Estadística_03

Universidad Técnica de Ambato Maestría en Docencia Matemática Probabilidad y Estadística Deber Nº 3

Nombre del estudiante Mario Freire

Nombre del profesor Remigio Chalán, M.Sc.

Paralelo B

3.1.- Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: El número de accidentes automovilísticos por año en Virginia. Y: El tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: La cantidad de leche que una vaca particular produce anualmente. N: El número de huevos que pone mensualmente una gallina. P: El número de permisos de construcción que se emiten cada mes en una ciudad. Q: El peso del grano producido por acre:

X: Variable discreta. Y: Variables continua. M: Variable continua. N: Variable discreta. P: Variable discreta. Q: Variable continua.

3.3.- Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

I:J:ccararuz Sea

Y3 11 −11 −1−1 −3

IIIIIJ IJIIJJ JIIJIJ JJIJJJ

Espacio muestral

2

3.1.- Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas: X: El número de accidentes automovilísticos por año en Virginia. Y: El tiempo para jugar 18 hoyos de golf. M: La cantidad de leche que una vaca particular produce anualmente. N: El número de huevos que pone mensualmente una gallina. P: El número de permisos de construcción que se emiten cada mes en una ciudad. Q: El peso del grano producido por acre:

X: Variable discreta. Y: Variables continua. M: Variable continua. N: Variable discreta. P: Variable discreta. Q: Variable continua.

3.3.- Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.

I:J:ccararuz Sea

Y3 11 −11 −1−1 −3

IIIIIJ IJIIJJ JIIJIJ JJIJJJ

Espacio muestral

2

3.5.- Determine el valor de c de modo que cada una de las funciones siguientes puedan servir como distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

  {{ == II{$$ +%%4  = =00,011,,1122,,2233

a.b.-

para para

a.-

∀ { = 1 % $ (" I{ + 4 = 1 I{0$ + 4 + I{1$ + 4 + I{2$ + 4 + I{3$ + 4 = 1 I = 301 b.-

∀ { = 1 $ 2 3 (" I F 3 − F = 1 I 20F 33F + I 21F 32F + I 22F 31F = 1 I = 101 3

3.7.- El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad.

 ;         0 <  < 1  { = 0;2− en;cual  q ui 1er≤otro 5  = 0.1484

5.11.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada operación de corazón es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de los siguientes siete pacientes intervenidos sobrevivan?. Probabilidad binomial

{;; = {1 −  {;7;0.9 = 7F {0.9{0.1 17

 { = 5  = {5;7;0.9  { = 5  = 0.1240 5.13.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente 70% cree que los “antidepresivos en realidad no curan nada, solo encubren el problema real”, de acuerdo con este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que al menos tres de las siguientes cinco personas seleccionadas al azar sean de esta opinión?. Probabilidad binomial

{;; = {1 −  {;5;0.7 = 5F {0.7{0.3' {  ≥ 3 = 1 − {  < 3  $ {   { ≥ 3  = 1− ; 5 ; 0 . 7 ("  { ≥ 3  = 0.8369 5.15.- Se sabe que 40% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos de cierta enfermedad. Si se inoculan cinco ratones, encuentre la probabilidad de que a.- Ninguno contraiga la enfermedad. b.- Menos de dos contraigan la enfermedad. c.- Más de tres contraigan la enfermedad.

