ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I
INTRODUCCION
El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y ejercicios de Estadística propuestos y resueltos.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 1. Conviertase la distribución obtenida en el ejercicio anterior en una distribución acumulada “menor que” y bosquéjese su ojiva
* DESARROLLO INTERVALO
CONTEO
19.0–15.9 ||| 20.0 24.9 – |||| |||| |||| 25.0–29.9 |||||||||||||||||||| 30.0 34.9 – |||| |||| || 39.9 35.0 – | ||||
Fi
Fi
3 15 24 12 6
3 18 42 54 60 60
177
OJIVA "MENOR QUE" 60 50 40 i 30 F
20 10 0 15
20
25
30
35
40
LS
2. Las marcas de clase de unadistribución de lecturas de temperatura (dadas al grado Celsius más cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calcúlese: (a) las fronteras de clase; (b)
los limites de clase.
* DESARROLLO
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Tenemos que : TIC = X’ 2 - X’1 = 9 y sabemos también que : TIC LSi = X’i + ---------2
,
TIC L Ii = X’i - --------2
Luego tenemos : TIC L Ii = X’i - ------2
9 L Ii = 16 - -------- = 11.50 2
TIC LSi = X’i + ------2
9 LS1 = 16 + ------- = 20.5 2
(a) Según lo anteriormente hallado, los limites de clase son : 11.5 - 20.5 20.5 - 29.5 29.5 - 38.5 38.5 - 47.5 47.5 - 56.5 56.5 - 65.5 (b) Para calcular la primera frontera redondeamos por exceso el primer limite encontrado, y sí seguimos sucesivamente con este criterio obtenemos: 12 - 21 22 - 30 31 - 39 40 - 48 49 - 57 58 - 66
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se obtuvieron los siguientes datos sobre el número total de piezas aceptables que produjeron los trabajadores:
65 43 88 59 35 76 21 45 62 41
36 78 50 48 62 60 35 53 65 74
49 37 60 76 52 48 61 34 55 82
84 40 56 74 63 55 45 67 61 58
79 68 57 70 32 51 33 42 73 26
56 72 46 51 80 54 61 69 50 35
28 55 39 40 64 45 77 52 53 47
43 62 57 75 53 44 60 68 59 50
67 22 73 56 74 35 85 52 41 38
36 82 65 45 34 51 68 47 54 70
Agrúpense estos datos en una distribución que tenga las clases 20-29, 30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.
* DESARROLLO INTERVALO CONTEO 29-20 |||| 30 39 ||||||||||| 40-49 ||||||||||||||| 50-59 |||||||||||||||||||| 60-69 |||||||||||||||| 70-79 |||||||||||| 89 80 |||||
fi
4 13 18 25 20 14 6
Fi
4 17 35 60 80 94 100 100
hi
0.04 0.13 0.18 0.25 0.20 0.14 0.06
Hi
0.04 0.17 0.35 0.60 0.80 0.94 1.00 1.00
4. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 3 en una distribución porcentual acumulada “menor que” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO
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Con
la
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I tabla del ejercicio 3, hacemos la ojiva, para una distribución
porcentual acumulada (Hi) : OJIVA "menor que" DE DISTRIBUCION PORCENTUAL ACUMULADA (Hi)
a v it a l e r a d a l u m u c a a i c n e u c e r F
1 0,9 e 0,8 s a l c 0,7 e 0,6 d o l 0,5 a v r 0,4 e t n i 0,3 l e 0,2 d
0,1 0 20
30
40
50
60
70
80
90
Limites de intervalo de cl ase
5. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren en 60 cruces más transitadas en cierta ciudad en un fin de semana de diciembre:
0250141021 5013002131 1402412404 3501364202 0230425112 2165033004 Agrúpense estos datos en una distribución de frecuencia que muestre qué tan a menudo ocurre cada uno de los valores y dibújese un diagrama de barras.
* DESARROLLO # de accidentes fin de
CONTEO
fi
Fi
semana 0 1
|||||||||||| || ||||||||
15 12
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15 27
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 2 3 4 5 6
| |||||||| || |||| ||| |||| |||| ||
11
38 45 53
7 8 5 2 60
58 60 267
ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE
6
S E T N E D I 4 C C A E D2 O R E M U N0
0
2
4
6
8
10 1 2 1 4
16
V ECES QUE OCURRE N
6. Conviértase la distribución obtenida en el ejercicio 2.14 en una distribución acumulada “o mayor” y dibújese su ojiva.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I OJIVA "O M AYOR" DE ACCIDENTES AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN DE SEMANA DE DICIEMBRE
60 50 " e u 40 q r o 30 y a m20 " i F
10 0 012345
67
NUMERO DE ACCIDENTES
7. Las distribuciones categóricas a menudo se presentan gráficamente por medio de gráficas circulares en las que un círculo se divide en sectores proporcionales a las frecuencias (o porcentajes) con que los datos están distribuidos entre las categorías. Dibújese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidió juzgar la maniobrabilidad de cierto automóvil como muy buena, buena, adecuada, excelente y malisima
* DESARROLLO
DATO CONTEO CUALITATIVO Muy Buena |||| |||| Buena |||||||||||||||| Adecuada |||| |
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Fi
10 20 06
hi
0.2 0.5 0.15
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Excelente Malisima
||| |
03 01 40
0.07 0.08 1.00
MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL
ADECUADA
EXCELENTE MALISIMA 3% 8%
15%
MUY BUENA 25%
BUENA 49%
8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cápita en Estados Unidos se duplicó de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 ¿Comunica en el pictograma una impresión “adecuada” del cambio real? Si no es así, establece cómo podría ser modificado.
* DESARROLLO
El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real
obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresión de que el area de una de ellas sea el doble de la otra.
Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas, así :
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.
12000 S 10000 E R A L 8000 O D N 6000 E O S 4000 E R G 2000 N I
0 1977
1986
AÑOS
9. Los siguientes datos provienen de la producción diaria de un pozo petrolero (en barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212, 205 y 220. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*, 20*, ……., y 24*.
* DESARROLLO Ordenando los datos para facilitar el trabajo : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243
19 ·
8
20 *
0 2 3 3
20 ·
5 7 8 8
21 *
2 4
21 ·
7
22 *
0
22 ·
5 6
24 *
3
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo máximo anual de un río en m3/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y 508. Constrúyase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.
* DESARROLLO Ordenando los datos para hacer un buen trabajo : 267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612
200*
67 88 95
300*
17 35 70 83 91
400*
05 19 34 62
500*
08 40
600*
12
11. Lístense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y hojas:
(a)
1*
3
2 5
7 1 4
(b)
23
4
0
1
(c)
2*
35
(d)
3.2
1
18 7
0
57 4
8
6 03
4
3
* DESARROLLO Los datos que corresponden son : (a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) 234, 230, 230, 231, 236 (c) 235, 218, 257, 203 (d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23
12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con más tallos de los que ordinariamente deberían haber, se podría utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4 * como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendría así el diagrama de doble tallo para las lecturas de humedad.
* DESARROLLO Como son muchos datos lo haremos directamente, así :
2 *
1 2
2
6 8
3 *
4 2 3 4
3
5 6 5 7 5 9 5 8 6
4 *
3 1 0 2 0 3 4 1
4
5 8 9 8 5 6 5 7 5 7
5 *
0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4
5
9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6
6 *
2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0
6
5 5 7 8 9 8 7 5 8
7 *
4 4 0 3 2 3 4 0
7
6 8 6 9 7 5
8 *
2 4 0 2
8
8 5
13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una distribución de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I lugar de 2 y 3, ƒ para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de tallos y hojas resultante se denominadiagrama de cinco tallos. (a)
Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes a un programa de ingeniería para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125, 112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.
(b) El
siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos : 53ƒ
5 4 4 4 5 4
53s
6 7 6 6
53*
9 8
54 *
1
* DESARROLLO Sustitutos
*
∏ 0 y 1 t ∏ 2 y 3 f ∏ 4 y 5 s ∏ 6y 7 ∏ 8 y 9
(a) Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112,
112, 112, 115, 125, 128
10f
4
10s
6 6 6 7
10·
8 8 9 9 9
11*
0 0 1 1
11t
2 2 2
11f
5 5
11·
8
12f
5
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 12·
8
(b) Las mediciones correspondientes son:
534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.
14. Los siguientes datos son los números de torsiones requeridas para 12 barras de cierta aleación: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calcúlese (a)
la media y la mediana
* DESARROLLO Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54 (a) Hallamos la mediana:
23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 X = ---------------------------------------------------------------------------- = 12
420 --------- = 12
35
(b) La mediana es la medida de algún dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la
derecha y la mitad de datos a la izquierda
23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54
Luego :
34 + 35 Me = --------------- = 2
34.5
15.
En relación con el ejercicio anterior, encuéntreses utilizando la fórmula que define s.
(a)
(b) la
fórmula de cálculo para s.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) Se sabe que s (desviación estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s
2
,
(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relación a X (media), así : (23-35)2 + (24-35)2 + …. + (54-35)2 946 s2 = ------------------------------------------------ = ------------- = 78.83 12 12 entonces : s = 8.88
529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916 (b) s2 = [ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ] …..… 12 23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 -- [ ----------------------------------------------------------------------------- ]2 12 15646 420 s2 = [ -----------] - [ -------------- ]2 12
= 1303.83 - 1225 = 78.83
12
entonces : s = 8.88
16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de ingeniería es de $125 000, ¿ puede alguno de ellos recibir $ 400 000?
* DESARROLLO
Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3 Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000 Este resultado nos afirma que ningún ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.
17. Por error un profesor borró la calificación que obtuvo uno de sus diez alumnos. Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, ¿qué calificación borró el profesor?
* DESARROLLO Aplicando la definición de media tendremos: X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x ---------------------------------------------------------10 Como: 605 + x X = 67 = ----------10 Luego : 605 + x = 670 ,
Entonces : x = 75
18. Los siguientes datos son el número de minutos que en 15 días laborales una persona tiene que esperar el autobús que la llevará a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9, 2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuéntrese : (a)
la media
(b) la
mediana
* DESARROLLO Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17
(a) La media :
1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120 X = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 8 15 15
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) La mediana:
Como son 15 datos la mediana estará en el lugar ( 15+1 ) / 2 = 8° LUGAR en este caso, Me = 9
19. En relación con el ejercicio anterior, calculese2 cuando: s (a)
la fórmula que define s2
(b) la
fórmula de cálculo para 2s
* DESARROLLO ( 1 - 8 ) 2 + ( 2 - 8 )2 + ………….. + ( 17 - 8 ) 2 (a) S 2 = -------------------------------------------------------------- = 15 49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328 S2 = ------------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 21.87 15 15
1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (b) S2 = -----------------------------------------------------------------------------------------------15
(8)2 --
S2 = 85.87 - 64 = 21.87
20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura máxima diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102, 98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de 85 y crítiquese la afirmación de que, en Hermosillo, la temperatura máxima diaria promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.
* DESARROLLO Hallamos la media de la temperatura máxima en Hermosillo:
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020 X = ------------------------------------------------------------------------------ = ---------- = 85°F 12 12 * Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 °F es confortable, que quiere decir que una temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.
21. En relación con al ejercicio anterior, calcúlese la media y la mediana de los datos de producción diaria de un pozo de petróleo.
* DESARROLLO (a) Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226,
243
Calculando la media: n = 16 198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243 X = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16
3391 X = ---------- = 211.94 16
(b) Como son 16 datos la mediana será :
Lugar
16 ------ = 8 ° LUGAR 2
8° + 9° 208 + 208 Me = -------------- = -------------- = 208 2 2
22. Con respecto al ejercicio anterior, encuéntrese la desviación estándar del flujo máximo anual del rio.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Ordenando los datos tenemos: 267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612 En primer lugar hallamos la media :
267 + 288 + 295 + 317 + 335 + 370 + 383 + 391 + 405 + 419 + 434 + 462 + 508 + 540 + 612 X = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15
X = 401.73 n S 2 = (267 - X )2 + ( 288 - X)2 + ( 295 - X)2 + …………….. + ( 612 - X )
2
nS2 = 18152.17 + 12934.51 + 11391.29 + 7179.17 + 4452.89 + 1006.79 + 350.81 + 115.13 + 10.69 + 298.25 + 1041.35 + 3632.47 + 11293.31 +19118.59 + 44213.47
nS2 = 135,190.89
135,190.89 = ---------------- = 9,012.726
S2
S = 94.935
15
23. Para las cuatro observaciones 9, 7 15 y 5, (a) (b)
calcúlese las desviaciones (xi – x) y compruébese que sumen cero; calcúlese la varianza y la desviación estándar
Sean X1 = 9 X2 = 7 X3 = 15 X4 = 5
* DESARROLLO (a) Calculamos las desviaciones, respetando el signo :
∑ (Xi
- X) = ( 9 - 9 ) + ( 7 - 9 ) + ( 15 - 9 ) + ( 5 - 9 ) = 0 - 2 + 6 - 4 = 0
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) Calculamos la Varianza:
( 9 - 9 )2 + ( 7 - 9 ) 2 + ( 15 - 9 )2 + ( 5 - 9 )2 ∑ (Xi - X)2 S2 = ----------------- = ----------------------------------------------------- = 14 n
4
24.En relación con el ejercicio, calcúlese X y S.
