Estadistica.pdf

Estadística I

1

Estadística I En este capítulo aprenderemos:

• • • •

A definir Estadística, Población y Muestra. A interpretar las tablas de distribución de frecuencias. A estimar porcentajes relacionados de una muestra real.

A analizar gráficos estadísticos y a distinguir las clases clases de gráficos que existen.

Empresa en quiebra

http://www.generaccion.com/usuarios/opinion/imagenes/1388.jpg 

• Central: 619-8100

¿Qué ¿Qué te dice dice esta esta figu figura ra?? UNIDAD 9

143

Aritmética

Saberes previos •

Ordene en forma creciente: 1. 12; 45; 24; 58; 12; 86

•

Calcular los porcentajes de variación: 3. ¿Qué porcentaje aumentó de 20 a 25?

2. 2; 4; 5; 3; 6; 7; 2; 5; 6; 9

4.

¿Qué porcentaje aumentó de 120 a 150?

5.

¿Qué porcentaje aumentó de 80 a 104?

Conceptos básicos Concepto

La Estadística es una ciencia que nos provee de un conjunto de métodos, pautas y procedimientos, para la recolección, organización (clasificación), análisis e interpretación de datos en forma adecuada, para en base de ellos, tomar decisiones ante un problema o fenómeno. Ejemplos:

• •

Estudiar la variación mensual mensual del precio del dólar durante los últimos 5 años, para averiguar averiguar qué mes del año es el más favorable para comprar dólares. El grado de aceptación aceptación de un producto por los consumidores, para averiguar la rentabilidad de un negocio dedicado a tal producto.

Clases de Estadística Estadística descriptiva

Es la parte de la Estadística que se ocupa de la recolección, organización, presentación, descripción y simplificación de datos. Estadística inferencial

Es la parte de la Estadística, que en base a los resultados y análisis de los datos y aplicando las teorías necesarias, pretende inferir las peculiaridades y las leyes que gobiernan la población de la cual proce den los datos.

Conceptos básicos Población Es el conjunto de todos los individuos, en en las cuales presentan una característica que se tiene interés en estudiar. Muestra Es un subconjunto de la población, elegido convenientemente con el propósito de obtener informa-

ción y conclusiones de la población del cual proviene. Se toma muestras, cuando es difícil o costosa la observación de todos los elementos de la población.

Población Pobl Poblac ació iónn del del Perú Perú

Muestra 500 500 pers person onas as del del distrito de Surco

Variable estadística Al hacer un estudio de una determinada población, observamos una característica o propiedad de sus ele-

mentos o individuos. Por ejemplo, con los alumnos y alumnas de nuestra clase, podemos estudiar el lugar donde viven, el número de hermanos, la estatura, etc. A cada una de estas características estudiadas se le llama variable estadística. Colegios

144

TRILCE

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Estadística I

1

Ejemplo:

De una población (colegio Trilce) nos preguntamos:

•

Variable: ¿En qué vienen al colegio?

•

Variable: ¿Cuántas personas viven en tu casa?

Clasificación de variables Variable cualitativa Es cuando se presenta una cualidad o atributo de la población. Ejemplos:

•

Estado civil: soltero, casado, viudo

•

Profesiones: ingeniero, médico, abogado

Variable cuantitativa

Es cuando los valores que asume son números, como resultado de conteos. Ejemplo:

•

Peso, edad, estatura, etc.

Variable discreta

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Ejemplo:

Población Alumnos del colegio Trilce.

Variable

Características

Núme Número ro de herm herman anos os 0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; ... ...

Variable continua

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Ejemplo:

Variable Población Características Profesores del colegio Trilce. La estatura 1,73 m; 1,82 m; ...

Análisis de una variable cualitativa Frecuencias

Cuando se han recogido los datos correspondientes a una variable estadística, hay que tabularlos; es decir, hay que confeccionar con ellos una tabla en la que aparezcan ordenadamente: •

Los valores de la variable que se está estudiando.

•

El número de individuos de cada valor; es decir, su frecuencia. Frecuencia absoluta

Es el número de observaciones que presenta esa clase Frecuencia relativa

Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de observaciones Central: 619-8100

UNIDAD 9

145

Aritmética

Ejemplo:

Características

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Medallas ganadas

Número de ganadores en cada medalla

# de ganadores/total de ganadores Fracción Porcentual

Oro Plata

7 9

Bronce Total

4 20

7/20 = 0,35 9/20 = 0,45 4/20 = 0,20 1

35% 45% 20% 100% 10 x 5 50

 Aplica lo comprendido Completar: 1. Da un ejemplo de población y muestra. 2.

Menciona una variable cualitativa ordinal

3.

Menciona una variable cualitativa nominal

4.

Mencione una variable cuantitativa discreta

5.

Mencione una variable cuantitativa continua

 Aprende más •

Completa el enunciado, indicando si es "cuanti- 6. Indique que porcentaje le corresponde al sector tativa" o "cualitativa":

"B".

1.

Las notas de un grupo de alumnos es una varia-

2.

Las clases de bebida gaseosa es una varia-

cuantitativa ble……………….. cualitativa ble………………….

7.

Indique la diferencia (en porcentaje) de los sectores "B" y "C". 10 %

8.

Indicar la suma de los sectores "A", "B" y "C" en porcentaje.

3.

El sexo de un grupo de personas es una varia-

cualitativa ble…………………………

65 % 9. Indicar que sector posee mayor porcentaje.

4.

Las edades de los empleados de una empresa es

Enunciado II

cuantitativa una variable……………………..

Enunciado I

D

En una emisora radial se preguntó a los radioescuchas, sobre la preferencia de los chocolates "A", "B",

"C", "D" y "E" en la ciudad de "Lima" y se obtuvo el Se estudia la preferencia de los alumnos del cole- siguiente gráfico: gio hacia las bebidas "A", "B", "C" y "D". Luego de escoger una muestra, se tiene el siguiente diagrama circular: B(400) A(300)

C(600)

D(700)

5.

146

Identifique la población, muestra, variable y tipo de variable. 2000 ,preferencia de Colegios bebidas ,cuantitativa, TRILCE discreta

10 000   s   e    t   n   a    t    i    b   a    h   e    d    d   a    d    i    t   n   a    C

7 000 5 000 3 000

A

C D Chocolates

B

E

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Estadística I

10. Identifique la población, muestra, variable y tipo de variable.

1

13. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate "C"? 14. ¿Cuál es el chocolate preferido en la ciudad de

11. ¿Cuál es el total de la muestra?

"Lima"?

12. ¿Cuántos habitantes prefieren el chocolate "B"?

15. ¿A cuánto asciende (en porcentaje) la cantidad de habitantes que prefieren el chocolate "A" en

la ciudad de "Lima"?

¡Tú puedes! Preguntas 1 a 3 • El gráfico siguiente muestra la posición de una partícula a lo largo del tiempo (movimiento en una sola dimensión).

25    )   s20   o   r    t   e   m 15    (   n    ó    i   c10    i   s   o    P

5

10

1.

