Estadistica y Control de Calidad

ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD Varianza Población: ∑(x − μ)2 σ2 = N

σ2 =

ó

(∑ x̅)2 N N

∑ x̅ 2 −

Muestra: s2 =

∑(𝑥 − 𝑥̅ )2 n−1

ó

s2 =

n ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2 n(n − 1)

DISTRIBUCIÓN:

NORMAL

PROPORCIONES

t, STUDENT

CHI CUADRADA

Infinita 𝑥̅ − 𝜇 𝑍= 𝜎 √𝑛

𝑍=

Población finita

𝑡=

𝑝̂ − 𝑃

𝑥̅ − 𝜇 𝑠 √𝑛

𝜒2 =

√𝑃(1 − 𝑃) 𝑛

(𝑛 − 1)𝑠 2 𝜎2

COMPARACIÓN DE DOS MUESTRAS PAREADAS

𝑍=

𝑥̅ − 𝜇 𝜎 ( ) (√(𝑁 − 𝑛)(𝑁 − 1)) √𝑛

𝑡=

𝑥̅𝑑 − 𝜇𝑑 𝑠𝑑 √𝑛

Dos poblaciones

NORMAL 𝑧=

𝑡=

(𝑥1 − 𝑥2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝜎2 √ 1 𝑛1

+

𝑛2

(𝑝̂1 − 𝑝̂2 ) − (𝑃1 − 𝑃2 ) 𝑃 (1 − 𝑃1 ) 𝑃2 (1 − 𝑃2 ) √ 1 + 𝑛1 𝑛2

1 1 𝑠𝑝 √ + 𝑛1 𝑛2

Varianzas poblacionales:

(𝑛1 − 1)𝑠12 + (𝑛2 − 1)𝑠22 𝑠𝑝 = √ 𝑛1 + 𝑛2 − 2

𝐹=

Para calcular los valores de “t” es con 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 -------------------------------------------------------------------Varianzas de la población son desconocidas pero diferentes 2

𝑡=

(𝑥̅1 − 𝑥̅2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 ) 𝑠2 √ 1 𝑛1

+

𝑠22

𝑛2

𝑣=

𝑠2 𝑠2 ( 1 + 2) 𝑛1 𝑛2 2

UNIDAD II

𝜎12 𝜎22

Varianzas muestrales

𝐹𝑐𝑎𝑙 = 2

𝑠12 𝑠22

𝑠2 𝑠2 ( 2) 𝑛1 𝑛2 + (𝑛1 − 1) (𝑛2 − 1)

( 1)

[

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F (FISHER)

(𝑥̅1 − 𝑥̅ 2 ) − (𝜇1 − 𝜇2 )

𝜎22

PROPORCIONES

𝑍=

Varianzas de la población son desconocidas pero iguales:

]

[

]

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD Ejercicios: 1. Dada una distribución normal (con una media 0 y una desviación estándar de 1, Cual es la probabilidad de que: a) Z sea menor que 0.67? b) Z sea mayor de 1.14? c) Z este entre 1.37 y 1.14? d) Z sea menor que 1.07 o mayor que 1.24? 2.

Dada una distribución normal estandarizada (con media 0 y una desviación estándar de 1, cual es la probabilidad de que: a) Z este entre -1.7 y 1.24 b) Z sea menor que -1.17 o mayor que 1.54? c) ¿Cuál es el valor de Z si solo el 3.5% de todos los posibles valores de Z son más grandes?

3.

Una máquina despachadora de refresco de cola se ajusta para servir 7.00 onzas de líquido por vaso. La desviación estándar es de 0.10 onzas. ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina sirva a) entre 7.10 y 7.25 onzas de refresco? b) 7.25 onzas o más? c) entre 6.8 y 7.25 onzas? d) ¿Cuánto refresco se sirve en el máximo 1% de las bebidas?

4.

Se fabrica tubería de PVC con un diámetro promedio de 1.01 plg. y desviación estándar de 0.003 plg. Encuentre la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 9 secciones de tubería, el diámetro promedio de la muestra sea mayor que 1.009 plg. y menor que 1.012 plg.

5.

El tiempo que un pasajero invierte esperando en un punto de revisión de un aeropuerto es una variable aleatoria con media de 8.2 minutos y una desviación estándar de 1.5 minutos. Suponga que se observa una muestra aleatoria de 49 pasajeros. Encuentre la probabilidad de que el tiempo de espera promedio en la fila para estos clientes sea a) menor que 9 minutos b) entre 8 y 9 minutos c) menor que 8 minutos

6.

El tiempo para que un sistema automatizado localice una pieza en un almacén, tiene una distribución normal con media de 45 segundos y desviación estándar de 30 segundos. Suponga que se hacen pedidos por 10 piezas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio necesario para localizar las piezas sea mayor que 60 segundos?

7.

Los cinescopios para receptores de televisión que produce un fabricante A tienen una vida de 6.5 años, con una desviación estándar de 0.9 años, mientras que los fabricante B tiene una vida media de 6.0 años, con una desviación estándar de 0.8 años. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 cinescopios de fabricante A tenga una vida media que sea por lo menos 1 año mayor que la vida media de una muestra de 49 cinescopios del fabricante B?

8.

Se conoce que las máquinas para construcción modelo MX60 tienen un costo promedio de $30,793.00 con una desviación estándar de $15,950.00 en Canadá. Por otro lado en España se conoce que tienen un costo promedio de $25875.00 con una desviación estándar de $18,590.00 se estudiaron 40 y 35 cotizaciones respectivamente. Cuál es la probabilidad de que: a) La diferencia entre ambas cotizaciones sea de $10,000.00 o más. b) La diferencia sea de $4,864.00 o menos c) La diferencia sea de $9,813.00 o más d) Si la diferencia entre las dos cotizaciones es de $5000.00 ¿Cuál es su conclusión?, utilice un nivel de confianza del 98%

9.

Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricados por una empresa es del 4%, encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga: a. Menos del 3% de los componentes defectuosos. b. Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 10. En un grupo de familias, el 20% se suscriben a un periódico; Cual es la probabilidad de seleccionar una muestra aleatoria de 225 familias en las que se encuentre: a) Una proporción de 16% o menos de familias suscritas al periódico b) Una proporción de entre 21% y 25% de familias suscritas al periódico. 11. Se calcula que las compras, a un proveedor, de productos lácteos son del 40% con un valor superior a $200.00. ¿Podría ser este un cálculo válido si en una muestra aleatoria de 20 compras, el 27% son superiores a $ 200.00? Utilice un nivel de confianza del 95%. 12. Los siguientes datos son tomados de internet y la pregunta es: ¿Se debería prohibir fumar? Esta pregunta en meses pasados obtuvo un 70% de votos a favor de que se prohíba fumar. Por lo tanto ¿cuál es la probabilidad que de una muestra de 100 personas 64 por lo menos estén a favor de que esté prohibido fumar? 13. Se sabe que 3 de cada 6 productos fabricados por la máquina 1 son defectuosos y que 2 de cada 5 objetos fabricados por la máquina 2 son defectuosos; se toman muestras de 120 objetos de cada máquina: a) b) c)

¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 2 rebase a la máquina 1 en por lo menos 0.10? ¿cuál es la probabilidad de que la proporción de artículos defectuosos de la máquina 1 rebase a la máquina 2 en por lo menos 0.15? Cuál es la probabilidad de la proporción de los artículos defectuosos que la maquina 2 rebase a la maquina 1 a lo mucho 16%?

14. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres. 15. Los tiempos en minutos de 10 pacientes que esperan a un doctor en su consultorio antes de ser atendidos, se registraron como sigue: 5, 11, 9, 5, 10, 15, 6, 10, 5 y 10. Calcula la desviación estándar. 16. El número de respuestas incorrectas en una prueba con preguntas verdadero y falso originado por una muestra aleatoria de 15 estudiantes, se registraron como sigue: 2, 1, 3, 0, 1, 3, 6, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4 y 2, Calcula la desviación estándar. 17. Un fabricante de alambre de acero asegura que la fuerza media requerida para romper una clase de alambre dada es de 500 libras, para probar esto, se toma una muestra de 25 partes de este tipo de alambre y se somete a prueba, la media y la desviación típica son de 465 libras y 55 libras respectivamente. Suponiendo que las fuerzas de ruptura de la población en promedio es de 500 libras. ¿Cuál sería su conclusión? 18. Al fabricante de un agente propulsor utilizado en sistemas de escape de emergencia de aeronaves, le gustaría afirmar que su producto tiene una tasa promedio de combustión de 40 in por minuto. Para investigar esta afirmación, el fabricante toma una muestra de 15 elementos de propulsor seleccionados al azar. ¿A qué conclusión llega el fabricante si la media de la muestra es 40.5 in por minuto y la desviación estándar de 0.75 in por minuto? Utilice un nivel de confianza del 93% 19. Un fabricante de fusibles asegura que con una sobrecarga de 20%, los fusibles se fundirán en 12.40 minutos en promedio. Para probar esta afirmación, una muestra de 20 fusibles, fue sometida a una sobrecarga de 20%, y los tiempos que tardaron en fundirse tuvieron una media de 10.63 minutos y una desviación estándar de 2.48 minutos. Utilice un nivel de confianza del 98%. ¿Cuál es su conclusión?

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 20. Una gran fábrica de automóviles está tratando de decidir si compra neumáticos de la marca A o de la marca B para sus nuevos modelos. Para ayudar a tomar la decisión, se realizó un experimento en el cual se utilizaron 12 neumáticos de cada marca. Los resultados fueron los siguientes: Marca A:

x1

= 37900 Km.

s1 = 5100 Km. Marca B:

x 2 = 39800 Km. s2 = 5900 Km.

Utilice un nivel de significancia del 5% para saber las dos marcas de neumáticos son iguales. 21. Suponga que el gerente de una tienda de accesorios para mascota desea determinar si existe diferencia significativa entre la cantidad de dinero gastada por los dueños de perros y por los dueños de gatos. Los resultados obtenidos con una muestra de 28 dueños de perros y 26 dueños de gatos, se resume a continuación:

Adquisición para perros Adquisición para gatos

x

$26.47

$19.16

s

$9.45

$8.52

n

28

26

El nivel de significancia es del 5% ¿existe evidencia de una diferencia en la cantidad promedio de dinero gastada en la tienda para mascotas entre los dueños de perros y los dueños de gatos? 22. Se afirma que un estudiante universitario de último año puede obtener una calificación en el área del campo de especialidad del examen de registro de graduados de 50 puntos si de antemano se le proporcionan problemas. Para probar esta afirmación, se dividen 20 estudiantes del último año en 10 pares de modo que cada par tenga casi el mismo promedio de puntos de calidad general en sus primeros años en la universidad. Los problemas y respuestas de muestra se proporcionan al azar a un miembro de cada par una semana antes del examen. Se registran las siguientes calificaciones del examen:

Con problemas Sin problemas

1 531 509

2 621 540

3 663 688

4 579 502

Par 5 6 451 660 424 683

7 591 568

8 719 748

9 543 530

10 575 524

Realice una estimación con un nivel de significancia de 0.05, se sabe que las desviaciones son diferentes. 23. Se realiza un estudio para medir la efectividad de dos clases de jarabes para la tos en el aumento del sueño. A seis personas con resfriado se les suministra la medicina A la primera noche, y la medicina B la segunda noche, y se les registran los respectivos tiempos de sueño (horas), que se dan a continuación: Medicina A B

Sujeto 1 2 4.8 4.1 3.9 4.2

3 5.8 5.0

4 4.9 4.9

5 5.3 5.4

6 7.4 7.1

Con un nivel de significancia del 5%, construya un intervalo, ¿cuál es su conclusión?

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 24. Una empresa refresquera, necesita para sus pruebas de calidad que sus muestras seleccionadas contengan 350 ml. con una desviación estándar máxima de 9ml. Se eligen 20 refrescos y se observa que en promedio contienen 350 ml. con una desviación estándar de 11 ml. Existe evidencia suficiente de que existe variación, utilice un nivel de significancia del 0.05 25. Una Compañía Alimenticia Panamericana, requiere para la producción de alimentos de bebes, verduras congeladas que se manejan por cada kilogramo con 50 gramos, con una desviación estándar de 6 gramos. Se hace un estudio en 14 embarques surtidos por su proveedor principal y analiza que en promedio, cada kilogramo de verdura congelada se manejó con 50 gramos de hielo, con desviación estándar de 4 gramos. Existe evidencia suficiente de que existe variación ¿Cuál es su conclusión?, utilice un nivel de significancia de 0.05. 26. Un fabricante de instrumentos de medición afirma que la desviación estándar en el uso de sus medidores es de 0.0003. Sin advertir a un analista que está utilizando este calibre, hace que el analista mida la misma pieza ocho veces en el curso de sus actividades normales de comprobación y encuentra que la desviación estándar es de 0.0006 a la vista de los resultados, ¿estaría usted justificado al rechazar la afirmación del fabricante? Utilice un nivel de significancia del 1% en su prueba. 27. Un fabricante de dulces debe inspeccionar la temperatura a la cual se deben de cocinar los dulces. Una variación excesiva producirá inconsistencia en el sabor del dulce. Registros anteriores muestran que la desviación estándar de la temperatura fue de 1.2˚F. Se seleccionó una muestra aleatoria de 32 lotes de dulces y se obtiene que la desviación estándar de la muestra de la temperatura es de 2.1˚F, a nivel de significancia de 0.050 ¿existe evidencia de que la desviación estándar de la población a cambiado de 1.2˚F? 28. Para una distribución F, obtenga: a) f0.05 con v1= 7 v2 = 15 b) f0.05 con v1= 15 v2 = 7 c) f0.01 con v1= 24 v2 = 19 d) f0.95 con v1= 20 v2 = 24 e) f0.99 con v1= 28 v2 = 12 29. La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos líneas de producción 1 y 2, hizo un pequeño ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, así como la cantidad media de impurezas en los productos químicos. Muestras de 𝑛1 = 25 y 𝑛2 = 20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias de 3.2 y 3 de cada línea de producción respectivamente y varianzas son 1.04 y 0.51 de cada línea respectivamente. ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son diferentes? Realice una prueba con un nivel de confianza del 95%. 30. Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor del óxido. 21 obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido es de 1.96 angstroms y 2.13 angstroms, respectivamente. ¿Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice un nivel de significancia del 5%.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD ESTIMACIONES 1.

El consumo de carne de res mensual tiene una desviación estándar de 1.2 kilogramos, se tomó una muestra aleatoria de 20 personas y se encuentra que el consumo promedio es de 5.3 kilogramos construya un intervalo de confianza del 96.5 % para el promedio de consumo de carne.

2.

En una pizzería, el tiempo que se tardan en cubrir una orden tiene una desviación estándar de 7.3 minutos, se tomó el tiempo que tardaron en cubrir 19 órdenes elegidas al azar y se encontró que en promedio se tardaron 23.5 minutos. Construya un intervalo con un nivel de confianza del 97.5% para el tiempo promedio para cubrir cada orden.

3.

Una máquina produce tornillos con una longitud media de 3 cm. Los tornillos demasiado cortos o demasiado largos no cumplen con las especificaciones y se consideran rechazados por el consumidor, con objeto de estimar la longitud media a lo que produce la máquina de tornillos se tomó una muestra aleatoria de 75 tornillos, obteniéndose una media muestral que es igual a 2.92 cm. la varianza es más o menos constante en 0.12 cm. con esta información calcule un intervalo de confianza de 96% para estimar la verdadera longitud media de todos los tornillos producidos por esta máquina

4.

En un esfuerzo por mejorar el horario de citas médicas, se toma una muestra aleatoria de 49 pacientes y se obtine una media de 30 minutos y una desviación estándar de 7 minutos. Establezca un intervalo de confianza del 95% para el tiempo promedio verdadero que le dedica el medico a cada paciente.

