estado de Deformación

Ing. Norberto D. Ñique G.

Introducción:

Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido deformable, esta tiende a cambiar el volumen el volumen (tamaño)  (tamaño) y la forma la forma del  del cuerpo.  A estos cambios se les denomina deformación. deformación. Esta deformación puede ser visible o prácticamente inadvertida si no se emplean equipos apropiados. Si un cuerpo esta sometido a fuerzas exteriores alterará exteriores alterará su estado de movimiento o se deformará, deformará, para precisar estas condicione ones, se consideran en el cuerpo de la figura dos puntos puntos A y B, separa separados dos por  una distancia l o  , por efecto de las fuerzas aplicadas, los puntos pasara pasaran n a ocupar ocupar posici posicione ones s tales tales como A’  y B’ , siendo ahora su distancia l . El segmento AA’   es el desplazamiento del punto A y BB’ , el de B de B..

Si la deformación es igual en todos los puntos del material, se le denomina deformación homogénea. En lo que subsiguiente solo se analizará deformaciones homogéneas, dado que las otras conducen a expresiones analíticas muy complejas para ser prácticas. Las deformaciones pueden se elásticas en cuyo caso el cuerpo vuelve a su estado inicial cuando se retiran las fuerzas que actuaban sobre el mismo. Pueden también ser   plásticas, cuando al retirar las fuerzas quedan deformaciones permanentes en el cuerpo. Interesa también distinguir entre aquellas deformaciones que provocan cambios de volumen y las responsables del cambio de forma. Las primeras producen dilatación o contracción. Las segundas distorsión.

Es una magnitud vectorial que se usa para medir el  movimiento de una partícula o punto de una posición a otra, por tanto en un sólido deformable sus partículas adyacentes pueden desplazarse entre si cuando se aplican fuerzas externas al cuerpo.

La diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo son una consecuencia de los desplazamientos causados por la deformación.

Cuando una carga externa ocasiona que el cuerpo se deforme y se mueva entonces a su posición final, las partículas se desplazarán a las posiciones correspondientes a las partículas A´ , B´  y C ´.  El desplazamiento del punto A esta indicado por el vector  (A). Las líneas rectas AB y AC,   se convierten en las curvas A´ B´ y A´ C´  ,  en consecuencia, la longitud de AB y  AC   así como el ángulo , serán diferentes de las longitudes curvas A´ B´  y A´ C´     y del ángulo ´ .

El concepto de deformación unitaria se desarrolla con el objeto de describir la deformación por   cambios en la longitud  de segmentos de líneas y los cambios en los ángulos entre ellos.

Es el alargamiento ó contracción de un segmento de línea por unidad de longitud. Sea la línea AB   que esta contenida dentro del cuerpo no deformado. La línea esta situada a lo largo del eje n y tiene una longitud s, durante la deformación, los puntos A y B se desplazarán a los puntos A´ y B´ y la línea recta se convierte en curva con longitud s´  el  cambio en longitud de la línea será:

s´ - s Se define a   deformaci ón unitaria normal promedio a:

  prom 

 s´  s  s

Solido sin deformar

Solido deformado

 A medida que el punto B se escoge cada vez mas cercano a punto A, la longitud de la línea se vuelve cada vez mas corta, de tal modo que s 0 , de la misma manera, esto causa que B´ se aproxime a A´, de modo que s´ 0, por consiguiente: La deformación unitaria normal en el punto A y en la dirección de n en el limite es:

  prom  lim  B  A

 s´  s n

 s

Conocida la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecuaci ón para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de línea en la dirección de  n, deformado .

 s´ (1  ) s Por lo tanto si

 s´ (1  )s

es positiva, la línea inicial s se alargará, si no se contraerá

Unidades: La deformación unitaria normal es adimensional, que es una relación entre dos longitudes.

En el SI : En el Sistema Ingles:

(m/m), ( m/m). (in/in), (pulg/pulg).