2.

¿Cuál es la posición de la partícula en t = 5 segundos? a) 12 m b) 10 c) 9

20

d) 11

tiempo (s)

30

e) 21

¿En qué instante la posición de la partícula es 10 metros? Dar como respuesta la suma de todos los tiempos posibles.

a) 27,5 s 3.

b) 30

c) 20

d) 25

La posición de la partícula es de 2 metros para "t" segundos. ¿Cuál es el valor de "t"? a) 29 s b) 28 c) 29,5 d) 28,5 e) 30

Preguntas 4 a 5 • La temperatura de Lima durante el 25 de febrero del 2010 varió de acuerdo a lo mostrado en el siguiente gráfico:

30

   )    C    °    (   a   r   u    t 20   a   r   e   p   m   e    T10

4

4.

5.

e) 24

8

12

16

20

Horas 24 del día

¿Cuál fue la temperatura a las 3 de la mañana? a) 14 °C b) 13,5 °C c) 15 °C

d) 14,5 °C

e) 15,5 °C

¿A qué hora del día la temperatura es máxima? a) 2 pm b) 1 pm c) 3 pm

d) 12 m

e) 4 pm

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UNIDAD 9

147

Aritmética 18:10:45

Practica en casa En el año 2000: 11 000 000 habitantes

Enunciado I

El gráfico muestra la votación obtenida por un par tido en las elecciones municipales en los diferentes sectores económicos: A(45%) D(15%)

 B(5% )

¿Cuál fue la variación de la población del año 1970 al año 2000?

6.

¿En cuánto disminuye o aumenta la población rural del año 2000 con respecto al año 1970?

Enunciado IV

C(35%)

1.

5.

Para las próximas elecciones se ha realizado una en-

Indique qué porcentaje le corresponde al sector "A".

cuesta para saber la opción de voto de las personas, de las cuales, los que votan por "B" se dividen en tres clases socioeconómicas. A

2.

Del problema anterior, indique la diferencia (en

     %      5

D

porcentaje) de los sectores "B" y "C".

40%

B

30%

Enunciado II

En el siguiente gráfico se muestra el número de cho -

25%

ques ocurridos en cinco años consecutivos en la ciudad de Lima. # de choques (miles)

4,5

C Número de personas

4,7 60

3,7

Solo votarían por el candidato "B"

36

2,9

24 1,2 Año

Clase

1995 1996 1997 1998 1999

Alta

3.

El promedio de choques en los cinco años es:

4.

La variación porcentual entre el primer y quinto año (aprox.) es:

Media

Baja

Socioeconómica

7.

Indica la variable y el tipo de variable

8.

¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por "B" en la clase media?

Enunciado III Enunciado V

En el siguiente gráfico se muestra la población urbana y rural dada en los años 1970 y 2000. El gráfico muestra a los ingresantes de un colegio de los 1 000 alumnos de la promoción. El examen de Población 100% selección se tomó a toda la promoción y los resul Urbano tados son:

Rural

70%

# de ingresantes

800

600

40% 400

400

Año

1970

2000

Población: En el año 1970: 6 000 000 habitantes

Universidades Univ. A Univ. B Univ. C Univ. D

Colegios

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Estadística I

9.

Indica la variable y el tipo de variable

10. ¿Cuál es la menor relación entre ingresantes y

postulantes, considerando cada universidad?

Enunciado VI

En el gráfico se muestra el comportamiento de la cantidad de alumnos en el nivel inicial del colegio Trilce. Alumnos

11. Dadas las siguientes afirmaciones:

I.

La suma de los ingresantes de "A" y "B" es mayor que los 2/3 del número total de pos tulantes.

II. En "D" el número de postulantes es igual al número de ingresantes. III. El número de ingresantes en "B" es igual al 60%. ¿Cuáles son correctas? 12. Para el próximo año se incrementa en 25% el número de alumnos de la promoción y el número de ingresantes en cada universidad aumenta en 100. ¿Cuál es la relación entre los postulan-

tes y los ingresantes en la universidad "B"? 13. Hallar la relación del número de ingresantes de

1

50 40 30 20 Año

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

14. Señalar verdadero (V) o falso (F):

• • •

La cantidad de alumnos en el periodo 199395 es mayor que en el periodo 1995-97. La cantidad de alumnos del periodo 1997 – 2000 es menor al del periodo 1993-96. Si la razón permanece constante desde el

periodo 1997 se espera que para el 2005 haya 100 alumnos.

las universidades "A" y "C" con "B" y "D".

15. ¿Cuáles son verdaderas?

I.

La línea trazada de 30 representa el promedio.

II. Si a un profesor se le paga S/. 2 000 por año y cada alumno paga S/. 100, el 61,5% de lo recaudado es destinado a la paga de la plana docente.

III. Si la línea desde el año 1997 sigue su curso, entonces los inscritos en el 2005 serán 100.

Central: 619-8100

UNIDAD 9

149

2

  Aritmética

Estadística II En este capítulo aprenderemos:

• •

A definir variable cuantitativa discreta.

A distinguir entre la variable discreta y continua.

Los gráficos estadísticos

La interpretación de gráficos estadísticos es muy importante para obtener conclusiones, sin embargo los hay de varios tipos.

Saberes previos •

Calcular la media aritmética de:

•

Calcular los porcentajes de variación:

1.

34; 57; 12; 25

4.

¿Qué porcentaje de 180 es 45?

2.

¿Qué fracción de 48 es 12?

5.

¿Qué porcentaje es 24 de 144?

3.

¿Qué fracción de 60 es 24? Colegios

150

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Estadística II

2

Conceptos básicos Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable discreta

Consiste en presentar los datos en cuadros o tablas. A continuación, se detallará los conceptos previos para la construcción de cuadros o tablas. Ejemplo:

•

Se ha encuestado a 20 familias respecto al número de miembros que la conforman (padres e hijos incluidos).

4

2

3

5

6

2

3

3

4

5

3

7

2

2

3

6

3

3

4

2

Rango o amplitud de los datos

Llamado también "recorrido de los datos"; el rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los valores que forman la variable. Del ejemplo, el rango de los datos es: R = 7 – 2 = 5 Frecuencia absoluta de un dato (fi)

Es el número de veces que aparece un valor de la variable estadística. Del ejemplo, la frecuencia absoluta de 3 es 7. Frecuencia absoluta acumulada de un dato (Fi) La frecuencia absoluta acumulada de un dato de la variable, es la cantidad de datos hasta determinado valor de la variable.

