Estática Matricial - Teoria y Problemas Resuletos

FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA

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INGENIERÍA CIVIL

S ANDRO L ANDEO A.

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PROLOGO El presente trabajo, se basa en Problemas Resueltos de Armaduras planas y tridimensionales estáticamente estáticamente determinadas determinadas usando usando el Método Matricial, que hoy en día son los métodos más usados para cálculos avanzados. Esperemos que este trabajo sirva de guía y práctica en provecho de nuestra sociedad en sacarle adelante para los futuros estudiantes. Espero haya cumplido con mi deber deber de divulgar los conocimientos conocimientos en alcance de todos.

 ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________ ____  Al Ing. Reyder Eusef Bendezú Boza, por haber compartido sus grandes conocimientos y logros durante mi formación profesional (2013 - II) y a los estudiantes de la Escuela Escuela Profesional de Ingeniería Ingeniería Civil –  Huancavelica,  Huancavelica, por sus inquietudes, me hizo realizar el trabajo.  ______________________  _________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ _______________  ____ 

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 _____________________  ________________________________ ___________________ ________  A mi madre Teófila Antezana Vargas y a mis hermanos Elvis, Yuliño, Romaldiño y  Yésmila por su apoyo incondicional y por confiar en mí.  _____________________  ________________________________ ___________________ ________ 3

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INDICE Pág.  ........... 5 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ........................ ....... 9 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 11 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 15 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 19 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 22  ......... 26 ................................. ................................................. ................................. .................................. .................................. ...................... ..... 27 ............................... ................................................ .................................. .................................. .................................. ...................... ..... 30

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En los métodos de estudio para armaduras planos y tridimensionales determinados en Materia de Estática, se usan los métodos más comunes Método de Nudos y Secciones para determinar las fuerzas en los miembros, Básicamente el Método de Nudos, finalmente llega a un sistema de ecuaciones lineales, haciendo el uso de

∑  =   ∑ =

en cada nudo y

∑  =  para determinar las reacciones.

El procedimiento para el análisis de Método Matricial para armaduras, es

sencillo para determinar las fuerzas fuerzas y reacciones, reacciones, solo es determinar los cosenos directores y se toma el inicio y final de los elementos y grados de libertad o las ecuaciones que se dan en cada nudo , en los ejes “x” y “y”, para cada elemento. Tener presente la siguiente restricción. Para una armadura plana se deriva la siguiente expresión

:ú : ú    :ú : ú      :ú : ú   

=+

Cuando se cumple esta expresión hay tantas ecuaciones como fuerzas desconocidas, suponiendo que no hay inestabilidades geométricas, el sistema

de ecuaciones tendrá una una solución. Para el proceso, cada elemento elemento se supone en tensión y es conveniente que las reacciones tengan en sentidos positivos para más practico se hará el proceso en el ejemplo siguiente. La orientación de un miembro de una armadura puede describirse definiendo los cosenos dire ctores del eje “ x´ ” local del miembro, hay dos cosenos directores directores para para cada eje “ x´ ”, los cosenos directores son los

ángulos a y b

como se muestra en la figura pro siguiente. El ángulo “a” se mide desde el eje

x positivo hacia hacia al eje x´, el ángulo de “b” se mide desde el eje y hacia el eje x´.

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ Y 

X´

(Xf ,Yf )

b

B

a

L

Dy

b a

A (Xi,Yi)

X

Dx

 = (    );  = (   ) ;  = √ (    ) + (   )  (    ) (   )   ; =   = = = √ (    ) + (   )  √ (    ) + (   )   =  ;  == 

Para el siguiente ejemplo será tomara como ejemplo para determinar la la matriz estática. 2 20 Ton

:Vector de Fuerzas Conocidas Externas

15 m

:Matriz Estática :Vector de Fuerzas desconocidas Internas

4

1

3 20 m

20 m

 =  +  ;   = ;   = ; ; =  Inicio y final de cada elemento y posición de fuerza unitaria para cada elemento. 2

Y 

(20,15)

2

(20,15)

20 Ton

1

15 m

3

15 m 2

1

(0,0)

(20,0)

(40,0)

3 20 m

(0,0)

4 X

20 m

1

4 4

20 m

3

(20,0)

5

 

(40,0)

20 m

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Coordenadas locales de cada elemento. 2

Y 

(20,15)

 y  ´   

1   y  ´

x  ´   

  y      ´        x      ´       

  x  ´

15 m

3 2

y´

y´

(0,0)

x´

x´

1

3

4

(20,0)

4  

5

(40,0)

X

20 m

20 m

Construyamos la matriz estática usando el siguiente gráfico. 4

Y

20 Ton

2

3

1 3 2

2

6

1 R1x =1

1

R4=1

0.6

1

1 2

1

1

4

elementos

0.8

-0.8

6 1

y´

  x  ´

3

0.6  y  ´   

3

x  ´   

5

4

8

3

7

x´

-1

-0.8

X

Cosenos directores de los

3

  y  ´

7

4

5

R1y=1

1

1

5

3

4

4

2

8

4

-0.6

1 cos(0°)=1 sin(0°)=0

0.8 -0.6

1

Para determinar la matriz estática, nos conviene armar por columnas, como vemos para la columna N° 01. El elemento inicia en nudo N° 01 y termina en N° 02 y los cosenos directores directores se ubican de acuerdo al grado de libertad o la ecuación en los eje “Y” y “Y” respectivamente según el grafico anterior y como vemos que los grados de libertad, que están ubicados en un sentido positivo y los cosenos están en sentido contrario por lo tanto se ubicaran con sus respectivos signos determinados. De igual manera para los elementos que existen en la armadura se hace los mismos procedimientos. 7

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Para las reacciones, las reacciones también se consideran como un elemento y esta con ángulos de 0°y 90° y los cosenos directores es 1 y 0 y se ubican de acuerdo a los grados de libertad en la armadura, para apoyos móviles solo habrá una reacción y apoyos fijos habrá en sentido “x” e “y”.