* DESARROLLO Los datos son los siguientes :
166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150 X = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15
2334 X = --------- = 155.6 15 Para hallar la desviación estandar, hallamos S2 (166 - X )2 + ( 141 - X )2 + ………………+ ( 150 - X ) 2 ∑ (Xi - X)2 S2 = ----------------- = -----------------------------------------------------------------------n 15 nS2 =108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 + 556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36
n S2=2 847.6 S2= ( 2847.6 ) / 15 =189.84 entonces: S= 13.78
25.calcular la media y la varianza de lasresistencias a la ruptura.
* DESARROLLO Para hallar la media y variancia de estosdatos agrupados: INTERVALO
Xi’
fi
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 15.0-19.9 20.0-24.9 25.0-29.9 30.0-34.9 35.0-39.9
17.45 22.45 27.45 32.45 37.45
3 15 24 12 6 60
La media se hallaria: (17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + …………………….. + ( 37.45 x 6 ) 1662 X = ------------- ----------------------------------------------------------------------- = -------- = 27.7 60 60
La variancia se hallaria: ( 17.452 x 3 ) + ….. + ( 37.452 x 6 ) [ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]2 S2 = ------------------------------------------- - ------------------------------------------60 - 1 60 ( 60 - 1 ) S2 = 26.63
26. Empléese la distribución obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y la desviación estándar de los tiempos de ignición. Determínese también el coeficiente de variación.
* DESARROLLO En la tabla tenemos 80 datos; por lotanto emplearemos k= 1 + 3.3 log (n)
k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28
7
Xmax = 12.80 Xmin = 1.20
RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6 INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I
INTERVALOS fi 1.20-2.89 20
Xi’ 2.05
2.90 4.60--4.59 6.29 6.30-7.99 8.00-9.69 9.70-11.39 11.40-13.09
3.75 5.45 7.15 8.85 10.55 12.25
16 18 14 7 3 2 80
Hallamos la media :
( 20 x 2.5 ) + (16 x 3.75 ) + …………….+ (2 x 12.25) X = ----------------------------------------------------------------------- = 5.21 80 80 ( 2825.75 ) - ( 417.30 )2 S2 = -------------------------------------- = 8.21 80.79 entonces S = 2.86
Hallemos : Coeficiente de Variación : (S / X) x 100% 2.86 C.V. = ---------- x 100 % = 54.89 % 5.21
27. Utilícese la distribución obtenida en el ejercicio,para determinar el coeficiente de variación de los datos de productividad.
Copiamos fielmente la distribución del ejercicio: INTERVALO 29-20 24.5 39 30 34.5 49 40 44.5 59 50 54.5 69 60 64.5 79 70 74.5
Xi’
fi 4 13 18 25 20 14
Fi 4 17 35 60 80 94
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
hi 0.04 0.13 0.18 0.25 0.20 0.14
Hi 0.04 0.17 0.35 0.60 0.80 0.94
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 89 80 -
84.5
6
100
0.06
100
1.00 1.00
Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviación estandar :
X=
S2 =
( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ……………..+ ( 6 x 84.5 ) ---------------------------------------------------------------------------- = 55.5 100 100 x ( 331,525 ) - (5550)2 ---------------------------------------- = 237.37 100 x 99
entonces : S = 15.41
15.41 C.V. = ----------- x 100 % = 27.77 55.5
28.
En tres años recientes, el precio del cobre fue de 69.6 , 66.8 y de 66.3
centavos por libra, y el precio del carbón bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de 22.40 dólares por tonelada corta. ¿Cuál de estos dos conjuntos de precios es relativamente más variable?
Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3 Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40
* DESARROLLO Comparemos los C.V. de las dos medidas :
69.6 + 66.8 + 66.3 X1 = ---------------------------- = 67.57 3 19.43 + 19.82 + 22.40 X2 = --------------------------------- = 20.55
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3 S12 =
( 69.6 - 67.57 )2 + ( 66.8 - 67.57 ) 2 + ( 66.3 - 67.57 ) 2 = 6.3267 3
------------------------------------------------------------------------------------------
S1 = 2.52 ( 19.43 - 20.55 )2 + ( 19.82 - 20.55 )2 + ( 22.40 - 20.55 )2 S22 = -------------------------------------------------------------------------- = 1.7366 3 S2 = 1.32
Hallando C.V. para cada uno de ellos
2.52 C.V1 = ------------ x 100 % = 3.73 % 67.57 1.32 C.V2 = ------------ x 100 % = 6.42 %
Para el cobre
Para el carbón
20.55
29. Para calcular la mediana de una distribución obtenida de n observaciones, primero se detrmina la clase en que la mediana debe caer. Después en la fracción (n/2)-k/j de dicho intervalo, y para obtener la mediana se multiplica esta fracción por el intervalo de clase y se suma el resultado a la frontera de clase más pequeña de la clase en la que la mediana deba caer. Este método se basa en la suposición de que las observaciones en cada clase se “dispersan uniformemente” a través del intervalode clase; a ello se debe que contamos n/2 observaciones en lugar de n+1/2. A manera de ejemplo, se hace referencia a la distribución de los datos de la emisión del óxido de azufre. Puesto que n=80, puede verse que la mediana debe estar en la clase 17.0 - 20.09 y como j=25, k =27, se sigue que la mediana es 16.95+(40-27)/25 * 4 = 19.03 (a)
Encuéntrese la mediana de la distribución de los datos sobre ausentismo.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) Utilicese la distribución obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de las resistencias a la ruptura agrupadas. (c)
Con la distribución obtenida en el ejercicio 3 encuéntrese la mediana de los tiempos de ignición agrupados.
* DESARROLLO (a) INTERVALO 8.9 5.0 3 9.0 12.9 13.0 16.9 17.020.9 21.024.9 25.0 28.9 29.0 32.9 -
Fi
Fi 3
10 14 25 17 9
13 27 52 69 78
2
80
Clase mediana
j = 25 k = 27 TIC = 4 40 - 27 Me = 17 + 4 [ -------------- ] = 19.08 25
(b)Copiamos la tabla de frecuencias INTERVALO Fi 15.0 19.9 3 20.024.9 15 25.0-29.9 24 30.034.9 12 35.0 39.9 6 60
Fi 3 18 42 54 60
Clase Mediana
n = 60 / 2 = 30 j = 24 k = 18
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I TIC = 5 Luego :
30 -18 = 27.5 Me = 25 + 5 [ ----------] 24
( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3 INTERVALOS Fi 1.20 2.89 20 2.90 4.59 16 4.60 6.29 18 6.30 7.99 14 8.00 9.69 7 9.70 11.39 3 11.40 13.09 2
Fi 20 36 54 68 75 78 80
Clase Mediana
n = 80 n / 2 = 40 j = 18 k = 36 Xi = 4.60 TIC = 1.70
40 - 36 Me = 4.60 + 1.70 [ --------------] = 4.98 18
30.Para cada una de las siguientes distribuciones decídase si es posible calcular la media y/o mediana. Explíquense las respuestas.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) GRADOS 49 – 40 5 –59 50 60 –69 –79 70 –89 80
Fi
Fi 5
18 27 15 6
23 50 65 71
Clase Mediana
71
n = 71 n / 2 = 35. 5 TIC = 10 Xi = 60 k =23 j =27
35.5 - 23 Me = 60 + 10 [ ----------------] = 64.63 27
(b)
90
INTERVALOS fi < 3 99–90 14 100 109 22 119 110 19 119 > 7 65
Fi 3 17 39 58 65
Clase Mediana
n = 65 n / 2 = 32.5 TIC = 10 Xi = 100 k = 17 j = 22
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 32.5 - 17 Me = 100 + 10 [ ----------------] = 107.05 22
31 El supervisor de un grupo de 20 obreros pide la opinión de dos de ellos(seleccionados al azar) sobre las nuevas disposiciones de seguridad en la construcción. Si 12 están a favor de las nuevas disposiciones y los ocho restantes en contra. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos trabajadores elegidos por el supervisor estén en contra de las nuevas dispociones ? .
* DESARROLLO Soponiendo probabilidades iguales para cada elección de dos de ellos (seleccionados al azar), la probabilidad de que el primer obrero seleccionado esté en contra de las nuevas disposiciones de seguridad es 8/20, y la probabilidad de que el segundo obrero se pronuncie contra las nuevas disposiciones, dado que el primero opinó en contra de ellas, es 7/19. Por consiguiente, la probabilidad buscada es 8/20 * 7/19 = 14/95.
32 ¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos veces el mismo lado en dos lanzaminetos de una moneda balanceada ?.
* DESARROLLO En vista de que la probabilidad de que caiga un lado es 1/2 en cada lanzamineto y los dos son independientes, la probabilidad es 1/2 * 1/2 = 1/4.
33 Dos caras se extraen al zar de un paquete ordinario de 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos ases si la primera carta es reemplazada antes de extraer la segunda ?.
* DESARROLLO Dado que hay cuatro ases entre las 52 cartas, obtenemos 4/52 * 4/52 = 1/169.
34 Sea A el evento que consiste en que la materia prima está disponible y B el evento que consiste en que el tiempo de maquinado es menor que una hra. Si p(A) = 0.8 y p(B) = 0.7, asigna una probabilidad al evento A ∩ B.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO P(A ∩ B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.
35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, ¿ Cuál es laprobabilidad de no obtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.
* DESARROLLO La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.
36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de los autos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple su cometido una vez cada 20 autos; Tomás quien atiende el 60% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, no cumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de los autos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de que su parabrisas no fue lavado, ¿ Cuál es la probabilidad de que su auto lo haya atendido Juan ?.
* DESARROLLO (0.20)(0.05) P(B1\ A) = --------------------------------------------------------------------- -----(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05)
P(B1\ A) = 0.114.
37 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se puede ganar $8 cuando una modela balanceada case del lado A ?.
* DESARROLLO La probabilidad del lado A es 1/2 y la esperanza matemática es 8* 1/2 = $4.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 38 ¿ Cuál es la esperanza matemática si se compra 1 entre 1000 boletos prar una rifa con un premio de $500 ?. * DESARROLLO La probabilidad de ganar el premio es de 1/1000 y la esperanza matemática es 500* 1/1000 = $0.50
39. ¿ Cuántos números pares de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6 y 9, si cada uno de llos pude utilizarse sólo una vez ?.
* DESARROLLO Dado que el número debe ser par, se tienen únicamente n1 = 2 posibilidades para la posición de las unidades. Para cad una de estas últimas se tienen n2 = 4 posibilidades para la posición de las centenas y entoces n3 = 3 posibilidades para la posición de las decenas. Por lo tanto se pueden formar un total de n1 n2 n3 = (2)(4)(3) = 24 números pares de tres dígitos.
40. Se sacan dos boletos de la lotería, entre 20 posibles, para el primero y el segundo premios. Encuéntrese el número de puntos muestrales en el espacio S.
* DESARROLLO El número total de puntos muestrales es: 20! P = ------------ = 380.
20 2
(20 – 2)!
41. ¿ En cuántas formas puede una sucursal local de la American Chemical Society progrmar a 3 conferencias en 3 diferentes congresos, si los primeros están disponibles en cualquier de 5 fechas posibles ?.
* DESARROLLO El numero total de programadores posibles es:
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 5! P = ------------ = 60. (5 – 3)!
5 3
42. ¿ en cuántas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y 2 azules en un árbol de navidad con 9 receptáculos ?.
* DESARROLLO El número total de arreglos diferentes es: 9! ----------- = 1260 3! 4! 2!
43.¿ En cuántas formas diferentes pueden siete científicos acomodarse en una habitación triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.
* DESARROLLO El número total de particiones posibles sería: 7! ---------- = 210 3! 2! 2!
44. Encuéntrese el número de cómites que pueden formarse con 4 químicos y 3 físicos y comprendan 2 químicos y 1 físico.
* DESARROLLO El numero de formas de seleccionar 2 químicos de 4 posibles es:
4! C2 = ------------ = 60. 2! 2!
4
El número de formas de seleccionar 1 físico de 3 posibles es:
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 3! C1 = ------------ = 60. 2! 1!
3
Al utilizar la regla de la multiplicación se forman (6)(3) = 18 comités con 2 químicos y 1 físico.
45. La probabilidad de que Paula apruebe matemáticas es de 2/3 y la de que apruebe inglés es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de ¼, ¿ Cuál es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.
* DESARROLLO P(M ∪ E) = P(M) + P(E) – P(M = 2/3 + 4/9 – 1/4 = 31/36.
∩ E)
46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automóvil, seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23 ¿ Cuál es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automóvil en uno de esos colores ?.
* DESARROLLO P(G ∪ W ∪ R ∪ B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B) = 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23 = 0.68
47. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados ?.
* DESARROLLO P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I = 1/6 + 1/18 = 2/9
48. La probabilidad de que un vuelo de programación regular despeque a tiempo es P(D)a = 0.83; P(D la de tiempo eslaP(A) = 0.82; yde la que de que despeque y llegue tiempo ∩que A) =llegue 0.78. aEncuentre probabilidad un avión llegue a tiempo dado que despegó a tiempo.