Del ejemplo, la frecuencia absoluta acumulada de 3 será: 5 + 7 = 12 Frecuencia relativa de un dato (hi)

Es el cociente entre la frecuencia absoluta del dato y el total de datos. hi = Del ejemplo, la frecuencia relativa de 3 es:

7

20

f i n

= 0,35 ó 35%

Frecuencia relativa acumulada de un dato (Hi)

Es el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada y el total de datos. Hi =

Fi n

Del ejemplo, la frecuencia relativa acumulada de 3 es:

Resumiendo los datos en una tabla: Número de miembros Número de

Central: 619-8100

de una familia (xi)

familias (f i)

2 3

5

4 5 6

7 3 2 2

7 Total

1 20

12 = 0,60 ó 60% 20 Fi

hi

Hi

5 12 15 17 19 20

0,25 0,35 0,15 0,10 0,10 0,05 1

0,25 0,60 0,75 0,85 0,95 1

UNIDAD 9

151

Aritmética

Gráficos Diagrama de barras Se utiliza para representar los caracteres cuantitativos discretos. En el eje horizontal o eje de abscisas,

se representan los datos y en el eje vertical o de ordenadas, se representan las frecuencias de cada dato. Polígono de frecuencias

Es un gráfico lineal que se utiliza en el caso de una variable cuantitativa. Para realizar el polígono, unimos los puntos medios de las bases superiores del diagrama de barras.

Medidas de tendencia central Existen diferentes tipos de parámetros de centralización, entre ellos los más usuales son: • La media aritmética o media. • La mediana. • La moda. Media aritmética (x) Sean los siguientes datos: a1; a2; a3; a4; …; an a  + a2 + a3 + ... + a n x= 1 n Ejemplo:

•

Dados los siguientes datos: 4; 12; 5; 7; 8 y 6, hallar la media aritmética. Resolución: 4 + 12 + 5 + 7 + 8 + 6 x= = 8, 4 6

Mediana (Me) La mediana de un conjunto de datos ordenados en forma creciente o decreciente es la cantidad que

divide a los datos en dos grupos de igual número de elementos. Caso 1: n = impar ⇒ Dato central Caso 2: n = par

⇒ Semisuma de los dos datos centrales

Ejemplo:

•

Considere los siguientes seis datos de medidas de pesos en kg: 3,8; 4,6; 5,2; 9,0; 8,4 y 3,6 Resolución: Ordenando los datos: 3,6; 3,8; 4,6; 5,2; 8,4 y 9,0 n = 6 ⇒ n = par, luego: Me = Semisuma entre el tercer y cuarto dato 4,6 + 5,2 9,8 = Me = =4,9 2

2

Moda (Mo)

Es un rango de la variable que se repite con mayor número de veces en la distribución. Ejemplo:

•

Consideremos los siguientes datos: 10; 13; 11; 8; 9; 10; 13; 8; 10; 14; 11 y 12 Resolución: Ordenando los datos: 8; 8; 9; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 13; 13; 14 Notamos que el dato con mayor repetición es 10. ∴ Mo = 10

Colegios

152

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Estadística II

2

 Aprende más Enunciado

Los resultados han sido los siguientes:

Se estudia la cantidad de hermanos que tienen los alumnos del colegio, para ello se encuesta a los alumnos del tercer año, preguntándoles por el número de hermanos que tienen. 3.

2 1 1 0 1 2 1 5 3 6 1 2 0 3 0

1 1 2 3 4 4 2 1 1 1 2 0 3 1 1 Determina la muestra y la variable. 2. ¿Cuántos alumnos forman la muestra? 1.

Complete la siguiente tabla: # de hermanos Frecuencia absoluta Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia relativa por alumno acumulada acumulada # de alumnos % de alumnos fi

xi

Fi

hi

Hi

0

3

6 4. ¿Cuántos tienen menos de 3 hermanos? 5.

¿Cuánto es la frecuencia absoluta de los que tienen 2 hermanos?

Enunciado

•

Se desea analizar las notas promedio en el curso de Aritmética de los alumnos del tercer año del

colegio, para ello se escogió a doce alumnos y las notas de ellos son: 12; 14; 16; 17; 14; 14; 6. Determina la suma de las frecuencias absolutas 14; 14; 16; 13; 11 y 11 7. Determina la frecuencia relativa de los que tie- 11. Identifica la población, muestra, variable y tipo de variable

nen un hermano. Enunciado

•

Se estudia la cantidad de hijos que tiene cada familia del colegio, para ello se encuesta a los alumnos del tercer año y se obtiene los siguientes datos:

N° de hijos por familia 2 3

4 5 6 8.

N° de familias 10 8 16 10 6

Enunciado

•

Se desea analizar las edades de los profesores del colegio, para ello se tomó de la base de datos del colegio, las edades de los diez profeso-

res de ciencias: 22; 25; 23; 36; 32; 36; 23; 23; 23 y 25. 13. Identifica la población, muestra, variable y tipo de variable

Determina la población, muestra, variable y tipo de variable.

9.

12. Estructura una tabla, luego identifique las frecuencias absolutas (f i) y relativas (hi), como también sus respectivas frecuencias acumuladas. Luego, hallar: f 3 + h2.

Grafique el polígono de frecuencias acumula das correspondiente a la muestra.

10. Halle el porcentaje de familias con menos de

5 hijos. Central: 619-8100

14. Estructura una tabla, luego identifique las frecuencias absolutas (f i) y relativas (hi), como también sus respectivas frecuencias acumuladas. Luego, hallar: f 3 + h2. 15. Grafique el polígono de frecuencias absolutas de la muestra. UNIDAD 9

153

Aritmética 18:10:45

Practica en casa Indicar la media aritmética de los siguientes da - Enunciado tos: 6; 8; 14; 16; 18; 9 y 6. • Se desea estudiar las edades de los alumnos ingresantes de este año a la UNI. Se pidió las 2. edades del grupo de ingresantes del colegio y se obtuvo el cuadro siguiente: I. Hallar la mediana de los datos: 2; 5; 8; 9; 11; 14; 15. xi f i (Edades) (# de personas) II. Hallar la moda de los datos: 4; 5; 8; 8; 9; 8; 13 17 15 Sumar ambos resultados y dar la respuesta. 18 20 19 45 Enunciado 20 55 • La empresa "Figurita S.A." ofrece un producto 21 40 en Telemercado que garantiza que una persona 22 25 podría bajar de 12 kg hasta 20 kg en 30 días. La 1.

empresa "Control" se encarga de analizar si el producto ofrecido cumple lo prometido, para lo

cual contrata "n" personas y luego de analizar el producto durante 30 días, nos muestra los si guientes resultados:   s   a   n   o   s   r   e   p   e    d   o   r   e   m    ú    N

32

10 5 12

16

20

3

Kilos que bajaron

24

Determina la población, muestra, variable y tipo de variable.

4.

Realiza una tabla de frecuencias (absolutas, acumuladas y relativas).

5.

¿Cuántas personas se sometieron a la prueba del producto?

6.

8.

Grafique el polígono de frecuencias absolutas.

9.

Completa la tabla de frecuencias (absolutas, acumuladas y relativas).

Enunciado

16

8

Determina la población, muestra, variable y tipo de variable.

24

4

3.

7.

•

Un local comercial nos entrega el siguiente gráfico, donde se muestra la evolución del precio de venta de cada DVD para el periodo de 8 se manas.

