Estadistica.....[1] (1)

1. a) Los Costos de producción, en soles, de diez objetos son los siguientes: 9.35, 9.46, 9.20, 9.80, 9.77, 9.00, 9.99, 9.36, 9.50, 9.60 Si la utilidad neta por objeto es 3 veces su costo de producción menos de 5 soles, calcule la media de la utilidad neta por objeto.

´x =

9.35+9.46+ 9.20+9.80+9.77+ 9.00+9.99+ 9.36+¿ 9.50+9.60 =9.503 10

´y =3 ´x −5=3 ( 9.503 )−5=23.509 

´y −´x =23.509−9.503=$ 14.006

b) En una evaluación, 5 alumnos tienen cada uno nota 12, y un alumno tiene 18. Si se indica como nota promedia 13, ¿Qué nota promedio es?, ¿es el promedio adecuado?, ¿cuánto es el promedio adecuado?

5 ( 12 ) +18 = 13 6

(Media)

12+12 =12 Me = 12, 12, 12, 12, 12, 18 = 2 La mediana es el promedio adecuado. 2. De las edades de cuatro personas, se sabe que la media es igual a 24 años, la mediana es 23 y la moda es 22. Encuentre las edades de las cuatro personas.

24=

a+b+ c+ d 4

M e =23 →

b+c =23 → b+c=46 2

a+ d=50 Entonces, deduciendo:

a≠ d ;b≠ c La definición de moda nos dice que es el valor que más se repite en una muestra. Por lo tanto dos edades serán 22. Mo = a = b = 22

22+d=50 → d=28

22+c=46 →c =24 Respuesta: 22, 22, 24, 28

3. En el control de calidad de 120 lotes de determinado producto, se observó el número de artículos defectuosos por lote, obteniendo los siguientes resultados. El 5% de los lotes no tiene artículos defectuosos, el 15% tiene 1 defectuoso, el 25% tiene defectuosos, el 45% tiene 3 defectuosos, y el resto contiene 4 defectuosos. a) Defina la variable, su tipo y su escala de medición. Luego, obtenga y grafique la distribución de frecuencias absolutas del número de artículos defectuosos por lote y calcule los promedios. b) Obtenga y grafique la distribución acumulativa relativa. Luego, calcule los cuartiles u ubíquelos en la gráfica.     

No tiene artículos defectuosos = 5%(120)=6 1 defectuoso = 15%(120) = 18 2 defectuosos = 25%(120) = 30 3 defectuosos = 25%(120) = 54 4 defectos = 12 a) Defina la variable: x = 0, 1, 2, 3, 4 Tipo de variable: Cuantitativa Discreta

Escala de Medición: Escala de Intervalos

NÚMERO DE ARTÍCULOS DEFECTUOSOS 60

54

50 40 30

30 18

20

12 10 0

0 0 defectuoso 1 defectuoso 2 defectuoso 3 defectuoso 4 defectuoso

4. De la curva de frecuencias de los sueldos de 30 empleados de una empresa, se sabe que Mo = $200, Me = $220 y

x´

= $250. Califique

como verdadera o falsa las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta: a) El sueldo más frecuente es de $200 y más de la mitad de empleados gana más de esa cantidad. b) Con una suma de $3,300 se asegura el pago de la mitad de los empleados con $7,500 el de todos los empelados. 

La Mo representa la mayor frecuencia, es decir, existen más empleados



que reciben $200. La Me es el valor central, es decir, el empleado numero 15 recibe el sueldo de $220.



La

´x

es el valor promedio, es decir, que $250 es el valor promedio.

Respuesta: a) El sueldo más frecuente es de $200 y más de la mitad de empleados gana más de esa cantidad. (Si) Ya que $200 representa la moda y más de la mitad de los empleados ganan más que esa cantidad, debido a que Me = $220.

b) Con una suma de $3,300 se asegura el pago de la mitad de los empleados con $7,500 el de todos los empelados. (Si) Ya que $250 es el promedio y el número de empleados es 30, por lo tanto $7500 es la cantidad que se necesita para pagar a todos los empleados. 5. Para

calcular

el

suministro

de

agua

que

una

cantidad

requiere

mensualmente, se escogen 15 hogares de la ciudad, resultando los siguientes consumos en metros cúbicos: 11.2 21.5 16.4 19.7 14.6 16.9 32.2 18.2 13.1 23.8 18.3 15.5 18.8 22.7 14.0 Si en la ciudad hay 5,000 hogares, ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieres mensualmente si el consumo promedio por hogar permanece igual?