* DESARROLLO La probabilidad de que el avión llegue a la hora prevista dado que partió a tiempo es: P(D ∩ A) P(A \ D) = ----------------P(D) = 0.78 / 0.83 = 0.94.
49. La probabilidad quellegue un vuelo de programación regular a tiempoy es P(D) = 0.83; la dedeque a tiempo es P(A) = 0.82; y la despeque de que despeque llegue a tiempo P(D ∩ A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avión despegue a tiempo dado que llegó a tiempo.
* DESARROLLO La probabilidad de que el salga a la hora prevista dado que llegó a tiempo es: P(D ∩ A) P(D \ A) = ----------------P(A) = 0.78 / 0.82 = 0.95.
50. Un par de dados se lanza dos veces. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener totales de 7 y 11 ?.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Sea A 1, A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primer lanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es la probabilidad de la unión de los eventos excluyentes A 1 ∩ B2 y B1 ∩ A2; Por lo tanto: P[(A1
B2)
∩
(B1
∪
∩
A2)] = P(A1 B2) + P(B1 A2) = 1/6 * ∩ 1/18 + 1/18 * ∩ 1/6 = 1/54.
51. ¿ Cuántas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabra CASACAS ?.
* DESARROLLO Vemos que se tienen una permutación donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2 veces). Luego: n=7elementos; n c= 2C; nA= 3ª; nS= 2S Se logra: 7! r
P =------------ = 210 palabras 2! 3! 2!
52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. ¿ De cuántas maneras se puede hacer esta selección ?.
* DESARROLLO Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3 48! C3 = --------------- = 17296 combinaciones 3!(48-3)! 48
53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Pude elegir el idioma de 5 maneras y, por cada una de ellas, hay 4 formas de elegir la asignatura. Por lo tanto pude hacerlo de 5*4 = 20 maneras
54. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios no se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO El primer premio se puede reaprtir de 10 formas diferentes y, una vez concedido, el segundo se puede repartir de 9 formas, ya que ambos no se pueden conceder a la misma persona. Por lo tanto, se puede hacer de 10* 9 = 90 formas distintas.
55. ¿ De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas sabiendo que ambos premios se pueden conceder a una misma persona ?.
* DESARROLLO El primer premio se puede repartir de 10 formas diferentes y el segundo de otras 10, ya que amos se pueden conceder a la misma persona. Por lo tanto, se puede hacer de 10* 10 = 100 formas distintas.
56. ¿ De cuántas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones ?.
* DESARROLLO Cada una de las 5 cartas se pueden introducir en cualquiera de los tres buzones. En consecuencia, se puede efectuar de 3* 3 * 3 * 3 * 3 = 243 maneras.
57. Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. ¿ De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres puestos ?.
* DESARROLLO Un presidente se puede elegir de 4, un vicepresidente de 6 y un secretario de 2 formas distintas.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I En consecuencia, se podrán ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.
58. ¿ De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?.
* DESARROLLO La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrán colocar de 5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.
59. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?.
* DESARROLLO Número de formas = número de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.
60. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estás ocupen los lugares pares ?.
* DESARROLLO Los hombres se pueden situar de P 5 maneras y las mujeres de P 4 formas. Cada una de las colocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres. Luego se podrá efectuar de P5 * P4 = 120 * 24 = 2880 maneras.
61. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.
* DESARROLLO Como un cuadro en cuestión debe situa rse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlos en la fila. Por lo tanto, se puden hacer de P 6= 6! = 720 maneras.
62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debe estar en uno de los extremos.
* DESARROLLO
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P maneras.
6
En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P 6 = 1 440 maneras.
63.¿ De cuántas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estantería de forma que 3 de ellos estén siempre juntos ?.
* DESARROLLO Los libros en cuestión se pueden colocar, entre ellos, de P3 formas. Como los libros han de estar siempre juntos, se puede considerar como uno solo. Así, pues, es como si tuviéramos 7 libros, el anterior más los 6 restantes, y éstos se pueden colocar de P7 formas. Por lo tanto, se puede hacer de P3 * P 7 = 3! * 7! = 30 240 formas.
64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estén siempre juntos.
* DESARROLLO El número de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantería, sin poner condición alguna, es de 9! = 362 880 maneras .
65. Sobre una estantería se tiene que colocar 6 libros distintos de biología, 5 de química y 2 de física, de forma que los de cada materia estén juntos. Hallar el número de formas en que se puede hacer.
* DESARROLLO
Los libros de biología se pueden disponer entre sí de 6! maneras, los de química de 5!, los de física 2! Y los tres grupos de 3! maneras. Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.
66. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse.
* DESARROLLO Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifras pueden ser uno cualquiera de los 10 dígitos. Números formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 número.
67. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos deestos números empienza por 40 ?.
* DESARROLLO Las dos primeras cifras están formadas por el número 40. Las otras tres pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Números formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 números.
68. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son pares ?.
* DESARROLLO La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y la última uno de 5 números, 0, 2, 4, 6, 8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Números pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 números.
69. Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dígitos pudiendo éstos repetirse. ¿ Cuántos son divisibles po 5 ?.
* DESARROLLO La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dígitos, y la última pueden ser 2 números, el 0 y el 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dígitos. Números divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 números.
70. ¿ Cuántos números comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar con los 7 dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada número ?.
* DESARROLLO
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Como los números comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarán de 4 cifras. La primera puede ser el 3 o el 4. Los seis dígitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3 maneras. Números formados = 2 * 6P3 = 240 números.
71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1diccionario y se colocan en una estantería de forma que el diccionario esté en el medio. Hallar el número de formas en que esto se puede llevar a cabo.
* DESARROLLO Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el número de variaciones de 11 novelas tomadas de 4 en 4 es 11P4 . Por lo tanto, se puede hacer 3 * 11P4 = 23 760 formas.
72. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez.
* DESARROLLO La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 “o”, 2 “r” y 5 diferentes. 10! Número de palabras = --------- = 302 400. 3! 2!
73. Hallar el número de palabras que se pueden formar con las letras de la palabra COOPERADOR tomadas todas a la vez. ¿ Cuántas de estas palabras tienen juntan las tres “o” y cuantas empiezan por los dos “r” ?.
* DESARROLLO (a) Considerando los tres “o” como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son “r”. 8! Número de palabras = ------ = 20 160 2!
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (b) El número de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay tres “o”, es 8! / 3! = 6 720.
74. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea más de una vez.
* DESARROLLO Número de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5 = 8P5 = 6 720 palabras.
75. Del problema anterior nos piden el número de palabras diferentes si cada letra se puede repetir(no necesitan tener significado)
* DESARROLLO Número de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.
76. Hallar los números que se pueden formar con los 4 de los 5 dígitos 1, 2, 3, 4, 5. Si éstos no se pueden repetir en cada número.
* DESARROLLO Números formados = 5P4 = 5 * 4 * 3 * 2 = 120 números.
77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería ?.
* DESARROLLO Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno está repetido 3 veces. 12! Número de formas3!= 3!--------------= 369 600 3! 3!
78. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Supongamos que una de ellas se sienta en un lugar cualquiera. Las 4 personas restantes se pueden sentar de 4! Formas. Por lo tanto, hay 4! = 24 maneras de disponer a 5 personas alrededor de una mesa circular.
79. ¿ De cuántas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de forma que dos de ellas estén siempre juntas ?.
* DESARROLLO Consideremos a las personas dterminadas como una sola, Como hay 21 maneras de disponer a 2 personas entre sí y 6! Formas de colocar a 7 personas alrededor de una mesa circular, el número pedido será = 2! 6! = 1 440.
80. ¿ De cuántas maneras se pueden colocar 4 hombres y 4 mujeres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer esté entre dos hombres ?.
* DESARROLLO Supongamos, en primer lugar, que se sientan los hombres. Estos se pueden colocar de 3! maneras distintas y las mujeres 4! formas. Por lo tanto, el número pedido es = 3! * 4! = 144.
81. ¿ Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores distintos ?.
* DESARROLLO El número de formas en que se pueden disponer las cuentas en las cuentas en la pulsera es igual a 8!, sin embargo, la mitad se deduce de otra mitad girando la pulsera. Por lo tanto, se pueden formar 1/2(8!) = 20 160 pulseras diferentes.
82. ¿ Cuántos grupos de 4 alumno se puede formar con 17 alumnos aventajados para representar a un colegio en un concurso de preguntas de matemáticas ?.
* DESARROLLO Números de grupos = números de combinaciones de 17 alumnos tomados de 4 en 4.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 17 * 16 * 15 * 14 C4= -------------------------- = 2 380 grupos de 4 alumnos 1*2*3*4
17
83. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?. * DESARROLLO Números de formas = números de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5. 8*7*6 C5= 8C3= ----------------- = 56 formas. 1*2*3
8
84. ¿ De cuántas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, de manera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.
* DESARROLLO En una9.de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3 y Bcada recibe Por lo tanto, el número de formas es = 2 * 12C9 = 2 * 12C3 = 440 formas.
85. Determinar el número de triángulos diferentes que se pueden formar uniendo los sies vértices de un éxagono.
* DESARROLLO Número de triángulos = números de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3. 6*5*4 C3 = ------------- = 20 triángulos. 1*2*3
6
86. ¿ Cuántos ángulos menores de 180° forman 12 semirectas que se cortan en un punto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongación de cualquiera de las otras ?.
* DESARROLLO Número de ángulos = número de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 12* 11 C2 = ----------- = 66 ángulos 1*2
12
87. ¿ Cuántas diagonales tiene un octagono ?. * DESARROLLO Número de rectas = número de combinaciones de 8 puntos tomados de 2 en 2 = 8C2 = 28. Como 8 de estas 28 rectas son los lados del octágono, el número de diagonales = 20.
88. ¿ Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 7 rectas paralelas por otro sistema de 4 rectas paralelas ?.
* DESARROLLO Cada una de las combinaciones de 4 rectas tomadas de 2 en 2 forman un paralelogramo al cortar a cada una de las combinaciones de 7 rectas tomadas de 2 en 2. Número de pralelogramos = 4C2 * 7C2 = 126 paralelogramos.
89. ¿ Cuántas grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos ?.
* DESARROLLO
Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos de los 5. Por lo tanto, el número de grupos es = 6C4 * 5C3 = 150.
90. ¿ Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con 8 consonantes y 4 vocales, de manera que cada una conste de3 consonantes y 2 vocales ?.
* DESARROLLO Las # consonantes distintas se pueden elegir de 8C3 maneras, las 2 vocales de 4C2 formas y las 5 letras sistintas (3 consonantes y 2 vocales) se pueden disponer entre ellas de P 5 = 5! Formas.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por lo tanto, el número de palabras es = 8C3 * 4C2 * 5! = 40 320.
91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bola al zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.
* DESARROLLO casos favorables (3 bolas rojas) p= ------------------------------------------------ = 1/3 casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)
92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y sea blanca.
* DESARROLLO (a) p = 1 – 1/3 = 2/3. (b) p = 2/9.
93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p” de que las dos sean blancas y que las dos sean negras.
* DESARROLLO (a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4 (b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24
94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad “p” de que una sea blanca y otra negra.
* DESARROLLO La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra 4/6 * 5/6 = 5/12.
La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca 2/6 * 3/6 = 1/8.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por lo tanto la probabilidad pedida es: 5/12 + 1/8 = 13/24.
95. La posibilidades que tiene una persona de que le toque un premio de 50 000 pts son de 23 contra 2. Hallar su esperanza matemática.
* DESARROLLO Esperanza = probabilidad de que le toque * valor del premio = 2/25 * 50 000 = 4 000 pts.
96. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números impares ?.
* DESARROLLO Hay 5 números impares y 4 números pares. C2
5
p = -------- = 5/18 9
C2
97. En una caja hay 9 bolas numeradas del 1 al 9. Si se extraen dos al azar, ¿ cuál es la probabilidad “p” de obtener dos números pares ?.
* DESARROLLO Hay 5 números impares y 4 números pares.
C2
4
p = ---------- = 1/6 9C2
98. La probabilidad de que cierta persona viva 25 años más es de 3/7 y la probabilidad de que viva su 25 años más es 4/5. Hallar la probabilidad de que, dentro de 25 años vivan los dos.
* DESARROLLO La probabilidad de que vivan los dos es 3/7 * 4/5 = 12 /35.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 99. Once libros, de los cuales 5 son de ingeniería, 4 de matemáticas y 2 de química, se coloca al zaar en una estantería. Hallar la probabilidad “p” de que los libros de cad materia estén todos juntos. * DESARROLLO Cuando los libros de cada materia estén juntos los de ingeniería se pueden disponer de 5! maneras, los de matemáticas de 4!, los de química de 2! y los tres grupos de 3! maneras distintas.
casos favorables (5! 4! 3! 2!) p= ---------------------------------------- = 1/1155 casos posibles (11!)
100. Hallar la probabilidad p de que de los 5 hijos de una familia haya por lo menos 2 niños y 1 niña. Se supone que la probabilidad de nacer niño o niña es 1/2.
* DESARROLLO Los tres casos favorables son 2 niños, 3 niñas; 3 niños, 3 niñas; 4 niños, 1 niña. p= (1/2)5 (5C2 + 5C3 + 5C4) = 25/32
101. Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un exámen de Estadistica general.