   )   s 500   e   r   a    l    ó    d    ( 400    S    '    D 300    V    D   e200    d   o    i   c100   e   r    P

Semanas

1

2

3

4

5

6

7

8

¿Qué porcentaje de las personas bajaron más 10. ¿En qué semana el ingreso por la venta de los DVD’S fue mayor? de 12 kg? 11. ¿Cuál fue el ingreso para la venta de los DVD’S

en las 8 semanas?

Colegios

154

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Estadística II

12. ¿Cuántos DVD’S se vendieron en las 8 sema -

Enunciado

•

2

A continuación se muestra la evolución de las ventas de DVD en un conocido local (venta de DVD durante un periodo de ocho semanas)

nas? 13. ¿Entre qué semanas se registra la mayor varia -

ción en las ventas?

35

14. ¿En cuántas semanas se vendió más del prome -

30

dio semanal (para el periodo de 8 semanas)?

   S    '    D 25    V    D   e20    d   o   r   e15   m    ú    N 10

5 1

2

3

4

5

6

7

8

Semanas

Central: 619-8100

UNIDAD 9

155

3

  Aritmética

Estadística III En este capítulo aprenderemos:

• •

A distinguir entre la variable discreta y continua. A interpretar los resultados obtenidos de las tablas de distribución de frecuencias.

Los gráficos estadísticos

La interpretación de gráficos estadísticos es muy importante para obtener conclusiones, sin embargo los hay de varios tipos.

Saberes previos 1.

Dados los datos, ordénalos en forma ascenden-

3.

Calcular la media aritmética de: 45; 54; 61; 32; 81

4.

Calcular la mediana de: 2; 6; 4; 3; 7; 6; 2; 5; 6; 10

5.

Calcular la mediana de: 2; 4; 3; 2; 4; 7; 5; 6; 5; 3; 4; 4

te y luego calcula la moda: 12; 15; 18; 12; 13; 13; 17; 13; 11 2.

Calcular la media aritmética de: 23; 54; 12; 34; 50; 12

Colegios

156

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Estadística III

3

Conceptos básicos Distribución de frecuencias o tabla de frecuencias de una variable continua (Agrupación en intervalos) Es una tabla en donde los datos originales se clasifican en intervalos de clase. Las razones de la agrupación

por intervalos de clase es el número grande de datos. Ejemplo:

•

A continuación, se proporciona como datos las remuneraciones semanales (en dólares) de 50 obreros de una industria. 73 47

67 82 67 70 65 70 57 85 59 70 69 58 76 67 52 68 76 79 77 88 94 67 73 64 70 46 68 63

60 67 61 80 57 73 77 58 69 66 72 86 77 54 93 56 72 84 63 74

Determinación del rango

Es la diferencia entre el mayor (xmáx) y el menor (x mín) de los datos de la variable. E = xmáx – xmín

Del ejemplo, el rango es: R = 94 – 46 = 48 Determinación del número de intervalos de clase

Consiste en dividir el rango en números convenientes de intervalos de clase, generalmente del mismo tamaño. No hay una fórmula exacta para calcular el número de intervalos de clase, sin embargo existen tentativas y aproximaciones. Podemos considerar dos tentativas: •

Número de clases: k = 5, si el número de datos es ≤ 25 y k = n, si: n > 25

•

Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,3 log n

Del ejemplo: n = 50, entonces podemos asumir: •

k = 50  = 7,07; es decir el número de intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

•

k = 1 + 3,3 log 50 = 6,6; es decir el número de intervalos de clase puede ser: 6; 7 u 8.

Determinación del tamaño de los intervalos Es conveniente que los intervalos de clase sean del mismo tamaño.

Amplitud de clase: C = Del ejemplo, la amplitud de cada clase será: C =

R K

48 =6 8

Determinación de los límites de clase Se recomienda que el límite inferior del intervalo de la primera clase sea el menor de los datos, en-

seguida se agrega "C" para obtener el límite superior de dicha clase. Del ejemplo, el intervalo (semiabierto) de la primera clase es: [46; 52〉 Límite inferior Central: 619-8100

Límite superior  UNIDAD 9

157

Aritmética

Determinación de la frecuencia de clase

Consiste en determinar el número de datos que caen en cada intervalo de clase. Del ejemplo, en la primera clase: [46; 52〉 existen dos datos, es decir: f 1 = 2 Marca de clase Es el punto medio del intervalo de clase. Del ejemplo, la marca de clase de la primera clase ([46; 52 〉) es: C =

46 + 52 2

= 49

Resumiendo los datos en una tabla: Remuneraciones (dólares)

Marca de clase

Fi

f i

hi

Hi

[46; 52〉 [52; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 [ ; 〉 Total

Síntesis teórica VARIABLE CUANTITATIVA

•

VARIABLE DISCRETA Rango de los datos

• • • •

• • • •

VARIABLE CONTINUA Rango de los datos Número de intervalos de clase Ancho de clase

Marca de clase

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Frecuencia absoluta Frecuencia relativa Frecuencia absoluta acumulada Frecuencia relativa acumulada

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS • • • • •

Diagrama de barras. Histograma.

Polígono de frecuencias. Polígono de frecuencias acumuladas u ojiva. Diagrama de sectores

Colegios

158

TRILCE

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Estadística III 10 x 5 50

3

 Aplica lo comprendido 1.

El rango o amplitud de los datos es llamado tam-

4.

Completar en el siguiente intervalo de clase:

bién ……………………………………………………. 2.

[34; 56〉 Límite ……..………

La frecuencia relativa de un dato es el cocien-

Límite …..…………

te entre la………………………………absoluta del 5. ¿Cuál es la marca de clase de los siguientes in dato y el…………………………..de datos. tervalos de clase? 3.

La suma de las frecuencias relativas de los datos

• • •

es igual a…………….

[18; 30〉 ……………………….. [12; 18〉 ……………………….. [34; 37〉 ………………………..

 Aprende más Enunciado

•

5.

Calcular "H4 + h5"

6.

¿Cuántos puestos atendieron de 20 a 60 y cuántos de 60 a 80?

7.

Se tiene el siguiente histograma de frecuencias relativas.

Se ha tomado el peso (en kg) a 30 jóvenes obteniéndose:

48 46 44 56 70 42 46 46 68 48 42 50 40 52 54 60 64 50 52 66 68 42 62 50 62 52 50 50 44 44 1.

Agrupe los datos en intervalos de ancho común e igual a 6. Calcular el rango de la variable.

2.

El número de intervalos de clase es:

Frecuencias relativas

8x

3.

Calcular la suma del límite inferior de la segunda y cuarta clase.

4.

¿Cuántos jóvenes pesan por lo menos 52 kg?

4x

Enunciado

•

2x

La siguiente tabla corresponde a la distribución del número de pacientes atendidos en febrero del año 1999 por 75 puestos de salud de la Sel va. Los anchos de clases son iguales a 20.