FUERZAS Y LAS REACCIONES 1 2 3 4 5 6 7 8

GRADOS DE LIBERTAD

F1 -0.8 -0.6 0.8 0.6 0 0 0 0

F2 0 0 0 1 0 -1 0 0

F3 0 0 -0.8 0.6 0 0 0.8 -0.6

F4 -1 0 0 0 1 0 0 0

F5 0 0 0 0 -1 0 1 0

Rx1 1 0 0 0 0 0 0 0

Ry2 Ry4 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []

Cálculos de inversa de la matriz estática F1 0 0 F2 0 0 F3 0 0 F4 0 0 F5 = 0 0 Rx1 1 0 Ry2 0 1 Ry4 0 0

0.6250 0 -0.6250 0.5000 0.5000 1 0.3750 -0.3750

0.8333 0 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5

0 0 0 1 0 1 0 0

0.8333 -1 0.8333 -0.6667 -0.6667 0 0.5 0.5

0 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 20 0 0 0 0 0

Fuerzas resultantes de los elementos y las reacciones en los apoyos F1= 12.50 Tracción F2= 0.00 Tracción F3= -12.50 Compresión F4= 10.00 Tracción

F5= Rx1= Ry2= Ry4=

10.00 Tracción 20.00 7.50 -7.50

2 20 Ton

  n    T o

  5  0   2.   1   +

T    o  n  

0.00

+10.00Ton

+10.00Ton

1 20 ton

-  1    2    .5    0   

15 m

4

3 7.5 ton

7.5 ton

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Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 170  –  Estática)  Estática) 4

  = .2 . 2.

5 2 Ton

2m 2 Ton

3

2 Ton

6 2m

1

2

2m

4m

1m

Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 12 (0,4)

4

(4,4)

11

10 9

9

5

4 5

6 (-2,2)

2m

8

2 Ton

2 Ton

2 Ton

8

3 5

(5,2)

6

7

2

6

7

2m

1

2 R1x=1

1

(0,0)

1

2m

(4,0) 3

4m

R1y=1

2

4 3 1m

R2=1

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Datos para obtener la matriz estática con los cosenos directores de cada elemento. Iniciales ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Finales

      0 0 0 -2 4 -2 4 5 0

0 0 0 2 0 2 0 2 4

-2 4 4 0 0 5 5 4 4

2 4 0 4 4 2 2 4 4

2.8284271 5.6568542 4 2.8284271 5.6568542 7 2.236068 2.236068 4

Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 [B]= 6 7 8 9 10 11 12

-0.7071068 0.7071068 1 0.7071068 -0.7071068 1 0.4472136 -0.4472136 1

0.7071068 0.7071068 0 0.7071068 0.7071068 0 0.8944272 0.8944272 0

[] = []:

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 Rx1 Ry1 R2 0.7071 -0.7071 -1.0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0.7071 -0.7071 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1.0 0 0.7071 0 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 -0.7071 0 -0.8944 0 0 0 0 1 -0.7071 0 0 -0.7071 0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 -0.7071 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.4472 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0.8944 -0.8944 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 -0.4472 1 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0.8944 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 -0.7071 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0

[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []

Cálculos de inversa de la matriz estática 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1

2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000

0.7071 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 0.0000 -1.5000 0.5000

2.1213 -2.8284 2.5000 2.1213 -2.1213 -3.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -0.5000 0.5000

-1.0607 1.4142 -1.7500 -1.0607 1.0607 1.5000 -2.2361 -1.1180 -1.5000 0.0000 0.2500 -1.2500

1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 2.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000

-1.4142 1.4142 -2.0000 -1.4142 1.4142 2.0000 -2.2361 -2.2361 -2.0000 0.0000 0.0000 -1.0000

1.4142 -2.8284 2.0000 1.4142 -1.4142 -2.0000 2.2361 2.2361 3.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000

1.4142 0 -2.8284 0 3.0000 0 1.4142 0 -2.8284 2 -2.0000 * 2 2.2361 0 2.2361 0 3.0000 2 0.0000 0 -1.0000 0 0 0.0000

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [ton].

F1= F2= F3= F4= F5= F6=

-8 16.97 -14.00 -11.31 11.31 12.00

Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal [Ton] Tracción F7= -13.42 [Ton] [Ton] Compresión F8= -13.42 [Ton] [Ton] Tracción F9= -16.00 [Ton] [Ton] Tracción Rx1= 4.00 [Ton] [Ton] Compresión Ry1= 6.00 [Ton] [Ton] Compresión R2= -4.00 [Ton]

Tracción Tracción Tracción

Grafica de Fuerzas Resultados finales en cada elemento. (C) F9=16 Ton

2 Ton

2 Ton

  n (C)    T  o    1    3  .    1    1 4   =    7    F

2 Ton

9

4

5

F     5      =  

F     8      =   

   n    o     T     7     9  .    6    1   =     F 2

1    1    . 3     (T) 1    T     o   n   5

1      3      (C) . 4      2      T       o     n    

8

3 F6=12 Ton

6

(T) (T)

   n    o     T     7     9  . 2    6    1   =  2     F

F    1  =   =8       (C) T    o  n   1

F6=12 Ton

F     5      =  

1    1    . 3     3     1    T     o   n  

6 7

   =     F  7

(C)

1

F3=14 Ton

    n     o       T       2      4 . (C)       3      1

2

3

R1x =4 R1y =6

R2=4

Para la armadura mostrada en la figura, determinar por el Método Matricial las fuerzas en cada una de los elementos y las reacciones y calcular los esfuerzos en cada elemento si la sección es igual para todos de (Ing. Luis E. Gamio Arisnabarreta - Pág. 167  –  Estática).  Estática).