18

Probabilidad binomial a.-

{;; = {1 −  {;5;0.4 = 5F {0.4{0.6'  { = 0  = {0;5;0.4  { = 0  = 0.0778

b.-

# {   { < 2  = ; 5 ; 0 . 4 ("

 { < 2  = 0.3370

c.-

 { > 3  = 1 −  { ≤ 3  % {   { > 3  = 1− ; 5 ; 0 . 4 ("  { > 3  = 0.0870 19

5.17.- Si X representa el número de personas del ejercicio 13 que creen que los antidepresivos no curan sino que solo encubren el problema real, encuentre la media y la varianza de X cuando se seleccionan al azar cinco personas y después utilice el teorema de Chebyshev para interpretar el intervalo

 ± 2  =  = {5{0.7 = 3.5 $ = {1 −  = {5{0.7{0.3 = 1.05  =  $ = 1.025

Teorema de Chebyshev

Para

=2

{ −  <  <  +  ≥ 1 − 1$ 3.5− {2{1.025 <  < 3.5 + {2{1.025≥ 1− 21$ {1.45 <  < 5.55 ≥ 0.75

5.19.- Un estudiante que maneja hacia su escuela encuentra un semáforo. Este semáforo permanece verde por 35 segundos, ámbar cinco segundos y rojo 60 segundos. Suponga que el estudiante va a la escuela toda la semana entre 8:00 y 8:30. Sea X1 el número de veces que encuentra una luz verde, X2 el número de veces que encuentra una luz ámbar y X3 el número de veces que encuentra una luz roja. Encuentre la distribución de X1, X2 y X3.

20

Probabilidad multinomial

 {#, $, % = #, $, %F#$%  {#, $, % = #, $, %F {0.35{0.05{0.60

5.21.- La superficie de un tablero circular para dardos tiene un pequeño círculo central llamado ojo de buey y 20 regiones en forma de rebanada de pastel numeradas del 1 al 20. Cada una de las regiones en forma de rebanada de pastel está dividida en tres partes de modo que una persona que lanza un dardo que cae en un número específico obtiene un puntaje igual al valor del número, el doble del número o el triple de este, según en cuál de las tres partes cae el dardo. Si una persona atina al ojo de buey con probabilidad 0.01, atina un doble con probabilidad 0.10, un triple con probabilidad de 0.05 y no le atina al tablero con probabilidad de 0.02, ¿cuál es la probabilidad de que siete lanzamientos tengan como resultado ningún centro, ningún triple, un doble dos veces y una falla completa.

Probabilidad multinomial

 {#, $, %, &, ' = #, $, %, &, 'F#$%&'  {0,0,2,1,4 = 0,0,27,1,4F {0.01"{0.05"{0.10${0.02#{0.82&  {0,0,2,1,4 = 0.0095 21

5.29.- Si se reparten siete cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de que a.- Exactamente dos de ellas sean mayores?. b.- Al menos una de ellas sea una reina?. Probabilidad hipergeométrica

a.-

      { =   = ℎ{;,, =   #$ &"   $  { = 2  = ℎ{2;52,7,12 = '$'  = 0.3246 b.-

 { ≥ 1  = 1 −  { < 1  " {   { ≥ 1  = 1−ℎ ; 5 2, 7 , 4 (" & &   "  { ≥ 1  = 1 − '$  = 0.4496 5.31.- El dueño de una casa planta seis bulbos seleccionados al azar de una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y cuatro de narciso. ¿Cuál es la probabilidad de que plante dos bulbos de narciso y cuatro de tulipán?.

22

Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   & '   $  { = 2  = ℎ{2;9,6,4 = & = 0.3571 

5.33.- Se selecciona al azar un comité de tres personas a partir de cuatro doctores y dos enfermeras. Escriba una fórmula para la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número de doctores en el comité. Encuentre

 {2 ≤  ≤ 3 

Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   & $    %  { =   = ℎ{;6,3,4 =   %

{2 ≤  ≤ 3 =  { ≤ 3  −  { < 2  % #   {2 ≤  ≤ 3=ℎ{; 6 , 3 , 4 −ℎ{; 6 , 3 , 4 (# (# {2 ≤  ≤ 3 = 0.8

23

5.35.- Una compañía está interesada en evaluar su procedimiento de inspección actual en embarques de 50 artículos idénticos. El procedimiento en tomar una muestra de cinco y pasar el embarque si no se encuentran más de dos defectuosos. ¿Qué proporción del 20% de embarques defectuosos se aceptará?.

Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   #" &"    '  { =   = ℎ{;50,5,10 = '"'  $ {   { ≤ 2  =ℎ ; 5 0, 5 , 1 0 ("  { ≤ 2  = 0.9517 5.37.- Suponga que la compañía fabricante del ejercicio 5.36 decide cambiar se esquema de aceptación. Bajo el nuevo esquema un inspector toma un artículo al azar, lo inspecciona y después lo reemplaza en la caja; un segundo inspector hace lo mismo. Finalmente, un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se embarca si cualquiera de los tres encuentra un defectuoso. Responda el ejercicio 5.36 bajo este nuevo plan.

{;; = {1 −   % 3 3 3 22 ;3; 25F = F25F 25F 24

a.-

b.-

 { = 0  = 0;3; 253 F  { = 0  = 0.6815 {1 ≤  ≤ 3 =  { ≤ 3  −  { < 1  % 125F {1 ≤  ≤ 3 =0; 3 ; (# {1 ≤  ≤ 3 = 0.1153

5.39.- Si a una persona se le reparten varias veces 13 cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas, ¿cuántas cartas de corazones por mano puede esperar?. ¿Entre cuáles dos valores esperaría que cayera el número de corazones al menos 75% de las veces?. Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   #% %    #%  { =   = ℎ{;52,13,13 = '$#%   =  = {13{13 52 = 3.25 $ = F −−1F1 −  F $ = {1352{13 {3951 1 − 1352F = 1.863 25

 =  $ = 1.365 Teorema de Chebyshev Tenemos que al menos el 75% del número de corazones caerá en el intervalo entre

 ± 2 = 3.25± 2{1.365 = 3.25 ± 2.73 5.41.- Una ciudad vecina considera una petición de anexión de 1200 residencias contra una subdivisión del condado. Si los ocupantes de la mitad de las residencias objetan la anexión, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 10 al menos tres estén a favor de la petición de anexión?. Distribución hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   "" ""    #"  { =   = ℎ{;1200,10,600 = #$""#"   { ≥ 3  = 1 −  { < 3  $ {   { ≥ 3  = 1 −ℎ ; 1 200, 1 0, 6 00 ("  { ≥ 3  = 0.9460

26

5.43.- Una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a 17000 estudiantes de último año revela que casi el 70% desaprueba el consumo diario de marihuana. Si se seleccionan al azar 18 de estos estudiantes y se les pide su opinión, ¿cuál es la probabilidad de que más de nueve pero menos de 14 desaprueben el consumo de marihuana?. Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   ##"" '#""    #  { =   = ℎ{;17000,18,11900 = #"""# 

{9 <  < 14 =  { < 14  −  { ≤ 9  #%  {9 <  < 14 = ("ℎ{;17000,18,11900 − ("ℎ{;17000,18,11900 {9 <  < 14= 0.6079 5.45.- Un club de estudiantes extranjeros tiene como miembros a dos canadienses, tres japoneses, cinco italianos y dos alemanes. Si se selecciona al azar un comité de cuatro, encuentre la probabilidad de que a.- Todas las nacionalidades estén representadas. b.- Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos.

27

Probabilidad hipergeométrica multivariante a.-

  ℎ{#, $, %, & =  $ % ' $     # # #  = ℎ{1,1,1,1 = #$& # = 334 b.-

  ℎ{#, $, %, & =  $ % ' $ $ % ' $ $ % ' $                = # ##$" $ + # $#$" # + $ ##$" # = 1658 &

&

&

5.47.- Estudios de población de biología y el ambiente a menudo etiquetan y sueltan a sujetos a fin de estimar el tamaño y el grado de ciertas características en la población. Se capturan diez animales de cierta población que se piensa extinta (o cerca de la extinción), se etiquetan y se liberan en cierta región. Después de un periodo se selecciona en la región una muestra aleatoria de 15 animales del tipo. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de estos seleccionados sean animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la región?. Probabilidad hipergeométrica

