

30 N

E)

50 N

N

= 4 0 N

_ C l a v e (D )

h

PROBLEMAS PROPUESTOS

N i v e l b á s ic o

a)

30

n

B) 15 N 1.

Para la barra mostrada, donde el resorte

30>/2N

está estirado, determine el correcto diagra-

p) 30-v/3 N

ma de cuerpo libre. Considere superficies lisas.

^

3.

12VÍO N

Para el bloque en reposo, determine la reacción de la pared lisa. (g= 10 m/s2)

B>14N

r v .

^

C) 16 N D) 20 N E) 11 N

4.

1/6 kg

En el gráfico, el sistema está en reposo; además, las poleas son ideales. Calcule la deformación del resorte de K= 5 N/cm. Datos: g = 10 m/s2, M - 2 kg

A) 1 cm B) 2 cm C) 5 cm D) 4 cm 2.

Para la esfera de 3 kg las reacciones de la

E) 7 cm

pared y del piso liso son iguales. Determine el módulo de F . (g=10 m/s2) 133

L u m b r e r a s E d it o r e s

5.

En el sistema en reposo, calcule la tensión

8.

en la cuerda (1).

El bloque de 2 kg resbala sobre el plano in­ clinado con velocidad constante. Si la reac­ ción del plano es de 40 N, calcule la medida del ángulo a . [g= 10 m/s2)

A) 37°/2 B) 53°/2

2 kg

C) 30° D) 60° A) 10 N

B) 14 N

D) 11 N

C) 32 N

E) 45°

E) 20VlÓ N 9.

6.

Sobre la barra mostrada, el muro ejerce

Para la barra de 2,SyÍ3 kg en reposo, calcule la reacción de la articulación. (g=10 m/s2)

una fuerza de 100 N. Calcule la reacción de la articulación. (g=10 m/s2)

A) 40 N

B) 140 N

D) 30V5N

C) 60^2 N E) 13 N

A) 25 N

B) 30 N

D) 75 N 7.

E) ION

En el sistema en reposo, el resorte está comprimido 20 cm y las tablas suman 10 kg. Calcule la masa de A. Datos: K= 200 N/m, g=10 m/s2

10. Para la placa mostrada, la tensión en la cuerda es de igual valor que su F g. Calcule el ángulo que forma la reacción de la articu­ lación con la horizontal.

A) 4 kg

A) 30°

B) 3 kg

B) 45°

C) 5 kg

C) 11°

D) 7 kg E) 2 kg 134

C) 50 N

D) 10° £ ........:..........H B

E) 18°

E s t á t ic a

11. En el sistema en reposo, determine el cocienR —► —► te -A , donde R a y R b son las reacciones Rb en el piso y en la pared. Considere que la placa triangular y la esfera tienen igual masa.

A) 30 cm

B) 28 cm

C) 27,4 cm E) 12,5 cm

D) 33,3 cm

14. Si en el gráfico se cumple que la reacción en la articulación es el 80% que la del piso liso, calcule la reacción del piso. ig = 10 m/s2)

A) 17/6 B) 4/7 C) 14/15 D) 6/13 LU

12/5

12. Si la placa cuadrada homogénea está en re­ poso, calcule la deformación del resorte de K= 120 N/m. (M =3 kg)

A) 12 N

B) 9 N

C) 12 N E) 15 N

D) 11 N

15. Para el sistema mostrado, indique verda­ dero (V) o falso (F) según corresponda.

A) 11 cm D) 15 cm

B) 22 cm

C) 10 cm E) 25 cm

I.

Los bloques son de igual masa si el sis­ tema está en reposo.

13. Para el sistema mostrado, determine la de­

II. Si B desciende con velocidad constante,

formación del resorte ideal de K= 210 N/m.

entonces la tensión en la cuerda es me­ nor que M B -g. III. En el estado de reposo se cumple que M, = sena. M, A) FVF D) FFF

B) FFV

C) VVV E) FVV

135

L u m b r e r a s E d it o r e s

16. Para la barra de 6 kg en reposo, calcule el ángulo que forma la reacción de la articu­

19. En el sistema en reposo, determine la ma­ yor masa de la esfera lisa. (g=10 m/s2)

lación con la vertical.

