ESTADISTICA - Probabilidades

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INDICE UNIDAD ACADÉMICA I

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ESTADÍSTICA – GENERALIDADES Definición de Estadística Clases de Estadística Conceptos Básicos Variable y tipos Regla de Redondeo Notación Científica Cifras Significativas Sumatoria

07 08 08 10 14 15 15 16

UNIDAD ACADÉMICA II

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

ORGANIZACIÓN DE DATOS Y GRÁFICOS Tabla de Frecuencia Clases de Frecuencias Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas Construcción de Intervalos o Reducción de Datos Gráficos Clases de Gráficos Análisis Exploratorio de Datos

19 20 21 21 23 28 28 31

UNIDAD ACADÉMICA III

1. 2. 3. 4.

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (I) La Medida o Promedio Aritmético Mediana La Moda Relación Entre en Promedio Aritmético, Mediana y Moda

37 39 43 47

UNIDAD ACADÉMICA IV

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

MEDIDAS DE POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL (II) Media Geométrica Media Armónica Relaciones Entre los Promedios Cuarteles Deciles Percentiles Aplicación de Cuartiles, Deciles y Percentiles

53 55 56 57 58 58 59

5

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UNIDAD ACADÉMICA V

DISPERSIÓN, ASIMETRÍA Y APUNTAMIENTO 1. Medidas de Dispersión o Variabilidad 2. Rango 3. Desviación Media 4. Varianza 5. Desviación Estándar 6. Características de la Varianza y Desviación Estándar 7. Coeficiente de Variación 8. Variable Estandarizada 9. Medida de Asimetría Medida de Apuntamiento

065 066 066 068 070 071 072 073 073 076

UNIDAD ACADÉMICA VI

1. 2. 3. 4. 5. 6.

CORRELACIÓN Y REGRESIÓN Correlación Coeficiente de Correlación Regresión Serie de Tendencia Rectilínea Serie de Tendencia Parabólica Aplicación de la Ecuación Exponencial

079 080 082 082 084 087

UNIDAD ACADÉMICA VII

PROBABILIDAD (I) 1. Introducción a la Teoría de la Probabilidad 2. Concepto de Probabilidad 3. Experimento 4. Espacio Muestral 5. Evento o Suceso 6. Análisis Combinatorio 7. Factorial de un Número 8. Permutación 9. Variación 10. Combinación 11. Diagramas de Árbol

091 091 092 092 093 098 101 101 104 105 106

UNIDAD ACADÉMICA VIII

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

PROBABILIDAD (II) Definición Clásica de Probabilidades Probabilidad de Frecuencia Relativa Probabilidad Subjetiva Probabilidad Frente a “Apuestas” Probabilidades de Espacios Muestrales Finitos Probabilidad Condicional Sucesos Independientes Teorema de Bayes 6

111 115 118 118 119 121 124 125

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ESTADÍSTICA – GENERALIDADES Este primer fascículo esta diseñado para ayudar al lector a hacerse una idea de la estadística, para que sepa los principales conceptos, variables y sus tipos, regla de redondeo, notación científica y cifras significativas. Hoy las estadísticas están presentes en casi todas las profesiones, se han convertido en una herramienta de suma utilidad.

Al finalizar el estudio del presente fascículo el estudiante: -

Define la estadística y conoce sus clases.

-

Conceptúa lo que es población, muestra, parámetro, estadígrafo y dato.

-

Define lo que es una variable, conoce y determina sus tipos.

-

Aplica la regla de redondeo y las cifras significativas; así como, la notación científica.

-

Resuelve problemas de sumatoria.

1. Definición de Estadística La Estadística es la ciencia de la: -

Sistematización, recogida, ordenación y presentación de datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico, con el objeto de (Descriptiva)

-

deducir las leyes que rigen esos fenómenos, (Probabilidad)

-

y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones (Inferencia)

Definiciones etimológicas: El origen etimológico de la palabra “estadística”, no está bien determinado. Para algunos viene de la voz griega STATERA que significa “Balanza, equilibrio”, otros dicen que 7

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deriva del latín STATUS que significa “situación” mientras que algunos autores afirman que procede del alemán STAAT cuyo significado es “Estado” por su función de registrar: población, nacimiento, defunción, etc. Y finalmente, otros autores dicen que proviene de una voz italiana STATISTA que significa “estadista” y que acuño Gottfried Achenwall (1719 – 1772), un profesor en Marlborough y Gottingen.