11.2+ 21.5+ 16.4+19.7+14.6+ 16.9+ 32.2+ 18.2+13.1+¿ 23.8+18.5+ 15.5+ 18.8+22.7+14.0 X´ = =18 15 Consumo promedio: 5 000(18.46) = 92 300 m3 6. El sueldo promedio actual de 200 empleados de una empresa es $800. Si para el siguiente mes hay dos alternativas de aumento: (1) $. 90 a cada uno de los empleados (2)5% de su sueldo más 45 soles a cada uno ¿Cuál alternativa es más conveniente para la empresa si está solo disponible $177,000 para pagar sueldos? (1) n ´x =( 200 ) ( 800+90 ) (2)

800

( 1005 )+ 45=85

n ´x =178000

→ n x´ =200 ( 800+ 85 )=177000

Respuesta: La alternativa más conveniente sería (2) 7. Al calcular la media de 125 datos, resulto 42. Un chequeo posterior mostro que en lugar del valor 12.4 se introdujo 124. Corregir la medida

´x =

∑ xi n

42=

∑ xi 125

∑ x i=5250

→ ∑ x i=5250−124+12.4=5138.4

´x =

5138.4 125

´x =41.1072

Respuesta:

´x =41.1072

8.- Las ventas de un distribuidor de automóviles, en cierto periodo, ascendieron a la cantidad de $ 1 650, 000, vendiendo 50 automóviles nuevos a un precio promedio de $13,000 y algunos carros usados con un precio de $5000 en promedio. ¿Cuánto resultó el promedio de precio de venta por automóvil? x: # de carros usados

50 ( 13000 )+ x ( 5 000 )=1650 000 650 000+5000 x=1650 000 x=200 Promedio de venta por automóvil:

´x =

50 ( 13 000 ) +200 (5000) 50+200

´x =$ 6 600

9.- De los horarios de clases de la facultad se sabe que ninguno tiene más de 100 o menos de 70 alumnos matriculados. Se sabe que uno de cada 5 tiene 80

alumnos, que el 30% tiene 100 y la mayoría 90 alumnos. Calcule la media aritmética de alumnos por horario.

"Uno de cada 5" = 20%  80 alumnos = 30%  100 alumnos Resto (Mayoría) = 50%  90 alumnos

´x =0.20 ( 80 ) +0.3 ( 100 ) +0.5(90)

´x =91

10.- En tres grupos distintos de 100,000 ; 90,000 y 20,000 personas, el porcentaje

de

personas

con

educación

superior

es

21%

42%

y

40%,

respectivamente. Calcule el porcentaje promedio de personas con educación superior.

Personas con educación

¿ 0.21 (100 000 )+ 0.42 ( 90 000 )+ 0.40(20 000)

Personas con educación

Promedio de personas con educ. superior

¿ 66 800

¿

66 800 .100 210 000

¿ 31.81 11.- En un informe (que se supone es correcto) sobre sueldos de empleados del estado en todo el país, una empresa de estudios de mercados publica la siguiente tabla:

Empleados(%) Sueldos($)

Clase A 10% $2500

Clase B 25% $1500

Clase C 35% $500

Clase D 30% $200

Y concluye diciendo que " la media de los sueldos en todo el país es $1175" a) ¿Qué comentario le merece el informe?. Si no está de acuerdo con el informe, ¿Cuál será la corrección? b) ¿Es la medida en este caso el promedio representativo?, si no está de acuerdo, ¿Cuánto es el promedio correcto? a) Media correcta

¿ 0.1 (2500 )+ 0.25 (1500 )+ 0.35 ( 500 )+ 0.30(200)

¿ $ 860 Se puede afirmar que la media del informe es incorrecta. b) La media no es representativa porque hay valores extremos que la afectan ($2500 y $500) Lo mejor es usar la Mediana = Me $500

12.- Un

teléfono celular recibió 70 llamadas de menos de 3 minutos,

promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos, promediando 6.4 minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos, promediando 15 minutos. Calcule la duración promedio global por llamada que recibió el celular. Duración promedio:

¿

70 ( 2.3 minutos ) +40 ( 6.4 minutos ) +10 (15 minutos) 70+40+10

x´G=

567 120

x´G=4.725 minutos

13.- Cuatro fábricas A,B,C y D, producen un mismo tipo de objeto. La fábrica B produce el doble de C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos que la B. Si los costos de producción (en dólares) por cada unidad del

objeto de estas fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5, calcule el precio medio de venta si se sabe que las fábricas ganan 20% por unidad vendida.