5.

En 33 oficinas postales elegidas al azar se recibieron en promedio 1357 cartas durante un día especifico, con una desviación estándar de 226. Haga una estimación de un intervalo con un nivel de confianza de 92% para el promedio de las cartas recibidas en ese mismo día en todas las oficinas.

6.

Se compara la resistencia de 2 tipos de roscas de tornillos, se toma una muestra de 50 piezas de cada tipo de rosca y se prueban en condiciones similares. Las piezas de marca A tienen una resistencia media a la tensión de 78.3 Kg. con una desviación estándar de 5.6 Kg. en tanto que la marca B tiene una resistencia media a la tensión de 87.2 Kg. con una desviación estándar de 6.3 Kg. Encuentre los intervalos de confianza para estimar la diferencia de medias a la resistencia de los dos tipos de roscas con un intervalo de confianza del 95%.

7.

Se tienen dos sucursales, que se cree que siempre han tenido sus niveles de diferencia, respecto al volumen en ventas y sus correspondientes valores, se estudia la sucursal A en 75 pedidos y se encuentra que las ventas promedios de $3,400.00 con una desviación estándar de $300.00. En la sucursal B se observan 80 pedidos tomados de las mismas fechas que los de la sucursal A y se encuentran ventas promedio de $2,225.00 con una desviación estándar de $250.00. Realice esa estimación, con un nivel de confianza del 79%.

8.

El administrador de una sucursal de un banco de ahorro local desea estimar la cantidad promedio que se tiene en las cuentas de ahorro de los clientes del banco. Se seleccionó una muestra aleatoria de 25 depositantes y los resultados indicaron un promedio de muestra de $4,750.00 y una desviación estándar de $1200.00. Establezca una estimación de intervalo de confianza de la cantidad promedio que se tiene en todas las cuentas de ahorro.

9.

Al gerente del departamento de servicios al cliente de una compañía gasera le gustaría estimar el tiempo promedio que transcurre entre la solicitud de servicio y su conexión. Se seleccionó una muestra aleatoria de 15 casas de los registros disponibles del año anterior. Los resultados obtenidos son los siguientes: 114, 78, 96, 137, 78, 103, 117, 126, 86, 99, 114, 72, 104, 73, 86. Establezca una estimación de intervalo de confianza de 95 % del tiempo de espera promedio de población durante el año anterior.

10. Una máquina produce las varillas de metal utilizadas en el sistema de suspensión de un automóvil. El diámetro de la varilla está distribuido en forma normal, con media y varianza desconocida. Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas, y se encuentra que los diámetros son: 2.25, 2.24, 2.27, 2.26, 2.23, 2.25, 2.24, 2.27, 2.22 y 2.23 pulgadas. Encuentre el intervalo de confianza del 99% para el diámetro promedio de todas las varillas de metal.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 11. El contenido de siete contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal. 12. Un artículo publicado en el Journal of Testing and Evaluation presenta las siguientes 20 mediciones del tiempo de combustión residual en segundos de especímenes tratados de ropa de dormir para niños: 9.85, 9.93, 9.75, 9.77, 9.67, 9.87, 9.67, 9.94, 9.85, 9.75, 9.83, 9.92, 9.74, 9.99, 9.88, 9.95, 9.95, 9.93, 9.92, 9.89. Se desea encontrar un intervalo con un nivel de confianza del 95% para el tiempo de combustión residual promedio. Supóngase que el tiempo de combustión residual sigue una distribución normal. 13. Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:

Diseño 1

n1 = 16

s12 = 10

Diseño 2

n2 = 10

s22 = 40

Calcula un intervalo de confianza del 98%. 14. Se estudian 18 litros de leche “A” y se observa que en promedio contenían 960 ml, con una desviación estándar de la muestra de 35 ml, otra muestra “B” de 25 litros que contenían en promedio 875 ml, con desviación estándar de 25 ml. Las varianzas de la población son diferentes. Calcule las verdaderas diferencias en el contenido medio de las dos marcas. 15. Se procesan dos tipos de vehículos: En una muestra de 20 autos personales, el proceso duro en promedio 7 días con una desviación estándar de 2 días. En otros autos pequeños de tipo artesanal, se tomó una muestra de 24 y se observó que el proceso duró en promedio 36 días con una desviación estándar de 10 días. Las desviaciones de la población son diferentes. Calcule intervalos de confianza de 99%, 95% y 90% 16. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas. 17. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales. 18. Entre 400 dueños de automóviles a los que se les hizo una entrevista, 260 dijeron que el próximo coche que pensaban comprar sería de la misma marca que el que usaban. Construir un intervalo de confianza al nivel de 0.99 para la proporción verdadera de los dueños de automóviles que piensan cambiar su auto por otro de la misma marca. 19. Una empresa de servicios financieros tienen una propuesta acerca de un nuevo proyecto de inversión, para lo cual es necesario la aprobación de la mayoría de los accionistas; el consejo de dicha empresa está integrado por 2 grupos; los socios nacionales y los socios extranjeros. Para llevar a cabo el proyecto es importante que la diferencia de las proporciones de accionistas aprueben el proyecto. Para estimar esto, se toma una muestra aleatoria de 70 accionistas mexicanos, de los cuales 57 están de acuerdo con el proyecto, y de una muestra aleatoria de 40 extranjeros, de los cuales 23 están de acuerdo con el proyecto de inversión. Con un nivel de confianza del 90 %, estime la diferencia de proporciones entre los accionistas nacionales y extranjeros que están de acuerdo con el proyecto de inversión.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 20. Un hospital especializado en cardiología quiere conocer la diferencia entre 2 tratamientos medicinales, se toman dos muestras independientes, cada una de 200 pacientes; a las personas de la primera muestra se les aplica el tratamiento tradicional, mientras que a la segunda muestra se les aplica un tratamiento nuevo. Al cabo de un mes, 170 pacientes de la primera muestra y 110 de la segunda muestra tienen resultados positivos. Construya un intervalo de la diferencia entre las dos proporciones de la eficacia de los dos tratamientos, utilice un nivel de confianza del 94%. 21. Se tiene interés en la variabilidad de los puntajes obtenidos en un examen TOEFL (de Test of English as a Foreing Language). Una muestra aleatoria de 15 puntajes correspondientes a otros tantos estudiantes extranjeros fue la siguiente: 495, 525, 605, 552, 490, 590, 580, 505, 551, 600, 542, 552, 555, 551, 545. Obtenga un intervalo de confianza de 95% para la desviación estándar de las calificaciones del examen TOEFL. 22. Un fabricante de automóviles asegura que el rendimiento de cierto modelo tiene una media igual a 40.5 millas por galón de gasolina con una desviación estándar de 3.5 millas. Utilice los datos siguientes, obtenidos de una muestra aleatoria de 15 automóviles de ese modelo: 37.0, 38.0, 42.5, 45.0, 34.0, 32.0, 36.0, 35.5, 38.0, 42.5, 40.0, 42.5, 36.0, 30.0, 37.5. a. Haga intervalos de confianza del 95% de la varianza poblacional de los consumos de los automóviles de este tipo. b. ¿Se puede afirmar que la varianza de los consumos de combustible de los automóviles de este modelo es diferente de lo especificado por la fábrica? 23. El departamento de control de calidad de una empresa manufacturera compra unos componentes electrónicos a un proveedor. La empresa especifica que la varianza de las resistencias de los componentes no debe exceder de 0.2. El departamento de control de calidad toma al azar una muestra de 25 componentes y se obtiene una varianza de 0.35. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para estimar la varianza poblacional de la resistencia de los componentes. 24. El embotellador del refresco de cola Vubby se molestó por las ventas que obtiene la cola Buncy, y afirmó que su refresco no solo es tan bueno, sino que su calidad es mucho más consistente. Un investigador para probar dicha afirmación seleccionó al azar 8 botellas de ambos refrescos y las calificó mediante una escala de 1 para mala calidad y de 10 para buena calidad. Los resultados fueron los siguientes: Cola Vubby

