Estadisticas y Graficos

 

 

C u r s o : Matemática Material N° 32 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 26 UNIDAD: ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES ESTADÍSTICA Y GRÁFICOS

Estadística:

Es una rama de la matemática que comprende Métodos y Técnicas que se emplean en la recolección, ordenamiento, resumen, análisis, interpretación y comunicación de conjuntos de datos.

Población:

Es un conjunto cuyos elementos poseen alguna característica común que se quiere estudiar, ya sea de individuos, de animales, de objetos, de medidas, de producciones, de acontecimientos o de sucesos. Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Muestra:

Es un subconjunto subconjunto de la población, que debe ser rrepresentativa epresentativa y aleatoria.

Variable: Cualitativa

Son aquellas cuando las observaciones realizadas se refieren a un atributo (no son numéricas), por ejemplo: sexo, nacionalidad, profesión, etc.

Variable: Cuantitativa

Son aquellas en que cada observación tiene un valor expresado por un número real, por ejemplo: peso, temperatura, salario, sal ario, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser de 2 tipos:  

Discretas: Que toman sólo valores enteros, por ejemplo: número de hijos, número de departamentos en un edificio, edi ficio, etc.

 

Continuas: Susceptibles de tomar cualquier valor, por ejemplo: el peso, la estatura, etc.

EJEMPLOS 1.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  El “Peso de los recién nacidos” es una variable cuantitativa. II)  La “Cantidad de peces en un acuario” es una variable discreta. III)  El “Color de ojos de una persona” es una variable cualitativa. A)  Sólo I B)  Sólo II C)  Sólo III D) Sólo y III E)   I, II yIIIII

 

  2.

Si en el jardín “Las Gaviotas” Gaviotas” se estudia la estatura de los niños, niños, entonces entonces ¿cuál(es) ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)? I)  II)  III) 

La variable es cualitativa y discreta. La variable es cuantitativa. La variable es continua.

A)  Sólo I B) C)   D)  E)  3.

Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

El gráfico de la figura 1, muestra la cantidad de helados helados que consumen al mes los habitantes del condominio “Los Piñones de Antofagasta”. De a cuerdo a este gráfico se puede concluir que Frecuencia personas

A)  B)  C)  D)  E) 

16 14 12 10 8

sólo 15 personas consumen 2 helados. 14 personas consumen al menos 10 helados hel ados 6 personas consumen un helado diario. el total de la muestra es 30 personas. en Antofagasta todos los habitantes habit antes consumen helados. 6

fig. 1

4 2 5 10 15 20 25 30 35 40

4.

¿Cuál de los siguientes afirmaciones representa el uso uso de una una variable cuantitativa discreta? discreta? A)  B)  C)  D)  E) 

5.

Helados (en unidades)

El peso de los alumnos del cuarto medio A. El gusto musical de los niños del hogar Santa Clara. La cantidad de agua caída durante el año 2009. El color del pelo de los tigres africanos. La cantidad de habitantes de la región de la Araucanía.

Se quiere hacer un estudio estadístico de los tipos de peces que habitan en la zona sur sur del océano Pacífico. De acuerdo a la información es falso que A)  B)  C)  D) 

los peces que habitan en el océano pesan más de 3 kilos. los “peces que habitan en el océano Pacífico”, corresponde a la población. en el océano Pacífico hay variados tipos de peces. los peces que habitan en la “Zona sur del océano Pacífico” corresponde a la muestra a estudiar. E)  los “Tipos de peces” corresponden a una variable cualitativa.

2

 

 

TABULACIÓN DE DATOS

Frecuencia (f): Número de veces que se repite un dato (también se le denomina frecuencia absoluta).  Frecuencia acumulada (f aacc):  Es la que se obtiene sumando ordenadamente las frecuencias absolutas hasta la que ocupa la última posición.

Frecuencia relativa (fr): Es el cuociente entre la frecuencia absoluta de uno de los valores de la variable y el total de datos, expresada en tanto por ciento.

Frecuencia relativa acumulada (frac):  Es la que se obtiene sumando ordenadamente la frecuencia relativa hasta la que ocupa la última posición.

Marca de clase: Se define como el promedio de los lados extremos de un intervalo.  EJEMPLOS  1.