Suponiendo una producción para: c= 100 Costo Prod. C/unidad 0.2 0.3 0.2 0.5

A=80 B=200 C=100 D=90 POR LO TANTO FABRICA A :

Analizamos un objeto V= Venta C= costo de producción U= utilidad

V= C+U V= 0.2+0.20(0.20) V= 0.24 (Precio de venta de cada unidad de la fabrica A)

POR LO TANTO FABRICA B :

V= C+U V= 0.3+0.20(0.3) POR LO TANTO FABRICA C :

V=0.36

V= C+U V= 0.2+0.20(0.20) V=0.24 POR LO TANTO FABRICA D :

V= 0.5+0.20(0.5) V=0.60 PRECIO MEDIO DE VENTA =

0.24+0.36+0.24+0.60 4 =0.36

14.- El sueldo medio de los obreros de una fábrica es de $286. a) ¿Qué porcentajes de hombres y de mujeres trabajan en la fábrica si sus sueldos medios respectivos son $300 y $260? b) Si el 60% de los obreros tienen menos de 30 años y percibe el 20% del total de los sueldos, ¿Cuánto es el sueldo medio de los obreros de al menos 30 años? a) m = # de hombres , n = # de mujeres

300 ( m ) +260(n) =286 m+ n 300 m+260 n=286 m+286 n

14 m=26

7 m=13 n

m=13 k m=7 k

%HOMBRES=

%MUJERES=

m 13 k 13 k = .100 = .100 =65 Total 13 k + 7 k 20 k

n 7k 7k = .100 = .100 =35 Total 13 k +7 k 20 k

b) Sueldo medio de los obreros de al menos 30 años:

x´ 1=

0,8 .( ´x . N ) 40 de obreros

x´ 1=

0,8(286)(N ) 0.4 N

x´ 1=$ 572

15.- En una empresa donde el sueldo medio es de $400 se incrementa un personal igual al 25% del ya existente con un sueldo medio igual al 60% de los antiguos. Si 3 meses más tarde se incrementan cada sueldo en 20%, más 30$, ¿Cuánto es el nuevo salario medio?

´x =$ 400 Total personal = N

 Nuevo personal incrementado

¿ N +25 %N=1.25 N

El sueldo del personal que se incrementa

¿ 60 ´x =60 ( 400 )=$ 240

Luego de los 3 meses: Sueldo: Personal antiguo Sueldo: Personal nuevo

¿ 400+20 ( 400 ) +30=$ 510 ¿ 240+20 ( 240 ) +30=$ 318

Nuevo Salario Medio:

¿

510 N +318( 0.25 N ) N + 0.25 N

¿

589.5 N 1.25 N

¿ $ 471.6

16.- En el reciente mes, 9 vendedores (codificados de 1 a 9) realizaron los siguientes montos de ventas en dólares: Vendedor Venta($)

1 800

2 700

3 500

4 400

5 1000

6 1200

7 820

8 750

a) Calcule la media y la mediana de las ventas, ¿Quién es el vendedor promedio? b) Si el sueldo de cada vendedor es $300 más el 5% de las ventas que realiza, ¿Cuánto es la media de los sueldos? a)

´x =

800+700+500+ 400+ 1000+1200+820+750+ 450 =735.56 9

Mediana: Ordenando: 400, 450, 500, 700, 750, 800, 820, 1000, 1200

9 450

Mediana = Me = $750  Corresponde al vendedor 8. La media está afectada por valores extremos (400,1200), es preferible dar prioridad a la Me. b) Media de los sueldos:

´x =

9 ( $ 300 )+5 (800+700+500+ …+750+ 450) 9

´x =

2700+5 (6620) 9

´x =

2700+0.05(6620) 9

´x =$ 336.78

17. Al tabular las calificaciones de un examen, se obtuvieron las siguientes notas: 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 y las frecuencias del número de alumnos respectivas: 1, 1, 1, 1, 1 , 6, 8, 16, 18, 20, 2. a) Describa la forma como se distribuyen las notas, aplicando una gráfica adecuada b) ¿Cuánto es la media, la mediana y la moda de las notas?, ¿qué valor escogería usted como el promedio representativo? c) ¿Cuánto es la nota mínima para que un alumno esté en el quinto superior del grupo?