Número de pacientes

[ [ [ [ [ [ [

; 〉 ; 〉 ; 〉 ; 〉 ; 〉 ; 〉 ; 160〉

xi

f i

Fi

30

hi

0,04 12 15 21 12 9

x a

b

c

d

e

f 

Rangos

¿Cuántas observaciones hay en el rango (c; f), si la población es de 400?

Hi 8.

Se tiene una distribución de frecuencias con cinco intervalos de clase cuyas frecuencias relativas son: 2 – K 2K K 2 – 3K K + 1

5

;

; ; 5 5

5

;

5

respectivamente.

Determinar los valores de "K", que tengan cierto el enunciado anterior.

Total Central: 619-8100

UNIDAD 9

159

Aritmética

9.

La tabla muestra la distribución del ingreso familiar correspondiente a 80 familias. Determi-

Ii

nar el número de familias que ganan de S/. 200 a más. Intervalo de ingreso

Fi

f i

(soles)

hi

[160 - 170〉 48

[170 - 180〉

60

[180 - 190〉

0,125

[190 - 200〉

0,075

[200 - 210〉

[ 0 ;

〉

[

;

〉

[

;

〉

[

;

〉

[

;

〉

Fi

f i

hi

Hi

xif i

13. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso, según los datos agrupados y según los datos origina les? Dar como respuesta la diferencia de valo -

res. (Nota aprobatoria mínima: 10). 14. El siguiente cuadro muestra la ojiva de frecuencia relativa acumulada de las notas de un exa-

men de ingreso a la UNI. ¿Qué porcentaje de alumnos tuvieron una nota entre 10 y 18?

Enunciado

•

xi

%

La siguiente formación representa la composición de una dieta alimenticia: Intervalos

100 95 90

Gramos

Calorías

Carbohidratos

500

2 050

70 65 60

Proteínas

100

410

50

80

40

Grasas

100

930

30 20 10

10. ¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta

0

se debe a las proteínas?

4

8

12

16

20

Nota

Enunciado 11. ¿Cuántas calorías hay en un gramo de carbohi -

dratos?

•

En la siguiente tabla, se muestra la distribución de frecuencia de las notas de 50 alumnos. Completar la tabla, considerando intervalos de an-

cho común e igual a 2. 12. ¿Qué cantidad de carbohidratos son necesarios para tener el mismo número de calorías que tie -

nen 1 000 g de grasas? Enunciado (Problema 13).

Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de Estadística, recogiéndose los siguientes datos: 3

4

8

7

11 13 10

2

7

11 10 12 16 15

6

9

9

10 13 14

Ii

xi

f i

Fi

xif i

[

〉

30

[

〉

40

[

〉

[

〉

[

〉

[

〉 Total

22

28

16 44 50

Agrupe los datos en intervalos de ancho común 15. Si la nota aprobatoria es 10, ¿qué porcentaje de igual a 4 y complete la siguiente tabla: alumnos desaprobados existen? Colegios

160

TRILCE

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Estadística III

3

¡Tú puedes! 1.

Al estudiar el consumo de leche se verificó que en cierta región, 25% de las familias consumen entre 1 y 2 litros; 35% consumen entre 2 y 3 litros y el restante consume entre 3 y 5 litros. Para la variable en estudio, ¿cuál es la media y la mediana respectivamente? a) 2,78 y 2,62 b) 2,72 y 2,62 c) 2,85 y 2,71 d) 2,8 y 2,78 e) 2,8 y 2,9

2.

Se tiene cuatro cantidades cuya moda es 3, su mediana es 5 y su media es 6. Calcular el producto de las dos cantidades mayores. a) 64 b) 68 c) 75 d) 77 e) 80

3.

En una prueba de Aptitud se evaluaron a "n" estudiantes y los puntajes obtenidos se clasificaron en una tabla de distribución de frecuencias como se muestra a continuación:

Marca de clase 45 55 65 75 85 k 3k 2k 3k k Frecuencia relativa 50 100 25 50 100 ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvieron más de 60 puntos o menos de 80 puntos? a) 70% b) 25% c) 20% d) 15% e) 30% 4.

El gráfico mostrado, indica la variación porcentual de cada año del precio del dólar (tipo de cambio). Si al finalizar el año 2005 el dólar se cotiza a S/. 3,65; determine la cotización al finalizar el año 1999. %

16%

15% 12%

13%

12%

10%

Año

2000 2001 2002 2003 2004 2005

a) 1,41

b) 1,92

c) 1,93

d) 2,50

e) 2,20

18:10:45

Practica en casa 1.

Las edades de un grupo de universitarios que

asisten a un partido de fútbol se muestra en el

Determinar el valor de "a" del siguiente cuadro de datos, que representa los pesos en gramos de

cuadro siguiente:

50 latas de conservas, si: b – a = 5

xi (Edades)

fi (# personas)

17 18 19 20 21

15 20 45 55 40 25

22

¿Cuál es la media de las edades? Central: 619-8100

2.

Pesos

f i (# lata)

[50 – 100〉

a

[100 – 150〉

b

[150 – 200〉

15

[200 – 250〉

12

[250 – 300〉

10 UNIDAD 9

161

Aritmética

3. 4.

5.

6.

¿Cuántas latas pesan 200 g ó más gramos? ¿Qué porcentaje de latas pesan entre 100 y 200 gramos? Se muestra el peso de 15 alumnos de un salón

11. La tabla muestra la distribución de frecuencias, sobre el ingreso familiar mensual en soles sobre

un grupo de 50 familias.

48; 45; 52; 61; 48; 40; 44; 52; 46; 52; 47; 55; 60; 53; 50 Calcular la mediana y la moda.

Ingresos (S/.) N° Familias 2 500 700 5 900 10 1 100 8 1 300 19 1 500 6 ¿Cuántas familias tienen ingresos mayores a S/.1 100?

Dada la tabla de distribución de un grupo de

Edades fi  (# alumnos)

[10-12〉 [12-14〉 [14-16〉 [16-18〉 [18-20〉

Fi

40 6 8

12. De la distribución de frecuencias del problema anterior, ¿cuál es la frecuencia absoluta acumulada de las familias que tienen un ingreso de

3

13

S/. 900?

Hallar el porcentaje de alumnos que tienen des-

de 13 hasta 15 años. 8.

12; 08; 07; 04; 13; 15; 07 y 08. Calcular la suma de la media, moda y mediana.

de clase:

alumnos, determinar cuántos tienen desde 13 hasta 15 años.

7.

10. Dados los siguientes datos: 06; 08; 13; 04; 12;

La siguiente distribución de frecuencias relati-

vas, muestra el peso en gramos de 400 paquetes de harina preparada La Favorita. Pesos [100 – 140〉 [140 – 180〉 [180 – 220〉 [220 – 260〉 [260 – 300〉

hi

k/2 0,18 2k k 0,12

13. La tabla muestra la distribución de frecuencias, sobre la asistencia de alumnos a las aulas. Si el

número de aulas es 100, ¿cuál es la asistencia media? Asistencia

60 65 70 75 80 85

N° de aulas 4 6 15 10 25 40

¿Cuántos paquetes pesan menos de 220 gra- 14. Del problema anterior, el valor de la moda, es: mos?