En la tabla de la figura 1, se observa la cantidad de títulos profesionales obtenidos por los alumnos de geología de la Universidad “Los Astutos”. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  II)  III)  A)  B)  C)  D)  E) 

2.

La cantidad de alumnos titulados en el año 1980 es superior que los titulados en el año 1975. Hasta el año 1985 se titularon 60 estudiantes. En los años 1985 y 1990 se titularon la misma cantidad de alumnos. al umnos.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

Año

Hombres Mujeres

1975 1980 1985 1990

8 12 10 18

9 8 13 5

fig. 1

En la tabla de la figura 2, se muestra muestra el consumo consumo (en (en metros cúbicos) de gas de los departamentos de un conjunto habitacional. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) falsa(s)? I)  II)  III)  A)  B)  C)  D)  E) 

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

El consumo medio es de 8,4 m3. Cuatro departamentos consumen exactamente 18 m3. La mayor frecuencia se registró en el intervalo [16 – 20[. 

I II III I y II II y III

Consumo m3

Frecuencia 

[0 – 4[  [4 – 8[  [8 – 12[ 

5 7 3 1

[12 – 16[  [16 – 20[

  3

4

fig. 2

 

  3.  3. 

En el gráfico de la figura 3, se observa la temperatura diaria registrada durante la primera semana del mes de Septiembre. La menor de ellas se registró el día  día   A)  B)  C)  D) 

Tº

Lunes Martes Jueves Sábado

26 24 22 20 18 16 12 8 4

E)  Domingo

fig. 3

L

4.

M

J

V

S

D

Días 

En la tabla de la figura 4, se han clasificado los automóviles automóviles según su color; color; la frecuencia frecuencia relativa del color rojo es A)  B)  C)  D)  E) 

5.

M

10% 20% 30% 40% 50%

Color 

Frecuencia

verde gris rojo blanco

5 8 2 5

fig. 4

En el el centro centro comercial comercial “Santo Diablo”, se se venden venden diariamente diariamente 150 pares de zapatos, de los cuales el 20% se cancela en cheque, el 30% con tarjeta de crédito y 50% en efectivo, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  II)  III) 

A)  B)  C)  D)  E) 

La frecuencia absoluta de la compra en efectivo, corresponde a 75 pares de zapatos. La frecuencia acumulada entre los zapatos cancelados en cheques y efectivo, corresponde a 105 pares de zapatos. La frecuencia absoluta de pago en cheques corresponde a 55 pares de zapatos.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

4

 

 

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las medidas de tendencia central son indicadores que representan valores numéricos en torno a los cuales tienden a agruparse los valores de una variable variable estadística. Los principales son son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media Aritmética  (x)   Es el cuociente entre la suma de todos los datos y el número de datos. datos. Si se tienen n datos; x1, x2, x3, …, xn, su media aritmética es

x =

x1 + x2 + x3 + ... + xn   n

Media Aritmética para datos organizados en una tabla de frecuencias Si los datos son; x1, x2, x3, … xn, y las frecuencias f recuencias respectivas son f 1, f 2, f 3, … f n, entonces la media aritmética es

x=

x1 · f1 + x2 · f2 + x3 · f3 + ... + xn · fn    f1 + f2 + f3 + ... + fn 

EJEMPLOS 1.

Una imprenta tiene tres tres mecanógrafas, mecanógrafas, las cuales escriben 32, 53, y 68 palabras por minuto. Si cada una de ellas escribe un mismo texto, entonces la velocidad media es A)  B)  C)  D)  E) 

2.

48 49 50 51 52

En una empresa de lámparas el sueldo medio medio de los obreros obreros es 286 euros. Si se sabe que los sueldos de los hombres es de 300 euros y el de las mujeres es de 265 euros. Entonces, el porcentaje de hombres y mujeres, respectivamente es

H A)  B)  C)  D) 

M

40% 45% 50% 60%

60% 55% 50% 40%

E)  70%

30% 5

 

  3.

Al calcular el promedio de 125 datos, éste éste resultó 42. Se observó que que en el lugar del valor 12,4 se introdujo 124. La nueva media es aproximadamente. A)  B)  C)  D) 

39 40 41 42

E)  43 4.