2. Clases de Estadística Estadística Descriptiva y Deductiva Es la Estadística que únicamente se ocupa de describir y analizar un conjunto determinado sin extraer ningún tipo de conclusión o inferencia sobre un conjunto mayor. El análisis se limita a si mismo a los datos coleccionados. Las gráficas, las tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretación son ejemplos de este tipo de Estadística. Estadística Inferencial o Inductiva Es la Estadística que estudia las condiciones bajo las cuales tales inferencias son válidas, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimiento de estadística descriptiva, probabilidades y matemáticas. Comprende la teoría de estimación, prueba de hipótesis y análisis de varianza. Aquí, la influencia estadística incluye generalizaciones y afirmaciones sobre probabilidades de su validez.

3. Conceptos Básicos Población Es el conjunto mayor o colección completa de todos los elementos que posee al menos una característica común observable, cuyo estudio nos interesa o acerca de los cuales se desea información. La población puede ser según su tamaño de dos tipos: -

Población Finita: cuando se tiene un número determinado de elementos. Ejemplo. El conjunto de todos los alumnos de la UPLA

-

Población Infinita: Cuando el número de elementos es indeterminado o tan grande que pudiesen considerarse infinitos.

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Ejemplo.

El conjunto de Insectos El conjunto de estudiantes

Tamaño de la población: es el número total de elementos que tiene la población estudiada y se denota con la letra “N” (ene mayúscula). Muestra Es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin de estudiar las propiedades con el fin de estudiar las propiedades de la población de la cual es obtenida. Ejemplo. Un grupo de alumnos del total de estudiantes de la UPLA. Tamaño de la muestra: Es el número de elementos de la muestra y se denota con la letra “n” (ene minúscula). Parámetro Es un número que describe alguna característica de la población o medida de resumen de una población. Se considera como un valor verdadero de la característica estudiada y para determinar su valor es necesario utilizar la información poblacional completa y por lo tanto la decisión se toma con certidumbre total. Los parámetros se representan con letras griegas. Ejemplo:

La media aritmética con “µ” La desviación estándar con “σ”

Estadígrafo o Estadístico Es el número que describe alguna característica de la muestra o medida de resumen de una muestra y la toma de decisión contiene un grado de incertidumbre. La estadística se representa con letras latinas. Ejemplo:

La media aritmética con “ x ”

Dato Es el valor, respuesta o registro que adquiere una característica o variable asociada a un elemento de la población o muestra, como resultado de la observación, entrevista o recopilación en general. Puede ser un símbolo, una palabra o un número. 9

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Los datos pueden ser: A. Según su naturaleza a. Datos cuantitativos: Consiste en números que representan conteos o mediciones. Ejemplo.

El número de soldados del Perú La talla de los estudiantes de la UPLA

b. Datos Cualitativos: Se pueden dividir en diferentes categorías que se distinguen por alguna característica no numérica. Ejemplo.

Los grados del ejército Los colores del arco iris

B. Según su procedencia. a. Datos Primarios: Son aquellos que se obtienen directamente de la misma realidad, sin sufrir ningún proceso de elaboración previa. Ejemplo:

Lo que se recoge directamente de un muestreo o de un censo.

b. Datos Secundarios: Son registros escritos que proceden tambien de un contacto con la práctica, pero que ya han sido recogidos y muchas veces procesados por los investigadores. Ejemplo:

Lo que se obtiene de textos, revistas, etc.

4. Variable Es una característica estudiada de las unidades estadísticas (elementos de la población) Tipos de Variable Según la Naturaleza de la Variable a) Variables Cualitativas Cuando expresan una cualidad, característica o atributo, sus datos se expresan mediante palabras, no es numérica. Ejemplo:

Estado civil, lugar de nacimiento, profesiones, causas de accidentes, colores, etc.

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b) Variables Cuantitativas Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carácter numérico. El dato o valor puede resultar de la operación de contar o medir. Ejemplo:

Número de hijos, ingresos, talla, peso, producción, edad, utilidades, etc.

Las variables cuantitativas pueden ser Discretas y Continuas b.1. Variable Discreta Cuando el valor de una variable resulta de la operación de contar, su valor está representado solo por números naturales (entero positivo). Ejemplo:

Número de hijos, habitaciones por vivienda, población por país. Etc.

b.2. Variable Continua Cuando la variable es susceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se obtiene por medición o comprobación con una unidad o patrón de medida. Se expresa por cualquier número real. Ejemplo:

Área de terreno, ingresos monetarios, peso, estatura, tiempo, etc.

