Estadística

ESTADÍSTICA

Estadística Dra. Gilda Melva Franco Espejel * UPIICSA - IPN,  Academias de Matemáticas

Lie. Martha Leticia Hernández * UPIICSA- IPN,  Academias de Matemáticas

Lie. Ernesto García García * UPIICSA- IPN, Academias de Matemáticas

Ing. Rodolfo Matus Quiroz * UPIICSA - IPN, Academias de Matemáticas

* Becario del Sistema de Becas por exclusividad, COFAA - IPN * Participantes del Programa de Estímulo al Desempeño Docente - IPN

ESTADÍSTICA Primera edición: 2003 Primera reimpresión: 2006 © DR 2003. I NSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL Unidad Profesional ínterdisciplinaria de Ciencias Sociales y Administrativas Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra  por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización escrita del editor 

ISBN 970-92240-5-0 Impreso en México / Printed in México

PRÓLOGO

La Unidad Profesional Interdiscipiinaria de Ingeniería y Ciencias Sociales y Administrativas (UPHCSA) del Instituto Politécnico Nacional promueve entre su personal académico el diseño y la elaboración de material didáctico para ofrecer a los estudiantes de las diversas licenciaturas que se imparten libros de texto acordes al contenido y enfoque de cada asignatura a precios accesibles en comparación con los disponibles en el mercado. Con base en lo anterior, y atendiendo a esta iniciativa, nos hemos sumado a este esfuerzo dando como resultado esta obra denominada "Estadística 11, producto derivado del proyecto de investigación "Material Didáctico para la Enseñanza del Cálculo Integral y la Estadística", con número de registro CGPI 20031888. Esta obra está dirigida a estudiantes de nivel licenciatura de las ramas de ingeniería, ciencias médico-biológicas y ciencias sociales y administrativas que desean una buena base de conceptos y técnicas estadísticas de manera sencilla y accesible para su comprensión y dominio que les permita aplicarlos a problemas propios de su actividad profesional para facilitarles la toma de decisiones En términos generales, cuando se habla de estadística con el común de las personas, de inmediato se relaciona con porcentajes, promedios y gráficas. Para los más estudiosos, estadística es una disciplina basada en conceptos, reglas, técnicas y métodos para manejo de información. De igual manera, la información estadística que nos llega cotidianamente a través de los medios masivos de comunicación (prensa, radio, televisión, etc.) influye en nuestra comprensión de las cosas y, en consecuencia, en tomar decisiones que pudieran afectar nuestra forma de vida. De manera similar ocurre con las empresas que, para subsistir, continuamente toman decisiones con base en la información estadística disponible, tanto la obtenida en un contexto político, económico y social nacional e internacional, como la que se genera de manera interna por la propia empresa.

De aquí, la importancia de estudiar formalmente la estadística y sus técnicas para entender y comprender mejor el mundo que nos rodea que nos permita la racional toma de decisiones. El contenido de este texto requiere, para su estudio, de un amplio conocimiento y pleno dominio del Cálculo Diferencial e Integral y un curso introductorio de Probabilidad. Esta obra está estructurada en dos grandes apartados: Estadística Descriptiva y Estadística Inferencia!. El contenido temático comienza por las Distribuciones Frecuenciales y las Distribuciones Muéstrales para continuar con los conceptos de Estimación de Intervalos de Confianza; posteriormente, se plantean las Pruebas de Hipótesis y los Análisis de Regresión y Correlación. Los temas son presentados con la base teórica necesaria, sacrificando muchas veces el rigor matemático en aras de una mejor comprensión y dominio operativo de las técnicas estadísticas básicas, a través una serie de ejemplos ilustrativos resueltos.  Asimismo, con el propósito de evaluar el aprendizaje, se presenta al final de cada capítulo una serie de ejercicios propuestos, con su correspondiente solución, para que el estudiante resuelva y verifique los resultados obtenidos. Se agradecerá al lector cualquier comentario o sugerencia que contribuya a mejorar el contenido y alcances de esta obra.

Los Autores

 ______________________________________________________________________________ Contenido

CONTENIDO CAP. I

Pág. Distribuciones frecuencíales

1

1.1 Distribuciones frecuencia les de datos no agrupados

2

1.1.1 Medidas de tendencia central

2

1.1.2 Medidas de dispersión

4

1.2 Distribuciones frecuenciales de datos agrupados

5

1.2.1 Medidas de tendencia central

6

1.2.2 Medidas de dispersión

8

1.3 Gráficas

8

1.4 Ejemplos resueltos

9

1.5 Problemas propuestos II

III

15

Distribuciones muéstrales

27

11.1 Distribución muestral de medias

27

11.2 Teorema del limite central

28

11.3 Distribución muestral de diferencia de medias

29

11.4 Distribución muestral de proporciones

29

11.5 Ejemplos resueltos

31

11.6 Problemas propuestos

36

Estimación e intervalos de confianza

43

II 1.1 Estimación

43

III.2 Intervalos de confianza

45

111.2.1 Intervalos de confianza para

conocida

45

III,2.2 Intervalos de confianza para

desconocida

46

III.2.3 Intervalos de confianza para conocidos

46 III

Contenido

111.2.4 Intervalos de confianza para desconocidos

47

111.2.5 Intervalos de confianza de muestra grande para  p 111.2.6 Intervalos de confianza para

IV

47 48

111.2.7 Intervalos de confianza para

48

111.2.8 Intervalos de confianza para

49

111.3 Tamaño de muestra y error de estimación

49

111.4 Ejemplos resueltos

50

111.5 Problemas propuestos

57

Pruebas de hipótesis

65

IV.1 Tipos de hipótesis

65

IV.2 Tabla de errores tipo I y II

66

IV.3 Hipótesis de una cola y de dos colas

66

IV.4 Procedimiento para resolver una prueba de hipótesis

67

IV.5 Pruebas relativas a medias (grandes muestras y pequeñas muestras)

67

IV.6 Pruebas relativas a diferencia entre medias

IV

(grandes muestras y pequeñas muestras)

69

1V.6.1 Teorema del limite central

70

IV.7 Pruebas para proporciones en la población

71

IV.8 Pruebas relativas a varianzas

72

IV.9 Hipótesis relativas a dos variancias

73

IV.10 Ejemplos resueltos

75

IV.11 Problemas propuestos

85

Contenido

V.

Análisis de regresión y correlación

95

V.1

Introducción

95

V.2

Método de mínimos cuadrados

97

V.3

Calculo de

V.4

Inferencias relativas a la pendiente ib de una recta.

un estimador de

98

V.4.1 Método para desarrollar una prueba de hipótesis

98 99

V.5

Intervalo de confianza par la pendiente b

100

V.6

Análisis de correlación

100

V.7

Ejemplos resueltos

102

V.8

Problemas propuestos

109

Bibliografía

V

 ____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

CAPITULO I Distribuciones frecuenciaies

El campo de la estadística trata de la recolección, presentación, procesamiento, análisis y uso de datos para tornar decisiones, solucionar problemas y diseñar productos y procesos. La estadística se divide en dos grandes ramas: La estadística descriptiva y la estadística inferencial. La estadística descriptiva traía de la descripción de una serie de datos y la estadística inferencial estudia el análisis e interpretación de los datos para obtener conclusiones (o inferencias). Los métodos estadísticos se utilizan como ayuda para describir y entender la variabilidad. Por variabilidad se entiende a las observaciones sucesivas de un sistema o fenómeno que no producen el mismo resultado. Por ejemplo: considérese el rendimiento del tanque de gasolina de un automóvil: ¿se recorrerá siempre el mismo kilometraje con cada tanque de combustible? Por supuesto que no, en ocasiones el kilometraje variará considerablemente, ya que dependerá de muchos factores, como son: los cambios en el estado del vehículo como la presión de las llantas, la compresión del motor, el desgaste de las válvulas; las condiciones de manejo (si es en ciudad o en carretera), el tipo de octanaje de la gasolina utilizada, de las condiciones meteorológicas, etc. Estos factores representan fuentes de variabilidad. Considérese la siguiente figura:

]

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

Frecuencia

Datos u observaciones

Figura 1

Esta gráfica permite ver dos características de los datos; la localización o tendencia central y la dispersión o variabilidad. La localización o tendencia central, puede caracterizarse con el promedio o media. La variabilidad o dispersión de los datos, puede describirse con la varianza o la desviación estándar.

1.1 Distribuciones frecuenciales de datos no agrupados Cuando la población es finita y se consideran todos !os elementos de ella (a tratar, uno a uno), se trabaja lo que se dice una distribución de datos no agrupados.

1.1.1 Medidas de tendencia central de datos no agrupados Son aquellas que determinan los valores centrales de los datos de un experimento. Existen varios tipos de medidas de tendencia central, aquí estudiaremos la media, la mediana y la moda.

2

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

Para una serie de

datos, sean: los elementos diferentes, desde la frecuencia con que se presentan los elementos diferentes,

desde Se tiene que:

La media es:

La mediana

que previo orden, se define según el tamaño del experimento, sea par o

impar.

¡Previo ORDEN! Si n es impar: = elemento central

La moda

Si n es par:

= media aritmética de los elementos centrales

que será el elemento de mayor frecuencia.

elemento de mayor frecuencia

3

CAPÍTULO I ____________________________________________________________________ 

1.1.2 Medidas de dispersión de datos no agrupados Son aquellas que indican el grado de dispersión o variabilidad de los datos con respecto a una medida de tendencia central. Como medidas de dispersión, se tienen: El rango R es la diferencia del valor máximo menos el mínimo de los datos. Esto es,

es una sucesión de n observaciones, entonces la varianza, esta dada por:

 Nota: Si se está trabajando con una muestra, el denominador será

En donde la desviación estándar, que es otra medida de dispersión, quedará representada por:

4

 ____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

1.2 Distribuciones frecuenciales de datos agrupados Cuando se tiene una serie de datos de tal manera que se agrupa en clases, para resolver con mayor facilidad de tiempo, espacio y/o dinero, se está trabajando con una distribución frecuencial de datos agrupados. Para un experimento formado por un número finito n de elementos con k clases de la misma longitud, donde

es decir, número de clases menor o igual que tamaño del

experimento. Cada clase, estará formada por un limite inferior (U) y un límite superior (LS), ejemplo: Intervalos de clase

Se hace necesario construir los límites reales. Es decir, límite real inferior (IR//) del intervalo /ésimo, es igual a:

y el límite real superior (LRS¡) del intervalo /-ésimo, es igual a:

5

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

tal que, el ejemplo queda:

LRI 

L I 

LS

LRS

0.5

1

5

5.5

5.5

6

10

10.5

10.5 11

15

15.5

15.5 16

20

20.5

20.5 21

25

25.5

Sea x¡ que denota la marca de clase del intervalo /-ésimo, y que es el punto medio del intervalo de clase, de tal forma que se calcula de la siguiente manera:

1.2.1 Medidas de tendencia central para datos agrupados Las medidas de tendencia central para el caso de datos agrupados, se calcularán de la siguiente manera:

Media aritmética: marca de clase del intervalo í - ésimo frecuencia de clase del intervalo i - ésimo

6

 ___________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

Para calcular la mediana, se hace necesario primero ordenar los datos, después calcular cuál es ia posición n/2. Es necesario ubicar en qué intervalo se encuentra dicha posición para saber cuál es el limite real inferior de la clase mediana

Hay que calcular las

frecuencias acumuladas hasta el intervalo de clase anterior a la clase mediana es igual a la suma de las frecuencias absolutas de los intervalos de clase anteriores hasta el intervalo / - ésimo). Después ubicar la frecuencia de clase mediana.

y finalmente calcular la longitud del intervalo de la clase mediana

Mediana:

Para la moda se elige el intervalo de mayor frecuencia y se ubica cuál es el limite real inferior  de la clase modal

Se hace necesario encontrar 

que está definido como: la

diferencia de frecuencia de la clase modal con ei intervalo de clase anterior a la clase modal como la diferencia de frecuencia de la clase modal con el intervalo de clase posterior a la clase modal. Así como también calcular la longitud del intervalo de clase modal

De tal

forma que queda:

7

CAPÍTULO I________________________________________________________________________ 

1.2-2 Medidas dt dispersión para datos agrupados

Las medidas de dispersión para el caso de datos agrupados, quedan definidas de la manera siguiente:

Varianza = es la marca del intervalo i - ésimo frecuencia de clase del intervalo i - ésimo tamaño del experimento

La desviación estándar, que se calcula como la raíz cuadrada de la vananza, es decir 

Desviación estándar 

1.3 Gráficas Histogramas. Es una representación gráfica. En el eje de las abscisas los limites reales, tal

que, tos puntos medios de cada intervalo serán las marcas de clase y en el eje de las ordenadas, las frecuencias de clase; de tal manera que quedan rectángulos. 8

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

Polígonos de frecuencia. Es la unión de las marcas de clase en los techos de los rectángulos

en el histograma. El polígono de frecuencia debe quedar cerrado al principio y al final de la gráfica, a través del hecho de aumentar un intervalo de clase de la misma longitud y con frecuencia cero (esto quedará sobre el eje de las abscisas, y se unirá en la marca de clase respectiva.)