En un curso, luego de rendir un examen examen se obtienen los siguientes siguientes puntajes 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17, y las frecuencias respectivas del número de al alumnos umnos son: 1, 1, 1, 1, 1, 6, 8, 16, 18, 20, 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I)  II)  III)  A)    B) C)  D)  E)  5.

Sólo I Sólo IIIy II Sólo Sólo II y III I, II y III

Cinco amigos deciden invertir en una empresa, en promedio aportan $ 25.000 cada uno. Se conocen los aportes de Juan $ 30.000, Diego $ 15.000, Jorge $ 18.000 y José $ 33.000, entonces ¿cuál es el aporte de Daniel? A)  B)  C)  D)  E) 

6.

x = 14 14,5 ,5 Mo = 16 El puntaje mínimo para pertenecer al 20% mayor es 16.

$ $ $ $ $

25.000 18.000 29.000 31.000 33.000

Un alumno quiere saber que nota debe obtener como mínimo en su prueba coeficiente 2, para aprobar con promedio 5,5. Si sus notas son 4,3 - 5,8 - 6,5 - 6,3, entonces ésta debe ser, aproximadamente A)  B)  C)  D)  E) 

4,8 4,9 5,0 5,1 5,2

6

 

 

MODA (Mo) Es el dato que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que más se repite. Si no hay un dato que tenga mayor frecuencia que otro se dice que la distribución de frecuencias es AMODAL. Si existe un solo dato que tenga mayor frecuencia la distribución de frecuencia es UNIMODAL. De existir dos (o más) datos que tienen la misma frecuencia, siendo esta la mayor, se dice que la muestra es BIMODAL (O POLIMODAL).

MEDIANA (Me) Es el dato que ocupa la posición central de la muestra cuando estos se encuentran ordenados en forma creciente o decreciente. Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales.

EJEMPLOS 1. 

Respecto del conjunto de datos en la tabla de la figura 1, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)    II) III)  A)  B)  C)  D)  E) 

2. 

1

1

2

2

3

La mediana mediana es es igual igual a a 4,5 la moda La

3

3

4

4

4

5

5

5

5

6

6

7

8

9

9

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

fig. 1

Al encuestar 50 departamentos de un edificio en cuanto al número de personas que los habitan, se obtuvo los resultados que se indican en la tabla de la figura 2. Entonces, ¿cuál opción es verdadera?

A)  B)  C)  D)  E) 

3. 

La moda es mayor que la media aritmética

la moda es 50. la distribución de frecuencias es bimodal. la moda es 15. la moda es 4. todas las afirmaciones anteriores son falsas.

Personas por departamento

f

1 2 3 4 5 ó más

3 14 11 15 7

fig. 2

Dado un conjunto de datos, la mediana corresponde A)  B)  C)  D) 

al al al al

valor más grande si los datos están ordenados. valor de mayor frecuencia si el número de datos es par. promedio entre el menor y el mayor valor. valor central si el número de datos es impar y están ordenados en forma creciente o

decreciente. E)  a ninguna de los anteriores. 7

 

  4. 

Un conjunto de datos tiene un número impar de valores ordenados de menor a mayor, entonces el valor que tiene la mayor frecuencia es A)  B)  C)  D)    E)

5. 

la frecuencia relativa.

Las edades de 10 personas son 12, 20, 18, 20, 19, 21, 15, 20, 18 y 20 años. Si se agrega a este conjunto la edad de una nueva persona, entonces A)  B)  C)  D)  E) 

6. 

la media aritmética. la moda. la mediana. la marca de clase.

la moda aumenta. la moda disminuye. la moda permanece igual. la moda aumenta en 1. No se puede saber.

Si m y n son números enteros positivos, con m < n, ¿cuál es la moda de la siguiente lista de valores? m + n, A)  B)  C)  D)  E) 

7. 

m – n,

n – m,

2m,

2n,

n+m

m+n m–n 2m 2n No hay moda

La tabla de la figura 3 indica el deporte practicado preferentemente por un grupo de estudiantes universitarios. Entonces, las medidas de tendencia central que se pueden obtener de dicha tabla son

Deportes  A)  B)  C)  D)  E)  8. 