Solucion.-

a)

´x

b)

¿

=

1 ( 07 ) +1 ( 08 ) +1 ( 09 ) +1 (10 )+ 1 ( 11 ) +6 ( 12 ) +8 ( 13 ) +16 ( 14 )+ 18 ( 15 )+ 20 ( 16 )+ 2(17) 1+1+1+1+1+6+ 8+16+18+20+2

´x =

1069 =14,253 75

Mediana: Ordenando:

M 2=15

n 75 = =37,5 → La M 2 2 2

será la nota que ocupe la posición 38 es decir

(simple inspección)

Moda:

M 2=16

(ya que tiene la mayor Frecuencia: 20)

Escogería la mediana, ya que la media está afectada por valores extremos.

c)

n 75 = =15 5 5 Las notas Finales: Quinto superior … 16,16, 16,16, … , 16, 16, 17, 17 Dos “17”

Trece “16”

La nota mínima para el quinto superior = 16

18. Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 6 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. a) dibuje el polígono de frecuencias e ubique en el gráfico los diferentes indicadores de tendencia central. b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto? c) Si se aplica una bonificación a los sueldos localizados en el cuarto inferior, ¿hasta qué sueldo recibe bonificación? d) Si la empresa tiene 180 trabajadores, ¿a cuántos de ellos, no se aplica los impuestos y la bonificación? Hallando amplitud (A) 300+5A= 800 5A= 500 A=100 Sabiendo que es simétrico tenemos : [

xi

hi

Hi

i−¿ Lf >¿ L¿ [

350

0.15

0.15

450

0.20

0.35

550

0.30

0.65

650

0.20

0.85

750

0.15

1

-

1

300−400>¿ [

400−500>¿ [

500−600> ¿ [

600−700> ¿ [

700−800> ¿ Total

A) Dibuje el polígono de frecuencias e ubique en el grafique los diferentes indicadores de que tendencia central

a) como los sueldos están distribuidos de manera simétrica

→ x´ =M e =M o =

300+ 800 =550 2

b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto?

Q 3=Li +

( 0.75−H i−1 ) ( A) hi

Q3=600+

( 0.75−0.65 ) (100) 0.20

Q3=650. El cuarto superior es la parte sombreada de azul del gráfico: Es decir se paga el impuesto a partir del sueldo s/. 650 c).Si se aplica una bonificación a los sueldos en el cuarto inferior¿hasya que sueldo recibe la bonificación?

Q1=Li +

( 0.25−H i−1 ) ( A)

Q1=400+

hi

( 0.25−0.15 ) (100) 0.20

Q1=450.

El cuarto inferior es la parte sombreada de rojo del gráfico: Se recibe la bonificación hasta el sueldo s/. 450 d)Interpolando para el impuesto: [

600−300> ¿ 0.20

650

700−600 0.20 = 700−650 x 100 0.20 = 50 x x=0.10 Y para la bonificación : [

400−500>¿ 0.20 450

500−400 0.20 = 450−400 x 100 0.20 = 50 x x=0.10 Entonces 0.10+0.10+0.15+0.15 = 0.5 POR LO TANTO : 0.5 x 180 = 90 trabajadores quienes no se leaplica elimpuesto y la bonificación

Si Vemos que el área blanca es por la quien preguntan del grafico: 10%+30%+10%=50%

→

Afirmamos entonces que a los que no se aplica

impuesto ni la bonificación = 50%(180)= 90

19. A una muestra de adolescentes se aplicó una prueba para medir autoestima estandarizada al país. Los puntajes se tabularon en una distribución de frecuencias de 5 intervalos de igual amplitud siendo la puntuación mínima 25, la tercera marca de clase 62.5 , las frecuencias en

porcentajes del primero al tercero: 5,15.25 y el percentil 90 de las puntuaciones igual a 85 .

a)

Describa

la

forma

de

la

distribución

y

calcule

el

promedio

representativo b) Si se considera normal una autoestima comprendida entre 58 y 80 puntos y si la muestra es de tamaño 130¿Cuántos de la muestra no tene autoestima normal?

a) La froma es simétrica negativa % 4 5 2 5 1 5 1 25 85

Si

P90=85 … Luego :

40 100

55

Punt .

62.5 70

[ 8 5−100 ] … f =10

[ 70−85 ]

=

f

= 45%

Hallando A=

25+ 2 A+ 25+3 A =62.5 2

5 A=75 A=15 b)n= 130 45

25 a

%

b Puntaje

55 80

25 a = … . a=20 70−55 70−58

58 85

70

45 b = 85−70 80−70 b=30 Por lo tanto los que no tienen autoestima normal = [100%-(a+b)].n =[100%-(20%+30%)].130 =(100-50).130 =50% x 130=65 adolescentes

20.En un estudio comparativo del porcentaje del rendimiento de ciertos bonos se elaboro una distribución de frecuencias de 5 intervalos de amplitud iguales, siendo las marcas de clase primera y quinta , 15 y 55 respectivamente. Si el 65% de los bonos rinden menos del 40% ,el 25% menos del 30% y el 90% menos del 50% y el 95% al menos 20% a) Obtenga la distribución de frecuencias y calcule los promedios del rendimiento b) Si el 5% superior de los bonos deben pagar un impuesto ¿Cuánto es el rendimiento mínimo para que el bono pague el impuesto? c) Calcule los cuartiles superior e inferior ¿ es la media , el punto medio de estos cuartiles? Hallando A=

x 1+ 4 A=x5

15+4 A=55 A=10

xi

[

hi %

Hi %

i−¿ Lf >¿ L¿ [

15

5%

5%

25

20%

25%

35

40%

65%

45

25%

90%

10−20> ¿ [

20−30> ¿ [

30−40>¿ [

40−50>¿

[

55

10%

100%

50−60> ¿ a)