1.4 Ejemplos resueltos

Ejemplo núm. 1 Considerar la siguiente serie de datos: 8,7,6,5,9,15,14,13,11,7,12 calcular  a) la media aritmética, b) la mediana, c) la moda, d) la varíanza y la desviación estándar e) graficar.

Solución

a) Ordenando los datos:

9

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________   xt 

 f(x¡)

5

1

6 7

1 2

8

1

9

1 1

11 12 13

.1

14

1 1

15

1

Justificación teórica

b) Ordenando los datos

elemento central Mediana = 9 c) Moda, elemento de mayor frecuencia. Moda = 7 d) La varianza está dada por: 10

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

e)

Gráfica

11

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

Ejemplo núm. 2 Calcular la mediana de la siguiente serie de datos; 2, 3, 9, 21, 18, 12, 4, 4, 15, 17 Solución

¡Ordenando los datos! 2, 3, 4, 4F  9, 12, 15, 17, 18, 21 Los elementos centrales son el 9 y el 12, por lo que: Mediana =

Ejemplo núm. 3 Sea la siguiente sene de datos agrupados:

a) b) c) d) e) 12

Calcular la media aritmética Calcular la mediana Calcular la moda Calcular la varíanza y la desviación estándar Graficar histograma y polígono de frecuencia

 ______________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

Solución

a) Calculemos las marcas de clase:

13

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

14

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

1.5 Problemas propuestos Datos no agrupados 1. Sea la siguiente serie de datos: 2,15, 9,16, 3,4,8,4, 5, 5, 5,8. Encontrar: a) Medidas de tendencia central. b) Medidas de dispersión. c) Graficar. Resp. media = 7, mediana = 5, moda = 5,

2. Considérese la siguiente serie de datos: 2, 3,4,4,4, 5, 7, 8, 8,9,15. Encontrar: a) Medidas de tendencia central. b) Medidas de dispersión. c) Graficar. Resp. media = 6.27, mediana = 5, moda = 4,

3. Sean los siguientes datos: 2,5,5, 5,7, 7,9,10, 15,17. Encontrar: a) Medidas de tendencia central b) Medidas de dispersión c) Graficar.

Resp. media = 8.2, mediana = 7, moda = 5,

15

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

4. Sea la siguiente serie de datos: 2, 2,3,4, 4, 4, 5,6,7,10,10,12,13,15,2( Encontrar: a) Medidas de tendencia central. b) Medidas de dispersión. c) Gráficar. Resp. media = 7.8, mediana = 6, moda = 4,

5. Los siguientes datos son las calificaciones de un alumno que estudia en el nivel superior y las frecuencias con que se presentan dichas calificaciones. Calificaciones Frecuencia

a) Encontrar las medidas de centralización. b) Encontrar las medidas de dispersión. c) G rafear. Resp. a) 8.15, 8,8 b) 0.7778,0.8819

16

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

6. Encontrar las medidas de tendencia central y las medidas de dispersión, así como su gráfica, del siguiente conjunto de datos:

Resp. a) 2.56,2.5, 2.5 6)0.7773,0.8816 7. El número promedio de cursos aprobados de actualización, por cada profesor en una universidad, en un periodo de un año, es como sigue: 3, 2, 0,1,1,1,1,0,1,1,1,1, 0, 1,2,2,8,5, 5, 7,4,3, 3,0 y 0. Se desea conocer: a) Rango. b) Medidas de centralización. c) Medidas de dispersión. d) Graficar.

Resp. a) 8

 b) 2.12,1,1 c) 4.582, 2.14 8. En una industria, se registró la siguiente producción mensual de archiveros: 1000, 1500,1800,1800,2150/2400. Calcular: a) Medidas de centralización. b) Medidas de dispersión, c) Graficar polígono de frecuencias absolutas. Resp. a) 1775,1800,1800 b) 448.84

17

CAPÍTULO I______________________________________________________________________ 

9. En una empresa, durantelO días, se observaron, los minutos del personal que llegó tarde. 10,12,21,8, 6, 15,2,17,30,13 a) Calcular el Rango. b) Medidas de centralización. c) Medidas de dispersión. Resp. a) 28 b) 13.4,12.5, no existe moda c) 7.59 10. Considérese la siguiente serie de datos:  Xi 

frecuencia

3

1

4

1

5

2

6

2

8 10

3 4

11

5

12

7

14

4 1

15

a) Calcular las medidas de centralización b) Calcular las medidas de dispersión. c) Graficar. Resp. a) 10.1,11,12 b) 9.476, 3.078

18

 __________________________________________________DISTRIBUCIONESFRECUENCIALES

11. Sean los siguientes datos:  x¡

 f(Xi)

 Xi 

 f(Xi)

3

2

8

5

4 5

5

10

8

12

4 3

6

10 14

2

7

8

1

16

a) Graficar b) Encontrar medidas de centralización. c) Encontrar medidas de dispersión. Resp. b) 7.125,6,6

c) 2.93 12. Sean los diferentes precios de unas camisas: 1000, 3000, 2500, 3500, 5000, 1500, 2700, 4500, 2700, 3500. a) Graficar la distribución de frecuencias. b) Calcular las medidas de tendencia central. c) Calcular las medidas de dispersión. Resp. b) media = 2990, mediana = 2850, moda = bimodal = 2700 y 3500 c) 1158.83 13. Sean los siguientes datos:  Xi

10 20 30 40

 /(Xi)  x¡

2 3 7 3

50 60 70

 f(Xi )

5 7 3

19

CAPÍTULO I _____________________________________________________________________ 

a) Graficar. b) Encontrar medidas de tendencia central. c) Encontrar medidas de dispersión, Resp, b) media = 43, mediana = 45, moda = 30,60 c) s= 17.72 14. Sean los siguientes datos:

a) Graficar. b) Calcular medidas de centralización c) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 6.052, mediana = moda = 3 c) s = 2.788 Datos agrupados 15. Sea la siguiente serie de datos agrupados:

20

Intervalos de clase

f(xi)

1-10

2 

11-20

8

21-30

10

31-40

15

41 - 50

5

 ____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

a) Calcular las medidas de centralización. b) Calcular las medidas de dispersión. c) Graficar. Resp. a) media = 28.75, mediana = 30.5, moda = 3.83, = 116.935, s= 10.81 16. Sea la siguiente tabla de datos: Intervalos de clase

a) Calcular las medidas de centralización. b) Calcular las medidas de dispersión. c) Graficar. Resp. a) media = 58.16, mediana = 59.59, moda = 62.8,

= 581.82,5 = 24.12 17. Sea la siguiente tabla de datos: Intervalos de clase

frecuencias

21

CAPÍTULO 1______________________________________________________________________ 

a) Graficar histograma y polígono de frecuencias absolutas, b) Calcular medidas de tendencia central. c) Calcular medidas de dispersión.

Resp. b) media = 44.9, mediana = 48.83, moda = 57.16 269.64, s = 16.42 18. Sea la siguiente tabla de datos: LRI

LRS

f(Xi)

0 - 5

10

5 - 10

20

10 - 15

30

15 - 20

50

20 - 25

20

25 - 30

10

a) Graficar histograma y polígono de frecuencias absolutas. b) Calcular medidas de tendencia central. c) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 15.35, mediana = 16, moda = 17, c) s = 6.468

22

 _____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

19. Sean los siguientes datos:

LRI LRS

a) Graficar b) Calcular medidas de centralización. c) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 21.95, mediana = 22.91, moda = 27.22, c) s = 9.077

20. Sea la siguiente tabla de datos:

LRI LRS

23

CAPÍTULO I ______________________________________________________________________ 

a) Graficar b) Calcular medidas de centralización. c) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 40.55, mediana = 40, moda = 56.66, c) s = 18.019 21. Sea la siguiente tabla de datos: U

LS

a) Graficar. b) Calcular medidas de tendencia central. c) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 15, mediana = 16, moda = 17.33, c) s = 4.72 22. Sea la siguiente tabla de datos: LI

24

LS

 ____________________________________________________ DISTRIBUCIONES FRECUENCIALES

a) Graficar. a) Calcular medidas de tendencia central. b) Calcular medidas de dispersión. Resp. b) media = 10.71, mediana = 9, moda = 7.22, c)s = 4.6

Problemas varios 23. Estimar la desviación estándar de la siguiente muestra de datos: 20,5,10,15 y 25. Resp. 7.91 24. Obtener la variancia de ia siguiente distribución de frecuencias, mediante la fórmula:

de los siguientes Clase

Resp. a y b 141.84

25

CAPITULO I______________________________________________________________________ 

25. En una exhibición científica, se anotó la edad de cada uno de los 50 visitantes que asistieron. Hallar la media de edad y la clase a la que pertenece la mediana.

Edad

Frecuencia

De 0 a < 10 De 10 a < 20 De 20 a < 30

6 18 11

De 30 a < 40 De 40 a < 50 De 50 a < 60

3 0 8

De 60 a < 70

4

Resp. media = 27.6 mediana está en la 3a clase: de 20 a < 30

26

 _______________________________________________________   ______________________________ _________________________ DISTRIBUCIONES MUESTRALES

CAPÍTULO II Distribuciones muestrales

La distribución de probabilidad de un estadístico recibe el nombre de distribución muestral. La distribución muestral de un estadístico depende: •

del tamaño de la población

•

del tamaño de las muestras

•

del método de selección de las muestras

11.1 Distribución muestral de medias Supónganse que una muestra aleatoria de n observaciones se toma de una población normal con media

y varianza

Cada observación

de ía muestra

aleatoria tiene entonces la misma distribución normal que la población que está siendo muestreada. De aquí que, por la propiedad reproductiva:

 Además  Además si: si:

también son independientes con

para

Se concluye que la media muestral:

27

CAPÍTULO II

_______________ ________ ______________ ______________ _______________ _______________ ______________ __________  ___ 

tiene una distribución normal con media

y vañanza

Si el muéstreo se hace en una población que tiene una distribución de probabilidad desconocida, la distribución de muestreo de la media muestra! seguirá siendo aproximadamente normal con media

y varianza

si el tamaño de la muestra

es grande. Éste es uno de los teoremas más útiles en la estadística, llamado Teorema del limite central y dice:

Si con media

28

es la media de una muestra aleatoria de tamaño n que se toma de una población y varianza finita

entonces la forma límite de la distribución de:

DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES  ________________________________________________________   ______________________________ __________________________ DISTRIBUCIONES

Conforme

es la distribución normal estándar 

11.3 Distribución muestral de diferencia de medias Si se tienen dos poblaciones independientes, con media

y varíanza

son las medias muéstrales de dos variables aleatorias independientes de tamaños

de estas poblaciones, entonces la distribución de

muestreo de:

Es aproximadamente normal estándar, si se cumplen las condiciones del teorema del limite central. Si las dos poblaciones son normales, entonces la distribución de muestreo de Z es exactamente normal estándar.

11.4 Distribución muestral de proporciones Supónganse una población infinita o finita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso {conocido como éxito) es p , mientras que la probabilidad de no ocurrencia del suceso es q = l~p.

Se consideran todas las posibles muestras muestras de tamaño « extraídas de esta población y para cada muestra se determina la proporción p de éxito. 29

CAPÍTULO II_____________________________________________________________________ 

Se obtiene una distribución muestra! de proporciones cuya media están dadas por:

Para grandes valores de n normal.

y desviación típica

la distribución muestral se aproxima a una distribución

Nótese que la población se distribuye binomialmente. Para las distribuciones muéstrales de diferencias de proporciones de dos poblaciones distribuidas binomialmente con parámetros

Si

son grandes

respectivamente:

las distribuciones muéstrales de diferencias de

medias o proporciones se distribuyen muy aproximadamente como una normal.