Según la relación entre variables a) Variables Dependientes Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causa o razón de ser. Ejemplo:

El consumo. Esta variable depende de los ingresos personales. La producción. Esta variable depende del tiempo (año, meses, etc.)

b) Variables Independientes Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociación, relación o influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigación. También, son causas o antecedentes. Ejemplo:

Los ingresos personales, relacionado con el consumo. El tiempo, relacionado con la producción.

c) Variables intervinientes o interferentes Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el comportamiento de la variable dependiente. 11

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Ejemplo:

El caso del Presupuesto familiar que es una variable dependiente, con relación a los ingresos que es una variable independiente y con otras variables que serían la conducta de consumo, edad de la familia, etc. Éstos últimos son variables intervinientes.

Según la escala de medición a) Variables Nominales Son aquellas variables que establecen la distinción de los elementos en diversas categorías, sin explicar algún orden entre ellas. Ejemplo:

Sexo, estado civil, profesiones, lugar de nacimiento, deportes de práctica.

b) Variables Ordinales Son aquellas variables que implican orden entre sus categorías, están referidas a un orden de jerarquía, donde la categoría expresa una posición de orden. Ejemplo:

Grado de instrucción, clases sociales, rango de agresividad, orden de mérito, etc.

c) Variable de Intervalo Son aquellos que suponen a la vez orden y grados de distancia iguales entre diversas categorías, pero no tienen origen natural, sino convencional, tiene un cero relativo. Ejemplo:

Coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuación obtenida en una escala, etc.

d) Variables de Razón Estas variables comprenden a la vez todos los casos anteriores, distinción, orden, distancia y origen único natural; el valor se expresa con un número real, tiene un cero absoluto. Ejemplo:

12

Accidentes de tránsito, edad, peso, ingresos, número de hijos, etc.

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Según Amplitud de las Unidades de Observación a) Variables Individuales Son referidas a características de individuos o personas, una empresa, centro educativo, etc. Son variables para estudio de casos, donde se pueden subdividir en variables públicas y privadas. a.1. Variables Públicas Son aquellas en que los valores individuales son conocidos por otras personas y se saben que son conocidos. Ejemplo:

Edad, sexo, ocupación, estado civil, etc.

a.2. Variables Privadas Son aquellos valores individuales que pueden ser conocidos por otros, una vez averiguados. Ejemplo:

Coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la política, conducta de consumo, etc.

b) Variables Colectivas Son aquellas que se refieren a características de las unidades cuando estas son colectivas, conjuntos o grupos (ciudades, empresas, escuelas, etc.) Ejemplo:

Tasa de mortalidad, urbanización, tasa de crecimiento demográfico, escolaridad, etc.

Las variables dependientes en un momento o caso pueden ser variables independientes y viceversa.

1.1

Determinar la clase de variable que nos dan los datos de las siguientes fenómenos o hechos:

13

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a) Temperatura. b) Razas. c) Nacionalidad. d) Precio del dólar en un mes. e) Número de habitaciones por familia.

5. Regla de Redondeo Cuando el número que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que 5, este tomará el valor inmediato superior. Ejemplo: 57,8



58

(redondear al entero)

1,036



1,04

(redondear a 2 decimales)

36,8079



36,808

(redondear a 3 decimales)

Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra menor que 5, se quedará en el mismo valor. Ejemplo: 74,3



74

(redondear al entero)

1,254



1,25

(redondear a 2 decimales)

53,6182



53,618

(redondear a 3 decimales)

Cuando al número que se quiere redondear le sigue una cifra igual que 5, se tomará dos criterios: a) Si la cifra es par, queda sin alterar. Ejemplo: 24,5



24

(redondear al entero)

2,385



2,38

(redondear a 2 decimales)

137,612

(redondear a 3 decimales)

137,6125 

b) Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior. Ejemplo: 85,5 14



86

(redondear al entero)

En la práctica por lo general, cuando a la cifra que se desea redondear le sigue 5

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1,315



1,32

(redondear a 2 decimales)

57,5435



57,544

(redondear a 3 decimales)

6. Notación Sistémica o Científica La notación científica se utiliza cuando una información es seguida o antecedida de ceros. Ejemplos:

80000000 930000000

 8  10 7  9,3  10 8 4

0,00038  3,8  10 0,000000567  5,67  10 7 80000000  80  10 6

(no es notación científica )

