Estatica Clase

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE INGENIERÍAS Y ARQUITECURA

Escuela Profesional De Ingeniera Ci!il

ESTÁTICA Profesor: Carlos E. Joo G.

5/5/16 02:59:02 AM

"# .# /# ". 3#

In$ro%ucci&n' Conce($os %e )ec*nica + rese,a -is$&rica Re(aso %e !ec$ores Fuer0as concurren$es + e1uili2rio %e una (ar$cula Res#l$a%$es &e s's$e(as &e f#er)a. Fuer0as %is$ri2ui%as

UNIDAD 1 : CONCEPTOS BÁSICOS, BÁSICOS, TEORÍA GENERAL DE FUERAS ! FUERAS DISTRIBUIDAS Estatica - 01

Lic# Carlos E# 4oo G#

5/5/16 02:59:03 AM

RESULT RESULTANTES

DE SISTEAS SI STEAS DE FUERA F UERA Pro&#-$o -r#) o(e%$o &e #%a f#er)a for(#la-'/% es-alar o(e%$o &e #%a f#er)a for(#la-'/% 0e-$or'al Pr'%-''o &e (o(e%$os. Teore(a &e 2ar'3%o%. o(e%$o &e #%a f#er)a -o% rese-$o a #% e4e ese-56-o o(e%$o &e #% ar o -#la

CLASE N*+ CLASE N*+:: RES RESUL ULT TAN ANTES TES ANT ES DE SISTEAS DE FUERA Estatica - 01

Lic# Carlos E# 4oo G#

".1. PRODUCTO CRU El Pro%uc$o Pro%uc$o !ec$orial o (ro%uc$o cru0 es una o(eraci&n )a$e)*$ica en$r en $re e %os !ec$ores 5 A + 6 7 1ue genera un !ec$or 5 C 7 (er(en%icular al (lano 1ue con$iene a A + 6

A869C

El )o%ulo %e C es$* %a%o (or'

:C: 9 :A::6:senθ Con θ el *ngulo co)(ren%i%o en$re A +6

Rela-'o%es &e 3'ro: ANTI9ORARIO z

Regla %e la )ano %erec-a C

 A + 6 son %os !ec$ores 1ue (er$enecen al (lano ;Y

A7B8 C

 A  A

x

y

B

B

Rela-'o%es &e 3'ro: 9ORARIO z

A + 6 son %os !ec$ores 1ue (er$enecen al (lano ;Y

Regla %e la )ano %erec-a

B7A8  C

 A B x

y  A B

C

El tornillo y el producto cruz

0 ≤θ

≤ π 

Si el vector a  lo giramos hacia b, entonces obtenemos el movimiento indicado con la flecha azul

b

θ a

Por el contrario, si giramos el vector b  hacia a, obtenemos el movimiento indicado con la flecha verde

La operación “virtual” de girar a hacia b, la denotaremos por a × b Y vamos a eigir !ue el vector resultante sea " a × b = a b  sen θ  n

#onde n" es el vector unitario en la Si este tornillo lo giramos a ladirección del vector azul derecha, el tornillo “baja”

Si definimos b × a entonces

0 ≤θ

"* b × a = b a  senθ  n

≤ π 

b

θ a

" % es el vector #onde esta vez n unitario obtenido en la dirección del vector verde$

#e tal forma !ue este producto no es conmutativo, & adem's

a×b = −b×a

Una interpretación geométrica del producto cruz

El producto del modulo de B y el modulo de la componente de A perpendicular a B, equivale al modulo del vector A x B B

 Acosθ

θ

 Asenθ C = Asenθ B

 A

Una interpretación geométrica del producto cruz El producto del modulo de A y el modulo de la componente de B perpendicular a A, equivale al modulo del vector A x B

B

Bsenθ

θ Bcosθ  A C = Bsenθ A

Una interpretación geométrica del producto cruz

+

a×b

)

l 'rea del paralelogramo es

b

a×b

θ

a b  senθ 

*

a

( l producto cruz a × b corresponde a un vector normal al paralelogramo formado por a & b & de magnitud igual al 'rea de dicho paralelogramo

=

a

) b

(

+

b  senθ  θ

a

*

Co(o%e%$es Car$es'a%as: 2e-$ores #%'$ar'os k  "

i

"

j

"

n un sistema de orientación positiva, trivialmente se cumple lo siguiente

i" × "j = k "

 j" × k" = i"

k" × i" = "j

Y por lo dem's, si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es el vector nulo$ Y es claro !ue

a×a = 0 -cuidado, es el vector nulo, no el cero real.

Representación en componentes del vector a × b Sean a & b dos vectores no paralelos, con representación en componentes a

= a/i" + a "j + a1 k"  

b

= b/i" + b "j + b1 k"  

2na regla nemot3cnica 4es decir algo solo para recordar pero !ue no tiene ning5n valor matem'tico6 es como sigue

a×b

a×b

i"

 j"

k "

= a/

a

a1

b/

b

b1

" = ( ab1 − a1b ) i" + ( a1b/ − a/b1 )  j" + ( a/b − ab/ ) k 

".;.OENTO DE UNA FUERA  En

mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza  (respecto a un punto dado) a una magnitud vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

OENTO DE UNA FUERA El

momento de una fuerza aplicada en un punto P con respecto de un punto  viene dado por el producto vectorial del vector de posición r=OA por el vector fuerza F! esto es

M O = OA × F  = r  × F  El

momento es un vector perpendicular al plano de r " #.

$a magnitud del momento esta dado por

%onde d

M O = rFsenoθ  =  Fd 

es el brazo de palanca.

El

sentido del momento se determina mediante la regla de la mano derec&a (').

%ado

ue las fuerzas tienen carácter de vectores deslizantes, el momento de una fuerza es independiente de su punto de aplicación sobre su recta de acción o directriz.

INTERPRETACI