30

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

11.5 Ejemplos resueltos Ejemplo núm. 1 Una compañía fabrica focos que tienen un periodo de vida que está distribuido aproximadamente en forma normal, con media igual a 1000 horas y una desviación estándar de 50 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 focos tenga una vida promedio de menos de 975 horas. Solución

Datos:

Justificación teórica Distribución muestral de medias

Sustituyendo:

31

CAPÍTULO II_____________________________________________________________________ 

Ejemplo núm. 2 Una muestra de tamaño normalmente distribuida, con media muestral

se saca aleatoriamente de una población que está y varianza

Una segunda muestra aleatoria de tamaño

y se registra la media se selecciona,

independientemente de la primera muestra, de una población diferente que también está normalmente distribuida, con media muestral

32

Encuentre

y varianza

y se registra la media

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

Solución

Datos

Justificación teórica Distribución muestral para diferencia de medias

Sustituyendo

33

CAPÍTULO II _____________________________________________________________________ 

Ejemplo núm. 3 Se ha encontrado que el 2% de las piezas producidas por cierta máquina está dañado. ¿Cuál es la probabilidad de que en una remesa de 400 piezas, esté dañado 3% o más? Solución

Datos

Justificación Teórica Distribución muestral de proporciones

34

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUÉSTRALES

Primer método Mediante la corrección para variables discretas.

Segundo método 3% de 400=12 piezas dañadas. En concepto continuo, 12 o más significa 11.5 o más

35

CAPITULO II______________________________________________________________________ 

11.6 Problemas propuestos 1. Una población está formada por ios cuatro números 1, 3, 7, 9. Considerar todas las posibles muestras de tamaño 2 que pueden extraerse de esta población con reempíazamiento. Hallar: a) la media poblacionai b) la desviación típica poblacionai c) la media de la distribución muesíral de medias d) la desviación típica de la distribución muestra) de medias Resp.

2. Los pesos de 3 000 balatas, se distribuyen normalmente, con media 22.4 kg y desviación típica 0.048 kg Si se extraen 300 muestras de tamaño 25 de esta población, determinar la medía esperada y la desviación típica de la distribución muestral de medias, si el muestreo se hace; 36

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUESTRALES

a) con reemplazamiento b) sin reemplazamiento

Resp.

3. Un grupo de jóvenes emprendedores de la UPIICSA, ha decidido promover un producto de frutas, recubiertas de chocolate amargo, de manera que el recubrimiento sea de 3 mm de espesor. Si funciona e! proceso que ellos han determinado (media de 3 mm y desviación estándar 1 mm), ¿cuál será la probabilidad de obtener una muestra de 25 frutas cubiertas de chocolate amargo, de un total de 169? Encontrar un promedio muestral de más de 3.4. Resp. 0.0139 4. En !a nevería Tas Delicias" se ha observado que en la temporada primavera-verano, el promedio de las ventas es de 100 It diarios, con una desviación estándar de 10 It. La distribución de ventas es normal. Encuentre la probabilidad de que al tomar una muestra de n - 25 consumidores, las ventas promedio a éstos, será menor a 95 It. Resp. 0.0062 5. Ciertos ventiladores fabricados por una compañía tienen una duración media de 1 000 horas y una desviación típica de 75 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra tomada al azar de 25 ventiladores tenga una duración media entre 990 y 1 010 horas. Resp. 0.4907

37

CAPÍTULO II ____________________________________________________________________ 

6. Ciertos tubos producidos por una compañía tienen una duración media de 900 horas y una desviación típica de 80 horas. La compañía despacha 1 000 lotes de 100 tubos cada uno. ¿En cuántos lotes cabe esperar que la media de las duraciones sobrepase las 910 horas? Resp. 106 7. Una población muy grande tiene una media de 20 y una desviación estándar de 1.4, Si se toma una muestra de 49 observaciones, contestar: a) ¿Cuál es la media de la distribución de maestreo? b) ¿Cuál es la desviación estándar de la distribución de muesíreo? c) ¿Qué porcentaje de posibles valores medios de la muestra diferirán de la media de la población, por más de 0.2? Resp. a) 20 b)0.2 c) 15.87% 8. Una investigación ha revelado que el 60% de los estudiantes universitarios no son fumadores. Si se toma una muestra de 600 estudiantes, encuentre la media y la desviación estándar de la distribución de muestreo. Resp. 360,12 9. Debido a los altos índices de contaminación ambiental en la Ciudad de México, se han tomado medidas más enérgicas. De 2 000 individuos muestreados, 1 600 están a favor de las nuevas medidas. ¿Cuál es la proporción poblacional estimada? Resp. 0.8

38

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUESTRALES

10. El candidato del partido  X¡, considera que puede ganar las próximas elecciones en la ciudad de Guadalajara, si obtiene al menos 55% de los votos en el distrito i. Además supone que alrededor del 50% de los votantes en Guadalajara están a su favor. Si N = 100 votantes van a votar en el primer distrito, ¿cuál es la probabilidad de que el

candidato Xy reciba al menos 50% de los votos? Resp. 0.1587 11. Se ha encontrado que el 2% de los tornillos pr oducidos por cierta máquina son defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una partida de 400 piezas, sean defectuosas 3% o más? Resp. 0.1056 12. Los resultados de una elección demostraron que cierto candidato obtuvo el 46% de los votos. Determinar la probabilidad de que de 200 individuos elegidos al azar de entre la población votante se hubiese obtenido una mayoría de votos para dicho candidato. Resp. 0.1131 13. Hallar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda, el número de soles esté comprendido entre el 40% y el 60% Resp. 0.9887 14. Un detallista compra vasos de cristal en grandes cantidades directamente de la fábrica. Tales vasos son envueltos uno por uno. Algunas veces el detallista inspecciona las remesas para determinar la proporción de vasos rotos o defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que el detallista obtenga una muestra aleatoria de 100 vasos que presenta el 17% o más de defectuosos? Resp. 0.0154

39

CAPÍTULO II _____________________________________________________________________ 

15. La vida promedio del motor de determin ado automóvil es de 5 000 km, con una desviación estándar de 40 km. La distribución es muy aproximada a una normal. El fabricante introduce mejoras en el proceso de fabricación del motor para aumentar el tiempo de vida promedio a 5 050 km y disminuye la desviación estándar a 30 km. Supóngase que se toma una muestra de tamaño 16 del proceso antiguo y otra de tamaño 25 para el proceso nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las dos medias muéstrales X  x  - X 2,  sea al menos de 25 km? {suponer poblaciones independientes). Resp. 0.9838 16. Las pilas eléctricas de un fabricante A tienen una duración media de 1 400 horas, con una desviación típica de 200 horas, mientras que las de otro fabricante B tienen una duración media de 1 200 horas con una desviación típica de 100 horas. Si se toman muestras al azar de 125 pilas de cada fabricante, ¿cuál es la probabilidad de que las pilas de A tengan una duración media que sea al menos 160 horas más, que las pilas deB? Resp. 0.9772 17. A y B fabrican dos tipos de cables, que tienen unas resistencias medias a la rotura de 4 000 y 4 500 kg, con desviaciones típicas de 300 y 200 kg, respectivamente. Si se comprueban 100 cables de A y 50 cables de B, ¿cuál es la probabilidad de que la media de resistencia a la rotura de B sea al menos 600 kg más que A? Resp.; 0.0078 18. El contenido de nicotina de un solo cigarrillo de una marca en particular, es una variable aleatoria con media

0.8 mg y desviación estándar 0.1 mg. Si un individuo

fuma cinco cajetillas de estos cigarrillos por semana, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad total de nicotina consumida en una semana sea por lo menos de 82 mg? (suponga que cada cajetilla tiene 20 cigarrillos). 40

 ________________________________________________________ DISTRIBUCIONES MUESTRALES

Resp. 0.0228 19. Cuando se prepara un lote de cierto producto químico, la cantidad de una impureza del lote es una variable aleatoria, con valor medio de 4 gr, y desviación estándar de 15 gr. Si se preparan 50 lotes de manera independiente, ¿cuál es ia probabilidad (aproximada) de que la cantidad promedio de la muestra de impureza  X sea entre 3.5 y 3.8 gr? Resp. 0.1642 20. Supóngase que una investigación efectuada recientemente revela que el 60% de los adultos de una población no son fumadores. Si se toma una muestra aleatoria de 600 adultos, encuentre e interprete la media y la desviación estándar de la distribución de muestreo. Resp. 360,12 21. Una población está formada por lo s números 3, 7, 11, 15. Considerar tod as las posibles muestras de tamaño dos, que pueden encontrarse de esta población SIN reemplazamtento. Hallar: a) La media poblacional b) La desviación típica poblaciona! c) La media de la distribución muestral de medias d) La desviación típica de la distribución muestral de medias Resp. a) 9.0 b)4.47 c)9.0 d)2.58

41

CAPITULO II _____________________________________________________________________ 

22. Un proceso para llenar botellas de soda presenta una producción promedio en la que el 10% de las botellas no están completamente llenas. Si mediante este proceso se selecciona al azar una muestra de 225 botellas de un lote de 625 envases llenos, ¿cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de botellas parcialmente llenas se encuentre en el intervalo que va del 9 al 11%? Resp. 0.4680 23. Calcular el valor del factor de corrección para una población finita cuando « = 10 y N=1000. Resp. FC= 0.9954 24. Si un bote de un galón de cierta clase de pintura cubre en promedio 513.3 pies cuadrados, con un desviación estándar de 31.5 píes cuadrados, ¿cuál es la probabilidad de que el área media cubierta por una muestra de 40 de estos botes esté entre 510 y 520 pies cuadrados? Resp. 0.6553 25. Una máquina vendedora de refrescos está programada para que la cantidad de refresco que se sirva sea una variable aleatoria, con una media de 200 mi y una desviación estándar de 15 mi. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de refresco promedio (media) servida en una muestra tomada al azar de 36, sea cuando menos de 204 mi? Resp. 0.0548

42

 __________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

CAPÍTULO III Estimación e intervalos de confianza 111.1 Estimación Puesto que las poblaciones se caracterizan por medidas descriptivas numéricas llamadas  parámetros, la inferencia se ocupa de hacer inferencias acerca de los parámetros de una

población. La inferencia estadística consiste en aquellos métodos con 1os cuales se pueden realizar generalizaciones acerca de una población.

Una estimación puntual de algún parámetro población al

es un valor único

del

estadístico El estadístico que se utiliza para obtener una estimación puntual recibe el nombre de estimador.

Se dice que un estadístico © es un estimador insesgado del parámetro

si

Si se consideran todos los estimadores insesgados, posibles de algún parámetro aquel con la varianza más pequeña recibe el nombre de estimador más eficiente de

43

CAPITULO III ____________________________________________________________________ 

Las características para un buen estimador son las siguientes: a) insesgado b) consistente c) eficiente d) suficiente a) Estimador insesgado. Un estimador es insesgado cuando la media de la distribución muestra! de medias es igual al correspondiente parámetro de la población.

b) Estimador consistente. Cuando un estimador (tal como parámetro de la población que se va a estimar (tal como

se aproxima al aumentando el tamaño

de la muestra, se dice que el estimador es consistente del parámetro. c) Estimador eficiente. Si las distribuciones de dos estadísticos tienen la misma media, el de menor varianza se llama un estimador eficiente.

d) Estimador suficiente. Un estadístico suficiente (tal como

es un estimador que

utiliza toda la información que posee una muestra sobre el parámetro que se estima.

Una estimación por intervalo de un parámetro poblaciona! forma

dependen del valor del estadístico

muestra particular y también de ¡a distribución muestral de

Si por ejemplo, se encuentran

44

es un intervalo de la

tales que:

para una

 __________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Para

de seleccionar una

entonces se tiene una probabilidad de

muestra aleatoria que produzca un intervalo que contenga a El intervalo que se calcula a partir de la muestra seleccionada se llama intervalo de confianza de se le llama nivel de confianza y a los puntos extremos

limites de confianza.

111.2 Intervalos de confianza Como las estimaciones de punto rara vez serán iguales a los parámetros que se supone estiman, por lo general es deseable damos alguna libertad de acción mediante el uso de "estimaciones de intervalo".

111.2.1 Intervalos de confianza para Teorema 1: Intervalo de confianza para

conocida

conocida

es el valor de la media de una muestra aleatoria de tamaño población normal, con la varianza conocida para

tomada de una

un intervalo de confianza del

está dado por:

donde Zes la distribución normal estándar.