La notación científica solo tiene un entero

7. Cifras Significativas Son los dígitos que no precisan una medición, se consideran como cifras significativas los ceros a la derecha; no así los ceros a la izquierda. Ejemplo: 1,630 0,008 2,003 1,0000

   

4 cifras significativas 1 cifras significativas 4 cifras significativas 5 cifras significativas

1.2

1. Redondear al entero a) 4,97 d) 36,59

b) 38,49 e) 288,71

c) 127,511

b) 123,45

c) 0,06

b) 137,0056

c) 0,01351

2. Redondear a un decimal a) 36,55 3. Redondear a 3 decimales a) 0,0034

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4. Realizar la notación científica de: a) 7 000 000 c) 0,002 937

b) 9 430 000 d) 0,000 005

5. Cuántas cifras significativas tienen los siguientes números: a) 23,000 2 c) 90,000 00

b) 0,23 d) 0,000 895 4

8. Sumatoria Es un operador que representa una suma de términos cuyos elementos se encuentran formados de acuerdo a una ley dada. NOTACIÓN: El operador sumatoria vienen representado por la letra griega sigma (∑ ) Ejemplo: 7

a) Desarrollar:

 ax a

a 4

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de “a” por “x” elevado a la “a”, variando “a” desde 4 hasta 7”. 7

 ax a  4 x 4  5 x 5  6 x 6  7 x 7

a4

4

b) Desarrollar:

  1

k

x k 1

k 0

La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria de -1 elevado a la k por x elevado a la (k+1), variando k desde 0 hasta 4”. 4

  1k x k 1   10 x 0 1   11 x11   12 x 2 1   13 x 3 1   14 x 4 1

k 0

 x   1 x 2   12 x 3   13 x 4   14 x 5  x  x 2  x3  x 4  x5 3

c) Desarrollar:

n

  k  a n  k

k  0



La expresión dada tiene la siguiente lectura: “Sumatoria del coeficiente binómico “n” sobre “k” por “a” elevado a la “n-k”, variando k desde 0 hasta 3”.

16

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3

n

n

n

n

n



 

 

 

 

  k a n  k   0 a n  0   1 a n 1   2 a n  2   3 a n  3

k  0

1.3

9

1. Desarrollar

 by b

b 3 6

2. Desarrollar

  2 P 1 y P 1

P 1 4

3. Desarrollar

M 

  x c M  x

M 0



En este fascículo estudiamos la definición de Estadística como ciencia y sus clases, como la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial. También se analizó los conceptos básicos de población, muestra, parámetro, estadígrafo y dato; asimismo, de variable y sus tipos. Luego se planteó la Regla de Redondeo, la Notación científica y cifras significativas.

AVILA A., Roberto. Estadística Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CAPUÑAY C. Abelino. Sumatoria y Binomio de Newton. Editorial Ingeniería. Lima 1984. JONSON, Robert. Estadística Elemental, Editorial Trillas. 2ª edición. México. 1991. MOOD, Alexander M. Introducción a la Teoría Estadística. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadística Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadística: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2ª Edición. Lima 1993.

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En el siguiente fascículo estudiaremos la organización de datos a través de la Tabla de Frecuencias, la interpretación de los cuadros y los gráficos. Se desarrollará los pasos para elaborar una tabla de Frecuencia.

Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Determinar la clase de variable que nos dan los datos de los siguientes fenómenos o hechos: a) Colores b) Nivel de desempleo c) Accidentes de Tránsito d) Orientación en el tiempo 2. De los siguientes enunciados. ¿Cuál probablemente exija el empleo de la Estadística Descriptiva y cuál de la Estadística Inferencial? a) En un campeonato de fútbol se desea conocer el promedio de goles de los equipos que participan. b) Un comité para la prevención de la contaminación del aire, analiza la disminución del tráfico automotriz y el grado de polución. c) Un psicólogo estudia el efecto de la asesoría personal sobre el rendimiento de un estudiante. d) Un Economista registra el crecimiento de la población en un área determinada. 3. Redondear los siguientes números a las cifras significativas siguientes: a) 23,5 a 2 cifras significativas b) 0,0008532 a 1 cifra significativa c) 0,05 a un decimal y una cifra significativa d) 90000455 a 7 cifras significativas 4. Desarrollar: 5

7

a)

 abcx a y

a2

b)