Cola Buncy

4.5

8.5

9

4

4

10

5

4.5

8

5

6

7

8

9.5

9

6

Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de varianzas. 25. Se quiere probar que cuando se estudia en el texto requerido, sin asistir a clases, la calificación obtenida es más variable que cuando adicionalmente a estudiar el texto se asiste a clases. Se seleccionaron dos muestras de estudiantes, a la primera se le impartieron las clases y el texto de manera usual, a la segunda solo texto sin clases. Las calificaciones fueron las siguientes: Con clases

Sin clases

5

7

7

10

10

5

6

6

6

5

8

10

8

7

6

5

8

9

7

8

6

10

5

9

7

10

6

9

8

9

7

7

8

6

9

7

6

6

5

5

Encuentre el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de varianzas.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 26. Se desea comparar la variabilidad de la actividad motora espontánea de un grupo de 25 ratas control y otro de 30 ratas desnutridas. Se midió el número de veces que pasaban delante de una célula fotoeléctrica durante 24 horas. Los datos obtenidos fueron los siguientes: Ratas de control

n1=25

Ratas desnutridas

n2=30

Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de varianzas. Conceptos de la teoría de prueba de hipótesis Teoría de hipótesis nos conduce a tomar las decisiones. Una hipótesis es una suposición acerca de algo. Por ejemplo, podemos suponer que en el año 2000 el hombre visitará nuevamente la luna; o que a partir de 1998 la economía mexicana crecerá a un ritmo de 8.8% anual, o bien, que en los próximos juegos olímpicos México ganará el mayor número de medallas de oro de todos los países participantes. Una hipótesis estadística es una proposición que se hace respecto a una característica de una o más poblaciones, es una proposición respecto a la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Es importante mencionar que cuando se habla de hipótesis en estadística, se refiere a una distribución de probabilidad y para distinguirla de aquellas que no tienen tal distribución la denominamos hipótesis estadística. Una hipótesis estadística es una proposición o afirmación acerca del valor de un parámetro, la cual se desea analizar con base en la evidencia de la muestra o del experimento para tomar una decisión sobre su validez. Para las hipótesis que fueron enunciadas con la esperanza de ser rechazadas se utilizara el término HIPOTESIS NULA H 0. El rechazo de la H0 conduce a aceptar una hipótesis alterna denotado por H1. Supongamos que estamos interesados en el proceso de llenado de botellas en una cervecería, es decir en el contenido promedio por botella que descarga una máquina de esta empresa. El contenido de cerveza por botella es una variable aleatoria que pertenece a una distribución de probabilidad. Suponga que nos interesa determinar el contenido promedio neto por botella, es decir, específicamente deseamos conocer si la máquina está descargando 250ml. de cerveza por botella o no. Estadísticamente esto lo podemos expresar como: H0 : µ = 250 ml. H1 : µ ≠ 250 ml. Estas son dos proposiciones, la primera de ella H0 se le conoce como HIPOTESIS NULA y se le considera verdadera, a menos que exista evidencia significativa en contra. Es similar el hecho de considerar a una persona acusada, en un proceso judicial, como inocente, hasta que existan suficientes evidencias que demuestren lo contrario, culpable. La hipótesis nula es la proposición que tratamos de rechazar. En el ejemplo, la hipótesis nula indica que la máquina está descargando un promedio de 250 ml. por botella, o dicho de otra forma, que la media de la distribución de probabilidad del contenido promedio por botella, es de 250 ml. y esto se considerará como cierto hasta que no se demuestre lo contrario. De esta manera podemos identificar nuestra hipótesis nula como una hipótesis sencilla o simple porque estamos asignando un valor particular a nuestro parámetro desconocido. Una hipótesis compuesta, no especifica un solo valor, sino el recorrido de valores que puede tomar el parámetro poblacional. Por ejemplo si hubiéramos descrito nuestras hipótesis como: H0 : µ ≤ 250 ml. o H1 : µ ≥ 250 ml. Esta pasaría a ser una hipótesis compuesta. Recuerde que las proposiciones se hacen sobre poblaciones o distribuciones y no sobre muestras. El valor que se establece en la hipótesis nula se puede determinar por experiencia previa o por resultados de estudios experimentales realizados con anterioridad, de tal forma que cuando se conduce una prueba de hipótesis, es con el fin de probar si ese valor ha cambiado, ya sea por efectos del tiempo o porque se mida el efecto del cambio que produce algún factor bajo

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD estudio. El valor de la hipótesis nula, puede establecerse también porque se quiere probar alguna teoría o por consideraciones externas, tales como las establecida en las especificaciones de diseño o ingeniería, que se trata de probar si el proceso está cumpliendo con las especificaciones o no. La segunda de las proposiciones expresadas previamente H1: µ ≠ 250 ml., se le conoce como HIPOTESIS ALTERNATIVA Y ES LA PROPOSICIÓN OPUESTA A LA HIPOTESIS NULA. Es la que el experimentador desea establecer como verdadera, también se le conoce como hipótesis de investigación. En el ejemplo, al determinar la hipótesis alternativa H 1: µ ≥ 250 ml estamos tratando de establecer que la maquina está llenando al menos 250 ml. de cerveza por botella, y al desarrollar la prueba, trataremos de ganar suficiente evidencia para concluir que nuestra hipótesis alternativa es cierta. Para mostrar un investigador que su hipótesis es cierta (la hipótesis alternativa) conduce una prueba de hipótesis que es un procedimiento estadístico que permite al experimentador llegar a una conclusión basado en la información proporcionada por la muestra. Desde el momento en que la decisión del experimentador está basada en la información proporcionada por la muestra aleatoria tomada de la población, al conducir una prueba de hipótesis se tiene que hacer referencia a la distribución de probabilidad del estadístico de interés. Si la información que nos proporciona la muestra aleatoria es congruente con la hipótesis alternativa, se concluye que es cierta, si no fuera así, se considera que no hubo suficiente evidencia para rechazar la hipótesis que se considera verdadera hasta ese momento (hipótesis nula). Como la conclusión se determina de un valor muestral, no tiene completa certeza de que ésta sea correcta, por lo tanto tenemos cierta posibilidad de llegar a una decisión equivocada o incorrecta. Para tener el cien por ciento de seguridad tendríamos que examinar toda la población pero esto resultaría impráctico y costoso, por lo tanto tenemos cierta probabilidad de llegar a una conclusión equivocada o incorrecta. Errores tipo I y II. Debido a que el estadístico de prueba es una variable aleatoria, el proceso de pruebas de hipótesis está sujeto a error y el hecho de rechazar una hipótesis nula, no quiere decir que tengamos plena seguridad de que así sea. La decisión de rechazar una hipótesis nula por ejemplo, nos indica que existe una alta probabilidad de que estemos en lo correcto porque así lo indica el estadístico muestral, no necesariamente que sea falsa y que podemos cometer un error también con cierta probabilidad de estar equivocado. Los límites de este rango, se les denomina puntos o valores críticos, los valores menores o mayores que los puntos críticos conforman las regiones críticas o de rechazo de la hipótesis nula, y la región que queda dentro de estos límites, se le denomina región de no evidencia para rechazar la hipótesis nula. El valor crítico es el punto que separa la región crítica de la región de no rechazo de H0; y la región crítica es el conjunto de valores que inducen al rechazo de H0 ; la región de no rechazo es el conjunto de valores que indican que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar H0. Región de rechazo extremo izquierdo

Región de rechazo extremo derecho

Región de no evidencia para rechazar H0

x

µ

x

No olvide que se trata de rechazar la hipótesis nula, no de aceptarla, porque ya está aceptada y además de que nuestra decisión dependerá del resultado que nos dé el estadístico de prueba de valor aleatorio.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD Se puede llegar a tomar cuatro tipos de decisiones dependiendo del verdadero estado de la naturaleza. El siguiente cuadro le permitirá visualizar mejor estas cuatro tipos de decisiones: VERDADERO ESTADO DE LA NATURALEZA DECISIÓN DEL PROFESOR