A) 0,5 kg D) 0,1 kg

B) 0,2 kg

C) 0,3 kg E) 0,6 kg

20. La barra que está en reposo es homogé­ A) 37° D) 30°

B) 0C

C) 53°/2

nea y está a punto de resbalar. Calcule el

E) 37°/2

coeficiente de rozamiento entre la barra y el piso.

17. Si el bloque desciende con velocidad constante, determine el módulo de

f.

A) 1/2 B) 2/3

(g= 10 m/s2)

C) 3/5 A) 12 N

D) 5/7

B) 60 N

E) 1/3

3m

C) 20 N D) 15 N

21. Si la barra se encuentra a punto de resba3 lar, determine la fuerza normal si |AS = —.

E) 14 N

(g=10 m/s2) 18. En el sistema mostrado, el bloque A está a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque A y el piso. A) 2/3 B) 3/5 C) 4/7 D) 3/2 E) 1/2 136

M D) 50 N

E) 28 N

E s t á t ic a

22. En el sistema mostrado, A no resbala sobre

A) 12 cm

6; además B realiza MRU. Indique verdade­

CO

ro (V) o falso (F) en las siguientes proposi­ ciones. Datos: MA= 2 kg, M B=3 kg

C) 14 cm

10 cm

D) 5 cm E) 7 cm 25. Si el sistema mostrado está en reposo, sien­ do B y D lisos, se cumple que

2 La fuerza de rozamiento sobre A es 8 N.

3

4

7

2kg-

5

Calcule el mayor valor de F. ig - 10 m/s2)

La reacción del plano inclinado sobre B

A B C D E

es 50 N. El coeficiente de rozamiento cinético jlis

entre 6 y el plano inclinado es tan25°. A) FVV

B) FFF

D) VVV

C) VVF

A) 27 N

E) FFV

D) 50 N

23. En el gráfico, C está en movimiento inmi­ nente. Calcule su masa. Datos: MA=3 kg, M B- 7 kg

=

0,2 |u s

=

B) 17 N

0,4 h s

=

0,1

C) 28 N E) 30 N

26. Para la placa de 12 kg, determine la menor masa de la esfera lisa. A) 15 kg B) 12 kg C) 6 kg D) 10 kg LU

8 kg

27. Para la barra homogénea en reposo, calcule la tensión en la cuerda. (g=10 m/s2) A) 2,8 kg

B) 4 kg

D) 1,1 kg

C) 2,3 kg 6 kg

E) 1,2 kg

9 cm 24. Si el bloque mostrado está a punto de res­ balar, determine la máxima deformación del resorte de K- 1000 N/m.

A) 20 N D) ION

B) 30 N

3 cm C) 40 N E) 5 N 137

L u m b r e r a s E d it o r e s

28. La barra mostrada está en reposo. Calcule la reacción en la articulación. A) 13 N B) 4N C) 6N D) 7N E) 9N

B) 1,6 kg

A) 1,2 kg 29. En el gráfico, la reacción en A excede en

C) 3 kg E) 0,8 kg

D) 2,4 kg

30 N a la reacción en B. Calcule la masa de 32. Si en el sistema mostrado la tensión en la cuerda (1) es el doble que en la cuerda (2),

la barra homogénea. (g=10 m/s2) 7 cm

calcule x. Considere que la barra es homo­

3 cm

génea y mide 1 m.

i B

(2)

(i)

A) 2 kg

B) 7 kg

E) 5 kg

D) 9 kg

30. El

sistema

C) 6 kg

mostrado

está

en

10 cm

6 kg 6 kg

reposo.