15. La tabla muestra la distribución de frecuencias,

9.

Se tiene la siguiente tabla de frecuencias relativas de 100 empleados, según su edad. Edades

hi

[15–18〉 [18–21〉 [21–24〉 [24–27〉 [27–30〉

0,16 0,12 0,28 0,3 0,14

sobre las estaturas de un grupo de 50 alumnos. Calcular cuántos alumnos tienen menos de 1,70 m. Estatura (m)

fi  

1,50 1,60 1,70 1,80

12 18 15 5

¿Cuántos empleados tienen edades entre 19 y 25 años? Colegios

162

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Medidas de tendencia central

4

Medidas de tendencia central En este capítulo aprenderemos:

•

A reconocer las diferentes medidas de centralización como son la media, mediana y la moda.

• •

A calcular la media, mediana y moda en los gráficos estadísticos. A interpretar las medidas de centralización y su importancia en situaciones de contexto real.

Este zapato está de moda

http://eellna.com/ProductPic/la_moda_de_la_bomba_1_221521.jpg 

•

¿Qué relación tiene esta figura con el tema que vamos a estudiar?

Saberes previos 1.

Calcular la moda de: 2; 4; 3; 2; 4; 7; 5; 6; 5; 3; 4; 4

3.

Calcular la mediana de: 2; 6; 4; 3; 7; 6; 2; 5; 6; 10

2.

Calcular la media aritmética de: 23; 54; 12; 34; 50; 12

4.

¿Qué fracción de 20 es 25?

5.

¿Qué fracción es 24 de 48?

Central: 619-8100

UNIDAD 9

163

Aritmética

Conceptos básicos Observación: El área de la superficie limitada por el polí -

gono de frecuencias y el eje horizontal es igual a la suma de las áreas de los rectángulos que forman el histograma. Diagrama escalonado: (Histograma de frecuencias acumuladas) Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados, se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas.

Ojiva: Se obtiene al unir los extremos superiores de las

Fi 40 38 28 16 11

barras de un histograma de frecuencias absolutas acumuladas.

Ojiva

4 0

5

10

15

20

25

30

Intervalos

La descripción de los datos se realizará mediante las medidas de tendencia central. Media Para datos no agrupados: Es la media aritmética de los datos.

Para datos agrupados: k

S f i xi

x=

i=1

n

k

x=

S xi hi i=1

Mediana Para datos no agrupados: La mediana es aquél dato que ocupa la posición central, cuando los datos están ordenados y la cantidad sea impar y si la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio de los dos datos centrales. Ejemplos:

• •

La mediana de los datos: 2; 3; 4; 5; 5; 6; 8; 9; 20; 24; 25 es 6 La mediana para los datos: 4; 5; 12; 20; 100; 132 es la media aritmética de 12 y 20 que son los dos términos centrales, es decir la mediana es 16. Para datos agrupados: n – Fme – 1 2 Me = Linf  + w f me

1–H Me = Linf  + w

2

me – 1

hme

Donde: Linf : Límite inferior de la clase mediana.

w: Ancho de clase Fme – 1: Frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la clase mediana. f me: Frecuencia absoluta simple de la clase mediana. Moda Para datos no agrupados: Es el valor que aparece con más frecuencia. Si son dos los números que se repiten con la misma frecuencia, el conjunto tiene dos modas y se denomina bimodal. Otros conjuntos no tienen moda. Ejemplo:

•

La moda para los datos: 3; 4; 6; 6; 6; 7; 10; 21 es 6

Colegios

164

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Medidas de tendencia central

4

Para datos agrupados: Donde: Linf : Límite inferior de la clase modal.

w: Ancho de clase Mo = Linf  + w

D1 = f mo – f mo – 1 D2 = f mo – f mo + 1

D1 D1 + D2

f mo: frecuencia absoluta simple de la clase modal. f mo + 1: frecuencia absoluta simple de la clase posterior a la clase modal. f mo – 1: frecuencia absoluta simple de la clase anterior a la clase modal.

Síntesis teórica MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media

Mediana

Variable cuantitativa discreta

Moda

Variable cuantitativa continua

10 x 5 50

 Aplica lo comprendido 1.

La media es la …………………………… aritméti - 4. Completa para datos agrupados: ca de los datos.

2.

n – Fme – 1 2 Me = Linf  + w f me

Para calcular la media de datos agrupados se usa: k

x=  

S f i xi i=1 n

x=

f me: …………………………………………

S xi hi i=1

Donde: f i: ……………………………………………… hi: …………………………………………… xi: ……………………………………………..

3.

Linf : ………………………………………..

k

5.

Para datos agrupados, la moda se determina de la siguiente manera:

Mo = Linf  + w

D1 D1 + D2

Explica que es D1 y que es D2.

Completa: "La ……………………………… es aquel dato que ocupa la posición central, cuando están ordenados y la cantidad de datos es impar y si la cantidad de datos es par la …......…………………. es el promedio de los……………..datos centrales".

Central: 619-8100

UNIDAD 9

165

Aritmética

 Aprende más •

Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso 9. Calcular la media, la mediana y moda de la de Aritmética, recogiéndose los siguientes datos:

muestra anterior.

03 04 08 02 11 07 10 12 16 15 10. De la siguiente distribución de frecuencias de 07 11 10 06 09 09 10 13 13 14 las notas de 25 alumnos, se pide completar el 1. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso, según tablero con un ancho de clase constante igual los datos originales? a 2 y f 4 = f 5 2.

Calcular la moda para los datos sin agrupar.

3.

Calcular la media para los datos sin agrupar.

4.

Calcular la mediana para los datos sin agrupar.

5.

De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, calcular: f 2 – f 1 + n.

Clases [10; 20〉 [20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 [50; 60〉 6.

f i

Fi

hi

0,1

Ii [

Hi

25 20

1 día e indicar qué tanto por ciento del total de empleados atienden de 20 a 33 personas.

0,8

Cantidad de

8.

Fi

hi

0,1

f i

personas atendidas

[12 [ [ [

Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, hallar: f 1 + f 3 + F4

24 30

; 6 〉

11. Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias sobre la cantidad de personas atendidas por los empleados de un banco durante

0,3

f i

15 20 14

Si la mínima nota aprobatoria es 10, ¿qué tanto por ciento de los alumnos desaprobaron?

Calcular la media, la mediana y moda de la

Ii [10; 20〉 [20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 [50; 60〉

xif i

25

muestra anterior. 7.

Fi

f i

Hi

hi

Hi

0,10

; 18〉 ; 24〉 ; 30〉 ; 36〉

0,30 42 18

12. La siguiente tabla nos muestra los intervalos de

clase y la frecuencia relativa de una tabla de distribución de frecuencias del número de pan talones que producen los empleados en una fá brica. Calcular que tanto por ciento de personas producen de 5 a 8 pantalones.