Fútbol Básquetbol Tenis Natación Atletismo otros

sólo la moda. sólo la mediana. la moda y la mediana. la media aritmética, moda y mediana. ninguna de las medidas mencionadas.

f   245 85 121 43 70 12

Para calcular la mediana de un conjunto de datos discretos agrupados en una tabla de valores es conveniente A)  B)  C)  D)  E) 

observar la mayor frecuencia obtener las frecuencias relativas calcular las frecuencias acumuladas calcular previamente el promedio de la distribución calcular los productos entre el valor de la variable y la frecuencia en cada línea 8

fig. 3

 

 

OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Cuartiles: son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. Q1, Q2  y Q3  determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente. OBSERVACIÓN: Q2 coincide con la mediana.

Para calcular los cuartiles (datos no agrupados) se procede de la siguiente manera: 1º Se ordenan los datos de menor menor a mayor. K·N , en donde 4 K = {1, 2, 3} y N es el número de datos. En caso de ser un número decimal se aproxima al entero más cercano superior.

2º Se determina la posición que ocupa cada cuartil mediante la fórmula pQK  =

Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales. El percentil de orden K se denota por P K, y en el caso discreto es la observación cuya frecuencia absoluta acumulada alcanza el valor igual al K% de las observaciones. OBSERVACIÓN: P50 coincide con la mediana.

Para calcular los Percentiles (datos no agrupados) se procede de la siguiente manera: 1º Se ordenan los datos de menor a mayor. K·N , en donde 100 K = {1, 2, …, 99} y N es el número de datos. Si es decimal se aproxima al entero más cercano superior.

2º Se calcula la posición posici ón que ocupa el percentil, percen til, con la fórmula pP p PK  =

EJEMPLOS 1. 

Se consideran los cuadrados de los números naturales del 1 al 11 (ambos incluidos). Entonces, los valores de los cuartiles Q 1, Q2 y Q3 son respectivamente A)  B)  C)  D)  E) 

2. 

5, 6 y 7 3, 6 y 9 16, 36 y 64 1, 36 y 121 9, 36 y 81

De los 200 postulantes a una carrera universitaria, el 25% de los mejores puntajes resultaron diferentes. Miguel que tiene 612 puntos quedó en el percentil 78 mientras que Arturo con 720 puntos está en el percentil percentil 92. Entonces, Entonces, la opción verdadera es A)  Hay 78 postulantes con puntajes menores que el de Miguel. B)  Hay 8 postulantes que tiene puntajes igual o superiores al de Arturo. C)  Hay 14 postulantes con puntajes entre los de Miguel y Arturo. D) El 92% de los postulantes tienen puntajes inferiores a los de Arturo. E)   Arturo y Miguel están entre los 20 mejores puntajes. 9

 

 

MEDIDAS DE DISPERSIÓN 

Rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Desviación estándar es una medida de dispersión que indica cuánto tienden a alejarse los datos de la media aritmética de éstos. La desviación estándar (σ) se calcula mediante la siguiente fórmula:

 =

σ

(x1 − x)2 + (x2

−

x)2 + ... + (xn − x)2   n

EJEMPLOS 1.

Con respecto a las tablas adjuntas, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  II)  III)  A)  B)  C)  D)  E) 

2.

Los promedios de ambos conjuntos son iguales a 10 La desviación estándar del conjunto X es 2 . La desviación estándar del conjunto Y es 2.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II, III

x 8 9 10 11 12

(x – x )2  4 1 0 1 4

y 7 9 10 11 13

(y – y )2  9 1 0 1 9

Para calcular la desviación estándar se considera un conjunto de datos y las siguientes acciones, entonces ¿cuáles de éstas y acciones se deben efectuar y en que orden? (1)  Los datos se ordenan en forma creciente o decreciente (2)  Se calcula el promedio o media aritmética (3)  Se suman las diferencias entre cada dato y el promedio (4)  Se suman los cuadrados de las diferencias entre cada dato y el promedio (5)  Se extrae raíz cuadrada del resultado anterior (6)  Se divide el resultado anterior por el número de datos La opción correcta es A)  B)  C)  D)  E) 

(1), (2), (1), (1), (1),

(2), (4), (2), (2), (2),

(3), (5) y (6) (6) y (5) (3), (4) y (6) (4), (6) y (5) (3), (4), (5) y (6)

10

 

 

REPRESENTACIÓN GRÁFICA E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS A menudo, una representación gráfica de una distribución de frecuencias nos da una mejor idea de un estudio estadístico que un cuadro con números. Por ende, es conveniente saber graficar y, además, saber interpretar gráficos. Los datos de una tabla, con datos no agrupados, se pueden expresar mediante un gráfico de barras, uno poligonal  o uno circular. Si los datos están agrupados, se utiliza, generalmente, el histograma .