´x =0.05 ( 15 ) +0.20 ( 25 ) +0.40 ( 35 ) +0.25 ( 45 )+ 0.10 (55 ) ´x =36.5 Mediana : Tomando que :

n =50 2

25 .. i=3 M o∈ ¿ d 1=f 1−f 1−1 d 2=f 1−f 1+1 Por lo tanto:

o=¿ 30+

0.40−0.20 x 10 0.40−0.20+ 0.40−0.25 M¿

o=¿ 30+5.72=35.71 M¿

b) Nos preguntan por

95=¿ P¿ ¿ 0.95 x 100 =95

50,60>¿ P 95 ∈¿ i=5

P95=L5 +

P95=50+

( 0.95−H 4 ) ( A) h5

( 0.95−0.65 ) (10) 0.10

P95=50+5=55

c) Hallando

Q1=20 + d) Hallando

Q 3=40 +

Q1

( 0.25−0.05 ) x 10 =30 0.20 Q3

:

( 0.75−0.65 ) x 10 =42.25 0.40

Donde la media que es = 36.5 no esta al medio de los cuartiles

21.En una prueba de aptitud mental la menor y mayor puntuación fueron 50 y 199 respectivamente. Los puntajes ( sin decimales) se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos e igual amplitud. Si los percentiles 20 y 70 95 y 140 respectivamente. a)Obtenga la distribución de frecuencias y calcule el intervalo centrado en la mediana donde se encuentra el 50 % de todas las puntuaciones b) ¿Es el tercio superior de las puntaciones mayor que 139 puntos? R = 199-50= 149

R 149 = =30 K 5

A=

PUNTAJES

hi

P

Hi

[

50−80>¿

0.10

h1

10

[

80−110>¿

0.20

h1 +h2

20

[

110−140>¿

0.40

2+¿ h3 h1 +h ¿

40

[

140−178> ¿

0.20

[

178−200> ¿

0.10

TOTAL

20 1.0

1

P20=80+

10 100%

[

]

0.2−h1 x 30=95 h2

0.5 x h2 =0.2 ..(1) Sabemos que:

P70=140 h ¿ 3 ¿ 1+ h2+¿ h ¿ x 30 0.7−¿ ¿ P70=140+¿ ¿

h ¿ 3 ¿ ¿ Donde de (1) y (2)

h2=0.2 h1=0.1 Sabiendo que:

2 h1+ 2h 2+ h3=1 1+¿ h2 h +h h1 +h¿ + 3 2 =1

0.7 Entonces las frecuencias serian :0.1,0.2,0.4,0.2,0.1 a) 50% [

Q1=80+

Q1 Q3 ¿

( 0.25−0.1 ) x ( 30 ) 0.2

Q1=102.5 Q 3=140+

( 0.75−0.7 ) x ( 30 ) 0.2

Q3=147.5 Q1 +Q3 102.5+147.5 = =125=M e 2 2 b).

i −H ) ( 3 T =L + x( A) i −1

i

i

hi

2 −0.3 ) ( 3 T =110+ x ( 30 ) 2

0.4

T 2 =137.5 137.5 [39;43> [43;47> [47;51> [51;55>

37 41 45 49 53

a b 75 b a 225

n=

a)

n=225

Vemos que: A=4

a+b +75+b+ a=225

2 a+2 b=150 a+b=75

Piden:

f 4 +f 5=b+ a=75

(viviendas que consumen al menos 47 m3)

b) 60% de las viviendas con mayor consumo = 60% (225) = 135

60 75 3 = → x min =43,8 m 47−x 47−43

23) Los porcentajes de artículos defectuosos encontrados en un número determinado de lotes controlados de un producto, varían de 10 a 25 y han sido tabulados en una distribución de frecuencia simétrica de 5 intervalos de igual amplitud, siendo las frecuencias relativas respectivas del primero al tercer: 0.08, 0.24, 0.36. Un lote se clasifica óptimo si el porcentaje de defectuosos no supera el 17% y casi optima si no supera el 20% a) Calcule el porcentaje de lotes óptimos y casi óptimos. b) Si la utilidad por lote es de 30 unidades monetarias (u.m) para las óptimas, 15 u.m. para las casi óptimas y 5 u.m. para el resto, ¿cuánto es la utilidad promedio por lote?