0,3 0,85

Si se tiene la siguiente distribución de frecuencias sobre las estaturas (en metros) de un grupo

Ii

[5; 7〉

[7; 9〉

[9; 12〉

[12; 15〉

de 50 jóvenes.

hi

2k

k + 0,02

0,08

3 k 2

Intervalo de clase [1,55; 1,60〉 [1,60; 1,65〉 [1,65; 1,70〉 [1,70; 1,75〉 [1,75; 1,80〉

f i

Hi

•

(Para los problemas del 13 al 15)

Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de frecuencias. Se sabe que la

máxima inversión es de 56 millones de soles, que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles y que las frecuencias absolutas correspondientes a Determinar qué porcentaje de jóvenes poseen los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3; 2 una estatura no menor de 1,70 m, si se sabe 13. ¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 mique: h1 = h5 y h2 = h4 llones como mínimo? 5

0,96

Colegios

166

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Medidas de tendencia central

14. Hallar la inversión promedio en soles.

4

15. Hallar la mediana de los datos clasificados (en millones) de las compañías.

¡Tú puedes! 1.

Reconstruir la siguiente distribución simétrica y determinar la media y la mediana muestral.

Ii

f i

[10; 12〉

7

Fi

Hi

0,14 0,24

[12; 14〉 [14; 16〉 [16; 18〉 [18; 20〉 a) 15; 15 2.

b) 14; 15

c) 15; 15,5

En el siguiente cuadro se muestra la frecuencia de las edades de una muestra de gente joven. Calcule el ta maño de la muestra, así como la frecuencia relativa

del intervalo número 5.

a) 200; 0,20 3.

b) 300; 0,30

d) 14; 15,5

Frecuencia Frecuencia Frecuencia relatiabsoluta

[ 0; 4〉 [ 4; 8〉 [ 8; 12〉 [12; 16〉 [16; 20〉

c) 200; 0,05

relativa

va acumulada

0,3 20 30

0,85

d) 130; 0,15

El gráfico mostrado indica la variación porcentual de %

e) 180; 0,10 16%

15%

cada año del precio del dólar (tipo de cambio). Si al

finalizar el año 2004, el dólar se cotizará a S/. 3,65, determine la cotización al finalizar el año 1999.

e) 14,5; 15

13%

12%

12%

10%

1999 2000 2001 2002 2003 2004

a) 1,41 4.

b) 1,92

c) 1,93

De la siguiente ojiva, calcule la media y la moda.

d) 2,50

Año

e) 2,20

Fi 100

72 60

42

12 4 5

a) 39,7; 31,5 Central: 619-8100

b) 39,7; 30

c) 41; 31,5

15

d) 41; 30,5

25

35

45

55

65

Ii

e) 38; 30 UNIDAD 9

167

Aritmética

5.

Si la moda de la variable aleatoria "x" es un número impar, hallar la media aritmética.

|x − y| = 1

xi

f i

3

10 12 18 + x 18 + y 4 8 15 10 100

4 5 6 7

8 9

10 Total

a) 5

b) 4

c) 6

d) 7

e) 6,3

18:10:45

Practica en casa 1.

Dado el conjunto de variables a investigar: masa, profesión, grado de instrucción, longitud

5.

Se tiene las edades de diez alumnos: 12; 11; 11; 10; 12; 11; 10; 12; 10 y 13. Sumar las frecuencias relativas correspondientes a las edades 11 y 13 años.

6.

¿Cuál es la media de: 17; 16; 15; 17; 18; 12; 14; 13; 18 y 20?

7.

De los valores del problema anterior, ¿cuál es la mediana (Me)?

8.

En una fiesta se le pregunta las edades a 18 personas y se obtuvo lo siguiente: 15; 17; 16; 17; 17; 16; 15; 16; 17; 18; 15; 17; 16; 15; 16; 17; 16 y 17. De dichos datos, ¿cuál es la moda?

9.

Si la media de 20; 15; 16; 20; 17; 18; 19; a; 16 y 16 es igual a 18, ¿cuál es el valor de "a"?

del aula, temperatura en el aula, nacionalidad y rapidez, ¿cuántas de ellas son variables cuantitativas? 2.

Se pregunta a los alumnos sobre las carreras

profesionales que desean estudiar, mostrándose en la tabla los siguientes resultados:

Profesión Abogado

Ingeniero Médico Profesor

# de alumnos

18 24 17 11

Según los datos, ¿qué porcentaje de alumnos desean ser médicos? 3.

En la tabla de datos de una empresa, se observa lo siguiente:

Ocupación Técnicos Empleados

Obreros Ayudantes

# de personas

19 21 28 32

Según los datos, ¿qué porcentaje de personas son técnicos? 4.

Se obtuvo las siguientes notas en el curso de Fí sica: 10; 09; 12; 15; 10; 09; 12; 14; 10; 18 y 10. ¿Cuál es la frecuencia absoluta correspondiente a la nota 12?

10. Suponga que el gráfico representa la produc -

ción de harina de pescado entre los años 1961 y 1971 expresada en miles de toneladas métricas. ¿De cuántos miles de toneladas fue la producción en 1965? 800 700 600 500 400 300 200 100 1961

1966

1971

Colegios

168

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Medidas de tendencia central

11. Si el siguiente diagrama representa las unidades de jabón producidas por una cierta fábrica du -

rante los años respectivos, ¿en qué año hubo mayor producción? 1971 1970 1969 1968 1967 1966 1965 1960

4

13. Reconstruir la siguiente distribución simétrica y

determinar la media y la mediana muestral: Intervalos [10; 12〉 [12; 14〉 [14; 16〉 [16; 18〉 [18; 20〉

f i

Fi

Hi

0,14 0,24

7

14. Dados los siguientes datos:

1955 100

200

300

400

500

600

700

800

12. La mediana de: 17; 20; 13; 12; 14; m; 15; 12;

19 y 12 es 14, calcular "m".

06; 08; 13; 04; 12; 12; 08; 07; 04; 13; 15; 07; 08. Calcular la suma de la media, moda y mediana. 15. Dada la distribución de frecuencias de cierto

número de alumnos: Edades f i

20 5

22

4

24 6

26

28

3

2

Determinar el promedio aritmético entre la me-

diana y la media.

Central: 619-8100

UNIDAD 9

169

5

  Aritmética

Complemento de Estadística  Aprende más •

Dada la siguiente distribución de frecuencias,

según el número de empleados por empresa.

1.

Enunciado Se clasificó la inversión de un grupo de compañías mineras en una tabla de distribución de frecuencias.

Número de empleados

Frecuencia (f i)

[ 0; 10〉

5

[10; 20〉

20

[20; 30〉

35

[30; 40〉

40

Se sabe que la máxima inversión es de 56 millones de soles; que la amplitud de los intervalos es de 8 millones de soles y que las frecuencias absolutas correspondientes a los intervalos son: 1; 16; 21; 9; 8; 3 y 2. 4. ¿Qué porcentaje de compañías invierten menos de 40 millones de soles?