45

CAPITULO III____________________________________________________________________ 

111.2.2 Intervalos de confianza para Teorema 2: Intervalo de confianza para

desconocida

desconocida

son los valores de la media y la desviación estándar de una muestra aleatoria de tamaño

tomada de una población normal, con (a varianza desconocida

de confianza del

para

un intervalo

está dado por:

donde r es la distribución t de student.

llf.2.3 Intervalos de confianza para Teorema 3: Intervalo de confianza para

conocidos conocidas

son los valores de las medias de muestras aleatorias independientes, de tamaño

tomadas de poblaciones normales, con las varianzas conocidas

un intervalo de confianza del

46

para

está dada por:

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

111.2.4 Intervalos de confianza para

desconocidos

Teorema 4: Intervalos de confianza para

Si

desconocidos

son valores de las medias de muestras aleatorias independientes, de

tamaño

tomadas de poblaciones normales con varianzas desconocidas pero

iguales, un intervalo de confianza del

para

está dado por:

Tal que:

donde íes la distribución / de student.

111.2.5 Intervalos de confianza de muestra grande para/? Teorema 5: Intervalos de confianza de muestra grande para/j Un intervalo de confianza aproximado del

 para el parámetro binomial  p ,

está dado por;

donde: 47

CAPITULO III ____________________________________________________________________ 

Hl.2.6 Intervalos de confianza de muestra grande para Teorema 6: Intervalos de confianza de muestra grande para

Un intervalo de confianza aproximado del

la diferencia entre

dos parámetros binomiales, está dada por:

donde

donde Z es la distribución normal estándar. 111.2.7 Intervalos de confianza para Teorema 7: Intervalo de confianza para

Si

es el valor de la varianza cíe una muestra aleatoria de tamaño

población normal; un intervalo de confianza del

donde

48

es la distribución Ji cuadrada.

para

tomada de una está dado por:

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

111.2,8 Intervalos de confianza para

Teorema 8: Intervalos de confianza para

Si

son los valores de la varianzas de muestras aleatorias independientes de

tamaño

tomadas de dos poblaciones normales, un intervalo de confianza del para

está dado por;

 por lo tanto

donde/es la distribución de Fisher 

: son los grados libertad.

111.3 Tamaño de muestra y error de estimación Observar que la dispersión de las distribuciones decrece al aumentar el tamaño de la muestra, luego entonces, se hace necesario conocer el procedimiento para seleccionar el tamaño muestra!.

Si es el parámetro que se desea estimar 

es la desviación estándar de! estimador 

puntual, entonces se aplica el siguiente procedimiento: 1, Elegir la cota para el error de estimación y un coeficiente de confianza

49

CAPITULO III____________________________________________________________________ 

2. Resolver la siguiente ecuación, para el tamaño de muestra

Para la mayoría de los estimadores

es un función del tamaño muestra!.

111.4 Ejemplos resueltos

Ejemplo núm. 1 entrevistados, están familiarizados con los incentivos en los impuestos Si que se ofrecen por instalar ciertos dispositivos para ahorrar energia, construyase un intervalo con un nivel de confianza del 95% para la correspondiente proporción real. Solución

Datos

Justificación teórica Intervalos de confianza para proporciones (grandes muestras)

50

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Ejemplo núm. 2 Un estudio señala que 16 de 200 tractores producidos en una línea de ensamblado requieren ajustes minuciosos antes de ser embarcados, y lo mismo sucede con 14 de 400 tractores producidos en otra linea de ensamblado. Calcúlese el intervalo de confianza del 95% para

Solución

Datos

51

CAPITULO III _____________________________________________________________________ 

Justificación teórica Intervalos de confianza para diferencia de proporciones para muestras grandes.

Ejemplo núm. 3 La pérdida promedio en el peso de

aspas , después de cierto intervalo de tiempo en

un molino de aspas es 3.42 gr, con una desviación estándar de 0.68 gr. Construir un intervalo con un nivel de confianza del 99% para la pérdida promedio real de! peso de las aspas en las condiciones establecidas.

Solución

Datos

52

 __________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Justificación teórica Intervalos de confianza para

con muestras pequeñas:

Quiere decir que el intervalo al 99% de confianza entre 2.92 gr. y 3.92 gr., contiene la pérdida promedio del peso. Ejemplo núm. 4 Los siguientes datos son las horas hombre que semanalmente se pierden en promedio pa accidentes en 10 plantas industriales, antes y después de que se implante cierto programa d€ seguridad 45 y 36, 73 y 60, 46 y 44,- 124 y 119, 33 y 35 57 y 51, 83 y 77, 34 y 29, 26 y 24, 17 y 11 53

CAPITULO III ______________________________________________________ 

Utilice un nivel de significancia de 0.10 para probar si el programa de segundad es eficaz. Solución

Datos

Justificación teórica Intervalo de confianza para pequeñas muestras:

54

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Ejemplo núm. 5 Supóngase que los índices de refracción de 20 piezas de cristal (aleatoriamente seleccionadas de un gran cargamento adquirido por la óptica) tienen una varianza de Construyase un intervalo de confianza del 95% para

o sea la desviación

estándar de la población muestreada.

Solución

Datos

Justificación teórica Intervalo de confianza para la varianza:

55

CAPITULO III _____________________________________________________________________ 

Se tiene el 95% de confianza que el intervalo de 0.0083 hasta 0.016 contiene a

la

desviación estándar verdadera del índice de refracción.

Ejemplo núm. 6 En una encuesta levantada en una ciudad, 136 de 400 personas respondieron afirmativamente a la pregunta de si el transporte público es adecuado. Con una confianza del 99%, ¿qué se puede decir acerca del error máximo, si estimación de la correspondiente proporción real?

Solución

Datos

56

se emplea como una

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Justificación teórica Error:

111.5 Problemas propuestos Intervalos de confianza para medias 1. La media y la desviación de las cargas máximas soportadas por 60 cables son dadas por 11,09 ton y 0.73 ton respectivamente. Hallar los límites de confianza del 95% para la media de las cargas máximas de todos las cables producidos por la compañía. Resp.{10.9,11.27) 2. La media y la desviación típica de los diámetros de una muestra de 250 remaches fabricados por una compañía son 0.72642 plg y 0.00058 plg, respectivamente. Hallar los limites de confianza del 99% para el diámetro medio de todos los remaches fabricados por la compañía.

Resp. 0.72642 ± 0.000095

57

CAPITULO III ____________________________________________________________________ 

3. Si una muestra aleatoria de tamaño vananza

tiene la media

tomada de una población normal con la construya un intervalo de confianza

del 95% de la media de la población Resp.57.7

4. Sea  X el Cl (Coeficiente Intelectual) de cualquier alumno de las escuelas primarias de este país. Se sabe que la varianza de  X es 225, Una muestra de los Cl de 25 alumnos proporciona una media de 108. Considerando que  X se distribuye normalmente, construyase un intervalo de confianza del 95% para

la media

verdadera los Cl. Resp.102.12

Intervalo de confianza para la diferencia de medias;

113.88

conocidas

5. Se desea estimar la verdadera diferencia en contenido de alquitrán de dos marcas de cigarrillos marca 1

marca II

Tamaño de la muestra Media muestral Varianza de la población

Obténganse los límites inferior y superior del intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia entre el contenido promedio de alquitrán de los cigarrillos marca I y de los cigarrillos marca II Resp.

58

 _________________________________________  ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalos de confianza para proporciones 6. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el porcentaje de productos defectuosos de la población, dada la siguiente información:

Resp. [0.0735,0.1265] 7. Determinar un intervalo de confianza del 98% para la proporción verdadera de la población, si Resp. [0.18,0.32] 8. Se hace un estudio para determinar la proporción de votantes de una comunidad cuantificable, que favorecen la construcción de una planta generadora de energía nuclear. Si se tiene que sólo 140 de 400 votantes seleccionados al azar favorecen el proyecto; obtenga un intervalo de confianza del 95% de la proporción de todos los votantes de esta comunidad que se expresan a favor del proyecto. Resp. 0.303

0.397

9. Supóngase que un investigador de mercado desea estimar la verdadera proporción de usuarios de detergente que prefieren una marca particular. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 usuarios y 64 de ellos indican que prefieren esa marca de detergente. Obténgase el intervalo de confianza del 99% para  p, verdadera proporción de todos los usuarios que prefieren esa marca de detergente. Resp. 0.50512

0.77488

10. De 270 consumidores encuestados 189 indicaron que estarían dispuestos a pagar más por un empaque resistente al manejo indebido. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción p.

Resp. [64,5, 75.5]

59

CAPITULO III ___________________________________________________________________ 

Intervalo de confianza para

con

desconocida (pequeñas muestras)

11. Un fabricante de pinturas desea determinar el tiempo de secado en promedio de una nueva pintura para interiores. Si en 12 áreas de prueba de igual tamaño él obtuvo un tiempo de secado medio de 66.3 minutos y una desviación estándar de 8.4 minutos, construya un intervalo de confianza del 95% para la media verdadera: Resp. 61

71.6

12. Se toman 16 tazas de café de una máquina y se miden. Se determina que la media y la desviación típica son 7.5 y 0.8 mi, respectivamente. Determine el intervalo de confianza del 99% para

Resp. 6.9106

8.0894

13. Los resultados de una prueba de turbidez, efectuada en 15 muestras de arena de prueba fueron (en micro amperes):

26.7, 25.8, 24.0, 24.9, 26.4, 25.9, 24.4, 21.7, 24.1, 25.9, 27.3, 26.9, 27.3, 24.8, 23.6

Obtener un intervalo de confianza del 95% para Resp. [24.43,26.19]

Intervalo de confianza para

con

conocidas

14. Construya un intervalo de confianza del 94% de la diferencia real entre las duraciones en promedio de dos tipos de focos eléctricos, dado que una muestra tomada al azar de 40 focos de un tipo duró en promedio 418 horas de uso continuo y 50 focos de otra

60

 __________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

clase duraron en promedio 402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, según se sabe son:

Resp. 6.3

Intervalo de confianza para

25.7

desconocidas (pequeñas muestras)

15. Se ha realizado un estudio para comparar el contenido de nicotina de dos marcas de cigarrillos. Diez cigarrillos de la marca A tuvieron un contenido de nicotina en promedio de 3.1 mg, con una desviación estándar de 0.5 mg, mientras que 8 cigarrillos de la marca B tuvieron un contenido de nicotina en promedio de 2,7 mg, con una desviación estándar de 0.7 mg. Suponiendo que los dos conjuntos de datos son muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% de la diferencia real en el contenido promedio de nicotina de ías dos marcas de cigarrillos. Resp. [-0.20,1]

16. Un educador desea determinar si dos distintos métodos de enseñanza tienen efectos idénticos en el aprendizaje. Se seleccionan aleatoriamente dos clases de estudiantes y se exponen a (os dos métodos diferentes; después se aplica a las dos clases un examen estándar, que abarca los contenidos enseñados, para determinar la efectividad de los métodos. A continuación se muestran los datos:

Clase I

Clase II

Tamaño de la muestra Puntuación promedio de la prueba Varianza muestral

61

CAPITULO III ____________________________________________________________________  Determinar el intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia entre las dos medias poblacionales en base a la diferencia entre las dos medias muéstrales.

Resp. 0.47

9.53

Intervalo de confianza para muestra grande para

17, Si se tiene que 132 de 200 votantes del distrito A favorecen a un candidato dado para la elección del senado y 90 de 150 votantes del distrito B se expresan a favor de este mismo candidato, obtenga un intervalo de confianza del 99% para

la

diferencia entre las proporciones reales de votantes de los dos distritos favorables al candidato, Resp.

Intervalo de confianza para varianzas

18. En 16 recorridos de prueba, el consumo de gasolina de un motor experimental, tuvo una desviación estándar de 2,2 It. Construya un intervalo de confianza del 99% para midiendo la variable real del consumo de gasolina de este motor. Resp. 2.21

19. Sea un experimento de tamaño 51 con varianza muestral

15.78 Calcular el

intervalo de confianza al 95% para la varianza. Resp. 17.5

62

38.6

 ___________________________________________ ESTIMACIÓN E INTERVALOS DE CONFIANZA

Intervalo de confianza para razones de dos varianzas

20. Considere la siguiente tabla:

Marca A

Marca B

Obtener un intervalo de confianza del 98% de

2.862

Resp. 0.076

Tamaño de muestra y error 

21. A partir de una muestra de 200 observaciones se encontró que, en una remesa, había

20 acumuladores defectuosos. Utilizando un intervalo de confianza del 99%, calcule el error de estimación. Resp. c = 0.055

22. ¿Qué tamaño de muestra será necesario para producir un intervalo de confianza del 90%, en el caso de la media de la población verdadera, con un error de 1.0 en cualquier sentido, si la desviación estándar de la población es 10.0? Resp.