Calcule a qué distancia de P está el centro de gravedad de la barra.

A) 10 cm

B) 20 cm

C) 15 cm E) 60 cm

D) 5 cm

33. Si para la barra homogénea la tensión y la fuerza de gravedad tienen igual valor, calcule la medida del ángulo a .

A) 28 cm D) 26 cm

B) 29 cm

C) 20 cm E) 15 cm

31. Para la barra que se muestra, la fuerza de rozamiento estático es de 8 N. Calcule la masa de la barra. (g=10 m/s2) 138

A) 16° D) 45°

B) 30°

C) 37° E) 53°

-i E s t á t ic a

34. Para el sistema en reposo, calcule la masa

37. Se muestra una barra homogénea en reposo.

de B para que la barra de 3 kg esté en movi­

Si su masa es lisa y pesa 1,6 kg, calcule la

miento inminente.

masa del bloque.

2L

c.G.

2L

A) 2 kg

2l

B) 0,8 kg C) 1,2 kg D) 2,4 kg

A) 6 kg

B) 3 kg

C) 2 kg

E) 3,3 kg

E) 2,3 kg

D) 1 kg

38. La tabla mostrada es homogénea y de 35. Se muestra una placa triangular homogé­ nea en reposo. Determine la medida del ángulo a.

60 kg. Si la persona se ubica en el extremo derecho, ¿a qué distancia de A se concentra la reacción del piso? Datos: /Wpersona = 80 kg; /.barra = 2,8 m

A) 15° B) 50° C) 30° D) 20° E) 40° A) 1,3 m 36. Para el sistema de barras homogéneas en reposo, calcule el cociente entre la tensión en la cuerda y la reacción en la articulación. Considere que las barras tienen igual masa.

B) 2,2 m

D) 1,6 m

C) 0,8 m E) 2,1 m

39. El sistema mostrado está en reposo. Deter­ mine la medida de a .

M

A) 2/3 D) 3

B) 1

C) 2

A) 60°

E) 1/5

D) 30°

B) 45c

C) 53° E) 37° 139

L u m b r e r a s E d it o r e s

40. Si la placa triangular está a punto de resba­ lar y la esfera tiene igual masa que la placa,

A) 32 cm

B) 27 cm

D) 7 cm

C) 14 cm E) 10 cm

calcule el coeficiente de rozamiento entre la placa y el piso. 43. Si la barra homogénea de 4 kg está en re­ poso y doblada por su punto medio, calcule A) 0,1

la reacción de la articulación. (g= 10 m/s2)

B) 0,2 C) 0,5 D) 0,4 E) 0,3

□

41. Si la placa rectangular homogénea está en movimiento inminente, calcule la deforma­ ción del resorte de K= 5 N/cm. (g=10 m/s2) A) 8N

B) 15 N

D) 20 N

C) 30 N E) ION

44. Para el bloque de 10 kg en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones.

A) 5 cm

B) 6 cm

C) 4 cm E) 2 cm

D) 18 cm

42. Si para la barra homogénea el módulo de la tensión en la cuerda (1) excede en 20 N al de la tensión en la cuerda (2), calcule x. Dato: /-barra=97 cm

Sobre el bloque, la fuerza de rozamien­ to estático es de 40 N con 0>O°. Si el bloque está a punto de resbalar y la fuerza de rozamiento estático es 40 N, entonces 0 vale 0°. Si 0 = 90°, la reacción del piso es 60 N.

( 2)

polea ideal

( 1)

10 cm

x—x 8 kg 140

A) VVV D) FFV

B) FVV

C) FVF E) VFV

E s t á t ic a

45. Se muestra una esfera lisa en reposo. De­ termine la reacción de la pared lisa. Datos: Mesfera= 2 kg, g=10 m/s2

48. Si la placa cuadrada y homogénea está a punto de volcar sin resbalar, determine h. Datos: /-cuadrado=20 cm, g = 10 m/s2 “• / O..: :T ■ ¡i ' ' F= 20 N h

A) 10 cm

B) 20 cm

D) 16 cm

C) 15 cm E) 13 cm

46. La esfera mostrada es homogénea, pesa 9 kg y está en reposo. Calcule la fuerza de rozamiento estático sobre la esfera.