  = .2 . 2.

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____ 7 2 Ton

6 5

4

4 Ton

3

2

1

Discretezando la armadura de 2D con sus respectivas coordenadas, los grados de libertad y el sentido de cada elemento inicio y final. 14 (2.7,4.5) 13

2 Ton

7

10

6

9

12 (1.8,3) 11

(3.6,3) 8

5

10 9

7 6

8

5

(0.9,1.5)

47

(4.5,1.5) 4

6 5 4 Ton

3

1 2

3

2 (0,0)

R1x =1

4 1

1

R1y =1

(5.4,0)

R2x =1

3

2

R2y =1

12

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Iniciales

ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 

Finales

   

0 0 5.4 0.9 4.5 0.9 0.9 1.8 3.6 1.8

0 0 0 1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3

0.9 4.5 4.5 4.5 3.6 3.6 1.8 3.6 2.7 2.7

1.5 1.5 1.5 1.5 3 3 3 3 4.5 4.5

1.7493 4.7434 1.7493 3.6 1.7493 3.0887 1.7493 1.8 1.7493 1.7493

Matriz estática GDL\F 1 2 3 4 5 6 [B]= 7 8 9 10 11 12 13 14

F1 F2 -0.5145 -0.9487 -0.8575 -0.3162 0 0 0 0 0 0.9487 0 0.3162 0.5145 0 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F3 0 0 0.5145 -0.8575 -0.5145 0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0

F4 0 0 0 0 1.0 0.0 -1.0 0.0 0 0 0 0 0 0

F5 0 0 0 0 0.5145 -0.8575 0 0 -0.5145 0.8575 0 0 0 0

0.514496 0.948683 -0.514496 1 -0.514496 0.874157 0.514496 1 -0.514496 0.514496

0.85749293 0.31622777 0.85749293 0 0.85749293 0.48564293 0.85749293 0 0.85749293 0.85749293

[] = [] ∶

F6 0 0 0 0 0 0 -0.8742 -0.4856 0.8742 0.4856 0 0 0 0

F7 F8 F9 F10 R1x R1y R2x R2y 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0 0 0 0 0 0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.0 -0.8575 0 0 0 0 0 0.5145 -1.0 0 -0.5145 0 0 0 0 0.8575 0.0 0 -0.8575 0 0 0 0 0 0 -0.5145 0.5145 0 0 0 0 0 0 0.8575 0.8575 0 0 0 0

[]− y vector de fuerzas []. [] = []− ∗ []

Cálculos de inversa de la matriz estática 0

[F]=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1

0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 -0.5270 -0.9718 0.0000 0 0 0 0 0 0 -0.5000 -0.1667 0.5000 -0.8333 -0.8333

0 -0.878 0.324 1.000 0 0 0 0 0 0 -0.833 -0.278 -0.167 0.278

-1 0.527 -0.194 -0.600 0 0 0 0 0 0 -0.100 -0.833 0.100 -0.167

0 0 1 1 0 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 1

0 0 -1 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1

0 0 1 1 0 -1 0 1 0 0 -1 -1 0 1

-1 0.264 -0.389 -0.300 -0.292 0.515 -1.166 -0.600 0.000 0.000 -0.200 -0.667 0.200 -0.333

-1 0.000 0.972 0.000 0.972 0.000 -0.972 0.000 0.972 -0.972 -0.500 -0.833 -0.500 0.833

-1 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 0.000 -0.583 -0.583 -0.300 -0.500 0.300 -0.500

0.00 0.00 0.00 0.00 -4.00 0.00 * 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -2.00 0.00

13

INGENIERÍA CIVIL

S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [Ton].

F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7=

-1.944 -3.514 3.239 0.000 1.944 0.000 -1.944

Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal [Ton] Compresión F8= 0.000 [Ton] Tracción [Ton] Compresión F9= 1.944 [Ton] Tracción [Ton] Tracción F10= -1.944 [Ton] Compresión [Ton] Tracción R1x= -4.333 [Ton] [Ton] Tracción R1y= -2.778 [Ton] [Ton] Tracción R2x= -1.667 [Ton] [Ton] Compresión R2y= 2.778 [Ton]

2 Ton

    n     o       T

7

    4     4     9  .     1    =     0  1

6     n     o       T

    4     4     9  .     1    =     F  7

1     . 9     4     4    

10

    F

T        o     n    

9

 Ton .000 To F8=0.00 8

 o  n   T   0

7

F      9      =   

5

  0   0 .   0   =

  F 6

6

F      5       =   

5

1     . 9     4     4    

T        o     n    

 Ton .000 To F4=0.00

    n     o       T

    4     4     9  .     1    =     F  1

4

4

 o n

1

 T  1 4  5 .  3

  F 2 =

2

4 Ton

3 F      3      =   

3     3 . 2     3     9    

T        o     n    

1

2 R2x=1.667 ton

R1x=4.333 ton R1y =2.778 ton

R2y =2.778 ton

14

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S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Por el Método Matricial determinar las fuerzas en cada uno de los elementos de la armadura mostrada y las reacciones (Ing. Reyder E. Bendezú Boza Examen de Métodos Numéricos Aplicados  –  2013  2013 –  II  II –  UNH.)  UNH.)