  3N x N  2

N 3

5. ¿Por qué la Estadística es probabilística e Inferencial? 6. De 4 Ejemplos de variable discreta 7. De 4 Ejemplos de Variable continua 18

6

c)

M 

  Y k MY

M 1 



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ORGANIZACIÓN DE DATOS Y GRÁFICAS Los datos recogidos sobre una variable conducen, muchas veces, a una gran cantidad de números que presentados directamente dificultan su interpretación. Este problema se evita si la información se presenta en las llamadas TABLAS DE FRECUENCIA. Estas tablas permiten analizar la distribución de los elementos de la población de acuerdo al carácter en estudio y ayudan en la búsqueda del modelo teórico que mejor ajustará a los datos. A partir de la tabla de frecuencia se puede hacer representaciones gráficas.

- Organiza datos originales en una distribución de frecuencia. - Representa la distribución de frecuencia en graficas. - Interpreta las frecuencias relativas y absolutas. - Desarrolla una representación de “tallo y hoja”.

1. Tabla de Frecuencia Representación organizada de los datos que muestra el número de observaciones del conjunto de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyentes La tabla de frecuencia consta de: a) Clase y Marca de Clase Clase Esta constituido por números o descritos por algún atributo cualitativo o cuantitativo de muestras de objetos. La información conforme a características cualitativas son: raza, religión y sexo. Así mismo, puede estar formado por intervalo de clase. Marca de Clase ( Xi ) Es la semisuma del limite inferior ( Li ) y limite superior ( Ls ) de cada intervalo de clase.

Xi 

Li  Ls 2

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Los atributos cualitativos y cuantitativos deben ser exhaustivos y mutuamente excluyentes. b) Frecuencia Es el número de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen dentro de cada una de las clases. Si podemos determinar la frecuencia con que ocurren los valores en cada clases de un conjunto de datos, estaremos en condiciones de construir una distribución de frecuencia.

2. Clases de Frecuencias a) Frecuencia Absoluta Simple ( fi ) Es el número de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a la clase. b) Frecuencia Absoluta Acumulada ( Fi ) Representación tabular de los datos que muestra cuantas observaciones se hallan encima o debajo de ciertos valores. Estas son ascendente y descendente. -

Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente ( F(1) ) Sirven para decir si son iguales o menores.

-

Frecuencia Absoluta Acumulada Desscendente ( F( 2) ) Sirven para decir si son iguales o mayores

c) Frecuencia Relativa Simple ( hi ) Son datos que muestran la fracción del conjunto total de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyente. d) Frecuencia Relativa Acumulada ( Hi ) Es el tanto por uno de los elementos de la población que están en alguna clase y que presentan una modalidad inferior o superior a la clase. Estas son ascendente y descendente. - Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente ( H (1) ) Nos indica la fracción de los datos que son iguales o menores. - Frecuencia Relativa Acumulada Descendente ( H ( 2) ) Indica la fracción de los datos que son iguales o mayores.

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e) Frecuencia Porcentual ( Pi ) Es el producto de las frecuencias relativas por 100.

3. Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas Clase

fi

hi

Pi (%)

C1

f1

h1

P1

C2

f2

h2

P2

C3

f3

h3

P3

 Cm

 fm

 hm

 Pm

Total

n

1.00

100

Ejemplo: Consideremos la muestra formada por 50 personas y en esta, la variable sexo. Si se observa que hay 30 varones y 20 mujeres, podemos trasladar esta información a la siguiente tabla de frecuencias. Clase

fi

hi

Varón Mujer Total

30 20 50

0.6 0.4 1.0

Pi (%)

60 40 100

4. Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas Clase

fi

hi

C1

f1

h1

F(11)  f1

C2

f2

h2

C3

f3

 Cm

 fm

F(1)

F( 2)

H(1)

H ( 2)

F(12 )  n

H (11)  h1

H (12 )  1.0

F(12)  f1  f 2

F( 22 )  n  f1

H (21 )  h1  h 2

H (22 )  1.0  h1

h3

F(13)  F(11)  f 3

F( 32 )  F( 22 )  f 2

H (31)  H (21)  h3

H (32 )  H (22 )  h2

 hm

 F(1m)  n

 F(m2 )  f m

 H (m1)  1.0

 H (m2 )  hm

n 1.0 Total Ejemplo: Caso cuantitativo discreto Para estudiar la producción de artículos de una fábrica se tomaron 100 lotes de 250 artículos cada uno. El número de artículos defectuosos en cada lote fue como sigue: 1 1 2 4 5 6 4 5