BUEN ESTUDIANTE

MAL ESTUDIANTE

APROBAR

CORRECTA

INCORRECTA Error Tipo II

REPROBAR

INCORRECTA Error Tipo I

CORRECTA

La probabilidad asociada al cometer un error tipo I se denota por la letra griega α y es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. En teoría de pruebas de hipótesis, a esta probabilidad se le conoce comúnmente como nivel de significancia de la prueba. Normalmente el analista experimentador controla la probabilidad de cometer este error al establecer los puntos críticos si decide que los puntos críticos se encuentren a corta distancia del valor propuesto en la hipótesis nula está permitido un error tipo I grande. Una forma de reducir la probabilidad de cometer el error tipo I es incrementar el tamaño de la muestra. La probabilidad asociada al cometer un error tipo II se simboliza por la letra griega β y representa la probabilidad de no ser rechazada la hipótesis nula cuando es falsa. El Nivel de significancia de una prueba corresponde a la probabilidad de cometer el error tipo I. Es decir, es la probabilidad de rechazar H0 siendo que es verdadera. Esta probabilidad se denota por el símbolo α y corresponde al área de rechazo, de tal forma que se igualará al total del área derecha o de la izquierda, si se trata de pruebas de una cola o se repartirá en partes iguales en caso de que sea una prueba de dos colas. Un valor “p” es el nivel más bajo (de significancia) en el cual el valor observado de la estadística de prueba es significativo. La regla de decisión define las condiciones que conduce a la aceptación o rechazo de la hipótesis nula. Por ejemplo, una regla de decisión puede ser: Rechazar H0 : µ = 1.10 mts., si x > 1.15 mts. La región de aceptación es un conjunto de valores, determinando bajo ciertas reglas, tal que si el valor de la estadística de prueba cae dentro, esto no significa que la hipótesis nula sea verdadera sino que su falsedad no ha sido comprobada. La región de rechazo también es llamada región crítica, y es aquel número que separa la región de aceptación de la región de rechazo. Pruebas unilaterales y bilaterales La determinación del problema nos puede conducir a dos tipos de prueba de hipótesis que nos interesa resolver, estas pueden ser pruebas bilaterales o de dos colas y prueba de hipótesis unilaterales, o de una cola, las cuales a su vez se clasificar en unilaterales de extremo izquierdo y unilateral de extremo derecho. Una prueba de hipótesis bilateral, se plantea cuando es de interés del investigador los valores de los parámetros que se encuentran a ambos lados del parámetro propuesto en la hipótesis nula, es decir, no se especifica una dirección de interés, por ejemplo si estamos interesados en probar si el tiempo de reacción de un compuesto químico es de 3 minutos nuestra hipótesis nula se planearía como: H0 : µ = 3 min. Si solamente nos interesa saber si es de 3 minutos o no, nuestra hipótesis alternativa trataría de demostrar que es diferente de 3 minutos H1 : µ ≠ 3min.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD En muchos problemas al identificar el problema, se sugiere lo que se desea probar, es decir, el tipo de prueba que se debe realizar, por ejemplo, si deseamos verificar que una máquina productora de rondanas esta produciéndolas dentro de las especificaciones, nuestra prueba de hipótesis debe ser bilateral, puesto que es importante comprobar que la máquina esté ajustada puesto que implicaría un problema si las rondanas tuvieran un diámetro tanto mayor como menor al valor especificado; en este caso nuestras hipótesis serían: H0 : µ = δ0 . H1 : µ ≠ δ0. Donde δ0 representa el valor del parámetro de interés que se desea probar. Las pruebas de hipótesis unilaterales se conducen cuando el planteamiento del problema sugiere probar en una dirección solamente porque la otra no es de interés o no tiene sentido para el investigador, en este caso, los posibles valores del parámetro bajo la hipótesis alternativa se localizan solamente a un lado del valor propuesto bajo la hipótesis nula. Las hipótesis nulas y alternativas, unilaterales de extremo izquierdo para valores medios se plantean como: H0 : µ ≥ δ. H1 : µ < δ. Y de extremo derecho: H0 : µ ≤ δ. H1 : µ > δ. Al plantear una hipótesis, siempre se considera a la hipótesis nula como una igualdad, de tal forma que la probabilidad de cometer un error tipo I, puede controlarse en un valor especifico, pero la hipótesis alternativa puede ser diferente, mayor que o menor que el valor del parámetro propuesto. Por ejemplo: 1. Suponga que un consumidor está interesado en demostrar, que el tiempo de vida de cierto tipo de lámpara es menor de 625 horas. En este caso, el planteamiento de la hipótesis sería: H0 : µ ≥ 625 hrs. H1 : µ < 625 hrs. Puesto que el consumidor le interesa que el tiempo de vida de las lámparas no vaya a ser menos de lo especificado. 2.

Se desea comprobar que el contenido de grasa por litro de leche en una pasteurizadora, es de 18 gr. Si la prueba la está realizando un inspector de la Secretaría de Salud, tal vez esté interesado en demostrar que el contenido promedio de grasa es menor de 18 gr. y las hipótesis serían: H0 : µ ≥ 18 grs. H1 : µ < 18 grs. Pero si la prueba la está realizando el empresario, tal vez le interesaría demostrar que es mayor de 18 grs. Entonces las hipótesis serían: H0 : µ ≤ 18 grs. H1 : µ > 18 grs.

3.

Un fabricante de aparatos electrónicos, utiliza normalmente un plástico de importación. Actualmente un fabricante nacional, le ofrece otro tipo de plástico a menor costo y con tiempo de entrega más cortos. Sin embargo, la tensión a la ruptura de este tipo de plástico es un parámetro de interés para el fabricante que debe de ser 160 libras por pulgadas cuadradas. Suponga que el fabricante está muy interesado en cambiar de proveedor, ¿Cuál sería el par de hipótesis que debería plantear?, puesto que está muy interesado en cambiar de proveedor, va a tratar de demostrar que el plástico del proveedor nacional tiene resistencia mayor o igual a 160 libras y solamente rechazaría esta propuesta si la evidencia indica que es menor de esta cantidad, en este caso plantearíamos las hipótesis de la siguiente manera: H0 : µ ≥ 160 lb/pulg2. H1 : µ < 160 lb/pulg2.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD Pero ahora suponga que el fabricante no está interesado en cambiar de proveedor, a menos que se le demuestre que el nuevo plástico tiene una resistencia mayor de 160 lb. en esta situación debería plantear el siguiente par de hipótesis: H0 : µ ≤ 160 lb. H1 : µ > 160 lb. Si lograra rechazar la H0, entonces estaría en una población fuerte al concluir que efectivamente el nuevo plástico tiene una resistencia mayor a 160 lb. El planteamiento de las pruebas de hipótesis unilaterales va a depender de quien realice la prueba y que sea lo que quiere demostrar. Un mismo problema puede conducir a una prueba de extremo izquierdo o derecho dependiendo hacia donde se oriente el interés de quien está experimentando. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA CONDUCIR UNA PRUEBA DE HIPOTESIS Al conducir pruebas de hipótesis pueden intervenir muchos parámetros poblacionales diferentes. Los pasos generales que se siguen al realizar una prueba de este tipo son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Identificar el parámetro que nos interesa estudiar. Establecer las hipótesis nula y alternativa y determinar el tipo de prueba de hipótesis a realizar. Determinar el riesgo o nivel de significancia de la prueba. Establecer el estadístico de prueba apropiado. Recabar la información muestral necesaria para sustituirla en el estadístico de prueba y calcular el valor correspondiente. En base al valor calculado del estadístico de prueba tomar una decisión respecto a las hipótesis planteadas.