49. Si las barras de 2,4 kg son idénticas y homo­ géneas, calcule la reacción en el punto A. [g= 10 m/s2)

A) 60 N B) 20 N C) ION D) 30 N E) 40 N

47. Para la barra homogénea de 6 kg en reposo, determine la deformación del resorte de K= 20 N/cm. 50. En el sistema en reposo, la barra y el blo­ que son de igual masa. Calcule la medida del ángulo

o í.

A) 3 cm comprimido B) 5 cm estirado C) 3 cm estirado D) 8 cm comprimido E) 6 cm estirado 141

L u m b r e r a s E d it o r e s

N iv e l in t e r m e d io 51. Para la barra mostrada, indique el diagrama

53. Para el resorte comprimido en 10 cm se coloca encima de B, lentamente, un bloque de masa M y el resorte logra comprimirse en total 25 cm. Calcule M.

de cuerpo libre de la barra. A) 5 kg

2 kg fe '

B) 3 kg C) 4 kg D) 2 kg LU

punto más bajo

6 kg

54. Si sobre la esfera lisa las reacciones en A y en B tienen igual módulo, calcule la masa de la esfera. (/Wb,oque = 1,2 kg; g = 10 m/s2)

A) 3 kg D) 4,8 kg

52. La placa triangular lisa pesa 3 kg. Si la fuer­ za resultante es de 12 N, calcule la reacción del piso.

A) 29 N B) 14 N C) 30 N D) 10 N

142

C) 24 N E) 21 N

LU

D) 40 N

B) 32 N

C) 6 kg E) 6,3 kg

55. Si para el sistema en reposo se cumple que R T T — = — = — = 10, calcule la reacción entre 2 3 5 las barras, ambas de igual masa. [g = 10 m/s2)

A) 46 N

B) 2,4 kg

20 N

E s t á t ic a

56. La barra mostrada está en reposo. Determi­ ne la tensión en la cuerda. (g=10 m/s2)

59. En el sistema en reposo, indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Dato: M a = M b

A) 30>/3N B)

50V2N

C) 80 N

10V3 kg

D) 100 N E)

50V3 N

57. Se muestra una placa triangular equilátera de 9 kg. Determine la masa de la esfera.

Los módulos de la reacción en las pare­ des son iguales. Entre las esferas, la reacción es mayor al valor de la F g de cada esfera. Si la reacción entre las esferas es el do­ ble que la F g, entonces la línea que une los centros forma con la horizontal un ángulo de 30°.

A) 5 kg

B) 3a/3 kg

D) 5V3 kg

C)

2^2 kg

E) 4 kg

58. Para el sistema en reposo, calcule la medi­ da del ángulo a .

A) 37° D) 53°/2

B) 10°

B) FVV

A) VVV

C) VFV E) VFF

D) FFV

60. Si la placa triangular está a punto de resba­ lar sobre la superficie de la circunferencia, calcule el

C) 37°/2

A) 0,2

E) 53°

D) 0,75

j ís.

B) 0,3

C) 0,4 E) 0,6 143

L u m b r e r a s E d it o r e s

61. Para la barra homogénea de 6 kg, calcule la

A) 27 N

máxima masa del bloque para el reposo del sistema.

D) 20 N

B) 50 N

C) 40 N E) 30 N

64. En el gráfico, el bloque está a punto de res­ balar. Si la barra de 4 kg es homogénea y el bloque de 2 kg, calcule la masa de la esfera.