273

63

CAPITULO m

_________________________________________________________ 

23. Determine un intervalo de confianza de 95% para los dos casos siguientes:

= 1000

a)

= 200

b)

Resp. a) 15 ± 0.372

24. Una muestra al azar de 100 observaciones tiene una media de 30 y una desviación estándar de 5. a) Obtenga un valor con el cual usted tenga 95% de confianza de que no excederá la media de la población b) ¿Cuál es la probabilidad (riesgo) de que Resp. a) 30.825 b) 0.0228 25. Determine el tamaño de muestra necesario para estimar el porcentaje verdadero de la población en un 4%, utilizando un intervalo de confianza del 90%. Es razonable suponer que el valor verdadero es 0.30 o menor. Resp.

64

358

 _______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

CAPÍTULO IV Pruebas de hipótesis El objeto de la prueba de significación es evaluar proposiciones o afirmaciones acerca de los valores de los parámetros de la población .

IV.1 Tipos de hipótesis Se definirán los dos tipos de hipótesis que se requiere formular. La que señala que la proposición es verdadera recibe el nombre de hipótesis nula y se representa por 

y la

segunda, que afirma que la proposición es falsa, se denomina hipótesis alterna y se designa mediante el signo

es un enunciado que expresa que el parámetro de la La hipótesis nula, que la proporción es verdadera). La  población es como se especificó i es un enunciado que ofrece una alternativa a la hipótesis alterna  proposición (por ejemplo el parámetro es mayor que el valor propuesto). El nivel de significación de una prueba es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que sea verdadera.

Existen dos tipos de errores que son inherentes al proceso de la prueba de significación

si se rechaza cuando es verdadera. La Se comete un error tipo es igual al nivel de significación de una  probabilidad de un error tipo  prueba de hipótesis. 65

CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 

Se comete un error tipo

si se acepta

cuando no es verdadera.

IV.2 Tabla de errores tipo I y II

Si Verdadera es aceptada

Decisió n

es rechazada

Error tipo /

Y se toma esta acción:

es: Falsa Error tipo //

Decisión correcta

IV.3 Hipótesis de una cola y de dos colas Una  prueba de hipótesis de una sola cola indica que la región de rechazo se localiza únicamente en un extremo de la distribución muesíral del estadístico de prueba.

Para detectar que

la región de rechazo debe situarse en la cola inferior derecha de

la distribución.

Para detectar que la distribución.

66

la región de rechazo debe situarse en la cola inferior izquierda de

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Una prueba de hipótesis de dos cotas indica que la región de rechazo se localiza en los dos extremos de la distribución muestral del estadístico de prueba. Para detectar que

la

región de rechazo debe situarse equitativamente en los extremos de las colas derecha e izquierda.

IV.4 Procedimiento para resolver una prueba de hipótesis 1. Planteamiento de hipótesis 2. Graficar  según sea el caso

3. Buscar en tablas 4. Plantear regla de decisión 5. Encontrar:

según corresponda

6. Interpretaciones y conclusiones.

IV.5 Pruebas relativas a "medias"  Analizaremos las pruebas más comúnmente usadas concernientes a la media de una población. Todas las pruebas de esta sección están basadas en la teoría de la distribución normal, suponiendo que las muestras provienen de poblaciones normales o bien que son lo suficientemente grandes para justificar el uso de aproximaciones normales.

Supóngase que se desea probar la hipótesis nula alternativa

contra la sobre fa base de una muestra aleatoria de

tamaño n, tomada de una población normal con la varianza conocida

Y las regiones

críticas de fas alternativas respectivas son:

67

CAPITULO IV____________________________________________________________________  donde

Los valores más frecuentemente utilizados de

la probabilidad de cometer un error de tipo

son 0.05 y 0.01 ; los valores correspondientes de

Cuando

y se desconoce

son:

la prueba que hemos estado analizando en esta

sección no puede utilizarse. La prueba correspondiente está basada en;

Es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución libertad. Por lo tanto las regiones criticas de tamaño contra las alternativas son respectivamente:

68

con

grados de

para probar la hipótesis nula

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

IV.6 Pruebas relativas a diferencias entre medias Existen problemas concernientes a diferencias entre medias, como los siguientes:

Quizás se desea decidir, sobre la base de muestras adecuadas, si los hombres pueden realizar cierta tarea a mayor velocidad que las mujeres, o bien quizás se desea decidir, sobre la base de un estudio de muestra apropiado, si los gastos semanales promedio en alimentación de las familias de una ciudad exceden los gastos de familias de otra ciudad en menos de $5.

Supóngase que tenemos muestras aleatorias independientes de tamaño de dos poblaciones normales con las medias que deseamos probar la hipótesis nula contra

tomadas

y las varianzas conocidas

donde

es una constante dada,

Tenemos que las regiones críticas pueden expresarse como donde:

Cuando manejamos variables aleatorias independientes de po blaciones con varianzas desconocidas que quizás no sean normales, aún podemos utilizar la prueba que hemos descrito con

sustituida por 

sustituida por 

en tanto que ambas

muestras sean lo suficientemente grandes para que se invoque el teorema del límite central.

69

CAPITULO IV ___________________________________________________________________ 

IV.6.1 Teorema del límite central

Si

constituyen una muestra aleatoria de una población infinita que tiene

la media

la varianza

entonces

y la función generatriz de momentos

la distribución limitante es de:

cuando

Cuando

es la distribución normal estándar 

son chicos y

son desconocidas, la prueba que se ha

venido analizando no puede aplicarse. Sin embargo, en relación con muestras aleatorias independientes tomadas de dos poblaciones normales con la misma varianza desconocida la técnica de la razón de verosimilitud produce una prueba basada en:

La expresión anterior de í es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución / con grados de libertad. Por lo tanto, la región crítica de tamaño hipótesis nula

70

para probar la

contra las alternativas

 ______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

bajo las suposiciones dadas son, respectivamente,

1V.7 Pruebas para proporciones en la población Existen situaciones en las cuales resulta necesario decidir si la proporción en la población, generalmente denotada mediante el simbolo p , es igual a cierta fracción. En la mayor parte de los casos, la proporción en la muestra o el número de éxitos en n ensayos , se utiliza con fines de inferencia. Si un evento ha ocurrido X veces en n intentos, la proporción en la muestra (por lo regular denotada mediante el símbolo

Esta fracción puede

utilizarse para estimar la proporción de la p oblación p, o la probabilidad de un éxito. Por ejemplo, si 70 de 100 pacientes con cáncer muestran inmediata mejoría al recibir una nueva vacuna,

o 0.70, podría utilizarse como estimación de la verdadera proporción de

pacientes que mejoran con la nueva vacuna.

Para valores de n suficientemente grandes, la variable aleatoria binomial X se distribuye casi en forma normal, con media

y varianza

Tal que la variable aleatoria estandarizada queda

71

CAPITULO IV____________________________________________________________________ 

IV.8 Pruebas relativas a varianzas Veamos algunas aplicaciones: un fabricante, obligado a cumplir rígidas especificaciones, tendrá que realizar pruebas de la variabilidad de su producto; un profesor quizá desea saber si son verdaderas ciertas afirmaciones acerca de la variabilidad que puede esperar observar en el desempeño de un estudiante, y un químico farmacéutico probablemente tenga que cerciorarse de si la variación en la efectividad de un medicamento está dentro de límites permisibles.

Dada una muestra aleatoria de tamaño n , tomada de una población normal, desearemos probar la hipótesis nula bien

en

contra una de las alternativas

la técnica de la razón de verosimilitud nos lleva a obtener una prueba basada el valor de la varianza de la muestra. Con base en el siguiente:

Teorema. Si

son la media y la varianza de una muestra aleatoria de

tamaño tomada de una población normal, con la media

1.

y la varianza

entonces:

son independientes

2. La variable aleatoria

tiene una distribución cuadrada con

grados

de libertad.

Podemos expresar las regiones críticas para probar la hipótesis nula, contra las dos alternativas unilaterales como

72

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Donde

Hasta donde concierne a la alternativa bilateral, rechazamos la hipótesis nula si y el tamaño de todas estas regiones críticas es, desde luego igual a

IV.9 Hipótesis relativas a dos varianzas Si muestras aleatorias independientes de tamaño

se extraen de poblaciones

normales que tienen la misma vananza, se sigue del teorema. son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamaño respectivamente tomadas de dos poblaciones normales que tienen la misma vanancia, entonces:

Es un valor de una variable aleatoria que tiene distribución

Que es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución grados de libertad, Por ello, si la hipótesis nula variancias muéstrales

con parámetros

con es válida, la razón de las

da un estadístico sobre el cual pueden fundamentarse las

pruebas de la hipótesis nula.

73

CAPITULO IV____________________________________________________________________ 

contra la hipótesis alternativa

La región crítica para probar la hipótesis nula donde

se define como

 Asimismo, la región crítica y esto

para probar la hipótesis nula contra la hipótesis alterna causa algunas dificultades, ya que la tabla de

sólo contiene valores correspondientes a Por eso usamos el recíproco del

las colas derechas de

estadístico de la prueba original y haremos uso de la relación.

De ahí que fundamentemos la prueba en el estadístico probar la hipótesis nula

donde

contra la hipótesis alterna

es el valor crítico apropiado de F con

y la región crítica para entonces grados

de libertad.

Para la alternativa bilateral y los grados de libertad son

74

la región crítica es

donde

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

IV.10 Ejemplos resueltos Ejemplo núm. 1

Sea un fabricante de neumáticos, que aseguraba que éstos tenían una vida útil de por lo menos 40 000 km. Supóngase que los resultados de la prueba fueron los siguientes: una muestra de n = 49 , con un valor medio muestral de 38 000 km. Si se sabe que el recorrido de los neumáticos de la población tiene una desviación estándar de 3 500 km, comprobar  hipótesis del fabricante. Considerar 

= 0.05

Solución

Datos

Justificación teórica

Prueba de hipótesis para medias, muestras grandes.

1er. paso

75

CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 

2do. paso

3er. paso

4to. paso Reglas de decisión

Se acepta Se rechaza

5to. paso

6to. paso

Como vida útil es menor que 40 000 km.

76

se rechaza

lo que quiere decir que el promedio de

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Ejemplo núm. 2

En un estudio se afirma que 9 de 10 médicos

recomiendan la aspirina a

pacientes que tienen hijos. Pruebe esta aseveración a un nivel de significación de 0.05 respecto a la alternativa de que la proporción real de los médicos que hacen esto, es menor del 90% si una muestra aleatoria de 100 médicos revela que 80 de ellos recomienda la aspirina.

Solución

Datos

Justificación teórica Prueba de hipótesis para proporciones

1er. paso

77

CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 

2do. paso

3er. paso

4to. paso

Reglas de decisión

Se acepta Se rechaza

5to. paso

6to. paso

Como

78

se rechaza

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Ejemplo núm. 3

En la comparación de dos tipos de pintura, una agencia de servicio ai consumidor decide que cuatro latas de un galón de una marca cubre en promedio 512 pies cuadrados con una desviación estándar de 31 pies cuadrados, mientras que cuatro latas de un galón de otra marca, cubren en promedio 492 pies cuadrados con una desviación estándar de 26 pies cuadrados. Pruebe la hipótesis nula

contra la hipótesis alternativa

en el nivel de significancia Supóngase que las dos poblaciones son normales y tienen varianzas iguales:

Solución

Datos

Probar 

Justificación teórica Prueba de hipótesis para diferencia de medias para pequeñas muestras

79

CAPITULO IV

1er. paso

2do. paso

3er paso

4to. paso

5to. paso

80

Regla de decisión

Se acepta

está en eí intervalo

Se rechaza

está en el intervalo

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

6to. paso

Como

= 0.99está contenida en el intervalo [-2.447 , 2.447] se acepta

Quiere decir que la diferencia entre las dos medias de la muestra bien puede deberse al azar.

