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3.

SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas

Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.1 INTRODUCCION

OBJETIVOS • • • •

Producto VECTORIAL y ESCALAR Momentos y pares de fuerzas Principio de transmisibilidad Reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.2 Fuerzas externas e internas

1. Fuerzas externas: representan la acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido considerado

→ Son enteramente responsables del comportamiento externo del sólido rígido. Harán que se mueva o que permanezca en reposo

Ejemplo C. G.

Traslación ?

Rotación ?

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.2 Fuerzas externas e internas

2. Fuerzas internas: ƒ Son aquellas que mantienen unidas entre sí a las partículas que forman un sólido rígido. ƒ Si el sólido rígido estructuralmente se compone de varias partes, son las fuerzas que mantienen la unión entre las distintas partes.

Ejemplo

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.3 Principio de la transmisibilidad. Fuerzas equivalentes .. las condiciones de EQUILIBRIO o MOVIMIENTO de un sólido rígido se mantendrán inalteradas si se sustituye Se puede deducir a F por F´→ EQUIVALENTES partir de las tres

leyes de NEWTON!!

Tensión?

Compresión? Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.4 Producto vectorial de dos vectores → Momento de una fuerza

Perpendicularidad

Módulo

Área del paralelogramo

P=6 Q=4 V=?

Dirección - sentido

No conmutativo!! Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.4 Producto vectorial de dos vectores → Momento de una fuerza Si es distributivo !!

No asociativo !!

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.5 Producto vectoriales en componentes rectangulares Los unitarios...

Dos vectores P y Q ...

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.5 Producto vectoriales en componentes rectangulares

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

Convención de signos

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

Módulo de Mo mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido una rotación alrededor del eje dirigido según Mo Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

M = Fx dy – Fy dx

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto Fuerzas equivalentes Principio de la transmisibilidad

Dos fuerzas

F y F’ son equivalentes si y sólo si …..

) Son iguales ) y sus momentos respecto a un punto dado O son también iguales.

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.6 Momento de una fuerza respecto a un punto

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.7 Teorema de VARIGNON

R

9Varignon (matemático francés 1654-1722) antes del álgebra vectorial!!. 9Sustituye la determinación directa del momento de una fuerza F, por la determinación de los momentos de dos o más fuerzas componentes.

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza Momentos en 3D

El “pulgar” determina el signo (sentido)

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.8 Componentes rectangulares del momento de una fuerza

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EJEMPLO La tensión en el cable AB es de 600 lb. Calcule el momento de la fuerza respecto al punto E.

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EJEMPLO Una fuerza de 300 lb. Es aplicada en el punto del borde de una viga en I. Calcular el momento en B debido a esta fuerza. Distancias en pulgadas.

A

B

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3.3. A la palanca de un cambio de marchas se aplica una fuerza P de 40 N. Hallar el momento de P respecto a B cuando α vale 25º.

[Beer, 6 edición]

3.4. Para la palanca de cambio de marchas de la figura, hallar el módulo de la fuerza P más pequeña que, respecto a B, tiene un momento de 26.25 N-m, en sentido horario. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3.22. Para izar una bala de heno de masa 26 Kg., un granjero emplea una cuerda y una polea. Hallar el momento respecto a A de la fuerza resultante que la cuerda ejerce sobre la polea, si el centro de la polea C está a 0.3 m por debajo del punto B y a 7.1 m del suelo. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3.23. Una caña de pescar de 1.80 m de largo está firmemente hincada en la arena de una playa. Tras haber mordido un pez el anzuelo, la fuerza resultante en el sedal es de 50 N. Hallar el momento respecto a A, de la fuerza que en B ejerce el sedal. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.9 Producto escalar de dos vectores Conmutativo Distributivo (P·Q)· S

Asociativa.... No aplicable !!

En componentes rectangulares

Si P y Q son iguales

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.9 Producto escalar de dos vectores

APLICACIONES

1. Angulo formado por dos vectores dados

2. Proyección de un vector sobre un eje dado

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.10 Producto mixto de tres vectores Volumen del paralepípedo

=0

si vectores son coplanarios

Permutación circular

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.10 Producto mixto de tres vectores

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.11 Momento de una Fuerza respecto a un eje

Respecto a cada eje coordenado

=i =j =k

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.11 Momento de una Fuerza respecto a un eje

=0

=0

=0

Mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.11 Momento de una Fuerza respecto a un eje