D) 11 kg

E) 12 kg

62. Se muestra una barra homogénea de 7 kg. Determine la diferencia entre la masa de los bloques. A) 3 kg

B) 6,5 kg

C) 6 kg D) 2,4 kg

E) 3 kg

65. En el gráfico, la esfera homogénea pesa 9 kg y la barra homogénea, 12 kg. Determi­ ne la tensión en la cuerda. A) 100 g D) 140 g

B) 333 g

C) 222 g E) 250 g

63. La esfera homogénea de 8 kg está a punto de resbalar. Determine la fuerza de roza­ miento estático. (g=10 m/s2)

A) 18 N D) 60 N

144

B) 30 N

C) 40 N E) 80 N

i ] j

E s t á t ic a

66. Se muestra una placa cuadrada de masa despreciable en reposo. Calcule la masa de A si los bloques B y C son de 4 kg cada uno. 2 Dato: tan a = 5

67. La barra homogénea está en reposo. Calcule - A , donde R son las reacciones en A y en B.

69. La barra homogénea está en reposo. Si su longitud es de 1 m, calcule

siendo M 1 M2 la masa de la barra y M2 la del bloque.

70. Si la barra de 7 kg está a punto de resbalar, calcule el coeficiente de rozamiento estático entre A) 0,5

A)

B) 0,75

^flL

C) 0,6 ^

2

D) 0,4

D) 5/7 E) 17/3

E) 0,1 B

A 71. Si el bloque está a punto de resbalar, deter­

68. La barra doblada es de masa despreciable y está en reposo. Determine la deformación

mine la masa de la esfera en reposo. Con­ sidere que la barra homogénea es de 5 kg.

del resorte de K=5 N/cm. (g = 10 m/s2) M _________ A)

1

cm

CQ

2

cm

3L

C) 3 cm D) 4 cm LU

5 cm

145

L u m b r e r a s E d it o r e s

72. Si la barra en reposo es de 3,72 kg y el blo­

75. Se muestra una estructura de barras de

que, de 1,86 kg, calcule a qué distancia de

masa despreciable. Calcule la reacción en P

A se encuentra el centro de gravedad de la

y la fuerza interna en la barra AB, respecti­

barra.

vamente.

B) 25 cm

D) 40 cm

C) 35 cm E) 45 cm

Determine la deformación del resorte de K= 8 N/cm. (g=10 m/s2)

A) 3 cm co

8 cm

A)

2 5 N;

B)

2 0 N;

2 0 ^ 5 N

C)

2 5 N;

2 5 ^ 2 N

D)

10 N; 1 5 N

LU

73. La barra que se muestra está en reposo.

Ni O fci Z

A) 30 cm

1 4 N; 1 7 N

C) 6 cm D) 4 cm

N iv e l a v a n z a d o

LU

5 cm 76. La placa triangular homogénea está en re­

74. Para la barra homogénea en 6 está a punto de resbalar, calcule el coeficiente de roza­

poso. Determine el ángulo 0 que define su estado de reposo.

miento cinético entre la barra y el disco A.

A m

30 cm e l_ V

o

¡No gira!

A) 0,1 D) 0,4 146

B) 0,2

C) 0,3 E) 0,5

,2

no

60 cm

0 0

10 cm

A) B)

37°

C)

45°

D)

53°

E)

60°

E s t á t ic a

77. Si los bloques y la cuña son de igual masa,

A) 39 N; 6 cm

calcule el cociente de -i-, donde R1 es la re^2 acción del piso y R2 del muro.

B) 25 N; 7 cm C) 30 N; 12 cm D) 40 N; 8 cm E) 60 N;

cm 3

80. En el gráfico, la reacción del piso se concen­ tra a 48 cm de A. Si la barra es de 104 cm, calcule cuánto puede sobresalir el extremo B del punto P cuando el bloque se ubique, A) 1/2

B) 1

D) 3

C) 2

justamente, en el extremo B.