33 , 35 , 35 , 39 , 41 , 41 , 42 , 45 , 47 , 48 50 , 52 , 53 , 54 , 55 , 55 , 57 , 59 , 60 , 60 61 , 64 , 65 , 65 , 65 , 66 , 66 , 66 , 67 , 68 69 80 ,, 71 81 ,, 73 84 ,, 73 85 ,, 74 85 ,, 74 88 ,, 76 89 ,, 77 91 ,, 77 94 ,, 78 97
Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de la misma amplitud y construir los gráficos respectivos.
* DESARROLLO Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I a) Rango =R=97-33=64
b) K=1+3.22 log(50)= 1+3.22(1.699)=6.47 redondeando al entero inmediato mayor se tiene k=7 (Si usamos k=√n , tenemos k=√50= 7)
c) Amplitud de clase =C=R/k=64/7=9,14 Aproximando 9,14 a un entero mayor tenemos C=10
Para facilitar el conteo de las frecuencias ,tomaremos como el limite de la primera clase igual a 30. Así, la tabla de distribución de frecuencias sera :
CLASES Marcadeclase [30 , 40> 35 [40 , 50> 45 [50 , 60> 55 [60 , 70> 65 [70 , 80> 75 [80 , 90> 85 [90 , 100> 95
fi 4 6 8 13 9 7 3
TOTAL
Fi
50
Histograma y poligono de frecuencia:
0.0260 0.0280
0.0080
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
4 10 18 31 40 47 50
hi 0.08 0.12 0.16 0.26 0.18 0.14 0.06
1
Hi
0.18 0.20 0.36 0.62 0.80 0.94 1
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 0.0040 0.0020 30 40 50 60 70 80 90 100
50 47 40 31 18 10 4
30
40
50
60
70
80
90 100
102. Dada la siguiente distribución de empresas según el número de empleados se pide :
a) Determinarel porcentaje de empresas que tiene número de empleados entre 50 y 90 . b) Determinar el porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
Número de empleados [0,10>
Frecuencia(fi) 5
[10.20> [20,30> [30,40> [40,60> [60,80> [80,100> [100,140> [140,180> [180,260>
20 35 40 50 30 20 20 15 15
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 250
TOTAL
* DESARROLLO Haciendo la distribución de frecuencias tenemos: Numero de empleados [0,10> [10,20> [20,30> [30,40> [40,60> [60,80> [80,100> [100,140> [140,180> [180,260>
fi
5 20 35 40 50 30 20 20 15 15
TOTAL
250
Amplitud Ci 10 10 10 10 20 20 20 40 40 80 -
hi
0.02 0.08 0.14 0.16 0.20 0.12 0.08 0.08 0.06 0.06
Densidad (hi/ci) 0.0020 0.0080 0.0140 0.0160 0.0100 0.0060 0.0040 0.0020 0.0015 0.0008
100*hi%
2% 8% 14% 16% 20% 12% 8% 8% 6% 6%
100%
-
a) Para obtener una mejor aproximación del porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90, se usa la interpolación de la siguiente manera.
40
50 60
80
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
90 100
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 20%
12%
8%
Sea P el porcentaje de empresas que tienen número de empleados entre 50 y 90 entonces.
P=(60-50)/(60-40).20% + 12% + (90-80)/100-80).8% P=10% + 12% + 4% =26% Por tanto el 26% de empresas tienen número de empleados entre 50 y 90.
b) De igual forma que en el caso anterior tenemos:
0
10
2%
20
8%
30 35 40
14%
16%
p1=Porcentaje de empresas con número de empleados inferior a 35.
= 2% + 8% + 14% + [(35-30)/(40-30)].16% = 24% + 8% = 32% Luego, el 32% de empresas tienen número de empleados inferiora 35.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 103. Una determinada especie de animales mamíferos tiene en cada cría un número variable de hijos .Se observa durante un año la cría de 35 familias, anotandose el número de hijos obtenido por las familias en dicha cría . Numero de
Numero de
hi
10h x0i
Hi
hijos
familias fi
xi 0
2
0.0571
5.71%
0.0571
1
3
0.0857
8.57%
0.1428
2
10
0.2857
28.57%
0.4285
3
10
0.2857
28.57%
0.7142
4
5
0.1429
14.29%
0.8571
6
5
0.1429
14.29%
1
TOTAL
35
1
100%
Hallar la función de distribución acumulada de esta tabla y trazar su grafica.
* DESARROLLO Tenemos:
0.0000 ,
si x [4,6> [6,8> [8,10> [10,12>
fi 5 10 14 8 3
TOTAL
40
X= n
Marcasdeclase 3 5 7 9 11
Fi.xi 15 50 98 72 33
268
Σ fi.xi
4
= 268
= 6.7
El
ingreso
promedio del grupo de 40 familias es de S/. 6.7
105. En una empresa donde los salarios tienen una media de S/.100,000 el sindicato solicita que cada salario X, se transforme en Y, mediante la siguiente relación:
Y=2.5X+100
El directorio acoge parcialmente la petición rebajando los salarios propuestos por el sindicato en un 10%, lo que es aceptado.Se pide calcular la media aritmética de la nueva distribución de salarios.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Tenemos
X=100,000 Si y = 2.5X+100
Y=
2.5X + 100 = 2.5(100,000) + 100 = 250,100
Por tanto el salario que solicita el sindicato es Y =250,100
El salario propuesto por el directorio es:
Z = Y – 10% Y =0.9Y
Z= 0.9 Y= (0.9)(250,100) = 225,090
Luego la media de la nueva distribución de salarios es 225,090.
106. Calcular la media de la siguiente distribución de frecuencias. Alturas cm N° plantas
60
62
64
65
66
1
1
1
1
22
67
68
70
51
71 12
72
73
76
1
1
* DESARROLLO Tomando el srcen de trabajo igual a 68 tenemos: xi 60 62 64 65 66 67
fi 1 1 1 1 2 2
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
di -8 -6 -4 -3 -2 -1
fi.di -8 -6 -4 -3 -4 -2
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 68 69 70 71 72 73 76
5 1 1 2 1 1 1
TOTAL
20
0 1 2 3 4 5 8
-27/26 1 2 6 4 5 8 -1
di = xi - 68 X = srcen +
Σfidi n
= 68 + (-1/20) = 67.95
∴ X = 67.95 cm 107. Una distribución frecuencias notash3dey h5 estudiantes Matemática I; presentadelas frecuenciassobre relativas borrosas de .Si Estadística, se sabe que la media fue de 7.9. Determinar la mediana de la distribución :
Notasdeestudiantes
N°deestudiantes Frecuencia relativa (hi)
[0.5 , 2.5> [2.5 , 4.5> [4.5 , 6.5> [6.5 , 8.5> [8.5 , 10.5> [10.5 , 12.5> [12.5 , 14.5>
0.02 0.10
114 ó más
0
Solución:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
0.16 0.10 0.02
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Usando la formula para la media (X) en términos de las frescuencias relativa tenemos: K
X=
K
Σ
Σ
hi.xi = 7.9 , donde
i=1
hi =1
i=1
Completando la distribución de frecuencias se tiene: Clases [0.5 , 2.5> [2,5 , 4.5> [4.5 , 6.5> [6.5 , 8.5> [8.5 , 10.5> [10.5 , 12.5> [12.5 , 14.5> 14.5 o más
hi 0.02 0.10 h3 0.16 h5 0.10 0.02 0 1
Marca declasx ei 1.5 3.5 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 -
hi.xi
hi
0.03 0.35 5.5h3 1.20 9.5h5 1.15 0.27 -
TOTAL Luego tenemos :
Σ
hi = 1
0.02 + 0.10 + h3 + 0.16 + h3 + 0.10 + 0.02 = 1 h3 + h5 =0.60 (4)
k
Σ
hi.xi =7.9 0.03 + 5.5h3 + 1.20 + 9.5 h5 + 1.15 + 0.27 = 79
i=1
5.5h3 + 9.5h5 = 4.9
(5)
Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos h3 = 0.2
y
h5 = 0.4
Reemplazando los datos en la fórmula X= l med + (1/2 – H k-1) Cmed (H k -H k-1)
tenemos:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
0.02 0.12 0.32 0.48 0.88 0.98 1 -
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I X = 8.5 + [(1/23+0.48)/(0.88-0.48)].2 =8.5 +0.10 = 8.6 108. Dada la siguiente distribución, determinar los cuartiles Q1 y Q3.
Intervalos de clase Fi
[6,16>
[16,26>
[26,36>
[36,46>
[46,56>
8
20
25
10
5
* DESARROLLO Determinando las frecuencias acumuladas tenemos:
Clases [6,16>
fi 8
Fi 8
[16,26>
20
28
clase que contiene a Q1
[26,36>
25
53
clase que contiene a Q3
[36,46>
10
63
[46,56> TOTAL
5 68=n
68
Primer paso.-
Segundo paso.-
n/4 = 64/4 =17 vo ; 3N/4=51vo
Por las frecuencias acumuladas identificamos las clases que
contienen a Q1 y Q3.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Como F1= 8< n/4 = 17
Fi 5
Fi hi Hi ------------------ ------------------ ------------------
[18,21>
------------------ ------------------ 0.5875
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
------------------
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[21,24>
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I ------------------ ------------------ ------------------ 0.925
[24,27>
------------------ ------------------ ------------------ ------------------
[27,30>
------------------ ------------------ 0.0375
TOTAL
80
------------------
Se pide:
a) Completar la tabla.
b) Interpretar f3,f4,h2 y H4.
c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.
d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.
* DESARROLLO
a) Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Clases [15,18>
fi 5
Fi 5
hi 0.0625
Hi 0.0625
[18,21>
47
52
0.5875
0.65
[21,24>
22
74
0.275
0.925
[24,27>
3
77
0.0375
0.9625 clase que contiene a Q3
[27,30>
3
80
0.0375
1
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
clase
que contiene a Q1
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I TOTAL
80=n
b) f 3 = 22: Hay 22 estudiantes en la muestra que tienen entre 21 años y menos de 24 años. F4 =77: Hay 77 estudiantes que tienen menos de 27 años. h2 =0.5875: 58.75% de estudiantes tienen edades mayores o iguales a 18 años y menos de 21 años. H4 =0.9625 : 96.25% de los estudiantes tienen menos de 27 años.
c) En este caso debemos calcular el primer cuartil (Q 1). Aplicando la formula tenemos: Q1=18 + [(20-5)/(52-5)].3 = 18 + 0.957 = 18.957
Por tanto la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes es 18.957.
d) La edad que supera a las edades de 75% de los estudiantes , corresponde al valor del tercer cuartil.Aplicando la fórmula se tiene:
Q3 = 21 + [(60-52)/(74-52)].3 = 21 + 1.091 = 22.091
Luego la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes es 22.091.
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 110. Determinar el 4to decil y el 72vo percentil de la siguiente distribución de frecuencias.
Intervalos [40,50>
fi 8
8
Fi
[50,60>
20
28
[60,70>
30
58 Clase de D4
[70,80>
40
98 Clase de P72
[80,90>
10
108
[90,100> TOTAL
2 110
110
* DESARROLLO
Calculo de D4
Calculo de P72
1er paso: i.n = 4 × 110 = 44
i.n = 72 × 110 = 79.2
10
100
10
100
2do paso: Se identifica la clase de D 4 y P72 por medio de la columna de las frecuencias acumuladas ,esto es:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I F2 = 28< 44 < 58 =F3
y
F3= 58 < 79.2
N°deempleados 94
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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[30,50>
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 140
[50,70>
160
[70,90>
98
[90,100>
8
La planificación optima de la empresa exige que el 65% sean administrativos, el 20% jefes de sección,el 10% jefes de departamento y
el 5% inspectores según sea la puntuación obtenida. Se pide calcular la puntuación máxima para ser administrativo, jefe de sección y jefe de departamento.
* DESARROLLO Según los datos tenemos : Porcentaje
Porcentaje acumulado
Administrativos...................................... 65%.............................65% Jefe de sección........................................ 20%.............................85% Jefe de departamento.............................. 10%.............................95% Inspectores.............................................. 5%...............................100%
Por tanto, tendremos que hallar los percentiles 65 , 85 , y 95.
Los calculos que necesitamos son:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Clases [0,30>
fi 94
Fi 94
[30,50>
140
234
[50,70> [70,90>
160 98
394 492
[90,100>
8
P95
P65 Clase de P85 Clase de
y
500 500
TOTAL
1er Paso:
Para P65 :
i.n = 65(500) = 325 100
Para P85 :
i.n = 85(500) = 425 100
Para P95 :
100
100
i.n = 95(500) 100
= 475|
100
2do paso : Aplicando las formulas correspondientes tenemos:
65(500) - 234 P65 = 50 +
100
.20 = 50 + 11.37 = 61.37
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 394 – 234 85(500) - 394 P85 = 70+
100
.20 = 70 + 16.53 = 86.53
492 – 394
Por tanto la puntuación máxima para ser administrativo es 61.37, para jefe de sección 76.33 y para jefe de departamento es 86.53.
112. Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de hidroxiprolina absorbidos por un gramo de masa intestinal analizados en distintos pacientes:
Mgr hidroxiprolina 77.3 Número de pacientes 3
61.2 82.4 10 15
75.9 13
61 8
70.2 5
65 2
Se pide: a) ¿Cuantos pacientes fueron examinados? b) Calcular la media geométrica de la distribución. c) ¿Cuál es la moda?
* DESARROLLO
Σ
a) el número de pacientes examinados es: n =
fi =56
i=1
b) Para obtener la media geométrica conviene hacer los cálculos en la siguiente
tabla:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Xi 61
fi 8
lxoig 1.785
61.2 65
10 2
1.787 1.813
17.8700 3.6260
70.2
5
1.846
9.2300
75.9
13
1.880
24.4400
77.3
3
1.888
5.6640
82.4 TOTAL
15 56
1.916 12.915
28.7400 103.8500
Aplicando la formula respectiva tenemos :
7
Σ log10 G =
fi log10 xi = 103.8500 =1.8545
i=1
n
56
Luego: G= Antilog(1.8545) =71.5
c) La moda para esta distribución es:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
lxofig i
14.2800
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I X = Mo = 82.4
113. La siguiente distribución muestra las notas finales en probabilidad y estadistica, obtenida por 50 estudiantes de la Facultad de Ingeniería Industrial de la Universidad San Martín de Porres.
Intervalos N° de
[0,2> 1
[2,4> 2
[4,6> 2
[6,8> 3
[8,10> 6
[10,12> 12
[12,14> 10
estudiantes
[18,20] 2
Hallar la desviación media con respecto a la media aritmética.
* DESARROLLO Completando la distribución de frecuencias tenemos:
Intervalos de clase
fi
Marca de clase fi .xi (xi)
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
|xi - x|
fi |xi – x|
[14,16> 8
[16,18> 4
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[0.2>
1
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 1 1 10.6 10.6
[2,4>
2
3
6
8.6
17.2
[4,6>
2
5
10
6.6
13.2
[6,8>
3
7
21
4.6
13.8
[8,10>
6
9
54
2.6
15.6
[10,12>
12
11
132
0.6
7.2
[12,14>
10
13
130
1.4
14.0
[14,16>
8
15
120
3.4
27.2
[16,18>
4
17
68
5.4
21.6
[18,20>
2
19
38
7.4
14.8
TOTAL
50
580
155.2
Se tiene:
x=
Σf xi 2
= 11.6
;
D(x) = 155.2 = 3.104
n
50
M
114. Calcular la varianza y la desviación estándar y la desviación estandar de la siguiente distribución muestral.
xi fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
* DESARROLLO Completando la distribución de frecuencias temnemos:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I
fi..xi²
Xi
fi
fi.xi
5
2
10
7
3
21
147
8
5
40
320
9
4
36
324
11
2
22
242
TOTAL
16
129
1083
Aplicando las formulas respectivas se tiene : k
Σ X =
fi.xi
129 = 8.1 16
S² = 1/5 [1083 – 1049.76]= 1/15[33.24] = 2.22
Entonces
S = 1.49
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
50
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 116. Los pesos en gramos (aproximados hasta 0.01 gramos) de 70 comprimidos fabricados automáticamente por una máquina están representados en la siguiente tabla.
Intervalos [1.475 , 1.525>
Frecuenciasacumuladas(fi) 1
[1.525 , 1.575>
4
[1.575 , 1.625>
12
[1.625 , 1.675>
26
[1.675 , 1.725>
49
[1.725 , 1.775>
61
[1.775 , 1.825> [1.825 , 1.875>
68 69
[1.875 , 1.925>
69
[1.925 , 1.975>
70
Se pide:
a) Calcular la media. b) Calcular la desviación estándar. c) Calcular el porcentaje de productos entre X=1.55 y X + 1.55
* DESARROLLO Sean
O = 1.7 (marca de clase del intervalo con más alta frecuencia9
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I ui = (Xi – O)/c , C = 0.05
Para tener todos los cálculos ordenados es conveniente formar la siguiente tabla:
Intervalos
fi
Marca d e ui
fi. ui
fi. ui²
[1.475 , 1.525>
1
clase 1.5
-4
-4
16
[1.525 , 1.575>
3
1.55
-3
-9
27
[1.575 , 1.625>
8
1.6
-2
-16
32
[1.625 , 1.675>
14
1.65
-1
-14
14
[1.675 , 1.725>
23
1.7
0
0
0
[1.725 , 1.775> [1.775 , 1.825>
12 7
1.75 1.8
1 2
12 14
12 28
[1.825 , 1.875>
1
1.85
3
3
9
[1.875 , 1.925>
0
1.9
4
0
0
[1.925 , 1.975>
1
1.95
5
5
25
TOTAL
70
-9
163
Sustituyendo los totales de columnas en las fórmulas tenemos: a) X = O + C
b) S² = C ²
Σf .u /n i
[
i
= 1.7 + 0.05(-9/70) = 1.6936
Σ fi.ui – n(U) ² ]
n-1
= (0.05) ² 69}
= 0.005864
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
[ 163- 70(-9/70) ²]
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Luego : S= √(0.005864) = 0.07658
c) Calculo de X – 1.5S y X + 1.5S
X = 1.5S = 1.6936 – 1.5(0.07658) = 1.57873 X = 1.5S = 1.6936 + 1.5(0.07658) = 1.80847
Par calcular el porcentaje de productos que tiene sus pesos entre 1.57873 y 1.80847 y primero interpolamos de la siguiente manera :
1.575
1.625
1.675
1.725
1.775
1.57873
8
1.825 1.80847
14
23
12
7
Sea N= número de productos que tienen sus pesos entre X – 1.5S y X + 1.5S Entonces : N = 1.625-1.57873 *8 + 14 + 23 + 12 + 1.808447 – 1.775 .7 = 61 0.05
0.05
Por tanto, el porcentaje de productos que tienen sus pesos entre X = 1.55 y X+ 1.5S es:
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P = 61
× 100 = 87.143 %
70
117. En una clinica Infantil se han ido anotando, durante un mes, el número de metros que el niño anda, seguido y sin caerse, el primer día que comienza a caminar.Obteniéndose así la tabla de Información adjunta.
Número de
2
6
10
niños Número de
12345678
5
10
3
2
2
metros
Se pide: a) Momentos respecto al srcen de primero, segundo y tercer orden. b) Momentos centrales de orden primero y tercero.
* DESARROLLO Para hallar los momentos hacemos los cálculos en la siguiente tabla:
Xi
fi
fi.xi
fi.xi²
fi.xi³
fi(xi–x)
fi(xi–x) ³
1
2
2
2
2
-6.10
-56.745
2
6
12
24
48
-12.30
-51.690
3
10
30
90
270
-10.50
-11.576
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 20 80 320 -0.25
4
5
5
10
50
250
1,250
9.50
8.573
6
3
18
108
648
5.85
22.244
7
2
14
98
686
5.90
51.344
8
2
16
128
1,024
7.90
123.259
TOTA
40
162
780
4,248
0
85.41
L
Sustituyendo los totales de las columnas en las fórmulas tenemos:
a) Momentos con respecto al srcen:
Σf .x ²
M1 =
i
i
= 162/40 = 4.05
n M2 =
Σf .x ² i
i
= 780/40 = 19.5
n
M3 =
Σf .x ³ i
i
= 4,248/40 = 106.2
n
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
-0.001
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) Momentos respecto a la media
Σf xi – x)
M1 =
i(
= 0/40 = 0
n
M1 =
Σf (xi – X) i
= 85.41/40 = 2.135
n
118. ¿ De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una banca, con capacidad para 5 personas ?
* DESARROLLO Como n =8 y K=5 , el número total de maneras diferentes que pueden sentarse 8 peronas en una banca , con capacidad para 5 personas es:
8
A
5
=
8! (8-5)!
= 8! = 8(7)(6)(5)(4) = 6720 3!
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 119. Un omnibus parte de su paradero inicial con 6 personas a bordo y se detiene en 10 paraderos diferentes .¿De cuántas maneras pueden bajar las 6 personas en los 10 paraderos , si en un paradero pueden bajar cualquier numero de personas?
* DESARROLLO La primera persona puede bajar en cualquiera de los 10 paraderos, la segunda lo mismo y la sexta de igual forma, entonces el número total de ma neras es:
10
( AR)6 = 106 = 1’000,000
119. Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunión de padres de familia y profesores de un colegio.¿ El moderador del programa desea saber de cuántas maneras diferentes se pueden situar en el escenario los 6 conferencistas en fila?
Solución: El numero total de maneras de situar los 6 conferencistas en fila en el
escenario es:
P6 = 6! = 720
120. En una sección de Matematica I hay 6 hombres y 4 mujeres .Cuando un examen se realiza los estudiantes son listados de acuerdo al puntaje obtenido
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (mayor a menor). Supongamos además que ningún estudiante obtiene el mismo puntaje.
a)¿ Cuántos listados diferentes se deben hacer? b) Si los hombres son ordenados entre ellos mismos y las mujeres entre ellas mismas, ¿Cuántos listados diferentes se deben hacer?
* DESARROLLO a) El número total de lisrados diferentes es:
P10 =10! = 3’628,800
b) Como los hombres pueden ordenarse entre ellos mismos de P = 6! = 720 maneras y las mujeres entre ellas mismas de P = 4! = 24 maneras .Entonces el número de listados pedido será: (6!)(4!) = 17,280
121. El señor Edwin Meza tiene 6 libros diferentes de Matemática, 2 de Estadística y 4 de Química y desea colocarlos en un estante.
a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si los libros de cada materia deben estar juntos? b) ¿De cuántas maneras diferentes pueden colocarse, si solo los libros de química deben estar juntos.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO a) Los libros de Matemática pueden ordenarse de P = 6! maneras, los libros de Estadistica de Estadística de P = 2! maneras, los libros de Química de P= 4! maneras y los 3 grupos de libros de P = 3! = 6 maneras. Por tanto el número total de ordenaciones pedido es:
(6!)(2!)(4!)(3!) = 207,360
b) Considerando los libros de Química como un solo libro, tenemos 9 libros que pueden ordenarse de P = 9! maneras. En todos los grupos los libros de Química están juntos, pero pueden ordenarse entre ellos de P = 4! = 24 maneras. Entonces el número total de ordenaciones pedido es:
(9!)(4!) = 8’709,120
122.¿De cuantas formas pueden sentarse los 12 miembros del consejo de facultad de la facultad de Ingenieria Industrial alrededor de una mesa circular si: a) Pueden sentarse de cualquier forma, b) dos miembros determinados deben estar uno al lado del otro?
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I a) Considerando uno de los miembros sentado en cualquier parte alrededor de la mesa, entonces los 11 miembros restantes, pueden sentarse de P11 =11! maneras. Luego, el número total de maneras distintas que pueden sentarse los 12 miembros alrededor de la mesa es: P11 = 11! = 39?916,800
b) Considerando las dos personas que han de ir juntas como una sola. Entonces hay 11 personas para sentarse en círculo que lo pueden hacer de 10! maneras. Las dos personas consideradas como una sola pueden a su vez ordenarse entre sí de 2! maneras. Por tanto, el número de ordenaciones de 12 miembros del consejo de facultad alrededor de una mesa circular con 2 miembros determinados sentados juntos es:
(10!)(2!) = 3’628,800.
123. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar usando las letras MEMMER?
* DESARROLLO Tenemos: n= 6 letras ; n1= 3 letras M ; n2 =2 letras E y n3 = 1 letras R. Entonces, hay
P6 3,2,1 =
6!
= 60 permutaciones distintas de las letras MEMER.
3! 2! 1!
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 125. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 4 rojas y 4 negras en una fila, si las bolas de igual color no se
distiguen entre sí?
* DESARROLLO Se pueden ordenar de P11 3,4,4 =
11!
= 11,550 maneras distintas.
3! 4! 4!
126. Un tubo de televisor se puede adquirir en 7 fabricadas ¿De cuántas maneras se pueden escoger 4 de las siete fábricas?
* DESARROLLO El número total de maneras de escoger 4 fabricas de 7 es 7
C2 =
7! 4!.3!
= 7 6 5=
35
6
128. ¿De cuántas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6 objetos respectivamente?
* DESARROLLO Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 objetos son iguales y los otros 6 también son iguales entre sí. 10
C4 = 10!/(4!×6!) = (10×9×8×7)/4! = 210
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 129. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un
comite de 2
matemáticos y 3 físicos .¿De cuántas formas puede formarse, si (a) puede pertenecer a él cualquier matemático y físico, (b) un físico determinado debe pertenecer al comité, (c) dos matemáticos determinados no pueden estar en el comité?
* DESARROLLO Solución:
(a) matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas. 3 físicos de un total de 7 pueden elegirse de 7C3 formas Número total de seleccionados posibles =5C2×7C3 = 10×35 = 350
(b)2 matemáticos de un total de 5 pueden elegirse de 5C2 formas. 2 físicos restantes de un total de 6 pueden elegirse de6C2 formas Número total de selecciones posibles =5C2×6C2 = 10×15 = 150
(c) 2 matemáticos de un total de 3 pueden elegirse de 3C2 formas. 3 físicos de un total de 7 dan7C3 formas. Número total de selecciones posibles =3C2×7C3 = 3×35 = 105.
130. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de fisica y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si (a) los libros de cada asignatura deben estar todos juntos, (b) solamente los libros de matemática deben estar juntos?
* DESARROLLO Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) los libros de matemáticas pueden ordenarse entre ellos de4P4 = 4! formas los libros de física 6P6 = 3! formas. Entonces el número de ordenaciones pedido será = 4!×6!×2!×3! = 207 360
(b) Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9P9 =9! formas. En todos estos casos los libros de mátematicas están juntos. Pero los libros de matemática pueden ordenarse entre ellos de 4P4 = 4! formas. Entonces el número de ordenaciones pedido será = 9!×4! = 8’709,120
132. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?
* DESARROLLO Multiplicando N por por 5!2!3!, se obtiene el número de ordenaciones de 10 bolas si todas ellas fuesen distintas, esdecir, 10! Entonces
(5!2!3!)N = 10! y N = 10!/(5!2!3!)
133. Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a) 4 ases , (b) 4 ases y un rey, (c) 3 dieces y 2 jotas, (d) un 9, 10, jota, reina, rey en cualquier orden, (e) 3 de un palo y 2 de otro, (f) al menos 1 as.
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) P(4 ases) = [(4C4)(48C1)]/52C5 ] = 1/54 145 (b) P(4 ases y 1 rey) = (4C4)(4C1)/52C5 = 1/649 740 (c ) P(3 dieces y 2 jotas) = (4C3)(4C2)/52C5 = 1/108 290 (d) P(nueve, diez, jota, reina, rey) = 4(C1)(4C2)(4C1)(4C1)(4C1)/52C5 = 64/162 435 (e) P(3 de un palo, 2 de otro) = [(4×13C3)(3×13C2)]/52C5 = 429/4165 puesto que hay 4 formas de escoger el primer palo y 3 formas de escoger el segundo. (f) p(ningún as) =48C5/52C 5 = 35 673/54 145.
Luego P(al menos un as) = 1- (35 673)/54 145 = 18 472/54 145
135. Determinar la probabilidad de tres seis en 5 lanzamientos de un dado honrado.
* DESARROLLO Represéntense los lanzamientos del dado por cinco espaciós---------.Cada espacio tendrá los sucesos 6 o no 6(6’). Por ejemplo, tres 6 y dos no 6 pueden ocurrir como 666’66’ ó 66’66´6, etc.
Así la probabilidad del resultado 666’66’ es
P(666’66’) = P(6)P(6)P(6’)P(6)P(6’) = (1/6)×(1/6)×(5/6)×(1/6)×(5/6) = (1/6)3(5/6)2
Puesto que suponemos que los sucesos son independientes. Análogamente P= (1/6)3(5/6)2
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I para todos los otros resultados en los cuales ocurren tres 6 y dos no 6. Pero hay 5
C3 =10 de estos sucesos y son mutuamente excluyentes. Por tanto la probabilidad
pedida es P(666’ ó 66’66’6 ó ....) = 5C3(1/6)3(5/6)2 = 5!/(3!2!)(1/6)3(5/6)2 = 125/3888
136. Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen dos bolas sucesivamente de la caja sin reemplazamiento y se observa que la segunda es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?
* DESARROLLO
P(B1/B2) = [P(B13B2)]/P(B2) = [(4/9)(3/8)]/(4/9) = 3/8 137. Las probabilidades de que un esposoy una esposa estén vivos dentro de 20 años están dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la probabilidad de que en 20 años (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos uno viva.
* DESARROLLO Sean T, M los sucesos que el esposo y la esposa , respectivamente, estén vivos en 20 años. Entonces P(T) =0.8 , P(M) = 0.9. Suponemos que T y M con sucesos independientes, lo cual puede ser o no razonable. (a) P(ambos viven) = P(T3M) = P(T)P(M) = (0.8)(0.9) = 0.72 (b) P(ninguno viva) = P(T’3M’) = P(T’)P(M’) = (0.2)(0.1) = 0.02 (c) P(a1 menos uno viva) = 1-P(ninguno viva) = 1 – 0.02 = 0.98
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 138. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.
* DESARROLLO Las 4 consonantes pueden elegirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formas y las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de 7P7 = 7! formas.
Entonces: El número de palabras es 7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000 140. A y B juegan lanzando alternativamente un par de dados. Quien obtenga primero un total de 7 gana el juego. Hallar la probabilidad de que (a) quien lanza primero los dados gane, (b) quien lanza segundo los dados gane.
* DESARROLLO a) La probabilidad de obtener 7 en un solo lanzamiento de una pareja de dados, supuestamente honrados, es 1/6. Si suponemos que A es el primero en lanzar entonces funcionará en cualquieera de los casos siguientes mutuamente excluyentes con las probabilidades asociadas indicadas:
(1) A gana en el 1er. lanzamiento. Probabilidad = 1/6.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (2) A pierde en el 1er lanzamiento, luego pierde B, luego gana A . Probabilidad = (5/6)(5/6)(1/6). (3) A pierde en el 1er. lanzamiento, pierde B, pierde A, pierde B, gana A.
Probabilidad = (5/6) (5/6) (5/6) (5/6) (1/6)
Así la probabilidad de que A gane es (1/6)+(5/6)(5/6)(1/6) + (5/6) (5/6) (6/5) (5/6) (1/6) + ...... = 1/6[1 + (5/6)2 + (5/6)4 +.....] = (1/6)/[1-(5/6)2] = 6/11 2 donde hemos utilizado el resultado 6 del Apéndice A con x = (5/6)
b) Análogamente la probabilidad de que B gane el juego es:
(5/6) (1/6) + (5/6) (5/6) (5/6) (1/6) + .....= (5/6) (1/6)[ [1 + (5/6) 2 + (5/6)4 +.....] = [5/36]/[1 – (5/6)2] = 5/11
Así iríamos 6 a 5 a que el primero que lance gane. Nótese que la probabilidad de un empate es cero ya que (6/11) + (5/11) = 1 Esto sería verdadero se el juego fuera limitado.
141. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si (a) pueden sentarse de cualquier forma, (b) si dos personas determinadas no deben estar una al lado de la otra?
* DESARROLLO
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (a) Considérese una de ellas sentada en cualquier parte. Entonces las 6 restantes pueden sentarse de 6! = 720 formas, que es el total de casos que se dan en la ordenación de 7 personas en un círculo.
(b) Considérense las dos personas que no han de ir juntas como una sola. Entonces hay 6 personas para sentarse en circulo, que lo pueden hacer de 5! formas. Pero las dos personas consideradas como una sola pueden ordenarse entre sí de 2! formas. Así pues, el número de ordenaciones de 6 personas sentadas alrededor de una mesa con 2 determinadas de ellas sentadas juntas es de 5!×2! = 240.} Entonces, mediante (a), se tiene el número total de formas en que 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa, de modo que dos de ellas no estén sentadas juntas es 720 – 240 = 480 formas.
142. Hallar la probabilidad de obtener al menos un 4 en dos lanzamientos de un dado honrado.
* DESARROLLO Sea A1 = suceso “4 en el primer lanzamiento” y A 2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento” y A2 = suceso “4 en el segundo lanzamiento”. A14 A2 = suceso “4 en el primer lanzamiento o 4 en el segundo lanzamiento o ambos” = suceso 2 al menos un 4” Los sucesos A1 y A2 son mutuamente excluyentes, pero son independientes. Por tanto, por (10) y (21) P(A14 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A13A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2)
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I = 1/6 + 1/6 – (1/6)(1/6) = 11/36
143. ¿Cuántos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres y 7 mujeres?
* DESARROLLO Como hay 5C2 posibles grupos de 2 hombres y 5C3 posibles grupos de 3 mujeres, entonces hay:
5 4 7 6 5 21321
= 350 posibles grupos de 2 hombres y 3 mujeres
144. De un conjunto de 8 hombres y 7 mujeres.¿ Cuantos comités de 10 miembros se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?
* DESARROLLO Las condiciones del problema se cumple si el comité consta de:
(a) 5 hombres y 5 mujeres, que se pueden seleccionar de C(8 a 5)
C(7 a 5) maneras .
(b) 4 hombres y 6 mujeres, que se pueden elegir de C( 8 a 4) × (7 a 6) maneras (c) 3 hombres y 7 mujeres, que se pueden elegir de (8Ca 3) ×C (7 a 7) maneras y cada una de estas elecciones son mutuamente excluyentes. Por tanto, aplicando el principio de adición, el número total de comités posibles es
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I [8!/( 5! ×3!)] × [7!/(5!×2!)] + [8!/(4! × 4!)] × [7!/(6!)] + [8!/(3! ×5!)] ×[7!/(7!)] = 1,722
145. Supongase que el entrenador de la selección peruana de Voley desea formar su alineación compuesta de 4 jugadoras veteranas y 2 juveniles, ¿Cuántas alineaciones puede formar con 6 veteranas y 6 juveniles, si todas ellas pueden jugar en cualquier posición?
* DESARROLLO Como hay para hacer de 6 a 4 combinaciones posibles para hallar grupos de 4 veteranas y combinaciones de 6 a 2 para los posibles grupos de juveniles, entonces un
6
6
equipo se puede seleccionar de C4 × C2
maneras. Por tanto el número total de
posibles alineaciones es :
[6!/(4!×2!)] × [6!/(2!×4!)] × 6! = 162,000
146. Cada pieza de un dominó es marcado por dos números. Las piezas son simétricas de modo que el par de números no es ordenado. ¿Cuántas piezas diferentes de dominó pueden construirse usando los números 1,2,......,n?
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO Como cada pieza del domino se puede marcar con dos números repetidos, entonces el número total de piezas de dominó que se pueden construir es
(n+2-1)! = (n-1)!2!
n(n+1) 2
147. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 11 jugadores de fútbol en una fila de modo que el arquero y el defensa central, en particular, no quede uno al lado del otro?
* DESARROLLO Tenemos
10 jugadores sin el arquero. Estos se pueden ordenar de 10! maneras
diferentes. En cada ordenación de 10 jugadores, el arquero puede en 9 lugares diferentes sin estar al lado del defensa central. Entonces la solución seria:
9×10! = 32’659,200
149. Un muchacho tiene 4 monedas cada una de distinto valor ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cuatro monedas?
* DESARROLLO El muchacho puede formar grupos de una moneda, grupos de 2, grupos de 3 y grupos de 4. Entonces, el número total de sumas diferentes de dinero que puede formar el muchacho es
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I [4!/(1! ×3!)]+[4!/(3! ×1!)]+[4!/(4!×0!) =15 = 2 4 – 1 En general, para cualquier número entero positivo n se tiene n
n
n
C1 + C2 +...........+ C n = 2n - 1
150. De cuantas maneras diferentes se pueden izar cinco banderas de colores diferentes en 8 mástiles colocados en fila, si se pueden izar cualquier número de ellas en cada mástil?
* DESARROLLO La primera bandera puede ser izada en cualquiera de los 8 mastiles. Entonces este mastil queda dividido en dos partes y por tanto, existen ahora 8+1=9 posiciones posibles para la tercera bandera y así sucesivamente. Así, el número total de maneras diferentes de izar las banderas es
8(9)(10)(11)(12) = 95,040
151. Tres muchachas María, Magna y Maritza, compiten en un concurso de belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y segundo lugar.
(a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento. “Elegir a las dos ganadoras” .
(b) Defina como subconjuntos, los eventos: A: María gana el concurso de belleza
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: María gana el segundo lugar C: Maritza y Magna ganan los premios
* DESARROLLO a) El espacio muestral asociado a este experimento es
Ω = {(María, Magna), (María, Maritza),(Magna, María), (Magna, Maritza), (Maritza, Magna) , (Maritza, María)]}
b) Los eventos son los subconjuntos A: {(María, Magna), (María, Maritza)} B: {(Maritza, maria), (Magna, María)} C: {(Magna, Maritza), (Maritza, Magna)}
152. Un experimento consiste en lanzar 2 dados y observar los números aparecen en las caras superiores. a) Liste los elementos del espacio muestral Ω b) Liste los elementos del evento a: la suma de los números es 5 c) Listte los elementos del evento B: la suma de los números es 12 d) Liste los elementos del evento C: el producto de los números es 24 e) Liste los elementos del evento d: la suma de los números es divisible por 7.
* DESARROLLO a) el espacio muestral asociado a este experimento es:
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que
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
Ω=
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
los eventos pedidos son: b) A = { (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) } c) B = { (6,6) } d) C ={ (6, 4), (4,6) } e) D ={ (1,6), (6,1), (3,4), (4,3) }
153. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el número que parece en la cara superior sean los eventos. A: Observar un número impar B: Observar un número mayor o igual a 4.
Liste los elementos del evento A B
* DESARROLLO Tenemos:
Ω = { 1,2,3,4,5,6} A = { 1,3,5} ,
B:{4,5,6}
Entonces la unión de estos eventos es A B = { el número que resulta es impar o es mayor o igual a 4} = {1,3,4,5,6}
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 154. En el Hipodromo de Monterrico, 4 caballos A,B,C y D compiten en una carrera; A tiene 2 veces más probabilidad de ganar que B , B tiene 2 veces ás probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces más probabilidad de ganar que D.
a) ¿Cuáles son las probabilidades de victoria de cada uno de los caballos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que B o C gané?
* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es
Ω = { gana A, gana B, gana C, gana D} Es claro que para describir este experimento no usaremos el modelo equiprobable. Sean los eventos
ω1 : gana el caballo A ω2
: gana el caballo B
ω3
: gana el caballo C
ω4
: gana el caballo D
a) Supongamos que P( ω4) = P, entonces tenemos: i) P(ω3) = 2P(ω4) = 2P, P(ω2) = 2P(ω3) = 4P y P(ω1) = 2P(ω2) = 8p ii) ω1 4ω3 4ω4 = Ω y ωi 3 ωj = ∅ , i ≠j , i, j = 1,2,3,4 Luego aplicando el axioma 2 y 3 se tiene
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P(ω1 4ω2
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 4ω4) = P(Ω) = 1
P(ω1) + P(ω2) + P(ω3) + P(ω4) = 1 8p + 4p + 2p + p =1
De donde se obtiene p =
1 15
por tanto, tenemos: P(ω1) = 8/15 , P(ω2) = 4/15 , P(ω3) = 2/15 , P(ω4) = 1/15 b) En este caso tenemos P(ω2
4ω3) = P(ω2) + p(ω3) = (4/15) + (2/15) + (6/15)
156. Una caja contiene 24 focos de luz de los cuales 4 son defectuosos. Si una persona extrae 10 focos de la caja al azar, y una segunda persona toma el resto de los 14 focos . ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 focos defectuosos sea obtenidos por la misma persona?
* DESARROLLO Tomando combinaciones
C6
20
y
20
C10 sobre todas las opciones posibles que
viene a ser 24C10. 20
C6 +
C10.
24
20
C10
=
20!/(6!×14!) + 20!/(10!×10!) 24!/(10!×14!)
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
=
2.94624
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 157. Supongamos que un comité de 12 personas es seleccionado al azar de un grupo de 100 personas .Determine la probabilidad de que 2 personas A y B en particular sean seleccionadas.
* DESARROLLO 98
C10 C12
100
= 98!/(10!×88!) 100!/(12!×88!)
158. Dado 20 personas .¿Cuál es la probabilidad de que entre los 12 meses del año hay 4 meses que contienen cada uno 2 cumpleaños y 4 meses que contienen cada uno 3 cumpleaños?
* DESARROLLO
C4 × 8C4 [20!/(2!4×3!4)] = [12!/(4!×8!)]×[8!/(4!×4!)]×[20!/(2!4×3!4)]
12
(12!)20
(12!)20
159. Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Dos jugadoras A y B retiran las bolas de la urna en forma consecutiva hasta extraer una bola roja. Encontrar la probabilidad de que A seleccione primero a la bola roja.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I * DESARROLLO =
3/10
+
(7×6×3)/(10×9×8)
+
(7×6×5×4×3)/(10×9×8×7×6)
+(7×6×5×4×3×2×3)/(10×9×8×7×6×5×4) = 0.58333 .
160. Una urna A contiene 3 bolas rojas y 3 negras, mientras que la urna B contiene 4 bolas rojas y 6 negras. Si una bola es extraída aleatoriamente de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las bolas sean del mismo color?
* DESARROLLO Tenemos que la probabilidad en la primera urna es de 1/2 para cada color Rpta.
1/2
161. Un closet contiene 10 pares de zapatos. Si 8 zapatos son seleccionados aleatoriamente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no hay ningún par completo en este grupo?
* DESARROLLO (10C8)28 (20C8)
= [10!/(8!×2!)]× 28
= 0.0914503453
[20!/(8!×12!)]
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hay exactamente un par completo? Solución:
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 6 = [10!/(1!×9!)] ×[9!/(6!×4!)] × 26 = 0.106692 10C1×9C6×2 20
C8
20!/(8!×12!)
162. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes. ¿Cuántas palabras pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.
* DESARROLLO Las 4 consonantes pueden elgirse de7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formnas y las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre sí de7C7 = 7! formas. Entonces: El número de palabras es7C4×5C3×7! = 35×10×5040 = 1 764 000
164. En un almacén hay 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos; si se extraen 2 artículos, calcule la probabilidad de que: a) Ambos artículos son defectuosos, b) Ambos artículos no son defectuosos c) por lo menos uno es defectuoso
* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Ω = {(a1, a2)/ ai = artículo defectuoso o no defectuoso i = 1,2} El número total de pares de artículos extraídos de 12 artículos es igual a (12!/(2!×10!))= 66; esto indica que el espacio muestral tiene 66 elementos simples. a) Sea el evento A: los 2 artículos selecciones son defectuosos .El número total de manerasde obtener 2 artículos defectuosos de un total de 4 es (4!/2! ×2!) = 6 , luego A tiene 6 elementos. Por tanto P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos deΩ) = 6/66 =1/11 b) Sea el evento B: los dos artículos seleccionados no son defectuosos. El número de maneras de obtener 2 artículos no defectuosos de un total de 8 es (8!/(2!× 6!)) = 28 , luego B tiene 28 elementos. Entonces P(B) = 28/66 = 14/33 c) Sea el evento C: por lo menos uno de los dos artículos seleccionados es defectuoso.Luego C es el evento complementario de B, esto es, C = BC . Por tanto P(C) = P(BC ) = 1 - P(B) = 1 – (14/33) = (19/33)
165. Consideremos el problema de seleccionar 2 candidatos para un cierto empleo de un grupo de 5 personas, supongamos que los candidatos están clasificados de acuerdo a su competencia como primero en competencia (1), segundo en
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I competencia (2), tercero en competencia (3), cuarto en competencia (4) y quinto en competencia (5). Estas categorias son de hecho desconocido por el empleador. a) Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione al mejor y uno de los dos peores candidatos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleador seleccione uno de los dos mejores candidatos?
* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es el conjunto de paresordenados en la que la primera primera componente denota al primer candidato seleccionado y la segunda componente al segundo candidato, esto es
Ω=
{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}
a) Sea el evento A: “el empleador selecciona el mejor y uno de los peores candidatos “,
luego los eventos simples favorables s A son:
A = {(1,4),(1,5)} Luego, P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos deΩ) = 2/10 =1/5 b) Sea el evento B: “el empleador selecciona al menos uno de los 2 mejores candidatos”. Entonces, los eventos simples favorables a 6son:
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B = {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)} Por tanto P(B) = (número de elementos de B)/(número de elementos deΩ) = 7/10
166. Ocho parejas de casados se encuentran en un salón .Si se escogen 2 personas al azar, hallar la probabilidad de que: a) sean esposos b) una mujer y el otro hombre Si se escogen 4 personas al azar, hallar la probabilidad de que c) se escojan 2 parejas de casados d) ninguna de las personas son casados
* DESARROLLO Podemos escoger una pareja de 16 personas de C2 = 16!/(2!×14!) =120
16
maneras, así el número de elementos del espacio muestral asociado a este experimento es 120.
a) Sea el evento A: pareja seleccionada son esposos. Como hay 8 parejas de casados, entonces el número de elementos del evento A es 8, luego P(A) = 8/120 = 1/15 = 0.067
b) Sea el evento B: pareja seleccionada está compuesta por una mujer y un
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I un hombre, entonces es número de elementos de B es×88 =64 , Luego P(B) = 64/120 =0.533 Podemos escoger 4 personas de 16 de C(16 a 4) =16!/(4!×12!)=1820 maneras, entonces el espacio muestral asociado aeste experimento tiene 1820 eventos simples.
c) Sea el evento C: las 2 parejas seleccionadas son casados, como hay 8 parejas de casados, entonces el número de elementos del evento C es 8
C2 = 8!/(2! ×6!) = 28
Luego, P(C) = 28/1820 = 0.0154
d) Sea el evento D: las 4 personas seleccionadas provienen de 4 parejas diferentes. seleccionar 4 personas que provienen de 4 parejas diferentes , consiste en elegir 4 parejas distintas de los 8 y luego seleccionar una persona de cada una de las 4 parejas seleccionadas.Así, el número total de maneras de escoger 4 personas que provienen de 4 parejas diferentes es: 8!/(4! ×4!) ×2×2×2×2 = 1120 esto es, el número de elementos del evento D es 1120.Luego tenemos : P(D) = 1120/1820 =0.615
167. Tres alumnos A, B y C se matriculan al azar en el curso de Mátematica II que tiene 4 secciones númeradas con 401,402,403, y 404, pudiendo matricularse los 3 alumnos en una misma sección. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matricule en 2 secciones?
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos se matriculan en 2 secciones? * DESARROLLO Como los tres alumnos se pueden matricular en la misma sección, entonces el alumno A puede matricularse en cualquiera de de las 4 secciones , de 4 formas diferentes ; de manera similar el alumno B puede matricularse encualquiera de las 4 secciones, de 4 formas distintas ; el alumno C también puede matricularse en cualquiera de las 4 secciones, igualmente de 4 formas distintas. Luego el número total de maneras en la que los 3 alumnos pueden matricularse en las 4 secciones es: 4×4×4 = 64 Así el número de elementos del espaci muestral asociado a este experimento es 64 a) Sea el evento A: ninguno de los 3 alumnos se matriculanen la sección 404. Decir que ninguno de los 3 alumnos se matriculan en la sección 404 es equivalente a que los 3 alumnos se matriculan en las secciones restantes, y esto se puede hacer de 33 = 27 maneras. Luego P(A)= 27/64 = 0.422 b) Sea el evento B: ninguno de los 3 alumnos se matriculan en 2 secciones. Decir que los alumnos no se matriculan en2 secciones cualesquiera es equivalente a que ellos se matriculan en las 2 secciones restantes que se puede elegir de 6
C(4 a 2) =
y déspues de haber elegido estas secciones, el alumno A puede matricularse en
cualquiera de las 2 secciones elegidas, de 2 maneras distintas ; similarmente el alumno B puede matricularse de 2 maneras distintas y lo mismo el alumno C
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I puede matricularse de 2 maneras distintas. Luego el número total de maneras en la que los 3 alumnos pueden matricularse en las 2 secciones elegidas es 6×23 = 48 Por tanto, P(B) =
48/64 =0.75
169. Un hombre tiene 20 llaves de las cuales, exactamente una abre la cerradura ; él prueba las llaves una en cada vez, escogiendo al azar en cada tentativa una de las llaves que no ha sido probada. Determinar la probabilidad que la llave que abre la cerradura sea escogida en la sexta tentativa.
* DESARROLLO Sea el evento A: el hombre selecciona la llave correcta en la sexta tentativa. Entonces se tiene:
1ra llave no habre la cerradura 2dallavenoabre 3rallavenoabre 4tallavenoabre
19/20 18/19 17/18 16/17
5ta lave no abre 6tallaveabre
15/16 1/15
P(A) = (19/20)× (18/19) × (17/18) × (16/17) × (15/16) × (1/15) = 1/20
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 170. Si Edwin tiene 3 billetes de una loteria que vendió 1,000 billetes y existen 5 premios. ¿Cuál es la probabilidad de que Edwin gane por lo menos un premio?.
* DESARROLLO El experimento consiste en seleccionar 5 billetes premiados de 1,000. Entonces el númerop de elmentos del espacio mestral asociado a este experimento es C(1000 a 5) = 8.2502912 × 1012 Sean los eventos A: Edwin gana por lo menos unpremio AC:Edwin no gana ningún premio
Sí Edwin no gana ningún premio, entonces los 5 billetes premiados se escogerán de
1,000 – 3 = 997 billetes y esto se pude hacer de
C(997 a 5)= 8.1270318× 1012
maneras
C
Luego P(A ) = C(997 a 5)/C(1000 a 5) = 0.985 Por tanto P(A) = 1 – 0.985 = 0.015 171. Cierta familia tiene 3 hijos, y sabemos que al menos deos de ellos son niñas. Suponiendo que los nacimientos de niños y niñas son igualmente probables. y suponiendo además que el sexo del hijo mayor no afecta en ningún modo al sexo del hijo menor, calcule la probabilidad de que la familia tenga 3 niñas.
* DESARROLLO El espacio muestral asociado a este experimento es
Ω = {MMM, MMH, HMM, MHH, HMH, HHM,HHH} donde M= mujer y H= hombre
Sean los eventos A: la familia tiene 3 niñas
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: la familia tiene por lo menos dos niñas Luego los elementos de los eventos A y B son: A={MMM} , B={MMM, MMH,MHM, HMM } , A3B = {MMM} Por lo tanto, la probabilidad condicional de que la familia tenga 3 niñas desde que tiene por lo menos dos niñas será: P(A/B) = P(A3B) P(B)
= 1/8
= 1/4
4/8
172. La siguiente tabla presenta la clasificación de 356 estudiantes que la Universidad de Lima, de acuerdo a su especialidad y precedencia.
Especialidad Ingenieria
Procedencia Limeño(L) Provinciano(P1 ) Extrangero(Q) Total
Administració Economía
Industrial
n
100 20 5 125
40 60 0 100
50 50 1 101
Derecho Total
20 10 0 30
210 140 6 356
Sea el evento E: elegir al azar un estudiante del grupo . a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la facultad Industrial y no sea extranjero? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no pertenezca a la Facultad de Ingenieria Industrial dado que es limeño?