2.00 m

1.00m

P(KN)

1.00 m

P(KN) P(KN)

P(KN)

2P(KN)

2P(KN) 4.00m

30°

15

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S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

1.00

2.00

P(KN) (1,4) 6 5 P(KN)

1

:# Elementos :# Nudos (x,y) :Coordenadas P: :Fuerzas

1.00

P(KN) (3,4) 8 P(KN) 7 g

8

6

g

2

b

7

Ángulos respectivos g=atan(2/0.5) g=75.9638° 2 a=90°-75.9638° a=14.0362°

10 2P(KN) (3.5;2) 4.00 9

4

3

P(KN) a

9

5

(0.5,2)

3

4

Psen(a)=0.9701 P Pcos(a)=0.2425 P 2Psen(a)=0.4851 P 2Pcos(a)=1.9403 P

4

1 2

30°

a

b

2P(KN)

R1*sen(30)

0.5

3

2

51

(0,0)

6

R1*cos(30)

12 11 R2

(4,0)

R3

Cálculos previos para cada elemento COORDENADAS ELEM. Xi Yi Xf Yf 1 0 0 0.5 2 2 0 0 3.5 2 3 4 0 0.5 2 4 4 0 3.5 2 5 0.5 2 1 4 6 0.5 2 3 4 7 3.5 2 1 4 8 1 4 3 4 9 3.5 2 3 4

LONG. 2 2.061553 2.061553 3.201562 3.201562 2.061553 2.061553 4.031129 4.031129

COS(x) 1.000 0.243 -0.243 -0.781 0.781 0.243 -0.243 -0.868 0.868

SEN(x) 0.000 0.970 0.970 0.625 0.625 0.970 0.970 0.496 0.496

[] = [] 16

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

GDL\F -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.86824 -0.49614 0 0 0 0 0 0 0.86824 0.49614 0 0

0 0 0 0 -0.86824 0 0.49614 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0.97014 0.86824 0.24254 -0.49614 -0.97014

0 0 -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.50000 0 0 0 0 0 0.86603 0 -0.78087 0 0 0 0 0 -0.62470 0 0 0 0 0 0 -0.78087 -1 0 0 0 0 0.62470 0 0 0 0 0.78087 0 1 -0.24254 0 0 0.62470 0 0 0.97014 0 0 0 0.78087 0 0.24254 0 0 0 -0.62470 0 -0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

[] + [] ∗ [] =  0.0000 P

-0.24254

0.0000 P

0

0

0

0

0

0

0.50000

0

0

0

0

0

0

0

0

0.86603

0

0

1.9403 P

-0.97014 -0.49614 0 0.24254 0 -0.86824

0

-0.24254

-0.78087

0

0

0

0

0

0

-0.4851 P

0.97014

0

0.49614

0

-0.97014

-0.62470

0

0

0

0

0

0

0.9701 P

0

0

0

0

0.24254

0

-0.78087

-1

0

0

0

0

-1.2425 P

0

0

0

0

0.97014

0

0.62470

0

0

0

0

0

-0.9701 P

0

0

0

0

0

0.78087

0

1

-0.24254

0

0

0

-1.2425 P

0

0

0

0

0

0.62470

0

0.97014

0

0

0

-1.9403 P -0.4851 P

0 0

0.8682 4 0.49614

0 0

-0.24254 0.97014

0 0

0 0

0.78087 -0.62470

0 0

0.24254 -0.97014

0 0

0 0

0 0

0.0000 P

0

0

0.86824

0.24254

0

0

0

0

0

0

0

1

0.0000 P

0

0

-0.49614

-0.97014

0

0

0

0

0

0

1

0

0 0 0 0 -0.78087 0.62470 0 0 0.78087 -0.62470 0 0

0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0

-0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.86824

-0.86824 -0.49614 0 0 0 0 0 0 0.86824 0.49614 0 0

0

0 0 0 0 -0.86824 0 0.49614 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0.97014 0.86824 0.24254 -0.49614 -0.97014

[]= [[]]

0 0 -0.24254 -0.97014 0.24254 0.97014 0 0 0 0 0 0

0.000 P 0.000 P 1.940 P -0.485 P 0.970 P -1.243 P -0.970 P -1.243 P -1.940 P -0.485 P 0.000 P 0.000 P 0 0 -0.78087 -0.62470 0 0 0.78087 0.62470 0 0 0 0

= 0

0 0.50000 0 0 0 0.86603 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.24254 0 0 0 0.97014 0 0 0 0.24254 0 0 0 -0.97014 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

17

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

[] = []− ∗ [] 0.6872 -1.3437 -1.3437 0.6872 -1.3744 2.1344 2.1344 -2.0000 -1.3744

-0.3967 0.7758 0.7758 0.7758 -0.3967 0.7935 -1.2323 -1.2323 1.1547 1.1547 0.7935 0.0000 1.1547 0.0000 0.0000 1.0000 -0.5774

0.4029 0.2199 -0.7879 -0.1125 0.2249 -0.3493 -0.3493 0.3274 0.2249 0.5774 -0.5000 0.7113

0.7051 0.3849 0.6368 -0.1968 0.3937 -0.6114 -0.6114 0.5729 0.3937 1.0104 0.1250 -0.5052

0.8058 0.4399 -0.2320 -0.9121 0.4499 0.3685 -0.6987 -0.3453 -0.2373 1.1547 -1.0000 0.4226

0.6044 0.3299 0.4979 0.0031 1.3682 -0.7908 -0.5240 0.7410 0.5092 0.8660 0.2500 -0.4330