E) 3/4

78. La placa triangular homogénea de 2,7 kg está en reposo. Determine la longitud natu­ ral del resorte de K= 500 N/m. (gr=10 m/s2)

A) 22 cm

A) 30 cm

B) 14 cm

C) 24 cm

C) 15 cm

D) 36 cm

B) 25 cm

E) 19 cm

D) 9 cm E) 17 cm

81. En el sistema mostrado, la placa de 10 kg resbala realizando un MRU. Determine la masa de la esfera homogénea y lisa.

79. La barra lisa está en reposo. Calcule la reac­ ción de la pared y a qué altura respecto de L está su centro de gravedad.

2,4 kg

LLJ

A) 2 kg

co

Dato: /V7barra = 8 kg

1,5 kg

C) 1,2 kg D) 1/6 kg

147

L u m b r e r a s E d it o r e s

82. Si la masa de los bloques son iguales, deter­ mine la medida del ángulo a.

A) 0,6

B) 0,4

D) 0,3

A) 78°

C) 0,2 E) 0,5

85. Si la placa triangular está a punto de res­

B) 36°

al actuar perpendicularmente al lado AB si

uj oo

balar, calcule en cuánto debe aumentar F

C) 51°

también la placa estará a punto de resbalar.

D)

Dato: Mp|aca = l,7 kg

E) 45°

83. Si la placa triangular está a punto de resba­ lar, calcule la reacción de la esfera lisa sobre el plano inclinado.

B A) 2,4 N

B) 22 N

E) 12 N

D) 34 N

A) 40 N

B) ION

D) 10V3N

C) 20 N

C) 17 N

86 . Para la barra en reposo, ¿a qué distancia de P se encuentra su centro de gravedad?

E) 20V3N A) 10 cm

84. Si la placa rectangular homogénea está a punto de volcar y resbalar, calcule el coefi­ ciente de rozamiento estático entre la placa y el piso.

B) 50 cm C) 24 cm D) 30 cm UJ

3L

16 cm

>P 87. Para la barra homogénea en reposo, de­ termine la deformación del resorte de K= 237 N/m. Datos: M bana=7 kg, g = 10 m/s2

148

E s t á t ic a

A) 1/7 A) 15 cm

B) 10 cm

C) 20 cm

B) 3/7

C) 4/3 E) 1/9

D) 2/5

E) 1 cm

D) 7 cm

91. Para el sistema mostrado, determine la ma­

88.

Si se desea que las reacciones en los apoyos A y B sean iguales, ¿a qué distancia de A debemos aplicar una fuerza vertical hacia

yor y la menor relación de

si M2 masa de la esfera y M 2 del bloque.

es la

arriba de 20 N? Considere que la barra ho­ mogénea es de 10 kg.

70 cm

10 cm

£

A) 60 cm

B) 30 cm

D) 15 cm

C) 20 cm E) 18 cm A) 2/3; 3/7

89. Si la barra de 0,6 m es lisa y está en reposo,

B) 3; 1/3

D) 1/2; 2/5

C) 2; 1/2 E) 1; 1/5

calcule a qué distancia de P está su centro 92. Si deseamos mantener en reposo a la placa

de gravedad.

rectangular homogénea, calcule el menor valor de F . Dato: Mp|aca= l,5 kg

A) 25 cm B) 30 cm C) 35 cm D) 22 cm E) 16 cm P 90. Si el bloque de 7,13 kg está a punto de res­ balar, calcule el coeficiente de rozamien­ to entre el bloque y el plano inclinado.

A) 2 N

(g=10 m/s2)

D) 3 N

B) 4 N

C) 5 N E) 1 N 149

L u m b r e r a s E d it o r e s

93. Para el bloque de 5 kg en reposo, el módu­

A) 20 N

lo de F va aumentando y se ha construi­

B) 18 N

do una gráfica F v s ./ . Indique el valor de tan0 y de b.