Ejemplo núm. 4 Supóngase que el espesor de una parte utilizada en un semiconductor es su dimensión crítica y que las mediciones realizadas del espesor de una muestra tomada al azar de 18 de estas partes tienen la varianza

donde las mediciones se expresan en milésimos de

pulgada. El proceso se considera bajo control si la variación del espesor está dada por una variable no mayor que 0.36. Suponiendo que las mediciones constituyen una muestra tomada al azar de una población normal, pruebe la hipótesis nula alternativa

contra la hipótesis

con

Solución

Datos

quiere decir que está bajo control

CAPITULO IV ____________________________________________________________________ 

Justificación teórica Prueba de hipótesis para varianzas

1er. paso

2do. paso

3er. paso

4to. paso

5to. paso

82

Regla de decisión

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

6to, paso

Como

se rechaza

Ejemplo núm. 5

Se requiere determinar si existe menos variabilidad en el plateado realizado por ía compañía 1 que en el efectuado por la compañía 2. Si muestras aleatorias independientes de tamaño 12 del trabajo desempeñado por las compañías producen pruébese la hipótesis nula de que

contra la hipótesis alterna de que

con un nivel de significancia de 0.05.

Solución Datos

Justificación teórica Prueba de hipótesis para dos variaciones

1er. paso

83

CAPITULO IV____________________________________________________________________ 

2do. paso

3er. paso

Regla de decisión

4to. paso

Se acepta Se rechaza

5to. paso

6to. paso

Como

84

se acepta

 _______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

IV.11 Problemas propuestos Pruebas de hipótesis para medias 1. Supóngase que la desviación estándar del peso de paquetes de galletas de 8 onzas hecha por cierta pastelería es de 0.16 onzas. Para cerciorase de que la producción está bajo control en un día dado, es decir, para verificar si el peso promedio real de los paquetes es de 8 onzas, se selecciona una muestra al azar de 25 paquetes y se encuentra que su peso medio es dinero cuando

onzas. Como la pastelería espera

y que el cliente pierda cuando

contra la alternativa

probar la hipótesis nula

mediante el uso de

Resp. se rechaza Ho

2. Sea X el salario mensual inicial para alguien que acaba de graduarse de una universidad. Se sospecha que el salario medio mensual es de $1 200 y no $1 200 o menos, como alguien predijo. Considérese que se sabe que la varianza de X es $2 500, Se toma una muestra aleatoria de 100 graduados y se determina la media muestra! como $1 210, ¿deberá rechazarse la hipótesis nula en

Resp.

Se acepta Ho

3. La Prueba de aptitudes escolares se ha aplicado a todos los estudiantes que desean ingresar a cierta universidad. Se sabe que las puntuaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media de 500 y desviación típica de 100. En este caso se sospecha que el promedio de las puntuaciones de la prueba de tos estudiantes universitarios de primer año que ingresaron en 2002 es diferente de 500. Una muestra seleccionada aleatoriamente de 64 universitarios de primer año en 2002 muestra una media de 520. ¿Hay suficiente evidencia para apoyar la información de que el

85

CAPITULO IV ___________________________________________________________________  promedio de las puntuaciones de la prueba de los estudiantes de primer año del 2002, es diferente de 500? Resp. Se acepta Ho

4. Una empresa de transportes desconfia de la afirmación de que la vida útil promedio de ciertos neumáticos es al menos de 28 000 km. Para verificar la afirmación, se colocan 40 de estos neumáticos en sus camiones y obtienen una vida útil promedio de 27 463 km. Con una desviación estándar de 1 348 km ¿qué se puede concluir de ese dato, si ía probabilidad de un error tipo I es a (o sumo 0.01? Resp. Se rechaza Ho

Pruebas de hipótesis para medias, pequeñas muestras

5. Supóngase que las especificaciones de cierto tipo de cinta afirman que el producto tiene una resistencia media a la ruptura de 185 Ib y que cinco piezas seleccionadas al azar de diferentes rollos tienen una resistencia media a la ruptura de 183.1 Ib con una desviación estándar de 8.2 Ib, Suponiendo que podemos considerar los datos como una muestra tomada al azar de una población norma!, pruebe la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa Resp. Se acepta Ho

6. Debido a las múltiples ventajas que cierto vendedor de automóviles ofrece a sus clientes, se sospecha que su margen promedio de beneficio por automóvil vendido, está por abajo del promedio nacional de $500. Se realiza un estudio para determinar si realmente este es el caso. Una muestra aleatoria de 25 ventas muestra una media muestral de $485 y una desviación típica (s) de $45. Considerando que el margen de beneficio por cada automóvil vendido por este comisionista se distribuye normalmente, ¿puede llegarse a ía conclusión de que su margen promedio de beneficio es en realidad significativamente menor de $500 para

86

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Resp. se acepta Ho

7. Se supone que una máquina vendedora proporciona 8 onzas de café, si se insertan las monedas adecuadas. Para probar s¡ la máquina está operando adecuadamente, se toman 16 tazas de café de la máquina y se mide. Se determina que la media y la desviación típica (s) de las 16 mediciones son 7.5 y 0.8 oz, respectivamente. Pruebe la hipótesis nula de que ia máquina está operando adecuadamente contra la hipótesis alternativa de que no lo esta haciendo, a dos n iveles de significación: 0.01 y 0.05 Resp. a) se acepta Hoat nivel de 0.01 b) se rechaza Ho al nive! de 0.05

8. Las especificaciones para cierta cíase de banda exigen una resistencia media a la ruptura de 180 kg. Si cinco de las bandas (aleatoriamente seleccionadas en diferentes cajas) tienen una resistencia media de 169.5 kg, con una desviación estándar de 5.7 kg, pruebe la hipótesis nula de que

kg contra la hipótesis alterna de que

180 kg, con un nivel de significancia de 0.01 Resp. Se rechaza Ho

9. Los siguientes datos son las horas-hombre que semanalmente se pierden en promedio por accidentes en 10 plantas industriales antes y después de que se implantara cierto programa de seguridad

45y36, 73y60, 46y44, 124y 119, 33y35 57y51, 83y77, 34y29, 26y24, 17y 11 Utilícese un nivel de significación de 0.05 para probar si el programa de seguridad es eficaz.

Resp. Se rechaza Ho

87

CAPITULO IV ___________________________________________________________________  Pruebas de hipótesis para proporciones

10. Un importante fabricante de dulces asegura q ue menos del 3% de las bolsas de lunetas de chocolate están por debajo del nivel de llenado. Una comprobación aleatoria revela que 4 de 50 bolsas se encuentra en esta situación. La muestra fue tomada de una remesa de 400 bolsas de lunetas. ¿Refuta la evidencia muestral la afirmación del fabricante (es decir, hay más del 3% de bolsas que no están completamente llenas)? Considerar a = 0.05 Resp. Se rechaza Ho

11. Supóngase que cierto programa de noticias gene ralmente atrae el 50% de todos aquellos que ven la televisión durante el periodo en que el programa sale al aire. El conductor habitual ha renunciado y se ha contratado a una mujer para reemplazarlo. La gerencia de la red televisiva desea determinar si con la nueva conductora ha aumentado el porcentaje de personas que ven el programa. Si se realiza una encuesta telefónica, se descubre que 55 de 100 personas que ven la televisión mientras el programa de noticias está en el aire, ven este programa en particular. Pruébese la hipótesis de que el porcentaje de aquellos que ven el programa permaneció sin cambio, contra la alternativa de que ha aumentado, para

0.05.

Resp. Se acepta Ho

12. Un banco seleccionó aleatoriamente a 2 25 clientes con cuenta de cheques y determinó que 90 de ellos también tenían una cuenta de ahorro en el banco. El objetivo del banco es que al menos el 50% de sus clientes con cuenta de cheques tengan una cuenta de ahorro simultáneamente. ¿Ha proporcionado la muestra suficiente evidencia de que el banco ha logrado este objetivo para

0.01 ?

Resp. Se rechaza Ho 88

PRUEBAS DE HIPÓTESIS 13. En un estudio diseñado para investigar sí ciertos detonador es empleados con explosivos en una mina de carbón cumplen con los requerimientos de que al menos el 90% encenderá el explosivo al ser detonado, se encontró que 174 de 200 detonadores funcionaron adecuadamente. Pruébese la hipótesis nula de que  p > 0.9

contra la hipótesis alterna de que  p < 0.9 con un nivel de significación

de 0.05. Resp. Se acepta Ho

Prueba de hipótesis para diferencia de medias (grandes muestras) 14. Supóngase que se desea determinar si el contenido promedio de nicotina de los cigarrillos marca I, es igual a los cigarrillos marca II. Con la finalidad de probar esta hipótesis, se seleccionan aleatoriamente dos muestras de 25 cigarrillos cada una de las dos marcas y se obtienen dos medias muéstrales: mg. Se sabe que las varianzas de las dos marcas son Determínese si las dos marcas de cigarrillos tienen la misma media en Resp. Se acepta Ho

15. Se comparan dos modelos de automóvil para determinar la capacidad de frenado. Se seleccionan dos muestras aleatorias de 16 automóviles cada una y se mide y registra la distancia necesaria para que se detengan cuando el freno se aplica a 60 km/h. Supóngase que se sabe que la varianza para el modelo modelo

y para el

Las dos medias muéstrales son

¿Puede llegarse a la conclusión de que X  x  es significativamente menor que  X 2  en

? Resp. Se rechaza Ho

89

CAPITULO IV ___________________________________________________________________  16. Para probar la afirmación de que la resistencia de un alambre eléctrico puede reducirse en más de 0.05 o hms mediante aleaciones, 32 valores obtenidos de alambre ordinario produjeron

ohms y

ohms y 32 valores

obtenidos con el alambre fabricado a base de aleaciones produjeron ohms y

ohms. ¿Se apoya la afirmación con un nivel de significancia de

0.05? Resp. Se rechaza Ho

17. Una compañía asegura que sus lámparas incandescentes son superiores a las de su principal competidor. Si un estudio demostró que una muestra de

40 de esas

lámparas tienen una vida útil media de 647 horas, con una desviación estándar de 27 horas, mientras que una muestra de

de su principal competidor tuvieron

una vida útil media de 638 horas de uso continuo, con una desviación estándar de 31 horas, ¿se debe aceptar la afirmación con un nivel de significación de 0.05?

Resp. Se acepta Ho

Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones 18. A los votantes de dos ciudades se les pregunta si se pronuncian a favor o en contra de una ley, actualmente en estudio en la legislatura del estado. Para determinar si los votantes de las dos ciudades difieren en términos del porcentaje que votan a favor, se toma una muestra de 100 votantes de cada ciudad. Treinta de los muestreados de una ciudad están a favor, en tanto que, en la otra, lo están veinte.

Resp. Se acepta Ho

90

 _______________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Prueba de hipótesis para la diferencia de medias. Pequeñas muestras 19. Un educador desea determinar si dos distintos métodos de enseñanza tienen efectos idénticos en el aprendizaje. Se seleccionan aleatoriamente dos clases de estudiantes y se exponen a los dos métodos diferentes. Después se aplica a las clases un examen estándar, que abarca los contenidos enseñados, para determinar la efectividad de los dos métodos, Los datos son los siguientes:

Clase I

Clase II

Tamaño de la muestra Puntuación y promedio de la prueba Varianza muestral

Considerando que las puntuaciones de prueba para todos los posibles estudiantes a los que se haya enseñado con cada método se distribuyen normalmente y tienen varianza idéntica pruébese la hipótesis nula de que los dos métodos de enseñanza son igualmente efectivos para (a)

Resp. a) se acepta Ho al nivel de 0,01 b) se rechaza Ho al nivel de 0,05

20, Sean los siguientes datos:

91

CAPITULO IV ___________________________________________________________________ 

Utilizar ei nivel de significación

para probar si la diferencia entre las

medias de las muestras, es significativa Resp. Se rechaza Ho

21. Se sabe que la varianza de la resistencia a la ruptura, en kg. de cierto tipo de cable fabricado por una compañía es de cuando más 40 000. Sin embargo se sospecha que después de empezar a utilizar un nuevo proceso de fabricación, la varianza de la resistencia a la ruptura ha aumentado. Una muestra de diez cables seleccionados aleatoriamente muestra que la varianza de la resistencia a la ruptura es 50 000. Considerando que la resistencia a la ruptura se distribuye normalmente, ¿debería llegarse a la conclusión de que existe un incremento significativo en la variabilidad, si el nivel es Resp, Se acepta Ho

22. El proceso que se usa para esmerilar ciertos discos de silicio al grueso apropiado es aceptable sólo si

que es la desviación estándar de la población del grosor de los

retículos cortados de dichos discos, es a lo sumo 0.50 mi. Empléese el nivel de significancia 0.05 para probar la hipótesis nula de que alterna de que

contra la hipótesis

si el grueso de 15 retículos cortados de tales discos tienen

una desviación estándar de 0.64 mi.