4 3 3 2 2 2 4 6

3 5 8 3 4 4 1 4

5 3 5 3 3 6 3 5

5 3 7 2 4 5 3 3

2 7 7 4 4 2 2 3

5 5 4 1 6 4 1 4

4 2 3 5 5 7 5 4

2 4 3 4 5 6 8 7

3 5 4 4 2 2 6 6

5 8 5 2 6 3 4 6

3 3 5 2 4 6 4 4

5 4 5 5

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Xi

fi

hi

1 2 3 4 5 6 7 8 Total

5 14 18 25 20 10 5 3 100

0,05 0,14 0,18 0,25 0,20 0,10 0,05 0,03 1.00

Pi (%)

5 14 18 25 20 10 5 3 100

Ejemplo: Caso cuantitativo continúo Se desea estudiar la cantidad de kilómetro que recorre un automóvil modelo A por cada galón de gasolina que consume; para tal fin se anotaron las distancias recorridas por 36 automóviles de tal modelo usando un galón de gasolina. Los resultados, en kilómetros fueron así: 34,51 35,47 36,96 40,00 33,20

31,54 31,60 35,93 31,57 36,20

35,40 36,57 33,80 37,10 30,00

Distancia Recorrida

Xi

fi

38,20 33,15 36,88 34,90 38,10 hi

35,61 30,16 34,00 33,00 36,00

36,70

Pi (%)

30,6250

2

0,0556

5,6

[ 31,25 - 32,50 [

31,8750

3

0,0833

8,3

[ 32,50 - 33,75 [

33,1250

5

0,1389

13,9

[ 33,75 - 35,00 [

34,3750

8

0,2222

22,2

[ 35,00 - 36,25 [

35,6250

7

0,1944

19,4

[ 36,25 - 37,50 [

36,8750

6

0,1667

16,7

[ 37,50 - 38,75 [

38,1250

4

0,1111

11,1

[ 38,75 - 40,00 ]

39,3750

1

0,0278

2,8

36

1,0000

100

fi = Cantidad de Autos

22

34,60 37,85 33,29 36,23 33,98

[ 30,00 - 31,25 [

TOTAL

Xi 

38,24 34,50 36,80 32,91 34,55

Li  Ls Marca de Clase 2

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Por convención, cada intervalo es tomado cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, a excepción del último, que es cerrado en ambos extremos.

5. Construcción de Intervalos o Reducción de Datos Regla: 1. Ordenamiento de datos (según magnitud) en forma creciente o decreciente. 2. Determinar -

Valor máximo ( X max )

-

Valor mínimo ( X min )

3. Calcular el Rango( R )

R  X max X min  1

para variable discreta

R  X max  X min

para variable continua

4. Determinar el numero de clases o intervalos (m) -

Método de STURGES ( n  50 )

m  1 3,322 log(n) -

Método de PORTUGAL

(50  n  100) m  1,8914 3,991 log(n) (n  100) m  2,766 5,815 log(n) -

Método de la RAIZ

m  2,5 4 n 23

Excelencia Académica

m n

m debe ser entero (   ), si sale decimal se redondea. 5. Calcular la amplitud Interválica ( a )

a

R m

6. Corrección ( D )

D  (m * a)  R Si el resultado de D es:

 0     0   0 

Se Continua Se rehace (En la amplitud interválica se redondea por exceso)

7. Intervalo de Clase Ii  X min  a

Ejemplo: Se tiene las tallas de 41 alumnos de la facultad de Derecho de la UPLA siguientes; dados en metros: 1,73 1,70 1,71 1,70 1,60 1,65 1,61 1,64

1,80 1,87 1,87 1,87 1,55 1,55 1,55 1,55

1,70 1,72 1,70 1,71 1,65 1,60 1,67 1,68

1,74 1,70 1,78 1,71 1,60 1,85 1,82 1,80

1,87 1,75 1,75 1,75 1,86 1,73 1,57 1,75

1,59

A continuación vamos a aplicar la regla para construir los intervalos y elaborar la tabla de frecuencia. Regla: 24

Excelencia Académica

1º. Ordenamiento de Datos Se obvia por ser una muestra pequeña 2º. Determinar X max  1.87 mt X min  1.55 mt

3º Calcular el Rango ( R ) R  X max  X min (variable continua).

R  1,87 1,55  0,32 4º Determinar el numero de clases; ( m ) por ser

n