0.8058 0.4399 -0.2320 -0.9121 0.4499 0.3685 -0.6987 0.6547 -0.2373 1.1547 -1.0000 0.4226

0.2015 0.1100 -0.0580 0.8027 0.1125 0. 0921 -0.1747 -0.1747 0.1637 0.9715 0.2887 0.7500 -0.1443

0.4029 0.2199 -0.7879 -0.1125 -0.8058 1.2514 1.2514 -1.1726 -0.8058 0.5774 -0.5000 -0.5000 0.7113

0.1007 0.0550 -0.1970 1.0027 -0.2015 0.3129 0.3129 -0.2932 -0.2015 0.1443 0.8750 -0.0722

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0.000 P 0.000 P 1.940 P -0.485 P 0.970 P -1.243 P -0.970 P -1.243 P -1.940 P -0.485 P 0.000 P 0.000 P

Fuerzas en los elementos horizontales, verticales y trasversales. Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal

F1= F2= F3= F4= F5= F6=

-1.3921 P -0.7599 P -0.7599 P -1.3921 P 0.0670 P -2.0930 P

[KN] [KN] [KN] [KN] [KN] [KN]

Compresión Compresión Compresión Compresión Compresi ón Tracción Compresión

1.00m

F7= F8= F9= R1= R2= R3=

P(KN) P(KN)

F8=0.6805 P [K N]

P(KN)

8

                 ]                     N                      [K                     P                P              0        7              6            . 0              0

F      

9      

=    

5

    =  5       F

[KN] Compresión [KN] Tracción [KN] Tracción [KN] [KN] [KN]

1.00 m

2.00 m

P(KN)

-2.0930 P 0.6805 P 0.0670 P -1.9949 P -1.7276 P 0.9974 P

   ]    N    K     [     P   0   9  3   0 . 6   =  2

   F  6

F    7   =  

7

2  .0   9 9  3   0  P   [    K    N     ]   

0             .0               6             7             0             P               [ K                 N               ]               

2P(KN)

2P(KN)

4.00m                  ]                     N                      [K                     P              1              2              9            . 3              1

    =  1       F

30°

F      

4      

1

  ]    K  N   [    P

 9 9   7 .  5  0   =

  F  2

2

F    3  =   =0     

.7   5   9   9   P  

3

 [  K   N    ]  

4

=    

1             .3               9             2             1             P            

      [K                      N                       ]                 

R3=0.9974 P [KN]

R1=1.9949 P [KN] R2=1.7276 P [KN]

18

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. b) Para una carga P=150 ton P(KN)

 

P(KN)

6

4

2

P(KN)

7 5 10

9

1

13

4m

8

3

2

1

8 4

3

2P(KN)

4m

11

5

6

4m

P(KN)

4

3

4m

 

14

6

7

7

5

13

1 (0,0)

2 1

R1x

4

6

 

5

3

(8,0)

10

59

6

2P(KN)

4m

:# Nudos

13

: #  # Elementos

8

3

(4,0)

6

Inicio y final de los elementos

13

4m

2

:Grados de Libertad

15

(12,4)

10

9

1

16

P(KN)

8 (8,4)

4

(4,4)

30°

2P(KN)

4m

P(KN)

2

12

7

4m

 

(12,0) 11

7

4m

12 11

16 12

2P(KN) 4m

R1y

(16,0)

8

1530° R3

R3*sen(30)

R3*cos(30) COORDENADAS Iniciales Finales

ELEM. 1 2 3 4 5 6

      0 0 0 0 4 4

0 0 0 0 0 0

4 8 12 4 4 8

4 4 4 0 4 0

LONG. COS(x) 5.6568542 0.7071068 8.9442719 0.8944272 12.649111 0.9486833 4 1 4 0 4 1

SEN(x) 0.7071068 0.4472136 0.3162278 0 1 0

19

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S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

7 8 9 10 11 12 13

16 8 16 12 8 12 16

0 0 0 0 0 0 0

4 8 8 12 12 16 12

4 4 4 4 0 0 4

12.649111 -0.9486833 0.3162278 4 0 1 8.9442719 -0.8944272 0.4472136 4 0 1 4 1 0 4 1 0 5.6568542 -0.7071068 0.7071068

 á [] = [] GDL\F F1 1 -0.7071 2 -0.7071 3 0.7071 4 0.7071 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 10 0 11 0 12 0 13 0 14 0 15 0 16 0

F2 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0

F3 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0

F4 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F5 0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F6 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0

F7 F8 0 0 0 0 -0.9487 0 0.3162 0 0 0 0 0 0 0.000 0 1.000 0 0.000 0 -1.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0 -0.3162 0

F9 0 0 0 0 0 0 -0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472

F10 F11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.000 0 0.000 0.0 1.000 -1.0 0.000 0 0 1.0 0 0 0 0 0

F12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0

F13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071

R1x R1y R3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0 0 0.8660

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[] = [[]] 0.0 P 0.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0P -2.0 P 0.0 P -1.0 P 0.0 P 0.0 P 0.0P -2.0P 0.0 P -1.0 P 0.0P 0.0P -0.7071 -0.7071 0.7071 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0 0

-0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0

-1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0.0 1.0 0.0 -1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1.0 0.0 0 0 1.0 0.0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -0.9487 0 0.3162 0 0 0 0 0 0 0.000 0 1.000 0 0.000 0 -1.000 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0 -0.3162 0

0 0 0 0 0 0 -0.8944 0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 -0.4472

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1.000 0 0.000 0.0 1.000 -1.0 0.000 0 0 1.0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.5000 0.8660