Observe que los pasos 1 al 3 son los mismos para cualquier tipo de pruebas de hipótesis, lo que cambia en cada caso, es el estadístico de prueba, dependiendo de la variable de interés que son los pasos del 4 al 6.

Para Probar H0

Contra la H1

Zona crítica

μ < μ0 μ = μ0

μ > μ0 μ ≠ μ0 μ1 - μ2 < do

μ1- μ2= do

μ1 - μ2 > do μ1 -μ2≠ do μ1 < μ2

μ1 = μ2

μ1 > μ2 μ1 ≠ μ2

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD PROBLEMAS Establece las hipótesis y determina en forma general donde se ubica la zona crítica: 1. Cuando mucho, el 20% de la producción de cereales del año próximo será exportado. Solución: cuando decimos que es cuando mucho cierta cantidad quiere decir que no podemos contar con más de esta cantidad, es decir podemos tener como máximo el 20% en este caso. Nuestra área de aceptación será todo lo que sea menor de 20% y nuestra área de rechazo es cuando sea mayor de 20%. Aceptamos la Hipótesis nula cuando cae en la zona de color verde y rechazamos la alternativa. H0: P = 0.20 H1: P > 0.20 ZONA DE ACEPTACION

ZONA DE RECHAZO

H0

P = 0.20

2. En promedio las amas de casa beben tres tazas de café al día. Solución: Esto es que pueden beber más o menos de tres tazas H0: μ = 3 tazas H1: μ ≠ 3 tazas ZONA DE RECHAZO

ZONA DE ACEPTACION

ZONA DE RECHAZO

µ = 3 TAZAS

3. Al menos el 70% de los coches nuevos del año próximo pertenecerán a la categoría de compactos. Solución: cuando decimos que es al menos, es decir, que como mínimo debemos de tener esta cantidad el 70% en este caso. Nuestra área de aceptación será todo lo que sea mayor de 70% y nuestra área de rechazo es cuando sea menor de 70%. H0: P = 0.70 H1: P < 0.70

ZONA DE RECHAZO

ZONA DE ACEPTACION

P = 0.70

4. 5. 6. 7. 8. 9.

No más del 20% de la planta de profesores de la universidad local contribuyó para el fondo recaudado anualmente. El promedio de pesos de los filetes en un restaurante es de al menos 250 gr. La media de nevadas en el Lago George en el mes de febrero es de 21.8 cm. La proporción de votantes a favor del PPS para las próximas elecciones es de 0.58 El promedio de donación para la casa de los ancianos no es mayor de $20.00. La proporción de titulados en el Instituto Tecnológico de la carrera de Licenciados en administración es al menos de 0.15.

10. Un distribuidor de leche afirma que la leche vendida por su compañía contiene un promedio de 0.0110 litros de grasa

por cuarto de leche. Una organización de investigación de los consumidores desea comprobar tal afirmación, se toma una muestra aleatoria de 16 botellas de leche. Se mide la cantidad de grasa de cada botella y la media resulta de 0.0115 litros de grasa por cuarto de leche, la desviación estándar es de 0.0012 litros. a) Puede la organización del consumidor resolver de manera justificada que la afirmación del distribuidor es falsa. Utiliza un nivel de confianza del 95%. b) Supongamos que en lugar de tomar una muestra de 16 tomamos una muestra de 100 botellas de cuarto de leche y se encontró que la media y desviación estándar son 0.0108 litros de grasa y 0.0010 litros de grasa por botella de cuarto respectivamente. ¿Podría la organización de los consumidores concluir justificadamente que la afirmación del distribuidor es falsa?

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD c) d)

Encuentre la probabilidad de cometer el error tipo II si la media de la población cambio a 0.0112 litros de grasa por cuarto de leche. Encuentre la probabilidad de cometer el error tipo II si la media de la población cambio a 0.0109 litros de grasa por cuarto de leche.

11.

Un fabricante de neumáticos produce llantas que aguantan, en promedio, al menos 25,000 millas cuando el proceso de producción está funcionando apropiadamente. Basándose en experiencias pasadas, la desviación estándar de las llantas se supone que es de 3,500 millas. El gerente de producción detendrá el proceso de producción si existe evidencia de que la vida promedio de las llantas está por debajo de 25,000 millas. Si se selecciona una muestra aleatoria de 100 llantas (que se someterá a una prueba destructiva), y el gerente de producción está dispuesto utilizar un nivel de confianza del 95%, calcule la probabilidad de cometer un error tipo II, si la vida promedio de población es en realidad de: a) 24,000 millas b) 24,900 millas.

12.

Una máquina expendedora de refrescos está programada para servir 250 ml. por vaso. Una muestra de 50 vasos mostró que en promedio se sirven 252ml. Con una desviación estándar de 8ml. ¿Puede asegurarse que lo dicho en el estudio es correcto? Un fabricante asegura que el promedio de tiempo de duración del sabor de cierta goma de mascar es de 18 minutos. Una muestra de 85 piezas arrojó un promedio de duración del sabor de 15.7 minutos. ¿Puede decirse que la afirmación del fabricante es correcta con un nivel de significancia del 5%?

13.

14.

El jefe de operaciones de una empresa asegura que la maquinaria utilizada no está siendo aprovechada a su máxima capacidad, ya que cuando fue adquirida el proveedor aseguro que cada máquina podía producir 9000 artículos diariamente, y una muestra aleatoria de 45 días demuestra que cada equipo produce 7800 artículos en promedio por día con una desviación estándar de 4300. ¿Es correcta aceptar el planteamiento del jefe de operaciones con un nivel de significancia del 3%?

15.

Un laboratorio acaba de mejorar una de sus fórmulas para que el tiempo de reacción promedio en el organismo sea menor. Con una muestra aleatoria de 32 pacientes se encuentra que el promedio es de 7 días con una desviación estándar de 2.35, mientras que normalmente es de 8 días. Con un nivel de significancia de 0.08, ¿es posible asegurar que el tiempo promedio de reacción disminuyo?

16.

En una fábrica de motores se desea reducir el tiempo de ensamblado y se implementa un nuevo proceso para lograr ese fin. Normalmente ensamblar esos motores tomaba en promedio 12 minutos. Con el nuevo proceso, una muestra aleatoria de 42 motores refleja que el ensamblado tarda 15 minutos con una desviación estándar de 11 minutos. Con un nivel de significancia del 4%, ¿podemos asegurar que el tiempo promedio de ensamblaje aumentó?

17.

Un fabricante suministra los ejes traseros para camiones. Estos ejes deben soportar 80,000 libras por pulgada cuadrada en pruebas de carga, pero un eje excesivamente fuerte eleva los costos de producción de manera significativa, la larga experiencia indica que la desviación estándar de la fuerza de sus ejes es de 4,000 libras por pulgada cuadrada. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes de la producción se les hace una prueba y encuentra que la capacidad de carga media de la muestra es de 79,600 libras por pulgada cuadrada. Utiliza un nivel de confianza del 95%

18.

Se sabe que una máquina despachadora de café sirve 8 oz. Se toma una muestra de 16 tazas y se miden, se encuentra que en promedio se sirvieron 7.5 oz, con una desviación estándar de 0.8 oz .Si la maquina sirve menos de 8 onzas se dice que se encuentra fuera de control, utiliza un nivel de significancia del 1%

19.

Una compañía que vende tiras para repelentes contra insectos asegura que su producto es eficaz, por lo menos durante 400 horas. Se realiza un análisis sobre nueve tiras seleccionadas aleatoriamente se obtuvo un promedio de 380 horas.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD a) b)

Pruebe la afirmación de la compañía, con un nivel de confianza del 99%, si la desviación estándar de la muestra es de 60 horas. Repita el inciso anterior utilizando el conocimiento que la desviación de la población es de 90 horas.

20.

Un ingeniero químico afirma que el rendimiento de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre – t0.025 y t 0.025, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

21.

Los registros de consumo del año pasado en una cafetería, muestran que el promedio diario por persona fue de $50.50 Se muestrean 25 notas de consumo, se observa un gasto promedio de $50.10, con una desviación estándar de $9.00. Se desea saber si ha tenido algún cambio significativo en el promedio de gastos del año pasado

22.