En trabajos experimentales:

0.001mm/mm = 0.1%

480(10-6) = 480(10-6) pulg/pulg = 480 m/m = 0.0480%=480 .

Es el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea que originalmente eran perpendiculares entre si. Este ángulo se denota por  (gamma) y se mide en radianes.

 ´

 

 ´

La definición de deformación unitaria cortante en el punto A asociadas con los ejes n y t  esta dada por :

 nt  

2

,    es ( )

  2

  2

,    es (-)

 lim  ´  B  A n C  A t 

Se puede advertir que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en el  volumen   del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitarias cortantes causan el cambio en su forma.

La transformación de las deformaciones unitarias normales y cortantes de un conjunto de ejes girados a otro es completamente an áloga a la transformaci ón de los esfuerzos normales y cortantes. El estado de deformaci ón unitaria plana esta dada por:

Las alteraciones de un elemento causadas por cada una de estas deformaciones se muestran en la figura, en la que se nota que las deformaciones normales son el producto de los cambios de longitud del elemento en las direcciones x  e y .   Por otro lado la deformaci ón cortante es el producto de la rotaci ón relativa de dos lados adyacentes del elemento .

Si bien la deformaci ón plana y el esfuerzo plano tienen cada una tres componentes en el mismo plano, téngase en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente genera deformaci ón plano o viceversa. Esto se debe al efecto de la  raz ón de Poisson . Por ejemplo, si el elemento que se muestra en la figura se somete a   esfuerzo biaxial  no solo se producen deformaciones normales, sino que también se tendr á una  deformaci ón normal asociada al eje z  .

Esto es un caso de   esfuerzo plano, pero no uno de deformaci ón plana. =0 ,   el efecto En general, a menos que Poisson evitara la ocurrencia simultanea de deformación plana y esfuerzo plano.  Asimismo hay que señalar que como el esfuerzo cortante y la deformaci ón cortante no son afectados por la raz ón de Poisson , una: condición de :  xz =  yz =  0 requiere que :

 xz =  yz =0 .

Las deformaciones normales son positivas si generan alargamientos a lo largo de los ejes correspondientes y la deformacion cortante es positiva si el angulo interno AOB resulta menor de 90° , esta convencion de signos es consistente con lo establecido en el estado de esfuerzo plano, es decir  que los esfuerzos positivos del esfuerzo plano ocasionan que el elemento se deforme en las direcciones de las deformaciones cortantes positivas, respectivamente-

Para deducir las ecuaciones de transformación  de la deformación unitaria, el elemento distorsionado por una deformación de unitaria cortante positiva se tomará como el mostrado en la  figura (a).Si se conocen las deformaciones unitarias  x , y  y  xy   asociadas a los ejes xy,  y qué, se requiere la deformación unitaria extensional a lo largo de algún nuevo eje x ´.  El nuevo sistema de ejes x ´y    ´ , esta relacionado con los ejes xy, como se muestra en la figura (b).

Considerando el punto O   fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por las deformaciones unitarias impuestas, sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados.

El desplazamiento en la dirección x es: A A´  = El desplazamiento en la dirección y es: A´  A´´  =

 x dx  y dy 

Para la   deformación unitaria cortante, suponiendo que ella causa:   El desplazamiento

horizontal mostrado en la figura,  A’’A’’’ =  xy  dy.

Considerando que el orden en que esos desplazamientos ocurren es arbitrario, en la figura (b), se muestran primero el desplazamiento  AA’,  luego el  A’A’’´  y finalmente el A’’A’’’. Proyectando los desplazamientos en el eje x’, se encuentra el desplazamiento del punto A , a lo largo del eje x’.