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

[] = []− ∗ [] 0 0 0.3536 0 0 0.0000 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 -0.7906 0 0 0 [F]= 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6057 0 0 0.6057 0 0 0 1 0 0.8557 0 1 0.2500 0 0 -0.2887

1.0607 0.0000 0 -0.6057 0 -0.6057 0.7906 0 0 0 -0.6057 -0.6057 0 0.1443 0.7500 0.2887

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1.0607 0.0000 0 -0.6057 -1.0000 -0.6057 0.7906 0 0 0 -0.6057 -0.6057 0 0.1443 0.7500 0.2887

0 0.5590 0 0.3557 0 0.3557 0 0 -0.5590 0 0.3557 0.3557 0 0.8557 0.2500 -0.2887

0 1.1180 0 -0.7113 0 -0.7113 0 0 1.1180 0 -0.7113 -0.7113 0 0.2887 0.5000 0.5774

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 1.1180 0 -0.7113 0 -0.7113 0 -1.0000 1.1180 0 -0.7113 -0.7113 0 0.2887 0.5000 0.5774

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 0 0.7906 -0.3170 0 -0.3170 0 0 0 -1.0000 -0.3170 -0.3170 1.0607 0.4330 0.2500 0.8660

0 0 0.7906 0.1057 0 0.1057 0 0 0 0 0.1057 0.1057 -0.3536 0.8557 0.2500 -0.2887

0 0 0.7906 -0.3170 0 -0.3170 0 0 0 0 -0.3170 -0.3170 1.0607 0.4330 0.2500 0.8660

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

0 0 0 0.5774 0 0.5774 0 0 0 0 0.5774 0.5774 0.0000 0.5774 0 1.1547

0.00 P 0.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P -2.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -2.00 P 0.00 P -1.00 P 0.00 P 0.00 P

Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8

Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal -3.18198 P Compresión F9= -1.11803 P Compresión -1.11803 P Compresión F10= 2.00000 P Tracción -2.37171 P Compresión F11= 3.47927 P Tracción 3.47927 P Tracción F12= 3.47927 P Tracción 2.00000 P Tracción F13= -3.18198 P Compresión 3.47927 P Tracción Tracción R1x= -2.02073 P -2.37171 P Compresión R1y= -3.50000 P 0.00000 P Tracción R3= -4.04145 P

Para una una carga P=150 ton. F1= F2= F3= F4= F5= F6= F7= F8=

Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal -477.297 Compresión F9= -167.705 -167.705 Compresión F10= 300.000 -355.756 Compresión F11= 521.891 521.891 Tracción F12= 521.891 300.000 Tracción F13= -477.297 521.891 Tracción R1x= -303.109 -355.756 Compresión R1y= -525.000 0.000 Tracción R3= -606.218

Compresión Tracción Tracción Tracción Compresión

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Por el método matricial, la solución de sistema de ecuaciones lineales, resolver la siguiente estructura y calcular las fuerzas en cada elemento y las reacciones. a) Calcular en función de la carga P. b) Evaluar para un valor de P=150 Ton.  

2P (KN)

P(KN)

4

30° 30°

53°

2 7 5

6

9

13 1 4m

2

3

1

8 3

4

8

2P(KN)

5

10

3P(KN)

4m

6

7

11

3P(KN)

4m

2P(KN) 4m

2P*sin(30°) 2P (KN) 2P*cos(30°)

P*sin(30°)

16

4

(0,4)

30°

2

12

15

16

P(KN)

14

:Grados de Libertad

15

53°

13 P*cos(30°) (12,4)

6

:# Nudos

13

 # Elementos : # Inicio y final de los elementos

7 5

9

6

13

4m 1

2

1 (-4,0)

2

(0,0)

1

4

2P(KN)

3

3

4

 

3

4m

(4,0) 8 4m

5

8

6

 

5

10

3P(KN) 4m

(8,0)

6

12

10

8

(12,0)

7

11

3P(KN)

7

9

12

(16,0)

11 2P(KN)

4m

4m

R1x=1 R1y=1

R3=1

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Cálculos previos COORDENADAS Iniciales Finales ELEM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

      -4 -4 0 0 8 12 16 0 4 4 8 12 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 12 12 -4 0 0 0 4 12 8 12 16 12

4 4 4 0 4 4 4 0 4 0 0 0 4

LONG. 5.6569 16.492 12.649 4 8.9443 12.649 16.492 4 8.9443 4 4 4 5.6569

COS(x) 0.707107 0.970143 0.948683 -1 -0.894427 -0.948683 -0.970143 1 0.894427 1 1 1 -0.707107

SEN(x) 0.7071068 0.2425356 0.3162278 0 0.4472136 0.3162278 0.2425356 0 0.4472136 0 0 0 0.7071068

[] = []

[] =

GDL\F

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

1 2 3 4 5 6

-0.7071 -0.7071 0 0 0 0

-0.9701 -0.2425 0 0 0 0

0 0 -0.9487 -0.3162 0 0

-1.00 0.00 1.00 0.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 -1.00 0.00 1.00 0.00

0 0 0 0 -0.8944 -0.4472

0 0 0 0 -1.00 0.00

7 8 9 10 11

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0.8944 -0.4472 0 0 0

0 0 0.9487 -0.3162 0

0 0 0 0 0.9701

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1.00 0.00 0 0 0

12

0

0

0

0

0

0

-0.2425

0

0

0

13 14 15 16

0 0 0.7071 0.7071

0.9701 0.2425 0 0

0.9487 0.3162 0 0

0 0 0 0

0 0 -0.8944 0.4472

0 0 0 0 -0.9487 -0.9701 0.3162 0.2425

0 0 0 0

0.8944 0.4472 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0.00 0 0 1.00 -1.00 0 0.00 0.00 0 0 1.00 0.7071 0 0.00 0.7071 0 0 0.7071 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0