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3.37. Considérese la red de voleibol representada. Hallar los ángulos que forman los alambres de sujeción AB y AC. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3.41. Las cuerdas AB y BC son dos de las cuerdas empleadas para montar una carpa. Las dos cuerdas están sujetas a una estaca B. Si la tensión en la cuerda es de 540 N, hallar (a) el ángulo entre la cuerda AB y la estaca, (b) la proyección sobre la estaca de la fuerza ejercida por la cuerda AB en el punto B. Jorge Enrique Meneses Flórez

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rA’A

A’ rD’D D’

3.49. Para aplomar una de las paredes de un granero, un granjero se vale de cables y de los tensores de trinquete B y E. Si se sabe que la suma de los momentos respecto al eje x de las fuerzas ejercidas por los cables en los puntos A y D vale 7092 N-m, hallar la magnitud TDE cuando TAB = 1275 N. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3.53. Para aflojar una válvula agarrotada, se aplica una fuerza de 350 N a la maneta (manigueta). Sabiendo que θ = 25º, Mx = -91.5 N-m, y Mz = -64.5 N-m, hallar Φ y d. Jorge Enrique Meneses Flórez

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.12 Momento de un PAR de Fuerzas SI Rotación

9= módulo 9Rectas soporte paralelas 9Sentidos opuestos

NO Traslación

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.12 Momento de un PAR de Fuerzas

=

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.13 Equivalencia entre los PARES Los pares son EQUIVALENTES... Si tienen el mismo momento M !!

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.14 Suma de PARES

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.15 Representación de los pares mediante vectores

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.16 Descomposición de una fuerza en una Fuerza en

F

=

O y un Par

=

-F

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.16 Descomposición de una fuerza en una Fuerza en

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O y un Par

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.17 Reducción de un sistema de fuerzas a una FUERZA y un PAR

Una sola Fuerza en O!

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.17 Reducción de un sistema de fuerzas a una FUERZA y un PAR

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.19 Sistemas EQUIVALENTES de fuerzas Tienden a imprimir al sólido rígido la misma traslación y la misma rotación !!

3.19 Sistemas EQUIPOLENTES de vectores ?????

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.20 Reducción adicional de un sistema de fuerzas a una FUERZA !!

9S

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3. SR: Sistemas Equivalentes de Fuerzas 3.21 Reducción de un sistema de fuerzas a un TORSOR !! Eje del torsor

R r

p = paso del torsor

M RO

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M1

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60º

β Jorge Enrique Meneses Flórez

β ESTATICA

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4 m

A

R=?

MR= ??

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3. SR: Sistema Equivalentes de Fuerzas

Problemas 3.61 y 3.68

Beer 6 ed.

Un tramo de muro chaflanado por fuera ABCD está sujeto provisionalmente por los cables EF y GH. Sabiendo que la tensión en el cable EF es de 63 N, hallar: a) El momento respecto a la solera AB de la fuerza ejercida en el muro por el cable EF. b) La menor distancia entre el cable EF y la solera AB

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Vista Superior

y

B O C

BF

x

0.9 m

1.335 m

F 0.615 m

TEF

TEF

W

E

B BF

1.335 m

3.6 m

O G

A 1.335 m 1,2

A D 0.555 m

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K

1.2 m

z ESTATICA

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Supóngase que el cilindro hidráulico AB ejerce una fuerza F de intensidad (valor) constante de 2.5 kN mientras eleva la caja del volquete. a) Determinar el momento de esa fuerza respecto al punto O, en el intervalo de valores 0 ≤Ө≥ 90°. b) Determinar para qué ángulo Ө es máximo ese momento y cuánto vale ese momento máximo?. c) Representar gráficamente el momento de esa fuerza respecto al punto O en el intervalo de valores 0 ≤Ө≥ 90°.

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Una fuerza P se aplica a la palanca de un tornillo de presión. Si P pertenece a un plano paralelo al plano yz y se sabe que Mx = 230 lbf-in., My = -200 lbf-in., y Mz = - 35 lbf-in., determine la magnitud de P y los valores de Φ y θ.

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La placa rectangular se inclina en torno a su borde interior (AB) merced al cable que se mantiene bajo una tensión constante de 600 N. a) Determinar el momento de esa tensión respecto al borde inferior AB de la placa, en el intervalo de valores 0 ≤Ө≤ 90°. b) Representar gráficamente el momento de esa tensión respecto al borde inferior AB de la placa, en el intervalo de valores 0 ≤Ө≤ 90°.

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