Por definición,  x’  dx’   en el sistema coordenado   x’y’   es también alargamiento de OA, se obtiene la siguiente relación

  x´dx´  AA´cos    A´ A´´ sen    A´´A´´´cos  Sustituyendo las expresiones apropiadas para los desplazamientos y dividiendo entre  d   x’ , se tiene:

  x´    x

dx dx´

cos      y 2

dy

dy  sen     xy cos   dx´ dx´ 2

  x´    x cos      y sen      xy sen  cos 

dx dx´

dy dx´

 cos 

  sen 

Esta ecuación es la expresión básica para la transformación de la deformación unitaria normal en un plano en una dirección arbitraria definida por el eje x’ . Usando identidades trigonométricas

 sen 2  

  x´ 

1  cos 2 

  x    y 2

cos 2   

2



  x    y 2

1  sen2 

cos 2  

2

  xy 2

sen 2 

Con el fin de completar el estudio de la transformaron de la deformación unitaria en un punto, debe también establecerse la transformación de la deformación unitaria cortante. El elemento OACB con lados OA y OB dirigidos a lo largo de los ejes  x’  y y’, como se muestra en (b). Por definición, la deformación unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ángulo AOB. + . De la figura, el cambio en este ángulo es: Para deformaciones pequeñas, el pequeño ángulo  puede determinarse proyectando los desplazamientos AA’,A’A’’  y A’’A’’’  sobre una normal a OA y dividiendo esta cantidad entre dx’. Al aplicar  este enfoque, la tangente del ángulo se supone igual al ángulo mismo. Esto es aceptable ya que las deformaciones son pequeñas.

   tan   

  AA´ sen    A´ A´´cos    A´´ A´´´ sen 

   x

dx´ dx

dy dy  sen     y sen  cos     xy dx´ dx´ dx´

    x    y

  sen  cos     xy sen 2 

Por un razonamiento análogo:

    (  x  y ) sen  cos      xy cos 2  

Como la deformación unitaria cortante

 x’y’ de

un ángulo incluido entre los ejes x’y’  es

+

  xý´  2(  x    y ) sen  cos      xy (cos 2    sen 2 )   xý´  2(  x    y )sen2    xy cos 2 

  xý´ 2



  x    y 2

 sen2  

 xy 2

cos 2 

se tiene:

Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares con las direcciones principales   p los cuáles son determinados por la siguiente ecuación:

tan 2  p 

   xy   x    y

Las deformaciones principales pueden calcularse con la ecuación:

 1, 2 

  x    y 2

 (

  x    y 2

2

) (

  xy 2

)2

Las deformaciones unitarias cortantes máximas en el plano  xy se asocian con ejes a 45º respecto de las direcciones de las deformaciones unitarias principales. La deformación unitaria cortante algebraicamente máxima (en el plano xy) esta dada por la siguiente ecuación:

 max ima 2

 (

  x    y 2

2

) (

  xy 2

)

2

La deformaron unitaria cortante algebraicamente m í nima tiene la misma magnitud pero es negativa. En las direcciones de la deformación unitaria cortante máxima, las deformaciones unitarias normales promedio son:

  promedio 

  x    y 2

Nota: Las deformaciones unitarias principales y los esfuerzos principales se presentan en las mismas direcciones.

  x' y ' 2

PROBLEMA Nº 1

PROBLEMA Nº 2

PROBLEMA Nº 3

Determinar: (a). Las deformaciones unitarias para un elemento orientado según un ángulo = 30º. (b). Deformaciones unitarias principales y las direcciones principales. (c). Las deformaciones unitarias cortantes máximas y sus direcciones. (d). Considerando solo las deformaciones unitarias en el plano muestre todos los resultados obtenidos sobre un croquis de un elemento adecuadamente orientado de manera apropiada. (e). Confirme sus resultado de la parte (a) con el circulo de Mohr.

Bibliografía BIBLIOGRAFIA “Mecánica de sólidos”. E. P. Popov. 498-502 pags. (1) “Mecánica de materiales”. R. C. Hibbeler. 69-84 pags. (2)