C) 12 N 0,5

D) 15 N E) ION

96. Las barras idénticas de 2 kg son homogé­ neas y están en reposo. Calcule la deforma­ ción del resorte de K= 90 N/m.

A) 0,6; 20 N

B) 0,6; 25 N

C) 1; 25 N ■ D) 0,5; 25 N

E) 0,5; 20 N

94. En el sistema en reposo, las barras son homogéneas. Calcule M i . Ml

A) 13 cm

B) 8 cm

D) 20 cm

C) 10 cm E) 25 cm

97. Para la barra homogénea en reposo, deterD mine -A . Considere que son superficies lisas. Datos: Lbana= 39 cm, dAC= 10 cm

A) 2/3

B) 4/3

D) 2/3

C) 3/5 E) 3/2

95. El bloque de 3 kg está a punto de resbalar sobre la superficie. Determine el módulo

150

de una fuerza horizontal hacia la derecha aplicada sobre el bloque para que no haya

A) 9/5

tendencia a resbalar.

D) 3/7

B) 1

C) 5/12 E) 4/11

E s t á t ic a

98. Si el bloque B está a punto de resbalar, de termine el módulo de F . Datos: M A=5 kg, M B= 10 kg

A) 10 N; 40 N B) 20 N; 32 N C) 30 N; 10 N D) 20 a/2 N; 40 N E) 20V5 N; 30 N

101. Para el sistema en equilibrio, la cuña trian­ gular es de 10 kg y la esfera, de 7 kg. Si el pe­ queño bloque es liso y la polea es de masa despreciable, calcule el módulo de la reac­ A

A) 8N

ción del piso sobre la cuña. (g=10 m/s2) B) 12 N

D) 14 N

C) ION E) 6N

99. Para la barra homogénea de 2,5 kg, deter mine la tensión en la cuerda.

A) ION

A) 200 N

B) 80 N

D) 400 N

B) 250 N

C) 300 N E) 500 N

C) 50 N 102. Se muestra un bloque cúbico homogéneo

D) 20 N

a punto de resbalar. Calcule el cocien­

E) 30 N

te de ^ 1, donde M-r. masa del bloque y M2 100. Para la estructura de barras de masa des preciable, calcule la reacción en A y la trac

M 2: masa de la esfera.

ción o tensión de la barra CD.

N

A) sena D) 2sena

B) cosa

C) l/2 se n a E) 2cosa 151

L u m b r e r a s E d it o r e s

103. En el sistema mostrado, la esfera de 6 kg y

105. En el gráfico se muestra un bloque cúbico

la cuña lisa de 4 kg están en reposo, de tal

sobre una superficie horizontal que se en­

modo que sobre ambas la reacción del piso es de igual módulo. Calcule en cuánto pue­

cuentra en reposo con una superficie cónica

de incrementarse, como máximo, el módu­ lo de F (fuerza siempre horizontal) para el reposo del sistema.

A) 50V3N

B)

30V3N

D) 20V3N

formada con una placa homogénea, tam­ bién en reposo. Considerando que son su­ perficies lisas, calcule el módulo de la reac­ ción en A. Datos: Mcono=20 kg, g= 10 m/s2

C) 60>/3 N E) 50 N

104. La barra que se muestra está en movimien­ to inminente doblada por su punto me­ dio, considerándola homogénea. Calcule x (L: longitud de la barra)

A) 50 N

B) 80 N

D) 100 N

C) 400 N E) 70 N

106. Se muestra sobre un plano inclinado un pe­ queño bloque en reposo. Si sobre el bloque actúa una F , paralela al plano inclinado y horizontal, calcule el máximo valor de F . Datos: Mbloque=

kg, g=10 m/s2, a= 3 0 °

A) - c o s a L 2a B)/ -se 2 n — 2 C)

L 2a —eos — 2 2

L( 2a D) d 1 + sen y A) ION E)