Resp. Se acepta Ho

92

 ________________________________________________________________ PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Problemas varios 23. La siguiente información sobre el máximo peso de levantamiento (MAWL en kg) para una frecuencia de cinco levantamientos por minuto, se reportó en el artículo "The effects of speed frequency and load on measured hand forces for a floor to knuckie lifting task" (Ergonomics 1922 pp. 833-843); se seleccionaron personas al azar de una población de hombres sanos entre 18 y 30 años de edad. Si se supone que el MAWL está normalmente distribuido, ¿sugiere esta información que la media poblacional de MAWL excede de 25? Realizar una prueba usando un nivel de significación de 0.05. sean los datos 25.8, 36.6,26.3, 21.8 y 27.2 Resp. Ho no se puede rechazar 

24. Se está considerando cierto tipo de ladrillo para usar en un proyecto de construcción en particular. Se utilizará el ladrillo a menos que una evidencia muestral sugiera fuertemente que el verdadero promedio de resistencia a la compresión se encuentra por debajo de 3 200 Ib/pulg2. Se selecciona una muestra aleatoria de 36 ladrillos y cada una se somete a una prueba de resistencia a la compresión. El promedio muestral resultante de resistencia a la compresión y la desviación estándar muestral de resistencia a la compresión son 3 109 y 156 Ib/pulg2 respectivamente. Establezca las hipótesis pertinentes y realice una prueba para llegar a una decisión con un nivel de significación de 0.05. Resp. se rechaza Ho a nivel 0.05

25. Muchos consumidores están recurriendo a productos genéricos, como una forma de reducir el costo de medicamentos por prescripción. El articulo "Commercial Information on Drugs: Confusing to the Physician" (J. of Drug Issues, 1988, pp. 245257) da el resultado de un estudio de 102 médicos. Sólo 47 de estos médicos entrevistados conocía el nombre genérico de la metadona. ¿Proporciona esto fuerte evidencia para concluir que menos de la mitad de todos lo médicos conocen el 93

CAPITULO IV ___________________________________________________________________  nombre genérico de la metadona? Realizar una prueba de hipótesis usando un nivel de significación de 0.01. Resp. No se puede rechazar Ho al nivel 0.01

94

ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

CAPÍTULO V Análisis de regresión y correlación

V.1 Introducción

El análisis de correlación y regresión comprende el análisis de los datos muéstrales para saber cómo se relacionan entre sí dos o más variables en una población.

El análisis de correlación produce un número que resume el grado de relación entre dos variables; y el análisis de regresión da lugar a una ecuación matemática que describe dicha relación.

La regresión lineal simple comprende el intento de desarrollar una línea recta o ecuación matemática lineal que describa la relación entre dos variables.

Una forma de emplear las ecuaciones de regresión es para explicar los valores de una variable en términos de la otra. Es decir, se puede intuir una relación de causa y efecto entre dos variables. Por ejemplo, un economista puede intentar explicar los cambios en la demanda de automóviles usados, en términos del nivel de desempleo. Un agricultor puede creer que la cantidad de fertilizantes que utilizó influyó en la cosecha lograda. La velocidad de un automóvil podría ser un factor para determinar la distancia de frenado.

Otro uso de la ecuación de regresión es para predecir ios valores futuros de una variable.

Dos características importantes de una ecuación lineal son:

95

CAPÍTULO V _____________________________________________________________________ 

1.- la pendiente de la recta y 2.- la localización de la recta en algún punto

Una ecuación lineal tiene la forma:

En la que a y b son valores que se determinan a partir de los datos de la muestra a indica la altura de la recta en x = 0 b señala su pendiente

La variable y es la que se habrá de predecir y Y la variable predictora.

La pendiente de la recta ub" indica la intensidad de cambio de "y" por unidad de cambio de Y osea Pendiente

En la regresión, los valores de y son predichos a partir de valores de Y dados o conocidos.

La variable y recibe el nombre de variable dependiente y la variable Y el de variable independiente.

96

 ____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

V.2 Método de mínimos cuadrados

Sea donde

tal que la recta de mínimos cuadrados es: es mínimo entonces:

En donde, las ecuaciones normales son:

Despejando:

97

CAPITULO V ____________________________________________________________________ 

V.3 Cálculo de

un estimador de

Si se requieren encontrar cotas para el error de predicción es estimar 

la varianza de "y"

para un valor dado de Y. Para esto, parece razonable el usar SCE (la suma de cuadrados de los errores) respecto a la recta de predicción.

Un estimador para

en donde:

V.4 Inferencias relativas a la pendiente "6" de una recta La primera inferencia que se debe hacer cuando se estudia la relación entre"/' y "x" concierne a la existencia misma de dicha relación. En otras palabras, se quiere contestar a las siguientes preguntas: ¿Muestran los datos suficiente evidencia como para pensar que el conocimiento de V contribuye para predecir y, en alguna región de observación?, ¿al contrario, se puede considerar que es bastante probable que, aun sin estar"/ y "x" relacionadas, los puntos observados formen un diagrama de dispersión?

98

 _____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Las preguntas desde el punto de vista práctico se refieren al valor de "b", e! cambio medio que se experimenta en Y por unidad de cambio en "x". El decir que V no proporciona información para predecir "y", es equivalente a decir b = 0 (si b = 0, se predice siempre el mismo valor para */ sin importar cuál sea el valor de "x"). Así que lo primero que hay que hacer es probar la hipótesis de que b = 0 contra la alternativa

V.4.1 Método a seguir, para desarrollar una prueba de hipótesis acerca de la pendiente de una recta

ler. paso

2do. paso 3 er. paso 4to. paso 5to. paso

6to. paso

Plantear hipótesis nula e hipótesis alterna Granear  Buscar en tablas Plantear regla de decisión Encontrar 

Comparación

99

CAPÍTULO V_____________________________________________________________________ 

V.5 Intervalo de confianza para la pendiente "b" Una vez que se ha decidido que b es diferente de 0, resulta de interés examinar con mayor detalle la relación entre "y" y "x". ¿Si x aumenta una unidad cuál será e! cambio estimado para "/ y qué confianza se puede tener en dicha estimación?

V.6 Análisis de correlación

El término "correlación" literalmente significa relación mutua, ya que indica el grado en el que los valores de una variable se relacionan con los valores de otra.

El coeficiente de correlación presenta dos propiedades que establecen la naturaleza de una relación entre dos variables. Una es su signo (+ o -) y la otra, es su magnitud.

Por ejemplo: los valores próximos a -1 o +1 indican que los valores están bastante cerca de la recta o sobre ella, mientras que los valores próximos a 0 sugieren mayor dispersión.

La medida de correlación lineal comúnmente usada en la estadística es el llamado Coeficiente de correlación de Pearson entre y y Y. Esta cantidad, denotada por el símbolo Y se calcula

como sigue:

100

 ____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

El coeficiente de correlación expresa numéricamente, tanto la fuerza, como la dirección de la correlación lineal. Tal coeficiente se encuentra generalmente entre -1 y 1 considerándose el siguiente criterio

Correlación negativa perfecta Correlación negativa fuerte Correlación negativa moderada Correlación negativa débil  Ninguna correlación Correlación positiva débil Correlación positiva moderada Correlación positiva fuerte Correlación positiva perfecta

101

CAPÍTULO V______________________________________________________________________ 

Ejemplo núm.1 Sean los siguientes datos:

GASTOS PUBLICITARIOS

Obtener la recta de mínimos cuadrados

102

VOLUMEN DE VENTAS

 ____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Solución

Justificación teórica

Sustituyendo:

103

CAPÍTULO V_____________________________________________________________________ 

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), se tiene:

diagrama de dispersión curva de ajuste

104

 ____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Ejemplo núm. 2 Calcular un estimador de

para los datos del ejemplo 1:

Solución

Justificación teórica:

Sustituyendo:

105

CAPITULO V _____________________________________________________________________ 

Ejemplo núm.3

Utilice los datos del ejemplo 1 para determinar si existe evidencia que indique que "b" difiere de 0 al utilizar una relación lineal entre el gasto publicitario V y el volumen mensual medio"/ de ventas con

= 0.05.

Solución

1er paso

o

2  . paso

3er. paso

está en el intervalo o

4 . paso

Regla de decisión Se acepta Ho si Se rechaza Ho si

5o. paso

106

está en el intervalo [-2.306 , 2.3061 no está en el intervalo [-2.306 ,2.306]

 _____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

6° paso = 5.12 no está en el intervalo [-2.306, 2.306] se rechaza

deque

7°. paso

Se concluye que hay evidencia que indica que los gastos publicitarios proporcionan información para predicción de los volúmenes mensuales de ventas.

Ejemplo núm. 4

Encontrar el intervalo de confianza del 95% para "b" basándose en los datos del ejemplo 1: Solución

Justificación teórica:

107

CAPÍTULO V _____________________________________________________________________  Sustituyendo:

Lo anterior quiere decir que si se aumenta en una unidad la "x", esto es, si se aumenta en $10,000 eí gasto publicitario, se estima que el aumento en los volúmenes mensuales de venía correspondientes será entre 28.90 y 76.24 o en las unidades originales para y será entre $289,000 y $762,400.

Ejemplo núm. 5

Calcular el coeficiente de correlación para los datos de gastos publicitarios y volúmenes de venta del ejemplo 1,

Solución

108

 ____________________________________________   ______________________________ ______________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

V.8 Problemas propuestos

1. Obtener la recta de mínimos mínimos cuadrados de los siguientes datos:

observación

recorrido (en millas)

precio de venta

1

40

$1000

2

30

1500

3

30

1200

4

25

1800

5

50

800

6

60

1000

7

65

500

8

10

3000

9

15

2500

10

20

2000

11

55

800

12

40

1500

13

35

2000

14

30

2000

Resp.

2934-38.56 x

109

CAPÍTULO V

2. Calcular el coeficiente coeficiente de correlación, de los datos del ejercicio anterior: anterior: Resp. r = -0.8992 3. Considere los promedios de puntos de calificación de bachillerato y universidad, para 20 estudiantes, de la tabla siguiente: estudiante

PPC de bachillerato

PPC de universidad

1

3

5

2

2

4

3

4

4

4

12

9

5

11

8

6

8

9

7

9

7

8

7

8

9

6

5

10

5

6

11

4

8

12

8

4

13

3

7

14

12

6

15

9

8

16

8

5

17

11

10

18

7

7

19

8

6

20

10

5

Calcular la recta de regresión de minimos cuadrados: Resp. 455 + 0.27 x  110

 ____________________________________________   ______________________________ ______________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

4. Utilice los datos datos del problema 3 y determine el grado de relación entre calculando el coeficiente de correlación Resp. r = 0.461 5. Sean los datos

1

1.5

4.8

2

1.8

5.7

3

2.4

7.0

4

3.0

8.3

5

3.5

10.9

6

3.9

12.4

7

4.4 4. 4

13.1 13.1

8

4.8

13.6

9

5.0

15.3

Estimar la línea de regresión. Resp. y = 0.2568 + 2.9303 x 

6. Calcular 

para los datos del problema anterior  Resp.

= 0.292

7. Encuentre un un intervalo de confianza del 95% para la pendiente, basado en los datos del ejercicio 5. Resp. (2.57722,3.28338)

111

CAPÍT CAPÍTULO ULO V ________________________________ _________________________________________________________________ ____________________________________  ___ 

8. Usando el valor estimado de b = 2.9303 del ejercicio 5, pruebe la hipótesis de que al nivel de significancia de 0.01, contra la alternativa de que Resp. Se acepta Ho 9. Los siguientes datos son las mediciones de la velocidad del aire y det coeficiente de evaporación de las gotitas de combustible en un turbina de propulsión. Velocidad del aire (cm / seg)

Coeficiente de evaporación (mm2/seg)

20

0.18

60

0.37

100

0.35

140

0.78

180

0.56

220

0.75

260

1.18

300

1.36

340

1.17

380

1.65

 Ajústese  Ajústese a una línea recta a estos datos por el método de mínimos cuadrados y utilícese para estimar el coeficiente de evaporación de una gotita, cuando la velocidad del aire es de 190 cm/seg.