R1x R1y R3 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0

0

0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

[] = [[]] 23

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

-0.7071 -0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7071 0.7071

-0.9701 -0.2425 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9701 0.2425 0 0

0 0 -0.9487 -0.3162 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9487 0.3162 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8944 0 0 0 -0.4472 0 0 0 0 0.9487 0 0 0 -0.3162 0 0 0 0 0.9701 0 0 0 -0.2425 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.89443 -0.9487 -0.9701 0 0.44721 0.3162 0.2425

0P -2.0P 0P 0P 0P -3.0P 0P -3.0 P 0P 0P 0P -2.00 P -0.602 P -0.799 P 1.732 P -1.000 P 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -0.8944 -0.4472 0 0 0 0 0 0 0.8944 0.4472 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.7071 0 0 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0 -0.7071 0 0 0 0 0 0.7071 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

[] = []− ∗ [] 0 0 0 -1 0 0 0   0 0 0 0 0 0 1 0 0

0.0943 -4.3980 4.2164 4.2000 0.0000 -1.0541 1.0995 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 -0.8000 -0.3771 0.0000 1.3333 -0.3333

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

-0.0943 0.2749 2.1082 -0.2000 0.0000 1.0541 -1.0995 -2.2000 -2.2361 -0.2000 -0.2000 0.8000 0.3771 0.0000 0.6667 0.3333

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0

0.3771 -1.0995 1.0541 0.8000 -2.2361 2.1082 0.2749 -0.2000 0.0000 -0.2000 -2.2000 -0.2000 -0.0943 0.0000 0.3333 0.6667

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0

-0.3771 1.0995 -1.0541 -0.8000 0.0000 4.2164 -4.3980 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 4.2000 0.0943 0.0000 -0.3333 1.3333

0.0943 -0.2749 1.0541 0.2000 0.0000 -1.0541 1.0995 0.2000 0.0000 0.2000 0.2000 -0.8000 -0.3771 1.0000 0.3333 -0.3333

-0.2828 0.8246 0.0000 -0.6000 0.0000 3.1623 -3.2985 -0.6000 0.0000 -0.6000 -0.6000 2.4000 1.1314 0.0000 0.0000 1.0000

0.3771 -1.0995 1.0541 0.8000 0.0000 -1.0541 0.2749 0.8000 0.0000 0.8000 0.8000 -0.2000 -0.0943 1.0000 0.3333 -0.3333

1.1314 -3.2985 3.1623 2.4000 0.0000 0.0000 0.8246 -0.6000 0.0000 -0.6000 -0.6000 -0.6000 -0.2828 0.0000 1.0000 0.0000

0.00 P -2.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P -3.00 P 0.00 P 0.00 P 0.00 P -2.00 P -0.60 P -0.80 P 1.73 P -1.00 P

Fuerzas Resultantes en Cada Elemento de la Estructura [KN].

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal F1=

-0.59187 P

Compresión

F9= 6.70820 P Tracción

F2=

9.97179 P

Tracción

F10= 2.74446 P Tracción

F3=

-17.78229 P

Compresión

F11= 8.74446 P Tracción

F4=

-9.25554 P

Compresión

F12= -9.78168 P Compresión

F5=

6.70820 P

Tracción

F13= -0.83989 P Compresión

F6=

-19.52827 P

Compresión

R1x= 1.13024 P

F7=

10.69490 P

Tracción

R1y= -5.62325 P

F8=

8.74446 P

Tracción

R3= -6.17538 P

Para P = 150 Ton. Fuerzas de cada elemento inclinado y horizontal F1= -88.780

Compresión

F9= 1006.231

Tracción

F2= 1495.768

Tracción

F10= 411.669

Tracción

F3= -2667.344

Compresión

F11= 1311.669

Tracción

F4= -1388.331

Compresión

F12= -1467.253 Compresión

F5= 1006.231

Tracción

F13= -125.984

F6= -2929.240

Compresión

R1x= 169.535

F7= 1604.235

Tracción

R1y= -843.488

F8= 1311.669

Tracción

R3= -926.307

Compresión

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Para análisis de una armadura a nivel tridimensional, existen más ecuaciones de la estática para determinar las reacciones, porque se tienen dos ejes más para tomar momentos y un eje más para sumar fuerzas. En total se dispone de seis ecuaciones d equilibrio.

  =  =    =  =    =  =  Si una estructura tiene más de seis componentes de reacción, será estáticamente indeterminado externamente. Si existen menos de seis componentes de reacción la armadura será inestable (el estudio de estabilidad se desarrolla en Materia de Análisis estructural I). Para que una armadura sea estáticamente determinada se debe cumplir la siguiente expresión.

=

 :#: #  :##  :  :# : #      

El análisis es similar para las armaduras en 2D, solo aumenta un eje “Z” .