      { =   = ℎ{;,, =   #" #'    #'  { =   = ℎ{;25,5,10 = $'#'  #" #'   '  { = 5  = ℎ{5;25,5,10 = $'#'#" = 0.2315 28

5.49.- Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas fábricas violan los reglamentos contra la contaminación ambiental con respecto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que tres de las empresas violan los reglamentos. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de cinco empresas no encuentre ninguna violación?. b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre dos que violan el reglamento?. a.-

      { =   = ℎ{;,, =   % #    '  { =   = ℎ{;20,5,3 = $"'  % #   "  { = 0  = ℎ{0;20,5,3 = $"''  = 0.3991 b.-

     {  =   = ℎ{;,, =   % #    ' {  =  = ℎ{;20,5,3= $"'  % #    { = 2  = ℎ{2;20,5,3 = $$"'%  = 0.1316

29

5.51.- La probabilidad de que una persona que vive en una cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro.

Distribución binomial negativa

∗{;, =  −− 11F{1 −  ∗{10;5,0.3 = 94F {0.3'{0.7' = 0.0515 5.53.- El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas en un artículo particular en un almacén se realizan cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se pida este artículo a.- Más de cinco veces?. b.- Ninguna vez?. a.Distribución de Poisson

  {    {; = ! '   5 {;5 = !  { > 5  = 1 −  { ≤ 5  ' {  > 5 = 1 −{;5 ("  { > 5  = 0.3840 30

b.-

 { = 0  = {0;5  { = 0  = 0.0067 5.55.- Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga los cafés. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro lanzamientos.

Distribución geométrica

{; = {1 − # {;0.75 = 0.75{0.25# % {   { < 4  = ; 0 . 7 5 (# {  < 4 = 6364 5.57.- La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen. a.- en el tercer intento. b.- antes del cuarto intento.

31

a.Distribución geométrica

{; = {1 − #  { = 3  = {3;0.7 = 0.7{0.3%#  { = 3  = {3;0.7 = 0.063 a.Distribución geométrica

{; = {1 − #  { =   = {;0.7 = 0.7{0.3# % {   { < 4  = ; 0 . 7 = 0. 9 73 (# 5.59.- Una secretaria comete dos errores por página, en promedio, ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página a.- Cuatro o más errores?. b.- Ningún error?. Distribución de Poisson a.-

  {    {; = ! $   2 {;2 = !  { ≥ 4  = 1 −  { < 4  % {   { ≥ 4  = 1− ;2 = 0. 1 429 (" 32

b.-

  {    {; = ! $   2 {;2 = ! $ "  2  { = 0  = {0;2 = 0! = 0.1353 5.61.- Suponga que la probabilidad de que una persona dad crea un chisme acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que a.- La sexta persona en escuchar este chisme sea la cuarta en creerlo?. b.- La tercera persona en escuchar este chisme sea la primera en creerlo?. a.Distribución binomial negativa

∗{;, =  −− 11F{1 −  ∗{6;4,0.8 = 53F {0.8&{0.2$ = 0.1638 b.Distribución binomial negativa

∗{;, =  −− 11F{1 −  ∗{3;1,0.8 = 20F {0.8#{0.2$ = 0.032 33

5.63.- El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, cinco vegetales. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga más de cinco vegetales. a.- En un día dado. b.- En tres de los siguientes cuatro días. c.- Por primera vez en abril el día 5. Distribución de Poisson a.-

  {    {; = ! '   5 {;5 = !  { > 5  = 1 −  { ≤ 5  ' {   { > 5  = 1− ;5 = 0. 3 840 (" Distribución binomial b.-

{;; = {1 −  {3;4;0.3840 = 43F {0.3840%{0.6160# {3;4;0.3840 = 0.1395 34