[40; 60〉

50

5.

[60; 80〉

30

¿Qué porcentaje de compañías invierten 24 mi llones como mínimo?

[80; 100〉

20

6.

Hallar la inversión promedio (en millones de soles)

[100; 140〉

20

[140; 180〉

15

[180; 200〉

15

Total

250

Enunciado La siguiente información representa la composición de una dieta alimenticia.

Carbohidratos Proteínas Grasas

Determinar el porcentaje de empresas que tie-

nen un número de empleados entre 50 y 90. Enunciado

En una fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores; con el fin de establecer un plan de seguro grupal. Los resultados fueron los siguientes: 22

34 60 33 32 30 47 37 61 38

30 34 47 41 55 67 32 49 46 48 42 42 46 43 53 46 48 26 51 23 55 41 57 44 45 67 31 51 47 52

7.

Gramos 500 100 100

Calorías 2 050 410 930

¿Qué porcentaje del total de calorías de la dieta, se debe a las proteínas?

Enunciado Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuen-

cias relativas de 300 empleados, según su edad. Edades

ni

[19; 21] [22; 24] [25; 27] [28; 30] [31; 33]

0,15 0,25 0,40 0,10 0,10

2.

¿Cuántos trabajadores tienen por lo menos 49 años y qué porcentaje representan?

3.

¿Qué porcentaje de trabajadores tienen de 39 8. ¿Qué porcentaje de los empleados tienen de 25 a 58 años? años a más? Colegios

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Complemento de Estadística

9.

¿Cuántos empleados tienen 27 años o menos?

Enunciado

Se analizan las notas de 20 alumnos en el curso de

Enunciado

Estadística, recogiéndose los siguientes datos:

La siguiente distribución muestra el peso en gramos

3; 4; 8; 2; 7; 11; 10; 12; 16; 15;

de 30 paquetes en un determinado producto. Peso (g)

ni

[10; 14]

K/2

7; 11; 13; 10; 6; 9; 9; 10; 13; 14 13. Agrupe los datos en intervalos de ancho común

[15; 19] 0,17

igual a 4 y complete la siguiente tabla:

[20; 24]

2K

[25; 29]

K

Ii [ 0 ; [ ; [ ; [ ; [ ;

[30; 35] 0,13 10. ¿Cuántos paquetes tienen de 22 gramos a más? Enunciado

5 3 9 9

4 8 0 6 4

8

3

7

5 0 8

3

2

6

9

3

9

1 10 10 12 2 2 5 7 6 5 1

4

9

xi

f i

Fi

hi

Hi

xi . f i

〉 〉 〉 〉 〉

Dar como respuesta: F3 + H4 + x2 . f 2

A partir de los siguientes datos: 2

5

8 1 4 10 10 3 4 2 9 7 4 10 3 11 9

11. Calcular la mediana para los datos agrupados.

14. ¿Cuántos estudiantes aprobaron el curso según los datos originales y según los datos agrupa -

dos? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos. (Nota aprobatoria igual a 10) 15. ¿Cuántos obtuvieron notas superiores o iguales

a 15? Dar como respuesta la diferencia de los valores obtenidos (en datos originales y en da tos agrupados)

12. Calcular la moda para los datos agrupados.

¡Tú puedes! 1.

El siguiente pictograma muestra las preferencias de los alumnos del colegio Trilce por sus diferentes cursos, indicando su número de alumnos y porcentajes que representan. Calcule:

  %   1  6  G

a + b + c + d + e + f.

48

10 % 1  0    X  %   b  A   a   6     F      %    

  c

f               

T

64 Q e%

d%

a) 142,6 2.

b) 152,6

c) 154,8

Complete la siguiente tabla de frecuencias, refe rida a las edades de los trabajadores de una fábrica de clavos. Indique:

d) 146,8

e) 116,4

Edad [20; 30〉 [30; 40〉 [40; 50〉 [50; 60〉 [60; 70〉 f 1

12

14

a) ¿Cuántos trabajadores tienen menos de 50 años? b) ¿Qué tanto por ciento de los trabajadores tienen entre 29 y 50 años? a) 45; 41,25% b) 42; 42,25% c) 48; 47,25% d) 46; 41,75% Central: 619-8100

19

21

14

e) 48; 45,25% UNIDAD 9

171

Aritmética

3.

Se tiene los datos respecto al número de hijos que posee cada una de las familias de un pueblo joven elegidos al azar. Calcule la moda. Si: A = [0; 10] wi = 2 (∀ i) • f 1 = f 5; f 2 = f 4 • f 1 + 4 = f 2 + 2 = f 3 a) 4 b) 6 c) 7

4.

d) 5

e) 3

Se ha medido, mediante pruebas adecuadas, los coeficientes intelectuales de 100 estudiantes, vinien do los resultados agrupados en seis intervalos de amplitud variable. Si estas amplitudes (ancho de

clase) son W1 = W3 = 4, W2 = W4 = 12, W5 = W6 = 6 y las frecuencias relativas acumuladas son: H1 = H2 = H3 – 0,3 = 0,02, H4 = H1 + H3; H5 = 0,85 y el límite inferior del primer intervalo es igual a 80. ¿Qué porcentaje de los estudiantes poseen un coeficiente intelectual entre 98 y 118? a) 30% b) 42% c) 58% d) 60% e) 68% 5.

En una distribución simétrica de siete intervalos de igual ancho de clase, se conocen los siguientes

datos, a base de los cuales se pide reconstruir la distribución y calcular la media aritmética • w = 10 • x3 + f 4 = 211 • H6 = 0,96 • f 1 = 8 • H3 = 0,21 • f 3 + f 5 = 62 a) 105 b) 102 c) 100 d) 98 e) 96 18:10:45

Practica en casa 1.

En base a la siguiente tabla de distribución de

4.

De acuerdo al gráfico:

frecuencias que muestra el número de hijos por familia, ¿qué porcentaje tiene menos de 5 hijos? xi

f i

2

10 8 16 10 6

3

4 5 6 2.

5. f i

xi

f i

[2 – 4>

2

[4 – 6>

8

[6 – 8>

3

[8 – 10>

7

Hallar la media, mediana y moda.

Completa el tablero: Ii [ 53 – 63〉 [ 63 – 73〉 [ 73 – 83〉 [ 83 – 93〉 [ 93 – 103〉 [103 – 113〉

Ii

Fi

hi

3

6 11 21 28 30

En cierta fábrica se hizo un estudio sobre la edad de los trabajadores y se obtuvo la siguiente tabla: EDAD 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 ni

8

15

30

12

5

¿Qué porcentaje de empleados tienen 50 años o más? Enunciado Dado el tablero incompleto de la distribución de la

3.

Determina la media, mediana y moda de los si- frecuencia de las notas de 25 alumnos. Completar el guientes datos:

tablero con un ancho de clase constante e igual a 2.

17; 21; 15; 12; 23; 25; 28; 28; 26; 30 Colegios

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