 = (    ) ;  = (   ) ;  = (   )  = √ (    ) + (   ) + (   )  =  ;  =  ;  = 

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 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

 Al tetraedro mostrado se le aplica una carga vertical   (Kg), tal como se muestra en la figura. Determinar las reacciones y las fuerzas en cada barra del tetraedro, si la longitud de las barras es 1, (Ing. Reyder E. Bendezú Boza - Examen de Métodos Numéricos Aplicados  –  2013  2013 –  II  II –  UNH.)  UNH.) P

Y 

Z

X

Coordenadas en cada nudo y los grados de libertad l ibertad a igual que en armaduras de 2D, en este caso será 3 en cada nudo y las reacciones según tomado el eje global “XYZ” en sentido positivo  y

todo lo contrario será negativo, el sentido

de inicio y final de cada elemento. P

(0.5,0.2887,0.8165)

12

Z

11

4 10 Y 4

6

9 (0.5,0.8660,0) 8 3

3

(0,0,0)

3 1

2

R5=1

R6=1 5

1

R1=1

7

2

R2=1 1

6 (1,0,0)

2

5 4

R3=1

X

R4=1

27

INGENIERÍA CIVIL

S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Para las coordenadas de los nudos que se conectan entre elementos, se hace un previo cálculo usando la geometría elemental. C - (X)

   

ELEM. 1 0 2 1 3 0 4 0 5 1 6 0.5

1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5



C - (Y)





C - (Z)



LONG. 0 0 0 0 1.0 0 0.866025 0 0 1.0 0 0.866025 0 0 1.0 0 0.288675 0 0.816497 1.0 0 0.288675 0 0.816497 1.0 0.866025 0.288675 0 0.816497 1.0

COS(x) SEN(x) COS(z) 1.0000 0.0000 0.0000 -0.5000 0.8660 0.0000 0.5000 0.8660 0.0000 0.5000 0.2887 0.8165 -0.5000 0.2887 0.8165 0.0000 -0.5773 0.8165

[] = [] GDL\F F1 F2 F3 1 -1.000 0 -0.5000 2 0.000 0 -0.8660 3 0.000 0 0.0000 4 1.000 0.5000 0 5 0.000 -0.8660 0 6 0.000 0.0000 0 7 0 -0.5000 0.5000 8 0 0.8660 0.8660 9 0 0.0000 0.0000 10 0 0 0 11 0 0 0 12 0 0 0

F4 -0.5000 -0.2887 -0.8165 0 0 0 0 0 0 0.5000 0.2887 0.8165

F5 F6 R1 R2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.5000 0 0 0 -0.2887 0 0 0 -0.8165 0 0 0 0 0.0000 0 0 0 0.5773 0 0 0 -0.8165 0 0 -0.5000 0.0000 0 0 0.2887 -0.5773 0 0 0.8165 0.8165 0 0

R3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

R4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

R5 R6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

[] = []− ∗ [] -1 1 -1 0 0 [F]= 0 -1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

1 1 -1 0 0 0 -1 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 -0.2887 0 0.5774 0 0.5774 0 0.0000 0 0.0000 0 0.0000 0 0.5000 0 0.0000 0 0.5000 0 0.0000 1 0.0000 0 0.0000

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0.0000 -0.4811 -0.1361 0.00 1.0000 0.3849 -0.1361 0.00 -1.0000 0.3849 -0.1361 0.00 1.0000 0.5774 0.4082 0.00 -1.0000 0.5774 0.4082 0.00 0.0000 -1.1547 0.4082 * 0.00 0.00 -0.5774 0.5000 0.0000 0.8165 0.4714 0.3333 0.00 0.5774 0.5000 0.0000 0.00 -0.8165 0.4714 0.3333 0.00 1.0000 0.0000 0.0000 0.00 0.0000 -0.9428 0.3333 -1.00 P

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S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____

Finalmente las fuerzas en cada elemento se muestran en la siguiente tabla [KN]. Fuerzas de cada elemento F1= 0.13608 P [Ton] Tracción

R1= 0.00000 P [Ton]

F2= 0.13608 P [Ton] Tracción

R2= -0.33333 P [Ton]

F3= 0.13608 P [Ton] Tracción

R3= 0.00000 P [Ton]

F4= -0.40825 P [Ton] Compresión

R4= -0.33333 P [Ton]

F5= -0.40825 P [Ton] Compresión

R5= 0.00000 P [Ton]

F6= -0.40825 P [Ton] Compresión

R6= -0.33333 P [Ton]

Z

P

4 Y 

F     6     =  

  g     K     P 4    5    8   2    0   4    0 .   =

0   . 4    0   8    2   5    P    6 K     g  

5

g

   F  4

 K   F5=0.40825 P

3

3

 F 3 = 0.

1 R1=0 P Kg R2=0.33333 P Kg

1 36 0

g 8 P K

R6=0.33333 P Kg

     P     8     0     6     3     1  . 2     0    =     F  2

F   1 = 0  1

    g         K

R5=0 P Kg

.1 3  6 0  8 P  

K    g  

2 X

R3=0 P Kg R4=0.33333 P Kg

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S ANDRO L ANDEO A.

 _________________________  ____________________________________ ______________________ ______________________ ______________________ ________________ _____



 Análisis estructural (Jeffrey P. Laible – University of Vermont).



 Análisis de estructuras (James K. Nelson, Jr y Jack C. McCormac Edición)



 3

Estática Ingeniería Mecánica (R. C. HIBBELER  –   Décimo Segunda Edición).



Estática (Ing. Luis Eduardo Gamio Arisnabarreta  –  Universidad   Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Civil).



 Análisis estructural (Teoría y Problemas Problemas Resueltos, Ing. Ing. Biaggio Arbulú G.UNI).



Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen II, Ing. Biaggio Arbulú G.UNI).



Calculo de Estructuras Hiperestáticas (Volumen III, Ing. Biaggio Arbulú G.G. UNI).



 Apuntes de clases de Análisis Estructural I - II  –“Universidad  –“Universidad Nacional de Huancavelica “2015 -I, ING. CABALLERO SANCHEZ, Omar.



 Apuntes de clases de Análisis Estructural I  –  II  II –“Universidad Nacional Nacional de Huancavelica “2015 -I, ING. BENDEZÚ BOZA, Reyder E.

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