Resp. y = 0.069+ 0.0038 x  y =

112

0.79

 ____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

10. Emplee los siguientes valores de resumen para determinar las ecuaciones de regresión para determinar las ecuaciones de regresión:

a)

b)

c)

d) Resp.

11. Determine una ecuación que describa la relación entre la frecuencia de accidentes y el nivel de educación preventiva en lo referente a los siguientes datos: Horas - hombre por mes de instrucción

 Accidentes por millón de Horas- hombre

200

7

500

6.4

450

5.2

800

4.0

900

3.1

150

8

300

6.5

600

4.4

113

CAPÍTULO V

12. Se hizo un estudio sobre la cantidad de azúcar transformada en cierto proceso, a varias temperaturas. Los datos se codificaran y registraron como sigue: Temperatura  Azúcar transformada

a) Estime la linea de regresión b) Estime la cantidad de azúcar transformada, cuando la temperatura codificada es de 175 Resp. a) .y = 6.4136 + 1.8091 x  b) 9.5795 114

 _____________________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

13. Para el ejercicio 12, construya un intervalo de confianza del 95% para la pendiente. Resp. [0.432,3.168] 14. En el ejercicio 12 probar la hipótesis de que b = 0, contra la hipótesis alterna de que utilizando un nivel de significación de 0.05. Resp. Rechazar Ho 15. Encontrar el coeficiente de correlación de los datos de ejercicio 12. Resp. r = 0.7071 16. En una compañía de seguros se desea determinar la relación entre la experiencia en ventas y el volumen de las mismas. Se selecciona una muestra aleatoria de nueve vendedores. Se encuentra que sus años de experiencia V y ventas normales y son los siguientes.

115

CAPÍTULO V ____________________________________________________________________ 

a) Construyase un diagrama de dispersión y trácese la recta de regresión de "/ sobre V en el diagrama. b) Estímese el volumen de ventas anuales para un vendedor que tiene una experiencia en ventas de diez años. Resp. a) y - 0.66 + 0.66 x 

b) y = 7.26 

17. Calcular un estimador de

para los datos del ejercicio 16: Resp.

18. Utilice los datos del ejercicio 16, para determinar si existe evidencia que indique que difiere de

al utilizar una relación lineal entre Resp. Se rechaza Ho

19. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para

basándose en los datos del

ejercicio 16. Resp. [0.6318,0.6882]

20. Calcular el coeficiente de correlación, para los datos del ejercicio 16. Resp. r = 0.94 21. Se tiene un registro de los costos de mantenimiento para sus máquinas idénticas de distintas edades. Por parte de la gerencia se desea determinar si existe una relación funcional entre la edad de la máquina "x" y el costo de mantenimiento "y". Se obtienen los siguientes datos:

116

 ______________________________________ ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

Máquina

Obténgase la ecuación de regresión con V como variable independiente y "y" como variable dependiente. ¿Cuál sería el costo de mantenimiento para una máquina de cuatro años? Resp.

$135 22. Calcular un estimador de

para los datos del ejercicio 21. Resp.

23. Utilice los datos del ejercicio 21 para determinar si existe evidencia que indique que difiere de

al utilizar una relación lineal entre Resp, Se rechaza Ho

24. Encontrar el intervalo de confianza del 95% para "bn, basándose en los datos del ejercicio 21. Resp.

117

ESTADÍSTICA ________________________________________________________________ _ _ 

Bibliografía  ARMITAGE G. Berry. Curso de Estadística. Madrid. 1992 www.bioestadistica.uma.es/libro/node159.htm BARÓ LUNAS, J. Estadística Descriptiva circular. Introducción. Granada. Editorial Parramón.1985. www.uiaen.es/dep/estinv/a5iqnatura/3102.rttm BERRIOS, María de Jesús. Principios Estadísticos de Estadística Descriptiva. www.coqui.metro.inter.edu/mdeiesus/6990DescriDtiva/tsld001.htm BOWKER, Albert H. y LIEBERMAN, Gerald J. Estadística para Ingenieros. Prentice Hall Hispanoamericana S.A, México, 1998. CASTILLO PADILLA, Juan y GÓMEZ ARIAS, Jorge. Estadística tnferencial Básica. www.enqrupo.corn.rox/gei/sec 66.htm CHAO, Lincoln L. Introducción a ¡a Estadística. México, Compañía Editorial Continental, S.A., de G.V., 1994. CHRISTENSEIsl, Howard B. Estadística paso a paso. 2a Edición. Editorial Trillas. México, 1992. DEGROOT, Morris H. Probabilidad y Estadística. Segunda Edición. Addison-WesleyIberoamericana. México, 1996. DIXON, Wilfred J. y MASSEY, Frank J. Jr. Introducción al Análisis Estadístico. Editorial Mc.GrawHill. México, 1996. ........................................Estadística Básica. Análisis Exploratorio de Datos y Análisis Combinatorio.

Educación a distancia. Cursos de Extensión. ........................................Estadística Descriptiva. Análisis Estadístico con SPSS.

www.nereida.deioc.ull.es/-pcguH/ihiu01/cdro.. .ido/node25.html ........................................Estadística Descriptiva en dos Variables

www.cema.edu.ar/~rdp/MetodosCuantitat¡vo...ase/TabForrn.pdf  ....................................... "Estadística inferencial. Tecnológico de Monterrey.

www.qda.itesm.mx/diplomados/dip cestal.html

118

 ________________________________________________________________________ BBLIOGRAFÍA

FRANCO ESPEJEL, Gilda Melva y otros. Probabilidad y Estadística. Editorial Spanta. México, 1998. FRANK, N. Manual de Estadística Aplicada. Buenos Aires. www.isi.frt.utn.edu.ar/sequndo/profa.htm FRASER, D.A.S. Fundamentos y Técnicas de Inferencia Estadística. Editorial Limusa. México, 1996 FREUND, John E. Y WALPOLE, Ronald E. Estadística Matemática con Aplicaciones. México, Prentice Hall Hispanoamericana, México, 2000. GARCÍA, Roberto. Estadística Aplicada. Instituto Tecnológico de Buenos Aires. www.itba.edu.ar/cargado/industri/estadapii.htm GLASS, Gene V. y STANLEY, Julián C. Métodos estadísticos aplicados a tas ciencias sociales. Prentice Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1992. HAROLD J., Larson. Introducción a la Teoría de Probabilidades e Inferencia Estadística. Editorial Limusa. México, 1993. HIÑES, Wilüam W. y MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y Estadística para Ingeniería y  Administración. 3ra. ed., México, Compañía Editorial Continental. S.A. de C.V., 1993. HUNTSBERGER, David V. y BILLINGSLEY, Patrick. Estadística Inferencia!. México. Compañía Editorial Continental S.A. de C.V., 1983. INFANTE, Gil Said y ZARATE DE LARA, Guillermo, Métodos Estadísticos. Un enfoque interdisciplinarío. Editorial Trillas. México, 1991. JONSON, Robert, Estadística Elemental. Editorial Trillas. México, 1999. KOOSIS, Donald J. Introducción a la Inferencia Estadística para Administración y Economía. México: Editorial Limusa, 1980

KREYSZIG, Erwin. Introducción a la Estadística Matemática. Editorial Limusa, 1988 LEVIN, Richard I. Estadística para Administradores. 2a Edición.; México: Editorial Prentice Hall, 1992. MASÓN, Robert D. Y LIND, Douglas A. E stadística par a  Administración y  E conomía. México, Editorial Alfaomega. 119

ESTADÍSTICA ___________________________________________________________________ 

MAYES, Anne C. y MAYES, David G. Fundamentos de Estadística para Economía. Editorial Limusa. México, 2000. MENDENHALL, Wiltiam y REINMUTH, James. "Estadística para Administradores y Economía". México. Grupo Editorial Iberoamericana, 1989. MENDENHALL, William. Estadística para administradores. México. Grupo Editorial Iberoamericana^ 990. MILLER, Irwin; FREUND, John E. y JOHNSON, Richard. Probabilidad y Estadística  para ingenieros. México, Prentice Hall Hispanoamericana, 1992. MONTGOMERY, Douglas C. y RUNGER, George C. Probabiiidad y estadística aplicadas a la Ingeniería. México, Editorial Limusa, S.A. de C.V. Grupo Noriega Editores, 2002. OSTLE, Bernard. Estadística aplicada. Técnicas déla Estadística moderna, cuándo y dónde aplicarlas. México. Editorial Limusa, 1992. PALMER, A.; RUB, A. y JIMÉNEZ, R. Libros Electrónicos de Estadística. Abril de 1999. www. intersai ud.net/esatdistica/libros. html PARZEN, Emmanuel. Teoría Moderna de Probabilidad y sus Aplicaciones. México. Editorial Limusa, 1992 PARZEN, Emanuel. Teoría Moderna de Probabilidad. Editorial Limusa. www.ur,mx/Pnncipal/fiya/acad/carreras/math/proqe2.htm ........................................... Probabilidad I.

Escuela Superior de Física y Matemáticas del

IPN. www.smf.mx/CataO1/MEXICQ/ESFMIPN/esfmipn.html QUESADA V., Isidoro. Curso y Ejercicios de Estadística. Editorial Alhambra, 1989, www.fie.us.es/~calvo/bib esydes.html REMOTE, José Miguel. Estadística Inferencia!. Más páginas de Ibad-las palmas.com RUNYON, Richard P. y HABER, Audrey. Estadística para las Ciencias Sociales. México: Addison Wesley Iberoamericana, 1987.

120

BBLIOGRAFÍA

SPIEGEL, Murray. Estadística. 2da. ed.; México. Editorial Me Graw I—lili, 1991. WALPOLE, Roland E, MYERS, Raymond H. y MYERS, Sharon LProbabitidad y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall. México, 2000, WACKERLY, Dennis, SCHEAFFER, Richard L., y MENDENHALL, William. Estadística Matemática con Aplicaciones. 2a  Ed, México, Grupo Editorial Iberoamericana, 1996. YAMANE, Taro. Estadística, 3ra. ed. México. Editorial Haría, 1994.

121

 ________________________________________________________________________ ÍNDIC E

Índice alfabético análisis de correlación y regresión,

hipótesis alterna,

95

72

hipótesis de una y dos colas, 73 hipótesis nula,

coeficiente de correlación de Pearson,

72

histograma,

8

100 inferencia estadística, 43 desviación estándar, 4

inferencias relativas a la pendiente de

distribuciones frecuenciales:

una recta,

98

datos no agrupados,

4

intervalo de confianza, 45

datos agrupados,

5

Intervalo de confianza para la diferencia

27

de medias,

distribuciones muéstrales,

46

distribuciones muéstrales de diferencia

intervalo de confianza para la media, 47

de medias,

intervalo de confianza para la pendiente,

29

distribuciones muéstrales de media, 27

100

distribuciones

intervalo de confianza para muestra

muéstrales

proporciones, 29

de

grande,

48

intervalo de confianza para la varianza, error de estimación,

49

48

error de tipo I,

65

intervalo de confianza para dos

error de tipo II,

66

varianzas,

estadística,

1

estimación,

43

estimación puntual,

43

estimador,

43

46

limites reales,

8

marca de clase,

6

estimador consistente, 44

media,

2,9

estimador eficiente,

mediadas de dispersión:

44

estimador ¡nsesgado, 44 estimador para la varianza, estimador suficiente, 44

datos no agrupados, 98

4

datos agrupados,

2

medidas de tendencia central:

123

 _________________________________________________________________________ ÍNDICE

datos no agrupados,

2

pruebas relativas a diferencia entre

datos agrupados,

4

medias,

método de mínimos cuadrados, 97

pruebas relativas a dos varianzas,

método para prueba de hipótesis de la

pruebas relativas a medias,

pendiente,

pruebas relativas a varianzas, 72

moda,

98

parámetros,

9

procedimiento para resolver una prueba 67

pruebas de hipótesis, 65 pruebas para proporciones en la población

tamaño de muestra,

27

teorema del límite central,

28

tipos de hipótesis,

65

43

polígono de frecuencias, de hipótesis,

67

4,8

nivel de significación, 65

124

69

71

variabilidad,

1

varianza,

2

73

Impreso en los Talleres Gráficos de la Dirección de Publicaciones del INSTITUTO POLITÉCNICO N ACIONAL, Tresguerras 27, 06040 México, DF Noviembre 2006. Edición: 1 000 ejemplares.