EJEMPLOS 1.

La tabla de la figura 1, muestra una distribución de frecuencias frecuencias de las edades, en años, años, de 30 alumnos de un colegio que consumen leche diariamente. Edades (años) 15 16 17 18

¿En cuál(es) de los siguientes gráficos queda representada la distribución de frecuencia de la tabla de la figura 1?

de barras 

I)

poligonal  

II)

Nº de alumnos 12

9

9

6 3

6 3

A) B) C) D) E) 2.

15 16 17 18

En En En En En

sólo sólo sólo sólo I, II

Edad (años)

fig. 1

circular 

III)

18 años

Nº de alumnos

12

0

Nº de alumnos 12 6 9 3

10%

17 años 30% Edad (años)

15 16 17 18

40% 15 años

20% 16 años

I  I y II I y III II y III y III 

Según el histograma y su tabla de frecuencia (fig. 2), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Nº de alumnos 11

Distintos tipos de Nº de Lácteos consumidos alumnos [0 – 2[

2

[2 – 4[

11

[4 – 6[

5

[6 – 8[

7

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

fig. 2

1

I)  II)  III)  A)  B)  C)  D)  E) 

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

2

3

4

5

6

7

8

La amplitud de los intervalos es 2. Las marcas de clases de los intervalos de menor frecuencia son 1 y 5. El promedio o media aritmética es 5.

I I y II I y III II y III I, II y III 11

Distintos tipos de lácteos consumidos

 

  3.

El gráfico poligonal de la figura 3, muestra una encuesta realizada a 63 personas acerca de sus preferencias entre 6 tipos de helados, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  II)  III) 

La moda es 18 personas. Los helados más preferidos por las personas encuestadas son B o F. Los helados menos preferidos por las personas encuestadas son C o E. Nº de personas

A)  B)  C)  D)  E) 

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

18 15 12 

fig. 3

9 6 3 A

4.

C

D

E

F

Tipos de helados

El gráfico circular de la figura 4, muestra las preferencias de 200 dueñas de casa sobre el electrodoméstico, más utilizado a diario. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I)  II)  III)  A)  B)  C)  D)  E) 

5.

B

La moda es el hervidor eléctrico. 72 dueñas de casa dicen utilizar preferentemente Hervidor o Microondas. Las dueñas de casa dicen utilizar preferentemente Juguera o Hervidor o multiprocesadora son 120.    s  M 1  a  u 2  d  t  l    % o i   r   p  a r     o sacajugo  c   e Microondas 5% 35% Juguera 11%

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

Hervidor 37%

Según el el gráfico de la figura 5, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? N° de familias 7 6

fig. 5

5 4 3 2 1 1

A)  B)  C)  D)  E) 

2

3

4

5

6

7

Nº de personas del grupo familiar

Hay 9 familias que tienen menos de tres integrantes en el grupo familiar Hay 15 familias que tienen más de cuatro integrantes en el grupo familiar Hay por lo menos 16 familias con menos de 4 integrantes en el grupo familiar Hay 21 familias que tienen más de dos integrantes en el grupo familiar El total de personas encuestadas es 23 12

fig. 4

 

 

EJERCICIOS 1.

En una fiesta de cumpleaños, de los niños que asistieron, 4 son hijos únicos, 7 tienen 1 hermano, 5 tienen 2 hermanos, 1 tiene 3 hermanos, y 4 tienen 4 hermanos. La mediana del número de hermanos de los invitados a la fiesta es A)  11 B)  7 C)  3 D)  2 E)  1

2.

Se lanzó 20 veces un dado obteniéndose la distribución de frecuencias que indica el gráfico de la figura 1. Si a  representa la media, b representa la mediana y c  representa la moda. ¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera(s)? I)  II)  III)    A) B)  C)  D)  E) 

3.

Frecuencia absoluta

a>b>c a=b=c b