Los inspectores estatales al investigar las cavas de una compañía embotelladora de vinos en Baja California sobre reducción del producto en el envase, ha muestreado 25 botellas y encuentra que los contenidos promedio son de 30.98 onzas, las botellas indican que contienen 32 onzas de vino. Las desviaciones estándar de la población son de 2 onzas. Se desea probar con un nivel de significancia del 0.02 si las botellas realmente contienen un promedio menor a las 32 onzas de vino.

23.

Se emplean dos máquinas para llenar envases de jabón líquido. Puede asumirse que los volúmenes de llenado sigue una distribución normal con desviaciones estándar de 0.016 ml y 0.019 ml respectivamente en cada máquina. Una muestra aleatoria de ambas maquinas dio los siguientes resultados. Verifique si ambas máquinas están envasando volúmenes iguales de jabón. Utilice un nivel de confianza del 97%. Máquina 1 441 445 445 440 448 445 445 442 445 447 Máquina 2

449

445

446

449

449

442

451

449

450

445

¿Cuál es su conclusión? 24.

a) b)

Se conoce que las máquinas para construcción modelo MX60 tienen un costo promedio de $30,793.00 con una desviación estándar de $15,950.00 en Canadá. Por otro lado en España se conoce que tienen un costo promedio de $25875.00 con una desviación estándar de $18,590.00 se estudiaron 40 y 35 cotizaciones respectivamente. Calcule: ¿Cuál es el valor del error tipo I si el punto crítico de la diferencia entre ambas cotizaciones es de $10,000.00? ¿Cuál es el valor del error tipo II si la diferencia cambia a $4,864.00

25.

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.14, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.24 libras, encuentre la probabilidad de cometer el error tipo I, de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

26.

Liverpool desea investigar, con un nivel de confianza del 99%, si las ventas promedio de las tiendas del centro y la de la plaza Forum son iguales. Para ello toma 100 notas de cada tienda elegidas al azar, y encuentra que en el centro de la ciudad tienen un importe de ventas promedio de $4,350.00 con una desviación estándar de $1,000.00 y en plaza Forum el importe de ventas promedio es de $4,500.00 con una desviación estándar de $1,000.00. ¿Cuál es su conclusión?

27.

Se toma una muestra de 57 estudiantes universitarios recién egresados de la carrera de Sistemas. Ellos ganan en promedio diario de $7,810.00 con una desviación estándar de $630.00. otra muestra de 66 alumnos de la carrera de Ing. Industrial tuvieron un ingreso promedio diario de $8,270.00 con una desviación estándar de $710.00. ¿Ganan de manera significativa más los alumnos de Ing. Industrial?. Utilice un nivel de significancia del 0.024

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 28.

Se analizaron dos variedades de tomates respecto a su productividad. Los resultados del análisis no dieron evidencia suficiente de que la productividad de las dos variedades fuera distinta. Debido a que los datos de las muestras indican una media de productividad mayor que la variedad 1, se desea realizar una prueba de hipótesis. Se sabe que las desviaciones de la población son desconocidas pero iguales, utiliza un nivel de significancia del 10%, en el siguiente cuadro se muestra la información: Variedad 1 2

29.

1 1.36 1.04

2 1.42 1.23

3 1.07 0.99

Ubicación 5 6 1.78 1.21 1.70 0.68

4 1.76 1.62

7 0.79 0.85

8 1.05 0.85

9 1.23 1.24

10 1.64 1.23

Una forma de comparar dos computadoras es corriendo un conjunto de programas de prueba registrando las tiempos en minutos del CPU requeridos por cada computadora para cada programa. Ocho programas de prueba corridos en dos computadoras produjeron los siguientes tiempos en minutos de CPU: Programas

Computadoras

1

A

2

3

4

5

6

7

8

1.15

1.80

1.00

1.95

1.45

1.60

2.90

4.12

1.30

1.50

1.30

2.12

1.30

1.92

1.90

3.85 B Realice una prueba de hipótesis para determinar si existe una diferencia significativa entre las computadoras A y B de acuerdo con los tiempos de ejecución de los programas de prueba. 30.

En una encuesta realizada a estudiantes de postgrado, una pregunta pedía asentar que promedio general de calificaciones tenía en sus estudios, y para evaluar la exactitud de estas respuestas se decidió tomar una muestra de 12 de los estudiantes para comparar sus respuestas contra los datos anotados en los registros escolares. En la tabla siguiente se muestran los resultados que se obtuvieron: Calificación según:

Estudiante 1 8.5

Encuesta Registros escolares

8.2

2 9 9.1

3 7.3 7

4 9.4 9

5 6 6

6

7

8

9

10

11

12

8.7

9.1

8.8

9.2

7.9

8

8.4

8.1

8.7

8.9

8.9

7.5

7.8

8.1

Compruebe si existe diferencia entre el promedio de calificaciones de los estudiantes que respondieron en la encuesta y las que se tienen registradas en los archivos escolares, utilice un nivel de significancia del 1%. 31.

Los datos siguientes representan los tiempos de duración de las películas producidas por dos compañías cinematográficas: Tiempo ( en minutos) Compañía 1 102 86 Compañía 2 81

98 109 92

165 97 134 92 87 114

Para probar que el tiempo promedio de duración de las películas producidas por la compañía 2 supera el tiempo promedio de duración de las películas producidas por la compañía 1 por 10 minutos. Utiliza un nivel de significancia de 1% y suponer que las distribuciones de los tiempos tienen diferentes varianzas y que son aproximadamente normal. 32.

Una empresa del ramo alimentico desea probar que en el centro B se atienden menos llamadas que en el A. Para ello se tomó una muestra de 10 días para cada centro y se encontró que, en el centro A se atienden 219 llamadas diarias con una desviación estándar de 32; mientras que en el centro B se atienden 197 llamadas con una desviación estándar de 19. Si las llamadas recibidas siguen una distribución normal y las varianzas son iguales compruebe la hipótesis con un nivel de significancia del 0.01.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 33.

Se está evaluando el voltaje (máximo) de operación de los circuitos manufacturados por dos fabricantes. Para probar si existe diferencia en los voltajes de operación en los circuitos, se tomó una muestra de 30 circuitos de A y 28 de B; en un laboratorio de calidad, los circuitos fueron sometidos a pruebas de voltajes, y se obtuvieron los siguientes resultados: Muestra A Muestra B Media 67 53 Desviación estándar 3.8 2.7 Determine si la afirmación es correcta con un nivel de significancia del 4.5%.

34.

Se planea utilizar 2 tipos de baterías para un nuevo modelo de teléfono celular y se desea evaluar si la duración de una carga de batería A es mayor que la de una de B, por lo que se tomaron muestras con los resultados siguientes: Batería A Batería B n 11 13 𝑥̅ 38 42 4.5 5.1 𝑠2 Si no es posible asumir que las varianzas son iguales, demuestre la hipótesis con un nivel de significancia de 0.025.

35.

Se quiere saber si el tiempo promedio que las niñas emplean en ver televisión diariamente es mayor al de los niños. Se tomó una muestra de 10 niños y 10 niñas, los niños tuvieron una media y varianza de 5.7 horas y 2.2 horas respectivamente, mientras que las niñas obtuvieron una media y varianza de 4.8 horas y 1.9 horas respectivamente. Si no se puede suponer que las varianzas son iguales, compruebe la hipótesis con un nivel de significancia del 0.10

36.

Un gerente de personal desea demostrar si el promedio del monto de las propinas que reciben los meseros del turno vespertino es menor que el del turno matutino, y se obtuvieron los siguientes datos: Matutino Vespertino N 5 5 𝑥̅ 632 685 41.2 27.3 𝑠2 Si no se puede suponer que las varianzas son iguales, utilice un nivel de confianza del 90%.

37.