152

-

2a 1 + eos —

D) 11 B

B) 12 N

C) 15 N E) 8N

E s t á t ic a

107. En el gráfico se muestra una placa trian­

109. Se muestra una semiesfera homogénea en

gular homogénea en reposo a punto de

dos situaciones a punto de resbalar. Deter­

resbalar y volcar. Calcule el coeficiente

mine 0, siempre que la masa del bloque sea

de rozamiento estático entre la placa y el

la menor posible.

piso. Considere que la cuerda es colineal al segmento AB. (g=10 m/s2)

12 cm

18 cm

A) 2/3

B) 3/4

D) 5/6

C) 4/5 E) 1/2 A) 62°

108. En el sistema en equilibrio, la esfera lisa y la

D) 25° x* *

placa son de 20 kg cada una. Sabiendo que la placa está a punto de resbalar, calcule la

B) 37°

'

^

-

' -c Jl". • >

C) 28° E) 22°

■1

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; .

110. Se muestra un bloque con sección trans­ versal hexagonal, considerando hexágono

masa del pequeño bloque.

regular y bloque homogéneo que no llega a rotar, pero estará a punto de hacerlo justo cuando también esté a punto de resbalar. Calcule el coeficiente de rozamiento estáti­ co entre el bloque y el piso.

A) 8,5 kg D) 7,1 kg

B) 6,8 kg

C) 3,6 kg

A) 0,50

E) 5,8 kg

D) 0,58

B) 0,54

C) 0,56 E) 0,61

153

L u m b r e r a s E d it o r e s

.....

111. En el gráfico se muestra una caja rectángu-

A) 7,1kg

lar de longitudes A B= L1 y BC=L2, que se

D) 3,8 kg

B) 8,6 kg

C) 3,9 kg E) 5,4 kg

encuentra en estado de reposo. Si en A se aplica una fuerza paralela al plano inclinado y dirigida hacia abajo de él, la caja estará

113.Se muestra una barra homogénea en un

por volcar sin llegar a resbalar. Calcule el

plano horizontal en dos situaciones en re­

módulo de F .

poso. Si las fuerzas F1 y F2 son horizontales y actúan perpendicularmente a la barra y el

A

coeficiente de rozamiento estático entre la barra y el piso es igual para ambos casos, calcule el coeficiente de — .

B)

C)

M g ( L1 n n — co sp -senp 2 k L2 Mg 31

(b) A) 1/2

(/.1c o sß -L 2senß)

D) 2/3

D) Mg c o sß - — senß

E)

M gí 4

B) 1

E) 3/4

14. En el gráfico, las cuatro barras son homo­ géneas y de igual masa, pero de diferente

c o s ß - — senß

longitud. Para el reposo del sistema, calcule el ángulo (3 en función de a . A

112. Se muestra un cilindro empotrado en la pa­ red (no puede rotar). Si entre las cuerdas y el cilindro existen rugosidades con un coeficiente de razonamiento estático |US/ calcule la mayor masa del bloque si el sisteí is = — 2i ma esta en reposo. U V

n j

A) a B) 3a C) a/3 D) arctan(3tana) tana E) arctan 154

C) 1/3

B

'’ F

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03

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.... D |6 6

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HECHT, Eugene. Físico en perspectiva. Bogotá: Addison Wesley Iberoamerica­ na, 1990. MÁXIMO, Antonio y Beatriz ALVARENGA. Física general. México D. F.: Edi­ torial Oxford, 1998. RESNICK, Robert; HALLIDAY, David y Kenneth KRANE. Física. Volumen I. Terce­ ra edición. México D. F.: Compañía Editorial Continental S. A. de C. V., 1978. SEARS, Francis; ZEMANSKY, Mark y Roger FREEDMAN. Física universitaria. Novena edición. México D. F.: Pearson Educación, 1999. TARG, S. Curso breve de mecánica teórica. Moscú: Editorial Mir, 1976. TIPLER, Paul. Física. Volumen I. Bilbao: Editorial Reverté S. A., 1995. YAVORSKI, Boris y Andrei DETLAF. Prontuario de Física. Moscú: Editorial MIR., 1988.

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