x1 0,36 = 17−16 19−16 x 1=0,12→ y=0

% lotes óptimos = 0,08+0,24+0,12 % lotes óptimos = 0,44 % lotes óptimos = 44%

x2 0,24 = 20−19 22−19 x 2=0,08

% lotes casi óptimos = y+x2 % lotes casi óptimos = 0,24+0,08 % lotes casi óptimos = 0,32 % lotes casi óptimos = 32% a) Analizando cada zona: Utilidad promedio =30(%óptimos)+15(%casi óptimos)+5(resto) Utilidad promedio =30(0,44)+15(0,32)+5(0,24)

Utilidad promedio =19,2 u.m.

24) Los salarios que ofrece una empresa a los practicantes varían entre $150 y $270. So los salarios se agrupan en cuatro intervalos de clase de longitudes iguales de manera que el 40% de los practicantes tienen salarios menores o iguales que $195, el 80% tiene salarios menores o iguales que $225 y el 15% tiene salarios mayores que $232.50

a) ¿qué porcentaje de practicantes tiene un salario superior al salario medio? b) Si el ingreso mínimo se fija en $240 y al empresa aumenta una misma cantidad

a todos los practicantes de modo que el 20% supere el ingreso

mínimo, ¿cuánto sería el aumento?, ¿cuánto el salario medio?

a) Salario medio = 0,10(165)+0,60(225)+225(0,2)+0,1(255) Salario medio = s/.204

→

0,60 x = → x=12 210−180 210−204

%Est. Con salario superior al salario medio = 0,12+0,20+0,10=0,42 %Est. Con salario superior al salario medio = 42%

25. Un conjunto de n artículos cuyos valores de venta serán de 5$, en el 20%de los casos $7 en el 25% de los casos y 10$ en el resto de casos tienen un costo de producción fijo de $k. Halle el valor de k si se quiere hacer una inversión mínima y si se supone que la inversión es: a) Igual a la suma de todas las utilidades b)Igual a la suma de los cuadrados de todas las utilidades

 N



20% $5 25% $7

a) Hallamos la mediana Por simple de observación, quien tiene mas de la mitad es $10 Por lo tanto :

me=$ 10

Si lainversion es minima y la inversion es la suma de lasutilidades , osea Suma de utilidades

¿ ( 5−k ) + ( 7−k ) +(10−k ) K=

me=$ 10

b) Aquí la inversión seria: Inversión =

( 5−k )2+ ( 7−k )2+ ( 10−k )2 y para que esta sea mínima k ´x Por lo tanto= 0.20(50) + 0.25(7) + 0.55(10) = $8.25 K= $8.25

26. Cinco personas que viven en los lugares , A,B,C,D y E separadas a las distancias en Km, como se indica en la figura que sigue, planean reunirse en algún lugar por determinar. Determine el lugar de reunión de manera que el costo total del transporte sea mínimo, si el costo de cada transporte es proporcional a) Al recorrido b) Al cuadrado del recorrido

Distancia s Lugares

10

15

A

B

5

3

C

D

E

Resolviendo: a) Sea P el punto de reunión .Si A = origen de coordenadas = A=0 B=15 C=35 D=28 E=33 El costo es mínimo si “P” es la mediana de los 5 valores: 0,15,28,33,35 “P” = 28 Por lo tanto deben reunirse en el punto D, ubicado a 28 km de A b) Aquí el costo total es mínimo si P es la media de los 5 valores : 0,15,28,33,35

P=

0+15+28+ 33+ 35 =22.2 km 5 Deben reunirse a 22.2 km del punto A

27) Los pobladores de 6 pueblos: A,B,C,D,E,F ubicados a lo largo de la carretera marginal de la selva y en la línea recta, desean construir una escuela para todos los alumnos de la zona. Si la población escolar es :5% de A, 20% de B a 15 km. De A, 30%deCa 20km.de B, 20% de D a 15 km de C, 10% de E a 8 km .de D y 15% de F a 6 km. de E .¿En que lugar debe construirse la escuela de manera que

a) El total de las distancias sea mínima? b) El costo total del transporte sea mínimo, si el costo del transporte es proporcional al cuadrado de la distancia .

a) Hallando las coordenadas de los puntos, tomando “A” como origen:

A=0, B=15, C=35, D=50, E=58, F=64 Ordenando: 0, 15, 35, 50, 58, 64 Sea “P” el punto de construcción del colegio:

P=M o =Punto C

=> P=35

La escuela debe estar en el punto “C” a 35km de A

b) Aquí debido al costo de transporte .:

P=´x =0,05 ( 0 )+ 0,20 (15 )+ 0,30 (35 )+ 0,20 (50 )+ 0,10 (58 )+ 0,15(64) ´x =38,9 km La escuela debe construirse a 38,9km de A

28) Si la población de una cantidad fue de 10, 000 habitantes en 1965, de 40, 000 en 1985 y de 640, 000 en el 2005, calcule el incremento promedio de la población de la ciudad cada 20 años.

