Estado Biaxial de Esfuerzos

Estado Biaxial de Esfuerzos

Deniciones Si dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZ se presentan presentan EL ES!"D ES!"D #L"$ DE ESFUERZS% ESFUERZS% Seleccionemos al e&e z como el e&e perpendicular a las caras li'res de esfuerzo% La matriz de esfuerzos, es(  σ  x  σ  = τ  yx τ     zx

τ  xy σ  y τ  zy

    τ  yz     σ  z   τ  xz

)ue para el caso, puede representarse(  σ  x τ  xy   σ 

=   τ  yx

  σ  y    

*+atriz representativa del estado plano de esfuerzos%

Esfuerzos del estado plano con si-no positivo *.$/E$I%

Transformación de Esfuerzos Bidireccionales El estado plano de esfuerzos es 'astante usado 0 1til, por cuanto apro2imadamente corresponde a innumera'les situaciones f3sicas de inter4s en In-enier3a% En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cam'ia el sistema de coordenadas de referencia% Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, de&ando el e&e 5z6 invariante%

 σ  x  σ ´= τ  x  y  0  

'

τ  x ' y '

' '

σ  y ' 0

La matriz transformación de coordenadas es(

  cos θ  → A =  − senθ  0  

senθ 0  

 

cos θ 0   0

1    

    0     0   0

La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se e2presa por T σ' = A σ A

 Lue-o(   σ x ' τ x'y'   τ x'y' σ y'  0 0  

  cos θ    0  =  − senθ  0       0 0  

senθ 0   σ x

τ xy   cos θ 0   τ yx σ y  0 1      0 0

0   cos θ

  0   senθ  0      0

− senθ cos θ 0

0  

 

0   1    

Desarrollando los productos matriciales, e identi7cando los respectivos elementos, tenemos(

= σ  x cos 2 θ  + σ  y sen 2θ  + 2τ  xy senθ  cosθ  2 2 τ  x ' y ' = (σ  y − σ  x ) senθ  cos θ  + τ  xy ( cos θ  − sen θ ) ( *) 2 2 σ  y ' = σ  x sen θ  + σ  y cos θ  − 2τ  xy senθ  cos θ  σ  x '

.onviene e2presar las ecuaciones en t4rminos del án-ulo do'le( σ  = 1 (σ  + σ  ) + 1 (σ  − σ  ) cos 2θ  + τ   sen2θ   x '

τ  x ' y ' σ  y '

 x

2

 y

 x

2

 y

1 = − (σ  − σ  ) sen2θ  + τ   x

2

 y

 xy

 xy

( * *)

cos 2θ 

1 1 = (σ  + σ  ) − (σ  − σ  ) cos 2θ  − τ   sen2θ  2

 x

 y

 x

2

 y

 xy

Las ecuaciones o sus e8uivalentes son las ecuaciones de transformación de esfuerzos planos por rotación de coordenadas% Nota( 'servar 8ue primer invariante de esfuerzos *sumar la primera 0 tercera de las ecuaciones 

Esfuerzos Principales Ecuación caracter3stica( σ  x

− λ 

τ  xy

τ  xy σ  y

− λ 

=0

Desarrollando el determinante o'tenemos(

λ2 − ( σ x + σ y )λ + (σ x σ y − τ xy 2 ) = 0

Ra3ces caracter3stica( (σ  + σ  ) + (σ  − σ  ) + 4τ  2

λ 1

=

 x

 y

 x

 y

2

 xy

2

(σ  + σ  ) − (σ  − σ  ) + 4τ  2

λ 2

=

 x

 y

 x

 y

2

 xy

2

Los Esfuerzos #rincipales, son( (σ  x + σ  y ) + (σ  x − σ  y ) + 4τ  xy 2

σ 1

=

2

(σ  x + σ  y ) − (σ  x − σ  y ) + 4τ  xy 2

σ 2

=

2

2

2

τ x 'y' = 0 *.ondición para Esfuerzos #rincipales% 1

→ − (σ x − σ y )sen2θ p + τ xy cos 2θ p = 0 2

de donde o'tenemos( tan 2θ  p

=

2τ  xy σ  x

− σ 

 y

De7nición Las direcciones 2:, 0: a lo lar-o de las cuales act1an los esfuerzos principales se denominan Direcciones #rincipales% Los planos donde act1an los esfuerzos principales, se denominan #lanos #rincipales% Direcciones #rincipales

;:

2 Estado Inicial

Esfuerzo Cortante Máximo. Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es τ  x ' y '

= − 1 (σ  − σ  ) sen2θ  + τ  2

 x

 y

xy

#ara