Una mueblería ha tenido muchos problemas para vender determinado producto en los últimos 3 meses, por esta razón ofrece promociones para que sus clientes lo compren. La venta de este producto solo representa el 15% de sus ventas totales, el gerente del lugar supone que en 2 meses este porcentaje cambio, por lo que emplea una muestra aleatoria de las ventas de 45 días y encuentra que de cada 100 compras 22 son de este producto. Determine si la suposición es cierta o falsa y en caso de ser verdadera, aclarar si el cambio fue bueno o malo, tomando en cuenta un nivel de significancia del 4%.

38.

Para tener un mayor control de las carreteras, el gobierno decidió realizar retenes en las salidas de la ciudad para observar que porcentaje de conductores contaban con la documentación necesaria para transitar. En los primeros 6 meses se registró que cada 25 conductores 17 cumplieron con los requisitos. Después de este tiempo de prueba, las autoridades suponen que debe haber un cambio significativo en el porcentaje, por lo que toman una muestra aleatoria de 120 conductores y encuentran que 94 de ellos presentaron todos sus documentos. Determine si hubo cambio en el porcentaje con un nivel de significación de 2%.

39.

El departamento de recursos humanos de una empresa registra que el 8% de aspirantes se incorporan anualmente a trabajar en la compañía. Este año la oferta de trabajo es menor, de una muestra aleatoria de 350 personas que aplicaron para obtener una vacante, 24 se quedaron en la empresa. tomando en cuenta un nivel de significancia del 0.08, determine si se respetó el ajuste en la disminución de plazas de trabajo

40.

El director académico de una escuela sabe que de cada 10 alumnos 4 reprueban matemáticas, por lo que implementa cursos extracurriculares programados por la tarde; al finalizar el año, en una muestra aleatoria de 250 niños se observa que 75 reprobaron la materia. Con un nivel de significación de 0.09 determine si disminuyo el porcentaje de niños que reprueban matemáticas.

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD 41.

Una delegación tiene como dato que el 27% del total de la población con capacidad para votar no lo hace, por lo que desarrolla una campaña para incentivar a las personas a votar por sus representantes. Una muestra aleatoria de 800 personas demuestra que 110 personas con posibilidad de votar no lo hicieron. Determine, con un nivel de significación de 0.03, si la campaña cumplió con su objetivo.

42.

En un proceso de producción se encontraron 35 artículos defectuosos dentro de una muestra aleatoria de 500, y se identificaron 20 defectuosos de otra muestra aleatoria de 400 artículos provenientes de un proceso similar que se lleva a cabo en otra fábrica. Compruebe la hipótesis que afirma que los dos procesos producen la misma proporción de artículos defectuosos, con un nivel de confianza del 99%.

43.

Se estudia la conveniencia de proveer publicitariamente unas plantas de luz alternas a la corriente eléctrica, para uso del equipo electrónico. Para ello se elaboran encuestas entre 100 usuarios de equipo electrónico del norte de la ciudad y se encuentra que 58 nunca ha sufrido interrupciones eléctricas en el curso de su trabajo. Se encuestan a otros 100 usuarios de este equipo que laboran al sur de la ciudad y se encuentra que 81 nunca han sufrido interrupciones eléctricas. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente para creer que es menos deficiente el servicio eléctrico en el norte que en el sur de la ciudad? Utilice un nivel de significancia del 1%.

44.

La administración de la ciudad desea investigar si se producen menos errores con el antiguo método de recoger personalmente las placas del auto o bien si se envían por correo. Para ello se estudian 50 solicitudes personales en las que se encuentran 5 errores. También se estudian 75 entregas por correo, se encuentran 10 errores. Recomiende usted cual es el mejor método, dado que la entrega por correo es considerablemente más económica. Utilice un nivel de confianza del 98%.

45.

En la fabricación de cierto tubo de acero se requiere que la varianza del peso no exceda a 5.3 g 2. Si una muestra aleatoria de 30 tubos tiene una varianza de 8.25 g2, con un nivel de significancia del 1%, ¿Puede concluirse a partir de estos datos que la norma se cumple?.

46.

Cuando el proceso está bajo control, el diámetro del cuerpo de un tornillo tiene una varianza de 0.000127 cm 2. Para evaluar si el proceso está en condiciones, se toma una muestra aleatoria de 25 de estos tornillos y se obtiene una varianza de 0.000155 cm2. Con un nivel de significancia del 5% ¿puede concluirse que el proceso está bajo control?, ¿en qué suposición se basa su respuesta?

47.

Una empresa refresquera, necesita para sus pruebas de calidad que sus muestras seleccionadas contengan 350 ml. con una desviación estándar máxima de 9ml. Se eligen 20 refrescos y se observa que en promedio contienen 350 ml. con una desviación estándar de 11 ml. Se desea estudiar si la varianza es significativamente diferente.

48.

Una fábrica de cereal, tiene establecido que cada paquete de cereal con pasas debe de tener en promedio 100 gramos de pasas con una varianza máxima de 15. Su departamento de control de calidad analiza un lote de 25 cajas y observa que en promedio tienen 100 gramos de pasas con una desviación estándar de 5 gr. Se desea saber si la varianza analizada es significativamente menor a la establecida. Utilice un nivel de confianza del 95%.

49.

Un fabricante de instrumentos de medición afirma que la desviación estándar en el uso de sus medidores es de 0.0003. Sin advertir a un analista que está utilizando este calibre, hace que el analista mida la misma pieza ocho veces en el curso de sus actividades normales de comprobación y encuentra que la desviación estándar de las ocho mediciones es de 0.0006 A la vista de los resultados, ¿Estaría usted justificado al rechazar la afirmación del fabricante? Utilice un nivel de significancia del 1% en su prueba.

50.

La variabilidad en la cantidad de impurezas presentes en un lote de productos químicos, utilizada para un proceso en particular, depende del tiempo que tarda el proceso. Un fabricante que emplea dos líneas de producción 1 y 2, hizo un pequeño ajuste al proceso 2, con la esperanza de reducir la variabilidad, así como la cantidad media de impurezas en los productos químicos. Muestras de 𝑛1 = 25 y 𝑛2 = 20 mediciones de dos lotes produjeron las siguientes medias de 3.2 y 3 de cada línea de producción respectivamente y varianzas son 1.04 y 0.51 de cada línea

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ESTADISTICA Y CONTROL DE CALIDAD respectivamente. ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que las variaciones del proceso son menores para el 2? Realice una prueba con un nivel de confianza del 95%. 51.

Las capas de óxido en las obleas semiconductoras son depositadas en una mezcla de gases para alcanzar el espesor apropiado. La variabilidad del espesor es una característica crítica de la oblea, y lo deseable para los siguientes pasos de la fabricación es tener una variabilidad baja. Para ello se estudian dos mezclas diferentes de gases con la finalidad de determinar con cuál se obtienen mejores resultados en cuanto a la reducción en la variabilidad del espesor del óxido. 21 obleas son depositadas en cada gas. Las desviaciones estándar de cada muestra del espesor del óxido es de 1.96 angstroms y 2.13 angstroms, respectivamente. ¿Existe evidencia que indique una diferencia en las desviaciones? Utilice un nivel de significancia del 5%.

52.

Cierta compañía de taxis ofrecerá servicio de limosinas del centro de la ciudad al aeropuerto. El presidente de la compañía está considerando dos rutas (A y B), que tienen tiempos promedio muy similares, pero diferente variación. Esto es consistente con un conocimiento de las dos rutas, la ruta A tiene más semáforos, sin embargo la ruta B es algunas millas más larga. Para ofrecer un servicio puntual y consistente decidió realizar una prueba estadística para determinar si realmente hay diferencia entre la variabilidad de los tiempos de las dos rutas. Utilizar un nivel de significancia de 0.05 Ruta A B

Tiempo promedio (min.) 56 59

Desviación estándar (min.) 12 5

Tamaño de la muestra 7 8

Para probar la hipótesis de que las varianzas de las dos poblaciones son iguales.

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