Año 1965 1985 2005

Población 10000 40000 640000

´x G=√ 4.16=√ 64=8 veces cada 20 años

29) Si un ahorro de $100 acumula intereses anuales variables de 3%, 5% y 8%, respectivamente, durante 3 años, calcule:

a) El monto de ahorro por año b) Las tasas de crecimiento y promedio de las tasas de crecimiento del ahorro en los tres años. c) ¿A cuánto asciende el porcentaje promedio de crecimiento del ahorro? a)

1er año: s/.100+3%(100)=s/.103 2do año: s/.103+5%(103)=s/.108,15 3er año: s/.108,15+8%(108,15)=s/.116,802

b) Tazas de rendimiento: 1er año:

103 =1,03 100

2do año:

108,15 =1.05 103

3er año: s

116,802 =1,08 108,15

´x G=√3 ( 1,03 ) ( 1,05 ) (1,08)=1,05313 c)

de promedio del crecimiento del aho rro=

3 + 5 +8 =5,3 3

30. Si la producción de azúcar en el 2001 bajo 20% con relación al año 2000 y si en 2002 aumento en 20% con respecto al 2001, calcule la tasa promedio del crecimiento de la producción. Año

Producción

2000

100 Tas

2001

80

2002

96

Asumiendo Producción Año 2000=100 Tasas: Año

Tasa

2000

-

2001

80/100 = 0.8

2002

96/80 =1.2

Tasa promedio del crecimiento de la producción =

x G´ =√ 0.8 x 1.2=0.9798

31. Si durante cuatro meses consecutivos los precios de un articulo fueron $500,$550,$440 y $462 respectivamente ,¿es la variación promedio de precios con respecto al primer mes igual al – 1.67% .Si no es así ¿Cuánto es?

Mes

Precio

1

500

2

550

3

440

Tasa =

4

462

Tasa =

Tasa promedio =

Tasa =

√3 (1.1 )( 0.8 ) ( 1.05 )=0.974

550−500 x 100=10 500 400−500 x 100=−12 500 4620−500 x 100=−7.6 500 10−12−7.6 =−3.2 3 32. El crecimiento de la población estudiantil en la U, con respecto al semestre 2006-1 fue como sigue: Aumento 10% en el 2006-2, aumento 20%en el 2007-1, y bajo en 15%en el semestre 2007-2. Calcule la tasa promedio y el porcentaje promedio de crecimiento en los tres semestres. Semestre

Población

Tasa de cambio

Logaritmo

2006-1

100

-

-

2006-2

106

1.06

0.025306

2007-1

127.2

1.20

0.07918

2007-2

108.12

0.85

-0.07058

Sumatoria

0.033906

Caso promedio

√3 (1.06 ) x ( 1.2 ) x (0.85)=1.026 Porcentaje promedio de crecimiento:

antilog

=2.2 ( 1.026 3 )

33.Tres automóviles recorrieron 200km cada uno. Si el rendimiento de cada uno fue de 50, 45 y 60 kilometres por galón ¿es el rendimiento promedio igual a 51.67km por galón?

´x

H

200+200+ 200 200 200 200 + + 50 45 60

=

´x

H

600 11.778

=

´x

H

= 50.94

El rendimiento no es igual a 51.67; el rendimiento es 50.94

34. Tres mecanógrafas escriben 40, 50 y 80 palabras por minuto, si cada una de ellas escribe un mismo texto, calcule la velocidad media de palabras por minuto.

´x

H

60+60+60 60 60 60 + + 40 50 80

=

´x

H

´x

=

H

180 1380 400

= 52,2

35. Tres obreros utilizaron 480, 360, 240 minutos respectivamente para hacer cierto número de objetos del mismo tipo. Si utilizaron 0.8, 1, 1.5 minutos respectivamente por objeto, calcule el tiempo promedio empleado por objeto.

´x

H

=

480+360+240 480 240 +360+ 0.8 1.5

´x

H

1080 1120

=

´x H =0.96 36.Una estación de servicio automotriz gasta $500 en latas de aceite que cuestan $10 la docena; $500 en latas que cuestan $12.5 la docena; $500 más en latas que cuestan $20 la docena y $500 en otras que cuestan $25 la docena.

a. calcule el costo promedio por docena de las latas de aceite

´x

H

=

500+500+500+500 500 500 500 500 + + + 10 12.5 20 25

´x

´x

H

=

H

2000 135

= 14.8148

b. en promedio, ¿Cuántas docenas se compró?