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I c) ¿Cuál es la probabilidad deque el estudiante sea de la Facultad de Economía dado que es provinciano?
* DESARROLLO Sean los eventos I: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Ing. Industrial E: El estudiante elegido pertenece a la Facultad de Economía A: El estudiante elegido pertenece a la facultad de Administración L: El estudiante elegido es limeño P1: El estudiante elegido es proivinciano Q: El estudiante elegido es extranjero
Luego, de acuerdo a la tabla tenemos P(1) = 125/356 , P(E) = 101/356 , P(A) = 100/356 , P(L) = 210/356 P[P1] = 140/356 , P(Q) = 6/356
Por tanto, las probabilidades pedidas son: a) P[IC3 QC ] = 1 – P[(IC 3 QC ) C] =1 – P(I 4Q) = 1 – { P(1) + P(Q) - P(I3 Q) } = 1 – {(125/356) + (6/356) – (5/356)}
b) P[IC/L] = 1 – P[I/L] = 1 – [P(I 3 L)/P(L)] = 1 – 100/356 = 1 – (100/210) = 11/21 = 0.524 210/356 c) P[(E4 A)/P1] = P(E/P1) + P(A/P1) – P[E 3 A/P1] 0
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(E3P1 ) + P(A3P1 ) = 50/140 + 60/140 = 0.785
=
P[P1 ]
P[P1]
173. Uno de los clubes universitarios femeninos está compuesto por las siguientes asociadas : 15 rubias de ojos azules, 8 rubias de ojos castaños , 9 morenas de ojos azules, 12 morenas de ojos castaños , 4 pelirrojas de ojos azules y 2 pelirrojas de ojos castaños. Supongamos que usted ha conseguido una cita con una de las chicas, sin conocerla, y está lloviendo cuando se encuentra usted con ella. Su cabello está completamente cubierto , pero sin embargo sus chispeantes ojos azules le dan la bienvenida ,¿cuál es la probabilidad de que sea rubia?
* DESARROLLO La información contenida en el enunciado de este problema, lo resumimos como sigue: Colordeojos Ojos azules
Rubia 15
Ojos castaños 8 Total
Morena 4
28
12
2
22
21
6
A: la chica es rubia B: la chica es de ojos azules
Luego tenemos P(A/B) = P(A 3 B) P(B)
Total
9
23
Sean los eventos
Pelirroja
= 15/50
= 0.536
28/50
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50
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I
175. Una urna contiene 10 bolas blancas, 5 bolas amarillas y 10 negras. Una bola es extraída al azar de la urna, y luego se observa que no es bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea amarilla?
* DESARROLLO Sean los eventos A: la bola seleccionada es amarilla B: la bola seleccionada es negra. Luego tenemos P(A/BC ) =
P(A3 BC) P(BC )
= P(A)
=
5/25
P(BC )
15/25
=
1 3
177. Una urna contiene 20 bolas idénticas de las cuales 8 son negras 7 rojas y 5 blancas. Se extraen 4 bolas de la urna sin reemplazamiento. Encontrar la probabilidad de que la primera bola es negra, la segunda roja, la tercera blanca y la cuarta negra.
* DESARROLLO Sean los eventos A1: La primera bola seleccionada es negra
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I A2: La segunda bola seleccionada es roja— A3: La tercera bola seleccionada es blanca A4: La cuarta bola seleccionada es negra Entonces se tiene: P(A1 3 A2 3 A3 3 A4) = P(A1) P(A2/A1) P(A2/A1 3 A2) P( A4/A1 3 A2
3 A3)
usando los datos del problema tenemos P(A1) = 8/20, P(A2/A1) = 7/19 , P(A3/A1 3 A2) = 5/18, P(A4/A1 3 A2 3 A3) =7/17 Así la probabilidad requerida es P(A1 3A23 A3 3 A4) = (8/20)(7/19)(5/18)(7/17) = 0.01684
178. María está indecisa con relación a que sí se matricula en el curso de Economía I o el curso de Química I. Aunque ella realmente prefiere matricularse en Química, estima que su probabilidad de aprobar el curso de Economía I es ½, mientras que su probabilidad de aprobar el curso de Química I es 1/3. Si María decide matricularse en uno de estos cursos mediante el lanzamiento de una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que ella apruebe el curso de Química?
* DESARROLLO Sean los eventos A: María se matricula en el curso de Química
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I B: María aprueba el curso de Química Entonces la probabilidad deseada es P(A3B), y se calcula usando el teorema 10 de la siguiente manera: P(A3B) = P(A) P(B/A) = (1/2)(1/3) = 1/6
179. Supongamos que se lanza un dado 5 veces. Determinar la probabilidad de que no aparezca ningún seis en los cinco lanzamientos.
* DESARROLLO Sean los eventos Ei: no aparece seis en el lanzamiento número i , i=1,2,3,4,5. E: no aparece ningún seis en los cinco lanzamientos supongamos que los 5 lanzamientos son independientes unos de otros , esto es, eventos Ei i = 1,2,3,4,5 son independientes . Además E = E1 3 E2 3 E3 Luego tenemos P(E) = P(E1 3 E2 3 E3 3 E4 3 E5) = P(E1).P(E2).....P(E5) = (5/6)5.
180. Sean A, B y C eventos mutuamente independientes tal que
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(A4 B) = 1/12 , P(A4 C) = 1/15 y P(AC3BC3CC) = 2/5 Hallar (A 4B 4C).
* DESARROLLO Como los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes independientes, tambien lo son AC, BC, CC. Luego tenemos a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/12
(1)
b) P(A 3C) = P(A)P(C) = 1/15
(2)
c) 2/5 = P(A C 3 BC 3 CC) = P(AC) P(BC) P(CC) = (1 – P(A))(1 – P(B)(1 – P(C))
=13/12 – P(B) – P(A) – 13/12 P(C) + P(B) P(C) + 1/15 de donde se obtiene P(B) + P(A) + 13/12P(C) – P(B)P(C) =3/4
(3)
Reemplazando P(B) = 1/12P(A)
y
P(C) = 1/(15P(A) en (3) y realizando operaciones se
obtiene: 180[P(A)]3 – 135[P(A)]2 + 28P(A) – 1 = 0 Resolviendo la ecuación de tercer grado en P(A) obtenemos P(A) = 1/3 o P(A) = 0.372 o P(A) = 0.045 Tomando P(A) = 1/3 tenemos P(B) =1/4. P(C) = 1/5 y
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P(A4 B4 C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A3C) – P(B3C) + P(A3B3C) = P(A) + P(B) + P(C) + P(A) P(B) – P(A)P(C) – P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 1/3 + 1/4 + 1/5 –1/12 – 1/15 – 1/20 + 1/60 = 3/5 De la misma manera podemos calcular P(A 4B4C) para los otros valores de P(A).
181. La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es 1/4 y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3 . Hallar la probabilidad de que: a) ambos vivan 10 años más b) al menos uno viva al cabo de 10 años c) ninguno viva al cabo de 10 años d) solamente la esposa viva al cabo de 10 años
* DESARROLLO Sean los eventos A: el hombre vive 10 años más B: la esposa vive 10 años más Los eventos A y B son independientes, pues los años que vive el hombre no depende de lo que viva su esposa. Luego tenemos: a) P(A3B) = P(A)P(B) = 1/4 . 1/3 = 1/12
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I b) P(A 4 B) = P[a1 menos uno viva al cabo de 10 años] = P(A) + P(B) - P(A3B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 1/4 + 1/3 – 1/12 = 1/2 c) P(AC3BC) = P[ de que ninguno viva al cabo de 10años ] = P(AC)P(BC) = 3/4 . 2/3 = 1/2 d) P(AC3B) = P(AC)P(B) = 3/4×1/3×1/4
182. Se conoce que un paciente responde a un tratamiento de una enfermedad con probabilidad 0.8. Si 3 pacientes son tratados en una manera independiente, encontrar la probabilidad que al menos uno responda al tratamiento.
* DESARROLLO Sean los eventos A: al menos uno del los pacientes responde al tratamiento B1: el primer paciente no responde al tratamiento B2: el segundo paciente no responde al tratamiento B3: el tercer paciente no responde al tratamiento AC: ningún paciente responde al tratamiento Entonces se tiene que AC = B1 3 B2 3 B3
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Por tanto. P(A) = 1 – P(B13B23B3) = 1 – P(B1).P(B2).P(B3) = 1- (0.2)3 = 0.992
183. Al observar una linea de servicio de una clinica local vemos que la probabilidad de una nueva llegada para un caso de emergencia es p. Encontrar la probabilidad que el K-ésimo paciente es el primer caso de emergencia(suponga que las condiciones de llegada de pacientes representan eventos independientes).
* DESARROLLO Sean los eventos Ei: el i-ésimo paciente es el primer caso de emergencia, i = 1,2,..... Ai: i-ésimo paciente que llega no corresponde a un caso de emergencia i = 1,2,.... Luego tenemos Ek =A13A2 ..... Ak-13 (cAk) Así la probabilidad requerida es: P(Ek) =P[A13A23.............. 3Ak-13(cAk) = P(A1)P(A2)......P(Ak-1)×P(cAk) = (1 – P)k-1×P
Ingº José Manuel García Pantigozo 2009 - I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA Tomo I de Problemario de Estadística
INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 185. Un experimento consiste en una sucesión infinita de ensayos independientes. Cada ensayo resulta en un éxito con probabilidad p y en un fracaso con probabilidad 1-p. a)¿Cuál es la probabilidad que al menos ocurra un éxito en los primeros n ensayos? b)¿Cuál es la probabilidad de que exactamentek éxitos ocurran en los primeros n ensayos? c)¿Cuál es la probabilidad de que todos los ensayos resulten en éxitos ?
* DESARROLLO
a) A fin de calcular la probabilidad de que al menos ocurra un éxito en los primeros n ensayos, es conveniente primero calcular la probabilidad del evento complementario ,que es, no no ocurre ningún éxito en los primeros n ensayos Sea el evento Fi: ocurre fracaso en el i-ésimo ensayo. A: ocurre al menos un éxito en los primeros n ensayos . Entonces la probabilidad de que ocurra ningún éxito en los primeros n ensayos es P[Fi3F23.......3Fn] = P(F1)....P(Fn) (Por independencia de eventos) = (1 - P)n Luego : P(A) = 1 – P(AC) = 1 – (1 – P)n b) Sea el evento Ei: ocurre éxito en el i – ésimo ensayo.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I Entonces una sucesión particular de los primeros n resultados conteniendo k exitos y n = k fracasos es { Ei......,Ek, Fi, F2....., Fn-k} Por independencia de ensayos, la probabilidad de ocurrencia deesta sucesión es P[E13E23.....3Ek3F13....3Fn-k] = Pk(1-p)n-k Como hay kCn = n!/k!(n-k)! de tales sucesiones, entonces la probabilidad pedida es: P[de exactamente k éxitos en los primeros n ensayos] = n(Ck)Pk(1-p)n-k (c)Por independencia de eventos, la probabilidad de que todos los primeros n ensayos sean éxitos es dado por P[E13.....3En] = Pn Por tanto, la probabilidad pedida P[∞3 i-1 Ei] es dado por
P[ ∞3 i=1 Ei ] = limn∞ P[ n3 i=1 Ei ] = limn∞ pn = =
0
si p 0
* DESARROLLO
por la definición de la probabilidad condicional
P[A/B] +P[A/B]
=
P[A
∩B]
P[B]
=
1
(P[A
+ P[A ∩B] P[B]
∩B]
+ P[A∩B])
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[B]
=
P[B] P[B]
=
1
319. Demostrar que P[A/B] + P[A/B] = 1
* DESARROLLO B
=
(A∩B)
∪ (A∩B)
P[B]
=
P[(A∩B)
∪ (A∩B)]
Ya que A∩b y A∩B son eventos mutuamente excluyentes.
luego:
1
=
P[A∩B] + P[A∩B]
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I P[B]
1
=
P[B]
P[A/B] + P[A/B]
320. Una urna contiene seis bolas negras y cinco blancas; se extraen al azar sucesivamente y con reposición ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola de cada color?
* DESARROLLO A1: “ la primera bola resulto blanca” B1: “la primera bola resulto negra” A2: “la segunda bola resulto blanca”
B2: “la segunda bola resulto negra”
E: “obtener una bola de cada color”
E
=
A1B2 ∪ B1A2
P[E]
=
P[A1B1] ∪ P[B1A2]
=
5 6 +6 5 11 11
=
11 11
60 121
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BIBLIOGRAFIA
1. Estadistica y otras amenidades matemáticas. Jorge Dias Monto.
2. Probabilidades y Estadística. Murray R. Spiegel.
3. Tópicos de Probabilidades. Máximo Mitacc.
4. Estadística para Administración. Wha Young.
5. Probabilidades y Aplicaciones Estadísticas. Paúl Mayer.
6. Estadística para Ingeníeros. Albert Bowver y Gerald Herberman.
7. Estadística y Probabilidad. Garcia Ore.
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INGº JOSÉ MANUEL GARCÍA PANTIGOZO Semestre 2009 – I 8. Estadística Aplicada. Bernard Ostle.
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