Promedio Docena =

500 500 500 500 + + + 10 12.5 20 25 4

Promedio Docena =

135 4

Promedio Docena = 33.75

37.Durante los días lunes, martes, miércoles, jueves y viernes, una persona A compro 70 acciones cada día de la compañía C&P. otra persona B invirtió diariamente S/1800 para comprar acciones de dicha compañía. Si los precios, en soles, de las acciones cada día fueron como sigue:

Lunes

20

Martes

22.5

Miércoles

24

Jueves

25

viernes

30

a) Determine el costo promedio por acción para cada una de las dos personas A:

´x

B:

H

=

70 (20+22.5+24+ 25+30) 70∗5

´x

H

=

1800∗5 1800 1800 1800 1800 1800 + + + + 20 22.5 24 15 30

´x

´x

8505 350

H

=

H

= 24.3

´x

´x

H

9000 H = 377

= 23.87

b) ¿Quién consiguió el menor costo promedio por acción? La persona B 38.

Una propiedad de la media dice que si x 1, x2,…,xn son n valores

positivos de una variable cuantitativa x con media X y si la función n

1 f (x) f(x) es cóncava hacia arriba, entonces, f ( ´x )≤ n ∑ i=1

utilizando

la propiedad indicada pruebe que

´x H ≤ x

donde

´x H =

n n

∑ 1x i=1

es la

i

media armónica de las datos.

´x H =

n 1 1 1 1 + + +…+ x1 x2 x3 xn

x log (¿ ¿i)≤ log( x´ ) n 1 ( ´x H )=¿ n ∑ ¿ i=1 log ¿ x´ ´x (¿¿ H )≤ log (¿¿ H ) ¿ log ¿

´x H ≤ ´x 39. Laboratorio de computación. Con referencia a la hoja de datos que tuene en el apéndice B del texto. Elija la variable INGRESOS y halle .

2300 2780 3000 4000 4500 2800 7000 5000 4700

1200 3900 5200 5300 3800 2500 4200 1500 8000

5200 2700 3100 2450 3500 4100 2300 1900 1000

2580 3500 3200 9000 2600 3790 3200 4100 2880

1580 3200 2800 2110 3250 4500 6200 7000 7500

Calcule la media, la mediana, la moda y los cuartiles de los datos sin agrupar.

MEDIA

MEDIA

3798.22 22

NA

MODA

3250

CUARTIL ES 1000 2600 3250 4500 9000

3200

a. Determinar el número de intervalos para organizar los datos en distribución de frecuencia, y obtenga la distribución frecuencia. Rango = Valor máximo – valor minimo =9000-1000=8000 K= # de intervalos = 1+3.3log(45 ) = 6.5… = 7

R 8000 = =1142.86 K 7

A= amplitud =

INGRESOS

1000−2142.86> ¿ ¿

Fi

FRECUENCIA ABSOLUTA

6

xi

hi

Hi

x i∗f i

6

1571.43

0.13

0.13

7500

2142.86−3285.72>¿ 17 ¿

23

2714.29

0.38

0.51

30000

3285.72−4428.58> ¿ 9 ¿

32

3857.15

0.2

0.71

38500

4425.58−5571.44>¿ 7 ¿

39

5000.01

0.16

0.87

31500

5571.44−6714.3>¿ 1 ¿

40

6142.87

0.02

0.89

22000

6714.3−7857.16> ¿ 3 ¿

43

7285.73

0.07

0.96

6500

7857.16−9000.02> ¿ 2 ¿

45

8428.59

0.04

1

22500

de

TOTAL

1

1208500

b. Calcule la media, la mediana, la moda de los datos agrupados. Media :

´x =

∑ xi . f i =¿

´x =

1208500 =26855.56 45

n

Mediana:

[ ]

n −f −1 2 i Me=l i +c =¿ fi

[

Me=2142.86+1142.86

]

22.5−17 =2841.27 9

Moda:

Mo=l i+ c

[

]

f i−f i−1 =¿ ( f i−f i−1 ) +(f i −f i +1)

Mo=2142.86+1142.86

[

]

9−17 =3666.67 ( 9−17 ) +(9−7)

c. Grafique el polígono de frecuencias y ubique en la gráfica los promedios. hi 0.3 8 0.2 0.1 6 0.1

I

3 1000

2142.86

´x =26855.56

3285.72

4428.58

Mo=3666.67

5571.44

Me=2841.27